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Microondas I

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Aula 17

Exercícios selecionados do capítulo 2

Prova P.2 – Capt. 2 (exercícios selecionados e exemplos)

Dia 11/07 (Quarta)

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2.1 / 2.3 / 2.8 / 2.9 / 2.11/ 2.16 / 2.20 / 2.23 / 2.29

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão Revisão

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

→ Das equações do telegrafista com fonte senoidal e tomando a derivada em z:

d2V ( z)

d z2 −γ2V (z)=0

d2 I (z)

d z2 −γ2 I (z)=0

=> Solução de ondaV (z)=V 0

+e−γ z+V 0- e+γ z

I (z)=I 0+e−γ z+ I0

- e+γ z

* Equações de onda!

Exemplo de modelo de circuito de linha de transmissão

Apostila de eletrônica 5 – Centro Paula souza

* Ondas de tensão e corrente

Solução de onda

Revisão

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V (z)=V 0+e−γ z+V 0

- e+γ z

Potência entregue na carga (z = 0)

I (z)=1Z 0

(V 0+ e−γ z−V 0

- e+γ z)

Z0=R+iω L

γ =√ R+iω LG+iωC→ Impedância característica da linha

V 0+

I 0+=−V 0

-

I 0-=Z 0

* Na posição da carga, z = 0.

=> Pl=12ℜV (0) I *(0)

Revisão

γ=√(R+iω L).(G+iωC)=α+iβ ⇒→ constante de prop. complexa

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2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão

Relação entre o modelo de circuitos e os campos:

Geral

G=ωϵ,,

|V 0|2∫

S

E . E*ds (S /m)

R=RS

|I 0|2 ∫C1+C2

H t . H t*dl (Ω/m)

C= ϵ

|V o|2∫

S

E .E*ds (F /m)

L=μ

|I 0|2∫

S

H .H *ds (H /m)

Revisão

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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→ Potência média entregue (no ponto z)

⟨P ⟩=12ℜ [V (z). I*

(z) ]=12|V 0

+|2

Z0

(1−|Γ|2 ) → Não depende de z!

→ Potência média entregue máxima →

Casamento de impedância →( ZL = Z0 )

(Γ=0)

(Γ=1)⇒ZL→∞→ Potência média entregue nula →

Revisão


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→ Impedância de entrada ZIN, na distância l = -z da carga

≡ Γ(0)

Revisão


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ii) Linha de transmissão terminada em circuito aberto

i) Linha de transmissão terminada em curto circuito

Revisão


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iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (nλ/2), n =1,2,3...

β . ŀ = 2πλ

.( λ4

+ n λ2) = π

2 + nπ ⇒ tan (β . ŀ ) = ∓∞

⇒

Transformador quarto de onda →

Útil para o casamento de impedância quando sabemos λ e sabemos que ZL > Z0, mas não sabemos exatamente o valor de ZL.

“Linha com comprimento que transforma inversamente a impedância da carga ZL”

Para l = n.(λ/2) ⇒ tan (β . ŀ ) = 0

Revisão

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2.4 – Carta de Smith

* Correlação gráfica de três circulos:

1. →

2. → Circulo de res. const. ‘rL’

3. → Circulo de reat. const. ‘xL’

Γ = Γr+ jΓi = |Γ|.e jθ

Raio = (1

1+r L

)

Raio = (1x L

)

zIN = 1+|Γ|e jθ

1−|Γ|e jθ = r L+ jx L

Revisão

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Γ = Γr+ jΓi = |Γ|.e jθRaio = (

11+r L

) Raio = (1x L

)

zIN = 1+|Γ|e jθ

1−|Γ|e jθ = (1+Γr )+ jΓi

(1−Γr )− jΓi

= rL+ jxL

Revisão


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* Linha de comprimento l

Γ IN = Γ( ŀ ) = ΓL . e−2 jβ ŀ

ΓL = V 0

-

V 0+

= Z L−Z 0

ZL+Z 0

= |ΓL|ejθ

∓180o≡(Δ ŀ = λ /4 = 0,25λ)

∓360o≡(Δ ŀ = λ/2 = 0,50 λ)

SWR= V Max

V Min

= 1+|Γ|

1−|Γ|

Γ IN = |ΓL|ej(θ−2 j ŀ )

Um incremento Δl no comprimento da linha provoca uma rotação -Δθ (na carta de Smith) na direção do gerador.

Inversamente, um decréscimo de Δl no comprimento da linha provoca uma rotação +Δθ (na carta de Smith) na direção da carga.

Revisão


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* Giro na direção do gerador.

⇒ Z in=Z01zL⇒ z in=

1zL= yL → Igual aadmitância normalizada

∓180o≡(Δ ŀ = λ /4 = 0,25λ)

* Carta de Smith de admitância → Giro a carta de 180°

Revisão


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* Linha fendida – Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento.

https://en.wikipedia.org/wiki/Slotted_line#/media/File:Waveguide_slotted_line.jpg

λ (β) ΓL = |ΓL|ej θ ZL =

1+ΓL

1−ΓL

.Z0Determinação experimental →

Revisão


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V max ≡ exp [ i(θ−2β ŀ max)] = 1V min ≡ exp [ i (θ−2β ŀ min)] = −1

Posição dos Vmax e Vmin

i)A escala é posicionada arbitrariamente ao longo da linha e um curto circuito é conectado na extremidade;

Da distância entre dois mínimos lmin1 e lmin2 determino λ (β) → (Δlmin = λ/2, período de oscilação)

→ “Essas distâncias servirão como pontos de referência”

Revisão


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ii) Com a carga (L) conectada na extremidade;

Da posição dos mínimos lminL1 , lminL2 (com a linha carregada) determino a fase θ de ΓL → θ = π - 2β(lminL1 - lmin1)

Da razão Vmax / Vmin determino o módulo de ΓL

→

Revisão


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iii) Dos valores determinados para a fase θ e para o módulo de ΓL, finalmente obtemos ΓL e ZL.

→ θ = π + 2β(lminL1 - lmin1)

→

ZL = 1+ΓL

1−ΓL

.Z0ΓL = |ΓL|ej θ

Revisão

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Linha Fendida

Exemplo 2.4 – Livro – Medida de impedância utilizando linha fendida. Uma linha fendida é utilizada para determinar a impedância de uma carga conectada a uma linha coaxial de 50 Ω.


Passo

1) Com um curto na posição da carga, a linha fendida é colocada numa posição arbitrária ao longo da linha. As posições dos mínimos de tensão foram determinadas na escala da linha fendida em

z = 0,2 cm ; 2,2 cm ; 4,2 cm

2) O curto foi removido e substituído pela carga de valor desconhecido. A razão SWR foi determinada como 1,5. As posições dos mínimos de tensão foram determinadas (de forma menos precisa)

z = 0,72 cm ; 2,72 cm ; 4,72 cm

* Encontre a impedância da carga.

Revisão

2.5 – Transformador Quarto-de-onda

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* Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda.

→ Com o acoplador ideal devemos obter Γin = 0!

→ Assumindo impedância real na carga (RL)

Z in = RL+ j Z1 tan (β ŀ )Z1+ j RL tan (β ŀ )

.Z1

Quando l = λ/4 ⤇ βl = π/2 ⤇ tan(βl ) → ∞

Z in = Z1

2

RL

Γ in = Z in−Z0

Z in+Z 0

= 0 ⇒Z in = Z0 ⇒ Z1 = √Z0 .RL

“Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha”

Γ in = Z in−Z0

Z in+Z 0

Para que


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* Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda.

→ Sempre que introduzir a fase βl = π/2 + nπ (n = 1,2,3,…) (Z0)

→ O acoplador funcionara para múltiplos imparesda frequência fundamental (f0 = vp / λ0):

Z1 = √Z0 .RL


Γ in = 0

f = f0f = 3.f0f = 5.f0f = 7.f0...


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* O transformador quarto-de-onda assume que ZL é real (ZL = RL).

→ Mas posso tornar qualquer valor ZL em real (RL)por meio da inclusão de um certo incrementono comprimento da linha de transmissão.

→ Na carta de Smith, ZL = rL + ixL

“Giro Δθ = Δl na direção do gerador (sent. hor.)até que a componente complexa seja nula (Im(z) =0)

ZL→ RL

ZL

Δl


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* Exemplo em uma rede de microfita:

ZL

Ramzan, Mehrab & Topalli, Kagan. (2015). International Journal of Antennas and Propagation. 1-9. 10.1155/2015/495629.

Z1 > Z0

Z1 = √Z0 .RLZ1 = √Z0 .RL


2.6 – Descasamento entre gerador e carga

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* Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:→ Duas reflexões (Γ e Γl)

→ solução geral da tensão na linha

→ Da corrente na linha Iin

Zg → Impedância série do gerador

⇒V g

Z g+Z in

= V in

Z in

V in = V (−l)

⇒ ⇒

V 0+=?


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→ Da corrente na linha Iin

Vg → Impedância série do gerador

⇒V g

Z g+Z in

= V in

Z inV in = V (−l)

⇒

Substituindo Γl pela expressão em Zl e Z0

Substituindo Zin pela expressão em Zl e Z0

Obtemos

⇒

→ Amplitude da onda progressiva na posição da carga.


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→ Sendo

o coeficiente de reflexão olhando na direção do gerador.

Vg → Impedância série do gerador

→ Na linha


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* Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:

→ Potência transferida para a linha

P = 12ℜ(V in I in

*) I in =

V in

Z in

P =12|V in|

2ℜ(

1Z in

)

V in = V (−l) = Z in

Z in+Z g

.V g

** Como Zg é fixa (gerador), devemos encontrar o valor de Zin que maximiza a potencia transferida.

P =12|V g|

2| Z in

Z in+Z g|2

ℜ(1Z in

)


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→ Potência entregue na carga

** Como Zg é fixa (gerador), devemos encontrar o valor de Zin que maximiza a potencia transferida.

P =12|V g|

2| Z in

Z in+Z g|2

ℜ(1Z in

)

Z in = R in+ jX in

Zg = Rg+ jXg P = 12|V g|

2 R in

(R in+Rg)2+(X in+Xg)

2


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Casos especiais:

→ Carga acoplada a linha (ZL = Z0) (Zin = Z0)

→ Gerador acoplado a linha carregada (Zg = Zin)

⇒R in = Z0 X in = 0

P = 12|V g|

2 R in


2

P = 12|V g|

2 Z0

(Z0+Rg)2+Xg

2

R in = Rg X in = X gP =

12|V g|

2 Rg

4 (Rg2+X g

2)


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Casos especiais:

→ Acoplamento conjugado ( Zin = Zg* )

P = 12|V g|

2 R in


2

Potência máxima (ideal) R in = Rg X in = −XgP =

18|V g|

2

Rg

“Quanto menor o valor de Rg do gerador melhor será a eficiência”

2.7 – Linha de transmissão com perdas

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* Quando o comprimento não é muito longo, frequentemente podemos desprezar as perdas em alta frequência:

Comprimento incremental da linha:

→ R, resistência em série por comprimento (Ω/m)

→ L, Indutância em série por comprimento (H/m)

→ G, condutância de derivação por comprimento (S/m)

→ C, capacitância de derivação por comprimento (F/m)


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Com perdas:

→ β ⇒ γ = α+β = √(R+ jω L)+(G+ jωC)

Z0 = R+ jω L

γ = √ R+ jω LG+ jωC

γ = √( jω L)( jωC )(1+R

jω L)(1+

GjωC

) = jω√LC √1− j (Rω L

+GωC

)−RG

ω ² LC


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Com perdas:

→

→ Em alta frequência, quando e

Expandindo em série de Taylor em torno de

Podemos incluir as perdas como uma correção de primeira ordem:

γ = jω√LC √1− j(Rω L

+GωC

)−RG

ω ² LC ⇒ jω √LC (sem perdas)

⇒ RG

ω ² LC~ 0

(Rω L

+GωC

)<<1

⇒ = α + jβ


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Com perdas (alta frequência):

→

→

= α + jβ


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Exemplo:

Determine a constante de atenuação de uma linha coaxial na aproximação de baixa perda.


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Exemplo:


→ Impedância intrínseca do material

→ Resistência de superfície do material


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Exemplo:


* Compare com o valor do exercício 2.3.

2.7 – Linha sem distorções

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Distorção → β (geral) não é linear com a frequência (ω) como em

Geral

= α + iβ

β = ω√LC (sem perdas) v f = ω/β

β = aω (linear em'ω ' ) ⇒ v p (constante )

Velocidade de fase

β , Nãolinear ⇒ v p , varia com ω

Componentes do sinal com freq diferentes chegam em momentos diferentes no receptor→ (Distorção do sinal)

Linha sem distorção → RL

= GC

⇒β = ω√LC

2.7 – Linha com perdas carregada

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Baixa perda → Z0≃√ LC

Na distância ‘l’ da carga ‘ZL’,

2.7 – Potência entregue na linha (z = -l)

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PIN = 12ℜ[V (−l) I (−l)*]

γ = α+iβ

Potência entregue na carga (ZL) Perda de potência na linha

2.7 – Método da perturbação para calcular ‘α’

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→ Técnica Padrão!

→ Potência sendo transmitida no ponto z

→ Perda de potência por comprimento.

⇒ P (z) = P0 e−2α z

(W/m)

⇒ P0 (fluxo de potência na linha sem perdas)

→ “Para o campo que não se modifica ao longo da linha”


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→ Exemplo 2.7:

Constante de atenuação de uma linha coax pelo método da perturbação.

P0 = 12ℜ[( E x H *

).d S ] Fluxo de potência = Vetor de Poynting

Campos TEM


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→ Exemplo 2.7:


Perda no condutor (Pc) → Lei de Joule no metal (bom condutor)

Pc = Rs

2 ∫|J|2dS =

R s

2 ∫|H t|2dS J S = n x H

dS = dlρdθ

RS = √ωμ

2σ

(W/m)


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→ Exemplo 2.7:


Perda no dielétrico (Pd) → Do teorema de Poynting

Pd = σ2∫V

|E|2dv + ω2 ∫V

(∈,,|E|2 + μ, ,|H|2)dv (W/m)


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→ Exemplo 2.7:


P0 = |V 0|

2

2Z0

Plc = RS|V 0|

2

4π Z02 ( 1a +

1b ) Pld = πωε

,,

lnb/a|V 0|

2

(m-1)

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