GEOMETRIAPLANA

MÓDULO 14 | GEOMETRIA PLANA

ÂNGULOS

Duas semirretas de mesma origem “o” separam o plano que as contém em duas regiões. A reunião dessas semirretas com qualquer uma dessas regiões é chamada de ângulo.

As semirretas OA e OB determinam dois ângulos e são os lados desses. Cada um desses ângulos pode ser simbolizado por AÔB ou BÔA.

CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

ÂNGULO AGUDO: ângulo de medida entre 0º e 90º.

ÂNGULO RETO: ângulo de medida 90º.

ÂNGULO OBTUSO: ângulo de medida entre 90º e 180º.

ÂNGULO RASO: ângulo de medida 180º.

— Ângulos congruentes têm a mesma medida, e indicamos por A ≡ B.

— Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90°.

— Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.

— Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é 360°.

FEIXE DE RETAS PARALELAS

Feixe de retas paralelas (//) é um conjunto de retas distintas de um plano, paralelas entre si. As retas r, s e t constituem um feixe de retas paralelas.

TRANSVERSAL AO FEIXE

Transversal ao feixe de retas paralelas é uma reta do plano que intersecta todas as retas do feixe. Na figura, a reta t é transversal ao feixe.

Quando duas retas paralelas quaisquer, r e s, são cortadas por uma transversal t, formamos oito ângulos.

GEOMETRIA PLANA

— Os ângulos c, d, 1 e 2 estão entre as retas para-lelas – ângulos internos.

— Os ângulos a, b, 3 e 4 estão fora das retas para-lelas – ângulos externos.

— Os ângulos d e 2 assim como os ângulos c e 1 são chamados de ângulos alternos internos.

— Os ângulos a e 3 assim como os ângulos b e 4 são chamados de ângulos alternos externos.

— Ângulos alternos internos e os alternos externos são congruentes.

TEOREMA DE TALES

Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas transversais, os segmentos determinados sobre a primeira transversal são proporcionais a seus cor- respondentes determinados na segunda transversal..

SEMELHANÇA DE TRIÂGULOS

Dois triângulos são semelhantes quando têm os ângulos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes proporcionais

Os ângulos respectivamente congruentes são chamados de ângulos correspondentes. Os lados opostos aos ângulos correspondentes são chamados de lados homólogos. Se dois triângulos são semel-hantes, então os lados de um são proporcionais aos lados homólogos do outro.

Toda reta paralela a um lado de um triângulo que cruza os outros dois lados em pontos distintos determina outro triângulo semelhante ao primeiro. Como ED//BC, temos: ∆AED ~ ∆ABC

POLÍGONOS

Um polígono é uma figura geométrica plana limitada

por uma linha poligonal fechada. Abaixo, desta-

camos os elementos dos polígonos.

LADO: é cada segmento que forma o polígono.

Vértice: é o ponto comum a dois lados do polígono.

ÂNGULO INTERNO: ângulo formado por dois

lados consecutivos do polígono. (na figura, um dos

ângulos internos está sendo representado por α)

ÂNGULOS EXTERNOS: são ângulos formados pelo

prolongamento de um lado com o lado adjacente.

(na figura está sendo representado por β)

DIAGONAL: segmento que une dois vértices não

consecutivos

PERÍMETRO: é a soma das medidas dos lados do

polígono.

POLÍGONO REGULAR

Um polígono convexo é regular se, e somente se, seus lados e ângulos forem congruentes e são clas-sificados de acordo com o número de lados. Veja a seguir alguns polígonos regulares.

3 LADOS

TRIÂNGULOEQUILÁTERO

4 LADOS

QUADRADO

5 LADOS

PENTÁGONOREGULAR

6 LADOS

HEXÁGONOREGULAR

A soma dos ângulos externos de um polígono é 360°. Caso o polígono seja regular, todos os seus ângulos internos são congruentes, assim como seus ângulos externos.

ÁREAS E RELAÇÕES MÉTRICASDAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS

TRIÂNGULO EQUILÁTERO

QUADRADO

HEXÁGONO

CÍRCULO

OUTRAS FIGURAS

2b)h(BÁrea +

=

b.hÁrea =

2D.dÁrea =

01. (UPF/2009) Se os ângulos externos de um polígono regular medem 18°, então o número de diagonais desse polígono é:

a) 190

b) 170

c) 120

d) 135

e) 162

02. (UNISC INV/2014) Os lados de um losango medem 4 cm e um de seus ângulos 60º. As medidas da diagonal menor e da diagonal maior do losango medem, respectivamente,

a) 2 cm e 2√3 cm.

b) 2√3 cm e 4 cm.

c) 2√3 cm e 4√3 cm.

d) 4 cm e 4√3 cm.

e) 4 cm e 8 cm.

3. (UFRGS/2014) A figura abaixo é formada por oito semicircunferências, cada uma com centro nos pontos médios dos lados de um octógono regular de lado 2.

A área da região sombreada é

a) 4π + 8 + 8√2 .

b) 4π + 8 + 4√2.

c) 4π + 4 + 8√2.

d) 4π + 4 + 4√2.

e) 4π + 2 + 8√2.

04. (UPE/2014) A figura a seguir representa um hexágono regular de lado medindo 2 cm e um círculo cujo centro coincide com o centro do hexágono, e cujo diâmetro tem medida igual à medida do lado do hexágono.

Nessas condições, quanto mede a área da super-fície pintada?

(considere π = 3 e √3= 1,7)

a) 2,0 cm2

b) 3,0 cm2

c) 7,2 cm2

d) 8,0 cm2

e) 10,2 cm2

05. (UNIFRA INV/2011) A figura a seguir é formada por arcos de circunferência. O perímetro e a área desta figura são, respectivamente,

EXERCÍCIOS MÓDULO 14 | GEOMETRIA PLANA

a) π(2x + 3) e 2π(2x2 + 6x)

b) 4π(x+3) e 2π(x2 + 12x + 18)

c) 2π(x+4) e 4π(x2 + 6x + 9)

d) 4πx + 5 e 4πx(x + 2)

e) 4π(x+3) e 2π(x2 + 6x + 9)

06. (UERJ/2015) Uma chapa de aço com a forma de um setor circular possui raio R e perímetro 3R, conforme ilustra a imagem.

A área do setor equivale a:

a) R2

b) R2/4

c) R2/2

d) 3R2/2

07. (UPF INV/2012) A área de cada um dos círculos pequenos é a cm2. A área do círculo grande não ocupada pelos círculos coloridos é dada, em cm2, por:

a) 4a2

b) 6a

c) 30ª

d) 9a2p2

e) 5a

08. (UECE/2014) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diag-onais, então o valor de n é:

a) 9.

b) 11.

c) 13.

d) 15.

09. (UERJ 2014) Considere uma placa retangular ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 40cm. Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa nas direções AE e AC, de modo que DÂE= 45° e BÂE= 30°, conforme ilustrado a seguir:

Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois esquadros.

Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que √3= 1,7, a área, em cm2, do triân-gulo CAE equivale a:

a) 80

b) 100

c) 140

d) 180

10. (UFRGS/2007) Numa esquina cujas ruas se cruzam, formando um ângulo de 1200, está situado um terreno triangular com frentes de 20cm e 45cm

para essas ruas conforme representado na figura abaixo.

A área desse terreno, em m2, é

a) 225.

b) 225 √2.

c) 225 √3.

d) 450 √2.

e) 450 √3.

11. (UFRGS/2005) Na figura abaixo, C é o centro do círculo, A é um ponto do círculo e ABCD é um retângulo com lados medindo3 e 4. Entre as alter-nativas, a que apresenta a melhor aproximação para a área da região sombreada é

a) 7,5

b) 7,6

c) 7,7

d) 7,8

e) 7,9

12. (FFFCMPA/2008) Na figura abaixo, ABC é um triângulo equilátero, e a região assinalada é limitada por arcos de circunferência de raio 1, tangentes dois a dois, com centros em A, B e C. Determine a área dessa região.

a) π−3

b) 243 π−

c) 23 π−

d) 24

3 π−

e) 23 π−

3. (UPF/2013) Um caminhão transporta cinco tubos de PVC iguais, como se mostra na figura. Os tubos têm a forma cilíndrica com 1m de diâmetro. A altura da carga em metros é:

a) 231+

b) 232 +

c) 2

d) 23

e) √3

14. (PUC RS/2016) Uma pracinha com formato circular ocupa uma área de 100π m2. No terreno dessa área, foram colocados 3 canteiros em forma de setor circular, cada um formado por um ângulo central de 30º, como na figura. A área total ocupada pelos canteiros é, em m2,

a) π

b) 3π

c) 25π

d) 50π e) 75π

15. (UFRGS/2012) Os círculos desenhados na figura abaixo são tangentes dois a dois.A razão entre a área de um círculo e a área da região sombreada é

a) 1

b) 2

c) π−4

3

d) π−π

4

e) π−π

42

16. (UFES) Três circunferências de raios iguais a r tangenciam-se externamente duas a duas nos pontos A, B e C.

A área do triângulo curvilíneo” ABC assim formado é:

a) 3

r)26( π−

b) 2r)32( 2π−

c) 5r)38( 2π−

d) 2r)26( −π

e) 3r)36( π−

17. (UFRGS/2006) Observe a figura abaixo. Cada um dos quatro círculos tem raio igual a e é tangente às diagonais do quadrado e a um de seus lados. A área do quadrado é:

a) √2+1

b) 2 √2

c) 4

d) 3 √2-1

e)6

18. (UNIFRA/2011) A área do quadrilátero ABCD, inscrito na circunferência de raio unitário e centrada em O, representado na figura, é igual a

a) √3+1

b) √3/2+1

c) √3+1/2

d) 2(√3+ √2)

e) 2 √3

19. (ESPECEX/2014) As regras que normatizam as construções em um condomínio definem que a área construída não deve ser inferior a 40% da área do lote e nem superior a 60% desta. O proprietário de um lote retangular pretende construir um imóvel de formato trapezoidal, conforme indicado na figura.

Para respeitar as normas acima definidas, assinale o intervalo que contém todos os possíveis valores de x.

a) [6, 10]

b) [8, 14]

c) [10, 18]

d) [16, 24]

e) [12, 24]

20. (UFRGS/2015) O emblema de um super-herói tem a forma pentagonal, como representado na figura abaixo. A área do emblema é

a) 9+5 √3

b) 9+10 √3

c) 9+10 √3

d) 18+5 √3

e) 18+25 √3

21. (CEFET MG/2014) Nesta figura, ABCD é um retângulo e DH é um arco de circunferência cujo centro é o ponto M.

O segmento EH, em unidades de comprimento, mede

a) 2

51 +−

b) 252 +

c) 31

d) 21

e) 25

22. (PUC RS/2015) Em um ginásio de esportes, uma quadra retangular está situada no interior de uma pista de corridas circular, como mostra a figura. A área interior à pista, excedente à da quadra retan-gular, em m2, é

a) 50π – 48

b) 25π – 48

c) 25π – 24

d) π – 24

e) 10π – 30

23. (UFRGS 2007) Um triângulo equilátero foi inscrito em um hexágono regular, como represen-tado na figura abaixo.

Se a área do triângulo equilátero é 2, então a área do hexágono é

a) 2 √2.

b) 3.

c) 2 √3.

d) 2+ √3

e) 4.

24. (UEL PR) Uma faixa decorativa é formada por hexágonos e semi-hexágonos regulares, como mostra a figura abaixo: Se o lado do hexágono mede 10 cm, então a largura da faixa, em centímetros, é:

a) 5√3.

b) 10

c) 20

d) 20√3.

e) 25√3.

25. (UFRGS/2015) As circunferências do desenho abaixo foram construídas de maneira que seus centros estão sobre a reta r e que uma intercepta o centro da outra. Os vértices do quadrilátero ABCD estão na interseção das circunferências com a reta r e nos pontos de interseção das circunferências.

Se o raio de cada circunferência é 2, a área do quadrilátero ABCD é

a) 3√3/2

b) 3√3.

c) 6√3.

d) 8√3.

e) 12√3.

26. (UFRGS/2015) Considere o hexágono regular ABCDEF, no qual foi traçado o segmento FD medindo 6 cm , representado na figura abaixo. A área do hexágono, em cm², é

a) 18√3

b) 20√3

c) 24√3

d) 28√3

e) 30√3

27. (UFRGS/2015) Considere o pentágono regular de lado 2 e duas de suas diagonais, conforme repre-sentado na figura abaixo.

A área do quadrilátero ABCD é

a) sen 72°.

b) sen 108°.

c) 2sen 72°.

d) 4sen 72°.

e) 4sen108°.

Obs: A questão foi anulada pela banca. Embora não apresente inconsistência em seu enunciado, ela contém duas alternativas equivalentes, letra D e letra E, pois os valores de sen 72° e sen108° são equivalentes.

28. (UFRGS/2015) Considere as áreas dos hexágonos regulares A e B inscritos, respectiva-mente, em círculos de raios 1 e 4. A razão entre a área do hexágono A e a área do hexágono B é

a) 1/16

b) 1/8

c) 1/4

d) 1/2

e) 1.

29. (PUC RS/2012) Para uma engrenagem mecânica, deseja-se fazer uma peça de formato hexagonal regular. A distância entre os lados paralelos é de 1 cm, conforme a figura abaixo. O lado desse hexágono mede ______ cm.

a) 1/2

b) √3/3

c) √3

d) √5/5

e) 1

30. (UPF/2015) No quadrado ABCD de lado x, representado na figura a seguir, os pontos R e S são pontos médios dos lados AB e BC, respecti-vamente, e O é o encontro das duas diagonais. A razão entre a área do quadrado pequeno (pintado) e a área do quadrado ABCD é

a) 1/16

b) 1/12

c) 1/10

d) 1/8

e) 1/4

31. (UFRGS/2013) Observe a figura abaixo. No quadrado ABCD de lado 2, os lados AB e BC são diâmetros dos semicírculos. A área da região sombreada é

a) 4

3 π−

b) 24 π−

c) π−3

d) π−4

e) 23 π−

32. (UFRGS/2013) Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 30°. A medida da diagonal menor do losango é

a) 2 √2-√3

b) √2+ √3

c) 4 √2-√3

d) 2 √2+ √3

e) 4 √2+ √3

33. (UFRGS/2016) Na figura abaixo, encontram-se representados o hexágono regular ABCDEF, seis quadrados com um de seus lados coincidindo com um lado do hexágono e um círculo que passa por vértices dos quadrados.

Se o lado do hexágono é 1, então a área do círculo é

a) π+ √3

b) π √3

c) π(2+ √3)

d) 2 π √3

e) π(1+ √3)

34. (UFRGS/2016) Na figura abaixo, três discos P, Q e R, de mesmo raio, são construídos de maneira que P e R são tangentes entre si e o centro de Q é ponto de tangência entre PeR. O quadrilátero sombreado ABCD têm vértices nos centros dos discos P e R e em dois pontos de interseção de Q com PeR

Se o raio do disco P é 5, a área do quadrilátero ABCD é

a) 5 √3

b) 25

c) 50

d) 25 √3

e) 75

35. (UFRGS/2016) Considere o pentágono regular de lado 1 e duas de suas diagonais, conforme repre-sentado na figura abaixo. A área do polígono sombreado é

a) 236sen °

b) 272sen °

c) 372sen °

d) sen36°

e) sen72°

36. (UCS INV/2015) A praça central de uma cidade tem forma de semicírculo. Parte da praça, em forma de triângulo isósceles, será pavimentada, como mostrado na figura abaixo.

Sendo a área da parte a ser pavimentada igual a 2k2, qual é área total da praça?

a) 2 k2

b) π k2

c) 2 π k

d) π k

e) ( π +2) k2

37. (ENEM 2010) João tem uma loja onde fabrica e vende moedas de chocolate com diâmetro de 4 cm e preço de R$ 1,50 a unidade. Pedro vai a essa loja e, após comer várias moedas de chocolate, sugere ao João que ele faça moedas com 8 cm de diâmetro e mesma espessura e cobre R$ 3,00 a unidade.

. Considerando que o preço da moeda depende apenas da quantidade de chocolate, João:

a) aceita a proposta de Pedro, pois, se dobra o diâmetro, o preço também deve dobrar.

b) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 12,00.

c) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 7,50.

d) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 6,00.

e) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 4,50

38. (ENEM 2010/2a) Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilus-trada na figura. Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26m2, consid-erando π = 3,14, a altura h será igual a:

a) 3 m

b) 4 m

c) 5 m

d) 9 m

e) 16 m

39. (ENEM 2010/2a) Uma fábrica de tubos acondi-ciona tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos estão acondicio-nados perfeitamente em um tubo com raio maior. Suponha que você seja o operador da máquina que

produzirá os tubos maiores em que serão colo-cados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilín-dricos internos. Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for igual a 6cm, a máquina por você operada deverá ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base igual a:

a) 12cm

b) 12 √2cm

c) 24√2cm

d) 6(1+√2)cm

e) 12(1+√2)cm

40. (ENEM) Uma empresa produz tampas circu-lares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas. As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que:

a) a entidade I recebe mais material do que a enti-dade II.

b) a entidade I recebe metade de material do que a III

c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.

d) as entidades I e II recebem juntas, menos mate-rial do que a entidade III.

e) as três entidades recebem iguais quantidades de material.

41. (ENEM/2011) Em uma certa cidade, os mora-dores de um bairro carente de espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solici-tação e afirma que irá construí-la em formato retan-gular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça:

Terreno 1: 55 m por 45 m

Terreno 2: 55 m por 55 m

Terreno 3: 60 m por 30 m

Terreno 4: 70 m por 20 m

Terreno 5: 95 m por 85 m

Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os mora-dores deverão escolher o terreno.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

42. (ENEM/2012) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plata-formas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equi-pamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida

R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estátua.

Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida?

a) 2

LR ≥

b) π

≥LR 2

c) π

≥LR

d) 2LR ≥

e) 22

LR ≥

43. (ENEM/2012) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1m, conforme a figura a seguir.

Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem da medida do lado do quadrado. Para confec-cionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2.

De acordo com esses dados, qual é o custo dos mate-riais usados na fabricação de um vitral?

a) R$ 22,50

b) R$ 35,00

c) R$ 40,00

d) R$ 42,50

e) R$ 45,00

44. (ENEM/2013) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada a área máxima S que pode ser coberta pelas N placas.

Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada.

A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a:

a) N/9

b) N/6

c) N/3

d) 3N

e) 9N

45. (ENEM/2010) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano.

Foi possível perceber que, das seis estacas colo-cadas, três eram vértices de um triângulo retân-gulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo,

Conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras. A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.

Nessas condições, a área a ser calçada corresponde

a) à mesma área do triângulo AMC.

b) à mesma área do triângulo BNC.

c) à metade da área formada pelo triângulo ABC.

d) ao dobro da área do triângulo MNC.

e) ao triplo da área do triângulo MNC.

46. (ENEM/2010) O jornal de certa cidade publicou em uma página inteira a seguinte divulgação do seu caderno de classificados

Para que a propaganda seja fidedigna à porcent-agem da área que aparece na divulgação, a medida do lado do retângulo que representa os 4%, deve ser de aproximadamente

a) 1 mm.

b) 10 mm.

c) 17 mm.

d) 160 mm.

e) 167 mm.

47. (ENEM/2009) O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que AB=BC/2 , Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual AE=AB/5 é lado do quadrado.

Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele

a) duplicasse a medida do lado do quadrado.

b) triplicasse a medida do lado do quadrado.

c) triplicasse a área do quadrado.

d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.

e) ampliasse a área do quadrado em 4%.

48. (ENEM/2009) A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabri-cada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1:150.

Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter?

a) 2,9 cm × 3,4 cm.

b) 3,9 cm × 4,4 cm.

c) 20 cm × 25 cm.

d) 21 cm × 26 cm.

e) 192 cm × 242 cm.

49. (ENEM/2009) A figura mostra uma turista apar-entemente beijando a esfinge de Gisé, no Egito. A figura a seguir mostra como, na verdade, foram posi-cionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.

Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-se que a medida do queixo até o alto da cabeça da turista é igual a 2/3 da medida do queixo da esfinge até o alto da sua cabeça.

Considere que essas medidas na realidade são representadad por d e d´, respectivamentge, que a distância da esfinge à lente da câmera fotográ-fica, localizada no plano horizontal do queixo da turista e da esfinge, é representado por b, e que a distância da turista à mesma lente, por a.

A razão entre b e a será dada por

a) cd́

ab=

b) 3c2d

ab=

c) 2c3d´

ab=

d) 3c2d´

ab=

e) c2d´

ab=

50. (UTFPR/2014) A medida de y na figura, em graus

a) 42°.

b) 32°.

c) 142°.

d) 148°.

e) 24°.

51. (CEFET MG/2014) A figura abaixo tem as seguintes características:

- o ângulo é reto;

- o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BD ;

- os segmentos AE , BD e DE, medem, respectiv-amente, 5, 4 e 3.

O segmento AC, em unidades de comprimento, mede

a) 8.

b) 12.

c) 13.

d) √61.

e) 5 √10 .

52. (UPF/2016) Considere a área de uma folha de papel A4 , com 297mm de comprimento e 210mm de largura. A folha de papel A4 foi dobrada como mostra a figura a seguir. Se o comprimento do

segmento AE é 177 mm, a medida do segmento CE e a área do polígono ABCDE são, respectivamente:

a) 30√65 mm e 37170 mm²

b) 30 √65mm e 49779 mm²

c) 3√13 mm e 49770mm²

d) 20√10 mm e 37170mm²

e) 3√10 mm e 35070mm²

53. (UFRGS) Na figura abaixo AV, CD e EF são paralelos. AB e CD medem, respectivamente, 10 cm e 5 cm.

O comprimento de EF é

a) 5/3.

b) 2.

c) 3.

d) 10/3.

e) 4.

54. (UNISC INV/2015) O Principado de Mônaco é um microestado situado no sul da França. Possui, aproximadamente, uma área de 2 km², sendo o segundo menor Estado do mundo, atrás apenas do Vaticano. Se o território do Principado de Mônaco tivesse a forma de um quadrado, então a medida de seus lados estaria entre

a) 440 m e 450 m.

b) 1140 m e 1150 m.

c) 4470 m e 4480 m.

d) 1410 m e 1420m.

e) 14 140 m e 14 150 m.

55. (UFSC/2014) No livro A hora da estrela, de Clarice Lispector, a personagem Macabéa é atro-pelada por um veículo cuja logomarca é uma estrela inscrita em uma circunferência, como mostra a figura. Se os pontos A, B e C dividem a circunferência em arcos de mesmo comprimento e a área do triân-gulo ABC é igual a 27√3cm², determine a medida do raio desta circunferência em centímetros.

56. (ENEM/2015) Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de vidro circulares com cortes já padronizados, cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 cm e 60 cm. O proprietário da mesa deseja adquirir nessa loja o tampo de menor diâmetro que seja suficiente para cobrir a base superior do suporte da mesa.

Considere 1,7 como aproximação para √3 .

O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em centímetros, é igual a

a) 18.

b) 26.

c) 30.

d) 35.

e) 60.

57. (ENEM/2006) Na figura, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão e igual a

a) 1,8 m.

b) 1,9 m.

c) 2,0 m.

d) 2,1 m.

e) 2,2 m.

58. (UNIFRA INV/2013) O navio A deixa o porto navegando em direção ao norte a uma velocidade de 25 km/h. Após meia hora, o navio B deixa o mesmo porto, navegando em direção ao leste a uma velocidade de 20 km/h. Meia hora depois, a distância entre os navios A e B é

a) de 27 km.

b) menor do que 27 km.

c) de 30 km.

d) maior do que 30 km.

e) maior do que 27 km, mas menor do que 30 km.

59. (UNIFRA/2009) Na Praça dos Três Poderes, em Brasília – DF, está o Mastro da Bandeira. Sua construção foi feita em aço e é considerada a maior do gênero, no mundo, para bandeiras nacionais. Tal mastro está localizado em um terreno plano e hori-zontal. Sobre o terreno, tomam-se dois pontos, A e B, distantes 120m um do outro e pertencentes a uma mesma semi-reta de origem na base do mastro. Do ponto A, vê-se o ponto P mais alto da torre, sob um ângulo de 30° com o plano do terreno; do ponto B, vê-se P sob um ângulo de 60° com o plano do terreno. Assim a altura do mastro, em m, é

a) 60

b) 60 √3

c) 120

d) 120√3

e) 90

60. (ENEM/2010) Duas pessoas avistaram um balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.

Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? (adote √3 = 1,7)

a) 1,8 km

b) 1,9 km

c) 3,1 km

d) 3,7 km

e) 5,5 km

61. (UNIOESTE PR) Um observador de 1,60 m de altura, que se encontra no solo, visualiza uma luz na extremidade superior de uma torre a um ângulo de 45°. Sabe-se que o terreno ao redor da torre é totalmente plano. O observador afasta-se mais 98 m da torre e passa a visualizar a mesma luz a um ângulo de 30°. Considere √3 = 1,7. Pode-se, então, concluir que a torre tem uma altura aproximada de:

a) 141,6 metros

b) 170,6 metros

c) 148,4 metros

d) 160 metros

e) 130 metros

62. (MODELO ENEM) De um ponto A um agri-mensor enxerga o topo T de um morro, segundo um ângulo de 450. Ao se aproximar 50 metros do morro ele passa a ver o topo T segundo um ângulo de 600. A altura do morro é aproximadamente:

(adote √3 = 1,7)

a) 206 m

b) 121 m

c) 100 m

d) 152 m

e) 178 m

63. (IFSC 2014 modificada) Durante uma queda de luz, Carla e Sabrina resolveram brincar fazendo desenhos com as sombras das mãos. Para isso, pegaram duas lanternas diferentes, apontando os feixes de luz para a parede BC. Márcio, que estava no andar superior, observou tudo. A figura a seguir mostra a visão que Márcio tinha da situação. Dados: o ângulo entre as duas paredes CD e BC é 90° e DC=BC, sendo D o ponto onde Carla está e A o ponto onde se encontra Sabrina. Também sabemos que BEC vale 75°.

Com base nas informações, analise as proposições abaixo e assinale a CORRETA.

a) O ângulo BDC vale 60°.

b) O ângulo BAC vale 80°.

c) O ângulo BCE vale 60°.

d) O ângulo CED vale 100°.

e) O ângulo ABE vale 80°.

64. A figura mostra o trecho de um rio onde se deseja construir uma ponte AB. De um ponto P, a 100m de B, mediu-se o ângulo APB = 45º e do ponto A, mediu-se o ângulo PAB = 30º. Qual o compri-mento da ponte.

(adote √2 = 1,41)

a) 141m

b) 133m

c) 150m

d) 130m

e) 138m

65. (UNIFRA INV/2015) Uma empresa que trans-porta a produção de soja de uma fazenda, faz o trajeto de A até B (onde fica localizado o silo) passando por C, conforme a figura. Qual será, aproximadamente, a economia por viagem, em km, se o fazendeiro construir uma estrada ligando AB diretamente?

a) 3

b) 6

c) 10

d) 13

e) 17

66. (UFAL/2011) De um ponto A, situado no mesmo nível da base de uma torre, o ângulo de elevação do topo da torre é de 20°. De um ponto B, situado na mesma vertical de A e 5 m acima, o ângulo de elevação do topo da torre é de 18°. Qual a altura da torre? Dados: use as aproximações tg 20° = 0,36 e tg 18° = 0,32.

a) 42 m

b) 43 m

c) 44 m

d) 45 m

e) 46 m

67. (UFG GO) Uma empresa de engenharia deseja construir uma estrada ligando os pontos A e B, que estão situados em lados opostos de uma reserva florestal, como mostra a figura a seguir.

A empresa optou por construir dois trechos retilí-neos, denotados pelos segmentos AC e CB, ambos com o mesmo comprimento. Considerando que a distância de A até B, em linha reta, é igual ao dobro da distância de B a D, o ângulo a, formado pelos dois trechos retilíneos da estrada, mede

a) 110°

b) 120°

c) 130°

d) 140°

e) 150°

68. (UNESP) Dois edifícios, X e Y, estão um em frente ao outro, num terreno plano. Um observador, no pé do edifício X (ponto P), mede um ângulo a em relação ao topo do edifício Y (ponto Q ). Depois disso, no topo do edifício X, num ponto R, de forma que RPTS formem um retângulo e QT seja perpen-dicular a PT, esse observador mede um ângulo a em relação ao ponto Q no edifício Y.

Sabendo que a altura do edifício X é 10 m e que 3 tga = 4 tg a, a altura h do edifício Y, em metros, é:

a) 40/3

b) 50/4

c) 30

d) 40

e) 50

GABARITO: 1B; 2D; 3A; 4C; 5E; 6C; 7C; 8A; 9C; 10C; 11D; 12C; 13A; 14C; 15D;16B; 17C; 18C; 19E; 20C; 21A;22B; 23E; 24E; 25C; 26A; 27E; 28A;29B; 30D;31E;32C; 33C; 34D; 35A; 36B; 37B; 38B; 39D; 40E; 41C; 42A; 43B; 44A; 45E; 46E; 47C; 48D; 49D; 50B; 51E; 52A; 53D; 54D; 55-6; 56A; 57D; 58B; 59B; 60C; 61E; 62B; 63C; 64A; 65A; 66D; 67B; 68D