1

028

4 cm

x

028

5 cm

x

028

x

10 cm

COLÉGIO MILITAR DO RIO DE JANEIRO

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE MATEMÁTICA

1º ANO DO ENSINO MÉDIO Equipe: Cap Boente ; Prof. Thiago; Profª Márcia Spíndola e Prof. Almir

2012

01) Sabendo que 53,02888,028cos,46,028 000 === tgesen , calcule o valor de x em cada figura:

a) b) c)

02) Um teleférico deve unir os topos A e B de dois morros. Para calcular a quantidade de cabos de aço necessária para unir A e B, um engenheiro mediu as alturas dos morros em relação a um mesmo plano horizontal, obtendo 108 m e 144 m. A seguir, mediu o ângulo que a reta AB forma com a horizontal, obtendo 320. a) Desenhe na figura abaixo um esquema que represente essa situação. b) Calcule a distância entre os pontos A e B, sabendo que

62,03284,032cos,52,032 000 === tgesen

03) Sabendo que 57,055cos81,055 00 == esen , determine o valor de x a figura.

2

04) Sabendo que 95,0730 =sen , calcule o valor da expressão 00 17.73.2 sentgE = .

05) Sabendo que α é a medida de um ângulo agudo e que 13

5cos =α , calcule αtg .

06) Um prédio, localizado em um terreno plano e horizontal, foi atingido por um míssil a uma altura de 20 m de relação ao solo. O projétil foi lançado de um ponto desse terreno e percorreu uma trajetória reta, formando um ângulo de medida α com o solo.

a) Desenhe na figura abaixo um esquema que represente essa situação.

b) Sabendo que 3

4=αtg , calcule a distância d percorrida pelo míssil.

07) Determine o valor de x na figura abaixo:

08) Entre um topógrafo e um morro há um rio. Para medir a altura desse morro, o topógrafo instala um teodolito em um ponto A e vê o topo do morro sob um ângulo de 600 com o terreno plano e horizontal. A seguir afasta-se 180 m até um ponto B, de onde vê o topo do morro sob um ângulo de 300 com o terreno, de modo que os pontos A e B e o centro da base do morro estejam alinhados.

a) Desenhe na figura abaixo um esquema que represente essa situação.

b) Calcule a altura do morro (despreze a estatura do topógrafo).

3

09) Uma escada deve ser construída para unir dois pisos de um prédio. A altura do piso mais elevado em relação ao piso inferior é 8 m. Para isso, foi construída uma rampa plana unindo os dois pisos.Sabendo que o ângulo formado pela rampa com um plano horizontal é 330, calcule o comprimento da rampa.

(Dados: )64,03383,033cos,54,033 000 === tgesen

10) Sabendo que 43 == βα tgetg , calcule o valor de x na figura:

11) Um mastro AB foi colocado verticalmente em um terreno pano e horizontal. O topo B do mastro foi ligado a dois pontos C e D desse terreno por meio de cabos de aço, de modo que

mCDABCADACA 20,, ==⊥ e 028)( =ADBm , conforme a figura.

Calcule o comprimento desse mastro, dados 53,02888,028cos,46,028 000 === tgesen .

12) Um poste localiza-se numa rampa plana que forma um ângulo de 280 com o plano horizontal ( conforme figura). Num instante em que os raios solares são perpendiculares à rampa, o poste projeta sobre essa rampa uma sombra de 2,3 m de comprimento. Calcule a altura do poste. ( Dados: 53,02888,028cos,46,028 000 === tgesen )

13) (FEI-SP) Um observador, do alto de uma torre vertical, de altura h, enxerga a linha do horizonte.

Sabendo que um raio visual forma com a vertical da torre um ângulo de medida Θ , determine, em função de h e Θ , a medida do raio da Terra.

4

14) Calcule a medida x do segmento AD da figura abaixo, sabendo que 13

12cos

13

5 == αα esen .

15) Na figura abaixo, 7

4)90( 0 =−αsen . Determine o valor de x.

16) (Na figura a seguir, cmDAecmBDCD 35 === . Calcule: a) α2cos

b) )90( 0 α−tg

17) Sabendo que α é a medida de um ângulo agudo e que 17

15cos =α , calcule αsen .

18) Determine o valor de αtg , sabendo que α é a medida de um ângulo agudo e 2

1=αsen .

5

19) A medida de um ângulo agudo é α . Obtenha os valores de αα cosesen de modo que 3

4=αtg .

20) A medida α de um ângulo é tal que ααα cos.3900 00 =<< sene . Calcule os valores de αα cosesen . 21) Para medir a largura de um rio, de margens paralelas, um topógrafo marcou dois pontos A e B

numa mesma margem, distantes 52 m um do outro. Na outra margem, o topógrafo tomou um ponto C tal que os ângulos CAB e ACB têm medidas iguais e o ângulo ABC tem medida α , com

5

12=αtg . Qual é a largura do rio?

22) (FUVEST-SP) Dois pontos A e B estão situados na mesma margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio,está situado de tal modo que o ângulo CAB mede 750 e o ângulo ACB mede 750. Determine a largura do rio.

23) Determine a medida da projeção ortogonal do segmento AB sobre a reta r.

24) A figura mostra duas circunferências de raio 12 cm e 4 cm, tangentes entre si e tangentes a uma reta r. Determine a medida α do ângulo OAB.

25) (Fatec-SP) Um círculo de raio está inscrito no setor circular de raio R = 18 cm e ângulo central de 600 ( conforme a figura). Nessas condições tem-se que:

a) r = 3 cm b) r = 9 cm c) r = 9,5 cm

d) r = cm34

e) r = 6 cm

26) Calcule a medida x do segmento DE na figura:

6

27) Um observador, no ponto O da figura abaixo, vê o prédio ob um ângulo de1050. Se esse

observador está situado a uma distância de 18 m do prédio e a altura de 18 m em relação ao terreno horizontal, então a altura do prédio é:

me

md

mc

mb

ma

)283()

58)

)32()

)9310()

)13(18)

+

+

+

+

28) (FAAP-SP) A seguir está representado um esquema de uma sala de cinema com piso horizontal. De quanto deve ser a medida de AT para que um espectador sentado a 15 metros da tela, com os olhos 1,2 metros acima do piso, veja o ponto mais alto da tela, que é T, a 300 da horizontal?

29) No triângulo, 00 45)(30)(,25 === BmedeAmedcma . Calcule b.

30) Calcule os elementos desconhecidos de cada triângulo:

31) Em um triângulo ABC, temos 030)(1,3 === BmedeACBC . Determine a medida do ângulo A.

32) Determine o valor de x na figura:

7

33) Dadas duas forças e suas respectivas intensidades, bem como o ângulo que elas formam,

determine a intensidade da força resultante R em cada caso: a) b)

34) Dados os intervalos ] ] [ ]13,510,3 =−= BeA , determine: a) BA ∪ b) BA ∩

35) Sendo [ [ ] ]5,,2 ∞−=∞+= BeA , determine: BAeBA ∩∪ . 36) Resolva, em R , os sistemas de inequações:

x53

1xx41

2

x3)d

9x58x43x2)c

6

13

2

x3

3

x2x3

1x2x2

x5

)b

3x6x5

2x29x3)a

≤+−≤−

+<+≤−

−>+

−≥−

+≤+<−

37) Para que valores reais de x o ponto )2,85( +− xxP pertence ao 20 quadrante ? 38) Determine os valores reais de x para que o ponto )42,63( −+ xxP pertença ao 40 quadrante ?

39) Para que valores reais de x o ponto )5,9( 2 −xP pertence ao eixo das ordenadas ?

40) Determine os valores reais de x para que o ponto ( )45,3 2 +− xxP pertença ao eixo das abscissas ?

41) Determine os números reais a e b de modo que: )11,10(),23( =+− baba . 42) Sendo a e b números reais tais que )72,42()12,15( +−+=+− babaa , a que

quadrante pertence o ponto ),( baP ?

43) Dados os conjuntos { } { } { }2,2, 1,1,0 , 6,3,2,5 , 30, 1,2,1A B C= − − = = − e as funções

: :f A B e g B C→ → tais que 2( ) 2 ( ) 3f x x e g x x= + = − , determine:

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )( 2) (1) ( 1) ( )a gof b gof c gof d gof x− −

44) Dadas as funções reais de variável real 33( ) 1 ( ) 8f x x e g x x= − = + , determine:

[ ]( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )(1) (1) ( ) ( )a gof b fog c gof x d gof x

45) Seja f uma função real de variável real tal que (6 2) 12 1f x x+ = − . Determine:

[ ] [ ](20) ( )a f b f x

46) Sejam ,f g e h três funções reais de variável real tais que ( ) 5 3 , ( ) 6f x x g x x= − = + e 2( ) 2h x x= + . Determine:

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )( 2) ( ) (1)a hog of b hog of x c fof of

47) Seja a função ( ) 3f x x a= + . Sabendo que ( ) ( ) 2 10fof a a= + , determine o valor de a.

R 14 kgf

16 kgf

60o

8 kgf

R

7 kgf 120o

8

48) Dados os conjuntos { } { } { }2, 2,0 , 3, 5 ,2 81,25,16,11A B e C= − = = e as funções

: :f A B e g B C→ → tais que 2 4( ) 5 ( )f x x e g x x= + = , construa o diagrama de flechas e determine:

[ ]( ) [ ]( )( ) [ ] ( ) [ ] ( )( 2) 2 (0) ( )a gof b gof c gof d gof x−

49) Dados os conjuntos { } { }30,1,2,4 , 3,2, ,1,8 , 13,9,7,5,33

2A B C

= = =

e as funções

: :f A B e g B C→ → tais que 6

( ) ( ) 4 12

f x e g x xx

= = ++

, construa o diagrama de flechas e

determine: [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )(0) (2) (4) ( )a gof b gof c gof d gof x

50) Faça o gráfico da função real 3 2y x= − + .

51) Determine a equação da reta que intercepta o eixo y em 1− e que passa pelo ponto ( )2,3− .

52) Num mesmo sistema de eixos, faça os gráficos das funções 2 2 1y x e g x= + = + . Quais são as coordenadas do ponto de intersecção das duas retas?

53) Determine m de modo que a reta 3 (3 2)y x m= − − + intercepte o eixo dos y em 2

3.

54) Dada a função real ( ) 3 2f x x= − − , determine o valor de 2

(0) , ( 2) ,3

f f f − −

.

55) Dada a função real 1

( ) 32

f x x= + , determine x tal que:

[ ] [ ] [ ]( ) 1 ( ) 0 ( ) 4a f x b f x c f x= − = =

56) Determine a equação da reta que intercepta o eixo dos y em 2y = e passa pelo ponto ( )3, 1− .

57) Determine a equação da reta que intercepta o eixo dos x em 3x = − e passa pelo ponto ( )1, 2− .

58) Determine m na equação 2 3( 1)y x m= − − de modo que a reta intercepta o eixo dos y em 2

5y = − .

59) Determine as coordenadas do ponto de intersecção das retas em cada item:

[ ][ ]

2 4 1

2 4 12

a y x e y x

b y x e y x

= + = − +

= − = +

60) Faça o estudo do sinal da função dada por 2 2y x= − +

61) Resolver a inequação: ( ) ( )2 1 4 0x x+ − < .

62) Determine x real, de modo que se tenha 2 1

21

x

x

+ ≥ −−

.

63) Determine o domínio da função ( )( )

2( )

2 3 2 5

xf x

x x

−=− −

.

64) Resolva as inequações:

[ ]( ) ( ) [ ] ( )( )

[ ] [ ] ( )( )3 1 5 6 0 1 2 0

2 1 2 31 20 0

3 1

a x x b x x x

x xxc d

x x

+ + ≤ − − >

− −− ≤ ≥− +

65) Sabendo que o gráfico de uma função do 1º grau passa pelos pontos ( ) ( )2, 3 4,2e− − , determine o

coeficiente angular dessa reta. 66) Determine a função do 1º grau cujo gráfico passa pelos pontos ( ) ( )2,0 1, 2e− − − .

9

1−

3

y

x

( 1,4)−

y

x

(1, 2)

67) Determine a função do 1º grau cujo gráfico é:

[a] [b]

68) Determine a abscissa dos pontos de intersecção do gráfico com o eixo dos x, das funções:

[ ] [ ]

[ ] ( ) [ ]

2 2

2 2

4( ) 9 ( ) 6 7 2

3

3 16 3 4 2

a f x x b f x x x

c y x d x x

= − = + +

= − − − +

69) Faça um esboço gráfico das funções:

[ ] [ ][ ] [ ]

2 2

2 2

9 3 2 2 1

3 4 2 3 4 2 2

a y x x b y x x

c y x x d y x x

= − − = − + −

= − + = − +

70) Determine o conjunto imagem da função 2( ) 6f x x x= + − .

71) Determine o conjunto imagem da função ( ) ( )2( ) 2 2 2f x x x x= − + − − .

72) Determine m na função 22 4y x x m= − + , de modo que seu valor mínimo seja 2.

73) Determine as coordenadas do vértice da parábola 23 5y x x= − + .

74) Determine as coordenadas do vértice da parábola 1 1

2 2y x x x

= − + −

..

75) Determine o vértice, o conjunto imagem e faça um esboço do gráfico da parábola 23 2 1y x x= − + − .

76) Determine m de modo que a função ( ) ( )2( ) 3 3 1f x m x m x= − + − tenha valor máximo para

1x = − . 77) Estude o sinal da função:

[ ] [ ][ ] [ ]

2 2

2 2

4 4 3

3 2 1 2 1

a y x b y x x

c y x x d y x x

= + = − +

= − + + = − + −

78) Determine m de modo que se tenha 2 2(2 4) 0x m x m− + − − < . 79) Determine os valores reais de x que verificam a desigualdade:

[ ] ( ) ( ) [ ] ( )( )[ ] ( )( ) [ ] ( )( )( )[ ] [ ]

[ ]

2 2 2

2 2 2

2

2 2

2

2

2 7 3 3 5 0 3 2 8 16 27 0

3 2 6 2 0 4 2 5 1 0

9 4 3 20 0

2 5 3 2

2 10

10 25

a x x x b x x x

c x x x x d x x x x

x xe f

x x x x

x xg

x x

− + − − ≤ − + − + >

− − + − ≥ − − + <

− + +< ≤− + − − + +

− − ≥− +

80) Determine a função inversa das seguintes funções:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 3 2 35 5 3 ( 4)

4 4 3 4 4

x x xa y x b y x c y d y x e y x

x x

+ − = + = − = = ≠ − = ≠ + −

10

{ } { } { } { } { }1,25,0,169,1,4,8,0,8,6,4,1,5,3,25,0,16,5,5,0,4,4 =−=−−=−−= EeDCBA

81) Dada 2 1

( ) ( 0)3

xf x x

x

−= ≠ , determine:

[ ] [ ] [ ]1 1 1(1) (2) ( 1)a f b f c f x− − − +

82) Classifique cada uma das funções como sobrejetora, injetora ou bijetora:

83) Dados os conjuntos

Classifique cada uma das funções como sobrejetora, injetora ou bijetora: a) 2)(: xxfquetalBAf =→ b) 1)(: +=→ xxfquetalCAg

c) 4)(: +=→ xxfquetalDAh c) 2)(: xxtquetalEAt =→

84) O gráfico da função ] ]2,: ∞−→Rf é a parábola: Classifique f como sobrejetora, injetora ou bijetora.

85) Analise o gráfico da função [ ] [ ]4,25,1: −→−f : Classifique f como sobrejetora, injetora ou bijetora.

11

86) Tem-se a função RRf →: cujo gráfico é seguinte reta: Essa função é sobrejetora, injetora ou bijetora?

87) Construa o gráfico da função [ [ [ [∞+−→∞+ ,4,3:f tal que 56)( 2 +−= xxxf e depois classifique-a como sobrejetora, injetora ou bijetora.

88) Através do gráfico da função ] ]1,: ∞−→Rf tal que xxxf 2)( 2 +−= , classifique-a como sobrejetora, injetora ou bijetora.

89) Classifique a função [ ] [ ]12,28,3: →f tal que 42)( −= xxf como sobrejetora, injetora ou bijetora.

90) Construa o gráfico da função [ ] [ ]5,16,4: →f tal que 3)( −= xxf e depois classifique-a como sobrejetora, injetora ou bijetora.

12

108144−032

A

B

α

d 20 m

030

030

D

h

CAB 180 m

180 m

GABARITO DA PRIMEIRA NOTA DE AULA 01) a) x = 3,52 cm b) x = 2,3 cm c) x = 5,3 cm 02) a) b) 69,23 m aproximadamente 03) cmx 34,38≅ 04) E = 1,9

05) 5

12=αtg

06) a) b ) d = 25 m

07) cmx 310=

08) a) b) m380

09) 14,8 m aproximadamente

10) mx3

8=

11) 9,2 m 12) 5 m

13) θθ

sen

senhR

−=

1

14) x = 24 cm 15) x = 16 cm

16) a) 5

3 b) 2

17) 17

8=αsen

18) 3

3=αtg

19) 5

3cos

5

4 == αα esen

20) 10

10cos

10

103== αα esen

21) 48 m 22) 20 m 23) 3 cm 24) 0150=α 25) E 26) x = 25 m 27) A

28) m)352,1( +

29) cmb 10=

a) 10

300

===

yx

α

30) b)

8

34

903

602

30

0

0

0

==

=

==

y

x

αα

α

31) 060=A

32) 13=x

33) A) R = 26 kgf b) R = kgf57

34) ] ] [ ]10,5)13,3) ba −

35) ] [ [ [5,2),) bRa =∞+∞−

36)

[ [ ] ]] [

∞+−=∞+−=

−=−=

,4

1),1)

2,1)11,3)

SdSc

SbSa

37) 5

82 <<− x

38) 22 <<− x 39) 33 −== xoux 40) X = 1 ou x = 4

41) 5

23

5

32 == bea

42) 12

25

6

11 == bea , logo, P(a, b) é ponto do

primeiro quadrante 43) A) 3 b) 0 c) 0 d) 12 −x

44) A) 8 b) 2 c) x + 7 d) 3 3 7+x

45) A) 35 b) 52 −x

46) A) 171 b) 113025 2 ++ xx c) 32

47) 17

10=a

48) A) 81 b) 81 c) 25 d) 22 )5( +x

49) A) 13 b) 7 c) 5 d) 12

24 ++x

13

3

2

2

x

y

0

03

2

4)2(

2)0(

=

−

=−−=

f

f

f

2)

6)

4)

=−=−=

xc

xb

xa

10

10

10

=→=>→<<→>

xy

xy

xy

] [ ] [] [

∞+∪

−=

∞+∪

∞−=

∪∞−=

−−=

,2

3

2

1,1)

,32

1,)

2,10,)

3

1,

5

6)

Sd

Sc

Sb

Sa

50) 51) 12 −−= xy 52) ( 1 , 3 )

53) 9

8−=m

54) 55) 56) 2+−= xy

57) 2

3

2

1 −−= xy

58) 15

7=m

59) )4,2())2,1() −− ba 60)

61) ] [∞+∪

−∞−= ,42

1,S

62) ] [∞+∪

∞−= ,14

1,S

63)

=2

3,

5

2)( fD

64) 65) 5−=a 66) 42 −−= xy

67) 3)33) +−=+= xybxya

68)

existenaodxouxc

xouxbxa

)71)2

1

3

2)

2

33)

−==

−=−=±=

69) NO FINAL

70)

∞+−= ,4

25)Im( f

71) ] ]10,)Im( ∞−f 72) m = 0

73)

−−12

75,

6

5

74)

−8

3,

2

1

75)

∞−=

3

4,)Im(

3

4,

3

1feV

3

1− 3

1

3

4

x 1

y

76) 5−=m

77)

10

}1{0

0)

13

10

13

10

13

10)

310

310

310)

0

0

0)

=→=−→<

→>

=−=→=

>−<→<

<<−→>

==→=<<→<

><→>→=→<→>

xy

Ry

temnaoyd

xouxy

xouxy

xyc

xouxy

xy

xouxyb

temnaoy

temnaoy

Rya

78) 2

1>m

14

[ [

] [

] [

[ [5,12

1,)

,23

2,1)

2

3,1

3

2,

3

2)

,2

50,4)

2

1,0

3

2,

2

3)

4

33,

4

33)

,33

5,

2

1)

∪

−∞−=

∞+∪

−−=

∪

−=

∞+∪−=

∪

−−=

−=

∞+∪

=

Sg

Sf

Se

Sd

Sc

Sb

Sa

1

4)

34

32)

24)

5

3)

5)

1

1

1

1

1

−=

−+−=

−=

+=

−=

−

−

−

−

−

x

xye

x

xyd

xyc

xyb

xya

13

1)()

8

1)2()

5

1)1()

1

1

1

+−=

=

=

−

−

−

xxfc

fb

fa

79) 69 a)

6

1

69 b) 80) 69 c) 81) 82) a) sobrejetora 69 d) b) injetora c) bijetora d) não possui classificação

83) a) sobrejetora b) injetora c) bijetora d) não possui classificação

84) sobrejetora 85) injetora 86) Bijetora

3

1− x

4

9−

3

2

2−

y

1−

y 1

0 x

y

3

2

3

2

x

2

3

2

3

2−

2

y

2

x

3

22

15

87) f é bijetora 88) f é sobrejetora 88)

89) f é bijetora 90) f é injetora