GRUPO DE MECNICA ESTRUTURAL DEM - FCTUC ___________________________________________________________________________ R.P.LEAL 2004/5 MECNICA de SLIDOS MECNICA DE SLIDOS ___________________________________________________________________________ Solid mechanics is a basic discipline, which supports much of the practice of mechanical andcivilengineering,andcontributessignificantlytootherengineeringandscientific disciplines.Researchinsolidmechanics,atthefoundationlevel,emphasizescomprehensive understandingandwell-formulatedanalysisofmechanicalphenomenaoccurringin engineeringsystems.Theincreasingavailabilityoflargecomputershashadatremendous impactonthefield.Thetraditionalemphasisonanalysishasshiftedtowarddevelopmentof morerealisticanddetaileddescriptionsofmaterialresponse,moreefficientcomputational methodologies,andaccuratenumericalsolutionofinitialandboundaryvalueproblems. Despite (or perhaps because of) this trend, theory and analysis must continue to play a vital role in modern solid mechanics. Solid mechanics is enriched by the increasing level of activity ininterdisciplinaryresearch.Withinthefield,thereisaneedforbettercommunicationand interaction between computation, experiment and theory. Thefieldofsolidmechanicshastraditionallybeencharacterizedbywell-formulated analysisofmechanicalphenomenaoccurringinengineeringsystems,combinedwith experiments that explore the basic concepts. M.M. Carroll, "Foundations of Solid Mechanics, Applied Mechanics Reviews, 38(10), 1301-1308, 1985

MECNICA DE SLIDOS ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/5IR.P.Leal Prefcio Ostextosqueseseguemdestinam-seaapoiaraleccionaodasaulasdadisciplinade Mecnica de Slidos, cadeira obrigatria do 2 semestre do 3 ano da Licenciatura em Engenharia Mecnica. Estadisciplinaaplicaconhecimentosanteriormenteadquiridosemoutrasdisciplinasda LicenciaturaaexemplossimplesdeMecnicaEstrutural,introduzindonovasformasdeformulare de resolver problemas em Mecnica de Slidos. Estes apontamentos iniciam-secom uma listagem de elementos de apoio ao estudo, contendo noapenasoslivrosreferidosnotextomas,tambm,aquelesquedevemserusadosparao aprofundamentodamatriaoupararefernciafutura.Incluemtambmumacurtalistagemde endereos de internet teis para quem queira iniciar uma busca sobre Mecnica de Slidos. Aleituradestestextosdeveserentendidacomocomplementarfrequnciadasaulas tericasedeveporsuavezsercomplementadacomaleituradoslivrosaconselhados,nomeadamente, dos disponveis na biblioteca. MECNICA DE SLIDOS ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/5IIR.P.Leal MECNICA DE SLIDOS ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/5IIIR.P.Leal Elementos de apoio ao estudo 1 Bibliografia complementar

Oate, E. (1992), Clculo de estruturas por el mtodo de elementos finitos - Anlisis esttico lineal, CIMNI Livro de desenvolvimento e aplicao de elementos finitos. Trata de aspectos do desenvolvimento deelementosfinitosedeimplementaoemprogramaemFortran77deformacompletamassem grande profundidade terica.Referncia futura para utilizadores do MEF. Reddy, J.N. (1993), An introduction to the finite element method, 2nd.ed., McGraw Hill Introduoaomtododoselementosfinitosencaradocomoumatcnicavariacionalaplicada resoluo de equaes diferenciais . Reddy, J. N. e Gartling, D. K. (1994), The finite element method in heat transfer and fluid dynamics, Boca Raton, CRC Press Estelivroorienta-separaaresoluodeproblemasemtransmissodecaloreemmecnicade fluidos.,poisaconselhvelparaosalunosquepensemenveredarpeloramodeenergiana licenciatura. Segerlind, L.J.( 1984), Applied finite element analysis, John Wiley and Sons Tambmumlivroaconselhvelparaosalunosquepensemenveredarpeloramodeenergia na licenciaturadadoqueseorientanoapenasparaaresoluodeproblemasemmecnicados slidosmas,tambm,emtransmissodecaloreemmecnicadefluidos.Apresentaumabase terica mais aligeirada. Shames,I.H.eDym,C.L.(1985),EnergyandFiniteElementMethodsinStructuralMechanics, McGraw-Hill, Biblioteca do DEM: B-3-4-27 Um excelente livro com uma abordagem semelhante adoptada nesta disciplina mas atingindo um grau de profundidade muito superior. Bom texto para referncia durante e aps a licenciatura. Silva Gomes, J.F. (2004), Mecnica de Slidos e Resistncia dos Materiais, Edies INEGI. Livroescrito de forma clara e completa em portugus. Est escrito em notao tradicional e pode ser utilizado com proveito em diversas disciplinas da Licenciatura. Tauchert, R.T. (1974), Energy principles in structural mechanics, McGraw-Hill Texto complementar na aplicao de princpios energticos em mecnica de slidos e estrutural. MECNICA DE SLIDOS ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/5IVR.P.Leal 2 Endereos da internet OsendereosqueseseguemsoumptimopontodepartidaparaestudarMecnica de Slidos.Sugere-seaosalunosqueentreguemaoprofessornovosendereos,deprefernciacom uma breve anlise crtica do contedo. 1)- http://www.tam.uiuc.edu/WWW/web_courses.html Cursos de mecnica terica e aplicada da Universidade de Urbana nos EUA. Alguns dos cursos contm apontamentos, sumrios, trabalhos de casa e outros dados interessantes. 2)- http://www.ae.msstate.edu/~masoud/Teaching/SA2/Course.phtmlPgina de um curso em Estruturas aeroespaciais da Universidade de Mississipi nos EUA. Tal como nositeanterior,algunsdoscursoscontmapontamentos,sumrios,trabalhosdecasaemuitos outros dados interessantes. 3)- http://msumusik.mursuky.edu/mdsolidsPgina de um programa educacional, MDSolids indicado para o apoio de alunos a frequentar um curso em Resistncia de Materiais ou Mecnica de Slidos Deformveis.Permite download. MECNICA DE SLIDOS ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/5VR.P.Leal ndice PrefcioIElementos de apoio ao estudoIIIndice VIntroduoVII 1 - Formulao e resoluo de problemas em Mecnica de Slidos 1.1 - Formulao de problemas1.11.2 - Resoluo de problemas1.27Aditamento 1.1 Form. dif. do prob. de elasticidade em notao matricial1.34Aditamento 1.2 Relaes e limites das propriedades elsticas 1.36Aditamento 1.3 Notao comparada em elasticidade tri-dimensional1.37 2 - Formulao e resoluo do problema clssico de barras 2.1 - Formulao de problemas2.12.2 - Resoluo analtica2.62.3 - Resoluo aproximada2.92.4 - Resoluo numrica2.12Aditamento 2.1 Integrao numrica2.32Aditamento 2.2 Transformao de coordenadas2.33 3 - Formulao e resoluo do problema clssico de veios de seco circular 3.1 - Formulao de problemas3.13.2 - Resoluo analtica3.53.3 - Resoluo aproximada3.73.4 - Resoluo numrica3.9 4 Formulao e resoluo do problema clssico de vigas 4.1 - Formulao de problemas4.14.2 - Resoluo analtica4.6MECNICA DE SLIDOS ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/5VIR.P.Leal 4.3 - Resoluo aproximada4.184.4 - Resoluo numrica4.215 - Formulao e resoluo do problema clssico de vigas-barras 5.1 - Formulao de problemas5.15.2 - Resoluo analtica5.55.2 - Resoluo aproximada5.85.3 - Resoluo numrica5.10 MECNICA DE SLIDOS ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/5VIIR.P.Leal Introduo Umaspectofundamentalnaanlisedeumcorpodeformvelemequilbriooda determinaodoestadodetensodocorpo.atravsdoconhecimentodesseestadodetenso quepossveldeterminarse um determinado corpo feito de um certo material suporta os esforos quesobreelesoexercidosecomoqueossuporta,isto,secompequenasougrandes deformaes e se estas sero recuperveis ou permanentes. Noprojectoesteaspectodeantevisodeseecomoumcorposuportaosesforos previsivelmente aplicados que essencial. Por outro lado, as grandes deformaes e as deformaes plsticas so, em princpio, de evitar. EmElasticidadeePlasticidadeapresentou-seumaformulaodiferencialdoproblemade elasticidadetridimensionalparapequenasdeformaes.EmMecnicadeSlidosser introduzida umaformulaointegralalternativaformulaodiferencialbaseadaemconceitosmatemticos simples ou no Princpio do Trabalho Virtual. Seguidamentepropem-se mtodos analticos (integrao directa), aproximados (mtodo de Galerkin)enumricos(elementosfinitosdedeslocamentos)paraaresoluodoproblemanasua duplaformulaoeparticulariza-seoproblemadeelasticidadetridimensionalparacomponentes estruturaissimples(barras,veiosevigasemesttica)eparaestruturasmaiscomplexasbaseadas nesses componentes. Oprogramapropostoparaadisciplinavisaaaplicaodosconhecimentosadquiridosna formulao e respectiva resoluo de problemas unidimensionais. A ideia subjacente a de usar as bases tericas apreendidas anteriormente para, de forma sistemtica e repetitiva, resolver problemas simples com base terica j estudada em Resistncia de Materiais. Assim,osproblemasrelacionadoscomoesforoaxial,toroeflexosoformuladosde formadiferencialatravsdeconsideraesdeequilbriomas,tambm,apartirdaparticularizao dasexpressesdaelasticidadetridimensional,atravsdaadopodecamposdedeslocamentos intuitivos e de hipteses simplificadoras aceitveis.A seguir, a formulao integral fraca dos mesmos MECNICA DE SLIDOS ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/5VIIIR.P.Leal problemasobtidaapartirdaformulaodiferencialoupelaaplicaodoPrincpiodoTrabalho Virtual. Cada um dos problemas resolvido pelo mtodo aproximado de Galerkin. Finalmente,cadaumdosproblemasresolvidopelaaplicaodeummtodonumrico,o mtododoselementosfinitos,atravsdodesenvolvimentodoselementosadequados.Aobteno dos elementos baseada na estreita ligao entre o mtodo de Galerkin eo mtodo dos elementos finitoseumaoportunidadeparaaaplicaodeconceitosmatemticoscomoatransformaode coordenadas, a interpolao polinomial, a resoluo de sistemas, etc. Terminaoprogramadadisciplinacomaformulaoeresoluodeproblemas de esforos compostos, mediante a aplicao do Princpio da Sobreposio aplicvel em elasticidade linear, mas com a introduo dos efeitos cruzados considerados mais relevantes. MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.1R.P.Leal 1 - Formulao e resoluo de problemas em Mecnica de Slidos 1.1 - Formulao de problemas em engenharia 1.1.1 Modelao o problema real e o problema matemtico Amodelaoatransformaodeproblemasreaisemproblemasmatemticos.Uma vez obtido um modelo deve-se questionar: -O modelo nico? -A soluo do modelo existe? -A soluo do modelo nica? A resposta primeira questo geralmente negativa. A realidade pode ser modelada de muitas formas diferentes que, em geral correspondem a diferentes graus de exigncia quanto soluo a obter. Asoutrasduasperguntassoquestesmatemticase,nummodeloadequado,devem geralmenteserrespondidasafirmativamente.Contudo,arespostaaestasperguntaspodeno sersimplese,emmuitosmodelosmaiscomplexos,aexistnciaeunicidadedasoluono est para todas as situaes com interesse fsico. 1.1.2 Modelos em formulao diferencial Muitosdosmodelosmatemticosutilizveisemengenhariasoformuladosemtermos de uma equao diferencial ou de um sistema de equaes diferenciais: 1.1 L u f = em que L representa um operador diferencial, u a incgnita e f o segundo membro da equao. Esta equao ou sistema de equaes definida num domnio com fronteira e, para a sua resoluo, exige o conhecimento de condies em toda ou parte da fronteira e, em certos casos, de condies iniciais. MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.2R.P.Leal 1.1.3 Modelos em formulao integral forte e fraca Ummodeloemformulaodiferencialpodesertransformadoparaformulaes integrais, nomeadamente para a: -formulao integral forte que se obtm directamente da diferencial 1.2 ( ) L u f v d 0 L u v d f v d 0 = = emquevumafunodetestepertencenteaumespaoadequadodefunesa definir em cada caso; -formulao integral fraca que se obtm da anterior pela aplicao do T. de Green. 1.3 ( ) ( )1 2L u L v d ... d f v d 0 + = Observaes: -A soluo da formulao integral fraca no , obrigatoriamente, soluo da equao diferencial. -Seasoluofracativeraregularidadenecessriaentoelaanicasoluodo problema original. -Questoadescobrir/discutir:Queexignciasmatemticassedevemfazers funes envolvidas u, f e v para que estas formulaes tenham significado? 1.1.4 Modelos matemticosmodelos fsicos ? Umaspectointeressantequemuitosdosmodelosmatemticoscorrespondema diversas realidades fsicas. Vejam-se os modelos seguintes, seguindo ideia de Reddy (1986). I - Equao diferencial unidimensional ordinria de 2 ordem 1.4 ( ) ( ) 0 x fx du dx ax dd= + Definida no domnio 1.5] [1 2 1 2x x x x x , x < < MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.3R.P.Leal e com condies de fronteira - essenciais: 1.6 iix xu u para i 1ou 2== = - naturais: 1.7 ( )iix xd ua x t para i 1ou 2.d x= = = Este modelo pode corresponder s seguintes realidades fsicas: Campo de aplicaoVarivel primria u(x)Funesa(x) Funo (fonte)f(x) Varivel secundria ti Deflexo transversal de um cabo Deflexo transversal a(x) = tenso no caboCarga distribuda transversal Fora axial Deformao axial de uma barra Deslocamento longitudinal ( ) a x E A = E - mdulo de elasticidade longitudinal A - rea da seco transversal Atrito ou fora de contacto na superfcie lateral ou peso prprioactuando na direco do eixo da barra Fora axial Transferncia de calorao longo de uma alheta num permutador de calor Temperatura a(x) = condutividade trmica Fonte geradora de calor Fluxo de calor Escoamento de fluidosem tubos Presso hidrosttica( )4da x128= d - dimetro - viscosidade Fonte de escoamento, geralmente zero Dbito Escoamento laminar incompressvel atravs de um canal sob um gradiente de presso constante Velocidade a(x) = Viscosidade Gradiente da pressoTenso axial Escoamento atravs de um meio poroso Leito poroso a(x) = coeficiente de permeabilidade Fluxo de fluidoEscoamento Electrosttica Potencial electrosttico a(x) = constante dielctrica Densidade da cargaFluxo elctrico Tabela 1 MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.4R.P.Leal II - Equao diferencial bidimensional ordinria de 2 ordem 1.8( )x. k u f 0 sendoy + = = com domnio 1.9 ix e condies de fronteira- essenciais: 1.10 u u em . = - naturais: 1.11 ( )uk h u u q em .n+ = Este modelo pode corresponder s seguintes realidades fsicas: Campo de aplicao Varivel primria u Funok Funo (fonte)f Variveis secundriasTransferncia decalor Temperatura TCondutividade kFonte de calor Q Fluxo de calor q proveniente da conduo k T/ n ( ) e conveco h T T( )Escoamento irrotacional de um fluido ideal Potencial de velocidade Peso especfico Produo de massa (geralmente nula) Velocidades: x= u y= v Toro de veios com seco transversal constante Funo de tenso k =1GG - mdulo de elasticidade transversal Q = 2 - ngulo de empeno por unidade de comprimento Tenses de corte: zy = x

zx = y Deflexo transversal de membranas elsticas Deflexo transversal u k = TT - tenso na membrana Carga transversal distribuda Fora normal q ElectrostticaPotencial escalar Constante dielctrica Densidade da carga Densidade do fluxo dedeslocamento Dn MagnetostticaPotencial magntico Permeabilidade Densidade da carga Densidade do fluxo demagntico Bn Tabela 2 MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.5R.P.Leal 1.2 - Formulao do problema de elasticidade 1.2.1 - Formulao diferencial do problema de elasticidade Considere-se o corpo elstico representado na Fig. 1: utx, u1 1x , u33x , u22 -domnio -fronteira com foras prescritas -fr. com deslocamentos prescritos u-deslocamentos x-coordenadas globaisutii Fig. 1 - Corpo elstico. O problema de elasticidade para pequenas deformaes em formulao diferencial pode ser enunciado como segue: " Determinar os deslocamentos ui as deformaes ij e as tenses ij que verificam - as equaes de equilbrio 1.12 ij, j+ b i= 0 em - as leis constitutivas 1.13 ij= aijklklij= bijklkl - as condies de fronteira 1.14 ui= u i em uti= t iem t com u t = u t = em que 1.15 ij=12 ui, j + uj, i( ) designa o tensor das deformaes linearizado, MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.6R.P.Leal 1.16 ti= ijnj designaovectortensonafronteiraeaijklebijkl designamostensoresdeelasticidadede rigidez e de flexibilidade, respectivamente, cujos componentes verificam as simetrias 1.17aijkl= ajikl = aijlk= aklijbijkl= bjikl= bijlk= bklij. De notar que, estas relaes de simetria implicam que dos 81 termos dos tensores de 4 ordem apenas 21 so independentes. Alm disso, seomaterialhomogneo,entoosaijkleosbijkl soconstantesparauma determinada referncia; se o material isotrpico, ento os aijkl e os bijkl devem ser os mesmos para todas asreferncias, isto , os tensores de 4 ordem respectivos devem ser isotrpicos. 1.2.2 - Formulao integral fraca do problema de elasticidade I Identificao do operador L e das funes u e f AformulaodiferencialanteriorpodeserreduzidaformagenricadaEq.1atravs daidentificaodooperadorLedasfunesuef.Comecemosporconsiderarqueas incgnitasdoproblemasoascomponentesdovectordeslocamentosegundooseixos coordenados. Ento, partindo da Eq. 12 e usando a lei constitutiva (Eq.13), as relaes deformaes-deslocamentos (Eq. 15) e a simetria dos aijklrelativamente aos dois ltimos ndices e, ainda, considerando o material homogneo, obtemos: 1.18 ijk k, j ia ub0 em+ = Da igualdade com a Eq. 1, conclui-se que, para este caso, : 1.19 2ijkj.L ax x=

ib = f MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.7R.P.Leal II Formulao integral forte Daformulaodiferencialanteriorpode-sededuziraformulaointegralforte,de acordo com a Eq. 2, 1.20 ( )ijk k, j i ia ub v d0+ = ou, de forma alternativa, 1.21 ijk k, j i i ia u v d b v d0 + = III Formulao integral fraca Daformulaointegralfortededuz-seaformulaointegralfraca,pelaaplicaodo Teorema de Green. Supondo a homogeneidade do material, obtm-se: 1.22 ijk k, j i ijk k, i, j i ia u n v d a u v d b v d0 + = As funes ui e vi devem pertencer a espaos de funes que dem sentido s operaes matemticas,isto,quepermitam,emparticular,oclculodosintegraisemqueesto envolvidas.Almdisso,supondoafunouiconhecidaempartedafronteira,exige-se funo vi que se anule nessa parte da fronteira. Usandoasimetriadosaijklrelativamenteaosdoisltimosndices,easrelaes deformaes-deslocamentos (Eq. 15)e a lei constitutiva (Eq.13), obtemos: 1.23 ij j i ij i, j i in v d v d b v d0 + = MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.8R.P.Leal Definindoumcampodedeformaescombasenasfunesdetestevatravsda relao habitual deformaes-deslocamentos (Eq. 15): 1.24( ) ( )ij i, j j,i1vv ,2 = + v e usando a simetria do tensor das tenses que permite escrever: 1.25( )ij i, j ij ijv , = v a Eq. 23 pode ser escrita na forma: 1.26 ( )ij j i ij ij i in v d d b v d0 + = v Finalmente,usandoasEqs.14eaexignciadequeafunoviseanulenaparteda fronteira em que se conhece ui, obtemos: 1.27 ( )ti i ij ij i it v d d b v d0 + = v Aobtenodestaformulaointegralfoifundamentalmentebaseadaemconsideraes matemticas completadas por relaes com significado fsico. Ser possvel obter este tipo de formulaes usando apenas conceitos fsicos? A resposta afirmativa, atravs da utilizao de princpios associados com trabalho ou energia. 1.2.3 Formulao integral pelo Princpio do Trabalho Virtual I - Noes prvias. (1) - Princpio do Trabalho Virtual relativo ao Ponto Material (ver. Fig. 1): NumpontodevistaNewtonianoumpontomaterialconsidera-seemequilbrioseno estiver sujeito a acelerao. Ento, aplicando a segunda lei de Newton 1.28F ma 0 = =

, MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.9R.P.Leal conclui-se que a resultante das foras aplicadas no ponto material nula. De notar que, para que a acelerao seja nula basta que a velocidade seja constante. Para os problemas de Esttica em Mecnica de Slidos interessa o caso em que a velocidade nula. A Lei de Newton uma condio necessria e suficiente para o equilbrio que envolve grandezasvectoriais,isto,tensoresde1ordem;asuaverificaofeitacomrecurso lgebraVectorial.Pretende-se,noquesesegue,desenvolverumaformaalternativade verificaroequilbriodeumpontomaterialatravsdeumprocessoqueenvolvaapenas grandezas escalares, nomeadamente, o trabalho. Recorde-sequeotrabalhoelementarrealizadopelaforaF

sobreumdeslocamento orientadoMM

, dado pelo produto escalar da fora pelo deslocamento: 1.29 W F . MM F MM cos = = , Fig. 2 - Trabalho elementar W realizado pela fora F sobre o deslocamento MM. importantenotarqueasomadotrabalhodetodasasforasaplicadasnumpontoM para o levarem para uma nova posio M, igual ao trabalho provocado pela resultante das foras sobre o deslocamento de M para M. Considere-se, ento, a seguinte condio: Se um ponto material est em equilbrio ento o trabalho feito por todas as forasqueneleactuamnuloparaqualquerdeslocamentotestefictcioquese considere. A verificao da veracidade desta afirmao muito simples. Considere-se a Fig. 3 em que o ponto material P est em equilbrio sob a aco das foras( )iF i 1, 3 =

. Considere-se um deslocamento fictcio qualquerPP

.M F

M MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.10R.P.Leal Fig. 3 - Ponto material em equilbrio. Ento,otrabalhofictciorealizadopelasforassobreodeslocamentofictciodado por: 1.30 3f 1 2 3 ii 1W F . PP F . PP F . PP F . PP R . PP== + + = = , Atendendoaqueporhipteseopontomaterialestemequilbrioeque,pelaLeide Newton isso equivale a dizer que a resultante nula, conclui-se que Wf nulo. Oenunciadoanteriornotemgrandeutilidade,atendendoaqueoequilbriodoponto material tem que ser previamente estudado para concluir pelo valor nulo do trabalho fictcio. Evidentemente, a afirmao oposta seria mais interessante, isto : Seotrabalhofeitoportodasasforasqueactuamnumpontomaterial nuloparaqualquerdeslocamentotestefictcioqueseconsidere,entooponto material est em equilbrio. O trabalho fictcio realizado pelas foras sobre o deslocamento fictcio dado por: 1.31 3f ii 1W F . PP R . PP== = , Atendendoaqueporhipteseestetrabalhonuloeaindaaofactodequeo deslocamentofictcioqualquer,conclui-sequearesultantenulaeque,portanto,oponto material est em equilbrio. Denotaraimportnciadodeslocamentoserqualquerefictcio.AanlisedaFig.4 mostraquemesmoqueopontomaterialnoestejaemequilbriosemprepossvelarranjar um deslocamento para o qual o trabalho nulo (perpendicular resultante das foras). Ento a verificao de que o trabalho nulo para um determinado deslocamento no suficiente para concluir o equilbrio sendo necessrio o caracter de arbitrariedade desse deslocamento. 1F

2F

3F

P P MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.11R.P.Leal Fig. 4 - Ponto material no equilibrado. AanlisedaFig.5mostraaimportnciadodeslocamentoserfictcio.Aforaquea molaexercedependedaextensoe,portanto,daposiodopontomaterial.Ento,seo deslocamentos

no fosse fictcio, a fora alterava-se (para o caso representado, anulava-se) quando este considerado. No estudo do equilbrio, a considerao de deslocamentos fictcios implica que as foras envolvidas se no alteram nem em direco nem em grandeza. Fig. 5 - Ponto material em equilbrio. Demonstradaaveracidadedasduasafirmaesprecedentesquesorespectivamentea condionecessriaeacondiosuficienteparaoequilbrio,agorapossvelenunciaro Princpio do Trabalho Virtual relativo ao ponto material, como segue: Umpontomaterialestemequilbriosse(seesse)otrabalhofeitopor todas as foras que nele actuam nulo para qualquer deslocamento teste fictcio que se considere. 1F

2F

s

x y F1= k x k x Ps

F2 = m g MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.12R.P.Leal Considere-seagoraumpontomaterialobrigadoaseguirumacertatrajectria.Este pontomaterialdesignadoporconstrangidodadooseudeslocamentoserrestringido (limitadoouimpedido)emalgumadireco.Nestascondies,asforasprovenientesdos vnculos(reaces),norealizamtrabalhonosdeslocamentosfictciosfisicamenteadmiss-veis, dado que estes so sempre perpendiculares direco da fora reactiva (ver Fig. 6). Fig. 6 - Ponto material constrangido. Adeterminaodaconfiguraodeequilbriodispensaaconsideraodasforas reactivasque,contudopodemserconsideradasparaaobtenodovalordasforas. Designam-sepordeslocamentosvirtuaisosdeslocamentosfictciosfisicamenteadmissveis. Pressupondoquesepretendeapenasobteraposiodopontonoequilbriopossvel enunciar o Princpio do Trabalho Virtual como segue: Umpontomaterialestemequilbriosseotrabalhofeitoportodasas foras activas que nele actuam nulo para qualquer deslocamento virtual que se considere. (2) - Princpio do Trabalho Virtual relativo ao Sistema de Pontos Materiais, Corpo Rgido ou Sistema de Corpos Rgidos: Designa-se por: - sistema de pontos materiais um conjunto de pontos em nmero finito, ligados entre si de forma contnua; - corpo rgido um sistema de pontos materiais em nmero infinito; -sistemadecorposrgidosumconjuntodecorposrgidosemnmerofinito,ligados entre si de forma contnua. F1= N F2 = m g P y x n t MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.13R.P.Leal A extenso do Princpio do Trabalho Virtual para estes casos implica apenas a distino entreforasexternaseinternasaosistemaouaocorporgido.Paraqueocorpoestejaem equilbrioaforaexercidaporumqualquerpontomaterialsobreoutrotemqueserigual foraqueosegundoexercesobreoprimeiro.Daresultaqueasforasdeligaoentre partculasnosoconsideradasnoclculodotrabalhovirtualumavezqueasacesentre cada par de partculas so iguais em valor e direco e contrrias em sentido, provocando um trabalho virtual com o mesmo valor absoluto e sinal contrrio;. O Princpio do Trabalho Virtual relativo ao sistema de pontos materiais, corpo rgido ou sistema de corpos rgidos pode ser enunciado como segue: Um sistema de pontos materiais, corpo rgido ou sistema de corpos rgidos estemequilbriosseotrabalhofeitoportodasasforasexternasquenele actuam nulo para qualquer deslocamento virtual que se considere. Denotarquenaresoluoprticadeproblemasseconsidera-sequeonmero necessrio de deslocamentos virtuais a considerar igual ao nmero de graus de liberdade do sistema. II - Princpio do Trabalho Virtual em Slidos Deformveis. (1) - Trabalho Virtual Externo Considere-se um corpo slido (Fig. 7) em equilbrio sobre a aco de um carregamento que consiste - numa distribuio de foras volmicas ib- numa distribuio de foras superficiaist i na fronteira t do corpo. Fig. 7 - Slido deformvel em equilbrio. x 1 ,u 1 x 2 ,u 2 t u b i ti MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.14R.P.Leal Como o corpo est em equilbrio verificam-se as seguintes relaes: 1.32 a ij, j ib 0 em + = b i ij j tt n em = c i i uu u em = A fronteira caracterizada pelas seguintes igualdades 1.33 u t = u t = Em mecnica de slidos deformveis designa-se por trabalho virtual externo o trabalho feito pelas foras aplicadas sobre um campo virtual de deslocamentos vi, 1.34 text i i i iW b v d t v d = + O campo virtual de deslocamentos caracterizado por -ter a continuidade em suficiente para permitir a definio de um tensor virtual de deformaes ( pequenas deformaes) elsticas atravs da relao 1.35( ) ( )ij m i, j j,i1v v v em2 = + , -noviolarnenhumdosconstrangimentos,isto,emuemqueosdeslocamentos reais so conhecidos, os deslocamentos virtuais devem ser nulos: 1.36 i uv 0 em . = , (2) - Deduo do Princpio de Trabalhos Virtuais em Slidos Deformveis: Atendendo Eq. 32b temos 1.37 t ti i ij j it v d n v d = , Usando as propriedades da fronteira (Eqs. 33) podemos escrever que 1.38 t t uij j i ij j i ij j i ij j in v d n v d n v d n v d = + = , MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.15R.P.Leal uma vez que vi em u nula. Ento, o trabalho virtual exterior pode ser escrito na forma: 1.39 ext i i ij j iW b v d n v d = + , Usando o Teorema de Gauss 1.40 ( )ij i ij j i, jv d n v d = obtm-se: 1.41 ( )( )ext i i ij i, ji i ij, j i ij i, ji ij, j i ij i, jW b v d v db v d v d v db v d v d = + == + + == + + , Como o corpo est em equilbrio e, portanto se verifica a Eq. 22, o primeiro integral do 2 membro nulo. Atendendo ainda simetria do tensor das tenses pode-se escrever: 1.42 ( )ext ij i, j ij i, j j,i1W v d v v d2 = = + Finalmente,atendendoaqueosdeslocamentosvirtuaisdevempermitiradefiniode um tensor virtual de deformaes, aplicando a Eq. 35 obtm-se: 1.43 Wext= ij ijvm( ) d = Wint em que Wint designado por trabalho virtual interno. AexpressoanteriorrepresentaoPrincpiodosTrabalhosVirtuaisemSlidos Deformveis que se pode enunciar como segue: Otrabalhovirtualproduzidopelasforasexterioresigualaotrabalho virtual produzido pelas foras interiores, num conjunto de deslocamentos virtuais arbitrrios e infinitesimais. MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.16R.P.Leal Oprincpiofoideduzidocombasenaverificaodascondiesdeequilbriono domnio e na fronteira, isto , provou-se que o enunciado anterior condio necessria para o equilbrio. Tal como anteriormente para o ponto material, mais interessante a demonstrao de que se trata de uma condio suficiente para o equilbrio do corpo. Ento, partindo da expresso do Princpio dos Trabalhos Virtuais 1.44 ( )text int ij ij m i i i iW W v d b v d t v d 0 = + = devem-seobterasequaesdeequilbrionodomnioenafronteira.Dadaadefiniodos deslocamentosvirtuaiseatendendosimetriadotensordastensesearbitrariedadedos ndices mudos temos que 1.45( ) ( )ij ij m ij i, j j,i ij i, j ji j,i ij i, j1 1 1v v v v v v2 2 2 = + = + = Substituindo na Eq. 44 obtm-se 1.46 tij i, j i i i iv d b v d t v d 0 + = Aplicando o Teorema de Gauss ao primeiro integral temos 1.47 tij j i ij, j i i i i in v d v d b v d t v d 0 + = Atendendo s propriedades da fronteira e agrupando: 1.48 ( ) ( )t uij j i i ij, j i i ij j in t v d b v d n v d 0 + = Uma vez que os deslocamentos virtuais so compatveis com as condies de fronteira geomtricas obtm-se, finalmente: 1.49 ( ) ( )tij j i i ij, j i in t v d b v d 0 + = MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.17R.P.Leal Atendendoaocaracterarbitrriodosdeslocamentosvirtuaispode-seconcluirquese verificam as equaes de equilbrio no domnio e na fronteira 1.50 ij, j ib 0 em + = ij j i tn t em = como consequncia da verificao do Princpio dos Trabalhos Virtuais. DadeduodoPrincpiodosTrabalhosVirtuaisedaconfirmaodequesetratade umacondiosuficienteparaoequilbrio,pode-sedepreenderqueesteprincpiouma formulaovariacionalequivalenteformulaodiferencialdoproblemadeelasticidade, desde que os deslocamentos virtuais verifiquem a relao "deformaes-deslocamentos" e as condies de fronteira geomtricas. IgualconclusosepoderetirardacomparaodaEq.44expressodoPrincpiodo TrabalhoVirtual,comaformulaointegralfraca(Eq.27)obtidaapartirdaformulao diferencial em 1.2.2. De notar que os deslocamentos teste ento definidos e os deslocamentos virtuaisusadosagorasodefinidosdeformaequivalente,osprimeirosatravsde consideraes matemticas e os segundos usando raciocnio fsico. 1.2.4 Formulao integral pelo Princpio da Energia Potencial Total Mnima Emmecnicadeslidosdeformveisdesigna-seporenergiapotencialtotaldocorpoa soma - da energia de deformao elstica U com o - potencial de foras aplicadas P, que se supe ser consequncia de foras de volume e de foras de superfcie. 1.51 = U + Pv+ Ps sendo em comportamento linear elstico, atendendo simetria do tensor aijkl, 1.52U(mn) = U0(mn) d =12aijkijkd==12aijkui, juk,d= U0(um,n) d= U um, n( ) ( )v m i iP u b u d= Psum( )= t iuidt MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.18R.P.Leal Conclui-se que a energia potencial total uma funcional dependente dos deslocamentos e suas derivadas podendo, portanto, estudar-se a variao desse funcional que 1.53 ( )( ) ( ) ( )um m,nm m,n m m,nmm m,n mm m,n mu , uF u , u F u , uG uu u d u du u u = = + + sendo 1.54 ( )m m,n ijk i, j k, i i1F u , u a u u b u2= ( )m i iG u t u = Calculando as derivadas na Eq.53, obtm-se: 1.55 a iijk i, j k, i i i i im mm m mF 1 ua u u b u b b bu u 2 u = = = = bijk i, j k, i i mnk km,n m,nF 1a u u b u au u 2 = = c ( )i i mm mGt u tu u = = emque,nadeduodaequaobsefezusodasimetriadotensorderigidezeda arbitrariedade dos ndices mudos. Substituindo estas derivadas na Eq. 53 e fazendo uma vez mais uso da simetria do tensor de rigidez e da arbitrariedade dos ndices mudos, obtm-se: 1.56 ( )um m,n ijk k ij i i i iu , u a d b u d t u d = Admitindo que se verifica uma lei constitutiva do material do tipo 1.57 0mn ijk k ij mnk k ij ijk kmn mnU 1a a a2 = = = = , MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.19R.P.Leal equeavariaodocampodedeslocamentosuipodeserconsideradoumcampode deslocamentosvirtualvi,ento,atendendoaoPrincpiodosTrabalhosVirtuais(comparar Eqs. 44 e 57), conclui-se que 1.58 = 0 . Portanto,averificaodoPrincpiodoTrabalhoVirtualequivalenteaafirmarquea variaodaenergiapotencialtotalnulaou,oquesemelhante,queocampode deslocamentosuqueverificaoPrincpiodeTrabalhoVirtualtornaaenergiapotencialtotal estacionria.Pode-sedemonstrarqueoestadodeequilbriodeumcorpocorrespondeaum mnimodaenergiapotencialtotal.OenunciadodoPrincpiodaEnergiaPotencialTotal Mnima o seguinte: Detodasaspossveisconfiguraesqueumslidodeformvelcarregadopode tomar,averdadeira(correspondenteaoequilbrioentreasforasaplicadaseas tenses) identificada com o valor mnimo da energia potencial total. Exerccio: Verificar se o Princpio da Energia Potencial Total Mnima suficiente para o equilbrio. 1.2.5 - Formulao integral pelo Princpio do Trabalho Virtual Complementar* (1) - Trabalho Virtual Complementar Emmecnicadeslidosdeformveisdesigna-seportrabalhovirtualcomplementaro trabalho feito por foras virtuais sobre o campo de deslocamentos existente, representado pela expresso 1.59 Wext*= uibid+ uigid . Asforasvirtuaisinternaseexternasaconsiderardevemsatisfazerasequaesde equilbrio no interior e na fronteira, isto : 1.60 ij, j+ bi= 0em , ijnj= gi em . MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.20R.P.Leal

(2) - Deduo do Princpio de Trabalho Virtual Complementar: Partindo da noo de trabalho virtual complementar exterior obtm-se, sucessivamente: 1.61 Wext*= uibid+ uigid == uibid+ uiijnjd == uibid+ ui ij ( ), jd == uibid+ uiij, jd + ui, jijd== uiij, j + bi ( )d+ ui, jijd == ijijd = Wint*. AEq.61representaoPrincpiodoTrabalhoVirtualComplementarquesepode enunciar como segue: Otrabalhovirtualcomplementarrealizadoporumavariaodasforas exterioresnocampodedeslocamentosexistenteigualaotrabalhovirtualdasforas internasarbitrriaseinfinitesimaisquesatisfaamascondiesdefronteira cinemticas e as condies de equilbrio. O princpio foi deduzido com base nas seguintes condies: -asforasetensesvirtuaisverificamascondiesdeequilbrionodomnioena fronteira; - os deslocamentos verificam a relao "deformao-deslocamento". Vamos,agora,confirmarqueaverificaodoPrincpiodoTrabalhoVirtual Complementar uma condio suficiente para o equilbrio do corpo. Partindo da expresso do Princpio do Trabalho Virtual Complementar 1.62 uibid + uigid = ijijd . MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.21R.P.Leal devem-seobterasrelaesentreasdeformaeseosdeslocamentoseascondiesde fronteira em u. Assim 1.63 0 = uibid + uigid ijijd== ijijd + uiij, jd uigid== ijijd ui, jijd+ uiijnjd uigid== ij12ui, j + uj, i( ) ijd + ui ijnjd u igid u uigidt== ij12ui, j + uj, i( ) ijd + ui u i( ) gid u+ ijnj gi( )uid t== ij12ui, j + uj, i ( ) ijd + ui u i( )gid u. Dada a arbitrariedade das foras virtuais pode-se concluir que no domnio se verificam as relaes entre as deformaes e os deslocamentos 1.64 ij=12ui, j + uj, i( ) e na fronteira 1.65 ui = u iem u como consequncia da verificao do Princpio do Trabalho Virtual Complementar. Da deduo do Princpio do Trabalho Virtual Complementar e da confirmao de que se trata de uma condio suficiente para o equilbrio, pode-se concluir que este princpio uma formulaovariacionalequivalenteformulaodiferencialdoproblemadeelasticidade, desde que as foras virtuais verifiquem as equaes de equilbrio no domnio e na fronteira t. MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.22R.P.Leal (3) - Formulao reduzida do Princpio do Trabalho Virtual Complementar Se as foras volmicas e de superfcie em t so prescritas ento, a no violao dessas condies impe que 1.66 bi= 0em e gi= 0 em t. Consequentemente, as equaes de equilbrio no domnio e na fronteira, implicam que: 1.67 ij, j+ bi= ij, j= 0 em ijnj= gi= 0 em t e o Princpio do Trabalho Virtual Complementar pode ser escrito na forma: 1.68 ijijd u igid u= 0 . 1.2.6 - Formulao integral pelo Princpio da Energia Complementar Total Mnima* Emmecnicadeslidosdeformveisdesigna-seporenergiacomplementartotaldo corpo a soma - da energia complementar U* com o - potencial complementar P*. 1.69*(mn) = U*(mn) + P*(tm) . sendo em comportamento linear elstico 1.70 U*(mn) =12bijklijkld = U0*(mn) d P*(tm) = u itid u. A energia complementar total um funcional dependente das tenses - notar que ti est relacionadocomastensesatravsdasrelaesdeCauchy-podendoestudar-seavariao desse funcional que 1.71 *(mn) = U*(mn) +P*(mn) . MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.23R.P.Leal sendo 1.72 U*(mn) =U0*mnmnd = bijklkl ijd . P*(mn) = u i tiud Substituindo estas equaes na Eq. 71, obtm-se: 1.73 *= bijklkl ijd u itiud. Admitindo a existncia de uma lei constitutiva do tipo: 1.74 ij=U0* ij= bijklkl, que a variao do campo de tenses ij pode ser considerado um campo virtual de tenses ij equeocorposeencontraemequilbrio,ento,atendendoaoPrincpiodoTrabalhoVirtual Complementar (comparar Eqs. 68 e 73), conclui-se que 1.75 *= 0. AverificaodoPr.doTrabalhoVirtualComplementarequivalenteaafirmarquea variao da energia complementar total nula ou, o que semelhante, que o campo de tenses ij que verifica o Princpio do Trabalho Virtual Complementar torna a energia complementar totalestacionria.Defacto,pode-sedemonstrarqueoestadodeequilbriodeumcorpo corresponde ao mnimo da energia complementar total. O enunciado do Princpio da Energia Complementar Total Mnima o seguinte: Detodosospossveiscamposdetensesparaumslidosubmetidoaforase constrangimentos, o verdadeiro (correspondente a um campo de deformaes compatveis), identificado pelo valor mnimo da energia complementar total. Exerccio: Verificar se o Princpio da Energia Complementar Total Mnima suficiente para o equilbrio. MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.24R.P.Leal 1.2.7 - Modificao do Funcional da Energia Potencial Total - Funcional Misto* Considere-searelaoentreadensidadedaenergiadedeformaoelsticaU0ea densidade da energia complementar U0* 1.76U0= ijij U0*. Substituindo na expresso da energia potencial total obtm-se o funcional modificado 1.77 IHRum, um, n, mn( )= ij ij U0*(ij)( )d f iuid t iuid t quesedesignaporfuncionaldeHellinger-Reissner.OPrincpiodaEnergiaPotencialTotal Mnimaimplica,evidentemente,aestacionaridadedofuncionalanterior.Denotarque, enquantoqueaenergiapotencialtotalapenasfunodosdeslocamentos,ofuncionalde Hellinger-Reissner funo dos deslocamentos e suas derivadas (atravs das deformaes) e dastenses,peloqueclassificadocomoumfuncionalmistocomdoiscampos independentes. Estudemos as condies de estacionaridade do funcional de Hellinger-Reissner: 1.78 ( )( ) ( ) + + + == + == + == = u tttd u n d u t n d u f dUd u t d u f d u dUd u t d u f dU0 , u , u Ii j ij i i j ij i i j , ij ijij*0iji i i i j , i ij ijij*0iji i i i ijij*0ij ij ij ijmn n , m m HR. Dadaaarbitrariedadedavariaodosdeslocamentosetensesconclui-sequea estacionaridade do funcional de Hellinger-Reissner implica: 1.79 ij U0*ij= 0 em ij, j + f i = 0 em ijnj t i = 0emt ui = 0 ui= u iemu MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.25R.P.Leal 1.2.8 - Princpios variacionais mais gerais* Comoexemplodeprincpiosvariacionaismaisgeraisapresentam-seosPrincpiosde Hu-Washizu e de Hamilton. 1.2.8.1 - Princpio de Hu-Washizu Define-se o funcional de Hu-Washizu pela expresso 1.80 ( )( ) + == utd n u ud u t d u f d u d d ) ( U, , u Ij ij i ii i i i j , i ij ij ij ij 0mn mn m HW. Estefuncionalfunodosdeslocamentos,dastensesedasdeformaespeloque classificado como um funcional misto de trs campos independentes. Isto significa que no se verificam priori nem as relaes entre os deslocamentos e as deformaes, nem as relaes constitutivas, entre as tenses e as deformaes. OPrincpiodeHu-Washizuafirmaqueoequilbriodocorpoelsticoumpontode estacionaridade da funcional 80, isto : 1.81 IHW= 0 . As condies de estacionaridade do funcional de Hu-Washizu, so obtidas por aplicao do operador variacional, como segue: 1.82 ( )( ) ( )( ) [ ]( ) ( )[ ] ( ) [ ] + + + == + + + == = utu u td n u u d u fd u t n d u u21d) ( Ud n u u d u n d u t d u fd u u d d) ( U0 , , u Ij ij i i i i j , iji i j ij ij i , j j , i ij ij ijijij 0j ij i i i j ij i i i ij , i ij j , i ij ij ij ij ij ijijij 0mn mn m HW. MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.26R.P.Leal Dada a arbitrariedade da variao dos deslocamentos, tenses e deformaes, conclui-se que a estacionaridade do funcional de Hellinger-Reissner implica: 1.83 U0(ij)ij ij= 0 em, ij 12ui, j + uj, i( ) = 0 em, ij, j + f i= 0 em, ijnj t i = 0emt, ui= u iemu. 1.2.8.2 - Princpio de Hamilton O Princpio de Hamilton estabelece que: Detodasasconfiguraesadmissveisqueosistemapodetomaraoevoluirda configurao de equilbrio 1 no instante t1 para a configurao de equilbrio 2 no instante t2, asverdadeirassoasquetornamestacionrioointegraldafunodeLagrangeassociada ao sistema, L, isto , 1.84 IH= L dtt1t2= 0. A funo de Lagrange associada ao sistema definida por 1.85( ) ( ) ( )m m,n m m m m,nL t, u , u , u T t, u u , u = sendo T a energia cintica definida pela expresso 1.86 ( )m i i1T t, u u u d2=

em que o ponto superior representa a derivada relativamente ao tempo, a massa especfica do material da viga e em que = U + P a energia potencial total anteriormente definida. Evidentemente,nocasodenohavervariaodoestadodocorpocomotempo,a energiacinticanula,afunodeLagrangeovalornegativodaenergiapotenciale conclui-sequeoPrincpiodeHamiltonsereduzaoPrincpiodaEnergiaPotencialTotal Mnima. OfuncionaldeHamiltonapenasfunodosdeslocamentoserespectivasderivadas MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.27R.P.Leal relativamente a coordenadas do espao e ao tempo. 1.2 - Resoluo de problemas OsproblemasemMecnicadeSlidos,independentementedasuaformulao,podem ser resolvidos analiticamente, de forma aproximada ou por mtodos numricos. 1.2.1 - Resoluo analtica Representa-senaFig.8oesquemageraldestetipoderesoluo,considerandoquea formulao integral obtida a partir da aplicao de um princpio variacional. Como se pode ver, quer a estacionaridade da funcional quer o desenvolvimento da formulao integral fraca obtida com consideraes sobre o trabalho, conduzem a equaes diferenciais (as equaes de Euler-Lagrange no primeiro caso) que coincidem com as equaes da formulao diferencial e que devem ser resolvidas para se obter, simultaneamente,- a funo que soluo das equaes diferenciais- a funo que verifica a formulao integral obtida pelo Princpio do Trabalho Virtual e - a funo que torna estacionrio o funcional considerado. Consideraesenergticas Consideraesde trabalho Consideraesde equilbrio Formulao variacional Formulao integral (PTV) Formulao diferencial Equaes diferenciais Clculo Variacional Desenvolver Directo Solues AnalticasClculo DiferencialMECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.28R.P.Leal Fig. 8 - Resoluo analtica. Conclui-sequeasoluoanaltica,tantodaformulaodiferencialcomodas formulaes integrais obtidas com consideraes fsicas (energticas ou de trabalho), implica sempre a resoluo de uma equao diferencial ou de um sistema de equaes diferenciais. A principalvantagemdaformulaodoproblemaemformavariacionalouintegralemvezda mais habitualmente usada formulao diferencial, a de que da estacionaridade do funcional decorrem,noapenasa(s)equao(es)diferencial(is)deequilbrio,mastambmas condies de fronteira naturais do problema. 1.2.2 - Resoluo aproximada Representa-senaFig.9oesquemageralda resoluo aproximada, considerando que a formulao integral obtida a partir da aplicao de um princpio variacional. Fig. 9 - Resoluo aproximada. Umprimeiropassonaresoluoporestesmtodos consiste na aproximao da funo incgnita. Na maioria dos casos a soluo aproximada por Formulao variacional (Funcional de u) Aproximao da soluo u i iu a = comi 1, , n = Formulao diferencial (Lu=f) Funo dos parmetros ai Definio do resduo R R Lu f = Sistema de equaes algbricas Minimizao da funo relativamente aos parmetros ai Solues AproximadasOrtogonalizao do resduo com funes de peso MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51.29R.P.Leal 1.87

u= a1 1 + a2 2+ + an n= ai i = ai i = aT = Tai =1n sendo ai - parmetros a determinar; i=i(xk)-funesconhecidasqueobedecempelomenosscondiesdefronteira essenciais nos mtodos que estudaremos, genericamente designados por mtodos de domnio; n - nmero de funes usadas. (1) - Escolha das funes de aproximao As funes i devem ter as seguintes propriedades matemticas: a)-Pertenceraumespaolinearn-dimensionalE,isto,devempodercombinar-se linearmente 1.88 = 1 + 2com E sendo e nmeros reais. Neste espao linear define-se um produto interno que se representa por1, 2,( )1 2para , E , e definido por 1.89 1, 2= 1. 2d Define-se ainda uma norma || ||definida por 1.90 2, d x = = b) - As funes i devem formar um conjunto linearmente independente, isto 1.91

1 1+ 2 2++ n n= 0 se e s se i = 0 para todo o i = 1,...,n. c) - As funes i devem formar um conjunto completo, isto , se for dada uma funo admissvel e arbitrria u0, possvel determinar um conjunto de constantes i tal que 1.92 n0 i ii 1u= 0 > 0 e, consequentemente, para o mdulo de Young e para o coeficiente de Poisson A2.6 E > 00 < tensorial / vectorial xxyxzxyyyzxzyzz 1 ] 1 1 1 xxxyxzxyyyyzxzyzzz 1 ] 1 1 1 111213122223132333 1 ] 1 1 1 A3.2 123456 ' ; xyzyzxzxy ' ; xxyyzzyzxzxy ' ; 112233231312 ' ; A3.3 - Deformaes-Notaes alternativas--->tensorial / vectorial xxxy / 2 xz / 2xy/ 2 yyyz / 2xz/ 2 yz / 2 zz 1 ] 1 1 1 1112 / 2 13 / 212 / 2 2223 / 213 / 2 23 / 2 33 1 ] 1 1 1 111213122223132333 1 ] 1 1 1 A3.3 123456 ' ; xyzyzxzxy ' ; xxyyzz2 yz2 xz2 xy ' ; 112233231312 ' ; 1122332 232 132 12 ' ; MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51. 38R.P.Leal A3.4 - Equaes de equilbrio I - Notao tradicional x x+ xy y+ xz z+ bx 0 xy x+ y y+ yz z+ by 0A3.4 xz x+ yz y+ z z+ bz 0 II - Notao indicial (ndices = 1,2,3) A3.5 ij,j i b0 ems + = W III - Notao matricial (em forma condensada) A3.6E ( ) + b 0 em IV - Notao matricial (em forma explcita) x0 0 0z y0y0z0 x0 0zyx0 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 xyzyzxzxy ' ; +bxbybz ' ; 000 ' ; A3.7 x10 0 0x3x20x20x30x10 0x3x2x10 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 112233231312 ' ; +b1b2b3 ' ; 000 ' ; MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51. 39R.P.Leal A3.5 - Relaes deformaes - deslocamentos I - Notao tradicional x u xxy v x + u y y v yxz w x+ u z A3.8 z w zyz w y+ v z II - Notao indicial (ndices = 1,2,3) A3.9ij12 ui, j + uj, i ( ) III - Notao matricial (em forma condensada) A3.10 ET( )u IV - Notao matricial (em forma explcita) A3.11 a xyzyzxzxy ' ; x0 00y00 0z0 zyz0x yx0 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 uvw ' ; MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51. 40R.P.Leal A3.11 b 123456 ' ; 1122332 232 132 12 ' ; 112233231312 ' ; x10 00x200 0x30x3x2x30x1x2x10 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u1u2u3 ' ; A3.6 - Relaes tenses - deformaes I - Notao tradicional 1 x a11x+ a12y+ a13z+ a14yz+ a15xz+ a16xy 2 y a21x+ a22y+ a23z+ a24yz+ a25xz+ a26xy 3 z a31x+ a32y+ a33z+ a34yz+ a35xz+ a36xy 4 yz a41x+ a42y+ a43z+ a44yz+ a45xz+ a46xy 5 xz a51x+ a52y+ a53z+ a54yz+ a55xz+ a56xy A3.12 6 xy a61x+ a62y+ a63z+ a64yz+ a65xz+ a66xy em que os aij (i,j = 1 a 6 )representam constantes do material. II - Notao indicial (ndices = 1,2,3) A3.13 ij aijklkl III - Notao matricial (em forma condensada) A3.14 A MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51. 41R.P.Leal IV - Notao matricial (em forma explcita) 123456 ' ; a11a12a13a14a15a16a21a22a23a24a25a26a31a32a33a34a35a36a41a42a43a44a45a46a51a52a53a54a55a56a61a62a63a64a65a66 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 123456 ' ; A3.15 112233231312 ' ; a1111a1122a1133a1123a1113a1112a2211a2222a2233a2223a2213a2212a3311a3322a3333a3323a3313a3312a2311a2322a2333a2323a2313a2312a1311a1322a1333a1323a1313a1312a1211a1222a1233a1223a1213a1212 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 1122332 232 132 12 ' ; A3.7 - Relaes tenses - deformaes para materiais isotrpicos I - Notao tradicional x 2 x+1 2 x+ y+ z( ) 1 ] 1 yz yz y 2 y+1 2 x+ y+ z( ) 1 ] 1 xz xzA3.16 z 2 z+1 2 x+ y+ z( ) 1 ] 1 xy xy II - Notao indicial (ndices = 1,2,3) A3.17 ij ijll +2ij com e representando as constantes de Lam. III - Notao matricial (em forma condensada) A3.18 A MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51. 42R.P.Leal com a matriz de constantes elsticas A, dada por A3.19A 2 + 0 0 0 2 + 0 0 0 2 + 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 IV - Notao matricial (em forma explcita) xyzyzxzxy ' ; 2 + 0 0 0 2 + 0 0 0 2 + 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 xyzyzxzxy ' ; A3.20 112233231312 ' ; 2 + 0 0 0 2+ 0 0 0 2 + 0 0 00 0 0 2 0 00 0 0 0 2 00 0 0 0 0 2 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 112233231312 ' ; A3.8 - Relaes deformaes - tenses I - Notao tradicional 1 x xx b11x+ b12y+ b13z+ b14yz+ b15xz+ b16xy 2 y yy b21x+ b22y+ b23z+ b24yz+ b25xz+ b26xy 3 z zz b31x+ b32y+ b33z+ b34yz+ b35xz+ b36xy 4 yz 2 yz b41x+ b42y+ b43z+ b44yz+ b45xz+ b46xy 5 xz 2 xz b51x+ b52y+ b53z+ b54yz+ b55xz+ b56xy A3.21 6 xy 2 xy b61x+ b62y+ b63z+ b64yz+ b65xz+ b66xy MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51. 43R.P.Leal II - Notao indicial (ndices = 1,2,3) A3.22ij bijklkl III - Notao matricial (em forma condensada) A3.23 B IV - Notao matricial (em forma explcita) 123456 ' ; xyzyzxzxy ' ; xxyyzz2 yz2 xz2 xy ' ; b11b12b13b14b15b16b21b22b23b24b25b26b31b32b33b34b35b36b41b42b43b44b45b46b51b52b53b54b55b56b61b62b63b64b65b66 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 xyzyzxzxy ' ; A3.24 1122332 232 132 12 ' ; b1111b1122b11332 b11232 b11132 b1112b2211b2222b22332 b22232 b22132 b2212b3311b3322b33332 b33232 b33132 b33122 b23112 b23222 b23334 b23234 b23134 b23122 b13112 b13222 b13334 b13234 b13134 b13122 b12112 b12222 b12334 b12234 b12134 b1212 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 112233231312 ' ; A3.9 - Relaes deformaes - tenses para materiais isotrpicos I - Notao tradicional x1ExEy+ z ( ) yz2 1+ ( )Eyz y1EyEx+ z ( ) xz2 1+ ( )Exz A3.25 z1EzEx+ y ( ) xy2 1 + ( )Exy MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51. 44R.P.Leal II - Notao indicial (ndices = 1,2,3) A3.26 ij12 ij2 3 + 2 ( )kkij com erepresentandoasconstantesdeLamouusandoasexpressesquerelacionamessas constantescomE (mdulo de elasticidade ou de Young) e (coeficiente de Poisson) ver Aditamento 2: A3.27 ij1 + EijEkkij III - Notao matricial (em forma condensada) A3.28 B com a matriz de constantes elsticas B = A-1, dada por A3.29B 1E1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 2 1+ ( )0 00 0 0 0 2 1+ ( )00 0 0 0 0 2 1+ ( ) 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 IV - Notao matricial (em forma explcita) A3.30 a xyzyzxzxy ' ; 1E1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 2 1+ ( ) 0 00 0 0 0 2 1+ ( ) 00 0 0 0 0 2 1+ ( ) 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 xyzyzxzxy ' ; MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51. 45R.P.Leal A3.30 b 112233231312 ' ; 1E1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1+ 0 00 0 0 0 1+ 00 0 0 0 0 1+ 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 112233231312 ' ; A3.10 - Equaes de Cauchy I - Notao tradicional tx x cos n, x ( ) + xycos n,y ( ) + xz cos n,z ( )ty xycos n,x ( ) + y cos n,y ( ) + yz cos n,z ( )A3.31 tz xzcos n,x ( ) + yz cos n, y ( ) + zcos n,z ( ) II - Notao indicial (ndices = 1,2,3) A3.32ti ijnj III - Notao matricial (em forma condensada) a) - Usando o operador E A3.33t E n( ) b) - Usando a forma matricial de A3.34t n MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51. 46R.P.Leal IV - Notao matricial (em forma explcita) a) - Usando o operador E txtytz ' ; cos n, x ( ) 0 0 0 cos n,z ( ) cos n, y ( )0 cos n,y ( ) 0 cos n,z ( ) 0 cos n, x ( )0 0 cos n,z ( ) cos n,y ( ) cos n,x ( ) 0 1 ] 1 1 1 xyzyzxzxy ' ; txtytz ' ; nx0 0 0 nzny0 ny0 nz0 nx0 0 nznynx0 1 ] 1 1 1 xyzyzxzxy ' ; A3.35 t1t2t3 ' ; n10 0 0 n3n20 n20 n30 n10 0 n3n2n10 1 ] 1 1 1 112233231312 ' ; b) - Usando a forma matricial de A3.36 t1t2t3 ' ; 111213212223313233 1 ] 1 1 1 n1n2n3 ' ; MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51. 47R.P.Leal A3.11-Funodensidadedeenergiadedeformaoemtermosdedeformaesemmateriais isotrpicos. I - Notao tradicional A3.37U02x+ y+ z( )2+ x2+ y2+ z2( )+2xy2+ xz2+ yz2( ) II - Notao indicial (ndices = 1,2,3) A3.38U0mn( )12aijklijkl III - Notao matricial (em forma condensada) A3.39U0( )12TA IV - Notao matricial (em forma explcita) xyz0 x y z yz xz xyyzxzxy2 0 0 02 0 0 02 0 0 0 1U0 0 0 0 0 20 0 0 0 00 0 0 0 0 e m+l l l e l m+l l el l m+l = e e e g g g gm m g m g A3.40 [ ]1122330 11 22 33 23 13 122313122 0 0 02 0 0 02 0 0 01U 2 2 22 0 0 0 0 0 22 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 e m+l l l e l m+l l e l l m+l = e e e e e e e m e m e m MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51. 48R.P.Leal A3.12 - Funo densidade de energia de deformao em termos de deslocamentos em materiais isotrpicos I - Notao tradicional A3.41 U02 u x+ v y+ w z _ , 2+ u x _ , 2+ v y _ , 2+ w z _ , 2 1 ] 1 1 ++2 w y+ v z _ , 2+ w x+ u z _ , 2+ v x+ u y _ , 2 1 ] 1 1 II - Notao indicial (ndices = 1,2,3) A3.42U012aijklui, juk, l III - Notao matricial (em forma condensada) A3.43U0u( )12uTE ( )A ET( )u IV - Notao matricial (em forma explcita) U012u v w [ ] x0 0 0 z y0 y0 z0 x0 0 z y x0 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 (segue )A3.44 2 + 0 0 0 2 + 0 0 0 2 + 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 x0 00 y00 0 z0 z y z0 x y x0 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 uvw ' ; MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51. 49R.P.Leal [ ]1 3 20 1 2 32 3 13 2 10 0 0x x x1U u u u 0 0 0 (segue)2 x x x0 0 0x x x = A3.45 2 + 0 0 0 2 + 0 0 0 2 + 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 x10 00 x200 0 x30 x3 x2 x30 x1 x2 x10 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u1u2u3 ' ; A3.13 - Funo densidade de energia complementar em materiais isotrpicos I - Notao tradicional A3.46 U0* 2 Ex+ y+ z( )2+1 + 2 Ex2+ y2+ z2( )+1 + Exy2+ xz2+ yz2( ) II - Notao indicial (ndices = 1,2,3) A3.47U0*mn( )12 bijklij kl III - Notao matricial (em forma condensada) A3.48U0( )12TB MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 1 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2004/51. 50R.P.Leal IV - Notao matricial (em forma explcita) A3.49 U0*12Exyzyzxzxy [ ]1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 2 1 + ( ) 0 00 0 0 0 2 1+ ( ) 00 0 0 0 0 2 1+ ( ) 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 xyzyzxzxy ' ; U0*12E112233231312[ ]1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 2 1+ ( ) 0 00 0 0 0 2 1 + ( ) 00 0 0 0 0 2 1 + ( ) 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 112233231312 ' ; MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 2 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2007/82.1R.P.Leal 2 - Formulao e resoluo do problema clssico de barras 2.1 - Formulao do problema 2.1.1 - Introduo Nestaabordagemvai-seadoptarateoriaclssicadebarras.Considera-sequeo comprimentodabarramuitomaiordoqueasdimensesdasecotransversal,queo sistema de eixos definido na Fig. 1 um sistema de eixos cartesianos, ortonormado e directo coincidente com os eixos principais de inrcia. A barra est carregada com uma carregamento volmico q(x1) actuando na direco positiva do eixo x1 (eixo x) e tambm por uma carga P (constante) que actua segundo o mesmo eixo. A Fig. 1 representa o campo de deslocamentos decorrente do carregamento axial da estrutura. OPOP x,uz,w Fig. 1 - Barra - definio do sistema de eixos e campo de deslocamentos. O campo de deslocamentos da barra dado pelas seguintes equaes: 2.1 u1= u(x) u2= 0 u3= 0 Usando as relaes deslocamento-deformao 2.2 ij=12ui, j+ uj, i( ) obtm-se o tensor de deformaes da barra que se reduz a 2.3 11=d ud x 12= 13= 22= 23= 33= 0 MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 2 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2007/82.2R.P.Leal Aplicando a lei constitutiva do material suposto isotrpico 2.4 ij= ij

+ 2 ij deduz-seotensordetensesdabarra.Entrandoemconsideraocomasrelaesentreos coeficientes de Lam e o mdulo de elasticidade e coeficiente de Poisson 2.5 =E2 ( 1 + ) =E ( 1 + ) ( 1 2 ) obtm-se 2.6 11=E ( 1 )( 1 + ) ( 1 2 )11 22= 33=E ( 1 + ) ( 1 2 )11 12= 13= 23= 0 eintroduzindoahiptesedateoriaclssicadebarrasdeconsiderarocoeficientedePoisson nulo no clculo das tenses, obtm-se finalmente 2.7 11= E 1112= 13= 22= 23= 33= 0 2.1.2 - Formulao diferencial atravs de consideraes de equilbrio Considere-se o elemento de barra representado na Fig. 2. Fig. 2 - Elemento de barra em equilbrio. x q(x) dd xd x +d MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 2 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2007/82.3R.P.Leal Vamos estabelecer as equaes de equilbrio das foras segundo o eixo dos xx. 2.8 A + q(x) A d x + +d d xd x A = 0 Introduzindoovalorde (Eq.7) na expresso 8, considerando a carga por unidade de comprimentoequivalentep(x)esupondoqueareadasecotransversalAconstanteno intervalo dx, obtm-se 2.9 d d uE A p(x) 0d x d x + = 2.1.3 - Formulao integral fraca A partir da formulao diferencial obtm-se a formulao integral forte 2.10 0d d uE A p(x) v(x) d x 0d x d x + =

emque ocomprimentoev(x)umafunodetestecomaregularidadenecessria. Desenvolvendoaexpressoanterioreintegrandoporpartesoprimeirointegralobtm-sea formulao integral fraca na forma 2.11 0 0 0d u d u d vE A v E A d x p(x) v(x) d x 0d x d x d x + =

Atendendo definio da tenso 11, o termo na fronteira pode ser escrito como segue: 2.12 [ ] ( )00 0 0d u d d vE A v P v P v d x P d xd x d x d x = = =

Substituindo na Eq. 11 e multiplicando por (-1), obtm-se a formulao integral fraca na forma 2.13 0 0 0d u d v d vE A d x p(x) v(x) d x P d x 0d x d x d x =

MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 2 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2007/82.4R.P.Leal 2.1.4 - Formulao variacional atravs da Energia Potencial Total* Em elasticidade define-se a energia potencial total pela expresso 2.14 tij ij i i i i1U P d b u d t u d2 = + = que pode ser particularizada para o caso de barras introduzindo as expresses 1, 3 e 7. Assim, a expresso da energia de deformao elstica U dada por 2.15 2ij ij 111 1U d E d2 2 = = Introduzindo o valor de 11 e integrando sobre a seco transversal obtm-se 2.16 201 d uU E A d x2 d x =

em que o comprimento e A a rea da seco transversal da barra. O potencial de foras correspondente ao segundo integral da Eq.14 dado por 2.17 V i i0 0P b u d q(x) A u(x) d x p(x) u(x) d x= = = emqueq(x)acargavolmicaexercidaep(x)umacargaporunidadedecomprimento equivalente anterior, que se supe estar a ser exercida sobre o eixo dos xx. Quantoaopotencialdeforassuperficiaisdevemosconsideraroprovocadopelo carregamento axial P. O deslocamento axial da barra pode ser expresso na forma 2.18axu u( ) u(0) = Ento,opotencialdeforasresultantedestedeslocamentoeprovocadopelaforaP pode ser expresso na forma 2.19 [ ]tS i i ax00d uP t u d P u P u P d xd x= = = =

MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 2 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2007/82.5R.P.Leal Concluindo,aenergiapotencialtotalparaumabarracarregadaaxialmentecomuma carga volmica q(x) (ou, de forma equivalente, uma carga por unidade de comprimento p(x))e por uma carga P, dada por 2.20 20 0 01 d u d uE A d x p u d x P d x2 d x d x =

Aformulaovariacionalparaoproblemadasbarras,podeagoraserestabelecida mediante a aplicao do Princpio da Energia Potencial Total Mnima, isto , 2.21 0 = 2.1.5 - Formulao integral fraca atravs do Princpio do Trabalho Virtual A expresso do Princpio do Trabalho Virtual aplicado a slidos deformveis 2.22 ( )tij ij m i i i iv d b v d t v d 0 = quepodeserparticularizadaparaocasodebarrasdefinindoumcampodedeslocamentos virtuaisidnticoaoreal(Eq.1)enulonapartedafronteiraemqueodeslocamentoreal conhecido e um tensor de deformaes virtual (aplicando as Eq.2 ao campo de deslocamentos virtual) e usando a expresso das tenses (Eq 7). Assim, o trabalho virtual interno dado por 2.23 ( )int ij ij md u d vW v d E dd x d x = = Integrando sobre a seco transversal obtm-se 2.24 int0d u d vW E A d xd x d x=

em que

o comprimento e A a rea da seco transversal da barra. O trabalho virtual externo das foras volmicas, correspondente ao segundo integral da Eq. 22, dado por 2.25 ( ) 1ext i i0 0W b v d q x A v x d x p x v x d x ( ) ( ) ( ) ( )= = = MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 2 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2007/82.6R.P.Leal emqueq(x)acargavolmicaexercidaep(x)umacargaporunidadedecomprimento equivalente anterior, que se supe estar a ser exercida sobre o eixo dos xx. Quantoaotrabalhovirtualexternodasforassuperficiaisdevemosconsideraro carregamento axial equivalente P. O deslocamento virtual axial da barra pode ser expresso na forma 2.26 axv v( ) v(0) = Ento, o trabalho virtual externo resultante deste deslocamento e provocado pela fora P pode ser expresso na forma 2.27 ( )[ ]t2ext i i ax00d vW t v d P v P v P d xd x= = = =

Concluindo,oprincpiodostrabalhosvirtuaisaplicvelaumabarracarregada axialmentecomumacargavolmicaq(x)(ou, de forma equivalente, uma carga por unidade de comprimento p(x))e por uma carga P na extremidade, dada por 2.28 0 0 0d u d v d vE A d x p v d x P d x 0d x d x d x =

De notar a igualdade entre a formulao integral obtida pela aplicao do Princpio do Trabalho Virtual e a formulao fraca (Eq. 13), o que permite concluir que a funo de teste ento usada pode ser fisicamente interpretada como um campo de deslocamentos virtuais. 2.2 - Resoluo analtica As Eqs. 9, 13 (ou 28) e 21 conjugada com 20 representam formulaes alternativas do problemadebarras.Aresoluodoproblemaapartir da formulao 21 implica a utilizao do clculo variacional para determinao das condies de estacionaridade da funcional 20. 2.2.1 - Resoluo analtica a partir da formulao variacional Aplicando o operador variacional expresso da energia potencial total obtm-se 2.29 0 0 0d u d u d uE A d x p u d x P d x 0d x d x d x = =

MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 2 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2007/82.7R.P.Leal Integrando por partes o 1 e 3 integrais, vem 2.30 0 0d u d d uE A P u E A P p u d x 0d x d x d x = + =

Dada a arbitrariedade da variao u e atendendo a que P no funo de x, conclui-se que as condies de estacionaridade so: - a equao de Euler-Lagrange 2.31 d d uE A p(x) 0d x d x + = - as condies de fronteira naturais 2.32 d uE A Pemx = 0 e em x =.d x= - e, alternativamente s anteriores, as condies de fronteira essenciais 2.33 u 0 u u emx = 0e emx =. = = que no caso de condies homogneas se reduzem a 2.34 u 0 u 0 emx = 0e emx =. = = AresoluoanalticadoproblemaexigeagoraaresoluodaequaodeEuler-Lagrange(equaodiferencial).Comoestaigualequaoobtidacomconsideraesde equilbrio conclui-se que, a partir daqui a resoluo comum. 2.2.2 - Resoluo analtica a partir do Princpio do Trabalho Virtual Integrando por partes o 1 e 3 integrais da Eq. 28, vem 2.35 0 0d u d u dE A P v E A P p v d x 0d x d x d x + =

MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 2 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2007/82.8R.P.Leal DadaaarbitrariedadedodeslocamentovirtualveatendendoaquePconstante, conclui-se que a Eq. 28 equivalente a: - a equao diferencial no domnio ] 0,[ 2.36 dd xE Ad ud x + p(x) = 0 - as condies de fronteira naturais 2.37

E Ad ud x= Pemx=0 e em x=. - e, alternativamente s anteriores, as condies de fronteira essenciais 2.38 v 0 u u emx = 0e emx =. = = que no caso de condies homogneas se reduzem a 2.39 v 0 u 0 emx = 0e emx =. = = Aresoluoanalticadoproblemaexigeagoraaresoluodaequaodiferencial. Comoestaigualequaoobtidaatravsdeconsideraesdeequilbrioconclui-seque,a partir daqui a resoluo comum. 2.2.3 - Resoluo analtica a partir da formulao diferencial Trata-se de integrar a equao diferencial 9, 31 ou 36 o que s pode ser conseguido, de formasimples,paradeterminadossegundosmembros,designadamenteparaocasodacarga constante com x, isto ,p(x) = p0. Nessas condies, a soluo geral dada por 2.40 u(x) = p02 E Ax2+C1E Ax + C2 As constantes Ci so agora calculadas a partir das condies de fronteira. Considere-se ocasodeumabarrafixaemx=0elivreemx=,suportandoumcarregamentoconstante p(x) = p0e uma carga axial constante P em x = . Neste caso, temos 2.41 u = 0 emx= 0 C2= 0

E Ad ud x= Pemx= C1= P + p0 MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 2 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2007/82.9R.P.Leal Substituindoovalordasconstantesnasoluogeralobtm-seasoluoanalticada barra nas condies anteriormente enunciadas: 2.42

u(x) =p02 E A2x x2( )+PE Ax Apartirdafunodedeslocamentoagorapossveldeduzirasexpressesda deformao e da tenso ao longo do eixo que so, respectivamente, 2.43 0 0p P p d uxd x E A E A+ = = +

0 0p P p d uE xd x A A+ = = +

Estudemos dois casos tipo, para comparao com resultados futuros. Para as condies de fronteira enunciadas e supondo: 1caso:Cargadistribudanulap(x) = p0= 0 ( );odeslocamentomximo(em

x =), a deformao na barra e a correspondente tenso so, respectivamente: 2.44

uMAX=P E A PE A = PA = 2 caso: Carga axial nulaP = 0 ( ) e carga distribuda constante( )0p(x) p = que se supeexercer-senadirecopositivadoeixodosxx.Nestascondies,odeslocamento mximo (em

x =), a deformao na barra e a correspondente tenso so, respectivamente: 2.45 20MAXpu2 E A=

( )0p xE A =

( )0p xA =

2.3 - Resoluo aproximada Considere-se,agora,aresoluoaproximadadoproblemadeestticadebarras.Um primeiropassoindependentedaformulaoedomtodousadoconsiste,comovimos anteriormente, em aproximar a soluo atravs de um produto de parmetros desconhecidos a por funes conhecidas . No caso das formulaes apresentadas para o problema esttico de barras a funo a aproximar a funo de deslocamentos axiais u(x). Assim, temos: 2.46 T T1 1 2 2 n n i iu a a a a = + ++ = = = a a MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 2 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2007/82.10R.P.Leal 2.3.1 - Resoluo aproximada a partir da formulao variacional - Mtodo de Rayleigh-Ritz Considere-seaenergiapotencialaproximadadabarraobtidasubstituindoadeformada aproximada na expresso da energia 2.47 20 0 0T T T Tx x x0 0 0T T1 d u d uE A d x p u d x P d x2 d x d x1E A d x p d x P d x212 = = = == a a a aa K a a Q

em que os elementos genricos de K e Q so dados por 2.48 x xij i j0k E A d x =

( )xi i i0q p P d x = +

A aplicao do Princpio da Energia Potencial Total Mnima conduz a 2.49 0 0 = = =K a Qa

obtendo-se,portantoumsistemadeequaesalgbricasemfunodosparmetrosa.A obtenodovectordeparmetrospermite,apssubstituionaEq.46,obteraexpresso aproximada da deformada. 2.3.2 - Resoluo aproximada a partir da formulao diferencial - Mtodo de Galerkin Talcomonomtodoanterior,umprimeiropassoconsisteemaproximarasoluo atravs de um produto de parmetros desconhecidos a por funes conhecidas (Eq.46). Substitui-se na equao diferencial a funo incgnita pela funo aproximada e define-se o resduo R: 2.50 dd xE Adu d x p(x) R =dd xE Ad u d x + p(x) MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 2 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2007/82.11R.P.Leal O mtodo de Galerkin fora a anulao do resduo ortogonalizando-o com as funes de aproximao : 2.51 0 0 0d d uR d x 0 E A d x p(x) d x 0d x d x = + =

Integrando por partes o 1 termo da Eq. 51 e operando, obtm-se 2.52 0 0 00 0 0d d u d uE A d x p x d x E A 0d x d x d xd d u dE A d x p x d x P d x 0d x d x d x( )( ) = =

A expresso obtida igual que se teria obtido substituindo no Princpio dos Trabalhos Virtuais a funo u pela funo aproximada Tu = a e a funo v pelo vector de funes de aproximao . De forma compacta a equao anterior assume a forma 2.53 Tx x x0 0 0E A d x p x d x P d x 0 = a

( ) Esta equao pode ser escrita na forma de um sistema de equaes algbricas 2.54 K a Q = 0 em que os elementos genricos de K e Q so dados por 2.55 x xij i j0k E A d x =

xi i i0 0q p d x P d x = + DenotaraigualdadedestasexpressescomasobtidaspelaaplicaodoMtodode Rayleigh-Ritz,oqueconfirmaqueparaoperadoresdiferenciaislinearesesimtricos(Eqs. 1.21 e 22) os dois mtodos so equivalentes. 2.3.3 - Comparao dos resultados obtidos para a barra "fixa-livre". Acomparaodasoluoanalticaedasaproximadasobtidascomumaaproximao linear 1u eoutraquadrtica 2u ,feitanafigura3,concluindo-sequeasegundasoluo aproximada coincidente com a soluo analtica. MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 2 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2007/82.12R.P.Leal

0COMPRIMENTO DA BARRADESLOCAMENTO AXIALuMAX u= u 2=p

+PEAxp2EAx2 u 1=p

+2P2EAx Fig. 3 - Barra - comparao de deslocamentos analticos e aproximados. 2.4 - Resoluo numrica Em condies de carregamento ou geometria complexa pode no ser simples obter uma funodequalidadesuficienteparagarantirbonsresultadoscomaaplicaodosmtodos aproximados.Nessascondies,omtododoselementosfinitossurgecomoumaalternativa vlida para a resoluo do problema. Omtododoselementosfinitospodeserencaradonumaperspectivade desenvolvimentoounumaperspectivadeaplicao.Emdesenvolvimentodistinguem-setrs etapas:-identificao dos graus de liberdade; -aproximao da soluo no interior do elemento; -obteno das matrizes do elemento. No ponto de vista de aplicao distinguem-se as seguintes fases: -discretizao; -operaes a nvel do elemento; -operaes a nvel global; -resoluodosistemaalgbricoque,sendoobjectodeoutrasdisciplinasdocurso (lgebraLineareGeometriaAnaltica,MtodosNumricosePrticade Computao), s ser aqui pontualmente considerada; -tratamento da soluo. MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 2 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2007/82.13R.P.Leal Noquesesegue,comearemosporconsiderarodesenvolvimentodoelementobarra com dois graus de liberdade (EB2GL) que ser aproveitado para a apresentao sistemtica da obteno de elementos finitos. Numa segunda fase sero obtidos elementos mais complexos e maisgeraisquepermitiroautilizaoemaplicaesdendolemaisprtica.Paraoefeito sero identificadas dificuldades matemticas e introduzidas ferramentas para a sua resoluo, nomeadamente, a transformao de coordenadas e a integrao numrica. 2.4.1 Desenvolvimento do EB2GL. 2.4.1.1 Identificao dos graus de liberdade Aaplicaodomtododoselementosfinitosimplicaadivisododomnioemsub-domnios com caractersticas e carregamento simples de tratar. No caso de uma barra, vamos considerarquecadaelementoconsideradotempropriedadeselsticas,readeseco transversal e carregamento distribudo constantes com x. Considere-se a barra dividida em m elementos finitos dos quais destacamos, conforme a Fig.4,oelemento(e);ospontosextremosdesseelementosochamadospontosnodaisou ns,soidentificadospelasuacoordenadasegundooeixodosxx(x1(e)ex2(e), respectivamente) que fazemos coincidir com o eixo da barra. Fig. 4 - Barra - elemento finito com dois graus de liberdade (EB2GL). Como consequncia da aco do carregamento segundo o eixo dos xx a que a barra est sujeita, cada um desses pontos nodais sofre um deslocamento axial que designaremos poru1(e) e poru2(e)e que constituem os graus de liberdade do elemento. 2.4.1.2 Aproximao do deslocamento no interior do elemento O campo de deslocamentos no interior do elemento aproximado por um polinmio de grau adequado; como existem dois graus de liberdade, isto , duas incgnitas, o polinmio a usar ser completo e de 1 grau, garantindo assim igual nmero de parmetros desconhecidos.( ) ( ) ( ) e e eE , A , ( ) e1x( ) e2x( ) e2u( ) e1uxMECNICA DE SLIDOSCAPTULO 2 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2007/82.14R.P.Leal Assim: 2.56 [ ] [ ]1 (e) T T1 2 1 22a 1u a a x a a 1 xa x = + = = = = a a emque (e) (e)1 2x x x .Paraqueestasoluosejaadmissveldeveverificarascondies conhecidas na extremidade do intervalo, isto , os deslocamentos dos pontos nodais. Logo: 2.57 u (e)x = x1( e)= u1(e)= a1+ a2x1(e) u (e)x = x2( e)= u2(e)= a1+ a2x2(e) u1(e)u2(e) =1 x1(e)1 x2(e) a1a2 u( e)= Ca Invertendo a matriz C, obtm-se: 2.58

a = C1u(e)a1a2 =1x2( e) x1( e)x2( e)x1(e)1 1 u1(e)u2(e) =1

( e)x2( e)x1( e)1 1 u1(e)u2(e) Substituindo o vector a na Eq. 57 obtm-se 2.59 [ ] [ ]T(e) T T 1 (e) (e) (e)(e) (e)(e) (e)1 1 1 (e) (e)2 11 2(e)(e) (e)22 2uu u a1 x x1 x 1 x N Na1 1u u= = = = = = = a C u N u

em queN1(e)e N2( e) so designadas por funes de forma, sendo dadas pelas expresses 2.60 (e)(e) 21(e)x xN=

(e)(e) 12(e)x xN=

Arepresentaogrficadestasfunes(polinmiosdeLagrangede1grau)permite dar-lhes um sentido fsico relacionado com o comportamento da barra. N2(e)x ( ) N1(e)x ( ) x2(e)x1(e)x1(e)x2(e)1 1 Fig. 5 - Barra - funes de forma do EB2GL. MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 2 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2007/82.15R.P.Leal Conclui-se que a funo de forma Ni(e) representa o campo de deslocamentos axiais dos pontos de um elemento de uma barra, em que o ponto nodal i se desloca de um valor unitrio e o outro ponto nodal se mantm fixo. importantenotarque,nopontodevistadoEngenheiro,aprincipalvantagemdo deslocamentoaproximadoserrepresentadocombasenasfunesdeformaemvezda representao polinomial inicial o sentido fsico que tal expresso contm. Assim, alm das funes de forma poderem ser fisicamente interpretadas como se viu, as incgnitas envolvidas sodeslocamentosaxiaisenquantoque,naformulaopolinomial57,soparmetrossem qualquer relao fsica com o problema a resolver. 2.4.1.3 Obteno das matrizes do elemento I- A partir da formulao variacional Considere-seaenergiapotencialaproximadadabarraanveldoelemento(e)obtida substituindoadeformadaaproximadanaexpresso da energia. No se consideram as cargas concentradas activas ou reactivas (apoios fixos) que se supem aplicadas nos pontos nodais e que, por esse motivo, sero introduzidas a nvel global. 2.61 ( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )e e2 2e e1 1e e2 2Te e1 12x xee e e e ex xx xT Te e e e e e e e ex x xx xT Te e e e e1 d uE A d x p u d x2 d x1E A d x p d x212 = = = == u u uu K u u Q

em que os elementos genricos de K(e) e Q(e) so dados por 2.62 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) e2x xe1xe e e e eij i jxk E A N N d x = ( ) ( ) ( )( )( ) e2e1xe e ei ixq p N d x = MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 2 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2007/82.16R.P.Leal AaplicaodoPrincpiodaEnergiaPotencialTotalMnimaanveldoelemento(e) conduz a 2.63 ( )( )( ) ( ) ( )ee e ee0 = = =0 K u Qu

obtendo-se, portanto um sistema de equaes algbricas em funo dos deslocamentos nodais u(e). A obteno do vector u(e) no possvel directamente a partir desta formulao, dado que a matriz K(e) singular. II- A partir da formulao integral fraca ou do Princpio do Trabalho Virtual Considere-seoPrincpiodoTrabalhoVirtual(aproximado)anveldoelementode barra,queseobtmsubstituindoodeslocamentoaxialpelarespectivafunoaproximada (Eq.59)eocampodedeslocamentosvirtuaispelovectordefunesdeforma.Nose consideramascargasconcentradasactivasoureactivas(apoiosfixos)quesesupem aplicadas nos pontos nodais e que, por esse motivo, sero introduzidas a nvel global. Obtm-se: 2.64 e e2 2e e1 1e e2 2Te e1 1x xe ee e e ex xx xe e e e e e ex xx xe e ed u d0 E A d x p d xd x d xE A d x p d x= == == NNN N u NK u Q

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) em que os elementos genricos de K(e) e Q(e) so dados por 2.65 kij( e)= E(e)A( e)Nix( e)Njx( e)dxx1( e)x2( e)qi(e)= p( e)Ni(e)d xx1(e)x2(e) III- Forma explcita das matrizes Substituindonasexpresses62ou65ovalordasfunesdeforma(Eq.60)e integrando, obtm-se 2.66

K( e)=E(e)A( e)

(e)1 1 1 1 Q(e)=p0( e)

( e)211 MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 2 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2007/82.17R.P.Leal emqueseconsiderouqueomdulodeYoung,areadasecotransversaleacarga distribudap(x) = p0(e) so constantes com x, no elemento. Evidentemente, se qualquer destes valores,nomeadamenteasecoouacargano puder ser considerado constante, dever-se- tomarissoemconsideraonaintegrao.AmatrizK(e)achamadamatrizderigidezdo elemento e o vector Q(e) designado por vector de cargas distribudas do elemento. 2.4.2 Aplicao do EB2GL Naaplicaodoelementodesenvolvidoconsideram-seascincofasesanteriormente definidas. 2.4.2.1 - Discretizao Estafaseconsistenadivisododomnioemsub-domnioscomcaractersticase carregamento simples de tratar. Atendendo s hipteses consideradas no desenvolvimento do elemento, isto que cada elemento tem propriedades elsticas (E), rea de seco transversal (A) e funo de carregamento (p0) constantes e que as foras concentradas activas ou reactivas (apoios fixos) se aplicam nos pontos nodais, conclui-se que a discretizao da barra dever ser feita de tal forma que se considera um ponto nodal, isto um ponto comum a dois elementos sempre que existir uma alterao: -de material, -dareadaseco(parasimplificaoconsidera-sequeabarracorrectamente modelada como um conjunto de zonas com rea transversal constante) ou -da funo de carregamento p0. Deve tambm colocar-se um ponto nodal: - nas extremidades da barra, - nos pontos de aplicao de cargas concentradas e - nos pontos em que se situem apoios que impeam o deslocamento axial. Atendendoaindaaqueoelementodesenvolvidolinearequeosresultadosobtidos para o deslocamento axial dos pontos nodais exacto deve-se colocar um ponto nodal - entre dois apoios fixos, se no existir um ponto nodal por outro motivo qualquer, e - nos pontos da barraem que se pretenda obter um resultado preciso. Aaplicaodasregrasanteriorespermiteobteradiscretizaomnimaaplicvel.Se necessriopoderoserusadosmaiselementosdevendo,nessecaso,procurarmanter-sea uniformidade de dimenses.MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 2 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2007/82.18R.P.Leal 2.4.2.2 - Operaes a nvel do elemento (EB2GL). NestafasedeversercalculadaamatrizderigidezK(e)eovectordecargasQ(e)para todos os elementos considerados na discretizao. Para esse efeito consideram-se as Eqs. 62. 2.4.2.3 - Operaes a nvel global A energia potencial aproximada da barra considerada globalmente pode ser vista como o somatriodascontribuiesindividuaisdosdiversoselementos.Parasimplificar continuaremos a no considerar as cargas concentradas que sero introduzidas posteriormente. Assim, temos: 2.67 T TT Tm mG (e) (e) (e) (e) (e) (e)e 1 e 1GE GE GE GE GE1212= = = = = = u K u u Qu K u u Q em que as matrizes e vectores envolvidos so designados por globais por elemento sendo: 2.68

KGE=k11(1)k12(1)0 00 0k21(1)k22(1)0 00 00 0 k11(2)k12(2) 0 00 0 k21(2)k22(2) 0 0

0 0 0 0k11(m)k12( m)0 0 0 0k21(m)k22( m) uGE=u1(1)u2(1)u1( 2)u2( 2)

u1( m)u2( m)

QGE=q1(1)q2(1)q1( 2)q2( 2)

q1(m)q2(m) AaplicaodoPrincpiodaEnergiaPotencialTotalMnimaenergiapotencial aproximada da barra conduz ao seguinte sistema de equaes: 2.69 GE GE GE GEGE0 0 = = =u K u Qu

De forma semelhante, o Princpio do Trabalho Virtual aproximado da barra considerada globalmente,semconsiderarasforasconcentradas,podeservistocomoosomatriodas contribuies individuais dos diversos elementos, obtendo-se igualmente: 2.70 Ne e e GE GE GEe 10= = = K u Q K u Q( ) ( ) ( ) MECNICA DE SLIDOSCAPTULO 2 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Ano lectivo: 2007/82.19R.P.Leal O sistema de equaes assim obtido singular por dois motivos: -nem todas as incgnitas so independentes -nem todas as incgnitas so desconhecidas. Quantoprimeiraquesto,aanlisedaFig.6permiteconcluirqueosdeslocamentos nodais que so elementos do vector global por elemento uGE no so todos independentes; de facto facilmente se conclui que o segundo deslocamento de um elemento igual ao primeiro deslocamento do elemento seguinte. 2.71 u2(e 1)= u1( e) x(e-1) (e)u2(e1)= u1( e)u2(e2)= u1(e1)x2(e2)= x1(e1)x2(e1)= x1( e)x2(e)= x1( e+1)u2(e)= u1( e+1)ue1GueGue+1G Fig. 6 - Barra - correlao dos graus de liberdade globais com os locais. Quantosegundaquestocompreende-sequeoprob