• Medidas de dispersão.

Para preparar uma festa anual são necessários alguns dias. O Sr. António, que faz parte da comissão de festas há já alguns anos, anotou, em dez anos consecutivos, os dias necessários para os preparativos.

Os dados são os seguintes:

Indique os valores extremos, isto é, os valores máximo e mínimo.

Chama-se amplitude de um conjunto de dados à diferença entre o maior e o menor desses valores.

Calcule a amplitude do conjunto de dados.

O que é amplitude?

Amplitude de um conjunto de dadosDuas das medidas da variabilidade de um conjunto de dados

são a amplitude e a amplitude interquartil.

Chama-se amplitude e representa-se por R (Range) de um conjunto de dados, x1 , x´2, … , xi, … , xn , à

diferença entre o máximo e o mínimo do conjunto de dados.

Se os dados estão agrupados em classes, faz-se uma estimativa para a amplitude calculando a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira.

Vejamos: A amplitude interquartil é outra medida de variabilidade que vamos estudar para

além da amplitude (R) .

Ao contrário da amplitude, a amplitude interquartil (IQR) é uma medida resistente.

Já que é definida à custa de medidas resistentes que são os quartis e é representada pela diferença entre o 3.° e o 1.° quartil.

Amplitude interquartil

 

Amplitude interquartis

Amplitude interquartis é a diferença entre o 3.o quartil e o 1.o quartil, isto é, igual a 3.o quartil – 1.o quartil

Desvio médio

Existem duas expressões para representar a variância. Ambas são obtidas a partir da soma dos quadrados dos desvios relativamente à média. São elas:

A variância não é geralmente utilizada como medida de dispersão mas é o suporte para o cálculo do desvio-padrão.

ou

Quando se utiliza s2 ?Quando se utiliza δ2?

Quando x1 , x2 , … , xn representam uma amostra.

Quando x1 , x2 , … , xn representam uma população.

A interpretação do significado da variância, em situações concretas, levanta problemas. Por exemplo, se estivermos a estudar a altura de um grupo de pessoas em centímetros, a média das alturas ainda se exprime em centímetros, mas a variância exprime-se em centímetros

quadrados.

O desvio-padrão representa-se por s ou s conforme a variância seja s2 ou δ2 e é igual à raiz quadrada positiva da variância.

Propriedades do desvio-padrão

1. O desvio-padrão é sempre não negativo.

3. Se o desvio-padrão é igual a zero é porque não existe variabilidade, isto é, osdados são todos iguais.

2. Quanto maior for o desvio-padrão maior será a dispersão dos dados em relaçãoà média.

O processo de cálculo do desvio-padrão para dados agrupados em classes ou em

tabelas de frequência é o mesmo que para os dados simples.

Utilizar a calculadora gráfica para determinar o desvio-padrão

Pode provar-se, tal como se verifica no exemplo anterior, que:

Ao adicionarmos a cada dado a constante k , a média vem adicionada dessa constante e o desvio-padrão não se altera.

Utilizar a calculadora gráfica para determinar o desvio-padrão

Pode provar-se, tal como se verifica no exemplo anterior, que:

Ao multiplicar cada dado por uma constante diferente de zero, k ,a média e o desvio-padrão vêm multiplicados por essa constante.

• Essencial

O ESSENCIAL

Define-se amplitude e representa-se por R (Range) como sendo a diferença entre os valores maior e menor das observações. Por exemplo:

O ESSENCIAL

A amplitude interquartis = Q3 - Q1 . Por exemplo:

amplitude interquartis = 184 - 163 = 21

O ESSENCIAL

Sendo x1 , x2 , … , xn os n valores observados de uma variável quantitativa a sua média, chama-se desvio médio, e representa-se por d , ao valor assim obtido:

x

Para dados simples:Para dados agrupados

em tabelas de frequências:

Se os dados estão agrupados em classes, xi e fi são, respectivamente, o ponto médio e a frequência absoluta da classe i ; k é o número de classes.

O ESSENCIAL

Define-se variância, e representa-se por s2 , como sendo a medida que se obtém adicionando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra menos 1 .

O ESSENCIAL

A variância envolve a soma de quadrados.Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados da amostra, calcula-se a raiz quadrada positiva da variância e obtém-se o desvio-padrão.

• Medidas de dispersão.