Medidas de Dispersão

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Medidas de dispersão As medidas de dispersão servem para

avaliar o grau de variabilidade ou dispersão de um conjunto de dados.

Estas medidas nos permitem estabelecer comparações entre fenômenos da mesma natureza mostrando como os valores se distribuem acima ou abaixo da medida de tendência central.

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Amplitude total A amplitude total (AT) de um

conjunto de números é a diferença entre os valores extremos do conjunto, ou seja, entre o maior valore o menor valor.

minmax vvAt

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Amplitude Total Exemplo: A tabela a seguir fornece as informações

sobre a produção diária de certa peça para cinco empregados em uma indústria:

Empregado Dia Média 1° 2° 3° 4° 5° diária

X 70 71 69 70 70 70 Y 75 72 68 70 65 70 Z 70 70 70 70 70 70 W 71 69 73 75 62 70 V 68 70 69 72 71 70

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Amplitude Total Calcular as amplitudes totais nos exemplos

anteriores e identificar qual empregado apresenta a menor dispersão e qual apresenta a maior dispersão na produção diária.

Resolução: X: AT = 71 - 69 = 2 peças;Y: AT = 75 - 65 = 10 peças;Z: AT = 70 - 70 = 0 peças;W: AT = 75 - 62 = 13 peças;V: AT = 72 - 68 = 4 peças;

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Desvio Padrão Desvio padrão simples: Sejam

, n valores que a variável X assume. O desvio

padrão é definido como:

x x xn1 2, ,...,

1

1

2

n

XxS

n

ii

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Desvio Padrão Exemplo: Com os dados sobre a produção diária de três

empregados, identifique, através do desvio padrão, qual deles apresenta menor variabilidade na produção diária.

Empregado Dia Média Amplitude 1° 2° 3° 4° 5° diária total

C 82 70 65 60 73 70 22 D 60 78 68 62 82 70 22 E 53 72 75 75 75 70 22

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Desvio Padrão Resolução: Para C, utilizando a definição, temos:

Para C: ; para D: ; para E: . Com os valores encontrados para o desvio padrão, podemos observar que o empregado C apresentou a menor dispersão na produção diária da peça.

34,85,69

15

70737060706570707082

1

222221

2

n

Xx

S

k

ii

34,8S 69,9S 59,9S

9

Desvio Padrão Desvio padrão ponderado:O desvio

ponderado é para dados agrupados em classes onde a freqüência absoluta simples é considerada como o fator ponderador.

1

1

2

i

n

iii

f

fXxS

10

Desvio Padrão Ex: Considere as notas de 110 alunos da faculdade

XY na disciplina de estatística e encontre o desvio padrão.

Notas dos alunos

Número de alunos fiac

0 |-- 2 2 |-- 4 4 |-- 6 6 |-- 8

8 |-- 10

27 16 34 17 16

27 43 77 94 110

TOTAL 110

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Desvio PadrãoNotas Alunos if

aF ix ii fx . Xx i 2Xx i ii fXx .

2

0 - 2 27 27 1 27 - 3,62 13,10 353,70

2 - 4 16 43 3 48 - 1,62 2,62 41,92

4 - 6 34 77 5 170 0,38 0,14 4,76

6 - 8 17 94 7 119 2,38 5,66 96,22

8 - 10 16 110 9 144 4,38 19,18 306,88

Total 110 . . . . 508 . . . . 803,48

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Desvio Padrão

72,237,7

1110

48,803

1

.1

2

n

fXxS

n

iii

37,72 S

62,4110

508.

1

n

fxX

n

iii

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Variância Variância simples: Sejam , n

valores que a variável X assume. A variância é definido como:

Obs: a variância é o desvio padrão ao quadrado.

1

1

2

2

n

XxS

n

ii

x x xn1 2, ,...,

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Variância Ex: Para o exemplo da produção diária de

três empregados.

Para C : ; para D : ; para E: . Com os valores encontrados para o desvio

padrão, podemos observar que o empregado C apresentou a menor dispersão na produção diária da peça.

56,692 S 90,932 S 97,912 S

15

Variância Variância ponderada:

1

.1

2

2

n

fXxS

n

iii

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Coeficiente de Variação Percentual

Medida de dispersão relativa. Permite comparar a dispersão de conjuntos

de dados com médias e desvios padrões diferentes.

Indica se os dados estão mais ou menos concentrados em torno da média:

100% X

SCV

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Coeficiente de Variação Percentual Calcule os coeficientes de variação percentual da

variável renda (em salários mínimos) nos dois grupos abaixo. Qual dos dois apresenta valores mais homogêneos?

Casados: média = 10,904; desvio padrão = 4,362 Solteiros: média = 6,2683; desvio padrão = 3,0258

%0037,40100904,10

362,4.% CasadosCV

%2715,481002683,6

0258,3.% SolteirosCV