MATEMÁTICA III – POLÍGONOS

NÍVEL 1

01. (EAM) A partir de um dos vértices de um polígono convexo pode-se traçar tantas diagonais quantas são o total de diagonais de um pentágono. É correto afirmar que esse polígono é um: a) Hexágono. b) Heptágono c) Octógono. d) Decágono. e) Dodecágono.

02. (CFN) Determine a medida do ângulo formado por dois lados consecutivos de um hexágono regular. a) 90º b) 120º c) 150º d) 155º e) 168º

03. (EEAR) A metade da medida do ângulo interno de um octógono regular, em graus, é a) 67,5 b) 78,6 c) 120 d) 85

04. (CFN) Qual o polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é 900°? a) Hexágono b) Heptágono c) Octógono d) Pentadecágono e) Icoságono

05. (EEAR) O polígono regular cujo ângulo externo mede 24° tem _____ lados. a) 20 b) 15 c) 10 d) 5

06. (EEAR) Ao somar o número de diagonais e o número de lados de um dodecágono obtém-se a) 66 b) 56 c) 44 d) 42

07. (EEAR) Se A é o número de diagonais de um icoságono e B o número de diagonais de um decágono, então A – B é igual a a) 85 b) 135 c) 165 d) 175

08. (CMRJ) A diferença entre as medidas do ângulo interno e do ângulo externo de um polígono regular vale 144°. O número de lados deste polígono é igual a: a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26

09. (CMRJ) A diferença entre o número de lados de dois polígonos é sete, e a soma de todos os ângulos internos dos dois polígonos é 4140°. O que tem menos vértices é um a) heptágono b) icoságono c) decágono d) eneágono e) octógono

10. (UEM) Seja . Se o número de diagonais de um polígono convexo é vezes o seu número de lados, então é correto afirmar que o número de lados do polígono é: a) b) c) d) e)

*kΕ k

3 2k +2 3k -k3 2k -2 3k +

NÍVEL 2

01. (CMF) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130º cada um, e os demais ângulos internos medem 128º cada um. O número de lados do polígono é igual a: a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17

02. A figura abaixo mostra um pentágono e um hexágono regulares com um lado comum.

O ângulo que aparece na figura mede: a) 56° b) 58° c) 60° d) 62° e) 64°

03. (ITA) O número de diagonais de um polígono regular de 2n lados, que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a este polígono, é dado por: a) 2𝑛(𝑛 − 2) b) 2𝑛(𝑛 − 1) c) 2𝑛(𝑛 − 3) d) !(!#$)

&

e) !(!#$)&

04. (ITA) A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 2160°. Então o número de diagonais deste polígono, que não passam pelo centro da circunferência que o circunscreve, é: a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90

05. Em um polígono convexo, um dos ângulos internos mede 150o e cada um dos outros é maior que 166o. O menor número de lados que esse polígono pode ter é: a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26

ˆXAY

06. ABCDE é um pentágono regular e ABF é um triângulo equilátero interior. O ângulo FCD mede: a) 38° b) 40° c) 42° d) 44° e) 46°

07. Os pontos A, B, C e D, nesta ordem sobre uma circunferência são tais que AB é o lado do hexágono regular inscrito, BC é o lado do decágono regular convexo e CD é o lado do pentágono regular estrelado, inscritos nessa circunferência. O segmento AD é o lado de um polígono regular inscrito. Este polígono é o: a) triângulo equilátero b) pentágono convexo c) octógono estrelado d) quadrado e) dodecágono estrelado

08. (CMRJ) A figura abaixo mostra um quadrado emoldurado por octógonos regulares convexos, isto é, cada lado do quadrado é lado de um octógono e cada par de octógonos adjacentes tem um lado comum. Se, de modo análogo, considerarmos um triângulo equilátero emoldurado por polígonos regulares de mesmo gênero, determine o número de diagonais do polígono usados nesta moldura.

a) 54 b) 35 c) 27 d) 14 e) 9

09. (CN) A diferença entre o número de diagonais de dois polígonos convexos é 29, e a diferença entre as somas dos ângulos internos destes polígonos é de . A soma dos números de lados dos dois polígonos é: a) 22 b) 28 c) 32 d) 36 e) 35

10. (CN) Um polígono ABCD... de gênero desconhecido é regular. As bissetrizes internas dos ângulos dos vértices A e C formam um ângulo de 72°. O número de lados desse polígono é: a) 7. b) 10. c) 12. d) 15. e) 20.

360º

NÍVEL 3

01. (ITA) Considere as afirmações sobre polígonos convexos: I) Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide com o número de lados. II) Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados. III) Se a razão entre o número de diagonais e o de lados de um polígono é um número natural, então o número de lados do polígono é ímpar. a) Todas as afirmações são verdadeiras. b) Apenas (I) e (III) são verdadeiras. c) Apenas (I) é verdadeira. d) Apenas (III) é verdadeira. e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.

02. (ITA) De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a: a) 63 b) 65 c) 66 d) 70 e) 77

03. (ITA) Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a soma de n − 1 ângulos (internos) do polígono é 2004°, determine o número n de lados do polígono. a) 10. b) 11. c) 12. d) 13. e) 14.

04. Em um polígono convexo ABCDEF..., se traça a diagonal 𝐴𝐸****, determinando-se dois polígonos. Se a diferença do número de diagonais é 15, calcule a soma das medidas dos ângulos internos do polígono ABCDEF... a) 1980° b) 1620° c) 2160° d) 1800° e) 1260°

05. Calcule o número de diagonais de um polígono equiângulo ABCDEF..., se as retas perpendiculares 𝐵𝐴**** e 𝐷𝐸**** formam um ângulo que mede 36°. a) 464 b) 405 c) 377 d) 434 e) 495

06. Os ângulos de um polígono convexo de gênero são . A quantidade de possíveis valores de é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

07. Em um pentágono , , e . A medida do ângulo é: a) 120° b) 108° c) 102° d) 96° e) 94°

08. ABCDEF é um hexágono equiângulo em que AB = 5, BC = 7, CD = 9 e DE = 10. Qual o valor da soma de EF com FA? a) 14. b) 16. c) 18. d) 20. e) 22.

09. Seja o hexágono equiângulo ABCDEF, onde e Pode-se afirmar que é igual a:

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

10. (OBM) Na figura abaixo temos um pentágono regular, um quadrado e um triângulo equilátero, todos com a mesma medida de lado.

Determine a medida do ângulo 𝑄𝐶/𝐸.

n , 2 , 3 , , na a a a!

n

ABCDE AB BC CD DE= = = ˆ 96B = ! ˆ ˆ 108C D= = ! E

3,AB = 4,BC = 5CD = 1.EF =DE AF+

GABARITO

NÍVEL 1

1 – C 2 – B 3 – A 4 – B 5 – B 6 – A 7 – B 8 – B 9 – C 10 – E

NÍVEL 2 1 – B 2 – C 3 – A 4 – C 5 – D 6 – C 7 – A 8 – A 9 – C 10 – B

NÍVEL 3 1 – B 2 – B 3 – E 4 – B 5 – B 6 – C 7 – C 8 – B 9 – D 10 – 174°

GABARITO COMENTADO NÍVEL 3

06. Como se trata de um polígono, temos .

Como o polígono é convexo, temos .

Note que são ambas as soluções válidas.

REFERÊNCIA: EstonianMathCompetition 2002

RESPOSTA: C

07.

Seja P a interseção de BD e CE, então .

Logo, e .

é equilátero e

REFERÊNCIA: Hong Kong Preliminary Selection Contest 2009

RESPOSTA: C

3n ³

( ) ( ) ( )( )

( )360 2

2 3 180 2 180 22 1

n n nn n n

n na aa a a a a× + -

+ + + + = - Û = - Û =+

!

! !"

( )360 2180 5

1n

n nn

a -= < Û <

+

!

!

3 30n a= Þ = !

4 36n a= Þ = !

180 108ˆˆ ˆ ˆ 362

PBC PED PCD PDC-

= = = = =! !

!

ˆ ˆ 72BCP BPC BP BC AB= = Þ = =! ˆ 96 36 60ABP = - =! ! !

ABPÞD AP PE=

180 48ˆ ˆ108 60 48 662

APE e AEP-

Þ = - = = =! !

! ! ! !

ˆ ˆ 66 36 102E AEDÞ = = + =! ! !

09. Como o hexágono equiângulo possui todos os ângulos internos iguais a , prolongando os lados, conforme a figura acima, obtemos os triângulos equiláteros BCX e EFY e o paralelogramo AXDY. Para encontrar DE e AF basta usar a igualdade dos lados opostos.

RESPOSTA: D

10. Marcando todos os ângulos e os lados de mesmo tamanho.

Teremos 27° + 90° + 57° = 174° RESPOSTA: 174°

120!

6 8 14DE AFÞ + = + =