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Instituto Nacional de Matem´ atica Pura e Aplicada PAPMEM - Julho 2012 M´ edias e Princ´ ıpio das Gavetas Professor Paulo Cezar Carvalho Exerc´ ıcios 1. (Exame de acesso ao PROFMAT-2012) Considere trˆ es n´ umeros a, b e c. A m´ edia aritm´ etica entre a e b ´ e 17 e a m´ edia aritm´ etica entre a, b e c ´ e 15. O valor de c ´ e: (a) 9 (b) 10 (c) 11 (d) 12 (e) 15 2. Uma prova de concurso ´ e formada por quest˜oes de m´ ultipla escolha, com 4 alternativa por quest˜ao. Admita que nenhum candidato deixe quest˜ oes sem responder. (a) Qual ´ e o n´ umero m´ ınimo de candidatos para que seja poss´ ıvel ga- rantir que pelo menos 3 deles dar˜ao exatamente as mesmas respostas nas 5 primeiras quest˜ oes? (b) Qual ´ e o valor m´aximo de n para o qual ´ e poss´ ıvel garantir que, em um concurso com 1000 candidatos, pelo menos 2 dar˜ao as mesmas respostas nas primeiras n quest˜ oes? 3. Uma caixa retangular sem tampa tem arestas medindo x, y e z (veja a figura, onde as linha tracejadas indicam segmentos de arestas obstru´ ıdo por alguma face). (a) Exprima a ´ area e o volume da caixa em fun¸c˜ ao de x, y e z . (b) Use a desigualdade das m´ edias para mostrar que, se o volume da caixa ´ e igual a 32, ent˜ ao sua ´ area ´ e maior ou igual a 48. (c) Determine as medidas das arestas da caixa de ´area m´ ınima com volume igual a 32.
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Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada
PAPMEM - Julho 2012
Medias e Princpio das Gavetas
Professor Paulo Cezar Carvalho
Exerccios
1. (Exame de acesso ao PROFMAT-2012)
Considere tres numeros a, b e c. A media aritmetica entre a e b e 17 ea media aritmetica entre a, b e c e 15. O valor de c e:
(a) 9
(b) 10
(c) 11
(d) 12
(e) 15
2. Uma prova de concurso e formada por questoes de multipla escolha,com 4 alternativa por questao. Admita que nenhum candidato deixequestoes sem responder.
(a) Qual e o numero mnimo de candidatos para que seja possvel ga-rantir que pelo menos 3 deles darao exatamente as mesmas respostasnas 5 primeiras questoes?
(b) Qual e o valor maximo de n para o qual e possvel garantir que,em um concurso com 1000 candidatos, pelo menos 2 darao as mesmasrespostas nas primeiras n questoes?
3. Uma caixa retangular sem tampa tem arestas medindo x, y e z (veja afigura, onde as linha tracejadas indicam segmentos de arestas obstrudopor alguma face).
(a) Exprima a area e o volume da caixa em funcao de x, y e z.
(b) Use a desigualdade das medias para mostrar que, se o volume dacaixa e igual a 32, entao sua area e maior ou igual a 48.
(c) Determine as medidas das arestas da caixa de area mnima comvolume igual a 32.
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