Metodos_Previsao_2010_2011 (1)

Mtodos de Previso - B.C.V.

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1. INTRODUO

A incerteza sobre o futuro uma das maiores preocupaes das pessoas. a incerteza relativa sade, s relaes familiares, aos meios de subsistncia e a tudo por que passa a vida e a morte. O comportamento das pessoas condicionado por essa incerteza. Igualmente, as organizaes planeiam a sua actividade de acordo com as expectativas sobre as necessidades a satisfazer, a procura do mercado, o desenvolvimento tecnolgico, a disponibilidade dos recursos, a evoluo social, econmica e poltica, etc.

A previso uma tentativa de conhecer o devir, um prognstico sobre o que ir acontecer, um meio de reduzir a incerteza sobre o futuro. O maior ou menor rigor da previso crucial para o xito ou fracasso das organizaes e das pessoas.

Prever no significa adivinhar. A previso tem por objectivo encontrar o resultado futuro mais provvel, associado a um grau de confiana. Para o efeito, existem vrios mtodos cientficos, habitualmente, classificados em dois grandes grupos: Mtodos qualitativos; e Mtodos quantitativos.

Comecemos por fazer uma referncia breve aos mtodos qualitativos. Aplicam-se quando no existem informaes quantificadas sobre o passado (caso de novos produtos) ou quando o horizonte futuro to remoto ou to nebuloso que no possvel estabelecer conexes definidas (por exemplo, nveis de poluio em meados do sec.XXI). ento necessrio ponderar factores subjectivos, confrontar opinies de especialistas, estabelecer objectivos, etc., de acordo com regras que, porm, no sero aqui tratadas.


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Ao contrrio dos anteriores, os mtodos quantitativos pressupem que existem dados numricos passados sobre as variveis em causa e que o comportamento dessas variveis no futuro sofrer o mesmo tipo de influncias que ditaram o seu comportamento passado.

Os mtodos quantitativos, por sua vez, costumam ser divididos em Modelos causais (ou explanatrios); e Sries cronolgicas.

Os modelos causais procuram identificar a relao ou relaes entre a varivel a prever e outras variveis do sistema, admitindo que o valor assumido por estas vai influenciar o valor da primeira. Por exemplo, o consumo de combustvel no pas estar relacionado com o nmero de veculos em circulao e com preo dos combustveis. Partindo de valores dessas variveis, referentes a vrios anos anteriores, possvel estabelecer uma relao estatstica, atravs de mtodos de regresso. Definida essa relao, podemos estimar o consumo de combustvel associado a um determinado nmero de veculos, para vrios nveis de preo.

No exemplo dado, admitiu-se que o nmero de veculos em circulao era independente dos preos de combustvel. Mas pode acontecer que mais pessoas tendam a comprar automvel se o combustvel for barato. Mas essa tendncia vai ser, ainda, potenciada pelo volume de rendimentos das pessoas que, por sua vez, depende do Produto Nacional, da taxa de desemprego, dos impostos, etc. possvel que estas variveis tenham relaes entre si e com muitas outras. A explorao de tais relaes conduz a modelos economtricos que podem envolver centenas de variveis e equaes. Tais modelos so muito utilizados para simular os efeitos macroeconmicos de polticas nacionais alternativas.


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A srie cronolgica relaciona a varivel a prever com o calendrio, pressupondo que aquela sofre uma evoluo contnua no tempo. Isto , so conhecidos os valores da varivel referentes a sucessivos instantes ou perodos passados. A previso consiste em extrapolar, para o futuro, a evoluo passada. Por exemplo, a previso do volume de vendas para o prximo ano ser a continuao natural da curva de vendas verificada nos ltimos anos. Isto pressupe que se mantm todo o sistema gerador das vendas.

O presente texto abordar alguns mtodos de previso baseados em sries cronolgicas. So os mais simples e relativamente eficazes para previses a curto e mdio prazos, designadamente, das vendas de artigos. A partir destas, possvel planear a maior parte das operaes industriais, tais como, stocks, produo, investimentos, pessoal, manuteno, etc.


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2. SRIES CRONOLGICAS

Uma srie cronolgica refere os valores assumidos por uma varivel a sucessivos perodos homlogos ou a sucessivos instantes igualmente espaados no tempo. Por exemplo, o quadro seguinte representa as vendas mensais de determinado artigo durante quatro anos:

ano JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ total 88 222 198 205 217 292 158 217 229 253 260 205 209 2664 89 238 212 231 244 263 219 243 245 259 260 238 216 2867 90 254 243 221 271 298 244 252 279 287 282 245 260 3136 91 288 257 265 273 335 230 292 280 289 297 271 287 3365

340 316 292 268 244 220 196 172 148 124 100

Meses JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ

1988 1989 1990 1991

Figura 1 - Vendas mensais (ex 1)

A fig.1 mostra que As vendas aumentam com o tempo, isto , tm uma tendncia crescente; e H uma configurao tpica ao longo dos meses que se repete ano aps ano, isto , apresentam sazonalidade.


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Isto leva concepo do modelo que pretende explicar a evoluo da varivel Z em anlise (neste caso, as vendas), em funo de 3 factores:

A tendncia T dada por uma linha contnua em torno da qual se centram as flutuaes; A sazonalidade S que traduz flutuaes peridicas, repetitivas, geralmente associadas com as estaes do ano; e

O resduo ou erro E que engloba as flutuaes no explicadas pelos factores anteriores.

A srie cronolgica pode ento ser representada pela expresso

Z = T+S+E

habitualmente referido como o modelo de decomposio aditiva. Quando a srie abarca muitos anos, possvel isolar, tambm, o factor ciclo que reflecte a evoluo macroeconmica. No curto prazo, este factor desprezvel.

Alguns autores preferem trabalhar com o modelo de decomposio multiplicativa que assume a forma

Z=T.S.E

Este modelo, porm, contraria alguns dos pressupostos associados s variveis estocsticas e, por isso, no ser aqui utilizado.

A previso da varivel Z ser tanto mais rigorosa quanto melhor for a caracterizao dos factores T e S. O factor E corresponde ao resduo aleatrio, imprevisvel, embora seja caracterizvel como varivel estocstica. Os pargrafos seguintes tratam destes problemas.


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3. VERIFICAO DA TENDNCIA

Um dos primeiros aspectos a considerar, quando se inicia a anlise de uma srie cronolgica, verificar se existe ou no, uma tendncia e qual a sua configurao. A anlise do grfico da evoluo da varivel deve ser o primeiro passo.

O exemplo representado na fig.1 mostra que h uma tendncia crescente. Se considerarmos os valores anuais, eliminamos o factor sazonalidade, aparecendo a tendncia mais ntida conforme mostra a fig.2.

33703283319631093022293528482761267425872500

ANOS1988 1989 1990 1991

Figura 2 - Vendas anuais (ex 1)

Noutros casos, a simples anlise do grfico pode deixar dvidas. o que se passa com o exemplo seguinte (ex2) cujos valores aparecem no quadro em baixo e nas figs.3 e 4. Podemos, ento recorrer a uma anlise de regresso para verificar se h uma tendncia significativa.

Vendas (ex2)

Ano JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ Total 88 220 195 200 210 280 150 205 215 235 240 188 190 2528 89 215 190 205 215 230 190 210 210 220 220 200 180 2485 90 210 200 180 220 240 195 200 220 225 220 190 200 2500 91 220 195 200 205 250 170 215 205 210 215 195 205 2485


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280 262 244 226 208 190 172 154 136 118 100

Meses JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ

1988 1989 1990 1991

Figura 3 - Vendas mensais (ex 2)

25302517250424912478246524522439242624132400

ANOS1988 1989 1990 1991

Figura 4 - Vendas anuais (ex 2)

3.1. Regresso linear

A anlise de regresso um processo matemtico que faz o ajustamento de uma funo contnua Y(t) aos valores observados Z(t). Habitualmente, o critrio de ajustamento baseia-se no princpio dos mnimos quadrados. Isto , sendo Yi e Zi, respectivamente, o valor da funo e o valor observado, para t=i, a funo Y(t) definida tal


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que, no conjunto das N observaes, seja mnimo o resultado

A curva de regresso pode ser linear ou no, e ter uma ou mais variveis independentes. No caso da regresso linear a uma varivel, a curva de regresso uma recta cuja expresso conveniente escrever sob a forma

Y= a+b(t-t )

em que t a varivel independente (tempo, neste caso), t a sua mdia, e a e b so coeficientes a calcular de acordo com as expresses

Ilustremos a aplicao do mtodo com o exemplo anterior (ex.2). Para simplicidade de exposio, utilizaremos os valores anuais (fig.4), embora a regresso sobre os valores mensais, por serem em maior nmero, conduzisse a resultados mais concludentes. Obtm-se:

t = (1988+1989+1990+1991)/4 = 1989,5 Z = (2528+2485+2500+2485)/4 = 2499,5 a = Z = 2499,5 b=((1988-1989,5)(2528-2499,5)+...)/((1988-1989,5)2+...) b= -11,4

A recta de regresso vem, ento, definida pela expresso

Y= 2499,5-11,4(t-1989,5)

2)iZN

ii(Y

=

==

N

1iiZN

1Za

=

i

2i

iii

)t(t)Z)(Zt(t

b


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A fig.5 mostra a sobreposio da recta de regresso sobre os valores reais observados.

25302517250424912478246524522439242624132400

ANOS1988 1989 1990 1991

real regr

Figura 5 - Regresso sobre as vendas anuais (ex.2)

A regresso pode ser utilizada, tambm, para efectuar previses. Por exemplo, as previses de vendas para os anos seguintes seriam:

Y92= 2499,5-11,4(1992-1989,5) = 2471 Y93= 2499,5-11,4(1993-1989,5) = 2460

Contudo, isto pressupe que o sistema gerador das vendas no sofrer alteraes. Outros mtodos que veremos adiante respondem melhor a essas eventuais alteraes.

Os parmetros a e b foram calculados a partir de uma amostra reduzida, de 4 observaes apenas. Os valores obtidos so estimativas dos valores tericos correspondentes totalidade da populao estatstica.

O grau de confiana associado aos valores dos parmetros pode ser calculado, mas isso transcende os objectivos do presente texto. Interessa-nos, porm, saber se o valor encontrado para b significativamente diferente de zero. Tal informao pode ser obtida atravs do coeficiente de correlao.


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3.2. Correlao

O coeficiente de correlao r mede a correlao entre as variveis, isto , o grau em que as flutuaes da varivel dependente so explicadas pela recta de regresso. O seu valor varia no intervalo (-1;+1), sendo positivo ou negativo conforme o sinal do declive da recta de regresso. As situaes extremas, r=-1 e r=+1, significam que a flutuao da varivel dependente totalmente explicada pela recta de regresso, isto , as observaes situam-se sobre essa recta.

A situao r=0 corresponde a uma recta horizontal: neste caso, a regresso no explica a flutuao da varivel dependente. Por outras palavras, a srie apresenta tendncia nula, portanto, uma srie estacionria. Quando a srie estacionria possvel fazer boas previses com mtodos simples.

Na regresso linear, o coeficiente de correlao dado por

r= b.t /Z com

b = declive da recta de regresso; t = desvio padro da varivel independente (tempo) Z = desvio padro da varivel dependente (vendas)

No exemplo que tratmos b = -11,4 t = ((1988-1989,5)2+...)/4)1/2 = 1,29 Z = ((2528-2499,5)2+...)/4)1/2 = 20,27 donde r = -0,73


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Para saber se o valor de b estimado significativamente diferente de zero, recorre-se tab.1 que nos d os valores mnimos do coeficiente de correlao, em valor absoluto |r|, para graus de confiana de 95% e 99%.

N obs 95% 99% N obs 95% 99% N obs 95% 99% 4 0,95 0,99 26 0,39 0,50 50 0,28 0,36 5 0,88 0,96 28 0,37 0,48 60 0,25 0,33 6 0,81 0,92 30 0,36 0,46 70 0,24 0,31 8 0,71 0,83 32 0,35 0,45 80 0,22 0,29 10 0,63 0,77 34 0,34 0,44 90 0,21 0,27 12 0,58 0,71 36 0,33 0,42 100 0,20 0,26 14 0,53 0,66 38 0,32 0,41 150 0,16 0,21 16 0,50 0,62 40 0,31 0,40 200 0,14 0,18 18 0,47 0,59 42 0,30 0,39 400 0,10 0,13 20 0,44 0,56 44 0,30 0,38 1000 0,06 0,08 22 0,42 0,54 46 0,29 0,38 24 0,40 0,52 48 0,28 0,37

Tabela 1 - Valores mnimos de |r|

Por exemplo, se efectuarmos a regresso com base em 24 observaes e se obtivermos |r|0,40, h mais de 95% de confiana de aquele valor terico ser diferente de zero. E se for |r|>0,52, h mais de 99% de confiana de aquele valor ser diferente de zero.

No exemplo 2 (fig.5), a regresso sobre 4 observaes conduziu ao valor |r|=0,73. Para esse nmero de observaes, a tabela indica 0,95 para 95% de confiana. Portanto, a correlao obtida insuficiente, logo b no significativamente diferente de zero. Ento, as vendas registadas podem ser consideradas como pertencendo a uma srie cronolgica estacionria, isto , variam em torno de um valor constante. A melhor estimativa deste valor a mdia das observaes.

Se fizssemos a regresso sobre as vendas anuais do primeiro exemplo (fig.3), obteramos r=0,99, mostrando que h uma tendncia ascendente significativamente diferente


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de zero, alis, como ntido na figura. Portanto, esta srie no estacionria.

3.3. Regresso exponencial

Nem sempre a recta conduz ao melhor ajustamento sobre os pontos observados. O mtodo de regresso pode utilizar curvas de grau superior, mas os clculos tornam-se mais complicados. Algumas vezes, porm, possvel transformar as variveis de modo a converter uma regresso no-linear numa recta. o caso da regresso exponencial que ser tratado a seguir.

Consideremos a curva Y= a.b(t-t )

A aplicao de logaritmos conduz a

ln(Y) = ln(a)+ln(b)(t-t ) Fazendo

Y'= ln(Y) a'= ln(a) b'= ln(b)

Obtm-se a recta de regresso tratada anteriormente:

Y'= a'+b'(t-t )

A transformao da varivel independente na curva de regresso implica idntica transformao nos valores observados. Isto , deve fazer-se a regresso sobre os valores Z'i= ln(Zi). Os parmetros de regresso que se obtm so a' e b', sendo estes depois transformados em a e b. Note-se porm que o coeficiente de correlao calculado a partir da varivel transformada.

Vejamos um exemplo. Seja a seguinte srie de vendas Z correspondentes a 7 anos:


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med d.p. t 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1988 2,16 Z 365 384 568 593 831 830 1251 689 310 Z' 5,90 5,95 6,34 6,39 6,72 6,72 7,13 6,45 0,44

Pretendemos ajustar uma exponencial do tipo Y= a.b(t-t ). Para isso, calculamos a varivel transformada Z'= ln(Z). Sobre esta, determinamos os parmetros de regresso linear, usando as frmulas indicadas anteriormente:

a'= (5,90+5,95+...+7,13)/7 = 6,45 b'= ((1985-1988)(5,90-6,45)+...)/((5,90-6,45)2+...) = 0,20 r'= 0,20*2,16/0,44 = 0,98

Podemos verificar, pela tab.1, que este coeficiente de correlao d um grau de confiana superior a 99% (de facto, mesmo com 6 observaes, bastaria r'=0,92). Agora, para obtermos a curva de regresso exponencial, basta inverter as expresses

Y'= ln(Y) a'= ln(a) b'= ln(b) donde

a= e6,45 = 633 b=e0,20 =1,22 Y= 633*1,22(t-1988)

med d.p. t 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1988 2,16 Z 365 384 568 593 831 830 1251 689 310 Y 347 424 518 633 774 946 1156 685 292


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126011541048

942 836 730 624 518 412 306 200

ANOS1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991

vendas regr.exp

Figura 6- Regresso exponencial

A comparao entre os valores observados e os regredidos feita na fig.6. A curva exponencial corresponde a um crescimento, com taxa constante, da varivel dependente. De facto, sendo

Y= a.b(t-t )

deduziramos facilmente que

(Yt+1-Yt)/Yt = b-1

No exemplo dado, conclumos que as vendas apresentam uma taxa anual de crescimento de (b-1)=0,22=22%.

Podemos utilizar a expresso analtica da curva de regresso para as previses dos anos seguintes. Porm, medida que vo sendo obtidas novas observaes, necessrio repetir todos os clculos da regresso. Como se disse anteriormente, veremos outros mtodos em que a actualizao contnua mais simples.


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4. SRIES ESTACIONRIAS

Numa srie estacionria, a tendncia tem uma inclinao nula, isto , corresponde ao nvel M, em torno do qual flutuam os valores. Sendo T=M, os factores explicativos da srie so

Z = M+S+E

O factor residual E corresponde a variaes aleatrias que, habitualmente, seguem uma distribuio Normal com mdia zero. Portanto, a mdia de vrias observaes Zi tende a anular o efeito E.

O factor sazonal S corresponde a flutuaes ao longo do ano cuja configurao se repete ano aps ano. Portanto, a mdia das observaes Zi, correspondentes ao perodo de um ano, tende a anular o efeito S; e, simultaneamente, o efeito E pelas razes antes expostas.

Concluindo, a mdia das observaes Zi referentes a um nmero inteiro de ciclos sazonais vai anular S e E, e isolar a parcela M. Uma vez identificado este elemento, pode fazer-se a caracterizao de S e E. As tcnicas de previso descritas a seguir baseiam-se nesta sequncia.

4.1. Mdia simples

Esta tcnica ser ilustrada a partir do seguinte exemplo:

Vendas Z

JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ 88 539 527 530 535 563 501 532 537 546 548 524 525 89 537 525 532 537 544 525 535 535 539 539 530 519 90 535 530 519 539 548 527 530 539 542 539 525 530 91 539 527 530 532 552 514 537 532 535 537 527 532

Sobre estes dados iro incidir vrios clculos cujos resultados se indicam na tabela seguinte:


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JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ mdia md 538 527 528 536 552 517 534 536 540 541 526 527 533 saz 4 -6 -6 3 19 -17 1 3 7 8 -7 -7 0 soma

|e| 7 5 17 9 24 37 10 9 14 14 9 18 173

A primeira linha de resultados diz respeito s mdias de perodos homlogos, neste caso, os meses homlogos dos 4 anos. No fim da linha aparece a mdia das mdias, isto , a mdia geral.

Como j se referiu, a mdia de vrias observaes tende a eliminar E. Sendo a sazonalidade anual, a mdia de todas as observaes durante os 4 anos elimina, simultaneamente (S+E), dando o valor de M=533. Por outro lado, a mdia dos valores de um dado ms j nos 4 anos, tende a eliminar E, isolando Mj=(M+Sj) referente a esse ms. No quadro aparecem os resultados:

JAN: M1=538; FEV: M2=527; MAR: M3=528; etc.

Se a estes valores Mj subtrairmos M, obtemos os ndices de sazonalidade Sj. No quadro aparecem:

JAN: S1=4; FEV: S2=-6; MAR: S3=-6; etc. Faz-se notar que algumas aparentes discrepncias, de uma unidade, nestes valores resultam de haver casas decimais invisveis no quadro.

A previso Y corresponde ao valor esperado de Z. Como E tem mdia nula, por hiptese, o seu valor esperado nulo. Ento

Yj= M+Sj

Repare-se que, utilizando a mdia simples, as previses coincidem com as mdias das observaes referentes a perodos homlogos, isto ,


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Yj= Mj Assim

JAN: Y1=538; FEV: Y2=527; MAR: Y3=528; etc.

Para cada valor Zij, correspondente ao ano i e ms j, h uma diferena residual ou erro que dado por

Eij= Zij-Yj

Interessa introduzir aqui a noo de erro absoluto mdio dado pela expresso

A = 1 N

| e k | k =1

N

No caso vertente

A = 1 N

| Z ij - Y j | i , j

Admitiu-se que os erros Eij seguem uma distribuio Normal. Ento, verifica-se a seguinte relao entre o desvio padro e o erro absoluto mdio:

E = A . pi pi pi pi 2

O quadro acima mostra a soma dos erros absolutos por perodos homlogos cujo total soma 173. Podemos agora calcular

A= 173/48= 3,6; E = 4,5

Finalmente, podemos associar s previses Yj, os limites de confiana na base dos 95%:


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Limite superior Cj = Yj+2E Limite inferior Bj = Yj-2E

Por exemplo, relativamente previso para Janeiro de 1992 teramos:

Yj=538; Cj=538+9=547; Bj=538-9=529

O quadro abaixo indica os valores previstos para o ano seguinte:

Previso de vendas Z: 1992 JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ Y 538 527 528 536 552 517 534 536 540 541 526 527 C 547 536 537 545 561 526 543 545 549 550 535 536 B 529 518 519 527 543 508 525 527 531 532 517 518

A fig.7 mostra o grfico respeitante a este exemplo

570 563 556 549 542 535 528 521 514 507 500

JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ

Vendas 91 Previso 92 Limite superior Limite inferior

Figura 7 - Previso de vendas

Esta a previso para 1992, admitindo que nos situamos no final de 1991. Contudo, esta previso para o ano inteiro s ser segura se a srie mantiver as caractersticas do passado. Como nunca h disso garantia, mais prudente tomar como boas, apenas, as previses para o incio de 1992. Entretanto, em cada ms que passa, vo aparecendo


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novas informaes sobre as vendas. Estes dados vo sendo sucessivamente includos e os parmetros revistos para as previses dos meses seguintes.

4.2. Amortecimento exponencial

Uma mdia tem por efeito amortecer as flutuaes existentes no conjunto das observaes nela includas. No mtodo da mdia simples, considera-se que todas as observaes passadas tm igual importncia para explicar o comportamento futuro da varivel observada. Isto seria correcto se houvesse a garantia que as caractersticas da srie se mantinham inalteradas.

O futuro, porm, desconhecido. Havendo eventuais alteraes da varivel, para efeitos de previso, parece sensato dar maior importncia s observaes mais recentes. nisto que se baseia o amortecimento exponencial.

O amortecimento exponencial uma mdia ponderada de todas as observaes passadas, associando a cada observao um peso tanto menor quanto mais antiga ela for. Consideremos uma srie estacionria e sem sazonalidade, traduzida por

Z' = M+E

O sinal (') est associado ausncia de sazonalidade.

Admitindo que existem N observaes referentes a t=1, 2,..,N, o amortecimento exponencial a mdia ponderada dessas observaes dada pela expresso:

M N = (1- ) i . Z ' N - i i =0

N -1

em que

= constante de amortecimento, 0


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(1- )i = factor de ponderao, demonstrando-se que

Lim N = = (1- ) i =1 i =0

N -1

Tambm se demonstra facilmente que

MN+1 = .Z'N+1+(1- )MN

Assim, quando surge a nova observao Z'N+1, a mdia pode ser actualizada a partir dessa observao e da mdia anterior, sem necessidade de manter o registo das observaes passadas, o que uma vantagem relativamente mdia simples.

Se dispomos da mdia Mt, referente s observaes at ao momento t, a previso para o momento t+1 dada por

Y't+1= Mt

Como Mt = .Z't+(1- )Mt-1

conclui-se que

Y't+1 = .Z't+(1- )Y't= Y't + (Z't-Y't)

Repare-se que a diferena

(Z't-Y't)=D't

o erro cometido na previso para o momento t. Assim,

Y't+1 = Y't + .D't

isto , a nova previso a previso anterior mais uma fraco do erro nesta cometido.


2010/2011 21

A fraco do erro a incorporar na nova previso depende do valor escolhido para a constante de amortecimento . Como se referiu, esse valor situa-se entre 0 e 1: quanto maior ele for, mais peso se atribui s observaes recentes e menos s observaes antigas. Para =0, as sucessivas previses no se alterariam e seriam iguais primeira Y'1. Para =1, a previso seria sempre igual ao ltimo valor da srie Z't.

Na prtica, os valores convenientes de situam-se no intervalo (0,1;0,2). Porm, se houver suspeitas que a srie est a deixar de ser estacionria, deve-se aumentar , a fim de as previses reagirem mais depressa s ltimas observaes.

Voltemos ao exemplo da srie tratada anteriormente:

Vendas Z


Vimos que esta srie tinha sazonalidade. Os ndices, j calculados, assumem os valores seguintes:

JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ saz 4 -6 -6 2 18 -17 0 2 7 8 -7 -7

Para passarmos a uma srie dessazonalizada, subtraem-se estes ndices a Z, obtendo-se a srie Z':

Z' = Z-S = M+E

Srie Z'



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sobre esta srie estacionria e sem sazonalidade que, de momento, iremos trabalhar. Vimos que as previses so dadas pela expresso geral:

Y't+1 = Y't + (Z't-Y't)

Vamos aplicar esta frmula, recursivamente, s sucessivas observaes, desde Janeiro de 1988, como se caminhssemos no tempo. Para constante de amortecimento, escolhemos =0,2. Temos necessidade, para inicializar os clculos, de arbitrar a primeira previso. Tomamos, por exemplo, Y'1= 530. Ento:

Y'2=530+0,2(535-530)= 531 Y'3=531+0,2(533-531)= 531 Y'4=531+0,2(535-531)= 532 Etc.

Os resultados destes clculos vm indicados no quadro seguinte:

Previses Y'

_ JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ 88 530 531 532 532 532 535 531 532 532 534 535 534 89 534 533 533 534 534 532 534 534 534 534 533 534 90 532 532 533 531 532 532 534 533 534 534 534 533 91 534 534 534 534 533 533 533 534 533 532 531 532

A comparao entre previses e valores originais da srie Z', em 1991, aparece na fig.8. A previso para Janeiro de 1992, o ms seguinte ao do ltimo valor disponvel, :

Y'Jan92=532+0,2*(539-532)= 533


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SRIE Z'540 538 536 534 532 530 528 526 524 522 520

JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ JAN

1991-original 1991-previses previso Jan.92

Figura 8- Amortecimento exponencial

Para obter os valores correspondentes srie primitiva Z, teremos de considerar a sazonalidade. O ndice de sazonalidade para Janeiro, obtido pela mdia simples, S1=4. Entrando com este valor

YJan92=533+4=537

Porm, os ndices de sazonalidade podem tambm ser obtidos por amortecimento exponencial. Uma srie estacionria com sazonalidade caracterizada por

Z=M+S+E

Portanto,

Z-M=S+E

uma estimativa do ndice de sazonalidade acrescido do erro. A mdia dessas estimativas, correspondentes a perodos homlogos, vai neutralizar o erro, isolando o ndice pretendido.

Seja s o ciclo de sazonalidade. Ento, t, t-s, t-2s, ..., correspondem a perodos homlogos, com idntica sazonalidade Sj, sendo j(t)= j(t-s)= j(t-2s). Quando surge o valor Zt, dispomos do ndice de sazonalidade Sj- ,


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actualizado no perodo homlogo anterior t-s. Com esse ndice, podemos dessazonalizar Zt e recalcular a mdia:

Z't = Zt - Sj- Mt = .Z't + (1- ).Mt-1

Note-se que Zt - Mt = Sj+ Et

A actualizao do ndice de sazonalidade pode ento fazer-se pela expresso

Sj= (Zt - Mt) +(1- )Sj-

A constante de amortecimento para os ndices de sazonalidade deve ser menor que a utilizada no amortecimento dos valores da srie cronolgica porque aqueles so muito mais estveis. Na prtica, adopta-se /10


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E, mas tambm os erros de estimativa dos vrios componentes considerados no modelo de previso, isto , nas estimativas de M e S. Um proceso prtico de estimar o erro global analisar os desvios entre as previses e os valores da srie cronolgica.

A previso da srie dessazonalizada para Dezembro de 1991 foi Y'Dez91= 532. O ndice ento adoptado foi S12- =-7. A previso para a varivel Z, com sazonalidade, seria

YDez91=Y'Dez91+S12- =532-7= 525

A observao nesse perodo correspondeu a ZDez91=532. O erro absoluto da previso foi de

|ZDez91-YDez91|= 7

Se calcularmos o erro absoluto mdio das previses obtidas no passado, at Novembro de 1991, obteremos A=4. A actualizao deste erro pode ser feita tambm por amortecimento exponencial, atravs da expresso:

At = |Zt -Yt|+(1- )At-1

No exemplo em curso

ADez91 = |ZDez91 -YDez91|+(1- )ANov91

Como os erros tm uma variabilidade idntica das observaes, podemos adoptar o mesmo valor para a constante de amortecimento. Donde

ADez91 = 0,20*7+0,80*4=5

Admitindo que os erros de previso seguem uma distribuio Normal, vlida a relao referida anteriormente:

E = A . pi pi pi pi 2


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aproximadamente E =1,25*A

Neste caso, 2*E =13. Podemos agora completar a previso para Janeiro de 1992 com os limites associados a 95% de confiana:

YJan92= 537 C = 550 B = =524

Com o decorrer do tempo, vo surgindo novas observaes que permitem actualizar os parmetros. Por exemplo, se as vendas em Janeiro de 1992 forem de 539 unidades, o processo de actualizao envolve os seguintes clculos:

i) Novo valor observado:

ZJan92= 539

ii) Parmetros anteriores relevantes:

MDez91= 533 SJan91= 4 SFev91= -6 (e todos os ndices sazonais dos restantes meses) YJan92= MDez91+SJan91 = 533+4=537 ADez91= 5

iii) Actualizao da mdia:

Z'Jan92 = ZJan92 - SJan91= 539-4= 535 MJan92= Z'Jan92 +(1- )MDez91= 0,20*535+0,80*533= 533

iv) Actualizao do erro absoluto mdio:

AJan92= |ZJan92 -YJan92|+(1- )ADez91= =0,20*|539-537|+0,80*5= 4

v) Previso para Fevereiro de 1992:


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Y'Fev92= MJan92= 533 YFev92= Y'Fev92 +SFev91 = 533-6= 527 C = YFev92+2E = 527+10 =537 B = YFev92-2E = 527-10 =517

vi) Actualizao do ndice sazonal de Janeiro:

SJan92= (ZJan92 - MJan92) +(1- )SJan91 = 0,05*(539-533)+0,95*4= 4


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4.3. Comparao dos mtodos

Numa srie rigorosamente estacionria, a mdia simples o mtodo de previso que melhor traduz o comportamento das observaes passadas. Porm, nunca h garantia que o futuro seja o reflexo de todo o passado. Se o comportamento da varivel comear a alterar-se, o seu comportamento futuro ter mais relao com as observaes recentes e, menos com as observaes antigas. Neste aspecto, o amortecimento exponencial vantajoso porque pondera as observaes de acordo com a sua idade.

Por outro lado, a mdia simples obriga a guardar o registo de todas as observaes, enquanto no amortecimento exponencial basta manter um nmero reduzido de parmetros para se fazerem as sucessivas previses. Isto tem grande importncia quando se tem de fazer previses frequentes sobre um grande nmero de variveis, como o caso do consumo de artigos em armazm.

Os dois mtodos, alis, complementam-se. Quando se inicia um processo de previso a partir de um conjunto de dados histricos, confirmando-se que a srie estacionria, deve-se comear pela mdia simples para caracterizar M, S e E. Estes parmetros servem para iniciar o mtodo de amortecimento exponencial para futuras previses, fazendo-se a actualizao daqueles medida que as novas observaes ocorrem. Por outras palavras, a mdia simples um processo prtico no arranque para previses sistemticas por amortecimento exponencial.


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5. SRIES COM DECLIVE

As sries cronolgicas, frequentemente, apresentam declives crescentes ou decrescentes e, por vezes, mudanas bruscas. Nesses casos, os mtodos de previso antes referidos so pouco eficazes.

Quando existe um declive, torna-se necessrio estimar tambm o parmetro T, de acordo com a decomposio j referida:

Z=T+S+E

H vrios modelos de previso capazes de tratar este problema. Limitar-nos-emos, aqui, a descrever a mdia mvel e o amortecimento exponencial duplo que so extenses dos mtodos apresentados para as sries estacionrias. Antes disso, porm, interessa analisar a questo da localizao da mdia de um conjunto de valores sucessivos de uma srie cronolgica.

5.1. Localizao da mdia

Consideremos uma srie cronolgica de valores T, como se exemplifica na fig.9. A mdia simples dos 3 primeiros valores obtida pela expresso

M3=(T1+T2+T3)/3

A mdia simples de 3 valores sucessivos at T4

M4=(T2+T3+T4)/3

Generalizando, a mdia simples de 3 valores sucessivos at Tt, com t>2, dada por

Mt=(Tt+Tt-1+Tt-2)/3


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Fazendo estas mdias deslizantes de 3 valores, obtm-se sucessivos pontos cronologicamente na linha M da fig.9

T

MM

M

1 2 3 4 5 6 7 t

Figura 9 - Localizao da mdia

Sobre a sucesso de pontos M, podemos fazer uma segunda mdia simples deslizante de 3 elementos, utilizando a expresso:

MMt=(Mt+Mt-1+Mt-2)/3

Obtemos novos pontos sobre a linha MM da figura.

Repare-se que M3 est ao nvel de T2; e que MM6 est ao nvel de M5. Por outras palavras, M3 representa o nvel de T localizado em t=2; e MM6 representa o nvel de M localizado em t=5. Assim, uma mdia acarreta um atraso na localizao temporal. Esse atraso, depende do nmero de perodos abrangidos pela mdia e do peso atribudo aos valores de cada perodo.

O atraso na localizao de uma mdia de n valores


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Xt, Xt-1, Xt-2,..., Xt-n+1,

com pesos

pt, pt-1, pt-2,..., pt-n+1, com (pt+pt-1+...+pt-n+1)=1

associados a n perodos idnticos contguos, de g perodos em relao a t, sendo

g = i . p t - i i =0

n -1

Numa mdia simples de n valores, os pesos so todos iguais a p=1/n. Ento, verifica-se facilmente que

g=(n-1)/2 (mdia simples)

No exemplo da fig.9, n=3, donde g=1. De facto, vimos que Mt est atrasado de 1 perodo relativamente a Tt; e o mesmo atraso acontece para MMt relativamente a Mt.

O amortecimento exponencial uma mdia ponderada de todos os valores passados. Vimos que pt-i= (1- )i. Neste caso demonstra-se que

g=(1- )/ (amortecimento exponencial)

Assim, para =0,2 a mdia Mt localiza-se em (t-4). Note-se ainda que a mdia simples tem um atraso g igual ao do amortecimento exponencial quando n=(2- )/ .

Outro aspecto que tem grande interesse o facto de o atraso de Mt relativamente a Tt ser igual ao atraso de MMt relativamente a Mt, desde que ambas as mdias sejam feitas com idntico critrio. Ento, como a fig.9 ilustra, vlida a relao

Tt= Mt+(Mt -MMt )= 2.Mt-MMt


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Assim, o nvel da srie original pode ser estimado a partir das mdias de 1 e 2 ordem. Este facto vai ser utilizado nos mtodos de previso que iro ser tratados.

5.2. Mdia mvel

A mdia mvel uma mdia simples deslizante sobre um nmero fixo de observaes passadas, como se ilustrou na fig.9. As observaes consideradas tm peso igual e o seu nmero, geralmente, corresponde a um ciclo sazonal, a fim de amortecer os efeitos S e E. Quando surge uma nova observao, esta includa e a mais antiga excluda.

Consideremos o seguinte exemplo:

Vendas Z


Para o clculo das mdias mveis, consideramos n=12 termos, admitindo que o ciclo sazonal corresponde a um ano. Assim, eliminam-se os efeitos S e E. A primeira mdia abrange os valores de Jan88 a Dez88:

MDez88 = (540+529+...+534)/12 = 539

A mdia seguinte exclui o termo mais antigo (de Jan88) e acrescenta o novo termo (de Jan89):

MJan89 = (529+532+...+547)/12 = =(12MDez88 -ZJan88 +ZJan89)/12 = 540

Prosseguindo,

MFev89=(12MJan89 -ZFev88 +ZFev89)/12= 540


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E assim sucessivamente. Os resultados destes clculos esto indicados no quadro seguinte.

1 mdia movel M

JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ 88 539 89 540 540 541 542 541 544 545 546 546 546 547 547 90 548 549 549 550 551 552 552 553 554 554 555 556 91 557 558 559 559 560 560 561 561 561 562 562 563

A mdia mvel de 2 ordem MM incide sobre os valores M. Mantendo o mesmo nmero de termos, n=12, obtem-se

MMNov89 =(MDez88 +MJan89 +...+MNov89)/12 = 543 MMDez89 =(MJan89 +MFev89 +...+MDez89)/12 = 544

O conjunto de resultados est indicado a seguir

2 mdia mvel MM

JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ 88 89 543 544 90 545 545 546 547 547 548 548 549 550 550 551 552 91 553 553 554 555 556 556 557 558 559 559 560 560

Interessa-nos, agora, obter o valor sobre a linha de tendncia central da srie Z. Por razes expostas antes,

Tt= Mt+(Mt -MMt )= 2.Mt-MMt

Repare-se que os efeitos S e E foram parcialmente eliminados em T. Aplicando a expresso de cima, obtem-se o quadro seguinte:

Tendncia T

JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ 88 89 551 551 90 551 553 552 553 554 555 555 557 558 558 558 561 91 562 562 564 564 565 563 565 564 564 564 565 566


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As relaes entre Z, T, M e MM, para o ano de 1991, esto ilustradas na fig.10. Repare-se no atraso das mdias em relao srie inicial.

1991585 580 575 570 565 560 555 550 545 540 535


Z M MM T

Figura 10 - Relaes entre estimadores

Dispondo de T, podemos estimar os ndices de sazonalidade, subtraindo-os dos valores observados em perodos homlogos:

Sij= Zij - Tij

E como estes Sij ainda esto afectados de erros residuais, tomamos para ndice de sazonalidade Sj a mdia dos Sij. Por exemplo

SJan90= ZJan90 - TJan90 = 554-551 = 3 SJan91= ZJan91 - TJan91 = 566-562 = 4

A mdia

SJan= 3 (aproximada)

Os resultados globais esto indicados a seguir. Os clculos foram feitos com casas decimais encobertas no


2010/2011 35

quadro, da algumas aparentes discrepncias nos valores aproximados.

Sazonalidade S


90 2 -3 -12 8 16 -6 -2 6 8 6 -8 -5 91 4 -7 -6 -3 17 -20 3 -1 3 5 -5 0 med 3 -5 -9 3 16 -13 0 3 5 6 -6 -2

A previso faz-se a partir dos parmetros conhecidos e actualizados aps o ltimo valor observado. Quando nos situamos no perodo t, a previso para t+k feita pela expresso

Yt+k =Tt + k.bt + Sj

sendo

bt = declive da tendncia no perodo t; e Sj = ndice sazonal referente a t+k

Os erros de previso crescem medida que a previso mais longnqua, isto , quando k aumenta. Aqui, focaremos o caso de k=1, isto , previses para o perodo imediato.

O declive pode ser estimado com vantagem a partir das mdias, a fim de atenuar os efeitos de sazonalidade e erro. Vimos que a mdia provoca um atraso g na localizao, isto , MMt corresponde a Mt-g. Para mdias mveis, g=(n-1)/2. Como se ilustrou na fig.9, o declive pode ser calculado pela expresso bt =(Mt-Mt-g)/g ou ainda bt =2.(Mt-MMt)/(n-1)

No exemplo que temos vindo a tratar, os parmetros relevantes para a previso de Janeiro de 1992 so:

TDez91= 566; MDez91= 563; MMDez91= 560; SJan= 3


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Donde:

bDez91= 2(563-560)/(12-1)= 1

E a previso:

YJan92=566+1+3= 570

Falta agora estimar o erro associado a esta previso. Uma maneira prtica de o fazer, calcular os erros derivados da aplicao deste mtodo de previso aos valores passados. Por exemplo, para efectuar a previso para Dezembro de 1989, a partir dos dados de Novembro, dispomos dos seguintes parmetros:

TNov89=551; MNov89=547; MMNov89=543; SDez89=-2

Donde:

bNov89= 2(547-543)/(12-1)= 1

E a previso:

YDez89=551+1-2= 550

Comparando a previso YDez89 com o real ZDez89= 538, obtem-se o erro absoluto:

|ZDez89-YDez89|= 12.

Caminhando ao longo da srie passada, fazendo sucessivas previses, obtem-se o conjunto dos erros passados. Podemos calcular, de seguida, o erro absoluto mdio A e, a partir deste, o desvio padro. Os clculos dariam A=8, a que corresponderia um desvio padro de 10, aproximadamente.


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Repare-se que o erro assim calculado engloba as variaes aleatrias E e os erros do prprio mtodo de previso. Se pretendssemos fazer previses para k perodos adiante, devamos estimar esses erros, sobre o passado, com previses de igual horizonte.

Admitindo que a srie e o mtodo de previso se comportaro no futuro de forma idntica do passado, podemos transpor para as prximas previses o erro em cima calculado. Assim, a previso para Janeiro de 1992 e os respectivos limites para 95% de confiana seriam:

YJan92 = 570 CJan92 = 570+2(10)= 590 BJan92 = 570-2(10)= 550

No final de Janeiro de 1992, ter-se- acesso ao novo valor das vendas efectuadas, ZJan92. Este dado vai permitir a actualizao dos parmetros de previso para Fevereiro de 1992. Essa actualizao envolve os seguintes clculos:

Mt= (nMt-1 -Zt-n +Zt)/n (n=12; t= Jan92)

MMt= (nMMt-1 -Mt-n +Mt)/n Tt= 2Mt-MMt

bt=2(Mt-MMt)/(n-1)

Yt+1 =Tt + bt + Sj j=j(t+1)

Para se fazer esta actualizao preciso manter cerca de 3n registos passados. Se se quiser actualizar tambm os ndices sazonais e o erro da previso, sero precisos mais. O mtodo de previso referido no prximo pargrafo permite a actualizao dos parmetros a partir de um nmero inferior de registos.

Deve notar-se que o mtodo das mdias mveis pode aplicar-se tambm s sries cronolgicas estacionrias. Para estas, porm, existem os mtodos mais simples referidos anteriormente.


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5.2 Amortecimento exponencial duplo

Este mtodo utiliza uma mdia ponderada de todos os dados passados, com peso decrescente para os dados mais antigos. Sendo ponderada, esta mdia ineficiente para anular o efeito sazonal. Por isso, conveniente dessazonalizar a srie cronolgica antes de calcular essas mdias, fazendo,

Z'= Z-S

A mdia obtida pela expresso geral, j vista anteriormente,

M N = (1- ) i . Z ' N - i i =0

N -1

que se converte na frmula recursiva:

Mi = .Z'i+(1- )Mi-1

A mdia de 1 ordem para o momento t ento obtida por

Mt = Z't+(1- )Mt-1

A mdia de 2 ordem incide sobre os valores M, com frmula recursiva idntica:

MMt = Mt+(1- )MMt-1

Por razes j indicadas no pargrafo anterior, a tendncia pode ser estimada a partir destas mdias:

Tt= 2Mt-MMt

Vimos tambm que, para as mdias ponderadas, o atraso na localizao da mdia de


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g=(1- )/

O declive, portanto, ser dado por

bt =(Mt-Mt-g)/g bt = (Mt-MMt)/(1- )

O modelo de decomposio permite dizer que

Zt-Tt = Sj+Et j=j(t)

Esta diferena , a menos de um erro aleatrio, uma aproximao de Sj. O ndice sazonal pode, ento, ser actualizado pela expresso:

Sj(t) = (Zt-Tt) +(1- )Sj(t-s)

em que s o ciclo sazonal. Esta expresso j tinha sido indicada para o amortecimento exponencial simples. Na prtica, adopta-se /10


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confiana de 95%, a previso Yt+k est enquadrada entre os limites:

Ct+k =Yt+k +2,5*At; Bt+k =Yt+k -2,5*At.

Geralmente, o mtodo aplicado nas previses para o perodo imediato t+1, pressupondo que nos situamos no perodo t. Ao ter conhecimento do valor Zt, feita a actualizao dos parmetros do modelo pela seguinte sequncia:

Z't= Zt-Sj(t) Mt = Z't+(1- )Mt-1 MMt = Mt+(1- )MMt-1 Tt= 2Mt-MMt bt = (Mt-MMt)/(1- ) At = |Zt -Yt|+(1- )At-1

Sj(t) = (Zt-Tt) +(1- )Sj(t-s)

A previso para o perodo t+1 :

Yt+1 = Tt + bt + Sj(t+1) Ct+1 =Yt+1 +2,5*At

Bt+1 =Yt+1 -2,5*At

Como as frmulas so recursivas, necessrio estimar valores iniciais dos parmetros para o arranque dos clculos. Se no houver dados passados, os valores iniciais resultam da intuio e experincia do agente de previso. Havendo dados passados, boa poltica estimar os parmetros a partir da mdia mvel sobre esses dados. Tais valores servem para iniciar o amortecimento exponencial relativamente ao futuro.

No exemplo tratado no pargrafo anterior, dispnhamos, em Dez.91, dos seguintes valores:

Sazonalidade S


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JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ 3 -5 -9 3 16 -13 0 3 5 6 -6 -2

TDez91= 566; MDez91= 563; MMDez91=560; ADez91= 8 YJan92= 570

Admitamos que em Janeiro de 1992, as vendas alcanaram o valor de 588 unidades. Utilizando para o amortecimento exponencial subsequente, as constantes = 0,15 e = /5, a actualizao dos parmetros conduziria aos seguintes valores:

Z'Jan92 = ZJan92-SJan= 588-3= 585 MJan92 = Z'Jan92+(1- )MDez91 = 0,15*585+0,85*563= 566 MMJan92 = MJan92+(1- )MMDez91 = 0,15*566+0,85*560= 561 TJan92 = 2MJan92-MMJan92 = 2*566-561= 571 bJan92 = (MJan92-MMJan92)/(1- ) =0,15*(566-561)/0,85= 1 AJan92= |ZJan92-YJan92|+(1- )ADez91

=0,15*|588-570|+0,85*8= 10

SJan92 = (ZJan92-TJan92)+(1- )SJan91 =0,03*(588-571)+0,97*3= 3

A previso para Fev 92 :

YFev92 = TJan92 +bJan92 +SFev91 =571+1-5=565 CFev92 =YFev92 +2,5*AJan92 = 575+2,5*10= 600 BFev92 =YFev92 -2,5*AJan92.= 575-2,5*10= 550

H outros processos de inicializar o mtodo do amortecimento exponencial, designadamente, faz-lo correr sobre os dados passados, da primeira ltima observao, para acertar os parmetros do modelo. Porm, se existirem esses dados, mais fcil e mais rigoroso obter esses parmetros a partir da mdia mvel para, de seguida, iniciar as previses pelo amortecimento exponencial.

O mtodo de amortecimento exponencial permite a actualizao fcil dos parmetros a partir dos ltimos


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valores destes e das novas observaes, sem necessidade de manter o arquivo dos dados antigos. Este facto representa uma vantagem significativa sobre o mtodo das mdias mveis, sobretudo quando h milhares de previses a fazer, como acontece na gesto de stocks da maioria das empresas.

O amortecimento duplo uma verso mais completa do amortecimento simples, destinada a contemplar o declive das sries cronolgicas. Porm, nada impede que o amortecimento duplo seja aplicado a sries estacionrias: pode ser, at, conveniente porque uma srie estacionria no passado pode deixar de o ser no futuro.

BIBLIOGRAFIA

Wheelwright, S.C.; Makridakis, S. - Forecasting Methods for Management John Wiley & Sons, 1980

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