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Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios Paulo Afonso Bracarense Ubiratan Vieira Guimarães 2008

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Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios

Paulo Afonso BracarenseUbiratan Vieira Guimarães

2008

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© 2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.

B796 Bracarense, Paulo Afonso / Métodos Quantitativos Aplicados a Negó-cios. / Paulo Afonso Bracarense ; Ubiratan Vieira Guimarães.

— Curitiba : IESDE Brasil S.A. , 2008.

324 p.

ISBN: 978-85-7638-902-6

1. Investimentos – Análise. 2. Análise de regressão. 3. Correlação (Estatística). 4. Análise de séries temporais. 5. Séries temporais. I. Título. II. Guimarães, Ubiratan Vieira.

CDD 650.01513

IESDE Brasil S.A Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 Batel – Curitiba – PR 0800 708 88 88 – www.iesde.com.br

Todos os direitos reservados.

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Paulo Afonso BracarenseDoutor em Engenharia de Produção com con-centração em Inteligência Artificial pela Univer-sidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Mestre em Estatística e Experimentação Agrícola pela Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz (ESALQ-USP). Bacharel em Estatística pela Uni-versidade Federal do Paraná (UFPR). Professor da UFPR. Diretor Superintendente da Fundação da Universidade Federal do Paraná (FUNPAR).

Ubiratan Vieira GuimarãesMestre em Administração com concentração em Sistemas de Informação para Tomada de Deci-são pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS). Especialista em Estatística Aplicada e Qualidade e Produtividade pelo Instituto Brasi-leiro de Qualidade Nuclear (IBQN) , Bacharel em Estatística pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Foi diretor executivo do Ibmec Educacio-nal em Curitiba e Coordenador Acadêmico dos Programas Executivos – MBA e CBA do Ibmec MG. Atuou na consultoria de grandes empresas e insti-tuições, tais como: Electrolux S/A, Grupo Positivo, Renault, Volvo, Spaipa, Banco Mundial, BID, V&M, entre outras.

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ário

Introdução – conceitos e aplicações | 09

9 | Público-alvo

10 | Linguagem matemática

11 | Modelagem matemática dos fenômenos reais

12 | Os papéis da teoria de probabilidades e da análise de dados amostrais

13 | Organização dos capítulos do livro

19 | Análise de dados | 19

19 | Problema

23 | Conceitos fundamentais

26 | Variáveis categorizadas

29 | Variáveis quantitativas

36 | Medidas estatísticas

53 | Probabilidades e distribuições de probabilidades | 53

53 | Problema

55 | Conceitos fundamentais

59 | Axiomas e regras de probabilidades

62 | Probabilidades conjunta, marginal, condicional e independência

65 | Teorema de Bayes

67 | Distribuições de probabilidades discretas

72 | Variáveis aleatórias discretas

83 | Amostragem | 83

83 | Problema

84 | Conceitos fundamentais

87 | Tipos de amostragem

91 | Tabela de números aleatórios

93 | Principais técnicas de amostragem

99 | Tamanho da amostra

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Estimação | 115

115 | Problema

116 | Conceitos fundamentais

119 | A distribuição normal

129 | Distribuição amostral das médias

132 | Distribuição amostral das proporções

134 | Estimação por ponto

137 | Intervalo de confiança

142 | Testes de hipóteses

142 | Hipótese nula versus hipótese alternativa

Análise de regressão e de correlação | 153

153 | Problema

154 | Conceitos fundamentais

159 | Construindo a reta de regressão

168 | Verificação da bondade do modelo

181 | Predição e intervalos de predição

Teoria da decisão | 189

189 | Problema

190 | Conceitos fundamentais

192 | Critérios de escolha utilizando distribuição a priori

197 | Representação através de diagrama de decisão

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sum

ário

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ário

sum

ário

sum

ário

199 | Estabelecimento de distribuições de probabilidades

205 | Tomada de decisões baseada na utilidade esperada

206 | Tomada de decisão com probabilidades a posteriori

Análise de séries temporais | 219

219 | Problema

220 | Conceitos fundamentais

224 | Método dos mínimos quadrados ordinários

230 | Modelo de médias móveis

243 | Outros métodos de previsão

Anexos | 249

Gabarito | 279

Referências | 321

Anotações | 323

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Apresentação Métodos Q

uantitativos A

plicados a Negócios

Este livro foi escrito com o objetivo de fornecer elementos teóricos e técnicos para profissionais que necessitam tomar decisões tendo como material essencial conjuntos de dados que pre-cisam ser analisados.Um conjunto de dados, por si só, não passa de um conjunto de dados. É necessário que se domine uma série de técnicas para que esses dados possam gerar alguma informação. O pa-tamar superior da análise de dados é a aquisi-ção do conhecimento. E ela só estará disponível se ao domínio teórico do campo de atuação, à experiência profissional e de vida e à intuição do tomador de decisões forem trabalhadas as técnicas quantitativas necessárias para agregar a esses atributos informações provenientes de dados corretamente adquiridos.O livro foi organizado de forma a cobrir toda a base que compõe o campo de conhecimento da Estatística. Começando por técnicas de estatísti-ca descritiva e de análise exploratória de dados, passando pela medição da incerteza através da teoria de probabilidades e pela compreensão das possibilidades indutivas da teoria clássica da Estatística no trato com amostras.Três técnicas úteis e bastante utilizadas na área de negócios foram apresentadas em detalhes balanceando-se a complexidade com a explora-ção da intuição. O trato conceitual foi priorizado em relação ao trabalho matemático extensivo. Optamos por trabalhar com toda a conceituação básica até o quinto capítulo buscando ajudar o leitor a desenvolver sua sensibilidade com re-lação aos conceitos abordados. Tratamos cada técnica com exemplos específicos e ilustrativos na Área de Negócios.

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A ciência busca compreender os fenômenos reais através de modelos, muitas vezes de modelos matemáticos muito próprios para estudos realizados em ambiente de incer-teza. A teoria de probabilidades e a teoria estatística clássica são ferramentas muito úteis para ajudar o tomador de decisões em sua opção por diferentes ações diante de cenários postos. Esperamos que o conteúdo do livro, acom-panhado das aulas, possa ser de grande valia para os leitores. Estamos certos, no entanto, que navegar por essas águas fará com que cada um sinta-se mais confortável em viver e trabalhar em um mundo cercado de incer-tezas e que vale mais a pena compreender o mundo dessa forma do que viver seguro, acorrentado e míope na ilusão das coisas certas e absolutas.

Métodos Q

uantitativos A

plicados a Negócios

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Teoria da decisão

ProblemaA empresa ABC está fabricando um novo equipamento que deseja dispo-

nibilizar para o mercado. É sabido que o investimento em propaganda pode trazer um grande retorno se a vendagem do produto for alta. No entanto, o investimento tem um custo elevado e se a quantidade vendida do produto não for alta, esse investimento em propaganda pode trazer prejuízo para a empresa. A questão colocada para a diretoria é se ela deve ou não proceder ao investimento em propaganda.

Duas ações, então, são possíveis de serem tomadas. A primeira é não in-vestir em propaganda e a segunda é realizar o investimento. Uma pesquisa extensiva foi realizada e os cenários que foram apresentados para a diretoria representavam três possibilidades de venda (forte, moderada e fraca). Os re-sultados financeiros podiam variar como segue.

No caso de investimento em propaganda se as vendas do novo produto forem fortes o retorno financeiro pode chegar a R$90.000,00 por mês. Se as vendas forem moderadas o retorno pode chegar a R$30.000,00 e se as vendas forem fracas a empresa pode ter um prejuízo de R$4.000,00. Na hipó-tese de não se fazer o investimento em propaganda os retornos esperados para as três situações de venda serão R$60.000,00, R$10.000,00 e R$2.000,00 dependendo de as vendas serem fortes, moderadas ou fracas.

Diante desse quadro de possibilidades, qual a ação que a diretoria deve tomar de forma a potencializar as suas possibilidades de lucro?

A tabela abaixo resume as situações de retorno expostas:

Eventos A1 = Investir em propaganda (R$)

A2 = Não investirem propaganda (R$)

θ1 = venda forte 90 60

θ2 = venda moderada 30 10

θ3 = venda fraca -4 2

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Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios

Observa-se que nenhuma das ações é preferível em todos os eventos ou estados da natureza. A ação de investir em propaganda é preferível nos casos de futuras vendas fortes ou moderadas, mas se a venda for fraca a ação preferida é não investir em propaganda.

Se a diretoria soubesse com certeza qual evento ocorreria, o processo de decisão seria simples. Bastaria olhar para a linha que representasse maior ganho e selecionar a ação que produzisse o melhor rendimento. No entanto, a incerteza de que evento ocorrerá torna o problema mais interessante.

Vários diferentes critérios de seleção da melhor ação podem ser suge-ridos. Se houvesse ainda a possibilidade de agregar mais informações sobre as probabilidades de ocorrência de cada um dos eventos, a tomada de decisão poderia ser realizada com base nessas informações, o que seria muito desejável.

Conceitos fundamentaisA tomada de decisão gerencial tem crescido em complexidade e os ins-

trumentos da Teoria de Decisão Estatística têm se tornado um importante modelo para se fazer escolhas racionais entre ações alternativas quando a informação é incompleta e sob ambiente de incerteza. O problema de de-cisão sob estudo pode ser representado por um modelo que compreende cinco elementos.

O tomador de decisãoÉ o agente a quem cabe a responsabilidade por tomar as decisões. O

tomador de decisões pode ser um indivíduo, uma corporação, uma agência governamental e assim por diante.

AçõesA decisão envolve uma seleção entre duas ou mais alternativas de ações.

O problema é escolher a melhor entre essas ações alternativas. Algumas vezes o tomador de decisões deve escolher a melhor das estratégias dispo-níveis, em que cada estratégia é uma regra de decisão que indica qual ação deve ser tomada em resposta a um tipo específico de informação amostral ou experimental.

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Teoria da decisão

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EventosOs eventos estão fora do controle do tomador de decisões, que não

sabe ao certo qual evento de fato ocorrerá. Os eventos se constituem de um conjunto de resultados mutuamente exclusivos, isto é, um e somen-te um deles ocorrerá. Os eventos também são chamados de estados da natureza ou simplesmente resultados.

GanhoÉ a medida do resultado da opção por uma ação específica. Os ganhos são

apresentados em tabelas de ganhos ou matrizes de ganho, que apresentam as conseqüências de cada ação selecionada e cada evento que possa ocorrer.

IncertezaA falta de definição de qual evento ou estado da natureza irá ocorrer é

definido como incerteza. Essa incerteza será indicada em termos de pro-babilidades associadas aos eventos. Uma das características da Teoria Es-tatística de Decisão é o assinalamento de probabilidades para a ocorrência desses eventos. Entre os tipos de probabilidades utilizadas está a probabi-lidade subjetiva.

A tabela de ganhos é expressa em termos genéricos. Assumimos que exis-tem “n” ações alternativas A1, A2 ... An e “m” possíveis eventos ou estados da natureza denotados por θ1, θ2 ... θm. Os resultados de ganhos possíveis são denotados pela letra “u” com os indicadores respectivos de ações e eventos. A letra “u” está sendo usada por sua associação com “utilidade”, conforme será mais bem explicado adiante. A matriz abaixo resume as relações acima descritas:

Ações

Eventos A1 A2 ... An

θ1 u11 u12 ... u1n

θ2 u21 u22 ... u2n

... ... ... ... ...

θm um1 um2 ... umn

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Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios

Como essas utilidades podem ser determinadas será assunto para este capítulo. Em síntese, a utilidade de se selecionar ação A2 e ter o resultado do evento θ1 é denotada por u12 e assim por diante. A utilidade uij se refere à ação “j” e o evento “i”.

Se de antemão for sabido com certeza que o evento que irá ocorrer é o θ3, então basta ao tomador de decisões olhar ao longo da linha correspon-dente qual é a maior utilidade e assim definir que ação deve ser tomada. No entanto, no mundo real, uma vez que o estado da natureza não é de domínio do tomador de decisões, ele não sabe com certeza qual específico evento irá ocorrer. A escolha da melhor ação a ser tomada em face de um ambiente de incerteza é o problema central da tomada de decisão.

Critérios de escolha utilizando distribuição a priori

Muitos diferentes critérios existem para selecionar a melhor ação. O crité-rio mais imediato é conhecido como o critério maximin de ganho. Outros três critérios simples também são bastante utilizados, são normalmente co-nhecidos como: ganho esperado sob incerteza, perda esperada de opor-tunidade e critério minimax da perda de oportunidade.

Critério maximin de ganhoNo método chamado critério maximin, o tomador de decisões assume

que uma vez que uma ação seja escolhida, a natureza será malevolente e escolherá o estado da natureza que minimize o rendimento de sua escolha. O tomador de decisões escolhe a ação que maximize o rendimento sob a pior perspectiva.

Em outras palavras, o melhor do pior é uma forma de proteção. No exem-plo do investimento em propaganda, a matriz de rendimentos é apresen-tada abaixo:

Eventos A1 = Investir em propaganda (R$)

A2 = Não investirem propaganda (R$)

θ1 = venda forte 90 60

θ2 = venda moderada 30 10

θ3 = venda fraca –4 2

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Teoria da decisão

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Se os diretores escolherem a ação A1, a natureza provocará a ocorrência de θ3 e o resultado será um prejuízo de R$4.000,00. Se o tomador de decisões escolher a ação A2, também a natureza provocará a ocorrência de θ3 e o lucro será de R$2.000,00.

Sendo assim, o tomador de decisões deverá escolher a ação que produza o maior rendimento, no caso a ação A2. Isto é, a empresa não deve inves-tir em propaganda. Então, o objetivo desse processo de decisão é escolher aquela ação que produza o máximo entre os mínimos rendimentos, por isso, o termo maximin.

Naturalmente, o critério maximin é um tipo de critério pessimista. Não é razoável supor que um executivo tomaria decisões ou deveria tomar de-cisões dessa forma. Na maioria das situações o critério maximin congelaria o tomador de decisões em completa paralisia e implicaria que seria melhor que ele mudasse de ramo de atividade.

Parece ser razoável que um tomador de decisões deva levar em conta as probabilidades de ocorrência dos diferentes possíveis estados da nature-za. Se, no exemplo acima, a probabilidade de vendas fracas for muito peque-na, não há porque concentrar-se sobre a possibilidade dessa ocorrência. Os próximos procedimentos procurarão dar conta dessa alternativa.

Ganho esperado sob incertezaEm um problema real de tomada de decisão, deve-se esperar que o toma-

dor de decisões tenha alguma idéia sobre a probabilidade de ocorrência dos vários estados da natureza e que esse conhecimento possa ajudar na escolha da melhor ação a ser tomada.

No exemplo em questão, se a diretoria percebe que as vendas do novo produ-to serão fracas e que não compensarão o investimento em propaganda, deve-se decidir pela ação A1. No entanto, se a diretoria percebe que o produto pode ter uma boa aceitação, talvez valha a pena fazer um investimento em propaganda.

Se o número de eventos e o número de ações possíveis passarem a ser muito grandes, o problema pode tornar-se muito complexo, e o tomador de decisões necessitará de outro tipo de método para processar as informa-ções relevantes. No entanto, os procedimentos apresentados neste capítulo cobrem uma grande gama de problemas de tomada de decisão.

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Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios

Voltando ao problema do investimento em propaganda. Nesse caso, a maxi-mização consiste em selecionar a ação que produza o maior ganho esperado.

Vamos assumir que a diretoria da empresa ABC tome o seguinte procedi-mento de assinalamento de probabilidades para cada um dos eventos. Com base em uma extensiva pesquisa da experiência passada com produtos seme-lhantes e de acordo com a opinião de especialistas, a diretoria conclui que as vendas podem ser moderadas (evento θ2) em uma razão de 50 para 50. E mais, concluem que é um pouco menos provável que as vendas aumentem com investimento em propaganda (evento θ1) do que as vendas sejam pequenas (evento θ3). Com base nessa perspectiva, a diretoria estabelece a seguinte dis-tribuição de probabilidades subjetivas para os eventos em questão:

Evento Probabilidade

θ1 = venda forte 0,2

θ2 = venda moderada 0,5

θ3 = venda fraca 0,3

Total 1

Para determinar a base de escolha entre investir em propaganda (Ação 1) e não investir em propaganda (Ação 2), é necessário calcular o ganho es-perado para cada ação. Como indicado na tabela abaixo, o ganho é tratado como uma variável que toma diferentes valores dependendo de que evento ocorra. O valor esperado de cada ação será a média ponderada dos re-sultados sob cada ato, em que os pesos são as probabilidades de que cada evento possa ocorrer.

Evento

Ação 1: investir empropaganda

Ação 2: não investir empropaganda

Probabi-lidade Resultado Resultado

ponderadoProbabili-

dade Resultado Resultado ponderado

θ1 0,2 90 18 0,2 60 12

θ2 0,5 30 15 0,5 10 5

θ3 0,3 -4 -1,2 0,3 2 0,6

Total 1,0 31,8 1,0 17,6

Resultado esperado: R$31.800,00 Resultado esperado: R$17.600,00

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Teoria da decisão

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Verifica-se dos cálculos realizados que a diretoria pode esperar um resul-tado de R$31.800,00 de retorno de vendas se investir em propaganda e de R$17.600,00 caso não invista em propaganda. Para maximizar o ganho es-perado, a diretoria deveria selecionar a ação A1 e investir em propaganda.

Perda de oportunidade esperadaUm conceito útil na análise de decisão sobre incerteza é o da perda de

oportunidade. A perda de oportunidade é a perda causada pela falha em escolher a melhor ação. As perdas de oportunidade são calculadas separa-damente para cada evento que pode acontecer.

Da ocorrência de um específico evento pode-se determinar a melhor ação possível. Para um dado evento, a perda de oportunidade é a diferença entre o ganho daquele ato e o ganho para o melhor ato que poderia ter sido selecionado.

No exemplo do investimento em propaganda, se o evento θ3 ocorrer (vendas fortes) a melhor ação é a A1, para a qual o ganho é de R$90.000,00. A perda para esta ação é 90 – 90 = 0. O ganho para a ação A2 é R$30.000,00 e a perda de oportunidade da ação A2 é a quantidade que o ganho para a melhor ação, ou seja, R$90.000,00 excedem os R$30.000,00 de ganho da ação A2, que é, portanto, R$90.000,00 – R$30.000,00 = R$60.000,00.

A tabela das perdas de oportunidade para o problema em questão é:

Tabela de ganhos (R$)

Tabela de perda de oportunidades (R$)

Evento A1 A2 A1 A2

θ1 = venda forte 90 60 0 30

θ2 = venda moderada 30 10 0 20

θ3 = venda fraca -4 2 6 0

Pode-se calcular agora as perdas de oportunidades esperadas, levando-se em conta a distribuição de probabilidades subjetivas estimadas de maneira análoga ao que foi feito com o ganho esperado sob incerteza. O objetivo será o de escolher aquela ação com menor perda de oportunidade esperada.

As seguintes quantidades podem então ser definidas POE(A1) e POE(A2) como perda de oportunidade esperada para a ação de investir em propagan-da e a perda de oportunidade esperada ao não se investir em propaganda:

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Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios

Evento

Ação 1: investir em propaganda Ação 2: não investir em propaganda

Probabi-lidade Resultado Resultado

ponderadoProbabili-

dade Resultado Resultado ponderado

θ1 0,2 0 0,0 0,2 30 6,0

θ2 0,5 0 0,0 0,5 20 10,0

θ3 0,3 6 1,8 0,3 0 0,0

Total 1,0 1,8 1,0 16,0

Resultado esperado: R$1.800,00 Resultado esperado: R$16.000,00

Se a diretoria escolher a ação que minimize a perda de oportunidade esperada, escolherá a ação A1, a mesma ação selecionada sob o critério de maximizar o ganho esperado. Pode ser demonstrado que esse resultado não ocorreu por acaso. Sempre a ação escolhida pelo critério da maximização do ganho esperado também será o escolhido para a minimização da perda de oportunidade esperada.

Critério minimax da perda de oportunidadeNo método do critério minimax de perda de oportunidade, o tomador

de decisão seleciona a ação que minimiza a pior perda de oportunidade possível. Como no critério de maximin, de maximizar os piores ganhos, o critério minimax para a perda de oportunidade toma uma perspectiva pes-simista. O tomador de decisão determina para cada ação a maior perda de oportunidade que pode ocorrer.

No exemplo em discussão, para a ação A2 a maior perda de oportunidade possível é de R$16.000,00, para a ação A1, é R$1.800,00. Então, o tomador de decisões opta pela ação A2, que é a de não se investir em propaganda.

Nesse exemplo, a ação escolhida pelo processo minimax foi a mesma da es-colhida para o processo maximim, ação A2, mas esse fato nem sempre ocorre.

Valor esperado da informação perfeita (VEIP) ou o custo da incerteza

A quantidade perda de oportunidade esperada (POE) pode ser inter-pretada também através do valor esperado da informação perfeita (VEIP) ou do custo da incerteza (CI).

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Teoria da decisão

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O valor esperado da informação perfeita (VEIP) é a diferença entre o ganho esperado com informação perfeita e o ganho esperado sob incerte-za. Como foi visto acima, para o problema do investimento em propagan-da, o ganho esperado sob incerteza foi de R$31.800,00 o ganho esperado com informação perfeita pode ser determinado pela escolha do melhor ganho para cada evento e as probabilidades aqui são consideradas como aproximações das freqüências relativas calculadas por várias observações anteriores.

Evento Ganhos (R$) Probabilidades Ganhos

ponderados

θ1 = venda forte 90 0,2 18,0

θ2 = venda moderada 30 0,5 15,0

θ3 = venda fraca 2 0,3 0,6

33,6

Então, o valor esperado da informação perfeita será igual a R$33.600,00 – R$31.800,00 = R$1.800,00. Exatamente o mesmo valor encontrado para a perda de oportunidade esperada.

A expressão custo da incerteza destaca o custo associado à tomada de decisão sob incerteza, uma vez que o ganho esperado com perfeita informa-ção subentende que esse seria o ganho esperado com o conhecimento de eventos passados ou ganho esperado “sob certeza”.

Representação através de diagrama de decisãoPode ser útil para melhor visualização representar a estrutura de um

problema de decisão sob incerteza através de um diagrama de árvore de decisão, também chamado de diagrama de decisão ou diagrama de árvore.

O problema do investimento em propaganda pode ser apresentado atra-vés do diagrama abaixo:

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Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios

1

2

2A1

θ1

R$90,00

R$60,00

R$10,00

R$2,00

R$30,00

– R$4,00

θ1

θ2

θ2

θ3

θ3

A2

Saindo do ponto 1, o tomador de decisões pode seguir o ramo A1 ou o ramo A2, correspondentes, respectivamente, às ações de investir em propaganda e não investir em propaganda. No ponto 2, um novo ramo pode ser aberto a partir da primeira decisão que corresponde aos possí-veis eventos, alcançando os valores de ganhos pela escolha da ação e o acontecimento do evento.

Para a tomada de decisão, o diagrama precisa receber as novas informa-ções correspondentes ao valor das estimativas de probabilidade que cada evento ocorra e a realização da análise retrospectiva ou de indução backward (para trás). Multiplica-se então os valores dos ganhos no final de cada ramo pelo valor da probabilidade de cada um dos eventos somando os resulta-dos destes produtos e retornando ao ponto 2, que assume o valor de ganho esperado para cada uma das ações, A1 e A2, com valores de R$31.800,00 e R$17.600,00 respectivamente.

O valor do ganho esperado para a ação 1 foi determinado pela seguinte expressão:

31,8 = (0,2).(90) + (0,5).(30) + (0,3).(–4)

O novo passo é retornar do nó 2 para o nó 1 através da escolha do ganho esperado de maior valor, no caso o ganho esperado correspondente da ação 1, conforme exposto no diagrama 2:

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Teoria da decisão

199

1

2

2A1

(0,2)

(0,2)

R$90,00

R$31,8

R$31,8

R$23,0

R$60,00

R$10,00

R$2,00

R$30,00

– R$4,00

(0,5)

(0,5)

(0,3)

(0,3)

A2

Dessa forma, o diagrama de árvore reproduz de forma esquemática e compacta a análise realizada através das tabelas. Um diagrama análogo pode ser construído em termos de perdas de oportunidade.

Estabelecimento de distribuições de probabilidades

Estabelecer as probabilidades de ocorrência de cada estado da natureza (eventos) é uma tarefa fundamental para o equacionamento do esquema de tomada de decisões. Até agora, o estabelecimento dessas probabilidades foi realizado de forma subjetiva e simples. Se houver uma forma mais científi-ca de estabelecimento da distribuição de probabilidades dos possíveis even-tos, o problema da tomada de decisões pode ser mais bem equacionado.

Se a variável aleatória que representa os estados da natureza for discre-ta e houver somente um número pequeno de resultados possíveis, então o tomador de decisões provavelmente será capaz de assinalar diretamente probabilidades para cada possível resultado. No entanto, se a variável aleató-ria tiver um número grande de valores possíveis, o tomador de decisões terá que tratar a variável aleatória como contínua e necessitará construir uma função de distribuição acumulada trabalhando com um número de interva-los selecionados da variável aleatória.

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Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios

Duas situações possíveis são apresentadas ao tomador de decisões:

o tomador de decisões 1. estabelece diretamente uma distribuição de probabilidades subjetivas sem um processamento formal dos dados;

existe uma pequena quantidade de 2. dados do passado, e o tomador de decisões processa essa informação para construir uma distribuição de probabilidades acumulada ou cumulativa.

O problema agora é encontrar meios para a construção dessas distribuições de probabilidades. Trabalharemos com as duas possibilidades, a saber: (I) assi-nalamento subjetivo direto; e (II) assinalamento usando dados do passado.

Assinalamento subjetivo diretoNesse caso, o estabelecimento de uma distribuição cumulativa de pro-

babilidades subjetiva será feito sem processamento formal de dados.

Tomemos por exemplo um caso em que o tomador de decisões infere que para o próximo ano as vendas de certo produto de sua companhia deverão ficar entre 100 000 e 500 000 unidades e deseja estabelecer uma distribuição de probabilidades cumulativas subjetivas sem usar explicita-mente qualquer dado.

A base de procedimento é focalizar a atenção em poucos pontos da dis-tribuição. Uma proposta é trabalhar com os percentis. Se pensarmos em três percentis, o mais adequado é tomar o primeiro e o quarto quartil e a media-na. O primeiro quartil divide o rol de dados em duas partes, os primeiros 25% e os últimos 75%. A mediana divide o rol de dados em duas partes iguais, os primeiros 50% e os últimos 50%. E o terceiro percentil divide o rol também em duas partes, os primeiros 75% e os últimos 25%.

Observe que o primeiro quartil representa o vigésimo quinto percentil, a mediana representa o qüinquagésimo percentil e o terceiro quartil o septu-agésimo quinto percentil.

Comecemos pela mediana ou o qüinquagésimo percentil. O tomador de decisões deve escolher, entre 100 000 e 500 000, um valor que acredite que a probabilidade de ocorrer um valor menor ou igual a ele seja igual a 50%. Pode ser qualquer valor no intervalo inicialmente estabelecido. Vamos supor que após muita reflexão ele acredite que esse valor deve ser algo em

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Teoria da decisão

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torno de 350 000. Ou seja, o tomador de decisões acredita que a chance de se vender menos de 350 000 unidades do produto é de 50%. Naturalmente, a chance de vender mais de 350 000 também é de 50%.

O raciocínio deve ser repetido para a determinação dos outros dois valo-res. Vamos supor que esses valores sejam 250 000 e 400 000. Ou seja, o toma-dor de decisões acredita que a probabilidade de vender mais do que 250 000 produtos seja de 75% e que a probabilidade de vender mais do que 400 000 produtos seja de 25%.

Dessa forma, três pontos da distribuição de probabilidades cumulativa foram determinados. Os percentis de ordem 25, 50 e 75, ou equivalente-mente o primeiro, o segundo e o terceiro quartis. Lembrando que o segundo quartil coincide com a mediana.

O procedimento usual é o de determinar mais dois pontos, preferencial-mente mais próximos dos extremos e usar esses cinco pontos para a constru-ção da função que represente a distribuição de probabilidades cumulativa.

Uma proposta é usar o primeiro e o nonagésimo nono percentis, ou os percentis de ordem 1 e de ordem 99. Esses valores podem ser considerados como os valores limites inferior e superior da primeira condição estabeleci-da. Ou seja, podemos escolher como primeiro percentil o valor de 100 000 unidades de venda e 500 000 como o valor do nonagésimo nono percentil. Dessa forma, estabelecemos que a probabilidade de vender mais do que 100 000 unidades do produto em questão é de 99% e que a probabilidade de vender mais do que 500 000 unidades é de somente 1%.

A figura abaixo representa a situação construída. O gráfico pode ser con-siderado como uma aproximação da distribuição de probabilidade cumu-lativa subjetiva da venda do produto no próximo ano.

Distribuição de probabilidade cumulativa

00,1

0,2

0,3

0,40,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 100 200 300 400 500 600

Vendas

Prob

abili

dade

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Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios

A distribuição anterior, que representa uma distribuição de probabilidades discreta, pode ser mais bem aproximada através de uma curva em forma de “s” pela união de seus pontos, para a construção de uma distribuição de probabi-lidades contínua.

Distribuição de probabilidade cumulativa

00,1

0,2

0,3

0,40,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 100 200 300 400 500 600

Vendas

Prob

abili

dade

s

O assinalamento direto da distribuição de probabilidades cumulativa subjetiva é apropriada para as seguintes situações: (I) quando existir um número pequeno de dados e não houver dados do passado; e (II) quando, apesar de existirem dados do passado, o tomador de decisões não se sentir confortável para usar esses dados para o estabelecimento da distribuição de probabilidade cumulativa. Este último caso pode ocorrer em razão de mu-danças da política da empresa ou de algum avanço tecnológico importante implementado, por exemplo.

Assinalamento de probabilidades usando dados do passado

Se existe uma grande quantidade de dados do passado, o tomador de de-cisões pode usá-los para estabelecer a distribuição de probabilidades através do uso das freqüências relativas dos dados. No entanto, se a quantidade de dados for pequena, um procedimento deve ser realizado tomando a dis-tribuição de freqüências destes dados para a construção de uma distribuição de freqüências acumulada através de aproximações.

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Teoria da decisão

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Vamos ilustrar a construção de uma distribuição cumulativa de probabi-lidades através de um exemplo simples. Certa loja vende, entre outros, um produto A. Acompanhando a venda desse produto nos últimos 20 meses, observamos que em um determinado mês foram vendidos 33 unidades. Em outros dois meses foram vendidos 38. Fazendo observações dessa ordem, pudemos construir a seguinte distribuição de freqüências que relaciona o número de produtos vendidos com a quantidade de meses em que esse número foi alcançado. Um possível resultado é o que segue:

Número de produtos vendidos

Número de meses em que os produtos vendi-dos alcançaram a venda

Número de produtos vendidos

Freqüência relativa do número de

produtos vendidos

33 1 33 1/20 = 0,05

34 0

35 4 35 4/20 = 0,20

36 5 36 5/20 = 0,25

37 0

38 2 38 2/20 = 0,10

39 3 39 3/20 = 0,15

40 0

41 1 41 1/20 = 0,05

42 2 42 2/20 = 0,10

43 2 43 2/20 = 0,10

Podemos, com base nos dados, acima construir a distribuição de freqüên-cias acumuladas para o número de produtos vendidos:

Número de produtos vendidos

Freqüência relativa do número de produtos vendidos

Freqüência relativa acumulada

33 0,05 0,05

34 0,05

35 0,20 0,25

36 0,25 0,50

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Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios

Número de produtos vendidos

Freqüência relativa do número de produtos vendidos

Freqüência relativa acumulada

37 0,50

38 0,10 0,60

39 0,15 0,75

40 0,75

41 0,05 0,80

42 0,10 0,90

43 0,10 1,00

Considerando que a freqüência relativa é uma aproximação de probabili-dades e que, portanto, a freqüência relativa acumulada é uma aproximação da probabilidade acumulada, podemos construir o seguinte gráfico da dis-tribuição de freqüências relativas acumuladas, que representam as probabi-lidades de vender até certo número de produtos. Observando a tabela acima ou o gráfico abaixo, podemos verificar que a probabilidade de vender até 36 produtos em um determinado mês é de 50%.

Distribuição de probabilidade cumulativa

00,1

0,2

0,3

0,40,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

30 35 40 45

Número de produtos vendidos

Prob

abili

dade

50

Para aplicações em tomada de decisões sob incerteza, trabalhar com dados contínuos pode dificultar enormemente a tarefa. Até aqui trabalha-mos com dados discretos. Existem técnicas para transformar dados contínu-os em dados discretos, mas que estão fora do escopo do presente texto.

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Teoria da decisão

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Tomada de decisões baseada na utilidade esperada

Até agora as análises de tomada de decisão tiveram por critério a escolha da ação ótima como aquela que resultaria em maior ganho médio a longo prazo se a mesma decisão tivesse que ser tomada repetidamente sob idên-ticas condições. No entanto, algumas decisões pessoais e nos negócios são tomadas frente a um único conjunto de condições. Em algumas dessas oca-siões não seria realístico pensar em termos de muitas repetições da mesma situação de decisão.

Sendo assim, é útil ter um aparato para lidar com tomada de decisão em tempo único. A Teoria da Utilidade fornece tal aparato e também um método lógico para tomada de decisões repetitivas. Para ilustrar a idéia, vamos supor três situações com duas ações alternativas para cada uma delas. Na primeira (A) se contrapõem duas decisões que têm como conseqüência para a ação A1 receber R$0 com certeza e, para a ação A2, receber R$0,60 com probabilidade ½ e perder R$0,40 com probabilidade ½. Na segunda situação, B1 implica ganhar R$0,00 com certeza e B2, receber R$60.000,00 com probabilidade ½ e perder R$40.000,00 com probabilidade ½. A terceira situação, C1 implica receber R$1 milhão com certeza contra C2, que implica receber R$2 milhões com probabilidade ½ e receber R$0,00 com probabilidade ½.

O cálculo do ganho esperado para a decisão colocada em A é de R$0,10 [(1/2).(0,6)+(1/2).(0,4)]. Isso significa que a longo prazo o resultado deverá ser positivo. Ocorre, no entanto, que se a decisão tem que ser tomada para somente uma realização, a perda pode ser de R$0,40. A firma talvez possa correr esse risco. Mas na situação B, o valor do ganho esperado a longo prazo seria de R$10.000,00, o que levaria o tomador de decisões a optar pelo risco, ou seja, escolher a ação B2. Como a situação é pontual, a firma pode perder R$40.000,00. Ficando invibializado o tomador de decisões pode optar por não correr o risco e optar por ganho certo de R$0,00.

No caso da situação C, mesmo pensando a longo prazo, o valor do ganho esperado seria R$1.050.000,00 se a opção fosse por C2, contra um ganho certo de R$1.000.000,00 pela ação C1. Nesse caso, não resta muita dúvida que, apesar de a ação C2 poder resultar num ganho de R$2,1 milhões, a melhor ação seria mesmo tomar a ação C1, com ganho certo de R$1 milhão.

Fica claro que grandes e pequenas corporações podem tomar diferentes atitudes diante do risco. A questão que o tomador de decisões deve respon-

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Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios

der é: “Qual é a probabilidade para que a conseqüência M1 se torne indiferente para que se possa correr o risco de optar por ganhar M1 com certa probabilida-de p ou M2 com probabilidade 1–p?”. Esse tipo de questão pode ser respondido pela aplicação da metodologia da Teoria da Utilidade. Não é objeto de estudo aqui o desenvolvimento mais aprofundado dessa teoria, senão o de apresen-tá-la ilustrativamente, mesmo porque essa situação não é muito comum na prática diária da tomada de decisões. Maiores informações sobre essa teoria podem ser adquiridas através de bibliografia mais aprofundada, como o livro de R. S. Schlaifer, Analysis of Decisions Under Uncertainty, McGraw Hill.

Tomada de decisão com probabilidades a posteriori

As análises feitas até agora podem ser consideradas como análises a priori, isto é, a tomada de decisões foi baseada em melhor ganho (ou menor perda) com base em ações relacionadas com uma distribuição de probabili-dades construída sem a utilização de levantamento de dados amostrais auxi-liares. Aqui discutiremos a chamada análise a posteriori, em que a distribui-ção de probabilidades envolvida na tomada de decisões será feita com base em probabilidades a priori revisadas pela observação de dados amostrais complementares.

Probabilidades a posterioriAs probabilidades a posteriori são calculadas com base em duas informa-

ções, as probabilidades a priori e a informação obtida através da observação de um conjunto de dados. O meio de fazer essa atualização é o Teorema de Bayes. Se uma nova atualização for necessária, a atual probabilidade a pos-teriori será utilizada como probabilidade a priori no novo contexto em que uma nova tomada amostral seja realizada.

O propósito de incorporar mais evidência através de processos amostrais é o de reduzir o custo esperado da incerteza.

Se o custo esperado da incerteza (ou de outra forma, o custo esperado da perda de oportunidade) for elevado, então o acréscimo de nova informação através de um processo de amostragem pode se tornar desejável. O método geral para se incorporar nova informação, ou nova evidência amostral, pode

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Teoria da decisão

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ser ilustrado pelo uso de dois tipos de informação amostral: (I) através da especificação da confiabilidade da informação amostral; e (II) através da es-pecificação do tamanho da amostra.

Análise a posteriori: uma ilustração da especificação da confiabilidade

Retomando o exemplo do investimento em propaganda, a situação colo-cada para o tomador de decisões era a de decidir entre duas ações, A1 (inves-tir em propaganda de um novo produto) e A2 (não investir em propaganda de um novo produto).

Qual a ação que a diretoria deve tomar de forma a potencializar as suas possibilidades de lucro, diante do quadro de retorno ou possíveis ganhos?

A tabela abaixo resume a situação de retorno exposta, na qual os valo-res são expressos em milhares de reais, isto é, 90 representa um ganho de R$90.000,00:

Eventos A1 = investir em propaganda (R$)

A2 = não investir em propaganda (R$)

θ1 = venda forte 90 60

θ2 = venda moderada 30 10

θ3 = venda fraca -4 2

Com base em avaliações subjetivas, a diretoria estabelece a seguinte dis-tribuição de probabilidades para os eventos em questão:

Evento Probabilidade

θ1 = venda forte 0,2

θ2 = venda moderada 0,5

θ3 = venda fraca 0,3

Total 1,0

Diante desses dados, foram determinados os valores esperados de ganhos sob incerteza para a ação A1 de R$31.800,00 e para a ação A2 de R$17.600,00.

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Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios

Associado a esses cálculos, foi determinado o custo da incerteza (ou valor esperado da perda de oportunidade) em R$1.800,00, considerado alto pela diretoria. Decide-se então por proceder a um levantamento amostral no sentido de verificar os ganhos esperados para cada ação de forma que o custo da incerteza possa ser reduzido através da incorporação de evidências adicionais e, portanto, com a diminuição da incerteza.

Vamos assumir que a pesquisa possa resultar em três resultados amostrais, denotados por x1, x2 e x3, correspondentes aos três estados da natureza (even-tos) θ1, θ2 e θ3. Especificamente, os resultados da pesquisa podem ser: a amos-tra indica vendas fortes (x1), vendas moderadas (x2) ou vendas fracas (x3).

A pesquisa foi realizada e a amostra indicou um nível de venda moderada para o produto, isto é, x2 foi observado.

Suponha agora que, com base em pesquisas anteriores semelhantes, os pesquisadores possam acessar a confiabilidade da evidência amostral nos seguintes termos: no passado, quando o nível de venda real foi modera-do, a pesquisa amostral indicou corretamente venda moderada em 80% das vezes. No entanto, quando o nível real de vendas foi forte, em cerca de 20% das pesquisas realizadas o nível indicado foi erroneamente indicado como moderado. E quando o nível real de vendas foi baixo, cerca de 30% das pes-quisas amostrais indicaram vendas moderadas.

Essas freqüências relativas representam probabilidades condicionais que as evidências indicassem nível moderado de vendas, dados os três possíveis even-tos de nível de venda. Essas probabilidades podem ser representadas por:

P(x2/θ1) = 0,2

P(x2/θ2) = 0,8

P(x2/θ3) = 0,3

Com essa informação, a distribuição de probabilidades a priori original pode ser revisada conforme indica a tabela abaixo:

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Teoria da decisão

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Probabilidade a priori

Probabilidade condicional

Probabilidade conjunta

Probabilidade a posteriori

Eventos θi P(θi) P(x2/θi) P(θi) P(x2/θi) P(θi/x2)

θ1 = venda forte 0,2 0,2 0,04 0,0755

θ2 = venda moderada 0,5 0,8 0,40 0,7547

θ3 = venda fraca 0,3 0,3 0,09 0,1698

Total 1,0 0,53 1,0000

Observe a utilização do Teorema de Bayes para cada um dos θi:

P(θ1 / x2) =P (θ1)P(x2 / θ1)∑P (θi)P(x2 / θi)

Na tabela, multiplicar cada probabilidade a priori P(θi) pela sua correspon-dente probabilidade condicional P(x2/θi), obtendo-se assim as probabilida-des conjuntas, cuja soma é ΣP(θi) P(x2/θi). Para calcular as probabilidades a posteriori associadas a cada um dos eventos θi, basta dividir a probabilidade conjunta de cada evento pela soma das probabilidades conjuntas. Essa é uma forma confortável de calcular as probabilidades a posteriori através do uso do Teorema de Bayes.

Fica bem ilustrativo a diminuição do espaço amostral com a correspon-dente probabilidade de 0,53 e quanto dessa probabilidade será destinada a cada um dos eventos. Equivale, portanto, a considerar 0,53 como a totalida-de (1,0) e verificar quanto disso corresponde a cada um dos eventos.

Assim, com uma indicação amostral de vendas moderadas, a probabili-dade a priori de 0,5 do evento vendas moderadas foi revisado e cresceu para aproximados 0,75. Da mesma forma, as probabilidades 0,2 e 0,3, correspon-dentes aos eventos venda fraca e venda forte, foram revisados e declinaram para 0,07 e 0,17.

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Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios

Essas probabilidades revisadas podem ser agora utilizadas para os cálcu-los do ganho esperado a posteriori e da perda esperada de oportunidade a posteriori ou custo esperado da incerteza. Então, os resultados obtidos foram de R$28.756,80 de ganho esperado para a ação A1 (investir em propa-ganda) e R$12.416,60 para A2 (não investir em propaganda) e o custo espera-do da incerteza diminuiu de R$1.800,00 para R$1.018,80.

Ganho esperado a posteriori

Evento

Ação 1: investir em propaganda Ação 2: não investir em propaganda

Probabi-lidade Resultado Resultado

ponderadoProbabi-

lidadeResulta-

doResultado

ponderado

θ10,0755 90 6,795 0,0755 60 4,53

θ20,7547 30 22,641 0,7547 10 7,547

θ30,1698 -4 -0,6792 0,1698 2 0,3396

Total 1,0000 28.756,80 1,0000 12.416,60

Resultado esperado: R$28.756,80 Resultado esperado: R$12.416,60

Perda de oportunidade esperada a posteriori

Ação 1: investir em propaganda Ação 2: não investir em propaganda

Evento Probabi-lidade Resultado Resultado

ponderadoProbabi-

lidade Resultado Resultado ponderado

θ10,0755 0 0 0,0755 30 2,265

θ20,7547 0 0 0,7547 20 15,094

θ30,1698 6 1,0188 0,1698 0 0

Total 1,0000 1,0188 1,0000 17,3590

Resultado esperado: R$1.018,80 Resultado esperado: R$17.359,00

O diagrama de árvores abaixo descreve a situação para os ganhos espe-rados a posteriori.

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Teoria da decisão

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1

2

2A1

R$90,00

R$28.756,60

R$28.756,60

R$12,416,60

R$60,00

R$10,00

R$2,00

R$30,00

– R$4,00

(0,0755)

(0,7547)(0,1698)

(0,0755)

(0,7547)(0,1698)

A2

Como o ganho esperado sob A1 é maior que o ganho esperado sob A2, a melhor das duas ações continua sendo a de investir em propaganda. Ob-serve, no entanto, que essa decisão poderia ter sido modificada após o assi-nalamento da distribuição de probabilidades a posteriori, com a inclusão de novas evidências devidos ao processo de busca de dados na amostragem.

A amostragem indicada anteriormente indicou “vendas moderadas”, mas se ela tivesse indicado vendas fracas ou vendas fortes, o mesmo procedi-mento poderia ser realizado para o cálculo dos novos valores de ganhos es-perados e de custos da incerteza.

O custo da incerteza teve uma diminuição de R$1.800,00 para R$1.088,00. Esse custo significa o quanto o tomador de decisões estaria disposto a pagar para ter a informação perfeita. Se esse valor tivesse crescido ao invés de di-minuído, como foi o caso, significaria que a evidência amostral não resultou em diminuição da dúvida de que ação tomar e que a nova situação não traria maior segurança na decisão.

Análise a posteriori: uma ilustração da aceitação da amostragem

Como uma segunda ilustração da análise a posteriori, vamos considerar o problema da aceitação da amostragem de um produto manufaturado. Vamos assumir que a empresa ABC inspeciona artigos de componentes de

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Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios

seus produtos vindos de certo fornecedor. Observando dados de inspeções passadas, a empresa verifica que 10%, 20% e 30% dos componentes do for-necedor tinham defeitos.

Da experiência passada, a empresa ABC estabeleceu como critério de aceitação de lotes com até 10% peças de defeituosas para retrabalho, e re-jeitar lotes com 20% e 30% de peças defeituosas. A questão consiste em de-cidir se aceita ou não um novo lote através do exame de uma amostra sua.

Essa decisão deverá ser tomada com base em algumas informações que a empresa tem. Primeiro, com base em freqüências relativas, lotes com essas percentagens de peças defeituosas ocorreram 50%, 30% e 20% das vezes. Ou seja, lotes com 10% de peças defeituosas ocorreram em 50% das entre-gas. Outra informação que será utilizada será a matriz de resultados baseada na matriz de perda de oportunidades em tomar a ação A1, de rejeitar o lote, e a ação A2, de aceitar o lote. Com base em resultados anteriores, essa matriz é dada por:

Matriz de perda de oportunidade

Evento Ação A1 Ação A2

Proporção de defeituosas Rejeitar o lote Aceitar o lote

0,10 R$30,00 R$0,00

0,20 R$0,00 R$15,00

0,30 R$0,00 R$20,00

Seria mais realístico tomar eventos com proporções de defeituosas va-riando de 0%, 1% até 100%, ou mesmo considerar esta como uma variável contínua. Para efeito de simplificação de apresentação do método, serão consideradas somente essas três possibilidades.

Com essas informações e com base no resultado de uma amostra de, diga-mos, 10 elementos de uma nova entrega, em que será verificado o número de peças defeituosas entre essas 10, a empresa decidirá se aceita ou não o lote.

A empresa pode usar as freqüências relativas (50%, 30% e 20%) como dis-tribuição a priori e determinar a perda esperada de oportunidade para cada uma das duas ações possíveis:

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Teoria da decisão

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Eventop

Ação A1 - rejeitar o lote Ação A2 - aceitar o lote

P0(p)Perda de

oportunidadePerda

ponderadaP0(p)

Perda de oportunidade

Perdaponderada

0,10 0,50 30 15,00 0,50 0 0,00

0,20 0,30 0 0,00 0,30 15 4,50

0,30 0,20 0 0,00 0,20 20 4,00

Total 1,00 R$15,00 1,00 R$8,50

Quando então utilizamos os dados do passado, verificamos que a perda esperada de oportunidade a priori para ação A1 (R$15,00) supera a perda da ação A2 (R$8,50). Assim, a ação ótima é a ação A2, de aceitar o lote.

Indo agora para a análise a posteriori, quando uma amostra de tamanho 10 com reposição dos itens do lote é retirada para análise. Verifica-se que três peças são defeituosas. Qual será agora a melhor ação?

As evidências amostrais devem ser utilizadas para revisar as probabili-dades a priori das proporções de peças defeituosas. Para aplicar o Teorema de Bayes, é necessário determinar as probabilidades condicionais P(X = 3/n = 10, p). Aqui será necessária a aplicação do cálculo de probabilidades de um processo de Bernoulli através da distribuição binomial. Então:

P(X = 3/n = 10, p) = Cn,xpx (1– p)n – x

Essas probabilidades serão iguais a 0,0574, 0,2013 e 0,2668 para “p” igual a 0,10, 0,20 e 0,30 respectivamente. Senão, vejamos para p = 0,10, o mesmo pode ser feito para p = 0,20 e p = 0,30:

P(X = 3/n = 10, p) = Cn, xpx (1 – p)n – x = C10, 3 (0,10)3.(0,9)7

(120).(0,001).(0,478297) = 0,057396 ≈ 0,0574

Dessa forma, as probabilidades a posteriori podem ser determinadas di-retamente pelo Teorema de Bayes através de uma tabela auxiliar. Como já realizado anteriormente, denotaremos a probabilidade a priori por P0 e a probabilidade a posteriori por P1:

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Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios

Eventos p

Probabilidade a priori

Probabilidade condicional

Probabilidade conjunta

Probabilidade a posteriori

P0(p) P(X=3/n=10,p) P(p) P(X=3/n=10,p) P1(p)

0,10 0,5 0,0574 0,02870 0,20147

0,20 0,3 0,2013 0,06039 0,42394

0,30 0,2 0,2668 0,05336 0,37459

Total 1,0 0,14245 1,00000

As perdas esperadas de oportunidade podem agora ser recalculadas uti-lizando essas probabilidades a posteriori. O novo cálculo das perdas espera-das de oportunidade é apresentado na tabela abaixo:

EventoP

Ação A1: rejeitar o lote Ação A2: aceitar o lote

P1(p)Perda de

oportunidadePerda

ponderadaP1(p)

Perda de oportunidade

Perdaponderada

0,10 0,20147 30,00 6,04 0,20147 0,00 0,00

0,20 0,42394 0,00 0,00 0,42394 15,00 6,36

0,30 0,37459 0,00 0,00 0,37459 20,00 7,49

Total 1,00000 R$6,04 1,00000 R$13,85

A ação ótima agora é a de rejeitar o lote, uma vez que a perda esperada de oportunidade de A2 é maior do que a perda esperada de oportunidade de A1.

Para efeito de comparação, pode-se verificar que se supuséssemos que o número de peças defeituosas na amostra de 10 itens fosse de 2 unidades, a ação preferida seria A1 com perda de oportunidade de 12,41 contra 9,79 de A2. E se houvesse uma única defeituosa, a perda de oportunidade de A1 seria de 19,47 contra 5,67 de A2.

Efeito do tamanho da amostraPodemos analisar o efeito do tamanho da amostra no cálculo das pro-

babilidades a posteriori. Suponha que uma amostra de tamanho 100 e não mais de tamanho 10 seja retirada. Vamos assumir a mesma proporção de defeituosas, 30% como no caso da amostra pequena. Então, um número de 30 peças defeituosas foi encontrado no lote.

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Teoria da decisão

215

Eventosp

Probabilidade a priori

Probabilidade condicional Probabilidade conjunta Probabilidade

a posteriori

P0(p) P(X=30/n=100,p) P(p) P(X=30/n=100,p) P1(p)

0,10 0,5 0,000000018 0,000000009 0,00000005

0,20 0,3 0,005189 0,0015567 0,082

0,30 0,2 0,086784 0,0173568 0,918

Total 1,0 0,018913509 1,000

A maior probabilidade, 91,8%, foi encontrada para o evento p = 0,30 depois que foi acrescentada à informação que na amostra de tamanho 100 havia 30% de defeituosas. Pode-se generalizar esse resultado da seguinte forma: à medida que o tamanho da amostra cresce, a distribuição de pro-babilidades a posteriori da variável aleatória “proporção de defeituosas” é influenciada muito mais pelo tamanho da amostra do que pela distribuição de probabilidades a priori.

Atividades de aplicaçãoAs informações a seguir devem ser utilizadas para a resolução dos exercí-

cios de 1 a 5. Um investidor tem R$50.000,00 e deve decidir entre três portfó-lios preparados por um especialista. Os portfólios são caracterizados como de alto risco, médio risco e baixo risco, e os retornos dependem da situação eco-nômica. Assumindo que somente duas situações econômicas sejam conside-radas (“crescimento” e “recessão”) a probabilidade de recessão é de 30%. Dada a seguinte matriz de resultados (dada em centenas de reais), qual portfólio o investidor deveria escolher?

Estados da natureza Risco altoPortfólio

risco médioRisco baixo

Crescimento 10 4 2

Recessão -15 -2 1

1. Qual dos três portfólios deve ser escolhido se o critério utilizado for o maximim?

2. Para o problema em questão, qual a crítica ao uso desse critério?

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216

Métodos Quantitativos Aplicados a Negócios

3. Para o critério ganho esperado sob incerteza, qual a decisão a ser to-mada?

4. Calcule as perdas de oportunidade esperada para cada portfólio.

5. Faça a representação através do diagrama de decisão para o critério minimax.

6. Construa a distribuição de probabilidades acumulada através da uti-lização de dados de vendas do passado com relação aos números de pedidos e ao número de semanas em que eles foram feitos, conforme tabela a seguir:

Número de equipamentos

vendidos

Número de semanas que o número de

ordens foi recebido

Número de equipamentos

vendidos

Número de semanas em que o número de ordens foi recebido

21 1 32 1

22 0 33 1

23 0 34 1

24 2 35 0

25 2 36 0

26 3 37 1

27 3 38 1

28 1 39 1

29 0 40 0

30 0 41 0

31 1 42 1

Dados para os exercícios 7 e 8. Um novo curso está sendo ofertado em uma faculdade. Seja “p” a proporção de estudantes que tiveram notas infe-riores à média no trabalho final do curso. Os estados da natureza e suas res-pectivas probabilidades condicionais são as seguintes:

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Teoria da decisão

217

P P0(p)

0,05 0,30

0,10 0,40

0,15 0,20

0,20 0,10

7. Das informações dadas, preencha as células em branco e interprete os dados. O X é o resultado da pesquisa de 1 000 empresas de construção.

Estados da natureza P0(θ) P(X/θ) P0(θ) P(X/θ) P1(θ/X)

θ1 = casas terão preços aumen-tados no próximo ano 0,80

θ1 = casas terão preços iguais ou diminuídos no próximo ano 0,60

8. São dados os seguintes resultados de um experimento em que θ1 é “produto superior” e θ2 é “produto igual ou inferior”. Calcule as proba-bilidades a priori.

Estados da natureza P(X/θ) P1(θ/X)

θ1 0,50 0,25

θ2 0,50 0,75