Estatística Aula 10 Medidas de dispersão Prof. Diovani Milhorim.
Medidas de Dispersão para uma Amostra
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MEDIDAS DE DISPERSÃO PARA UMA AMOSTRA
CONTEÚDOS CONCEITUAIS DA AULA:
AMPLITUDE
VARIÂNCIA
DESVIO PADRÃO
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
MEDIDAS DE DISPERSÃO PARA UMA AMOSTRA
Para entender o que é dispersão, imagine que quatro alunos obtiveram, em cinco
provas, as notas abaixo:
Alunos Notas Média
Antonio 5 5 5 5 5 5
João 6 4 5 4 6 5
José 10 5 5 5 0 5
Pedro 10 10 5 0 0 5
Todos os alunos obtiveram média igual a 5, mas a dispersão das
notas em torno da média não é a mesma para todos os alunos.
MEDIDAS DE DISPERSÃO PARA UMA AMOSTRA
I. As notas de Antonio não variaram (a dispersão é nula);
II. As notas de João variaram menos do que as notas de José (a dispersão das
notas de João é menor do que a dispersão das notas de José;
III. As notas de Pedro variaram mais do que as notas de todos os outros (a
dispersão das notas de Pedro é maior).Alunos Notas Média
Antonio 5 5 5 5 5 5
João 6 4 5 4 6 5
José 10 5 5 5 0 5
Pedro 10 10 5 0 0 5
Estas observações serão verificadas através das seguintes medidas de dispersão:
amplitude, variância e desvio padrão.
AMPLITUDE
Por definição, amplitude é a diferença entre o maior e o menor dado
observado. É fácil calcular a amplitude para os dados apresentados na Tabela
anterior.
As notas de Antonio tem amplitude:
a = 5 – 5 = 0
As notas de João tem amplitude:
a = 6 – 4 = 2
As notas de José tem amplitude:
a = 10 – 0 = 10
As notas de Pedro tem amplitude:
a = 10 – 0 = 10
AMPLITUDE
A amplitude não mede bem a dispersão dos dados porque, em seu
cálculo, usam-se apenas os valores extremos – e não todo os dados. De qualquer
forma, a amplitude é muito usada, principalmente porque é fácil de ser calculada e
fácil de interpretar.
VARIÂNCIA
Os dados distribuem-se em torno da média. Então o grau de dispersão
de um conjunto de dados pode ser medido pelos desvios em relação à média.
Desvio em relação à média é a diferença entre cada dado e a médio do conjunto.
Por exemplo, se a media de idade da sala de aula for de 28 anos, a pessoa que
tiver 30 anos terá um desvio em relação a média de:
30-20 = 2 anos
Considere os seguintes dados:
0, 4, 6, 8 e 7
A média desses dados é:
55
25
5
78640
VARIÂNCIAOs desvios em relação à média, representados por
são os seguintes:
0 – 5 = - 5
4 – 5 = - 1
6 – 5 = 1
8 – 5 = 3
7 – 5 = 2
A soma dos desvios é igual a zero, como é fácil verificar:
xx
06623115
Qualquer que seja o conjunto de dados, a soma dos desvios é sempre igual a zero.
Então, para medir a dispersão dos dados em torno na média usa-se a
soma dos quadrados dos desvios.
VARIÂNCIA
Cálculo da soma dos quadrados dos desvios
Dados Desvios Quadrados dos desvios
0 -5 25
4 -1 1
6 1 1
8 3 9
7 2 4
5x 0 xx 402 xx
x xx 2xx
VARIÂNCIAPara medir a dispersão dos dados em torno da média usa-se, então, a
variância, que leva em consideração o tamanho da amostra. A variância é
definida como a soma dos quadrados dos desvios dividida pelo tamanho da
amostra, menos 1 (n - 1). Isso chama-se graus de liberdade. Portando, a
variância que é definida por s², é indicada pela fórmula:
1
2
2
n
xxs
1
2
2
2
n
n
xx
s
ou
VARIÂNCIAExemplo
x x²
0 0
4 16
6 36
8 64
7 49
∑x=25 ∑x²=165
1
2
2
2
n
n
xx
s
0,104225
1652
2
s
VARIÂNCIAAlunos Notas Média Variância
Antonio 5 5 5 5 5 5 0
João 6 4 5 4 6 5 1
José 10 5 5 5 0 5 12,5
Pedro 10 10 5 0 0 5 25
a) Para as notas de Antonio, não variaram, s²=0
b) Para as notas de João, variaram menos do que as notas de José, s²=1, menor
que a variância das notas de José, que é s²=12,5.
c) Para as notas de Pedro, variaram mais do que todas as outras, a variância foi de
s²=25.
DESVIO PADRÃO Como medida de dispersão, a variância tem a desvantagem de apresentar a
unidade de medida igual ao quadrado da mesma. Por exemplo, se os dados estão
em metros, a variância ficam em metros quadrados.
Mas existe uma medida de dispersão que apresenta as propriedades da variância
e tem a mesma unidade do dados. É o desvio padrão.
Exemplo:
Para as notas do aluno José, cuja variância já foi calculada, tem o desvio padrão:
54,35,12 s
5,122 s Variância
Desvio Padrão
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
É a razão entre o desvio padrão e a média. O resultado é multiplicado por 100,
para que o coeficiente de variação seja dado em porcentagem.
100x
sCV
Exemplo:
Imagine dois grupos de pessoas, o primeiro grupo tem idades de 3, 1 e 5. O
segundo grupo tem idades de 55, 57 e 53.
%67,661003
2100
x
sCV
%64,310055
2100
x
sCV
1º Grupo
2º Grupo
BOM ESTUDO!!!!