Movimento Circular e Uniforme (MCU)

Temos um movimento circular uniforme quando um móvel descreve uma circunferência com velocidade de módulo constante, como um carro movendo-se em uma pista circular, enquanto seu velocímetro indicar o mesmo valor da velocidade. Muitos dos satélites artificiais que gravitam em torno da Terra apresentam trajetórias aproximadamente circulares. O movimento da Terra em torno do Sol pode, também ser considerado praticamente como circular uniforme.

No movimento circular uniforme o corpo passa, de tempos em tempos, por um mesmo ponto da trajetória, com a mesma velocidade. Em outras palavras, o movimento se repete em dado intervalo de tempo. Por isto, dizemos que o movimento circular uniforme é um movimento periódico. O tempo necessário para o móvel percorrer uma volta completa, chama-se período do movimento. O inverso do período, isto é, o número de voltas percorridas na unidade de tempo se denomina freqüência do movimento.

Desafio:

Suponha que a órbita da Terra ao redor do Sol seja umcírculo de raio 1UA (unidade astrônomica: 1UA = 1,496x108 km). a) Calcule a velocidade da Terra ao redor doSol em km/s, b) Calcule a velocidade angular da Terraao redor do Sol em rad/s, c) Calcule a frequência orbital da Terra ao redor do Sol em Hz. Adote p = 3.

Subsídios Matemáticos

a) Comprimento de uma circunferência de raio R.

RC = 2.p.R

Subsídios Matemáticos

b) Radiano:

Um radiano é o ângulo central que enxerga um arco de circunferência de comprimento igual ao do raio (R)

L =R.fL – comprimento do arcoR – raio da circunferênciaf - ângulo em radianos

R

L

f

Se o ângulo f for 360°, ou seja, uma volta, teremos L = C = 2pR:

f= L / R = 2.p.R / R = 2.p radianos (rad), portanto:

360° - 2.p rad (uma volta)180° - p rad (meia volta)

Voltemos para o MCU

DS

Df

R

Velocidade linear (V)• V = DS / DT

Função horária• S = So + V.t (M.U.)

Velocidade angular (w)• w = Df / DT

Função horária• f = fo + w.t (M.C.U.)

lembrando que DS = R.Df, temos:

V = R.Df / DT

Relação entre velocidade angulare velocidade linear:

V = w . R

A

B

V

V

Período (T):

- intervalo de tempo correspondente a uma volta completa

Frequência (F):

- número de voltas por unidade de tempo

F = n / Dt (Hertz = Hz)n – número de voltas

Dt – Tempo em segundos

Nota: Para n = 1 volta, temos Dt = T e Df = 2p

F = 1/T (1/s = Hz)

w= Df/Dt (rad/s)

w = 2p / T

w = 2pF

1rpm = uma rotação por minuto = 1/60s = (1/60) Hz

A lua e a aceleração centrípeta.

Ra

V1

V2

V.Dt a

V1

V2DV

Para a velocidade V, de tangência, constante, assim como a distância ao centro, R, num curto intervalo de tempo, por semelhança de triângulos, temos:

V.Dt / R = DV / VV.V / R = DV / DtV² / R = acp

a

R

R

V.Dt

acp = V² / R = w2.R (m/s²)

Resumindo:DS = R.Df

DS – comprimento do arcoR – raio da circunferênciaDf – variação do ângulo em radianos

R

DS

Df

Velocidade linear (V)• V = DS / DT• S = So + V.t (M.U.)

Velocidade angular (w)• w = Df / DT • f = fo + w.t (M.C.U.)

Relação entre velocidade angulare velocidade linear:

V = w . R

F = 1/T (1/s = Hz)

w= Df/Dt (rad/s)

w = 2p / T

w = 2pF

acp = v2/R = w2R (m/s²)

Resolvendo o desafio.

R =1UA

DS = 2.p.RDT = T = 1 ano = 365 dias.24h.60min.60sDT = T = 31536000 s1UA = 1,496.108 kma) V=? km/sb) w=? rad/sc) F=? Hz

Velocidade linear (V)• V = DS / DT• V = w . R • F = 1 / T

a) V = 2.3.1,496.108 / 31536000V =30 km/s

b) w = V / R = 30 / 1,496.108

w = 2.10-7 rad/s

c) F = 1 / 31536000 = 3.10-8Hz

Mais um pouco de movimento circular.

Acoplamento de polias (transmissão de movimento circular)

Mais um pouco de movimento circular.

Acoplamento de poliasVelocidade linear (V)• V = DS / DT

Velocidade angular (w)• w = Df / DT = 2.p/T = 2.p.F

lembrando que DS = R.Df, temos:

V = R.Df / DT

Relação entre velocidade angulare velocidade linear:

V = w . R = 2.p.F.R

F1 = F2F1.R1= F2.R2

Exemplos

1)UEMS Uma correia acopla dois cilindros de raios R1 = 20 cm e R2 = 100 cm, conforme a figura. Supondo que o cilindro menor tenha uma freqüência de rotação F1 = 150 Hz. A freqüência de rotação do cilindro maior, é de:

R1 = 20cmR2 = 100cmF1 = 150 HzF2 =?V = w.Rw = 2.p.F

V1 = V2

w1.R1 = w2.R2

2.p.F1.R1 = 2.p.F2.R2

150.20 = F2.100

F2 =30 Hz

Exemplos

2) Fatec-SP Duas polias, ligadas por uma correia, executam movimentos circulares solidários e seus raios medem 20 cm e 8,0 cm, respectivamente. Sabendo-se que a polia maior completa 8 voltas a cada 2 segundos, o número de voltas que a menor completará a cada um segundo será:

R1 = 20cmR2 = 8cmF1 = 8/2 = 4 HzF2 =?V = w.Rw = 2.p.F

V1 = V2

w1.R1 = w2.R2

2.p.F1.R1 = 2.p.F2.R2

4.20 = F2.8F2 =10 Hza polia menor completará10 voltas a cada 1 s.

Exemplos

3) Enem As bicicletas possuem uma corrente que liga uma coroa dentada dianteira, movimentada pelos pedais, a uma coroa localizada no eixo da roda traseira, como mostra a figura. O número de voltas dadas pela roda traseira a cada pedalada depende do tamanho relativo destas coroas. Em que opção abaixo a roda traseira dá o maior número de voltas por pedalada?

Exemplos

4) Enem Quando se dá uma pedalada na bicicleta abaixo (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento de um círculo de raio R é igual a 2.p.R, onde p = 3?

raio da roda traseira = 40cmraio da coroa traseira = 5cmraio da coroa dianteira = 15cm

Enquanto a coroa dianteira dá uma volta, a coroa traseira dá três voltas, pois esta é três vezes menor. Em consequência do acoplamentoexistente entre a roda e a coroa traseiras, ambas darão o mesmo número de voltas. Sendo assim,temos:para uma volta da coroa dianteira a roda traseira dará três voltas, assim:

C = 2.p.R.3, onde R é o raio da roda traseira

C = 2.3.40.3 = 720cm = 7,2m

5)Unicamp-SP O gráfico abaixo representa, em função do tempo, a altura emrelação ao chão de um ponto localizado na borda de uma das rodas de um automóvelem movimento. Aproxime pi = 3,1. Considere uma volta completa da roda edetermine:a) a velocidade angular da roda;b) a componente vertical da velocidade média do ponto em relação ao chão;c) a componente horizontal da velocidade média do ponto em relação ao chão.

Exemplos

0,6m

a) Velocidade angular (w)• w = Df / DT

w = 2.p / 0,1w = 2.3,1.10w = 62 rad/s

b) Vm = DS / DTVm = 0 – 0 / 0,1 = 0 m/s

c) V = w . R V = 62.0,3V = 18,6 m/s

Desafio: Observando a fotografia (abaixo) do céu noturno, determine o tempode exposição do filme fotográfico.Para isso, leve em conta que uma volta completa, que seria um arco completo de 360°,corresponde a 24 horas.