Mba Em Bi - Apostila

1

MBA EM BUSINESS INTELLIGENCE

APOSTILA DE

ESTATISTICA APLICADA A BUSINESS INTELLIGENCE

Prof°. Giancarlo de França Aguiar

Email: [email protected]

mailto:[email protected]

2

Esta apostila contém material base e introdutório para a cadeira de Estatística Aplicada a Business

Intelligence (30 horas) do MBA em Business Intelligence da Universidade Positivo. Este material

foi organizado de modo enxuto para proporcionar uma visão técnica de algumas ferramentas de

Estatística que serão abordados durante todo o curso. De maneira alguma, este descritivo objetiva

excluir os referenciais bibliográficos constantes na literatura, mas promover a facilidade no tratar

de negócios para estudantes oriundos de cursos de graduação que tiveram ou não a disciplina

Estatística.

Prof. Giancarlo de França Aguiar

3

Sumário

1.0 Apresentação ........................................................................................................... 04

2.0 Distribuição de Probabilidades .............................................................................. 06

3.0 Descrição, Exploração e Comparação de Dados ................................................... 12

3.1 Tabelas de Frequência ................................................................................ 12

3.2 Medidas de Tendência Central ................................................................... 18

3.3 Medidas de Dispersão ................................................................................. 21

4.0 Probabilidade por Meio de Simulação .................................................................... 27

5.0 Análise de Correlação Linear ................................................................................. 30

6.0 Análise de Regressão Linear .................................................................................. 36

7.0 Simulação ............................................................................................................... 41

7.1 Modelos de Programação Linear ................................................................ 41

7.2 Simulação em Excel ................................................................................... 52

7.3 Modelos de Estoques .................................................................................. 54

7.4 Simulação .................................................................................................... 68

8.0 Planejamento de Projetos ....................................................................................... 75

8.1 Redes PERT ............................................................................................... 75

8.2 Redes PERT/Custo...................................................................................... 78

9.0 Referências ............................................................................................................ 82

4

1.0 APRESENTAÇÃO

É presente no comércio, academia e indústria a procura por profissionais que

tenham a competência de pensar Estatística e estimular a sua utilização. Mais do que

tratar um conjunto de dados, é preciso interpretá-los. Atualmente é imprescindível

tomar decisões sem algum modelo ou método que auxilie o tomador de decisões. Os

slides a seguir dão uma breve noção da importância da Estatística.

5

Diz-me, e eu esquecerei; ensina-me e eu lembrar-me-ei; envolve-me, e eu aprenderei.

(Autor desconhecido)

6

2.0 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

É possível explorar um conjunto de dados utilizando para isto, gráficos, tabelas e

medidas que serão abordadas no próximo capítulo (3), contudo, podemos combinar

essas medidas de forma a estabelecermos distribuições de probabilidades que podem

descrever o que provavelmente ocorrerá.

8

Problemas para iniciar a discussão:

1- Problema do Jogo Pick Three

Considere o jogo de números praticado há muitos anos por organizações ligadas ao

crime e agora legalizados por muitos governos organizados – assim como também por

alguns governos não muito bem organizados. Em geral conhecido como “escolha três”

(Pick three), o apostador aposta em três números, que deverão coincidir com os

números sorteados (há mil possibilidades de 000 a 999). O ganho típico é de 499 para 1,

o que significa que para cada $ 1 apostado o jogador recebe $500 (ou seja, um retorno

líquido de $499). Suponha o leitor que apostou $1 no número 327. Qual é o valor

esperado (média) de seu ganho ou perda? Considere um número significativo de

jogadas/apostas (longo prazo).

R:

Tomador de Decisão: ________________________________________

http://www.google.com.br/imgres?q=tomador+de+decis%C3%A3o&hl=pt-BR&sa=X&rlz=1R2ADFA_pt-BRBR453&biw=1360&bih=534&tbm=isch&prmd=imvns&tbnid=tI6zLhwHelxg-M:&imgrefurl=http://www.lideraonline.com.br/artigo/48701-processo-de-tomada-de-decisao.html&docid=WmXaIcNpg8nB5M&imgurl=http://www.lideraonline.com.br/images/lidera/2009-materias-ago/lideranca.jpg&w=186&h=185&ei=PP95T7msIona0QG3tO2XDQ&zoom=1&iact=rc&dur=390&sig=107310141587100668256&page=3&tbnh=148&tbnw=148&start=30&ndsp=18&ved=1t:429,r:1,s:30&tx=82&ty=98


9

2- Problema do Jogo do Bicho no Grupo

R:


3- Problema do Jogo do Bicho na Milhar

R:






10

Exercícios:

1- Ao apostar em um cassino $5 no número 7 da roleta, tem-se uma probabilidade de

1/38 de ganhar $175 e uma probabilidade de 37/38 de perder $5. Qual é o valor

esperado? Em um número muito grande de apostas, quanto se perde para cada dólar

apostado?

2- Uma mulher de 27 anos decide contratar uma apólice de seguro de vida de R$

100.000,00 por um ano, pagando um premio de R$ 156,00. A probabilidade de ela

sobreviver um ano é de 0,9995 (base de dados do Ministério da Saúde). Qual é o seu

valor esperado para a apólice de seguro?

Nos exercícios (3, 4, 5 e 6), determine se é dada uma distribuição de probabilidades.

Caso sim construa o seu histograma de frequências e calcule a sua média, variância e o

desvio-padrão.

3- Ao escolher aleatoriamente um colega de cela condenado por dirigir alcoolizado

(DA), a distribuição de probabilidade do número “x” de sentenças anteriores em casos

de (DA) é dada na tabela a seguir.

x P (x)

0 0,512

1 0,301

2 0,132

3 0,055

4- Se sua faculdade contrata os 4 próximos funcionários sem distinção de sexo e o

conjunto de candidatos é grande, com números iguais de homens e mulheres, o quadro a

seguir dá a distribuição do número x de mulheres contratadas.

x P (x)

0 0,0625

1 0,2500

2 0,3750

3 0,2500

11

4 0,0625

5- Para resolver uma questão de paternidade, fazem-se testes de sangue em duas pessoas

diferentes. Se “x” é o número dos que têm sangue do grupo A, então “x” pode ser 0, 1 e

2, e as probabilidades correspondentes são 0,36; 0,48 e 0,16, respectivamente.

6- Ao avaliar riscos de crédito, o Jefferson Valley Bank investiga o número de cartões

de crédito que a pessoa tem. Com “x” sendo o número de cartões de crédito que os

adultos possuem. O quadro a seguir dá a distribuição de probabilidades para um

conjunto de solicitantes (base da dados da Matriz Marketing Research , Inc.).

x 0 1 2 3 4 5 6 7

P(x) 0,26 0,16 0,12 0,09 0,07 0,09 0,07 0,14

“São dois os mais fortes dos guerreiros: o tempo e a paciência”.

12

3.0 DESCRIÇÃO, EXPLORAÇÃO E COMPARAÇÃO DE DADOS

3.1 Tabelas de Frequência

14

“O trabalho espanta três males: o vício, a pobreza e o tédio”.

Voltaire

Problema para iniciar a discussão:

Os dados da tabela abaixo fornecem o tempo em dias exigido para se completar

auditorias de fim de ano para uma amostra de 20 clientes da Sanderson and Clifford,

uma pequena firma de contabilidade. Construir uma tabela de frequências, frequências

relativas e frequências acumuladas para os dados.

Tempo em dias de auditorias de fim de ano

12 14 19 18

15 15 18 17

20 27 22 23

22 21 33 28

14 18 16 13

15

R:


Exercícios

1- Um radar da polícia rodoviária registrou as velocidades de 50 veículos em uma

rodovia, obtendo-se os seguintes resultados (velocidade em Km/h):

75,3 78,5 65,6 80,0 79,2 36,8 77,9 80,7 78,2 50,3

83,0 67,2 75,0 73,9 85,0 78,6 79,0 81,6 35,9 67,8

79,2 81,0 79,3 68,0 77,2 79,6 70,2 90,6 80,9 73,6

78,1 80,0 80,0 79,9 74,0 55,4 60,7 80,2 77,0 80,0

82,0 83,1 79,6 80,5 65,7 83,7 68,0 75,6 71,9 78,3

Monte uma tabela de freqüência com 7 classes.

2- As companhias de seguro pesquisam continuamente as idades e as causas de morte.

Construa um histograma correspondente aos dados da tabela de frequências abaixo. Os

dados se baseiam em um estudo da revista Time sobre vítimas fatais de armas de fogo

na América durante uma semana. O que o histograma sugere quanto às idades dessas

vítimas fatais?

Idade na Morte Frequência

16 – 25 22

26 – 35 10

36 – 45 6

46 – 55 2

56 – 65 4

66 – 75 5

76 – 85 1


16

3- O tempo que cada cliente de um restaurante permanece na mesa foi medido. Para

uma amostra de 50 clientes, os dados obtidos (tempo em minutos) e já organizados em

tabela de frequência, foram:

Tempo de Permanência (min) Frequência

10 20 5

2 30 13

30 40 19

40 50 9

50 60 2

60 70 1

70 80 1

Soma 50

Construa um histograma e um polígono de frequência (unindo os pontos médios da

parte superior de cada retângulo do histograma com segmentos de reta, obtemos o

chamado polígono de frequência) para esses dados.

4- Uma pesquisa coletou o consumo comercial de energia elétrica (Eletrobrás) de 1970

a 2010. Fonte: IPEA, 2012 (http://www.ipeadata.gov.br/).

Data Consumo de Energia Elétrica

1970 5.158

1971 5.679

1972 6.396

1973 7.237

1974 8.117

1975 8.987

1976 9.860

1977 10.487

1978 11.340

1979 12.539

1980 13.750

1981 14.424

1982 15.477

1983 16.754

1984 17.704

1985 18.539

1986 19.610

1987 20.465

1988 21.337

1989 22.367

1990 23.790

1991 24.957

1992 25.940

1993 27.392

1994 28.869

1995 32.276

1996 34.764

http://www.ipeadata.gov.br/

17

1997 38.197

1998 41.544

1999 43.589

2000 47.627

2001 44.433

2002 45.255

2003 47.522

2004 49.609

2005 52.985

2006 55.308

2007 58.744

2008 61.949

2009 65.379

2010 69.080

Monte uma tabela de frequências.

5- Uma pesquisa coletou o risco Brasil (título de dívida) em 2012. Fonte: IPEA, 2012

(http://www.ipeadata.gov.br/). Monte uma tabela de frequências.

Data Risco Brasil

19/03/2012 163

16/03/2012 171

15/03/2012 167

14/03/2012 163

13/03/2012 168

12/03/2012 180

09/03/2012 179

08/03/2012 183

07/03/2012 193

06/03/2012 198

05/03/2012 190

02/03/2012 190

01/03/2012 190

29/02/2012 194

28/02/2012 199

27/02/2012 205

24/02/2012 201

23/02/2012 199

22/02/2012 196

17/02/2012 197

16/02/2012 201

15/02/2012 205

14/02/2012 204

13/02/2012 196

10/02/2012 198


18

09/02/2012 195

08/02/2012 201

07/02/2012 204

06/02/2012 209

03/02/2012 205

02/02/2012 217

01/02/2012 216

31/01/2012 221

30/01/2012 221

27/01/2012 218

26/01/2012 218

25/01/2012 212

24/01/2012 209

23/01/2012 209

20/01/2012 211

19/01/2012 218

18/01/2012 227

17/01/2012 232

16/01/2012 233

13/01/2012 237

12/01/2012 228

11/01/2012 232

10/01/2012 223

09/01/2012 217

06/01/2012 214

05/01/2012 212

04/01/2012 212

03/01/2012 214

02/01/2012 223

3.2 Medidas de Tendência Central

21

3.2 Medidas de Dispersão

22

Problema para iniciar a discussão:

Com a tabela de frequências para a variável aleatória “tempo em dias exigido para se

completar auditorias de fim de ano” para uma amostra de 20 clientes da Sanderson and

Clifford, construída no capítulo anterior:

a) Determine à média e o desvio-padrão para o conjunto de dados agrupados.

b) Utilize o teorema de Theibichev (2

11

KTT ) para determinar um intervalo de

confiança para a média populacional. Utilize .2K

R:





23

Exercícios

1- O tempo que cada cliente de um restaurante permanece na mesa foi medido. Para

uma amostra de 60 clientes, os dados obtidos (tempo em minutos) foram organizados no

quadro a seguir. Determine a média e desvio-padrão dos dados resumidos na tabela de

frequências. Utilize o teorema de Theibichev (2

11

KTT ) para determinar um

intervalo de confiança para a média populacional. Utilize .2K

Tempo de Permanência (min) Freqüência

10 19 13

20 29 5

30 39 9

40 49 18

50 59 2

60 69 11

70 79 2

Soma 60

2- As companhias de seguro pesquisam continuamente as idades e as causas de morte.

Construa um histograma correspondente aos dados da tabela de freqüências abaixo. Os

dados se baseiam em um estudo da revista Times sobre vítimas fatais de armas de fogo

na América durante uma semana. O que o histograma sugere quanto às idades dessas

vítimas fatais? Calcule a sua média e o desvio-padrão. Utilize o teorema de Theibichev

(2

11

KTT ) para determinar um intervalo de confiança para a média populacional.

Utilize .2K

Idade na Morte Freqüência

16 – 25 22

26 – 35 10

36 – 45 6

46 – 55 2

56 – 65 4

66 – 75 5

76 – 85 1

3- Milhões de americanos se levantam todas as manhãs e vão para o escritório, em sua

própria casa. Sugere-se que o uso de computadores pessoais seja uma das razões para

que mais pessoas possam trabalhar em casa. A seguir está uma amostra de dados, por

idade, de indivíduos que trabalham em casa:

22 58 24 50 29 52 57 31 30 41

44 40 46 29 31 37 32 44 49 29

24

Calcule a média e o desvio-padrão. Utilize o teorema de Theibichev (2

11

KTT ) para

determinar um intervalo de confiança para a média populacional. Utilize .2K

4- Um departamento de produção usa um procedimento de amostragem para testar a

qualidade de itens recém-produzidos. O departamento emprega a seguinte regra de

decisão em uma estação de inspeção: se uma amostra de 14 itens tem uma variância de

mais que 0,005, a linha de produção precisa ser paralisada para reparos. Suponha que os

seguintes dados tenham sido coletados:

3,43 3,45 3,43 3,48 3,52 3,50 3,39

3,48 3,41 3,38 3,49 3,45 3,51 3,50

A linha de produção deveria ser paralisada? Por quê?

5- Um posto de gasolina registrou a seguinte distribuição de frequência para o número

de litros de gasolina vendidos por carro em uma amostra de 680 carros.

Gasolina (litros) Frequência

0 – 4 74

5 – 9 192

10 – 14 280

15 – 19 105

20 – 24 23

25 – 29 6

Total 680

Calcule a média, a variância e o desvio-padrão para esses dados agrupados. Se o posto

de gasolina espera atender cerca de 120 carros em um determinado dia, qual é a

estimativa do número total de litros de gasolina que serão vendidos?

Exercícios Complementares

1- A Média Harmônica costuma ser usada como medida de tendência central para

conjuntos de dados que consistem em taxas de variação, como por exemplo,

velocidades. A média harmônica é obtida dividindo-se o número n de valores pela soma

dos inversores de todos os valores. Se expressa como:

x

n

1

(nenhum valor pode ser zero) Por exemplo, teremos como média harmônica para os

números 2, 4 e 10:

25

5,385,0

3

10

1

4

1

2

1

3

1

x

n

Um despachante calcula a velocidade média, em milhas por hora, do percurso de ida e

volta entre duas cidades. Dá-se a seguir os resultados obtidos em 14 viagens diferentes.

Com base nestes dados, qual é a velocidade média harmônica de um ônibus neste

percurso?

42,6 41,3 38,2 42,9 43,4 43,7 40,8

34,2 40,1 41,2 40,5 41,7 39,8 39,6

2- A Média Geométrica é usada em administração e economia para achar taxas médias

de variação, de crescimento, ou razões médias. Dados n valores (todos positivos), a

média geométrica é a raiz nma

do seu produto. Por exemplo, determina-se a média

geométrica de 2, 4 e 10 multiplicando-se os três valores (o que neste caso da 80) e

tomando-se a raiz cúbica do resultado (porquê há 3 valores). O resultado é 4,3. O fator

de crescimento médio para o dinheiro composto às taxas anuais de juro de 10%, 8%,

9%, 12% e 7% pode ser determinado calculando-se a média geométrica de 1.10, 1.08,

1.09, 1.12 e 1.07. Calcule esse fator médio de crescimento.

3- A Média Quadrática é utilizada em geral em experimentos físicos. Em sistemas de

distribuição de energia, por exemplo, as tensões e correntes são em geral dadas em

termos de sua média quadrática. Obtém-se a média quadrática de um conjunto de

valores elevando-se cada um ao quadrado, somando-se os resultados, dividindo-se o

total pelo número n de valores e tomando-se a raiz quadrada do resultado. Por exemplo,

obtemos a média quadrática de 2, 4 e 10:

3,6403

120

3

1001642

n

x

Calcule a média quadrática dos seguintes valores de fornecimento de energia (em volts):

151 162 0 81 - 68

4- A Média Ponderada é utilizada quando os valores dos dados têm diferentes pesos.

Consideremos que em uma festa escolar existam pessoas com 18, 19, 20, 35 e 40 anos

de idade. Além disso, consideremos também que sejam 5 pessoas com 18 anos, 9 com

19 anos, 4 com 20 anos, 1 com 35 anos e 1 com 40 anos. A média ponderada é o

resultado da soma dos produtos do número de pessoas (por idade) multiplicado por suas

idades, divididos pelo número total de pessoas.

Um aluno de estatística tirou nota 8,5 na primeira prova, 3,5 na segunda, 4,5 na terceira

e 4,5 na última. Calcule a média ponderada com peso 2 para a primeira prova, peso3

para a segunda, peso 2 para a terceira e peso 3 para a quarta.

8,2011495

1.401.354.209.195.18.

1

1

m

k

k

m

k

kk

p

pk

ponderadamédia

26

5- Calcule a média dos dados da tabela a seguir inserindo na própria tabela as colunas

que representam a média dos intervalos de classe e seu produto pela freqüência

Classe Freqüência

10 12 4

12 14 12

14 16 21

16 18 13

18 20 6

“A riqueza de um homem está em seu coração. É em seu coração que ele é o rei do mundo. Viver não exige a posse de tantas coisas”.

Giono

27

4.0 PROBABILIDADE POR MEIO DE SIMULAÇÃO

A determinação direta de probabilidades de eventos às vezes é muito difícil.

Eventualmente os resultados, embora corretos, não são o que esperávamos. Em lugar de

confiar exclusivamente nos princípios abstratos da teoria das probabilidades, a

simulação pode vir a ajudar-nos.

Definição: Uma simulação de um experimento é um processo que se comporta

como o próprio experimento, produzindo resultados análogos.

Exemplo 1: Em técnicas de teste sobre seleção de sexo, os pesquisadores médicos

precisam conhecer probabilidades relacionadas com o sexo de nascituros. Admitindo

que os sexos (masculino e feminino) sejam igualmente prováveis, descreva um

experimento que simule o sexo em nascimentos.

R: Vamos representar como:

1 = Masculino e 0 = feminino

Agora vamos simular 20 nascimentos:

Função: aleatórioentre(0;1)

Obtivemos: doze (uns) e oito (zeros). Ou seja,

P(masculino) = 12/20 = 0,6 = 60%

P(feminino) = 8/20 = 0,4 = 40% em simulação.

28

Exemplo 2: A fabricante de telefones celulares Delmarva Comunications Company

vem experimentando uma taxa de 6% de defeitos. O controlador de qualidade sabe que

os telefones são produzidos em lotes de 240 e que, em média, há aproximadamente 15

defeitos por lote. Ele deseja saber a variação típica do número de defeitos. Descreva

uma simulação de 240 telefones celulares fabricados com um taxa de 6% de incidência

de defeitos.

R: Tomamos a taxa de defeito 0,06 (ou seja, 6 a cada 100 lançamentos). Tomaremos

que:

os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 representarão os defeitos, e

os números 7, 8, ..., 100 representarão os não-defeitos.

Simulando 240 lançamentos de 1 a 100 e ordenando os dados:

Obtivemos por simulação um total de 14 defeitos em um lote de 250 celulares.

Realizando 10 simulações obtivemos os seguintes resultados:

14 11 8 15 9 14 15 9 10 12

Média e Desvio-Padrão do número de defeitos:

7,1110

117_

n

xx 6687,2

1

)( 2

n

xxS

29

Coeficiente de Variação: %8,222280,07,11

6687,2

Exercícios para sala:

1- Simule o lançamento de um dado não viciado 200 vezes e encontre as

probabilidades de sair os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

2- Simule o lançamento de uma moeda não viciada 100 vezes e encontre a

probabilidade sair cara.

“Todo o nosso descontentamento por aquilo que nos falta procede da nossa falta de gratidão por aquilo que temos”.

Daniel Defoe

30

5.0 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO LINEAR

32


1- O gerente de uma grande loja está interessado em investigar a relação entre o número

de comerciais mostrados no fim de semana e as vendas na loja durante a semana

seguinte. Os dados de amostra com as vendas expressas em centenas de dólares são

fornecidos no quadro a seguir:

33

Dados de Amostra para a Loja

N° de Comerciais Volume de Vendas

Semana “x” “y”

1 2 50

2 5 57

3 1 41

4 3 54

5 4 54

6 1 38

7 5 63

8 3 48

9 4 59

10 2 46

Existe algum relacionamento entre o número de comerciais e o aumento no volume de

vendas?

R:



34

Exercícios

1- A Média Industrial Dow Jones (DJIA) e o índice Standard & Poor´s 500 (S&P 500)

são ambos utilizados como medidas do movimento global no mercado de ações. O

DJIA é baseado no movimento de preços de 30 ações; o S&P 500 é um índice composto

de 500 ações. Alguns dizem que o S&P 500 é uma medida melhor do desempenho do

mercado de ações porque é baseado em maior número de ações. O Quadro a seguir

ilustra o preço de fechamento para o DJIA e para o S&P 500 para 10 semanas em 1997.

a- Calcule o coeficiente de correlação para a amostra.

b- O que o coeficiente de correlação nos conta sobre a relação entre os índices

DJIA e S&P 500?

Preços de fechamento para os índices da média industrial Dow Jones e S&P 500

Data Dow Jones S&P 500

24 de outubro 7.715 942

31 de outubro 7.442 915

7 de novembro 7.581 928




5 de dezembro 8.149 984




2- O quadro a seguir relaciona os pesos (em centenas de libras) e as taxas de consumo

de combustível em rodovia (em mi/gal) para uma amostra de carros de passeio novos.

Com base nos resultados, espera-se um maior consumo de combustível se adquirir um

carro mais pesado? Os resultados se modificam se os pesos forem dados como 2900,

3500, ..., 2400?

x peso 29 35 28 44 25 34 30 33 28 24

y combustível 31 27 29 25 31 29 28 28 28 33

3- A tabela a seguir dá os pesos (em libras) do plástico descartado por uma amostra de

residências, juntamente com o tamanho destas. Há alguma correlação linear

significatica?

x plástico

(lb)

0,27 1,41 2,19 2,83 2,19 1,81 0,85 3,05

y tamanho

residência

2 3 3 6 4 2 1 5

35

4- Fez-se um estudo para investigar a relação entre idade (em anos) e a CAS

(Concentração de Álcool no Sangue) medida quando os motoristas intoxicados

condenados foram presos pela primeira vez. Com base no resultado, parece haver

relação entre o nível de CAS e a idade da pessoa testada?

Idade 17,2 43,5 30,7 53,1 37,2 21 27,6 46,3

CAS 0,19 0,2 0,26 0,16 0,24 0,20 0,18 0,23

5- A tabela a seguir dá o número (em milhares) de armas automáticas registradas,

juntamente com a taxa de criminalidade (em crimes por 100.000), para estados

selecionados aleatoriamente. Consideram-se automáticas as armas que continuam

disparando enquanto o gatilho está acionado. Os crimes com armas de fogo parecem

estar relacionados com as aramas automáticas? Uma correlação linear significativa

implica que o aumento do número de armas automáticas resulta em maior número de

crimes?

Armas

automáticas

11,6 8,3 3,6 0,6 6,9 2,5 2,4 2,6

Taxa de

criminalidade

13,1 10,6 10,1 4,4 11,5 6,6 3,6 5,3

36

6.0 ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR

38


1- Pressupondo a correlação entre o número de comerciais e o volume de vendas em um

determinada loja, é possível predizer o volume de vendas para a loja na próxima semana

sabendo que o numero de comerciais desta semana foi 3.

Dados de Amostra para a Loja

N° de Comerciais Volume de Vendas

Semana “x” “y”

1 2 50

2 5 57

3 1 41

4 3 54

5 4 54

6 1 38

7 5 63

8 3 48

9 4 59

10 2 46

39


Exercícios

1- A figura a seguir ilustra o diagrama de dispersão da população de estudantes (em

milhares no eixo x) e o volume de vendas trimestrais (em milhares de dólares) para a

Armand´s Pizza Parlors. Determine a equação de regressão linear para o diagrama e

determine qual seria o volume de vendas se a população de estudantes fosse de 13 mil

estudantes.

58

105

88

118 117

137

157169

149

202

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

Série1

2- Os dados seguintes mostram o gasto com mídia (milhões de dólares) e as vendas de

caixas (milhões) para sete grandes marcas de refrigerantes.

Marca Gastos com Mídia (US$) Vendas de Caixas

Coca-Cola 131,3 1.929,2

Pepsi-Cola 92,4 1.384,6

Coca-Cola Light 60,4 811,4

Sprite 55,7 541,5

Dr. Pepper 40,2 536,9

Mountain Dew 29,0 535,6

7-up 11,6 219,5


40

a) Desenvolva um diagrama de dispersão para esses dados.

b) Encontre a equação de regressão estimada.

c) Tente prever a venda de caixas para uma marca com um gasto com mídia de

US$ 70 milhões.

3- Os dados de performance de linhas aéreas americanas foram reportados no The

Wall Street Journal Almanac 1998. Os dados da porcentagem de vôos chegando na

hora e o número de reclamações a cada 100.000 passageiros são apresentados a

seguir:

Linha Aérea Porcentagem de Pontualidade Reclamações

Southwest 81,8 0,21

Continental 76,6 0,58

Northwest 76,6 0,85

US Airways 75,7 0,68

United 73,8 0,74

American 72,2 0,93

Delta 71,2 0,72

American West 70,8 1,22

TWA 68,5 1,25


b) Desenvolva uma equação de regressão estimada.

c) Qual será o número de reclamações/100.000 passageiros se a porcentagem de

vôos chegando na hora for de 80%?

4- Um gerente de vendas reuniu os seguintes dados considerando os anos de experiência

e as vendas anuais.

Vendedor Anos de Experiência Vendas Anuais (US$ 1.000)

1 1 80

2 3 97

3 4 92

4 4 102

5 6 103

6 8 111

7 10 119

8 10 123

9 11 117

10 13 136


b) Desenvolva a equação de regressão estimada.

c) Use a equação para estimar as vendas anuais para um vendedor com nove anos

de experiência.

41

7.0 SIMULAÇÃO

A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada e voltada para a resolução de

problemas reais. Tem como objetivo a tomada de decisões. Fundamenta-se em

conceitos e métodos de outras áreas científicas para o planejamento e operação de

sistemas e projetos.

“A Pesquisa Operacional surgiu durante a Segunda Guerra Mundial, quando os

Aliados se viram confrontados com problemas (de natureza logística, tática e de

estratégia militar) de grande dimensão e complexidade. Para apoiar os comandos

operacionais na resolução desses problemas, foram então criados grupos

multidisciplinares de matemáticos, físicos e engenheiros e cientistas sociais. Esses

cientistas não fizeram mais do que aplicar o método científico, que tão bem conheciam,

aos problemas que lhes foram sendo colocado. Desenvolveram então a idéia de criar

modelos matemáticos, apoiados em dados e fatos, que lhes permitissem perceber os

problemas em estudo e simular e avaliar o resultado hipotético de estratégias ou

decisões alternativas” (http://www.sobrapo.org.br/PO.htm).

“O sucesso e credibilidade ganhos durante a guerra foram tão grandes que,

terminado o conflito, esses grupos de cientistas e a sua nova metodologia de abordagem

dos problemas se transferiram para as empresas que, com o "boom" econômico que se

seguiu, se viram também confrontadas com problemas de decisão de grande

complexidade” (http://www.sobrapo.org.br/PO.htm).

“Seguiram-se então grandes desenvolvimentos técnicos e metodológicos que hoje,

com o apoio de meios computacionais de crescente capacidade e disseminação, nos

permitem trabalhar enormes volumes de dados sobre as atividades das empresas e,

através de adequados modelos de base quantitativa, simular e avaliar linhas de ação

alternativas e encontrar soluções que melhor servem aos objetivos dos indivíduos ou

organizações” (http://www.sobrapo.org.br/PO.htm).

7.1 Modelos de Programação Linear

1. Histórico

II Guerra Mundial alocação de recursos limitados

1947 George B. Dantizig formulou o “Método Simplex”

para a resolução de problemas de programação linear.

A partir daí ocorreram vários aprimoramentos do método.

2. Exemplo de um Problema Linear com duas (2) variáveis

http://www.sobrapo.org.br/PO.htm

42

(Problema 1) Uma empresa deseja lançar duas variedades de produtos, digamos A e B,

em uma área (galpão) restrita a 100 ares (10.000 m²), sendo que cada espaço (are)

destinado ao produto A tem um retorno de 8 unidades, enquanto que cada espaço (are)

destinado ao produto B tem um retorno de 10 unidades. Na linha de produção, cada

espaço destinado ao produto A precisa de 3 homens-hora de trabalho, e cada espaço

destinado ao produto B precisa de 2 homens-hora, sendo que se dispõe de até 240

homens-hora de trabalho para a produção. O custo da mão-de-obra é de 200 u.m.

(unidades monetárias) por homem-hora. A demanda máxima é limitada pelo mercado

consumidor a 480 produtos tipo A, vendido a 150 u.m. por unidade, e 800 produtos do

tipo B, vendido a 120 u.m. por unidade. O gestor da empresa, deseja planejar a sua

produção de forma a maximizar o seu lucro.

Modelagem Matemática:

Passo 1. Variáveis do Problema.

1x Quantidade de espaços (ares) destinados ao produto tipo A.

2x Quantidade de espaços (ares) destinados ao produto tipo B.

Passo 2. Função Objetivo

Maximização do lucro

Lucro = (receitas menos os custos)

Receitas

21

21

.1200.1200

/..120..10/..150..8

xxR

smuxsmuxR

Custos

21

21

.400.600

../..200..2../..200..3

xxC

hhmuxhhmuxC

Portanto Temos o

21

2121

.800.600

.400.600.1200.1200

xxLucro

xxxxLucro

43

Logo para a Função Objetivo teremos

21 .800.600 xxZMax

Passo 3. Restrições Limitações.

Obs.: 1 hectare equivale 100 ares

Área disponível

10021 xx

Consumo de homens-hora

240.2.3 21 xx

Demanda do mercado

60

480.8:

1

1

x

ouxATipo

80

800.10:

2

2

x

ouxBTipo

Modelo Matemático Completo

0,

80

60

240.2.3

100:..

.800.600

21

2

1

21

21

21

xx

x

x

xx

xxas

xxZMax

3. Resolução Gráfica

0,

80

60

240.2.3

100:..

.800.600

21

2

1

21

21

21

xx

x

x

xx

xxas

xxZMax

Para a primeira restrição temos

44

100

1000

0100

2

2

121

x

x

xparaxx

100

1000

0100

1

1

221

x

x

xparaxx

Condição: Desigualdade (<)

Vale a mesma resolução para as demais restrições

Objetivo: Ponto que maximiza a função

O Vetor Gradiente indica a direção do máximo crescimento de uma função.

Função Objetivo 21 .800.600 xxZMax

)80,60(

)800,600(

)(

Z

Z

parciaisderivadasZ

Semi-plano 100

100

Reta

Semi-plano

45

80,20, 21 xxExtremoPonto

..76000

80.80020.600

.800.600

*

*

21

*

muZ

Z

xxZ

Existe uma solução ótima limitada, se e somente se, ela sempre poderá ser encontrada

em um ponto extremo do conjunto de soluções compatíveis.

Dar o exemplo não é a melhor maneira de influenciar os outros. - É a única.

Albert Schweitzer

Direção do vetor gradiente

60

80

20

.

Vértice da solução ótima

Ponto extremo

46

Tomador de Decisão: __________________________________

O Modelo de Transportes (Logística)

Dentro da Programação Linear o modelo de transportes merece uma atenção especial.

Ele possui suas características próprias possuindo um modelo geral de P.L..

Modelo Geral

njemix

demandanjbx

ofertamiaxas

xcCMin

ij

j

m

i

ij

i

n

j

ij

m

i

n

j

ijij

,...,1,...,1,0

)(,...,1,

)(,...,1,:..

.

1

1

1 1

Observação: Nos modelos de transportes a “oferta” deve ser igual a “demanda”.

Se oferta > Demanda

Cria-se um depósito fictício com a demanda igual a diferença da oferta pela demanda

onde os custos de transporte das fábricas ao depósito fictício são iguais a zero.


47

* Na solução ótima, se algo for destinado ao depósito fictício representam excedentes de

produção. (sobra de produção)

Se oferta < Demanda

Cria-se uma fábrica fictícia com a oferta igual a diferença da demanda pela oferta, onde

os custos de transporte da fábrica fictícia a qualquer depósito são iguais a zero.

* Na solução ótima, se algo da fábrica fictícia for destinado a qualquer depósito,

significa demanda não satisfeita.

Exemplo:

Três fábricas de automóveis, F1, F2 e F3, devem suprir a demanda de 4 centros de

distribuição, denominados por C1, C2, C3 e C4. Os automóveis são transportados em

números inteiros de caminhões (comumente referidos como cegonhas). Assim o custo

de transporte entre uma fábrica dependerá da distância rodoviária entre cada fábrica e o

centro de distribuição.

Para simplificar, as rotas mais curtas foram determinadas e os custos de transporte

foram calculados, e encontram-se resumidos no quadro a seguir. Este quadro também

apresenta as ofertas e demandas das fábricas e centros de consumo.

C1 C2 C3 C4 oferta

F1 5,5 4,5 9,9 2,7 10

F2 6,4 2,5 3,3 4,2 9

F3 2,5 4,9 4,6 4,7 9

demanda 4 7 5 12

Construa um modelo de Programação Linear que representa o problema descrito.

Modelagem:

Passo 1: Variáveis

)4()3(

)1()3(

)4()2(

)1()2(

)4()1(

)3()1(

)2()1(

)1()1(

34

31

24

21

14

13

12

11

CcentrooparaFfábricadatransportex








48

Passo 2: Função Objetivo

Minimizar os custos com transportes

34333231

24232221

14131211

7,46,49,45,2

2,43,35,24,6

7,29,95,45,5

xxxx

xxxx

xxxxCMin

Passo 3: Restrições

Oferta da Fábrica 1

1014131211 xxxx


924232221 xxxx


934333231 xxxx

Demanda do Centro 1

4312111 xxx

Demanda do Centro 2

7322212 xxx

Demanda do Centro 3

5332313 xxx

Demanda do Centro 4

12342414 xxx


ijijx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

as

xxxx

xxxx

xxxxCMin

0

12

5

7

4

9

9

10

:.

7,46,49,45,2

2,43,35,24,6

7,29,95,45,5

342414

332313

322212

312111

34333231

24232221

14131211

34333231

24232221

14131211

49

O Modelo da Dieta

Exemplo:

Uma determinada pessoa é forçada pelo seu médico a fazer uma dieta alimentar que

forneça, diariamente, pelo menos as seguintes quantidades de vitaminas A, B, C e D:

A = 80 mg/dia; B = 70 mg/dia; C = 100 mg/dia e D = 60 mg/dia. A dieta deverá incluir

leite, arroz, feijão e carne, os quais contêm os seguintes miligramas de vitaminas em

cada uma de suas unidades de medidas (tratam-se de dados hipotéticos):

Vitaminas

Alimentos

Leite

(copo)

Arroz

(100g)

Feijão

(100g)

Carne

(100g)

A 10 5 9 10

B 8 7 6 6

C 15 3 4 7

D 20 2 3 9

Os custos unitários desses alimentos são os seguintes: Leite = R$ 1,50/copo; arroz = R$

0,40/100g; feijão = R$ 0,70/100g; e carne = R$ 2,30/100g. Deseja-se saber o consumo

diário de cada um desses alimentos de tal maneira que a dieta satisfaça as prescrições

médicas e seja a de menor custo possível.

Modelagem:

Passo 1: Variáveis

gcarnedeporçõesdeQuantidadex

gfeijãodeporçõesdeQuantidadex

garrosdeporçõesdeQuantidadex

leitedecoposdeQuantidadex

100/

100/

100/

4

3

2

1

Passo 2: Função Objetivo

4321 3,27,04,05,1 xxxxCMin

Passo 3: Restrições

50

Quantidade mínima de vitamina A

80109510 4321 xxxx

Quantidade mínima de vitamina B

706678 4321 xxxx

Quantidade mínima de vitamina C

10074315 4321 xxxx

Quantidade mínima de vitamina D

6093220 4321 xxxx


0,,,

6093220

10074315

706678

80109510:..

3,27,04,05,1

4321

4321

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxas

xxxxCMin

“Orgulhar-se de coisas pequenas que você tem, faz com que elas pareçam grandiosas

aos olhos de terceiros”.

R:

51


R:










52

7.2 Modelagem em Excel

54

7.3 Modelos de Estoques

MODELOS DETERMINÍSTICOS DE ESTOQUES

Modelagem de estoque trata da determinação do nível de certa mercadoria que uma

empresa/indústria deve manter para garantir uma operação tranquila.

A base para a decisão é um modelo que equilibra o custo de capital resultante da

permanência de excedente de estoque com o custo de multas resultantes da falta de

estoque.

Modelo Geral de Estoque

O problema de estoque envolve fazer e receber pedidos de determinados tamanhos

periodicamente. Desse ponto de vista, uma política de estoque responde a duas

perguntas:

Quanto pedir?

Quando realizar o pedido?

A base principal do modelo de estoque é a função objetivo de minimização do custo de

estoque.

CMin = (Custo de compra) + (Custo de preparação) + (Custo de estocagem) + (Custo

de falta)

Custo de Compra: é o preço por unidade de um item de estoque (às vezes o

item é oferecido com desconto se o tamanho do pedido exceder certa

quantidade).

Custo de Preparação: representa os encargos fixos incorridos quando um

pedido de compra é emitido.

Custo de Estocagem: representa o custo para manter a mercadoria em estoque.

Custo de Falta: é a multa incorrida quando ficamos sem estoque. (perda de

receita e confiança do cliente).

Um sistema de estoques pode ser baseado em:

Revisão Periódica: emissão de pedidos toda semana ou todo mês. (exemplo:

postos de gasolina no qual novas entregas chegam no início de cada semana).

Revisão Contínua: emissão de pedido realizado quando o nível de estoque cai a

determinado nível, denominado ponto de reabastecimento. (exemplo:

55

supermercados onde os itens são repostos quando suas quantidades nas

prateleiras atingem certo nível).

Papel da Demanda no Desenvolvimento de Modelos de Estoques

Em situações práticas, o padrão de demanda em um modelo de estoques pode assumir

um dos quatro tipos:

Determinístico e Constante (estático) ao longo do tempo.

Determinístico e Variável (dinâmico) ao longo do tempo.

Probabilístico e Estacionário ao longo do tempo.

Probabilístico e não Estacionário ao longo do tempo.

Como podemos determinar se certa aproximação da demanda é aceitável?

Calcular a média e o desvio-padrão do consumo para um período e calcular o seu

coeficiente de variação 100.média

padrãoDesvioV

.

Coeficiente de Variação: mede a variação relativa ou dispersão dos dados ao redor da

média. Valores mais altos de V indicam maior incerteza na utilização da média como

uma boa aproximação do consumo mensal.

Diretrizes para Entendimento:

Se a demanda mensal média for aproximadamente constante para todos os

meses (período) e V for razoavelmente pequeno (< 20%), a demanda pode ser

considerada determinística e constante.

Se a demanda mensal média apresentar uma variação considerável entre os

diferentes meses, mas V for razoavelmente pequeno (< 20%), a demanda pode

ser considerada determinística e variável.

Se a demanda mensal média for aproximadamente constante para todos os

meses (período) e V for razoavelmente alto (>20%), a demanda pode ser

considerada probabilística e estacionária.

Quando as médias e os coeficientes de variação sofrem uma variação

considerável ao longo do tempo, então a demanda pode ser considerada

Probabilística e não estacionária.

Modelo EOQ (quantidade de ordem econômica) Clássico

O mais simples dos modelos de estoque envolve demanda constante com

reabastecimento instantâneo e nenhuma falta. Definindo-se:

56

y Quantidade do pedido (número de unidades)

D Taxa de demanda (unidades por unidades de tempo)

0t Comprimento do ciclo do pedido (unidades de tempo)

Um pedido de tamanho “y” unidades é emitido e recebido instantaneamente quando o

estoque chega ao nível zero. O ciclo de emissão para esse pedido padrão é:

Como 0t

yD então

D

yt 0 unidades de tempo.

O modelo de custo requer dois parâmetros de custo:

K Custo de preparação associado ao pedido de emissão

h Custo de estocagem

Dado que o nível de estoque médio é 2

y, o Custo Total por unidade de tempo(TCU)

é calculado como

TCU Custo de preparação por unidade de tempo + Custo de estocagem por unidade

de tempo

0

0

t

tciclopor estocagem de Custo preparação de Custo TCU

ot

ty

hK

TCU0.

2.

ou ainda 0

0.2

.

t

ty

h

t

KTCU

o

e como D

yt 0 temos que

2.

yh

D

y

KTCU

Exemplo: Padrão de Estoque no Modelo EOQ Clássico

Nível de

estoque

y

Tempo

Pontos no tempo nos quais os pedidos são recebidos

Estoque

médio = y/2

57

O valor ótimo da quantidade do pedido “y” é determinado pela minimização de TCU (y)

em relação à “y”. Para encontrar esse valor ótimo recorremos ao Cálculo Diferencial:

0TCUdy

d

02

.

yh

D

y

K

dy

dTCU

dy

d Temos que

2.

yh

D

y

KTCU ou ainda y

hyDkTCU .

2.. 1 e derivando teremos

02

2 hKDyTCU

dy

d

2

2 hKDy

22

h

y

KD

2.2

yh

KD

h

kdy

22

h

kDy

2

Pontos de Reabastecimento no Modelo EOQ Clássico

Nível de

estoque

y

Tempo

Pontos de reabastecimento

Estoque

médio = y/2

58

Assim a política ótima de estoque para o modelo proposto é

Pedido: h

kDy

2 unidades a cada

D

yt 0 unidades de tempo

Na verdade, um novo pedido não precisa ser recebido no instante em que é emitido. Em

vez disso, pode ocorrer um tempo de espera positivo L entre a emissão e o recebimento

de um pedido como na figura anterior. Nesse caso, o ponto de reabastecimento ocorre

quando o nível de estoque cai a LD unidades.

Pela figura anterior considera-se que o tempo de espera L é menor do que o

comprimento do ciclo 0t , o que pode não ser o caso geral. Para levar em conta essa

situação, definimos o tempo de espera efetivo como

0.tnLLe

Onde “n” é o maior inteiro que não ultrapassa 0t

L. Esse resultado é justificado porque

após “n” ciclos de 0t cada, a situação de estoque age como se o intervalo entre emitir

um pedido e receber outro fosse eL . Assim o ponto de reabastecimento ocorre em DLe

unidades.

Exemplo: As lâmpadas de néon do campus de uma universidade são substituídas a taxa

de 100 unidades por dia. O departamento de manutenção emite pedidos periódicos para

essas lâmpadas, e o custo de para iniciar um pedido de compra é $ 100. Estima-se que o

custo de armazenagem de uma lâmpada de néon é de aproximadamente $ 0,02 por dia.

O tempo de espera entre emitir o pedido e receber o material é de 12 dias. Determine a

política ótima de estoque para os pedidos de compra de lâmpadas de néon.

100D unidades por dia 100$K por pedido 02,0$h por unidade por

dia

000.102,0

100.100.22

h

kDy Lâmpadas de néon

O comprimento do ciclo associado é

10100

10000

D

yt dias

Como o tempo de espera 12L dias ultrapassa o comprimento do ciclo 100 t dias.

Devemos calcular eL . O número de ciclos inteiros incluídos em L é

59

0

intt

LeiroMaiorn

10

12int eiroMaiorn

1n

Assim

2)10(112. 0 tnLLe dias

Portanto, o ponto de reabastecimento ocorre quando o nível de estoque cai para

200)100(2 DLe lâmpadas de néon

A política de estoque para emitir pedidos de lâmpadas de néon é:

Pedir 1.000 unidades sempre que o nível de estoque cair a 200 unidades.

O custo diário de estoque associado com a política de estoque proposta é

20$2

100002,0

100

1000

100

2.

yh

D

y

KTCU por dia

Referência Bibliográfica:

Taha, Hamdy A., “Pesquisa Operacional: uma visão geral”, 8° edição, Pearson Prentice

Hall, 2008.

“Dar o exemplo não é a melhor maneira de influenciar os outros. - É a única.” Albert Schweitzer

60


Preço De EOQ com Desconto por Quantidade

Esse modelo é o mesmo que o da seção anterior, exceto que o item de estoque pode ser

comprado com desconto se o tamanho do pedido “y” exceder um dado limite “q”.

Matematicamente, o preço unitário de compra “c” é dado por

qysec

qysecc

,

,

2

1

Onde 21 cc

Em decorrência,

Custo de compra por unidade de tempo =

qyseDc

D

y

yc

t

yc

qyseDc

D

y

yc

t

yc

,

,

22

0

2

11

0

1

Usando a notação da aula anterior, o custo total por unidade de tempo é

qyseyh

y

KDDcyTCU

qyseyh

y

KDDcyTCU

yTCU

2)(

2)(

)(

22

11

Função Custo de Estoque com Desconto no Preço por Unidade

As funções TCU1 e TCU2 estão representadas no gráfico anterior. Como a única

diferença entre as duas funções é uma quantidade constante, seus mínimos devem

coincidir em

Custo

y

TCU1 TCU2

ym Q

I II III

61

h

KDym

2

A função custo TCU (y) começa na esquerda com TCU1(y) e cai para TCU2(y) no

ponto de equilíbrio do preço, “q”. A determinação da quantidade ótima do pedido “y”,

depende do ponto em que se encontra o ponto de equilíbrio do preço em relação as

zonas I, II e III delineadas por I: (0, ym), II: (ym, Q) e III: (Q, infinito). O valor de “Q” (

> ym ) é determinado pela equação

)()( 12 myTCUQTCU

Ou ainda

)(2

12 myTCUQh

Q

KDDc

Que é simplificada para

0)(2

12 myTCUQh

Q

KDDc

0)(2

1

2

2 QyTCUQh

KDDQc m

0)(2

12

2 KDQyTCUDQcQh

m

02

)(22

12

2 KDh

QyTCUh

DQch

Q m

02

)(22

12

2

KD

hQyTCU

hDc

hQ m

0

2)(2 122

h

KDQ

h

yTCUDcQ m

E desta forma a quantidade ótima desejada “y” é:

IIzonanaestiverseq

IIIouIzonasnasestiverqseyy

m

,

,

As etapas para determinar “y” são

Etapa 1: Determine h

KDym

2 . Se “q” estiver na zona I, então myy . Caso

contrário, vá para a etapa 2.

Etapa 2: Determine “Q” ( > ym ) pela equação

62

0

2)(2 122

h

KDQ

h

yTCUDcQ m

Defina as zonas II e III. Se “q” estiver na zona II então qy . Caso contrário, “q” está

na zona III e myy .

Exemplo: A LubeCar é especializada em troca rápida de óleo automotivo. A oficina

compra óleo automotivo a granel por $ 3 por galão. O revendedor oferece um preço com

desconto de $ 2,5 por galão se a Lubecar comprar mais do que 1.000 galões. A oficina

atende aproximadamente 150 carros por dia e cada troca de óleo leva 1,25 galões. A

Lubecar armazena óleo a granel ao custo de $ 0,02 por galão por dia. Além disso, o

custo para emitir um pedido para óleo a granel é $ 20. Existe um tempo de espera de

dois dias para a entrega. Determine a política ótima de estoque.

O consumo de óleo por dia é

D = 150 carros por dia (x) 1,25 galão por carro = 187,5 galões por dia.

Temos também

diaporgalãoporh 02,0$

pedidoporK 20$

diasL 2

galãoporc 3$1

galãoporc 50,2$2

galõesq 000.1

Etapa 1: Calcule

galõesh

KDym 37,612

02,0

5,187.20.22 .

Como q = 1.000 é maior do que 37,612my , passamos para a etapa 2.

Etapa 2: Determine “Q”

m

m

m yh

y

KDDcyTCU

2)( 11

37,612.2

02,0

37,612

)5,187(20)5,187(3)(1 myTCU

75,574)(1 myTCU

63

Por conseguinte

0

2)(2 122

h

KDQ

h

yTCUDcQ m

0

02,0

)5,187)(20(2

02,0

75,574)5,187(5,222

QQ

0000.37574,599.102 QQ

Que tem como resultado 25,564.10Q ( > ym). Assim

Zona II: (612,37 ; 10.564,25)

Zona III: (10.564,25 ; infinito)

E como q = 1.000 cai na zona II, a quantidade ótima de pedido é 000.1 qy galões.

Dado um tempo de espera de dois dias, o ponto de renovação de pedido é 2D, ou seja,

2 (187,5) = 375 galões.

Portanto a política ótima de estoque é

Pedir 1.000 galões quando o nível de estoque cair para 375 galões.

1000.2

02,0

1000

)5,187(20)5,187(5.2)(2 myTCU

50,4821075,375,468)(2 myTCU

Obs.: Gerando uma redução no custo considerável de $ 574,75 para $ 482,50.



Hall, 2008.

“Pensa como pensam os sábios, mas fala como falam as pessoas simples”

Aristóteles

64


Vários itens de EOQ com Limitação de Armazenagem

Esse modelo lida com n ( > 1) itens, cujas flutuações individuais de estoque seguem um

mesmo padrão (não é permitida a falta). A diferença é que os itens competem por um

espaço limitado de armazenagem.

Definam-se para o item i, i = 1, 2, 3, ..., n.

iD Taxa de demanda

iK Custo de preparação

ih Custo de estocagem por unidade, por unidade de tempo

iy Quantidade de pedido

ia Requisito de área de armazenagem por unidade de estoque

A Máxima área de armazenagem disponível para todos os “n” itens

Sob a premissa de não haver falta, o modelo matemático que representa a situação de

estoque é dado por

n

i

ii

i

iin

yh

y

DKyyyTCUMin

1

212

),...,,(

s.a.:

n

i

ii Aya1

niyi ,...,3,2,1;0

Para resolver este problema, tentamos primeiro uma solução desconsiderando as

restrições:

nih

DKy

i

iii ,...,3,2,1,

2

Se essa solução satisfizer a restrição, o problema estará resolvido. Caso contrário, a

restrição deve ser ativada.

Exemplo: Os dados da tabela a seguir descrevem três itens de estoque.

65

Item i Ki ($) Di (unidades

por dia)

hi ($) ai (pés2)

1 10 2 0,30 1

2 5 4 0,10 1

3 15 4 0,20 1

Área total de armazenagem disponível = 25 pés2

Resolução:

Os valores ótimos desconsiderando as restrições:

nih

DKy

i

iii ,...,3,2,1,

2

55,1130,0

)2)(10(21 y

2010,0

)4)(5(22 y

49,2420,0

)4)(15(23 y

Esses valores violam a restrição de armazenagem

25321 yyy

Por isso a questão é resolvida como um problema de programação não linear usando o

solver do Excel.

Inserindo os dados iniciais na planilha do Excel

B7 =SOMA(B4*(B9/2)+B2*(B3/B9))

C7=C4*C9/2+C2*C3/C9

66

D7=D4*D9/2+D2*D3/D9

E7 =SOMA(B7:D7)

E6 =B5*B9+C5*C9+D5*D9

E9 =E7

Mandar resolver utilizando o solver:

A solução ótima é:

34,61 y unidades 09,72 y unidades 57,113 y unidades 62,13Custo por dia

67

Exercícios tarefa:

1- Os dados da tabela abaixo descrevem cinco itens de estoque:


por dia)

hi ($) ai (pés2)

1 20 22 0,35 1,0

2 25 34 0,15 0,8

3 30 14 0,28 1,1

4 28 21 0,30 0,5

5 35 26 0,42 1,2

Área total de armazenagem disponível = 25 pés2

Determine as quantidades ótimas do pedido.

R:


2- Os dados da tabela abaixo descrevem quatro itens de estoque:


por dia)

hi ($)

1 100 10 0,1

2 50 20 0,2

3 90 5 0,2

4 20 10 0,1


68

A empresa deseja determinar o lote econômico para cada um dos quatro itens de modo

tal que o número total de lotes por ano (365 dias) seja no máximo 150. Formule a

questão como um problema de programação não linear e ache a solução ótima.

R:




Hall, 2008.

“A verdadeira medida de um homem não é como ele se comporta em momentos de conforto e

conveniência, mas como ele se mantém em tempos de controvérsia e desafio”.

Martin Luther King Jr.

7.4 Simulação

A simulação é uma das técnicas mais gerais usadas em Pesquisa Operacional.

Simular significa reproduzir o funcionamento de um sistema, com o auxílio de um

modelo, o que nos permite testar algumas hipóteses sobre o valor de variáveis

controladas. Modelos de simulação aparecem sob a forma de jogos de empresas,

simuladores de voos, modelos físicos de aeronaves para testes em túnel de vento entre

outros.

Os modelos de simulação dinâmicos são usados de um período de tempo ao

período seguinte, captando as mudanças ocorridas com o tempo, o que nos permite

avaliar o efeito de um conjunto de decisões sucessivas.


69

A simulação em sistemas que incorporam elementos aleatórios é denominada

Simulação Estocástica ou Simulação de Monte Carlo, e na prática é viabilizada com

o uso de computadores devido à grande massa de dados a ser processada.

Aplicações

Dimensionamento de Instalações

O cálculo de número de caixas em um supermercado envolve considerações como:

Número de pessoas que chegam à fila num período de tempo;

O tempo de atendimento de um cliente;

O tempo que o cliente espera para ser atendido, entre outros.

Estas variáveis são aleatórias e a situação se altera com o correr do tempo. O problema

consiste em manter o tempo em que o cliente gasta para este serviço dentro dos padrões

considerados aceitáveis, e com menos custos para estas condições.

Programação de Sistemas com Retro informação

È o caso de empresas que fabricam por encomenda. A programação usa as variáveis:

Capacidade das máquinas usadas na produção;

Disponibilidade de mão-de-obra;

Suprimento de matéria-prima;

Data da entrega combinada, entre outros.

Ao chegar um novo pedido, essa programação tem que ser revista para incorporar dados

novos e consequente atualização. A chegada de um novo pedido é aleatória assim como

as outras variáveis.

Dimensionamento de Estoques

Neste caso devem ser consideradas as variáveis:

Demanda aleatória em um período de tempo;

Tempo aleatório de atendimento de pedido de reposição;

Estoque inicial e final do período, entre outras.

O problema é manter o atendimento dentro dos padrões previamente estabelecidos com

a maior economia possível no gerenciamento e na manutenção dos estoques.

Motivação

A simulação é usada em situações em que é muito caro ou difícil o experimento na

situação real. Ela nos permite fazer esse experimento com o modelo variando

parâmetros críticos, para conhecer quais as combinações que dão os melhores

resultados. Desta forma podemos analisar o efeito de mudanças sem correr o risco da

construção de um sistema real equivocado, o que tornaria os custos dessa construção em

prejuízos.

70

Geração de Eventos Aleatórios

Vamos supor que uma variável aleatória (por exemplo, a demanda de um produto) tenha

apresentado a seguinte distribuição de frequência:

Valor

(Demanda)

Frequência

100 10

105 30

110 40

115 15

120 5

Após uma análise da situação, chegou-se a conclusão de que não há motivo para

acreditar que os fatores importantes que condicionam os valores da variável (demanda

do produto) tenham sofrido alterações significativas. Desta forma podemos aceitar que

esta distribuição gerada no passado continue descrevendo o comportamento dessa

variável, e podemos usá-la para simular um padrão de 10 valores de demandas do

produto para dez dias.

o Uma maneira de se fazer isso seria colocar em uma caixa 10 bolinhas com o

número 100, 30 bolinhas com o número 105, e assim por diante. Ao sortear uma

bolinha, a probabilidade de ocorrer um desses valores é a frequência observada

no passado, e ainda válida.

o Sorteando 10 bolinhas com reposição, teríamos um padrão de valores

(demandas) da variável.

o Esse procedimento pode ser simplificado, considerando as bolinhas grafadas

com número de dois algarismos, de 00 a 99, o que dá 100 bolinhas.

o Para isso, consideremos a distribuição da variável aleatória e sua frequência

acumulada:

Valor

(Demanda)

Frequência Frequência

Acumulada

100 10 10

105 30 40

110 40 80

115 15 95

120 5 100

Teríamos então segundo as frequências acumuladas na tabela

Valor

(Demanda)

Frequência Frequência

Acumulada

Número na

Bolinha

100 10 10 00 a 09

105 30 40 10 a 39

110 40 80 40 a 79

115 15 95 80 a 94

120 5 100 95 a 99

71

Essa tabela reproduz a distribuição por frequência da variável. Sorteamos agora 10

bolinhas e anotamos os valores correspondentes.

Sorteio 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°

N° Bolinha 27 38 03 92 46 12 76 18 50 72

Valores /Demanda 105 105 100 115 110 105 110 105 110 110

Para evitar o manuseio físico de caixas, bolinhas, etc., podemos lançar mão de uma

tabela de números aleatórios. São os números sorteados ou gerados de maneira

equiprovável e colocados em uma tabela. Para gerar um grupo de números aleatórios de

dois dígitos basta iniciar em um ponto qualquer da tabela e anotar, por exemplo, os dois

últimos algarismos do número da tabela. A seguir anotar os dois últimos algarismos dos

números que estão na sequência de linhas ou colunas da tabela a partir do primeiro

número considerado, em qualquer sentido, até obter o total de números de dois

algarismos desejados.

Exemplo: O tempo de atendimento de um caixa de supermercado foi anotado após um

período considerado satisfatório para o treinamento do operador, para garantir que sua

rapidez seja estável.

Tempo de atendimento

em minutos

Frequência

2 5

4 8

6 15

8 10

10 2

Gerar com o auxílio da tabela de números aleatórios, um padrão de atendimento para

cinco clientes.

Solução: Como temos 40 observações, calculamos as frequências relativas ou

porcentagens (quantidades em 100), e a frequência relativa acumulada.

Tempo de atendimento

em minutos

Frequência

Relativa (%)

Frequência Relativa

Acumulada (%)

2 12,5 12,5

4 20 32,5

6 37,5 70

8 25 95

10 5 100

Para contornar o problema dos valores não inteiros das duas primeiras porcentagens,

consideramos a frequência em 1.000, o que nos leva a tabela de números aleatórios:

72

Tempo de

atendimento

em minutos

Frequência

Relativa

(%)

Frequência

Relativa

A 1.000

Acumulada

(% x 10)

Números Aleatórios de

Identificação

dos Tempos

2 12,5 125 000 a 124

4 20 325 125 a 324

6 37,5 700 325 a 699

8 25 950 700 a 949

10 5 1000 950 a 999

Com o auxílio da tabela de números aleatórios, sorteamos cinco números de três

algarismos, do mesmo modo que no exemplo anterior:

Números: 053 999 130 563 434

Clientes 1° 2° 3° 4° 5°

Número Aleatório 053 999 130 563 434

Tempo de Atendimento 2 10 4 6 6

Exercício para sala: Uma central de atendimento anotou nos últimos 100 dias a

quantidade de pessoas atendidas por dia, e distribuiu-as em cinco classes.

Classes Número de Atendimentos

10 –I 12 15

12 –I 14 20

14 –I 16 35

16 –I 18 20

18 –I 20 10

Construir um padrão do número de atendimentos para a próxima semana (sete dias).

Use os números aleatórios: 10, 85, 36, 49, 58, 05, 67.

R:



73

Exercícios:

1- As variáveis “x” e “y” são independentes e têm aas distribuições empíricas:

10 12 15 x

0,20

0,50

0,30

8 9 10 y

0,40

0,50

0,10

Construir os valores de z = 2x + 3y usando 10 simulações para “x” e “y”. Qual o valor

médio de z ? Qual o desvio-padrão de z ?

Use os números aleatórios:

Para x: 38, 91, 18, 89, 71, 67, 46, 73, 42, 47

Para y: 34, 41, 69, 04, 51, 61, 29, 21, 02, 34

2- Uma empresa de consertos tem três funcionários para o atendimento aos clientes.

Quando não é possível o atendimento através dos funcionários, a firma contrata serviços

de terceiros a um custo maior. Faça 10 simulações para testar cada um das hipóteses:

a- A dispensa de um funcionário (o pior deles, com menor média),

diminuirá os custos de operação.

b- A contratação de um funcionário (igual ao pior deles) diminuirá os

custos de operação.

Dados:

10 12 14

Número de atendimentos diários

do funcionário 1

0,30

0,40

0,30

8 9 10 Número de atendimentos diários

do funcionário 2

0,20

0,50

0,30

7 9 10 Número de atendimentos diários

do funcionário 3

0,40

0,50

0,10

25 30 35

Número de chamadas por dia

30%

50%

20%

74

Custo por atendimento:

- Funcionário: $ 10,00

- Terceiro: $ 15,00

Fixo do funcionário por 10 dias: $ 50,00

Use os números aleatórios:

Funcionário 1: 00, 76, 07, 46, 85, 00, 06, 33, 37 e 83.

Funcionário 2: 96, 64, 02, 04, 89, 78, 89, 57, 63 e 17.

Funcionário 3: 83, 50, 68, 78, 44, 82, 23, 19, 47 e 99.

Número de Chamadas: 53, 59, 43, 94, 10, 40, 37, 65, 20 e 27.


Ermes Medeiros da Silva, et al., “Pesquisa Operacional para os cursos de

Administração, Economia e Ciências Contábeis”, 3° edição, São Paulo: Atlas, 1998.

“A educação é um processo social, é desenvolvimento. Não é a preparação para a vida, é a própria vida”.

John Dewey

75

8.0 PLANEJAMENTO DE PROJETOS

8.1 Redes PERT

78

8.2 Redes PERT Custo

79

Exercícios:

1- Para os projetos seguintes:

I. Construir a Rede de atividades P.E.R.T.;

II. Calcule as datas (IMC, TMT, IMT, TMC) e a Folga de cada atividade;

III. Indique o Caminho Crítico para a rede.

Projeto: 1

ATIVIDADE DURAÇÃO DEPENDÊNCIA

A 15 -

B 8 A

C 10 A

D 12 A

E 6 B, C

F 12 C

G 14 D

H 12 E

I 5 G

J 10 G

K 9 F, G, H

L 8 I, J

M 4 J

80

Projeto: 2

ATIVIDADE DURAÇÃO DEPENDÊNCIA

A 6 -

B 8 -

C 4 -

D 18 -

E 8 A, B

F 4 B

G 5 B

H 10 C

I 8 D

J 12 D, E, F

K 8 D, G, H

L 16 K, I, J

M 4 I

2- Para os seguintes projetos:

I. Calcular a Duração Média e a Variância de para cada atividade;

II. Construir a Rede de atividades P.E.R.T.;

III. Calcule as datas (IMC, TMT, IMT, TMC) e a Folga de cada atividade;

IV. Indique o Caminho Crítico para a rede.

Projeto: 1

Atividades Antecessor

imediato

Estimativa de tempo (semanas)

A: otimista B: mais provável C: pessimista

A- Análise da obra --- 3 4 5

B- Projeto de ferramentas e máquinas A 1 2 3

C- Projeto dos blocos ou partes A 3 4 8

D- Projeto geral da obra A 1 2 9

E- Projeto da montagem e teste D 4 5 12

F- Aquisição de ferramentas e máq. B 5 6 7

G- Construção dos blocos e partes E, F 4 4 4

H- Aquisição de fornecedores externos C 5 6 13

I- Montagem final G, H 4 4 10

J- Teste I 1 1 1

81

Projeto: 2

Atividades Estimativa de tempo em semanas Dependência

Otimista Provável Pessimista

A- Projeto 2 6 10 ---

B- Análise 3 4 5 A

C- Preparar local 1 3 4 A

D- Requisição de material 1 1 1 B

E- Fabricação de peças 3 4 5 C, D

F- Requisição de peças especiais 1 1 1 B

G-Recepção de peças especiais 4 5 6 F

H-Contratação de serviços de terceiros 3 5 7 B

I- Recepção de serviços de terceiros 1 1 1 H

J- Montagem 2 3 5 E, G, I

K- Inspeção e teste 3 4 5 J

82

9.0 REFERÊNCIAS

AKAMINE, C. T.; YAMAMOTO, R. K. Estatística Descritiva. Vol. 1., São mPaulo, Érica,

1998. (Id 519.22 – A313e), 10 exemplares.

ANDRADE, E. L. Introdução a Pesquisa Operacional: Métodos e Modelos para a Análise

de Decisão. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1998. (Id 65.012.122 – A553i), 20 exemplares.

ERMES, Medeiros da Silva, et al., Pesquisa Operacional para os cursos de

Administração, Economia e Ciências Contábeis, 3° edição, São Paulo: Atlas, 1998

LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisão. vol. 1. Rio de

Janeiro: Campus, 2002. (Id 65.012.122 – L138p), 2 exemplares.

LIPSCHUTZ, SEYMOUR. Probabilidade. 4ª ed. São Paulo, Makron Books, 1994, (5192 –

L767pr), 6 exemplares.

LOESCH, C.; HEIN, N. Pesquisa Operacional: Fundamentos e Modelos. vol. 1. Blumenau:

Editora da FURB, 1999. (Id 65.012.122 – L826p), 13 exemplares.

PUCCINI, A. L. Introdução a Programação Linear. 2. ed. Rio de Janeiro: Ed. Livros

Técnicos, 1989. (Id 005.11 – P977i), 2 exemplares.

TAHA, HAMDY A., Pesquisa Operacional: uma visão geral, 8° edição, Pearson Prentice

Hall, 2008.

TRIOLA, MARIO F. Introdução à Estatística. 7ª ed., Rio de Janeiro, LTC, 1999. (519.22 –

T834i), 25 exemplares.

VIEIRA, SÔNIA. Estatística para a Qualidade. Vol. 1, Rio de Janeiro, Campus, 1999.

(658.56 – V657e), 6 exemplares.

Linkografia:

http://www.ipeadata.gov.br/.

http://www.sobrapo.org.br/PO.htm.


http://www.sobrapo.org.br/PO.htm

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