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MATRIZES

Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC

IN

Por vezes, para designar com clareza algumas

situações é necessário que os números se

apresentem de forma ordenada em linhas e colunas

numa tabela. A essas tabelas, em Matemática,

damos o nome de matrizes. Vamos examinar um

exemplo:

Em uma pequena livraria, as vendas de livros

didáticos de português, química e biologia no

primeiro trimestre do ano podem ser expressas por

essa tabela a seguir.

Janeiro Fevereiro Março Português 200 300 220 Química 160 150 170 Biologia 120 90 105

Se quisermos saber:

quantos livros de português foram vendidos

no mês de janeiro, basta conferirmos o

número que está na primeira linha e na

primeira coluna;

quantos livros de química foram vendidos

no mês de março, conferimos o número que

está na segunda linha e na terceira coluna.

Uma tabela desse tipo, de três linhas e três colunas

é chamado de matriz 33 (matriz três por três) e

podemos representá-la da seguinte forma:

200 300 220

160 150 170

120 90 105

ou

200 300 220

160 150 170

120 90 105

Além disso, há diversas outras aplicações, como em

computação gráfica e outros conteúdos que serão

necessários na disciplina de geometria,

notadamente a geometria analítica.

Consideremos m e n dois números inteiros

quaisquer iguais ou maiores que 1.

Chamamos de matriz mn (m por n) uma tabela

retangular de m n números dispostos em m linhas

e n colunas.

Dizemos que a matriz

é do tipo mn ou de

ordem mn.

Vejamos abaixo alguns

exemplos:

2 4

3 1

é uma matriz de ordem 22.

11 5 9

3

8 5 4 13

é uma matriz de ordem 24.

Quando nós temos uma matriz de somente uma

linha, ou seja, do tipo 1n, chamamos de matriz-

linha. Por exemplo:

2 4 6 8 é uma matriz-linha de ordem 14.

Já quando temos uma matriz de somente uma

coluna, ou seja, do tipo m1, chamamos de matriz-

coluna. Por exemplo:

2

9

5

é uma matriz-coluna de ordem 31

As matrizes são representadas por uma letra

maiúscula (A, B, C,...) e a sua ordem indicada na

parte inferior direita da letra: Por exemplo, 3 4A é

a matriz A de 3 linhas e 4 colunas.

1 INTRODUÇÃO 2 definição de matriz

ATENÇÃO: A ordem

nesse caso faz diferença!

Uma tabela 23 implica

necessariamente que ela

tem 2 linhas e 3 colunas.

Já uma tabela de 3 linhas

e 2 colunas é uma tabela

3 2.

28 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC

Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II

Como vimos no início do capítulo, quando

queremos saber alguma informação sobre algum

número de uma tabela, ou agora, nesse caso, uma

matriz, esta informação está na combinação de uma

linha com uma coluna. Cada um desses números são

chamados de elementos ou termos da matriz.

Vamos considerar a seguinte matriz:

3 2 5 1

5 4 10 0

6 2 1 2

A

Nela, podemos observar que:

o elemento 3 está na 1ª linha e na 1ª coluna.

Indicamos esse elemento por 11 3a .

(dizemos a um um igual a 3)

o elemento 10 está na 2ª linha e na 3ª

coluna. Indicamos esse elemento por

23 10a .

O elemento 2 está na 3ª linha e na 4ª

coluna. Indicamos esse elemento por

34 2a .

Entendeu como funciona? Como já vimos, para

indicar o elemento de uma matriz, usamos uma

letra e dois índices, um que indica a linha, e outro

que indica a coluna, necessariamente nessa

ordem.

Logo, o elemento genérico (ou seja, qualquer

elemento) da matriz A é indicado por ija , onde i

indica a i-ésima linha e j indica a j-ésima coluna.

Ele é então chamado de ij-ésimo elemento ou

termo da matriz.

Podemos também dizer matriz A dos elementos

ou termos ija , de ordem mn, ou mesmo como

A = ij m n

a

, com 1 im, 1 jn, com i, j .

Então, uma matriz A, do tipo mn pode ser

genericamente escrita dessa forma:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

...

...

...

...

n

n

n

m m m mn

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

Toda essa regra também se aplica às matrizes-linha

e às matrizes-coluna.

Você pode estar se perguntando: entendi, mas pra

que serve saber identificar cada um dos elementos

de uma matriz?

Sabendo identificar com precisão cada um dos

elementos de uma matriz podemos escrever

qualquer matriz segundo regras gerais. Vamos a um

exemplo:

Escreva a matriz X = ija , com 1 i3 e 1 j3 tal

que 4, para i j

1, para i j

ij

ij

a

a

.

Como 1 i3 e 1 j3, a matriz tem que ter 3 linhas

e 3 colunas.

Nos termos em que i = j, temos 11a = 22a = 33a = 4.

Nos demais, 13a = 13a = 21a = 23a = 31a = 32a = 1.

Montando a matriz, temos: X

4 1 1

1 4 1

1 1 4

.

Dependendo de certas características específicas as

matrizes podem receber alguns nomes especiais.

Vamos a elas.

MATRIZ QUADRADA

Consideremos uma matriz mn. Quando m = n, ou

seja, quando o número de linhas é igual ao número

de colunas, dizemos que a matriz é quadrada de

ordem nn, ou simplesmente de ordem n.

3 representação genérica de uma

matriz

ma

4 tipos especiais de matrizes

29 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC

Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II

Vejamos alguns exemplos:

3 5 19

2 3 11

7 8 4

é uma matriz quadrada de ordem 3.

1 2

3 4

é uma matriz quadrada de ordem 2.

Nas matrizes quadradas, os elementos onde m = n,

ou seja, 11a , 22a , 33a , ..., nna formam a diagonal

principal da matriz.

3 5 19

2 3 11

7 8 4

3, 3 e 4 formam a diagonal principal.

1 2

3 4

1 e 4 formam a diagonal principal.

A outra diagonal da matriz é a diagonal

secundária.

3 5 19

2 3 11

7 8 4

7, 3 e 19 são a diagonal secundária

1 2

3 4

3 e 2 são a diagonal secundária.

MATRIZ TRIANGULAR

Vamos considerar uma matriz quadrada de ordem

n. Quando os elementos acima OU abaixo da

diagonal principal são todos nulos, dizemos que a

matriz é triangular. Vejamos alguns exemplos

1 0

7 13

Acima da diagonal principal só há zero.

3 5 7

0 3 8

0 0 1

Abaixo da diagonal principal só há zero.

1 15 3 8 1

0 2 9 3 4

0 0 3 5 5

10 0 0 85

0 0 0 20

MATRIZ DIAGONAL

A matriz diagonal de ordem n em que todos os

elementos acima E abaixo da diagonal principal são

nulos é chamada de matriz diagonal. Vejamos

exemplos:

3 0 0

0 3 0

0 0 4

1 0 0 0 0

0 2 0 0 0

0 0 3 0 0

10 0 0 05

0 0 0 20

1 0

0 5

Em uma matriz diagonal, ija = 0 para todo i j.

MATRIZ IDENTIDADE

A matriz quadrada de ordem n em que todos os

elementos da diagonal principal são iguais a 1 e

todos os outros elementos são iguais a 0 é chamada

de matriz identidade e seu símbolo é nI . Vamos

aos exemplos:

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I

Em uma matriz identidade, ija = 1 para i = j e ija = 0

para i j.

MATRIZ NULA

Uma matriz é dita nula quando todos os seus

elementos são iguais a zero. Denotamos esse tipo de

matriz mn como 0m n . Se for uma matriz nula

quadrada, simplesmente dizemos 0n . Exemplos:

Abaixo da diagonal

principal só há zero.

30 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC

Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II

4

0 0 0 0

0 0 0 00

0 0 0 0

0 0 0 0

4 3

0 0 0

0 0 00

0 0 0

0 0 0

3 1

0

0 0

0

Exercícios de treino

1. Identifique o tipo ou ordem das matrizes abaixo:

a)4 6

1 5

b)

12

5

6

c)

1 3 0

2 6 2

5 4 1

10 1 3

0 0 1

2. Identifique:

a) os elementos 11a , 21a e 13a na matriz

2 6 10

4 5 1

.

b) os elementos 31a , 23a e 33a na matriz

1 3 0

4 10 2

6 3 2

.

3. Escreva as matrizes:

a)2 3ijA a

, tal que ija = i² + j².

b) 4 2ijX a

, de modo que ija = 2i² - j.

c) 2 4ijY a

, com ija = |i – j|

4. Escreva a matriz quadrada:

a) de ordem 2, cujo elemento genérico é dado por

ija = 4i – 2j + 3.

b) de ordem 3 tal que ija = i³ - 2j.

5. Escreva a matriz diagonal:

a) de ordem 3, em que ija = i + j para i = j.

b) de ordem 4, em que ija = i para i = j.

6. Escreva a matriz triangular:

a) de ordem 4, em que:

0, para i > j

( )², para i = j

2, para i < j

ij

ij

ij

a

a i j

a

b) de ordem 3, em que: 0, para i > j

³, para i j

ij

ij

a

a i

7. (Ufop-MG) Observe a matriz

1 2 3

0 4

0 0

x

y

.

Chama-se traço de uma matriz a soma dos termos

de sua diagonal principal. Determine x e y na matriz

acima tal que seu traço valha 9 e y seja o triplo de x.

Vamos considerar duas matrizes A e B, de mesma

ordem mn, no caso 32:

11 12

21 22

31 32

a a

A a a

a a

11 12

21 22

31 32

b b

B b b

b b

Quando duas matrizes têm a mesma ordem, os

elementos que ocupam as mesmas posições são

chamados de elementos correspondentes. 11a é

correspondente de 11b e por aí vai...

Portanto, definimos:

Duas matrizes A e B são dadas como iguais se, e

somente se, têm a mesma ordem e seus elementos

correspondentes forem iguais.

5 Igualdade de matrizes

31 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC

Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II

Determine x e y para que sejam iguais as matrizes

3 2 2

2 3 3

x y

x y

e

7 2

2 3

.

As duas matrizes tem a mesma ordem 22. Logo,

podemos comparar os elementos correspondentes.

Para que as matrizes sejam iguais, temos que:

3 2 7

3 3 3

x y

x y

Resolvendo esse sistema de equações do 1º grau,

temos x = 1 e y = 2.

Para somar matrizes, temos de atender ao fato de

que elas devem possuir sempre a mesma ordem, ou

seja, uma matriz 3 2A só pode ser somada com uma

3 2B .

O procedimento de soma é bem simples, basta

somar os termos correspondentes.

Vamos somar as duas matrizes abaixo:

3 5 2

2 8 6A

e

1 4 1

7 0 2B

.

A resposta é então dada pela soma dos termos

correspondentes das duas matrizes, resultando

numa outra matriz:

3 1 5 ( 4) ( 2) ( 1) 4 1 3

2 7 8 0 ( 6) 2 9 8 4

Essa matriz é equivalente à soma de A e B.

PROPRIEDADES

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

A + 0 = A

A + (-A) = 0

MATRIZ OPOSTA DE UMA MATRIZ

Dizemos matriz oposta de uma matriz A quando ela

mesma somada com A resulta numa matriz nula.

Um tanto abstrato, não? Vamos exemplificar:

Tomemos a seguinte matriz do exercício anterior.

4 1 3

9 8 4

Precisamos determinar uma matriz que somada a

essa dê uma matriz nula. Como fazemos isso?

Simples, somamos uma matriz que tenha todos os

valores invertidos:

4 1 3 4 1 3 0 0 0

9 8 4 9 8 4 0 0 0

Essa matriz 4 1 3

9 8 4

é a oposta de

4 1 3

9 8 4

.

Em resumo, é só inverter todos os termos da matriz.

Definido isso, já podemos partir para o próximo

item:

Para fazer a subtração de matrizes, basta somente

somar uma matriz com a matriz oposta da outra.

Em resumo: A – B = A + (-B)

Exemplo:

4 2 3 9 4 2 3 9 1 7

2 1 7 1 2 1 7 1 5 0

1 3 1 3 1 3 1 3 2 0

Para simplificar, basta subtrair os termos

correspondentes. Mas cuidado com os sinais!

6 ADIÇÃO DE MATRIZES

7 subtração DE MATRIZES

32 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC

Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II

Dada uma matriz genérica

11 12

21 22

31 32

a a

A a a

a a

, quando

a multiplicamos por qualquer número real r, a

matriz resultante é dada por:

11 12

21 22

31 32

r a r a

r A r a r a

r a r a

Ou seja, basta multiplicar todos os termos pelo

número natural. Vamos a um exemplo:

Dada a matriz 5 8 1

4 3 6A

, determine 2A .

Temos então:

2 5 2 8 2 ( 1) 10 16 22

2 ( 4) 2 3 2 6 8 6 12A

PROPRIEDADES

( )A A A

( )A B A B + 0 = A

1A = A

( )A A

Exercícios de treino

8. Sabendo que 9 1

2 2 3 6 18

a b b c

b a d

,

determine a, b, c e d.

9. Determine m e n para que se tenha

20

m n mI

n

.

10. Dadas as matrizes 2 4

0 1A

,

4 2

6 0B

e 3 0

5 2C

, calcule:

a) A + B b) 2A + 3C c) B - C d) A - B + C

11. Seja a matriz A = [ ija ] de ordem 32 dada por

ija = 3i – j. Calcule A + A.

12. Determine x, y, z e t sabendo que:

a)

3 10

1 4

5 5

x

y

z

b) 3 10 1

3 2 4 18

x y x

z t z

Muita atenção nesta parte! Vamos considerar A

como uma matriz qualquer mn. Denominamos

matriz transposta de A ( tA ) a matriz nm onde

ORDENADAMENTE, as linhas de A são as colunas de tA .

Complicado? O exemplo esclarece!

Vamos tomar uma matriz

2 6

4 9

8 1

A

. Para

obtermos a transposta, a 1ª linha deverá ser a

primeira coluna, a 2ª linha deverá ser a segunda

coluna e por aí vai:

1ª linha de A: 2 e 6 ------> 1ª coluna de tA : 2 e 6.

2ª linha de A: 4 e 9 -------> 2ª coluna de tA : 4 e 9.

3ª linha de A: 8 e 1 -------> 3ª coluna de tA : 8 e 1.

8 multiplicação de um número

real por MATRIZ

9 matriz transposta

33 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC

Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II

Logo, temos:

2 4 8

6 9 1

tA

Até agora, as operações realizadas com matrizes

foram bastante intuitivas. No entanto, a

multiplicação de matrizes não é tão simples quanto

o que vimos até agora, não bastará apenas

multiplicar os termos de duas matrizes de mesma

ordem.

Para explicar, tomemos o seguinte exemplo:

Durante a Copa do Mundo de 2002, o grupo C foi

composto por 4 seleções: Brasil, Turquia, Costa Rica

e China. Eis o quadro dos jogos, que como vimos no

começo do capítulo, pode ser interpretado por uma

matriz:

Seleções Vitórias Empates Derrotas Brasil 3 0 0 Turquia 1 1 1 Costa Rica 1 1 1 China 0 0 3

3 0 0

1 1 1

1 1 1

0 0 3

A

Pelo regulamento do futebol, uma vitória equivale a

3 pontos, um empate a 1 ponto e uma derrota a 0

ponto. Colocamos esses dados em uma tabela e

representamos também em uma matriz:

Pontos Vitória 3 Empate 1 Derrota 0

3

1

0

B

Como descobrimos o número de pontos que cada

país obteve? Certamente multiplicaria o número de

vitórias por 3, depois multiplicaria o número de

empates por 1 e por último o número de derrotas

por 0, somando tudo no final.

Total de pontos de cada seleção Brasil 3 3 + 0 1 + 0 0 = 9 Turquia 1 3 + 1 1 + 1 0 = 4 Costa Rica 1 3 + 1 1 + 1 0 = 4 China 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0

Ou até mesmo podemos representar por

9

4

4

0

AB

.

Essa é a multiplicação entre matrizes. Observemos

o que houve com a ordem das matrizes envolvidas:

4 3 3 1 4 1A B AB

Observe que o produto de duas matrizes só pode

acontecer quando o número de colunas de A for

igual ao número de linhas de B. E a matriz AB

possui o número de linhas de A e o número de

colunas de B.

No exemplo acima:

A: 4 linhas e 3 colunas

B: 3 linhas e 1 coluna

AB: 4 linhas e 1 coluna

Vamos ver mais um exemplo:

Dados

3 2

5 0

1 4

A

e 3 1

6 2B

, vamos

determinar AB.

Como A é uma matriz 32 e B é uma matriz 22,

podemos determinar o produto AB, que será uma

matriz 32 (número de linhas de A número de

colunas de B).

10 multiplicação de matrizes

O número de

colunas de A é

igual ao número

de linhas de B.

A matriz AB tem o

número de linhas de A e

de linhas de B.

34 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC

Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II

Atenção à multiplicação:

3 2 3 3 2 6 3 1 2 2 21 73 1

5 0 5 3 0 6 5 1 0 2 15 56 2

1 4 1 3 4 6 1 1 4 2 27 9

Vamos entender como fazer a multiplicação.

Façamos passo a passo, pois o processo não é

complicado, mas é trabalhoso:

Na primeira coluna de AB, temos:

Os números da 1ª linha de A vão ser multiplicados

pelos das 1ª coluna de B, depois são somados:

1º termo da linha de A1º termo da coluna de B;

2º termo da linha de A2º termo da coluna de B.

Os números da 2ª linha de A vão ser multiplicados

pelos da 1ª coluna de B, depois são somados:

1º termo da linha de A1º termo da coluna de B;

2º termo da linha de A2º termo da coluna de B.

Os números da 3ª linha de A vão ser multiplicados

pelos da 1ª coluna de B, depois são somados:

1º termo da linha de A 1º termo da coluna de B;

2º termo da linha de A 2º termo da coluna de B.

O procedimento se repete para a 2ª coluna de AB:

Teremos então:

Os números da 1ª linha de A vão ser multiplicados

pelos das 2ª coluna de B, depois são somados:

1º termo da linha de A1º termo da coluna de B;

2º termo da linha de A2º termo da coluna de B.

Os números da 2ª linha de A vão ser multiplicados

pelos da 2ª coluna de B, depois são somados:

1º termo da linha de A1º termo da coluna de B;

2º termo da linha de A2º termo da coluna de B.

Os números da 3ª linha de A vão ser multiplicados

pelos da 2ª coluna de B, depois são somados:

1º termo da linha de A 1º termo da coluna de B;

2º termo da linha de A 2º termo da coluna de B.

Exercícios de treino

13. Determine os produtos:

a) 6 5 2 4

1 0 1 3

b)

1

3 2 5 0

6

c) 5 4 7 4

2 1 6 2

d) 5 1 0 5 1 6

3 2 2 1 4 3

14. Sendo 3 1

0 1A

e 0 2

2 1B

, responda:

a) tA B

b) tAB

c) t tA B

Dada uma matriz quadrada A, definimos uma

matriz inversa (A 1 ) quando A A 1 resulta uma

matriz identidade.

Quando uma matriz possui uma matriz inversa

dizemos que ela é invertível.

Vamos a um exemplo:

11 matriz inversa

35 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC

Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II

A matriz 1 1

2 0A

é invertível e sua matriz

inversa é 1

10

2

11

2

A

?

Para saber, basta multiplicar as duas matrizes. O

resultado deverá ser uma matriz identidade.

1

1 0 ( 1) 1 2 0 0 ( 1)01 1 2

1 12 0 1 2 0 0 1 2 0

1 2 22

= 1 0

0 1

.

Logo, A é invertível, e essa é a sua matriz.

É importante ressaltar que tanto A A 1 como

A 1 A vão resultar na matriz identidade.

Vale lembrar que nem todas as matrizes podem ser

invertíveis!

Não confunda matriz oposta com matriz inversa!

Vamos a um exemplo:

Verifique se existe, e se existir qual a matriz inversa

de 5 8

2 3A

.

Consideremos a matriz inversa que queremos como

a bX

c d

.

Efetuando a multiplicação, temos:

5 8 5 8 5 8 1 0

2 3 2 3 2 3 0 1

a b a c b d

c d a c b d

Pela igualdade de matrizes, obtemos dois sistemas de

equações do 1º grau:

5 8 1

2 3 0

a c

a c

, que resulta em a = -3 e c = 2.

5 8 0

2 3 1

b d

b d

, que resulta em b = 8 e d = -5.

Logo, a resposta que queremos é 3 8

2 5

.

Vamos conferir então o resultado:

5 8 3 8 5( 3) 8 2 5 8 8( 5)

2 3 2 5 2( 3) 3 2 2 8 3( 5)

=1 0

0 1

.

Exercícios de treino

15. Determine, se existir, a inversa de casa uma das

seguintes matrizes:

a) 1 3

0 2A

b) 5 10

2 4A

c) 2 3

4 5A

d)1 2

1 3A

LISTA DE EXERCÍCIOS

Leia o texto a seguir para as questões 1, 2 e 3:

A Criptografia é uma arte antiga que surgiu,

praticamente, com a escrita. Sua utilização sempre

teve conotação militar, mas após a Segunda Guerra

Mundial, com o advento dos computadores, a

aplicação da criptografia atingiu a "sociedade da

informação".

A evolução das técnicas criptográficas permite hoje

que haja mais segurança nas transações eletrônicas,

36 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC

Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II

sendo a solução mais indicada face aos problemas de

se garantir a privacidade e proteção da informação,

inclusive através da autenticação de mensagens e da

assinatura digital.

Disponível em http://www.davi.ws/ss/crip_principal.htm, acesso

em 13/02/2014.

1. Desde os tempos mais antigos os mais diversos

povos estudaram diversas formas de codificar

mensagens de modo que elas não sejam

facilmente compreendidas. O código a seguir é

baseado numa multiplicação de matrizes, com o

código lido da esquerda pra direita, de cima

para baixo. Qual a mensagem transmitida

abaixo, sabendo que algumas letras codificadas

seguem no quadro abaixo? (desconsidere

acentuação)

1 63 5

2 11 2

4 3

A C D E G 4 18 13 17 15 I O P Q R

12 26 9 1 7

a) CORREIO

b) HORA

c) PERIGO

d) CARA

e) RÁPIDO

2. Devido a um erro de transmissão, a mensagem

“carro de apoio” foi transmitida da seguinte

forma:

18 26 9

4 13 26

7 17 12

7 4 26

Ao tentar saber qual foi o problema da

transmissão, o transmissor informou que

utilizou uma operação das matrizes, pois o

sistema estava sendo identificado por

outras pessoas. Que operação era essa?

a) Matriz inversa

b) Matriz transposta

c) Soma de matrizes

d) Multiplicação por escalar

e) Matriz oposta

3. Para evitar erros de comunicação dos valores

da tabela, acabou sendo feito um sistema de

conferência do código. Duas matrizes são

enviadas: a do código correspondente, e outra,

de mesma ordem, que quando multiplicadas

resultam numa matriz identidade. Segundo o

código abaixo, qual é a matriz de conferência

correta?

3 9

1 2

a) 3 1

9 2

b) 5 1

7 2

c)

11

2

4 5

d)

23

3

11

3

e)

2 1

3 3

11

3

4. (Enem 2012) Um aluno registrou as notas

bimestrais de algumas de suas disciplinas numa

tabela. Ele observou que as entradas numéricas

da tabela formavam uma matriz 4x4, e que

poderia calcular as médias anuais dessas

disciplinas usando produto de matrizes. Todas

as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela

37 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC

Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II

que ele conseguiu é mostrada a seguir. Para

obter essas médias, ele multiplicou a matriz

obtida a partir da tabela por:

1º bim 2º bim 3º bim 4º bim Matemática 5,9 6,2 4,5 5,5 Português 6,6 7,1 6,5 8,4 Geografia 8,6 6,8 7,8 9,0 História 6,2 5,6 5,9 7,7

Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz

obtida a partir da tabela por:

a) 1 1 1 1

2 2 2 2

b) 1 1 1 1

4 4 4 4

c) 1 1 1 1

d)

1

2

1

2

1

2

1

2

e)

1

4

1

4

1

4

1

4

5. Em certa escola realizou-se os Jogos Escolares.

Para a peteca, foram organizados quatro times

que se enfrentaram dois a dois, totalizando seis

jogos. Abaixo está a tabela de vitórias, empates

e derrotas para cada time e a pontuação:

Times Vitórias Empates Derrotas A 1 1 1 B 2 0 1 C 0 2 1 D 1 1 1

Pontos Vitória 5 Empate 3 Derrota 1

Qual foi a pontuação dos times A, B, C e D,

respectivamente?

a) 9, 11, 7, 9

b) 11, 7, 9, 9

c) 9, 7, 7, 9

d) 9, 11, 9, 7

e) 7, 9, 9, 11

Leia o texto abaixo para responder as questões 6, 7

e 8:

As imagens em uma tela de computador são na

verdade formadas por pequenos pontos (pixels) que

são elementos de uma matriz. Uma imagem de

resolução 800600 tem 800 600 = 480 000 pixels

em 800 colunas e 600 linhas. Quando um programa

gráfico altera a posição da imagem, gira a imagem

ou muda a escala da imagem, na verdade está

mudando a posição dos pixels que a formam. Isso

tudo é feito por operações de matrizes, e em

computação gráfica é o que se chama de

transformação geométrica. Considerando a tela

como um plano cartesiano, podemos efetuar vários

processos.

Adaptado de DANTE, Luiz Roberto. MATEMÁTICA, Volume

Único, 1ª edição, 2009, São Paulo, Editora Ática.

6. Considerando que a rotação de graus de um

ponto P(x, y) no sentido anti-horário é feita pela

multiplicação da matriz cos sen

sen cosR

pela matriz x

Py

, qual a posição do ponto

(4,-2) após rodar 60 no sentido anti-horário?

a) ( 3 , 1+ 3 )

b) (2+ 3 , 2 3 - 1)

c) 1

,2 32

d) (4,2)

e) 3

,2 3 42

7. A translação de um ponto P(x, y) de m unidades

para a direita e de n unidades para cima é feita

38 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC

Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II

pela soma da matriz x

Py

com a matriz

mT

n

, qual a posição do ponto (2,3) após

uma translação de 10 unidades para a esquerda

e 5 unidades para cima?

a) (8, 8)

b) (12,8)

c) (-12,-2)

d) (-8,8)

e) (12,2)

8. Sabendo que um aumento de escala de um

ponto é dada pela multiplicação de um número

real r pela matriz x

Py

, quais as

coordenadas dos pontos A(5,-6) e B(2,-4) após

um aumento de 100%, respectivamente?

a) (500,-600); (200,-400)

b) (15,-18); (6,-12)

c) (50,-60); (20, -40)

d) (-10,12); (-4,8)

e) (10,-12); (4,-8)

9. Para a fabricação de caminhões uma indústria

montadora precisa de eixos e rodas para seus

três modelos de caminhões, com as seguintes

especificações:

Modelo A B C Eixos 2 3 4 Rodas 4 6 8

Para os dois primeiros meses do ano, a

produção da fábrica deverá seguir a tabela

abaixo:

Modelo Janeiro Fevereiro A 30 20 B 25 18 C 20 15

Quantas rodas e quantos eixos serão

necessários em janeiro para que a

montadora atinja a produção planejada?

a) 154 e 308

b) 305 e 610

c) 201 e 402

d) 115 e 230

e) 215 e 430

10. Sobre matrizes, considere as seguintes

afirmações:

I. Dadas duas matrizes quaisquer, é

sempre possível determinar seu

produto.

II. Pela definição, se A é uma matriz mp e

B uma matriz pn, então AB será de

ordem mn.

III. Dadas duas matrizes quadradas, sempre

é possível realizar seu produto.

Estão corretas:

a) I e II

b) II e III

c) I e III

d) Somente I

e) I, II e III

11. (FGVRJ-03) Uma organização econômica é

formada pelos países 1, 2 e 3. O volume anual de

negócios realizados entre os três parceiros é

representado em uma matriz A, com 3 linhas e 3

colunas, na qual o elemento da linha i e coluna j

informa quanto o país i exportou para o país j,

em bilhões de dólares. A matriz A é dada por:

0 1,2 3,1

2,1 0 2,5

0,9 3,2 0

Qual foi o país que mais exportou e o que

mais importou, respectivamente?

a) A e B

b) C e B

c) B e C

d) A e C

e) C e A

12. Um aluno desenvolveu um sistema de

identificação de LEDs queimados em um

letreiro digital através de matrizes. O

39 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC

Capítulo 4 – Matrizes Álgebra II

computador envia para o sistema da placa a

matriz correspondente ao que deveria aparecer

na tela, como, por exemplo:

Que gera a matriz

0 1 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 1 0

.

Então o sistema do letreiro responde a

matriz complementar, que nada mais é do

que responder 0 onde havia 1, e 1 onde

havia 0. Certo dia, para o mesmo símbolo

acima, a matriz de resposta foi:

1 0 0 0 1

1 0 1 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 0 1

1 0 0 1 1

Quais são, então, os LEDs que deverão ser

trocados, na devida notação de elemento

matricial?

a) 33a e 44a

b) 43a e 12a

c) 33a e 54a

d) 14a e 21a

e) 52a e 55a

13. O gerente de uma danceteria fez um

levantamento sobre a frequência de pessoas na

casa, em um final de semana, e enviou a seguinte

tabela para o proprietário:

80 60

? 75

rapazes moças

sexta

sábado

O gerente se esqueceu de informar um campo da

tabela, mas sabia que, curiosamente, a arrecadação

nos dois dias havia sido a mesma. Sabendo que o

ingresso para rapazes é R$ 15,00 e para moças é R$

12,00, determine o valor do campo que ficou sem

ser preenchido.