Matriz, Sistema Linear e Determinante

1.0 Sistema de Equações Lineares

Equação linear de n variáveis x1, x2, ..., xn é uma equação que pode ser expressa na forma a1x1

+ a2x2 + ... + anxn = b, onde a1, a2, ..., an são constantes não todas nulas e b mais uma constante.

Se b = 0, a equação é denominada equação linear homogênea.

Uma coleção finita de equações lineares é denominada um sistema de equações lineares, ou

sistema linear. Suas variáveis são chamadas de incógnitas.

Solução de um sistema linear nas incógnitas x1, x2, ..., xn é uma sequência de n números s1, s2,

..., sn, tais que, se substituídas nos lugares das incógnitas, respectivamente, tornam verdadeira

cada equação do sistema.

O conjunto de soluções de um sistema linear é denominado conjunto-solução.

Um sistema linear é consistente se houver pelo menos 1 solução e inconsistente se não existir

solução.

Teorema 1:

Cada sistema de equações lineares tem nenhuma, uma ou uma infinidade de soluções, não

havendo outras possibilidades.

Operações elementares sobre as linhas:

Multiplicar toda uma linha por uma constante não-nula.

Trocar 2 linhas de posição.

Somar um múltiplo de uma linha a outra linha.

2.0 Resolução de Sistemas Lineares usando

Redução por Linhas

Forma escalonada reduzida entre linhas (FERL):

Se a linha não é totalmente constituída de zeros, então o primeiro número não-nulo na linha é 1, que denominamos de pivô.

Se existem linhas totalmente constituídas por zeros, então elas estão agrupadas na base da matriz.

Em 2 linhas quaisquer que não são totalmente agrupadas por zeros, o pivô da linha inferior ocorre mais a direita do que o pivô da linha superior.

Se R é a FERL de uma matriz A de tamanho nxn, então R tem uma linha de zeros ou R é

a matriz identidade In.

Eliminação de Gauss-Jordan:

Etapa para frente: introduzem-se os zeros abaixo dos pivôs.

Etapa para trás: introduzem-se os zeros acima dos pivôs. Se somente usarmos a primeira etapa, o procedimento é chamado eliminação gaussiniana / de

Gauss.

Pivotamento parcial:

Nas eliminações de Gauss-Jordan e de Gauss é procedimento padrão efetuar uma troca de

linhas a cada passo para colocar a entrada de maior valor absoluto na posição de pivô antes de

introduzir o pivô.

Retrossubstituição:

Cada equação correspondente à forma escalonada por linhas é, sistematicamente, substituída

na equação acima dela, começando da base e avançando para cima.

Solução trivial:

Um sistema homogêneo é um conjunto de equações homogêneas em que se observa que x1 =

x2 = ... = xn = 0, sendo esta uma solução trivial. Qualquer outra solução é denominada solução

não-trivial.

Teorema 2:

Um sistema linear homogêneo possui somente a solução trivial ou tem uma infinidade de

soluções, não havendo outras possibilidades.

Teorema 3:

Um sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações possui uma infinidade de

soluções.

3.0 Operações com Matrizes

Duas matrizes são definidas como iguais se têm o mesmo tamanho e suas entradas são

correspondentes.

Se A é uma matriz quadrada e se existe uma matriz B de mesmo tamanho que A tal que AB =

BA = I, dizemos que A é invertível / não-singular e que B é uma inversa.

A e B são inversas uma da outra, pois AB = BA.

Teorema 4:

Se A é uma matriz invertível e B e C são ambas inversas de A então B = C, ou seja, uma matriz

invertível tem uma única inversa.

Teorema 5:

Se A é invertível e n é um número inteiro não-negativo, então:

Matrizes elementares:

Uma matriz que resulta de uma única operação elementar sobre linhas de uma matriz

identidade.

São sempre quadradas.

Teorema 6:

Uma matriz elementar é invertível e a inversa também é uma matriz elementar.

Teorema 7:

Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações são equivalentes:

A FERL de A é In.

A pode ser expresso como um produto de matrizes elementares.

A é invertível.

Algoritmo de Inversão:

Para encontrar a inversa de uma matriz invertível A, encontre a sequência de operações

elementares que reduz A a I e então efetue a mesma sequência de operações em I para obter

A-1.

Maneira de Executar as tarefas simultaneamente:

Se I não aparecer, A não é invertível.

Se obtivermos uma linha de zeros do lado esquerdo, A não é invertível.

Teorema 8:

Se Ax = B é um sistema linear de n equações a n incógnitas e se a matriz de coeficientes A é

invertível, então o sistema tem uma única solução, a saber, x = A-1B.

4.0 Determinantes

Produto elementar de uma matriz A de tamanho mxn é o produto de n entradas de A tais que

não há 2 delas da mesma linha ou da mesma coluna. Assim, se A = [aij], então cada produto

elementar pode ser expresso na forma a1j1a2j2...anjn onde os índices de coluna constituem uma

permutação {j1, j2, ..., jn} dos inteiros 1 à n, e os índices de linha estão ordenados naturalmente.

A permutação é par ou ímpar se o número mínimo de trocas que são necessárias para colocar

a permutação em ordem natural é par ou ímpar. Se a permutação for par, o sinal dela é

positivo, se ímpar, negativo.

O determinante de uma matriz quadrada A é denotado por det(A) e definido como a soma de

todos os produtos elementares com sinal de A:

O número de produtos elementares com sinal num determinante nxn é n!.

Teorema 9:

Se A é uma matriz quadrada com linha ou coluna de zeros, então det(A) = 0.

Teorema 10:

Se A é uma matriz triangular então det(A) é o produto das entradas na diagonal principal.

Se A é uma matriz quadrada, então o menor da entrada aij é denotado por Mij e definido como

o determinante da submatriz que sobra quando suprimimos de A a i-ésima linha e j-ésima

coluna. O número Cij = (-1)i+jMij é denominado cofator da entrada aij.

Teorema 11:

O determinante de uma matriz A de tamanho nxn pode ser calculado multiplicando as

entradas de uma linha (ou coluna) qualquer pelos seus cofatores e somando os produtos assim

obtidos, ou seja, para cada 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ n temos

5.0 Propriedades dos Determinantes

Se A é uma matriz nxn:

det(A) = det(AT)

Se B é uma matriz que resulta quando uma única linha ou coluna de A é multiplicada por K, então det(B) = Kdet(A).

Se B é uma matriz que resulta quando 2 linhas ou colunas de A são trocadas, então det(B) = –det(A).

Se A tem 2 linhas / colunas iguais, det(A) = 0.

Se A tem 2 linhas / colunas proporcionais, det(A) = 0.

Se A e B são matriz quadradas do mesmo tamanho, então det (AB) = det(A).det(B).

det(An) = [det(A)]n.

Se A é invertível, então det(A-1) = 1/det(A).

5.1 Regra de Cramer

Teorema 12:

Se as entradas de qualquer linha (ou coluna) de uma matriz quadrada são multiplicadas pelos

co-fatores das entradas correspondentes de uma linha / coluna diferente, então a soma dos

produtos é zero.

Se A é uma matriz nxn e Cij é o cofator de aij, então a matriz

é denominada matriz de cofatores de A. Sua transposta chama-se adjunta da matriz A,

denominada por adj(A).

Teorema 13:

Se A é invertível, então

Teorema 14 – Regra de Cramer:

Se Ax = b é um sistema linear de n equações a n incógnitas, então o sistema tem uma

solução única se, e somente se, det(A) ≠ 0, caso que a solução é:

onde Aj é a matriz que resulta quando a j-ésima coluna de A é substituída por b.

6.0 Provas

PROVA 1 – SE DET(A) ≠ 0, ENTÃO A É INVERTÍVEL.

Prove que se ad – bc ≠ 0 então a FERL de

L1 → L1

L2 → aL2 – cL1

L1 → (ad-bc)L1 – bL2

L2 → L2

L1 → L1/a(ad-bc) L2 → L2/(ad-bc)

PROVA 2 – PROVAR TEOREMA 4. Prove que se B = A-1 e C = A-1, então B = C.

BA = I (BA)C = IC → Como IC = C, temos:

(BA)C = C → Lei da associedade da multiplicação: B(AC) = C → Como AC = I, temos:

BI = C → Como BI = B, temos: B = C

PROVA 3 – A É UMA MATRIZ QUADRADA INVERTÍVEL SE, E SOMENTE SE, DET(A) ≠ 0. Primeiro vamos verificar que det(A) e det(R) são ambos nulos ou não-nulos, sendo R a matriz na FERL de A. Veremos os efeitos das operações elementares sobre o determinante:

Se multiplicarmos toda uma linha por uma constante não-nula K, o determinante dessa nova matriz será K.det(A).

Se trocarmos 2 linhas de posição, o determinante dessa nova matriz será –det(A).

Se somarmos um múltiplo de uma linha a outra linha o determinante dessa nova matriz elementar não se altera.

Nos 3 casos, os determinantes antes e depois das aplicações das operações elementares são ambas nulas ou não-nulas. Como R é feito por uma série de operações elementares em A, temos que se det(A) ≠ 0, det(R) ≠ 0 ou se det(A) = 0, det(R) = 0. Se R é a FERL da matriz Anxn, então R tem uma linha de zeros (det(R) = 0) ou R é uma matriz identidade In (det(R) = 1 ≠ 0). Para que A seja invertível, R = I. Se det (A) ≠ 0, det(R) ≠ 0; isso implica que R = I, portanto A é invertível. Se det(A) = 0, então det(R) = 0; isso implica que R ≠ I, portanto A não é invertível.