Métodos Numéricos Interpolação / Aproximação · Exemplo: despejo de poluente Para preencher...
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Interpolação / Aproximação
situação: uma fábrica despeja dejetos no leito de um rio;
objetivo: determinar a quantidade de dejetos expelidos durante o dia;
metodologia idealizada: fazer a coleta de amostra a cada hora;
realizado: após muitas tentativas, apenas 4 tiveram sucesso
hora quantidade de poluentes (Kg/hora)
08:00 2
10:00 3
13:00 4
17:00 1
Como estimar o que se deseja dos dados observados?
Geoma/03 – p.1/41
Exemplo: despejo de poluente
Tentar extrair dos dados coletados alguma indicação sobre a função que descrevea taxa de mudança na quantidade de poluição ao longo do dia
buscar alguma informação sobre a integral - quantidade de poluentes ao dia
reescrevendo os dados de outra maneira, com o tempo medido a partir do horáriode início de funcionamento da fábrica
número de horas quantidade de poluentes
após as 08:00h (Kg/hora)
0 2
2 3
5 4
9 1
Geoma/03 – p.2/41
Exemplo: despejo de poluente
Para preencher as lacunas nos dados, admite-se que osvalores de uma medida são constantes até a seguinte:
Geoma/03 – p.4/41
Exemplo: despejo de poluente
Alternativamente, admite-se variação linear entre osvalores coletados:
Geoma/03 – p.5/41
Exemplo: despejo de poluente
E se supormos que o despejo ocorre de forma contínua e suave?
F � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �
Interpolação
Polinomial (linear, Lagrange, diferenças divididas)
Splines
Aproximação
Série de Taylor
Mínimos Quadrados
Geoma/03 – p.6/41
Interpolação Polinomial
calcular um polinômio � que de algum modoaproxima
�
em um intervalo � � � � �são dados � pontos distintos no plano
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
deseja-se determinar um polinômio � que interpolaestes pontos, isto é, satisfaz
� � � �
�
� � � �
� � � � � � � ��
� tem grau
� � ��
Geoma/03 – p.7/41
Interpolação Polinomial
Exemplo: despejo de poluentes com
�
dados: ��
número de horas quantidade de poluentes
após as 08:00h (Kg/hora)
0 2
2 3
5 4
9 1
�
� � � � � � � � � � �
� � �
�
� � �
�
Polinômio interpolador (grau
� � )
� � � � � � � � � � � � � � �� � � � ��
significa obter os oeficientes � � � � � � � � e � �
Geoma/03 – p.8/41
Interpolação Polinomial
se �� � � � � � � � � � � � � � então
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � ��
� � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � ��
� � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � ��
� � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � ��
� � � � � � �
sistema de 4 equações lineares em � � � � � � � � e � � �
�������
� � � � � �� � � � ��
� � � � � �� � � � ��
� � � � � �� � � � ��
� � � � � �� � � � ��
�������
�������
� �� �� �� �
�������
��������
� � � � �
� � � � �
� � � � �
� � � � ��������
Geoma/03 – p.9/41
Interpolação Polinomial
pode ser resolvido usando o método de eliminaçãode Gauss
� é único
encontrar meio mais simples e barato dedeterminá-lo
Geoma/03 – p.10/41
Interpolação por Polinômios de Lagrange
novamente considere � �
considere 4 polinômios especiais de grau 3 (Polinômios de Lagrange):
� � � � � �
� � � � �� � � � � �� � � � � ��
� � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� e
� � � � � �
� � � � �� � � � � �� � � � � ��
� � � � � �� � � � � � �� � � � � � ��
� � � � � �
� � � � �� � � � � �� � � � � ��
� � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �
� � � � �� � � � � �� � � � � ��
� � � � � �� � � � � � �� � � � � � ��
satisfazem por construção
� � � � � � � e
� � � � � � � � �� � � �
Geoma/03 – p.11/41
Interpolação por Polinômios de Lagrange
Fazendo
� � � � �
��� � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
Tem duas propriedades:
é um polinômio de grau
� � � � � �
� �� � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
é o polinômio interpolante desejado
não é necessário resolver sistema de equações
custo decorre da determinação dos polinômios de Lagrange
Geoma/03 – p.12/41
Forma de Diferenças Divididas de Newton
O polinômio interpolante é �� � � �� � ��� � �� � � � � � � , onde � � são:
� � � � � �
� � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � �� � � � � ��
� � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � ��
...
� � � � � �
� � ��� � �
� � � � ��
note que � �� � � � � � se
� � �
Geoma/03 – p.13/41
Forma de Diferenças Divididas de Newton
Com � � � � � � � � se
� � � � obtém-se
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � ��
� � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � ��
� � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � ��
� � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � ��
� � � � � � �
então o sistema de equações é:
�������
� � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������
�������
� �� �� �� �
�������
��������
� � � � �
� � � � �
� � � � �
� � � � ��������
Geoma/03 – p.14/41
Forma de Diferenças Divididas de Newton
Resolvendo por substituição:
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � ��
...
os coeficientes recebem uma denominação especial:
� � � � � � � � � � � �� � � � � � �� � � �
� � � � �
� � � � � � � ���
� � �
e
� � � � � � � � � � � � � � � � ��
é a diferença dividida de
�
em � � � � � � � � � � � �
Geoma/03 – p.15/41
Forma de Diferenças Divididas de Newton
o polinômio que interpola
�
em � � � � � � � � é
� � � �
� � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �
Geoma/03 – p.16/41
Forma de Diferenças Divididas de Newton
� �
� � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � ��
� �
� � � �
� � � � � ��
� �
� � � � � � � � � � � ��
� � � � � �� � � � � � � � � ��
� �
� � � � � � � � � � � ��
� � � � � ��
� �
� � � �
Geoma/03 – p.17/41
Forma de Diferenças Divididas de Newton
� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � �
� � � � � � �� ���
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �� �
� � � � � � �� ���
� � � � � � � � � � �� � � � �� � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� �
� � � � � � �� � � ��
� � � � � � � � � �
� � � � � � � ��� � �� � � � ���
�
� � �� � � � �� � � � ��
Geoma/03 – p.18/41
Forma de Diferenças Divididas de Newton
� � � � � ��� � �
�� � �� � ��
�
� �
� � � � �� � �� � � ��
0
1
2
3
4
5
0 2 4 6 8 10
Kg/
hora
horas
dados2+x/2-x*(x-2)/30-17*x*(x-2)*(x-5)/1260
Geoma/03 – p.19/41
Forma de Diferenças Divididas de Newton
� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � �
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� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� �
� � � � � � �� � � ��
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entre � � e � � � �� � � � � ��� entre � � e � � � �� � � � �� � � ��
entre � � e � � � �� � � � � ��� � � ��
Geoma/03 – p.20/41
Forma de Diferenças Divididas de Newton
entre � � e � � � �� � � � � ��� entre � � e � � � �� � � � �� � � ��
entre � � e � � � �� � � � � ��� � � ��
0
1
2
3
4
5
0 2 4 6 8 10
Kg/
hora
horas
dados2+x/2
3+(x-2)/34-3*(x-5)/4
Geoma/03 – p.21/41
Interpolante Linear por Partes
0
1
2
3
4
5
0 2 4 6 8 10
Kg/
hora
horas
dadoslinear por partes
nenhuma restrição de continuidade imposta sobre � ou sobre suas derivadasentre os sub-intervalos
Geoma/03 – p.22/41
Erro de Interpolação
Teorema do erro para aproximação polinomial: Seja �
o polinômio (único) de grau � que interpola�
em
� � � � � � � � �
�
é uma função definida num intervalo
� �� �
que contém os � � � pontos. Se
�
é
� � � � vezescontinuamente diferenciável em
� �� �
, então para
� � � �� �
o erro é dado por
� � � � � � � � �� � �� � � � � � �
� � � � � � �� � � � ��� � �
� � � � � � �� � �� �
Geoma/03 – p.23/41
Interpolação Usando Splines
exige-se certa regularidade do interpolante nainterface entre os sub-intervalos
SPLINES: polinômios de ordem
�
que interpolam osdados e têm
�
��
derivadas contínuas em todo ointervalo
o spline deve passar nos nóso spline não forma ângulos agudos
spline cúbica (
�
� �) é a mais comum
Geoma/03 – p.24/41
Interpolação Usando Spline Cúbica
0
1
2
3
4
5
0 2 4 6 8 10
Kg/
hora
horas
dadosprimeiro intervalosegundo intervaloterceiro intervalo
Geoma/03 – p.25/41
Aproximação
se conhece a função mais ela é muito complicada
se tem um conjunto de dados
aproximar por funções simples ou polinômios
��
quão boa é a aproximação?
aproximações para um conjunto de dados
Geoma/03 – p.26/41
Aproximação
dados
� � � � � � � � � � � � �� � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �
� � � � � � � � são determinados por um sistema linear
�� �� � � �
� dependem da natureza dos dados
em geral � é muito menor que �
Geoma/03 – p.27/41
Aproximação
qualidade da aproximação � erro
erro ou resíduo
�� � �� � �
� � �
� � � � � �
�
método dos mínimos quadrados
� �� � ���� é minimizado
Geoma/03 – p.28/41
Aproximação
Seja o conjunto de dados
� � � � � � � � �
� �� A função �
que melhor se ajusta, no sentido de mínimos quadrados,é a função cujos parâmetros � � são determinados demodo que a soma dos quadrados dos resíduos sejamínima
Geoma/03 – p.29/41
Aproximação por Mínimos Quadrados
Seja
�
dado por
� � ��� �
��� �
��� �
��
� � �
� � � �
reescrito como
� �� �
� � � � � � � � � � � � �� � � �� � �
� ��� � �
� � � �
�
passará por um mínimo quando as � derivadasparciais se anularem simultaneamente, ie,
�
� �� �
��
� � �
� � �
��
� � �
� � �
� �
� � � � � � �
Geoma/03 – p.30/41
Aproximação por Mínimos Quadrados
Como ��
� � �
� � �
�
��
� � �
� � � � � � �
reescrevemos
� �� � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �
� � �� ��
� � �
� �
� � � � � � � �
� sistema de � equações com incógnitas � � � � � � � �
Geoma/03 – p.31/41
Aproximação por Mínimos Quadrados
Ajuste Polinomial:
��
� � � ��
Ajuste a uma reta - Regressão Linear
Dados
� � � � � � � � �
� � procura-se a reta
�
� � � � � � � � �
que melhor se ajusta aos dados
Geoma/03 – p.32/41
Regressão Linear
� � � � � �� � � � � � � � �
Pelo critério dos mínimos quadrados
para que
� �
� �� � �
� �� seja mínimo �
� �
� � �
� � e
� �
� � �
� �
onde
� � � � � �� � � � � � � � � �� �� � �
� � � � �� � � � � � � �� � �
e
� �
� � �
� � �� � � � �� � � � � � � � � � �� � �
� � � � �� � � � � � � �� � �
� �
� � �
� � �� � � � � � �� � � � � � � � � � �� � �
� � �� � � �� � � � � � � �� � �
Geoma/03 – p.33/41
Regressão Linear
� � �� � � � � � � � � �� � �
� � � �� � � � � � � �� � �
� � � � � � �� � � � � � � � � �� � �
� � � � � � � �� � � � � � � �� � �
ou
� �� � �
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ou
�������
� � � �� � �� � �� ��
� � �
� �� � �� �
� � �� � �� ��
� � �� � �� � �� ���
� � �
� �� � �� � � �
Geoma/03 – p.34/41
Regressão Linear
resolver o sistema para determinar � � e � �
sistema
� � �: regra de Cramer
� � �
� � �� � �� ��� � � �� � �� ��
�� � �� � �� �� � � �� � �� � � ��
�� � �� � �� ���
�� � �� � �� �� �
e
� � �
�� � �� � �� � � ��
�� � �� � �� �� � � �� � �� ��
�� � �� � �� ���
�� � �� � �� �� �
Geoma/03 – p.35/41
Regressão Linear - Exemplo do despejo de poluentes
� � � � � � � � � � � � �� � � � �
� � � �
� � � �
� � � � � �
� � � �
� � �� � �� ��
� �
� � �� � �� ��
� �
� � �� � �� ���
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� � �� � �� � � ��
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� ��
� �e � � �
� � � � � � �
� � � � � � �
� � � � � �
� � � � � � ��
� � � � � � � �
Geoma/03 – p.36/41
Regressão Linear - Exemplo do despejo de poluentes
�
� � � � �� � �
���� � � �
0
1
2
3
4
5
0 2 4 6 8 10
Kg/
hora
horas
dadosaprox. linear
Geoma/03 – p.37/41
Aproximação Quadrática
� � � � � �� � � � � � � � � � � ����
mínimo resíduo �
� �
� � �
� � �
� �
� � �
� � e� �
� � �
� �
onde
� � � � � �� � � � � � � � � � � ���� � � �� � �
� � � � �� � � � � � � � � � � ���� � �
e
� �
� � �
� � �� � � � �� � � � � � � � � � � ���� � �� � �
� � � � �� � � � � � � � � � � ���� � �
� �
� � �
� � �� � �� � � �� � � � � � � � � � � ���� � �� � �
� ���� � � �� � � � � � � � � � � ���� � �
� �
� � �
� � �� ���� � � �� � � � � � � � � � � ���� � �� � �
� ���� � � �� � � � � � � � � � � ���� � �
Geoma/03 – p.38/41
Aproximação Pela Série de Taylor
Expansão em série de Taylor de �:
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� � � � � � � �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � ��
necessário conhecer �� � � � �� � � � � � � �
aproximar �� � � � �� � � � � � � �
se � é suave, então: mais termos �melhoraproximação
Geoma/03 – p.39/41
Aproximação Pela Série de Taylor
Exemplo do despejo de poluentes
Fazendo ��� �� � � � � � �
� � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � �� �� � � � � � �
� � � � � � � � � � �
� � �
��
� � �� �
�
��
� ��� � � ��
� � �
� ��
� ���� � � ��
�
� diferença divididas: linear por partes
Geoma/03 – p.40/41