Matemática  II  2012-­‐2013  �  1.º  Semestre  �  2.ª  Frequência  

11  de  Janeiro  de  2013

1/12

Pedro Raposo; Maria João Araújo; Carla Cardoso

O teste tem a duração de 2:30 horas. Deve resolver os grupos em folhas separadas.

Grupo I (7 valores)

1. Formule o problema seguinte: A empresa Janex produz três tipos de janelas 1J , 2J e 3J . Para cada

tipo de janela a tabela seguinte indica o número de horas de trabalho e a quantidade de alumínio ou

madeira e vidro que são necessários.

modelo Horas de trabalho Alumínio /kg Madeira /kg Vidro/ kg

1J 6,50 2,25 0,00 3,00

2J 6,00 0,00 2,50 4,50

3J 5,00 4,00 0,00 5,50 Toda a matéria-prima necessária está disponível, no entanto este mês só estão disponíveis 12000 horas

de trabalho. Cada hora de trabalho tem um custo de 15 €, cada kg de alumínio tem um custo de 10 € e

cada kg de madeira e de vidro tem um custo de 8 €.

O preço de venda das janelas 1J , 2J e 3J são respetivamente 460€, 640€ e 550€.

A empresa tem disponível para o próximo mês 130 560 € para fazer face aos custos. O departamento de

vendas informou que há encomendas a satisfazer de 300 janelas do modelo 1J , 550 do modelo 2J e 320

janelas do 3J durante o próximo mês. Pretende-se maximizar o lucro. (1 valor)

2. Considere o seguinte problema de programação linear:

1 2 3max 3 2 5x xz x= + + s.a. 21

2 3

2 3

1

1

34 84

, , 0

x x xx xx x

xx

+ + ≤⎧⎪− + + ≥⎨⎪ ≥⎩

a) Resolva pelo Simplex. (1 valor)

b) Escreva o dual e resolva-o graficamente. (2 valores)

c) Utilize as propriedades dos desvios complementares para a partir da solução do primal confirmar

a solução do dual e vice-versa. (1,5 valores)

d) Escreva o 1º quadro do simplex do problema dual e, sem resolver o problema, escreva a 1ª linha

do último quadro deste mesmo problema. Justifique. (1,5 valores)

2/12

Grupo II (8 valores) 3. Considere a função 2 2 2( , , ) 2f x y z x y z x= − + − sujeita a 2 3x y z+ − = . Utilize o método dos

multiplicadores de Lagrange para calcular os extremos da função. (1,5 valores)

4. Considere ( , )h x y x y= + com 2 22 2 7x y≤ + − ≤ , 0x ≥ e 0y ≥ . a) Resolva graficamente:

i. max h (1 valor) ii. min h (1 valor)

b) Para max h : i. Escreva as condições de Kuhn-Tucker. (1 valor)

ii. Resolva o problema sabendo que 0x > e que a restrição 2 2 2 2x y+ − = é não ativa. (1,5 val)

5. Considere o problema de minimização dos custos de produção (z) com o seguinte quadro inicial: z  

1x   2x   3x   4x   5x   6x      

-­‐1   4   1   M   0   M   0   0       3   1   1   0   0   0   12  

3x  

  4   3   0   -­‐1   1   0   6  5x  

  1   2   0   0   0   1   4  6x  

Sem resolver pelo algoritmo do Simplex, complete o quadro final do Simplex, justificando todos os cálculos que fizer. (2 valores)

z  1x   2x   3x   4x   5x   6x      

-­‐1       M-­‐7/5     ///               2/5                ///   -­‐1/5    

1x  

      -­‐1/5     ///      2x  

      1     ///   1      

Grupo III (5 valores)

6. Considere o seguinte problema de programação linear. Admita que Z representa um sistema de produção numa empresa, com 3 produtos e 3 tipos de recursos. Pretende-se maximizar o lucro, expresso em u.m.:

1 2 3max 2x x xz = − + + s.a.

2 3

2 3

2

1

1

1

2 31

3

23 6

2 1, , 0

x x xx xx xx x

xx

x

− + ≤⎧⎪ + + ≤⎪⎨− + + ≤⎪⎪ ≥⎩

Considere o seguinte quadro final:

z  1x   2x   3x   4x   5x   6x      

  0   3/2   0   1/2   0   3/2   5/2       1   -­‐3/2   0   1/2   0   -­‐1/2   1/2  

1x  

  0   1   0   -­‐2   1   -­‐1   1  5x  

  0   1/2   1   1/2   0   1/2   3/2  3x  

a) Será que pode caracterizar esta solução como especial? Justifique e ilustre a sua resposta. (1,5 val) b) Admita que a margem de lucro do produto 3 passou de 2 para 3. Este novo valor está dentro do

intervalo de sensibilidade? Qual a nova solução? Justifique e interprete. (2 valores) c) Admita que o recurso 3 correspondia a 1 computador que entretanto foi roubado. Como é que este

roubo afecta a solução? Este novo valor está dentro do intervalo de sensibilidade? Qual a nova solução? Justifique e interprete. (1,5 valores)

3/12

Boa sorte!

4/12

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

Grupo I

1. Pretende-se maximizar o lucro.

Modelo Horas de trabalho

Alumínio /kg

Madeira /kg

Vidro/ kg

Encomendas Preço/€ Custo/€ Lucro/€

1J 6,5 2,25 0 3,00 300 460 144 316

2J 6,0 0 2,50 4,50 550 640 146 494

3J 5,0 4,00 0 5,50 320 550 159 391 máximo 12000 - - - - 130560 - Custo/€ 15/h 10 8 8 - -

1

2

33

1

2

nº de janelas do modelo Jnº de janelas do modelo Jnº de janelas do model

::: o J

xxx

                                                         

1 2 3max 316 4 3994 1L x x x+= +      sujeito  a  

3

3

1

2

3

1 2

1 2

144 1466

1,53

59 1305066 5 12000

550320

00

x x xx x x

xxx

++⎧⎪⎪⎪⎨

≤+ + ≤

≥≥≥

⎪⎪⎪⎩

 .  

2.

1 2 3 3 2 5Max z x x x= + + s.a

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 8

4

, , 0

x x x

x x x

x x x

+ + ≤⎧⎪⎪⎪− + + ≥⎨⎪⎪

≥⎪⎩

z  1x   2x   3x   4x   5x   6x      

  -­‐3   -­‐2   -­‐5   0   0   M   0       1   1   4   1   0   0          8  

4x  

  -­‐1   1   1   0   -­‐1   1   4  6x ← 2x  

  -­‐5   0   -­‐3   0   -­‐2   ///   8       2   0   3   1   1   ///   4  

4x  

  -­‐1   1   1   0   -­‐1   ///   4  2x  

  0   0   9/2   5/2   1/2   ///   18       1   0   3/2   1/2   1/2   ///   2  

1x  

  0   1   5/2   1/2   -­‐1/2   ///   6  2x  

1 8 Max z = em     ( )1 2 3( , , ) 2,6,0x x x =  

5/12

 

b)  

1 2

1 21 2

1 2

1 2

– 3 2

8 4 . . 4 5

0, 0

y yy y

Minw y y s ay yy y

≥⎧⎪ + ≥⎪= + ⎨ + ≥⎪⎪ ≥ ≤⎩

 

 

   

 

c)  

11 2 11 1 2

2 1 21 2 2

53 2 5 2 2 0 3

6 0 2 2

2_ 1

yy y yx y yx y y

y y y

⎧ ⎧ ⎧ =− = =⎪ ⎪ ⎪= ≠ → − = ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎨ ⎨= ≠ → + = ⎪ ⎪ ⎪+ = = −⎪ ⎪ ⎪⎩⎩⎩

 

18Maxz =      em    5 1,2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠  

1 1 2 3

1 2 3 1 2 2

2 1 2 3 1 2 3 1 2 1

3 3 33

5 0 4 82 4 8 8 61 0 4 4 4 2 2

0 0 03ª 0

y x x xx x x x x x

y x x x x x x x x xx x xrestriçãonãoativa x

= ≠ → + + =+ + = + = =⎧ ⎧ ⎧

⎪ ⎪ ⎪= − ≠ →− + + = − + + = − + = =⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪= = =⎩ ⎩ ⎩→ =

18Minw =      em     ( )2,6,0  

6/12

d)    

2 2’y y= −

( )

'1 2 3 4

'1 2 5 6

'1 2 7 8

'1 2

1

3 4 5 6 8

2

7

32

4 5, , , , , ,

Max 8y 4y’ .

, 0

y y y yy y y yy y y y

y y y y y y

s a

y y

w

⎧ + − + =⎪ − − +

− = −=⎪

⎨ − − + =+

⎪⎪ ≥⎩

   

 

z  1y   '

2y   3y   4y   5y   6y   7y   8y      

  8   -­‐4   0   M   0   M   0   M   0       1   1   -­‐1   1   0   0          0          0          3  

4y  

  1   -­‐1   0   0   -­‐1   1          0          0          2  6y  

  4   -­‐1   0   0   0   0   -­‐1   1   5  8y  

                                                                                       

  0   0   2   M-­‐2   6   M-­‐6   0   M   -­‐18    

Grupo II

3.

( )2 2 2 22 3L x y z x x y zλ= − + − − + − −

2 2

2

2 2 0 12 2 0 2 12 2 0 2 2

2 2 0 12 ( 1) 0 10 02 0 2 12 0 1

2 03 0 23 0 3 0

3 0

L xx xx xxL y y y y yy

z zz zL zx z xz x y z x y z

L x y z

λ

λ λ λλ λλ λ

λ λλ

λ

∂⎧ = − − =⎪∂ =⎪ − − = =− − = =⎧ ⎧⎧ ⎧∂⎪ = − − = ⎪ ⎪⎪ ⎪ = −⎪ − + = = −= =∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ∨ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨+ = =+ = = −∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= + =⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− − = =∂ + − − = + − − =⎩ ⎩⎩ ⎩⎪∂⎪ = + − − =⎪∂⎩

123

z

y

⎧⎪⎪⎪⎨⎪ =⎪⎪ = ±⎩

Os pontos de estacionaridade são:

1 1 1 1, 3, , 3,(2,0 1)2 2 2 2

21 1

B CAλ

λ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠== − = −

7/12

21

0 1 2 10 1 2

1 2 0 01 2 0 8 2 2

2 0 2 2 02 0 2 2

1 0 0 2

yy

yy

yλ

λλ

−

Δ = − Δ = − = − −− −

− −−

22

0 1 2 11 2 1 0 1 2

1 2 0 01. 2 0 0 2 1 2 0 16 8 8

2 0 2 2 00 2 2 0 2 0 2 2

1 0 0 2

yy y

yy

yλ

λλ λ

−⎡ − ⎤⎢ ⎥Δ = − = − + = − −⎢ ⎥− − ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦−

1 2

1 21 2

min

24 0; 48 0 min6 0; 24 0 . .

24 0; 48 0 min

7 1 1, 3,2 2 2

BA P S

C

f em

→Δ = > Δ = >→Δ = − < Δ = − <

→Δ = > Δ = >

⎛ ⎞= − ±⎜ ⎟⎝ ⎠

4. A Considere ( , )h x y x y= + com 2 22 2 7x y≤ + − ≤ , 0x ≥ e 0y ≥ .

a) Resolva graficamente:

i. max h

ii. min h

k x y y x k= + ⇔ = − + domínio: 2 24 9x y≤ + ≤ , 0x ≥ e 0y ≥

max h

min h

min h

K=0

8/12

Mínimo: min (0,2) (2,0) 2h h h= = = pois quanto menor é o valor da ordenada da origem menor é o valor de h .

Máximo: max3 3, 182 2

h h⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠ pois quanto maior é o valor da ordenada da origem maior é o

valor de h . Cálculos:

A curva de nível correspondente ao máximo deve ser tangente á fronteira do círculo

( )2 22 2 2 2 2 4 4(2) 99 2 2 9 0

4

k ky x

x k yx

ky k y k x

x k xkx ± − −+ = − − =

= −⎧+ = = −⎧ ⎧ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨

+⎩ ⎩ =⎪⎩

( )2 2 28 0 18 84 19k k kk − =Δ ⇔ = ⇒ ±= −

No 1º Q é 18 0K = > , então

2 18 3 18 18 3182 4 2 2 2 2

:

2

0

2b k ky x k y

c mo

a

o

−= = − = = = = − = −

=

=

Δ

=

e 3 3, 182 2Maxh h⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Para max h :

i. Escreva as condições de Kuhn-Tucker.

( ) ( )2 2 2 21 29 4F x y x y x yl l= + -­‐ + -­‐ -­‐ -­‐ -­‐ +

x !F!x

= 0

y !F! y

= 0

!1!F!!1

= 0

!2!F!!2

= 0

x, y,!1,!2 "0!F!!1

, !F!!2

"0

!F!x#0,!F! y#0

x 1$2!1x + 2!2x( )= 0

y 1$2!1y + 2!2 y( )= 0

!1 $x2$ y2 + 9( )= 0

!2 x2 + y2$4( )= 0

x, y,!1,!2 "0,!F!!1

, !F!!2

"0

!F!x#0,!F! y#0

%

&

'''''''''''''''''

(

'''''''''''''''''

%

&

''''''''''''''''''''''

(

''''''''''''''''''''''

9/12

ii. Resolva o problema sabendo que 0x > e que a restrição 2 2 2 2x y+ − = é não ativa.

1!2!1x + 2!2x = 0

y 1!2!1y + 2!2 y( )= 0

!1 !x2! y2 + 9( )= 0

!2 = 0

x, y,!1,!2 "0,#F#!1

, #F#!2

"0

#F#x$0,#F# y$0

%

&

'''''''''''''''''

(

'''''''''''''''''

1!2!1x + 2!2x = 0

y 1!2!1y + 2!2 y( )= 0

!1 !x2! y2 + 9( )= 0

!2 = 0

"

#

$$$$$$$

%

$$$$$$$

&

&

1!2!1x + 2!2x = 0y = 0!1 = 0!2 = 0

"

#

$$$$$$

%

$$$$$$

'

1!2!1x + 2!2x = 0y = 0!x2! y2 + 9 = 0!2 = 0

"

#

$$$$$$

%

$$$$$$

'

1!2!1x + 2!2x = 01!2!1y + 2!2 y = 0!1 = 0!2 = 0

"

#

$$$$$$

%

$$$$$$

'

1!2!1x + 2!2x = 01!2!1y + 2!2 y = 0

!x2! y2 + 9 = 0!2 = 0

"

#

$$$$$$

%

$$$$$$

!

1= 0 imp.

y = 0!1 = 0!2 = 0

"

#

$$$$$$$

%

$$$$$$$

&

1'2!1x = 0y = 0'x2 + 9 = 0!2 = 0

"

#

$$$$$$

%

$$$$$$

&

1= 0 imp .

1= 0 imp

!1 = 0!2 = 0

"

#

$$$$$$$

%

$$$$$$$

&

1'2!1x = 01'2!1y = 0

'x2' y2 + 9 = 0!2 = 0

"

#

$$$$$$

%

$$$$$$

1!2!1x = 0y = 0

x =!3 não verifica

!2 = 0

"

#

$$$$$$$

%

$$$$$$$

&

!1 = 16

y = 0x = 3!2 = 0

"

#

$$$$$$$

%

$$$$$$$

como 'F' y

=1 > 0 não verifica

1   2  

2  

3   4  

10/12

1!2!1x = 01!2!1y = 0

x2 + y2 = 9!2 = 0

"

#

$$$$$$

%

$$$$$$

&

y = x

y = 12!1

x2 = 92

!2 = 0

"

#

$$$$$$$$

%

$$$$$$$$

&

y = x

!1 = 12y

x =! 32

não verifica

!2 = 0

"

#

$$$$$$$$

%

$$$$$$$$

'

y = x

!1 = 12y

x = 32

!2 = 0

"

#

$$$$$$$$

%

$$$$$$$$

&

y = 32

!1 = 26

x = 32

!2 = 0

"

#

$$$$$$$$$

%

$$$$$$$$$

Como: , 0x y≥ , !1,!2 !0 ,

!F! y"0 ,

!F!!1

"0 ,

!F!!2

"0 e

!F!!3

"0 verifica.

então:

hmax = 18 em 3

2,

3

2

!

"####

$

%&&&&&

5. Quadro

Considere o problema de minimização dos custos de produção (z):

z 1x 2x 3x

(artificial) 4x

(folga) 5x

(artificial) 6x

(folga)

-1 4 1 M 0 M 0 0 3 1 1 0 0 0 12

3x

4 3 0 -1 1 0 6 5x

1 2 0 0 0 1 4 6x

Complete o quadro final do simplex, justificando todos os cálculos que fizer. z

1x 2x 3x

(artificial) 4x

(folga) 5x

(artificial) 6x

(folga)

-1 0 0 M-7/5 0 M 1/5 -16 1 0 2/5 0 0 -1/5 4

1x

0 1 -1/5 0 0 K=3/5 0 2x

0 0 1 1 -1 1 10 4x

Cálculos auxiliares:

Da leitura do quadro inicial obtemos:

1 2min 4x xz = + s.a.

1

1

1 2

1

2

2

233 124 6

2 4, 0

x xx x

xxx x+

+ =⎧⎪ + ≥⎪⎨ ≤⎪⎪ ≥⎩

( )1 2 4 4Passo1: Preenchemos a coluna do , e s poderia estar na base dado que o quadro final com a matriz identidade.x x x ó x é

4  

11/12

1 42 1 20Passo2 : (12) (4) 4; 1x12 1x6 1x4 105 5 5

x x= − = = = − + =

4 1 2 1 1 2 2Passo3: Se 10 4 3 16 como 4 obtemos que : 4 3 16 0x x x x x x x= + = = + = ⇔ =

21 12 1 3Passo4 : k ? (12) 4k 0 k .5 5 4 5

x= = − + = ⇔ = =

( ) ( )61 3 1C 4 15 5 5

= − − + − =

( ) ( )1 2z 4 4x4 0 16x x− = − + = − + = −

Grupo III

6.

z

1x   2x   3x   4x   5x   6x  

0 3/2 0 1/2 0 3/2 5/2 1 -3/2 0 1/2 0 -1/2 1/2

1x

0 1 0 -2 1 -1 1 5x

0 1/2 1 1/2 0 1/2 3/2 3x

a) Não é nem múltipla, nem degenerada (basta ver que o segundo quadro não dá empate na regra de saída), não é impossível nem ilimitada.

z 1x   2x   3x   4x   5x   6x  

1 -1 -2 0 0 0 0 1 -1 1 1 0 0 2

4x

1 1 3 0 1 0 6 5x

-1 2 1 0 0 1 1 6x

-1 3 0 0 0 2 2 2 -3 0 1 0 -1 1

4x <- 1x

4 -5 0 0 1 -3 3 5x

-1 2 1 0 0 1 1 3x

b) Determinação do intervalo de sensibilidade de C3 .

0

3 3 2C C= +Δ = +Δ

Quadro final:

1 2 3 4 63 1 3 502 2 2 2

z x x x x x+ + −Δ + + =

…. Como 2x é uma variável básica, então tem que ter coeficiente igual a zero na função objetivo do quadro

final, portanto 1 1 4L L L→ +Δ .

Como os coeficientes da função objetivo têm que ser todos não negativos:

12/12

32+ !

2" 0

12+ !

2" 0

32+ !

2" 0

#

$

%%%

&

%%%

' ! " (1 '! + 2 " (1+ 2 ' C3 "1

Como: [ [0

3 3 2 1 3 1,C C= +Δ = + = ∈ +∞

Então:

1 2 3 4 60 2 0 2 4z x x x x x+ + + + + = 5 3max 4 . .2 2

z u m= + Δ =

b) Determinação do intervalo de sensibilidade de 3b .

03 3 1b b= +Δ = +Δ

Tudo o que acontece à variável de folga x6 , acontece a Δ , então:

.

6

.

6

.

6

.

6

3 5 3...2 2 21 1 1...2 2 2

... 11 3 1...2 2 2

x

x

x

x

⎧ + = + Δ⎪⎪⎪ − = − Δ⎪⎨⎪ − = −Δ⎪⎪

+ = + Δ⎪⎩

Como as variáveis básicas têm que ser não negativas, fica:

52+ 3

2!

12" 1

2! # 0

1" ! # 032+ 1

2! # 0

$

%

&&&&

'

&&&&

(! )1! # "3

$%'

( " 3) ! )1("2 )1+ ! ) 2 ("2 ) b3 ) 2

[ ]0

3 3 1 1 0 2,2b b= +Δ = − = ∈ −

O lucro passa a ser de:

max 1 . .z u m=

R.: O lucro reduziu-se em 3/2u.m.