MINISTERIO DA DEFESA´ CURSO DE MESTRADO EM …INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA ANTONIO MARQUES...

MINISTERIO DA DEFESAEXERCITO BRASILEIRO

DEPARTAMENTO DE CIENCIA E TECNOLOGIAINSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA ELETRICA

ANTONIO MARQUES ARRAES FILHO

ALGORITMOS LMS DE PASSO VARIAVEL NA IDENTIFICACAODE CANAIS WSS-US

Rio de Janeiro2005

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA


ALGORITMOS LMS DE PASSO VARIAVEL NA IDENTIFICACAO DECANAIS WSS-US

Dissertacao de Mestrado apresentada ao Curso deMestrado em Engenharia Eletrica do Instituto Militarde Engenharia, como requisito parcial para obtencao dotıtulo de Mestre em Ciencias em Engenharia Eletrica.

Orientador: Prof. Juraci Ferreira Galdino - D. Sc.Co-orientador: Prof. Ernesto Leite Pinto - D. Sc.

Rio de Janeiro2005

c2005

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIAPraca General Tiburcio, 80-Praia VermelhaRio de Janeiro-RJ CEP 22290-270

Este exemplar e de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que podera incluı-lo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer formade arquivamento.

E permitida a mencao, reproducao parcial ou integral e a transmissao entre bibliotecasdeste trabalho, sem modificacao de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha aser fixado, para pesquisa academica, comentarios e citacoes, desde que sem finalidadecomercial e que seja feita a referencia bibliografica completa.

Os conceitos expressos neste trabalho sao de responsabilidade do(s) autor(es) e do(s)orientador(es).

A773a Arraes Filho, Antonio MarquesAlgoritmos LMS de passo variavel na identificacao

de canais WSS-US, Antonio Marques Arraes Filho.– Rio de Janeiro: Instituto Militar de Engenharia, 2005.

99 p.: il, graf., tab.

Dissertacao: (mestrado) – Instituto Militar de Enge-nharia, Rio de Janeiro, 2005.

1. Algoritmos de filtragem adaptativa. 2. Sistema deComunicacoes Moveis. I.Instituto Militar de Engenha-ria. II. Tıtulo.

CDD 511.8

2

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA


ALGORITMOS LMS DE PASSO VARIAVEL NA IDENTIFICACAO DECANAIS WSS-US

Dissertacao de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Eletricado Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtencao do tıtulo deMestre em Ciencias em Engenharia Eletrica.

Orientador: Prof. Juraci Ferreira Galdino - D. Sc.

Aprovada em 06 de junho de 2005 pela seguinte Banca Examinadora:

Prof. Juraci Ferreira Galdino - D. Sc. do IME - Presidente

Prof. Ernesto Leite Pinto - D. Sc. do IME

Prof. Jose Antonio Apolinario Jr. - D. Sc. do IME

Prof. Marco Antonio Grivet M. Maia - D. Sc. da PUC-RJ

Rio de Janeiro2005

3

Aos meus pais, Antonio Marques Arraes e Tania MariaPaes Barretto Arraes, por tudo que representam naminha vida.

4

AGRADECIMENTOS

Ao meu orientador, Cap. Prof. Juraci Ferreira Galdino, e ao meu co-orientador, Prof.

Ernesto Leite Pinto, pela atencao e profissionalismo com que acompanharam a realizacao

deste trabalho e, sobretudo, pela grande amizade e incentivo que muito contribuıram para

que eu o concluısse com exito.

Aos meus amigos e colegas de pesquisa, pelo apoio e pelo convıvio amigavel.

A todos os professores e funcionarios da Secao de Engenharia Eletrica do Instituto

Militar de Engenharia que, de alguma forma, contribuıram para a realizacao deste tra-

balho.

A Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nıvel Superior (CAPES), pelo

apoio financeiro.

A minha mae, ao meu pai, a minha namorada Priscila, e meus irmaos Rodrigo,

Tatiana e Alessandra, que foram verdadeiras fontes de apoio e inspiracao.

E, principalmente, agradeco a Deus que colocou este Instituto em meu caminho.

5

SUMARIO

LISTA DE ILUSTRACOES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

LISTA DE ABREVIATURAS E SIMBOLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 INTRODUCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1 Motivacao do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Posicionamento e Justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Organizacao da Dissertacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 ALGORITMO LMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Definicao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 O Algoritmo LMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Analise do algoritmo LMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 NOVO ALGORITMO LMS DE PASSO VARIAVEL . . . . . . . . . . . . . 26

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Modelo do Sistema de Comunicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Algoritmo LMS de passo variavel proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Desempenho do novo algoritmo LMS de passo variavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.1 Resultados da Simulacao para canais variantes no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.2 Resultados da Simulacao para canal invariante no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 AVALIACAO DA ROBUSTEZ DO NOVO ALGORITMO . . . . . . . . 39

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 Definicao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Resultado da avaliacao da robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.1 Robustez ao erro de estimacao do deslocamento doppler maximo . . . . . . . . . . 40

6

4.3.2 Robustez ao erro de estimacao da RSR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5 OUTROS ALGORITMOS LMS DE PASSO VARIAVEL RECEN-

TEMENTE PROPOSTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Algoritmos LMS de passo variavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2.1 Algoritmo LMS de passo variavel descrito em (HARRIS, 1986) . . . . . . . . . . . . 50

5.2.2 Algoritmo LMS de passo variavel descrito em (GU, Chengdu China, 2002) . . 55

5.2.3 Algoritmo LMS de passo variavel descrito em (KERATIOTIS, 1999) . . . . . . . 59

5.2.4 Algoritmo LMS de passo variavel descrito em (KWONG, 1992) . . . . . . . . . . . . 64

5.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6 COMPARACAO DE DESEMPENHO DOS ALGORITMOS DE PASSO

VARIAVEL APRESENTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2 Desempenho na estimacao de canais variantes no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.3 Desempenho na estimacao de canais invariantes no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7 RECEPTORES MLSE/PSP BASEADOS NOS ALGORITMOS DE

FILTRAGEM INVESTIGADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.2 O criterio MLSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.3 Receptor MLSE/PSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.4 Desempenho de receptores MLSE/PSP utilizando os algoritmos de fil-

tragem adaptativa investigados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8 CONCLUSOES E COMENTARIOS FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.1 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.3 Comentarios Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7

LISTA DE ILUSTRACOES

FIG.2.1 Configuracao Basica de um Filtro Adaptativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

FIG.3.1 Sistema de Identificacao de Canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

FIG.3.2 Curvas das variacoes do passo do algoritmo proposto e do passo pro-

duzida empiricamente para canal variante no tempo considerando

RSR = 10 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

FIG.3.3 Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo LMS de passo variavel

utilizando a evolucao analıtica do passo e a evolucao do passo

obtida empiricamente por forca bruta, para canal variante no

tempo considerando RSR = 10dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

FIG.3.4 Curvas da variacao do passo otimo produzidas analiticamente e

empiricamente por forca bruta, para fDT = 10−3 e fDT = 10−4

considerando RSR = 30 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35



obtida por forca bruta, para fDT = 10−3 e fDT = 10−4 con-

siderando RSR = 30 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

FIG.3.6 Curvas da variacao do passo otimo produzidas analiticamente e

empiricamente por forca bruta, para canal invariante considerando

RSR = 10 e 30 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37



obtida por forca bruta, para canal invariante considerando RSR

= 10 e 30 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

FIG.4.1 Curvas de MSWE quando ha erro de estimacao de fD para RSR =

10 dB e fDT = 10−3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

FIG.4.2 Curvas de MSWE quando ha erro de estimacao de fD para RSR =

30 dB e fDT = 10−3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

FIG.4.3 Curvas de MSWE quando ha erro de estimacao do fD para RSR =

10 dB e fDT = 10−4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

FIG.4.4 Curvas de MSWE quando ha erro de estimacao do fD para RSR =

8

30 dB e fDT = 10−4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

FIG.4.5 Curvas de MSWE quando ha erro de estimacao da RSR para fDT =

10−3 e RSR = 10 dB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


10−3 e RSR = 30 dB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46


10−4 e RSR = 10 dB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47


10−4 e RSR = 30 dB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

FIG.5.1 Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo Harris com RSR = 10

dB e variando os parametros m0 e m1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

FIG.5.2 Curva da evolucao do passo produzida em uma realizacao do algo-

ritmo Harris com os parametros m0 = 3 e m1 = 2 para RSR = 10

dB e fDT = 10−3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

FIG.5.3 Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo Harris variando os

parametros m0 e m1 considerando RSR = 30 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

FIG.5.4 Curva da evolucao do passo produzida em uma realizacao do algo-

ritmo Harris com os parametros m0 = 2 e m1 = 3 para RSR = 30

dB e fDT = 10−3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

FIG.5.5 Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo de Harris com os

parametros m0 e m1 ajustados para RSR = 10 dB e fDT = 10−3. . . . . . 56

FIG.5.6 Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo de Gu variando os

parametros M e τ considerando RSR = 10 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

FIG.5.7 Curva da evolucao do passo produzida em uma realizacao do al-

goritmo de Gu com os parametros melhores M e τ considerando

RSR = 10 dB e fDT = 10−3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

FIG.5.8 Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo de Gu variando os

parametros M e τ considerando RSR = 30 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

FIG.5.9 Curva da evolucao do passo produzida em uma realizacao do al-

goritmo de Gu com os parametros melhores M e τ considerando

RSR = 30 dB e fDT = 10−3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

FIG.5.10 Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo Keratiotis variando o

parametro M considerando RSR = 10 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9

FIG.5.11 Curva da evolucao do passo produzida pelo algoritmo Keratiotis

com RSR = 10 dB e o parametro M = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

FIG.5.12 Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo de Keratiotis com

RSR = 30 dB e variando o parametro M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

FIG.5.13 Curva da evolucao do passo produzida pelo algoritmo de Keratiotis

com RSR = 30 dB e o parametro M = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

FIG.5.14 Curvas de MSWE do algoritmo Kwong obtidas com RSR = 10 dB

para diferentes valores de γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

FIG.5.15 Curva da evolucao do passo produzida com RSR = 10 dB e fDT =

10−3 em uma realizacao particular do algoritmo Kwong, com α =

0.97 e γ = 10−4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

FIG.5.16 Curvas de MSWE produzidas com RSR = 30 dB e fDT = 10−3

pelo algoritmo Kwong variando o parametro γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

FIG.5.17 Curva da evolucao do passo do algoritmo Kwong obtida com RSR

= 30 dB e fDT = 10−3 em uma realizacao particular com os

parametros α = 0.97 e γ = 10−4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

FIG.5.18 Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo de Kwong com os

parametros α e γ ajustados para RSR = 10 dB e fDT = 10−3. . . . . . . . 72

FIG.6.1 Curvas MSWE produzidas pelos algoritmos investigados em um

canal variante no tempo com fDT = 10−4 e RSR = 10 dB. . . . . . . . . . . . 74








canal invariante com L = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


canal invariante com L = 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

FIG.7.1 Configuracao basica de um receptor MLSE/PSP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

FIG.7.2 Taxa de erro por sımbolo utilizando um receptor MLSE/PSP. . . . . . . . . . 88

10


canal variante no tempo com fDT = 10−4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89





FIG.7.6 Taxa de erro por sımbolo utilizando um receptor MLSE/PSP. . . . . . . . . . 92


canal variante no tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93


canal variante no tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

11

LISTA DE TABELAS

TAB.2.1 O algoritmo LMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

TAB.3.1 Novo algoritmo LMS de passo variavel para canal variante no tempo . . . 30

TAB.3.2 Novo algoritmo LMS de passo variavel para canal invariante no

tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

TAB.5.1 Algoritmo LMS de passo variavel descrito em (HARRIS, 1986) . . . . . . . . 51

TAB.5.2 Algoritmo LMS de passo variavel descrito em (GU, Chengdu China,

2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

TAB.5.3 Algoritmo LMS de passo variavel descrito em (KERATIOTIS, 1999)

63

TAB.5.4 Algoritmo LMS de passo variavel descrito em (KWONG, 1992) . . . . . . . 67

12

LISTA DE ABREVIATURAS E SIMBOLOS

ABREVIATURAS

AV - Algoritmo de Viterbi

dB - decibel

DD - Decision-Directed

EMQ - Erro Medio Quadratico

IES - Interferenia entre sımbolos

LMS - Least Mean Square

MLSE - Maximum-Likelihood Sequence Estimation

MLSE/PSP - Maximum-Likelihood Sequence Estimation using Per-Survivor

ProcessingMSE - Mean Square Error

MSWE - Mean Square Weight estimation Error

OVSS - Optimum Variable Step-Size

QAM - Quadrature Amplitude Modulation

RI - Resposta ao Impulso

RLS - Recursive Least Squares

RSR - Razao Sinal Ruido

VSS - Variable Step-Size

WSS-US - Wide Sense Stationary Channels-Uncorrelated Scattering

SIMBOLOS

(·)∗ - Denota o conjugado

(·)H - Denota o transposto conjugado ou hermitiana

(·)T - Denota o transposto

α - Parametro do algoritmo de Kwong

β - Parametro do algoritmo de Harris

γ - Parametro do algoritmo de Kwong

µ - Passo de adaptacao fixo

µopt(n) - Passo do algoritmo proposto no instante n

µo(n) - Passo utilizado pelo algoritmo de Gu

13

µr(n) - Passo relativo utilizado pelo algoritmo de Gu

µmin - Passo mınimo utilizado pelo Algoritmo

µmax - Passo maximo utilizado pelo Algoritmo

σ2w - Soma das variancias dos coeficientes do canal

σ2s - Variancia dos sımbolos de entrada

σ2v - Variancia do ruıdo

σ2est - Variancia do estimador

σ2v - Estimativa de σ2

v

ε(n) - Erro entre o sinal de referencia e o da saıda do filtro

∇wξ - Gradiente do erro

ξ - Funcao custo do erro medio quadratico

d(n) - O sinal de referencia

D(n + 1, µ) - Expressao analıtica do erro medio quadratico nos coeficientes

encontrada no instante (n + 1) usando µefD

- Variavel aleatoria gaussiana de media nula com variancia σ2est

eσ2v

- Variavel aleatoria gaussiana de media nula com variancia

E[·] - Denota o operador valor esperado

fD - Desvio Doppler maximo

fD - Estimativa da fD

h(t, τ) - Resposta ao impulso do canal

J0(.) - Funcao de Bessel de primeira classe de ordem zero

J(n) - Erro medio quadratico do algoritmo LMS de passo fixo

Jopt(n) - Erro medio quadratico produzido pelo filtro de Wiener em

regime permanenteK - Constante da variancia do estimador

L - Comprimento do filtro transversal que modela o canal

M - Comprimento do bloco

m0 - Parametro do algoritmo de Harris

m1 - Parametro do algoritmo de Harris

Mc - Quantidade de elementos da constelacao adotada

p - O vetor de correlacao cruzada entre d(n) e s(n)

p - Estimativa despolarizada de p

Q - Quantidade de sequencias possıveis

14

R(l) - Denota a funcao autocorrelacao normalizada dos coficientes do

canalRs - A matriz de autocorrelacao do sinal de entrada

Rs - Estimativa despolarizada de Rs

s(n) - Vetor sinal de entrada no instante n

T - Intervalo de sımbolo

tr[·] - Denota o operador traco da matriz

v(n) - Representa o ruıdo

y(n) - Saıda do filtro adaptativo

w(n) - Vetor de coeficientes de um filtro transversal que modela o

canalw(n) - Vetor de coeficientes do filtro

wopt - Estimativa otima do vetor de coeficentes

15

RESUMO

O algoritmo de filtragem adaptativa Least Mean Square (LMS) vem sendo muitoutilizado para identificar e acompanhar parametros de canais de comunicacoes, devidoprincipalmente a sua baixa complexidade computacional. No entanto, este algoritmoapresenta, em geral, baixa velocidade de convergencia e dificuldade de rastreamento deparametros que variam rapidamente no tempo. Diversos algoritmos LMS de passo variaveltem sido propostos para tentar melhorar as caracterısticas de convergencia do algoritmoLMS convencional sem comprometer suas propriedades de regime permanente. Este tra-balho propoe um novo algoritmo LMS de passo variavel para estimacao de canais e com-para, via simulacao computacional, o seu desempenho com outros algoritmos LMS depasso variavel propostos recentemente. Alem disso, e realizada uma avaliacao da robustezdesse novo algoritmo a estimacao de parametros empregados na sua regra de variacao dopasso, como tambem a avaliacao de seu emprego em receptores MLSE/PSP. Os resultadosobtidos mostram que o algoritmo proposto viabiliza a obtencao de um bom compromissoentre desempenho e complexidade computacional, com significativas vantagens em relacaoaos demais algoritmos avaliados.

16

ABSTRACT

A new strategy is proposed for deriving a variable step-size least mean squares algo-rithm suited for the estimation of time varying and frequency-selective communicationschannels modelled as wide sense stationary channels-uncorrelated scattering (WSS-US).The variable step size is obtained by minimising the analytical expression of the meansquare weight estimation error as a function of time. Computer simulation results are pre-sented which show that the new variable step size LMS algorithm so obtained producesperformance gains in relation to the conventional LMS algorithm and others variable stepsize LMS algorithms.

17

1 INTRODUCAO

1.1 MOTIVACAO DO TRABALHO

O algoritmo Least Mean Square (LMS) e muito empregado no desenvolvimento de

receptores adaptativos para sistemas de comunicacoes sobre canais seletivos em frequencia,

devido principalmente a sua baixa complexidade computacional.

Este fato fica mais evidente no caso de receptores de sequencias de sımbolos com o

criterio de decisao de maxima verossimilhanca, baseado no princıpio do processamento por

percurso sobrevivente (MLSE/PSP, do ingles Maximum-Likelihood Sequence Estimation

using Per-Survivor Processing) (R. RAHELI, 1995; GALDINO, 1998). Neste caso se

utiliza um conjunto de filtros adaptativos, de modo que a complexidade computacional

do algoritmo de filtragem adaptativa tem um peso muito grande na complexidade do

receptor.

As caracterısticas de desempenho do algoritmo LMS sao controladas pelo valor do

seu passo de adaptacao. A escolha de um valor pequeno para o passo conduz a um

menor nıvel de erro medio quadratico (EMQ) em regime permanente, enquanto um passo

de adaptacao maior prove uma maior velocidade de convergencia do algoritmo e uma

melhora da capacidade de rastreamento ao custo de um maior nıvel de EMQ em regime

permanente. Um valor de passo excessivamente elevado pode levar o algoritmo a divergir.

Assim, o passo de adaptacao determina as propriedades de convergencia, a estabilidade e

o nıvel de EMQ em regime permanente do algoritmo LMS.

O desenvolvimento de ferramentas analıticas que permitam a escolha criteriosa do

passo do algoritmo LMS e de grande interesse, sendo tema de diversos trabalhos publicados

recentementes (YOUSEF, 2001; L. LINDBOM, 2001, 2002; J. F. GALDINO, 2004).

A escolha de um unico valor de passo fixo limita as possibilidades de obtencao de

melhores caracterısticas de velocidade de convergencia e de EMQ em regime permanente.

Assim, para conferir melhores caracterısticas de desempenho ao algoritmo LMS, e impor-

tante que o passo de adaptacao mude com o tempo.

Muitos trabalhos apresentados na literatura abordam o tema de desenvolvimento de

algoritmos LMS de passo variavel (HARRIS, 1986; KWONG, 1992; KERATIOTIS, 1999;

18

GU, Chengdu China, 2002). Nesses trabalhos, a evolucao do passo de adaptacao depende

de um ou mais parametros, de modo que o desempenho efetivamente produzido por estes

algoritmos em geral depende de um cuidadoso ajuste destes parametros.

O presente trabalho se insere neste contexto e tem como principal objetivo o desen-

volvimento de um novo algoritmo LMS de passo variavel para estimacao de canais. Neste

desenvolvimento, obtem-se de forma analıtica a evolucao otima do passo ao longo do

tempo, no sentido da minimizacao do erro medio quadratico nos coeficientes a cada it-

eracao. Para isso os resultados apresentados em (J. F. GALDINO, 2004) serao utilizados.

1.2 OBJETIVOS

Esta dissertacao tem os seguintes objetivos:

• Desenvolver um algoritmo LMS de passo variavel para estimacao de canais com

desvanecimento seletivo em frequencia e variante no tempo, modelados como canais

WSS-US, da expressao em ingles Wide Sense Stationary Channels-Uncorrelated

Scattering);

• Desenvolver um algoritmo LMS de passo variavel para identificacao de canais in-

variantes no tempo;

• Comparar o desempenho dos algoritmos desenvolvidos com outros algoritmos LMS

de passo variavel, alem do algoritmo LMS de passo fixo e do algoritmo RLS; e

• Avaliar o desempenho de receptores MLSE adaptativos que empregam o algoritmo

proposto e comparar o desempenho destes receptores com os daqueles baseados em

outros algoritmos de filtragem adaptativa.

As avaliacoes de desempenho acima mencionadas sao realizadas por meio de simulacao

computacional, considerando diversas condicoes do sistema de comunicacao, particular-

mente no que diz respeito ao espalhamento Doppler e ao perfil de espalhamento de retardo

do canal, alem da relacao sinal ruıdo na entrada do receptor e das tecnicas de modulacao

empregadas.

19

1.3 POSICIONAMENTO E JUSTIFICATIVA

A busca de novos algoritmos LMS com melhores caracterısiticas de desempenho e com-

plexidade computacional proxima a do LMS convencional e de grande importancia, par-

ticularmente para a aplicacao em receptores adaptativos para sistemas de comunicacoes

moveis. Neste contexto, a pesquisa proposta na presente dissertacao e justificada, pois

podera produzir uma contribuicao relevante no cenario das comunicacoes sem fio, sendo

perfeitamente compatıvel com os objetivos do curso de mestrado em Engenharia Eletrica

do IME, e com as necessidades de comunicacoes do Exercito Brasileiro.

1.4 ORGANIZACAO DA DISSERTACAO

No Capıtulo 2, sao apresentados alguns conceitos basicos de filtragem adaptativa e

tambem e apresentado o algoritmo LMS convencional. O novo algoritmo LMS de passo

variavel e desenvolvido no Capıtulo 3. Este algoritmo tem emprego tanto para canais

variantes quanto invariantes no tempo. Neste capıtulo tambem e comparado o desem-

penho deste novo algoritmo LMS de passo variavel com um algoritmo similar em que a

minimizacao do erro medio quadratico e obtida de forma empırica. Uma avaliacao da

robustez do novo algoritmo LMS de passo variavel a erros na estimacao de parametros

estatısticos do canal por ele empregados e apresentada no Capıtulo 4. No Capıtulo 5 sao

descritos alguns algoritmos LMS de passo variavel recentementes publicados na literatura.

O desempenho desses algoritmos e do algoritmo RLS e avaliado no Capıtulo 6, em termos

da velocidade de convergencia e do erro medio quadratico em regime permanente. Uma

avaliacao de desempenho de receptores MLSE/PSP utilizando algoritmos LMS de passo

variavel e apresentada no Capıtulo 7. O Capıtulo 8 contem as conclusoes do trabalho e

algumas propostas para sua continuacao.

20

2 ALGORITMO LMS

2.1 INTRODUCAO

Neste capıtulo sao abordados, de forma resumida, alguns conceitos basicos de filtragem

adaptativa. Na Secao 2.2 sao apresentados os principais fundamentos, incluindo a solucao

de Wiener. O algoritmo LMS e visto na Secao 2.3, sendo analisado na Secao 2.4. O

resumo do capıtulo e apresentado na Secao 2.4.

2.2 DEFINICAO DO PROBLEMA

A filtragem adaptativa representa um grande campo na area de processamento de

sinais. Ha varias aplicacoes em que o uso de filtros adaptativos se faz necessario, sendo

um caso particular a identificacao de sistema. Muitos trabalhos ja foram desenvolvidos

na literatura propondo solucoes para este problema, porem a busca por solucoes cada vez

mais robustas e rapidas, a um custo computacional aceitavel, tem motivado a continuacao

de pesquisas na area para o desenvolvimento de novos algoritmos.

Uma configuracao basica de um filtro adaptativo discreto no tempo esta ilustrada na

FIG. 2.1. Nela observamos que s(n) e o sinal de entrada representado na forma vetorial,

d(n) e o sinal de referencia, y(n) e a saıda do filtro adaptativo e ε(n) e o erro a priori

entre o sinal de referencia e o da saıda do filtro. Este sinal de erro e utilizado para ajustar

o vetor de coeficientes do filtro, w(n), por meio de um algoritmo de adaptacao.

O processo de atualizacao dos coeficientes de um filtro adaptativo e realizado mini-

mizando uma determinada funcao custo. Uma funcao custo bastante utilizada e o erro

medio quadratico, que e definida como

ξ(n) = E[|ε(n)|2] = E[ε(n)ε∗(n)], (2.1)

onde E[·] denota o operador valor esperado e

ε(n) = d(n) − wH(n)s(n), (2.2)

e o erro no instante n. Na equacao 2.1, o sımbolo (·)∗ denota o conjugado, enquanto na

equacao 2.2, o sımbolo (·)H denota o transposto conjugado ou Hermitiano.

21

(n)

(n)

(n)

z

z−1

−1

s (n) d

y

w1

w2

wN

Σ Σ(n−1)

(n−1)

(n−1)

ε

FIG. 2.1: Configuracao Basica de um Filtro Adaptativo.

Substituindo a Equacao 2.2 na Equacao 2.1 obtem-se

ξ(n) = E[{

d(n) − wH(n)s(n)}{

d∗(n) − sH(n)w(n)}]

= E[d(n)d∗(n)] − E[d(n)sH(n)w(n)] − E[d∗(n)wH(n)s(n)]

+E[wH(n)s(n)sH(n)w(n)]. (2.3)

Sejam Rs a matriz de autocorrelacao do sinal de entrada e p o vetor de correlacao

cruzada entre o sinal desejado e o de entrada, dados, respectivamente, por

Rs = E[s(n)sH(n)] (2.4)

e

p = E[d∗(n)s(n)]. (2.5)

Usando a EQ.2.3, obtem-se a seguinte expressao para o gradiente do erro em relacao

ao vetor de coeficientes, ∇wξ(n)

∇wξ(n) = −2p + 2Rsw. (2.6)

Igualando a ultima equacao a zero, e assumindo que a matriz Rs seja nao singular, o

vetor de coeficientes otimo que minimiza a funcao custo fica dado por

wopt = Rs−1p. (2.7)

22

A EQ. 2.7 e conhecida como a solucao de Wiener (HAYKIN, 1996). Na pratica,

porem, e mais comum a obtencao do vetor de coeficientes por meio de um algoritmo

adaptativo, uma vez que nessas situacoes, em geral, a matriz de autocorrelacao Rs e o

vetor de correlacao cruzada p sao desconhecidos e devem ser estimados. Alem disso, o

calculo da inversa usando algoritmos convencionais, alem de possuir elevada complexidade

computacional, e susceptıvel a problemas de estabilidade numerica.

2.3 O ALGORITMO LMS

O algoritmo LMS (Least Mean Square) e amplamente utilizado em aplicacoes praticas

por duas razoes principais: a sua simplicidade, implicando em um baixo custo com-

putacional, e a garantia de sua convergencia, para escolha apropriada do seu passo de

adaptacao.

O algoritmo LMS e baseado no algoritmo steepest–descent, para o qual a adaptacao

do vetor de coeficientes fica dada por (HAYKIN, 1996):

w(n + 1) = w(n) − µ∇wξ(n), (2.8)

onde µ e o passo de adaptacao utilizado para ponderar o gradiente do erro (∇wξ(n)),

que por sua vez e dado por −2p+2Rsw e, na pratica, nao pode ser obtido com exatidao.

Assim, o algoritmo LMS usa estimativas simples e despolarizadas de p e de Rs, dadas

por:

p = s(n)d∗(n) (2.9)

e

Rs = s(n)sH(n), (2.10)

Obtem-se assim uma estimativa despolarizada do gradiente dada por

∇wξ(n) = −2s(n)d∗(n) + 2s(n)sH(n)w(n)

= −2s(n)[

d∗(n) − sH(n)w(n)]

= −2ε∗(n)s(n). (2.11)

Substituindo a estimativa do gradiente obtida na EQ. 2.11 na EQ. 2.8 do algoritmo

steepest–descent obtemos a seguinte regra de atualizacao do vetor de coeficientes;

w(n + 1) = w(n) + 2µε∗(n)s(n), (2.12)

23

TAB. 2.1: O algoritmo LMS

LMSInicializacao:

w(1) = 0; µfor n = 1, 2, . . .{

ε(n) = d(n) − wH(n)s(n)w(n + 1) = w(n) + µε∗(n)s(n)

}

que e a essencia do algoritmo LMS.

A TAB. 2.1 apresenta as equacoes referentes ao algoritmo LMS, onde o passo de

adaptacao incorpora o fator 2 da EQ. 2.12.

Vale ressaltar que o LMS apresenta convergencia lenta e sensibilidade ao problema

de espalhamento de autovalores da matriz de autocorrelacao dos dados de entrada Rs.

Por outro lado apresenta baixa complexidade computacional e convergencia do algoritmo

garantida (HAYKIN, 1996; DINIZ, 2002).

2.4 ANALISE DO ALGORITMO LMS

O algoritmo LMS apresenta uma equacao bastante simples para atualizacao do vetor

de coeficientes, como pode ser visto na TAB. 2.1.

Em primeiro lugar, o valor de µ deve ser escolhido de tal forma que garanta a con-

vergencia do algoritmo. Um valor alto de passo gera um EMQ em regime permanente

elevado, enquanto que um valor pequeno faz com que a convergencia seja lenta, alem de

prejudicar o rastreio de parametros que variam rapidamente com o tempo. Assim, o passo

de adaptacao utilizado pelo algoritmo LMS determina as propriedades de convergencia,

a estabilidade e o nıvel de EMQ em regime permanente.

Diversos trabalhos na literatura realizaram analise do LMS na identificacao de canais

variantes no tempo (EWEDA, 1994; YOUSEF, 2001; L. LINDBOM, 2001, 2002).

Considerando canais variantes no tempo do tipo WSS-US (PARSONS, 1992), em

particular, a referencia (J. F. GALDINO, 2004) apresenta expressoes analıticas para as

curvas de EMQ em funcao de valores do passo e de parametros tıpicos de sistemas de co-

municacoes, usando a modelagem WSS-US. Em particular, mostra-se nesta referencia que

24

o erro medio quadratico nos coeficientes, MSWE, do ingles Mean Square Weight estima-

tion Error, no instante (n+1) denotado por D(n+1, µ) , E{||w(n+1)−w(n + 1, µ)||2},pode ser recursivamente dado por

D(n + 1, µ) = (1 − 2µσ2s + µ2Lσ4

s)D(n, µ) + µ2σ2vσ

2sL + (2.13)

2µσ2sσ

2w

n∑

l=0

(1 − µσ2s)

l[R(l) − R(l + 1)]

onde R(l) denota a funcao autocorrelacao normalizada dos coeficientes do canal e L a

quantidade de coeficientes de um filtro transversal, espacados no intervalo de sımbolos

que modela a resposta ao impulso do canal de comunicacoes. A soma das variancias

dos coeficientes do canal e denotado por σ2w, os sımbolos de entrada sao considerados

independentes e equiprovaveis com media zero e variancia σ2s e o ruıdo e modelado por

um processo gaussiano branco complexo com variancia σ2v .

Alem disso, sao apresentadas em (J. F. GALDINO, 2004) aproximacoes analıticas para

o calculo do valor otimo do passo no sentido de reduzir o EMQ na condicao de regime

permanente, para alguns modelos de espectro Doppler, dentre os quais o modelo de Jakes.

Sob condicoes de regime estacionario, mostra-se em (J. F. GALDINO, 2004) que a

expressao analıtica do MSWE em termos de µ fica dada por

D(µ) =1

(2 − µLσ2s)

{

µσ2vL + 2σ2

w

n∑

l=0

(1 − µσ2s)

l[R(l) − R(l + 1)]

}

, (2.14)

Usando a EQ. 2.14 pode-se obter o valor do passo que leva ao menor erro medio

quadratico nos coeficientes na condicao de regime permanente.

A escolha de um unico passo de adaptacao, no entanto, nao possibita que o algoritmo

tenha alta velocidade de convergencia e baixo nıvel de EMQ em regime permanente.

2.5 RESUMO

Neste capıtulo, foi feita uma introducao a filtragem adaptativa. O algoritmo LMS

convenvional foi apresentado, e tambem foi exposta a limitacao no desempenho deste

algoritmo causada pela utilizacao de um passo de adaptacao fixo. O proximo capıtulo ap-

resenta um novo algoritmo LMS com passo de adaptacao variavel. O proposito deste novo

algoritmo e aumentar a velocidade de convergencia sem comprometer a sua complexidade

computacional e o seu desempenho na condicao de regime permanente.

25

3 NOVO ALGORITMO LMS DE PASSO VARIAVEL

3.1 INTRODUCAO

No capıtulo anterior foram apresentados alguns conceitos basicos de filtragem adap-

tativa e o algoritmo LMS. Tambem foram levantados alguns problemas em relacao ao de-

sempenho do algoritmo LMS, principalmente no que se refere a limitacao de desempenho

causada pela utilizacao de um passo de adaptacao fixo. Neste capıtulo e apresentado um

novo algoritmo LMS de passo variavel para estimacao de canais variantes e invariantes no

tempo.

A organizacao do capıtulo e feita da seguinte maneira: a proxima secao descreve

o modelo do sistema de comunicacao adotado. Apos esta definicao, o novo algoritmo

e desenvolvido na Secao 3.3 e, posteriormente para fins de validacao de resultados, o

algoritmo proposto e comparado na Secao 3.4 com um algoritmo similar no qual a evolucao

do passo foi otimizada empiricamente, via simulacao computacional. Na Secao 3.5 e

apresentado o resumo do capıtulo.

3.2 MODELO DO SISTEMA DE COMUNICACAO

O algoritmo LMS de passo variavel em questao foi desenvolvido para canais variantes

no tempo do tipo WSS-US (PARSONS, 1992). O modelo WSS-US e indubitavelmente

a referencia mais importante na modelagem de canais variantes no tempo, sendo ampla-

mente utilizado em diversos trabalhos. Este modelo admite que a resposta h(t, τ) do canal

e dada por uma colecao de processos estocasticos na variavel t, indexados pelos valores de

atraso τ . Esses processos sao estacionarios em sentido amplo e descorrelacionados para

diferentes valores de τ .

A escolha do passo de adaptacao do novo algoritmo e obtida minimizando a expressao

do erro medio quadratico apresentado na EQ. 2.13, em cada iteracao. Dessa maneira,

o algoritmo ira utilizar o passo de adaptacao que conduza ao menor erro quadratico na

estimacao do canal em cada instante de tempo. Para um pequeno valor de n, D(n, µ)

assume um valor elevado, neste caso, o procedimento deve conduzir a um valor elevado

de passo. A medida que o MSWE diminui, o valor do passo tambem tende a reduzir. O

26

algoritmo de adaptacao de passo variavel assim obtido deve empregar um valor de passo

elevado no inıcio da adaptacao, a qual devera reduzir a medida que a adaptacao avanca

no tempo, ate atingir o valor de passo otimo na condicao de regime permanente. Assim

sendo, esse algoritmo deve proporcionar rapida velocidade de convergencia sem prejudicar

o valor de EMQ em regime permanente.

Considere o sistema de identificacao de canal mostrado na FIG. 3.1 no qual o algo-

ritmo LMS de passo variavel e usado para estimar e rastrear a resposta ao impulso (RI)

do canal variante no tempo. Este canal e modelado por um filtro transversal com L coefi-

cientes dado pelo vetor w(n), w(n) = [w0(n), w1(n), · · · , wL−1(n)]T , sendo [.]T o operador

tranposto.

Assumindo que o canal segue o modelo WSS-US, seus coeficientes wi sao processos

gaussianos complexos de media nula, estacionarios em sentido amplo e descorrelacionados

entre si. A soma das variancias dos coeficientes do canal e denotada por σ2w.

A observacao ruidosa no instante n e dada por d(n) = wH(n)s(n) + v(n), onde

s(n) = [s(n), s(n−1), · · · , s(n−L+1)]T e o vetor de entrada composto por sımbolos inde-

pendentes e equiprovaveis com media zero e variancia σ2s , e v(n) representa o ruıdo, que e

modelado por um processo gaussiano branco complexo com variancia σ2v , estatisticamente

independente dos sımbolos transmitidos e do canal1.

A regra de operacao do algoritmo LMS de passo variavel e dada por w(n + 1) = w(n)+

µ(n)s(n)ε∗(n, µ(n)) onde w(n) e o vetor que contem a estimativa dos parametros de in-

teresse no instante n, µ(n) denota o passo de adaptacao usado no instante n, e ε(n, µ(n))

e o erro entre a saıda do filtro adaptativo e o sinal desejado obtido no instante n em-

pregando o passo de adaptacao µ(n). Esse erro e dado por ε(n) = d(n) − y(n), sendo

y(n) = wH(n)s(n) a saıda do filtro adaptativo usado para estimar o canal.

3.3 ALGORITMO LMS DE PASSO VARIAVEL PROPOSTO

O novo algoritmo LMS de passo variavel foi desenvolvido para canal que segue o modelo

WSS-US. Este novo algoritmo foi apresentado na referencia (A. M. ARRAES FILHO,

2004) sendo o ponto de partida para obtencao da evolucao otima do passo de adaptacao a

EQ. 2.13, que foi apresentada em (J. F. GALDINO, 2004) e abaixo e reescrita admitindo-

se passo variavel. Foram introduzidas as notacoes µ(n) e D(n, µ(n)) para explicitar a

1Suprimiu-se na notacao do erro a dependencia com o passo de adaptacao, isto foi realizado para fins

de simplificacao de notacao.

27

)(ns

-

+ )(d n

)(n

+

+

)(nw

)(^

nw

)(nv

FIG. 3.1: Sistema de Identificacao de Canal

dependencia desses parametros com o valor do passo de adaptacao, obtendo-se a expressao

D(n + 1, µ(n)) = (1 − 2µ(n)σ2s + µ2Lσ4

s)D(n, µ(n)) + µ(n)2σ2vσ

2sL − (3.1)

2µ(n)σ2sσ

2w

n∑

l=0

(1 − µσ2s)

l∆R(l + 1),

sendo que ∆R(l + 1) , [R(l + 1) − R(l)].

O novo algoritmo utiliza a minimizacao recursiva da EQ. 3.1 como estrategia para

derivar o passo de adaptacao. Inicialmente, utiliza-se a Equacao 3.1 para obter a otimizacao

do passo em dois instantes consecutivos, digamos µopt(n) e µopt(n + 1), no sentido de mi-

nimizar o erro medio quadratico nos coeficientes do instante n para o instante (n + 1).

Posteriormente expressa-se µopt(n + 1) em funcao de µopt(n).

Na primeira iteracao, busca-se determinar o primeiro passo de adaptacao otimo µopt(1),

derivando a Equacao 3.1 para n = 0. Ou seja, obtem-se µopt(1) resolvendo a seguinte

equacao ∂D(1,µ(1))∂µ(1)

= 0, que leva a:

µopt(1) =D(0, µopt(0)) + σ2

w∆R(1)

L(D(0, µopt(0))σ2s + σ2

v), (3.2)

sendo

28

D(1, µopt(1)) = [1 − 2µopt(1)σ2s + µopt(1)2Lσ4

s ]D(0, µ) + µopt(1)2σ2vσ

2sL − (3.3)

2µopt(1)σ2sσ

2w∆R(1)

Admitindo-se que w(0) = [0, 0, · · · , 0]T tem-se D(0, µ(0)) = σ2w, independentemente

do valor do passo adotado. Seguindo o mesmo procedimento, o passo no instante (n + 1),

µopt(n + 1), e determinado solucionando a equacao ∂D(n+1,µ(n+1))∂µ(n+1)

= 0, que leva a

µopt(n + 1) =D(n, µopt(n)) + ∆R(n + 1)σ2

w

L(D(n, µopt(n))σ2s + σ2

v), (3.4)

sendo o MSWE otimo correspondente dado por

D(n + 1, µopt(n + 1)) = [1 − 2µopt(n + 1)σ2s + µopt(n + 1)2Lσ4

s ]D(n, µopt(n)) + (3.5)

µopt(n + 1)2σ2vσ

2sL − 2µopt(n + 1)σ2

sσ2w∆R(n + 1)

Escrevendo a equacao 3.5 para o instante de tempo n, chega-se a

D(n, µopt(n)) = [1 − 2µopt(n)σ2s + µopt(n)2Lσ4

s ]D(n − 1, µopt(n − 1)) + (3.6)

µopt(n)2σ2vσ

2sL − 2µopt(n)σ2

sσ2w∆R(n)

e usando EQ.3.4 para o instante de tempo n, tem-se

µopt(n) =D(n − 1, µopt(n − 1)) + ∆R(n)σ2

w

L(D(n − 1, µopt(n − 1)).σ2s + σ2

v)

Daı

µopt(n)L(D(n − 1, µopt(n − 1))σ2s + σ2

v) = D(n − 1, µopt(n − 1)) + ∆R(n)σ2w

e

D(n − 1, µopt(n − 1)) =µopt(n)Lσ2

v − ∆R(n)σ2w

(1 − µopt(n)Lσ2s)

(3.7)

Substituindo as equacoes 3.7 e 3.6 na equacao 3.4, segue-se que

µopt(n + 1) =A1(n)µ2

opt(n) − A2(n + 1)µopt(n) + A3(n + 1)

A4(n)µ2opt(n) + A5(n)

(3.8)

29

onde

A1(n) = σ2sL[σ2

sσ2w∆R(n) − σ2

v ];

A2(n + 1) = L[σ2sσ

2w∆R(n + 1) − σ2

v ];

A3(n + 1) = σ2w[∆R(n + 1) − ∆R(n)];

A4(n) = σ2sLA1(n);

A5(n) = L[σ2v − σ2

wσ2s∆R(n)].

e µopt(1) = [σ2w + σ2

w∆R(1)]/[L(σ2wσ2

s + σ2v)].

O passo µopt(n + 1) definido na equacao 3.8 minimiza o MSWE do instante n para

instante (n + 1). Essa forma de otimizacao garante que o novo algoritmo apresente uma

alta velocidade de convergencia, porem nao garante atingir o menor nıvel de MSWE em

regime permanente.

Uma solucao para isso e a seguinte: quando o valor do passo obtido na EQ.3.8 for infe-

rior ao passo otimo no sentido de minimizar o MSWE na condicao de regime permanente

(J. F. GALDINO, 2004), entao o algoritmo, a partir daı, utiliza este valor de passo, aqui

denotado de µmin. O uso de um valor de passo menor do que este reduz a velocidade de

convergencia e aumenta o valor de MSWE em regime permanente.

TAB. 3.1: Novo algoritmo LMS de passo variavel para canal variante no tempo

Novo LMS de passo variavelInicializar:

s(1) = w(1) = 0

µopt(1) = σ2w+σ2

w∆R(1)L(σ2

wσ2s+σ2

v)

for n = 1, 2, . . .{

µopt(n + 1) =A1(n)µ2

opt(n)−A2(n+1)µopt(n)+A3(n+1)

A4(n)µ2opt(n)+A5(n)

if µopt(n + 1) < µmin then µopt(n + 1) = µmin ∀n;ε(n, µ(n)) = d(n) − wH(n)s(n)w(n + 1) = w(n) + µopt(n)ε∗(n, µ(n))s(n)

}

A Tabela 3.1 apresenta o algoritmo proposto. Nela observa-se que a partir do instante

de tempo em que µopt(.) < µmin utiliza-se o algoritmo com passo fixo com o valor igual

30

a µmin. Essa abordagem tem a vantagem de usar regra de adaptacao do passo apenas

durante o transitorio, reduzindo a complexidade computacional do algoritmo e conduzindo

ao menor nıvel de erro medio quadratico em regime permanente .

TAB. 3.2: Novo algoritmo LMS de passo variavel para canal invariante no tempo

Novo LMS de passo variavelInicializar:

s(1) = w(1) = 0

µopt(1) = σ2w

L(σ2wσ2

s+σ2v)

for n = 1, 2, . . .{

ε(n) = d(n) − wH(n)s(n)w(n + 1) = w(n) + µopt(n)ε∗(n)s(n)

µopt(n + 1) = µopt(n)−µopt(n)2σ2s

1−µopt(n)2Lσ4s

}

O algoritmo proposto tambem pode ser usado para um ambiente em que a RI do canal

e invariante no tempo. Neste caso, admite-se que a RI do canal e desconhecida, mas os

coeficientes que descrevem o canal nao evoluem com o tempo. Pode-se considerar esse

modelo de canal como um caso particular do modelo WSS-US no qual R(n) = 1 ∀n.

Assim, a EQ. 3.8, para canal invariante no tempo, e dada por

µopt(n + 1) =µopt(n) − µopt(n)2σ2

s

1 − µopt(n)2Lσ4s

(3.9)

onde µopt(1) = σ2w/[L(σ2

wσ2s + σ2

v)].

As equacoes referentes ao novo algoritmo LMS de passo variavel para canal invariante

no tempo estao na TAB. 3.2.

3.4 DESEMPENHO DO NOVO ALGORITMO LMS DE PASSO VARIAVEL

Nessa secao serao apresentados alguns resultados de desempenho obtidos via simulacao

computacional para fins de validacao das expressoes analiticas da evolucao otima do passo

ao longo do tempo produzidas pelo novo algoritmo LMS de passo variavel, para canais

variantes e invariantes no tempo.

A validacao das expressoes 3.8 e 3.9 sera realizada buscando a evolucao otima do passo

de adaptacao obtida por forca bruta, via simulacao computacional. Para essa obtencao,

31

serao testados em cada iteracao 500 valores de passos igualmente espacados em torno do

passo otimo analıtico (µopt(n)), sendo que o passo maximo testado e µmax = 1.3 µopt(n) e

o passo mınimo testado e µmin = 0.7 µopt(n). Assim o passo otimo empırico no instante

n, aqui denotado por µemp(n), sera o passo dentre todos os testados o que produz o menor

valor de MSWE do instante n para o instante (n + 1), sendo o MSWE obtido com uma

media sobre 1000 realizacoes independentes.

Nas simulacoes, serao abordados tanto canais variantes quanto invariantes no tempo.

Para o caso de canais variantes no tempo, a evolucao temporal dos coeficientes da RI do

canal e modelado pelo espalhamento Doppler baseado no espectro de Jakes. Este modelo

e frequentemente adotado no ambito das comunicacoes moveis e neste caso, a funcao de

autocorrelacao do canal referente a este modelo e expressa por

R(l) = J0(2πfDlT ), (3.10)

Em que J0(.) e funcao de Bessel de primeira classe de ordem zero, fD e o desvio Doppler

maximo e T e o intervalo de sımbolo. O parametro fD e definido pela razao entre a veloci-

dade do equipamento de recepcao v e o comprimento de onda da frequencia portadora λ,

ou seja fD = v/λ. Esse parametro define a rapidez com que o canal muda com o tempo.

Nas simulacoes admitiu-se que o receptor conhece os parametros L, σ2v , σ2

w e fD. Na

pratica, esses parametros devem ser estimados. Posteriormente sera avaliado o desem-

penho do algoritmo proposto considerando erros na estimativa dos parametros σ2v e fD.

3.4.1 RESULTADOS DA SIMULACAO PARA CANAIS VARIANTES NO TEMPO

Os resultados de simulacao computacional apresentados nessa secao foram obtidas

considerando um esquema de modulacao Quadrature Amplitude Modulation (QAM) com

16 sımbolos em sua constelacao (QAM-16) 2, um canal de comunicacao normalizado com

3 coeficientes com atrasos multiplos de T segundos.

Para a variacao temporal do canal foram utilizados dois valores de fDT : 10−3 e 10−4,

e dois valores de relacao sinal ruıdo (RSR): 10 e 30 dB, expressos em termos σ2s/σ

2v . Os

resultados foram obtidos considerando 1000 realizacoes independentes do canal, sendo que

para RSR = 10 dB foram transmitidos blocos de 250 sımbolos e para RSR = 30 dB foram

transmitidos blocos de 150 sımbolos.

2Outros esquemas de modulacao e quantidade de sımbolos na constelacao foram testados e os resul-

tados se mantiveram na sua essencia.

32

As curvas da evolucao do passo obtidas para os dois valores de fDT cosiderados com

RSR = 10 dB e RSR = 30 dB sao mostradas na FIG. 3.2 e na FIG. 3.4, respectivamente.

50 100 150 200

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Iteração

Val

or d

o P

asso

Novo Algoritmo de passo variável, 10dB fD

T=10−3

Algoritmo Empírico, 10dB fD

T=10−3


T=10−4


T=10−4

fD

T=10−3

fD

T=10−4

FIG. 3.2: Curvas das variacoes do passo do algoritmo proposto e dopasso produzida empiricamente para canal variante no tempo con-siderando RSR = 10 dB.

A FIG. 3.2 mostra que as duas curvas da evolucao do passo otimo, a empırica e a

analıtica, sao bastante parecidas, principalmente para a condicao de fDT = 10−4. Neste

caso ambas as curvas convergem para o passo mınimo.

Para fDT = 10−3, as curvas da evolucao do passo otimo tambem sao bastante pare-

cidas, exceto na regiao de regime permanente. Neste caso, a curva empırica da evolucao

do passo otimo atinge um valor de passo inferior ao respectivo passo mınimo, ou seja, o

passo utilizado pelo novo algoritmo na regiao de regime permanente.

A FIG. 3.3 apresenta as curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo LMS de passo

variavel proposto e curvas de MSWE produzidas por um algoritmo similar cuja evolucao

do passo foi obtida empiricamente e e apresentada na FIG. 3.2.

Os resultados apresentados na Figura 3.3 mostram que para fDT = 10−4 as curvas

33

50 100 150 200 250

10−2

10−1

100

Iteração

MS

WE


T=10−3


T=10−3


T=10−4


T=10−4

fD

T=10−3

fD

T=10−4

FIG. 3.3: Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo LMS de passovariavel utilizando a evolucao analıtica do passo e a evolucao do passoobtida empiricamente por forca bruta, para canal variante no tempoconsiderando RSR = 10dB.

de MSWE sao identicas. Isto ocorre devido a grande semelhanca das curvas analıtica e

empırica da evolucao otima do passo nessa condicao. Para fDT = 10−3, as curvas de

MSWE sao bastante parecidas, existindo apenas uma leve diferenca no nıvel de MSWE

atingido na regiao de regime permanente. O algoritmo LMS de passo variavel que utilizou

o passo obtido analiticamente obteve um menor nıvel de MSWE em regime permanente,

pois ele adota o criterio de usar o passo fixo com valor igual ao passo mınimo a partir do

primeiro instante em que o valor obtido na Equacao 3.8 seja inferior ao passo otimo em

regime permanente. O passo mınimo do algoritmo proposto e o valor do passo utilizado

pelo LMS convencional que conduz ao menor MSWE em regime permanente para canais

de comunicacao variantes no tempo do tipo WSS-US.

A FIG. 3.4 mostra as curvas analıtica e empırica da evolucao do passo para fDT = 10−3

e fDT = 10−4 com RSR = 30 dB. Essas curvas sao bastante parecidas exceto na regiao

34

20 40 60 80 100 120 140

10−2

Iteração

Val

or d

o P

asso


T=10−3


T=10−3


T=10−4


T=10−4

fD

T=10−3

fD

T=10−4

FIG. 3.4: Curvas da variacao do passo otimo produzidas analiticamentee empiricamente por forca bruta, para fDT = 10−3 e fDT = 10−4

considerando RSR = 30 dB.

de regime permanente. Essa pequena diferenca causa um maior nıvel de MSWE nessa

regiao, do algoritmo empırico em relacao ao proposto, como pode ser visto na FIG. 3.5.

A FIG. 3.4 tambem mostra que para uma maior fDT o passo mınimo aumenta, de forma

que o algoritmo seja capaz de rastrear este ambiente que varia mais rapidamente.

Os resultados apresentados validam a minimizacao analıtica do MSWE aqui apresen-

tada e a utilizacao da EQ. 3.8 para obter a evolucao otima do passo de adaptacao.

3.4.2 RESULTADOS DA SIMULACAO PARA CANAL INVARIANTE NO TEMPO

Os resultados de simulacao computacional apresentadas nessa secao tambem foram

obtidas considerando um esquema de modulacao QAM-16 3, um canal de comunicacao

normalizado com 10 coeficientes aleatorios invariantes no tempo e atrasos multiplos de T

3Outros esquemas de modulacao e quantidade de sımbolos na constelacao foram testados e os resul-

tados se mantiveram na sua essencia.

35

0 50 100 15010

−4

10−3

10−2

10−1

100

101

Iteração

MS

WE


T=10−3


T=10−3


T=10−4


T=10−4

fD

T=10−3

fD

T=10−4

FIG. 3.5: Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo LMS de passovariavel utilizando a evolucao analıtica do passo e a evolucao do passoobtida por forca bruta, para fDT = 10−3 e fDT = 10−4 considerandoRSR = 30 dB.

segundos.

Dois valores de relacao sinal ruıdo (RSR) foram usados: 10 e 30 dB, expressos em ter-

mos σ2s/σ

2v . Os resultados foram obtidos considerando 1000 realizacoes independentes do

canal de comunicacao, sendo que para cada realizacao foram transmitidos 2000 sımbolos.

A FIG. 3.6 apresenta as curvas da variacao do passo otimo obtidas analiticamente e

empiricamente por forca bruta, para RSR=10 e 30 dB. Essa figura mostra que as curvas

sao bem parecidas e que, a curva empırica da evolucao do passo oscila em torno da curva

analıtica obtida pela Equacao 3.9.

As curvas de MSWE associadas as curvas de evolucao do passo da FIG. 3.6 sao

mostradas na FIG. 3.7, e sao bastante parecidas, indicando a validade da regra de variacao

do passo obtida de foma analıtica.

36

100 200 300 400 500 600 700 800 9000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x 10−3

Iteração

Val

or d

o P

asso

Novo Algoritmo de passo variável, 10dBAlgorimto Empírico, 10dBNovo Algoritmo de passo variável, 30dBAlgoritmo Empírico, 30dB

FIG. 3.6: Curvas da variacao do passo otimo produzidas analiticamentee empiricamente por forca bruta, para canal invariante considerandoRSR = 10 e 30 dB.

3.5 RESUMO

Neste capıtulo, foi apresentado um novo algoritmo LMS de passo variavel. O passo

µopt(n) deste algoritmo foi obtido minimizando-se de forma recursiva a expressao analıtica

do erro medio quadratico na estimacao dos coeficientes do canal. Resultados de simulacoes

apresentados neste capıtulo validaram a otimizacao analıtica do passo de adaptacao,

observou-se excelentes ajustes entre as curvas analıtica da evolucao otima do passo e

as suas correspondentes obtidas por busca exaustiva, via simulacao computacional.

No proximo capıtulo e avaliada a robustez do novo algoritmo a erro na estimacao dos

parametros fDT e da RSR. Esta avaliacao e feita pois o novo algoritmo, ao contrario

do que ocorre com o LMS convencional e outras solucoes de LMS de passo variavel,

precisa desses parametros de comunicacao para gerar a curva de evolucao do passo, sendo

entao importante estudar a sensibilidade do algoritmo quando ha erro de estimacao desses

37

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Iteração

MS

WE

Novo Algoritmo de passo variável, 10dBAlgoritmo Empírico, 10dBNovo Algoritmo de passo variável, 30dBAlgoritmo Empírico, 30dB

10dB

30dB

FIG. 3.7: Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo LMS de passovariavel utilizando a evolucao analıtica do passo e a evolucao do passoobtida por forca bruta, para canal invariante considerando RSR = 10e 30 dB.

parametros.

38

4 AVALIACAO DA ROBUSTEZ DO NOVO ALGORITMO

4.1 INTRODUCAO

No capıtulo anterior foi apresentado um novo algoritmo de passo variavel para canais

de comunicacoes variantes e invariantes no tempo. Os resultados analıticos la apresentados

indicam que a evolucao do passo do algoritmo proposto depende dentre outros parametros

do deslocamento doppler maximo (fD) e da variancia do ruıdo na entrada do receptor (σ2v).

Assim sendo, neste capıtulo faz-se uma avaliacao da robustez do novo algoritmo aos erros

de estimacoes desses parametros, avaliando a sensibilidade do novo algoritmo frente a

esses erros de estimacoes.

A proxima secao define a abordagem adotada para avaliar a robustez e os resultados

sao apresentados na Secao 4.3. A ultima secao contem um resumo do capıtulo.

4.2 DEFINICAO DO PROBLEMA

O novo algoritmo LMS de passo variavel foi inicialmente desenvolvido para canais

variantes no tempo do tipo WSS-US. Como pode ser visto na Equacao 3.8, para obter

a evolucao otima do passo ao longo do tempo e preciso empregar parametros tais como

a variancia do ruıdo na entrada do receptor σ2v , a funcao de autocorrelacao normalizada

dos coeficientes do canal R(l) e a quantidade de coeficientes da RI do canal L.

Na pratica esses parametros nao sao conhecidos e e preciso estima-los para obter a

curva de evolucao do passo. No que se refere a autocorrelacao, um modelo muito aceito em

sistemas de comunicacao movel e o espectro de Jakes, cuja autocorrelacao e parametrizada

por fD.

Diversos trabalhos na literatura abordam formas diferentes para estimar estes parametros

(A. SAMPATH, 1993; M. MORELLI, 1998). Aqui serao utilizados modelos simples para

os estimadores dos parametros σ2v e fD, procurando-se avaliar o impacto dos erros de

estimacao no desempenho do algoritmo proposto.

O estimador do fD sera modelado da seguinte maneira:

fD = fD + efD(4.1)

39

onde efDe uma variavel aleatoria gaussiana de media nula com variancia σ2

est. Assim

sendo, fD e um estimador despolarizado de fD, com variancia σ2est.

Uma abordagem similar e adotada para o estimador de σ2v , sendo denotado por σ2

v e

dado por:

σ2v = |σ2

v + eσ2v| (4.2)

onde eσ2v

e uma variavel aleatoria gaussiana de media nula com variancia σ2vest

. Como σ2v

sempre e superior a zero, entao quando o estimador produzir valores negativos (σ2v < 0)

a estimativa sera dada por σ2v = |σ2

v |. Neste caso o estimador e polarizado.

A variancia dos estimadores de fD e σ2v e definida por

σ2est = K

σ2v

σ2s

, (4.3)

na qual o parametro K e um fator variavel usado para modelar diferentes condicoes de

erro de estimacao.

4.3 RESULTADO DA AVALIACAO DA ROBUSTEZ

4.3.1 ROBUSTEZ AO ERRO DE ESTIMACAO DO DESLOCAMENTO DOPPLER

MAXIMO

Nessa secao sao apresentados resultados realizados via simulacao computacional ref-

erentes a robustez do novo algoritmo LMS de passo variavel ao erro de estimacao do fD.

Uma estimativa de fD e sorteada para cada realizacao independente e utilizado para todos

os sımbolos transmitidos.

Nessa simulacao, utilizou-se novamente a modulacao QAM-16 e um canal normalizado

com 3 coeficientes com atrasos multiplos de T segundos. Para a variacao temporal do canal

foram utilizados dois valores de fDT : 10−3 e 10−4, e dois valores de relacao sinal ruıdo

(RSR): 10 e 30 dB, expresso em termo σ2s/σ

2v . Os resultados foram obtidos considerando

1000 realizacoes independentes do canal, sendo que para RSR = 10 e RSR = 30 dB, foram

transmitidos em cada realizacao 250 e 150 sımbolos, respectivamente.

A FIG. 4.1 ilustra as curvas de MSWE para condicao de RSR = 10 dB e de fDT = 10−3,

e para os seguintes valores do parametro K: 0 (Estimacao Perfeita), 1, 10, 20, 50 e 150.

Pode ser visto na FIG. 4.1 que o novo algoritmo LMS de passo variavel apresenta uma

grande robustez de desempenho em relacao a estimacao de fD. Nao se observa degradacao

40

0 50 100 150 200 25010

−2

10−1

100

101

Iteração

MS

WE

K=0K=1K=10K=20K=50K=150

205 210 215 220 225 230 235 240 245

10−1.82

10−1.8

10−1.78

Iteração

MS

WE

RSR=10dB

FIG. 4.1: Curvas de MSWE quando ha erro de estimacao de fD paraRSR = 10 dB e fDT = 10−3.

significativa de desempenho a medida que a variancia do estimador aumenta, sendo as

curvas de MSWE obtidas com os diferentes valores de K bastante parecidas. Mesmo

para K = 150, o desajuste na curva de MSWE em relacao a K = 0 na regiao de regime

permanente e inferior a 1%.

Na Figura 4.2 sao apresentados resultados de simulacao que foram obtidos nas mes-

mas condicoes daqueles resultados apresentados na Figura 4.1, exceto que neste caso

considerou-se RSR = 30 dB e fDT = 10−3. Novamente, mesmo para uma alta variancia

do estimador de fD nao se observa desajustes significativos nas curvas de MSWE. Nesse

caso, o desajuste maximo da curva de MSWE na regiao de regime permanente em relacao

a K = 0 e inferior a 0.001%.

A FIG. 4.3 apresenta as curvas de MSWE produzidas pelo novo algoritmo LMS de

passo variavel para a condicao de RSR = 10dB e fDT = 10−4. Nela observa-se que o

erro de estimacao de fD provocou uma pequena degradacao de desempenho. Sob estas

condicoes de simulacao, o baixo valor da RSR leva a maiores valores da variancia do

41

0 50 100 150 200 25010

−4

10−3

10−2

10−1

100

Iteração

MS

WE

K=0K=1K=10K=20K=50K=150

205 210 215 220 225 230 235 240 245

10−3

Iteração

MS

WE

RSR=30dB

FIG. 4.2: Curvas de MSWE quando ha erro de estimacao de fD paraRSR = 30 dB e fDT = 10−3.

estimador, para os mesmos valores de K. Alem disso, neste caso o valor a ser estimado

(fD) e bastante pequeno.

Pode-se observar na FIG. 4.3 que maiores valores da variancia do estimador conduzem

a maiores nıveis de erro medio quadratico em regime permanente, como esperado. No

entanto, mesmo para K = 150 o desajuste na curva de erro medio quadratico em relacao

a K = 0 (Estimacao Perfeita) e pequeno. Para K = 0, foi obtido um nıvel de MSWE em

regime permanente igual 3, 1.10−3, enquanto para K = 150 um nıvel de 3, 7.10−3, o que

corresponde um desajuste percentual de 20%.

Ja na FIG. 4.4 sao apresentados resultados de simulacao que foram obtidos nas mesmas

condicoes anteriores, exceto que neste caso considerou-se RSR = 30 dB e fDT = 10−4,

sendo utilizados os seguintes valores de K:0, 1, 10, 20, 50 e 150.

Pode ser visto na FIG. 4.4 que o novo algoritmo LMS de passo variavel apresenta uma

grande robustez em relacao a estimacao de fD nas condicoes de transmissoes consideradas.

As curvas de MSWE obtidas com erro estimacao sao bastante parecidas com a curva

42

0 50 100 150 200 25010

−3

10−2

10−1

100

Iteração

MS

WE

K=0K=1K=10K=20K=50K=150

200 205 210 215 220 225 230 235 240 24510

−2.7

10−2.5

10−2.3

Iteração

MS

WE

RSR=10dB

FIG. 4.3: Curvas de MSWE quando ha erro de estimacao do fD paraRSR = 10 dB e fDT = 10−4.

obtida com estimacao perfeita de fD. Mesmo para K = 150, os resultados foram bastante

parecidos. A justificativa para isso e que o valor mais alto da RSR leva a reducao da

variancia do estimador para os mesmos valores de K, ja que σ2est = Kσ2

v/σ2s .

Nessa secao foram apresentados alguns resultados obtidos via simulacao computa-

cional mostrando o desempenho do novo algoritmo frente a erros na estimacao de fD. Os

resultados ilustrados em termos das curvas de MSWE mostraram uma grande robustez

do novo algoritmo LMS de passo variavel a estes erros de estimacao.

4.3.2 ROBUSTEZ AO ERRO DE ESTIMACAO DA RSR

Nessa secao e avaliada a robustez do novo algoritmo LMS de passo variavel ao erro

de estimacao da variancia do ruıdo. A estimativa da variancia do ruıdo σ2v e sorteada

para cada realizacao independente e utilizada para todos os sımbolos transmitidos. A

finalidade dessa comparacao e mostrar o desempenho do novo algoritmo LMS de passo

variavel quando ha erro de estimacao deste parametro, sendo esta avaliacao realizada em

43

50 100 150 20010

−4

10−2

100

Iteração

MS

WE

K=0K=1K=10K=20K=50K=150

205 210 215 220 225 230 235 240 245

10−3.85

10−3.82

10−3.79

10−3.76

Iteração

MS

WE

RSR=30dB

FIG. 4.4: Curvas de MSWE quando ha erro de estimacao do fD paraRSR = 30 dB e fDT = 10−4.

termos das curvas de MSWE produzidas por ele.

Vale ressaltar que para se obter os resultados dessa secao admitiu-se conhecidos todos

os demais parametos empregados no calculo do passo variavel.

Utilizou-se a modulacao QAM-16 e um canal normalizado com 3 coeficientes com

atrasos multiplos de T segundos. Para a variacao temporal do canal foram utilizados dois

valores de fDT (10−3 e 10−4) e dois valores de RSR (10 e 30 dB). Os resultados foram

obtidos a partir de 1000 realizacoes independentes de canal, sendo que para RSR = 10 e

RSR = 30 dB, foram transmitidos 250 e 150 sımbolos em cada realizacao, respectivamente.

A FIG. 4.5 apresenta as curvas de MSWE geradas pelo novo algoritmo LMS de passo

variavel considerando RSR = 10 dB e fDT = 10−3. Pode ser visto que as curvas de

MSWE produzidas com erro de estimacao da σ2v nao se modificaram significativamente

com o aumento de K. Mesmo para uma alta variancia do estimador (K = 20), os

resultados foram bastante parecidos com o do caso em que se admite o conhecimento

deste parametro na determinacao do passo (K = 0). O nıvel de MSWE na regiao de

44

0 50 100 15010

−2

10−1

100

Iteração

MS

WE

K=0K=1K=5K=10K=15K=20

105 110 115 120 125 130 135 140 14510

−1.9

10−1.8

10−1.7

10−1.6

Iteração

MS

WE

RSR=10dB

FIG. 4.5: Curvas de MSWE quando ha erro de estimacao da RSR parafDT = 10−3 e RSR = 10 dB

regime permanente atingido para K = 0 e de 1, 55.10−2, ao passo que para K = 20

e de 1, 74.10−2. Esses resultados indicam que o novo algoritmo LMS de passo variavel

apresenta pouca sensibilidade ao erro de estimacao da variancia do ruıdo.

Para a condicao de RSR = 30 dB e fDT = 10−3, os resultados sao apresentados na

FIG. 4.6. Essas curvas mostram que erro da estimacao da variancia do ruıdo degrada

o desempenho do algoritmo proposto principalmente na regiao de regime permanente.

Ve-se claramente que essa degradacao aumenta com o aumento da variancia do estimador

(K). Ve-se que para K = 20 o nıvel de MSWE em regime permanente e igual a 2, 2.10−3

ao passo que para estimacao perfeita de σ2v (K = 0) o nıvel de MSWE e igual a 10−3.

A justificativa para a maior sensibilidade de desempenho nessa condicao de RSR em

relacao aos resultados apresentados para RSR = 10 dB deve-se ao fato que para este caso o

valor do parametro a ser estimado e bastante pequeno, de modo que, em termos relativos

as estimativas da variancia do ruıdo sao, em geral, bastante degradadas, inclusive pela

polarizacao do estimador modelado.

45

0 50 100 15010

−4

10−3

10−2

10−1

100

Iteração

MS

WE

K=0K=1K=5K=10K=15K=20

105 110 115 120 125 130 135 140 145

10−3

10−2

Iteração

MS

WE

RSR=30dB


A FIG. 4.7 apresenta os resultados obtidos com RSR = 10 dB e fDT = 10−4. Nessa

figura pode ser observado que as curvas de MSWE produzidas com erro estimacao da

variancia do ruıdo sao similares a curva de MSWE produzida com estimacao perfeita de

σ2v (K = 0). O nıvel de MSWE atingido no regime permanente com estimacao perfeita

e igual a 3, 1.10−3, enquanto o nıvel de MSWE para K = 20 e de 3, 3.10−3. O desajuste

maximo da curva de MSWE nesta regiao e de 6,45%.

A FIG. 4.8 mostra os resultados produzidos com RSR = 30 dB e fDT = 10−4. As

curvas de MSWE obtidas com erro de estimacao da variancia do ruıdo apresentam uma

pequena degradacao do desempenho na regiao de regime permanente quando comparado

ao produzido com estimacao perfeita de σ2v . Essa sensibilidade do algoritmo ao erro de

estimacao da variancia do ruıdo e devida ao baixo valor da variancia do ruıdo a ser esti-

mada para essa condicao de RSR. No entanto, mesmo nesta situacao, o algoritmo proposto

nao apresenta grande diferenca do nıvel de MSWE produzido em regime permanente de

K = 20 para K = 0. Esses resultados mostram portanto que o novo algoritmo apresenta

46

0 50 100 150 200 25010

−3

10−2

10−1

100

Iteração

MS

WE

K=0K=1K=5K=10K=15K=20

200 205 210 215 220 225 230 235 240 245 25010

−2.7

10−2.5

10−2.3

Iteração

MS

WE

RSR=10dB


boa robustez ao erro de estimacao da σ2v .

4.4 RESUMO

Neste capıtulo, foi apresentada uma avaliacao da robustez do novo algoritmo LMS de

passo variavel aos erros na estimacao dos parametros fDT e RSR. Os resultados obtidos

indicam claramente que o novo algoritmo apresenta uma grande robustez a estes erros de

estimacao. Assim, o algoritmo pode ser usado em conjunto com tecnicas de estimacao de

fD e de RSR pouco sofisticadas.

47

50 100 150 200 25010

−4

10−2

100

Iteração

MS

WE

K=0K=1K=5K=10K=15K=20

200 205 210 215 220 225 230 235 240 245

10−4

10−3

Iteração

MS

WE

RSR=30dB


48

5 OUTROS ALGORITMOS LMS DE PASSO VARIAVEL

RECENTEMENTE PROPOSTOS

5.1 INTRODUCAO

No capıtulo precedente foi avaliada a robustez do novo algoritmo LMS de passo variavel

e constatado que ele apresenta pouca sensibilidade de desempenho aos erros de estimacoes

dos parametros fDT e RSR.

Neste capıtulo, alguns algoritmos LMS de passo variavel serao apresentados e avaliados

via simulacao computacional. Esses algoritmos, em geral, apresentam varios parametros a

serem ajustados, sendo importante avaliar a sensibilidade do desempenho a escolha desses

parametros.

A Secao 5.2 apresenta alguns algoritmos de passo variavel e uma avaliacao de seus

desempenhos para diferentes escolhas dos valores de seus parametros. A Secao 5.3 contem

um resumo do capıtulo.

5.2 ALGORITMOS LMS DE PASSO VARIAVEL

O algoritmo LMS apresenta, em geral, uma baixa velocidade de convergencia quando

comparado a outros algoritmos de filtragem adaptativa, como, por exemplo, o algoritmo

Recursive Least Squares (RLS). Uma solucao para aumentar a velocidade de convergencia

do LMS e utilizar o passo variavel. Nessa abordagem, no inıcio do processo de estimacao

dos parametros adota-se um passo elevado cujo valor deve ser progressivamente reduzido

a medida que vai se atingindo a condicao de regime permanente. Uma questao importante

e como estabelecer a evolucao do valor do passo ao longo do tempo.

Diversos trabalhos apresentados na literatura abordam o tema de desenvolvimento de

algoritmos LMS de passo variavel. Nesta secao sao apresentados alguns algoritmos LMS

com passo variavel (HARRIS, 1986; GU, Chengdu China, 2002; KERATIOTIS, 1999;

KWONG, 1992) existentes na literatura tanto para canais variantes quanto invariantes

no tempo.

49

5.2.1 ALGORITMO LMS DE PASSO VARIAVEL DESCRITO EM (HARRIS, 1986)

Na referencia (HARRIS, 1986), um algoritmo de passo variavel e proposto, tanto

para canais variantes quanto invariantes no tempo. Este algoritmo sera aqui doravante

denominado de algoritmo de Harris.

O algoritmo Harris propoe usar o sinal da estimativa do gradiente do erro como re-

ferencia para aumentar ou reduzir o valor do passo de adaptacao. De fato, este algoritmo

utiliza um vetor de passos de adaptacao, sendo cada valor de passo atualizado com base

numa das componentes da estimativa do gradiente do erro, seguindo a regra apresentada

a seguir:

• Se a componente i da estimativa do gradiente do erro −2ε(j)s(j) trocar o sinal

m0 vezes consecutivas, entao µi(k) = µi(k−1)β

, onde β > 1. A troca de sinal nesta

componente e tomada como indicacao de que a solucao esta oscilando em torno da

solucao de Wiener, e o valor do passo e reduzido para conduzir a um menor nıvel

de erro medio quadratico em regime permanente.

• Por outro lado, se o sinal da componente i da estimativa do gradiente do erro per-

manecer o mesmo em m1 iteracoes consecutivas, o passo de adaptacao e aumentado

para conduzir a um aumento na velocidade de convergencia do algoritmo, sendo

definido por µi(k) = βµi(k−1). Essa situacao indica que a solucao ainda esta longe

da solucao otima, daı pode-se aumentar o valor do passo.

Vale mencionar que o valor do passo fica restrito a um intervalo pre-fixado [µmin, µmax]

e os extremos deste intervalo sao estabelecidos de modo a garantir a convergencia e a esta-

bilidade do algoritmo, adotando-se o valor µmax no instante inicial. No entanto, nenhum

procedimento de obtencao dos parametros, µmin e µmax, e apresentado em (HARRIS,

1986).

A TAB. 5.1 mostra as equacoes referentes a este algoritmo LMS de passo variavel.

Nela observa-se que o algoritmo dispoe de tres variaveis (m0,m1 e β) a serem definidas na

inicializacao. Os autores tambem nao estabelecem nenhum criterio para escolha dos seus

valores. Assim, sera avaliado via simulacao computacional se o desempenho do algoritmo

em termo da curva de MSWE e sensıvel a escolha destes parametros.

A FIG. 5.1 e a FIG. 5.3 apresentam os resultados da simulacao para uma condicao de

RSR = 10 e 30 dB, respectivamente. Nessas simulacoes, adotou-se a modulacao QAM-16

empregando um canal normalizado em potencia com 3 coeficientes e atrasos multiplos de T

50

TAB. 5.1: Algoritmo LMS de passo variavel descrito em (HARRIS, 1986)

Algoritmo LMS de passo variavelInicializar:

s(1) = w(1) = 0Definir os parametros do algoritmo:

(m0,m1, β, µmin e µmax)for n = 1, 2, . . .{

ε(n) = d(n) − wH(n)s(n)w(n + 1) = w(n) + µ(n)ε∗(n)s(n)onde µ(n) = [µ1(n) µ2(n) . . . ]T

Se o sinal da componente i do vetor −2ε(j)s(j) trocarm0 vezes consecutivasµi(k) = µi(k − 1)/βSe o sinal da componente i do vetor −2ε(j)s(j) permanecero mesmo em m1 instantes de tempoµi(k) = βµi(k − 1)onde β > 1

}

segundos. Para o espalhamento Doppler foi utilizado o valor fDT = 10−3. Esses resultados

foram obtidos a partir de 500 realizacoes independentes, sendo em cada realizacao foram

transmitidos 220 sımbolos.

O valor do passo maximo utilizado pelo algoritmo e dado por µmax = 2/3tr[Rs] onde

Rs corresponde a matriz de autocorrelacao do sinal de entrada e tr[ ] denota o operador

traco da matriz. Esse valor garante a convergencia do algoritmo (FEUER, 1985).

Para µmin utilizou-se o valor do passo fixo do algoritmo LMS que conduz ao menor

MSWE em regime permanente, obtido em (J. F. GALDINO, 2004). Este valor do passo

otimo desconhecido em (HARRIS, 1986) e utilizado nas simulacoes, para garantir um

melhor ajuste e desempenho do algoritmo. No final desta secao, e apresentada uma

avaliacao da influencia da escolha do parametro µmin no desempenho do algoritmo em

termos das curvas de MSWE produzidas.

Utilizando uma busca exaustiva via simulacao computacional a fim de encontrar os

parametros que mantem um bom compromisso entre a velocidade de convergencia e o nıvel

de MSWE em regime permanente, foram encontrados os parametros m0 = 2, m1 = 3 e

β = 2 para fDT = 10−3 e RSR = 10 dB, e os parametros m0 = 3, m1 = 2 e β = 2 para

51

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10−1

100

Iteração

MS

WE

m0=2 m

1=2

m0=3 m

1=2

m0=2 m

1=3

m0=3 m

1=3

m0=4 m

1=4

RSR = 10 dB

FIG. 5.1: Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo Harris com RSR= 10 dB e variando os parametros m0 e m1.

fDT = 10−3 e RSR = 30 dB.

A FIG. 5.1 ilustra as curvas de MSWE para diferentes valores de parametros. Nela

pode-se ver que para uma pequena variacao dos parametros m0 ou m1 o desempenho do

algoritmo Harris se modifica significativamente, particulamente na condicao de regime

permanente. O algoritmo apresentou o melhor desempenho em termo de nıvel de MSWE

em regime permanente com os parametros m0 = 3 e m1 = 2, porem uma pequena alteracao

de m0 ou m1 aumenta significativamente o nıvel de MSWE em regime permanente.

A evolucao do vetor de passo do algoritmo produzida em uma realizacao, com os

parametros m0 = 3 e m1 = 2 esta apresentada na FIG. 5.2. Nela observa-se que ha tres

curvas de passo, ou seja, uma para cada componente do vetor de estimativa do gradiente

do erro. A curva de evolucao ilustrada e utilizada em uma realizacao computacional

independente transmitindo 220 sımbolos. Essas curvas de evolucao do passo variam de

uma realizacao para outra, devido a sua ligacao com a estimativa do gradiente do erro.

As tres curvas ilustradas na FIG. 5.2 apresentam caracterısticas parecidas, convergindo

52

50 100 150 200

10−2

Iteração

µ 1

m0 = 3 m

1 = 2

50 100 150 200

10−2

Iteração

µ 2

m0 = 3 m

1 = 2

50 100 150 200

10−2

Iteração

µ 3

m0 = 3 m

1 = 2

FIG. 5.2: Curva da evolucao do passo produzida em uma realizacao doalgoritmo Harris com os parametros m0 = 3 e m1 = 2 para RSR = 10dB e fDT = 10−3.

para valores proximos, com velocidades de convergencia semelhantes. Dessa maneira,

parece ser possıvel a utilizacao de um unico passo por iteracao, sem comprometer o

desempenho do algoritmo.

A FIG. 5.3 ilustra as curvas de MSWE do algoritmo Harris para o mesmo valor de

fDT e RSR = 30 dB. Como pode ser visto, o desempenho do algoritmo utilizando m0 = 2

e m1 = 3 foi o melhor, tanto em velocidade de convergencia quanto em termos do nıvel de

MSWE em regime permamente, sendo que qualquer modificacao em um desses parametros

compremete o desempenho do algoritmo.

A FIG. 5.3 tambem mostra que se os valores dos parametros obtidos com RSR = 10

dB(m0 = 3 e m1 = 2) fossem utilizados, o algoritmo nao teria um bom desempenho em

termos de velocidade de convergencia e MSWE em regime permanente. Estes resultados

indicam que uma busca de parametros deve ser realizada para cada condicao do sistema

de comunicacao a fim de nao comprometer o desempenho do algoritmo.

53

20 40 60 80 100 120 140 160 180 20010

−3

10−2

10−1

100

Iteração

MS

WE

m0=2 m

1=2

m0=3 m

1=2

m0=2 m

1=3

m0=3 m

1=3

m0=4 m

1=4

FIG. 5.3: Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo Harris variandoos parametros m0 e m1 considerando RSR = 30 dB.

A curva da evolucao do passo do algoritmo em uma realizacao especıfica com os

parametros que produziram o melhor desempenho para RSR = 30 dB esta ilustrada

na FIG. 5.4. Como pode ser visto, os valores das componentes do vetor do passo pouco

variam.

A FIG. 5.5 apresenta curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo de Harris con-

siderando os parametros m0 e m1 ajustados para RSR = 10 dB e fDT = 10−3, com

diferentes valores µmin.

Pode-se observar na FIG. 5.5 que a curva de MSWE utilizando µmin = µopt apresenta

um menor nıvel de MSWE em regime permanente, sem comprometer a velocidade de

convergencia do algoritmo. Para valores de passo mınimo diferentes, o algoritmo de

Harris produziu um maior nıvel de MSWE em regime permanente, o que indica ter o seu

desempenho sensıvel a escolha deste parametro.

54

50 100 150 200

10−1.72

10−1.7

10−1.68

10−1.66

Iteração

µ 1

m0 = 2 m

1 = 3

50 100 150 20010

−1.74

10−1.71

10−1.68

Iteração

µ 2

m0 = 2 m

1 = 3

50 100 150 20010

−1.75

10−1.72

10−1.69

10−1.66

Iteração

µ 3

m0 = 2 m

1 = 3

FIG. 5.4: Curva da evolucao do passo produzida em uma realizacao doalgoritmo Harris com os parametros m0 = 2 e m1 = 3 para RSR = 30dB e fDT = 10−3.

5.2.2 ALGORITMO LMS DE PASSO VARIAVEL DESCRITO EM (GU, CHENGDU

CHINA, 2002)

Na referencia (GU, Chengdu China, 2002) e proposto um algoritmo LMS de passo

variavel que os autores denominam de LMS de passo variavel otimo para canal invariante

no tempo, chamado de OVS-LMS sigla do ingles Optimum Variable step-size LMS. Aqui

este algoritmo sera denominado de algoritmo de Gu.

A evolucao do passo do algoritmo e obtido minimizando a expressao analitica do erro

medio quadratico do algoritmo LMS de passo fixo para canais invariantes no tempo. A

equacao de atualizacao do passo deduzida e dada por

µo(n + 1) =µo(n) − µo(n)2σ2

s

1 − µ2o(n)σ4

s(L + 2)(5.1)

55

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10−1

100

Iteração

MS

WE

Algoritmo de Harris, µopt

=0.0308Algoritmo de Harris, µ

min=0.01

Algoritmo de Harris, µmin

=0.05

RSR = 10 dB

FIG. 5.5: Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo de Harris comos parametros m0 e m1 ajustados para RSR = 10 dB e fDT = 10−3.

Percebe-se que a Equacao 5.1 e bem parecida com a encontrada pelo novo algoritmo

LMS de passo variavel para canal invariante no tempo, a EQ. 3.9, embora o procedimento

adotado nos dois casos seja bem diferente.

Os autores propoem uma adaptacao para contemplar aplicacoes que envolvem parametros

variantes no tempo. A ideia chave do algoritmo e utilizar a EQ. 5.1 dentro de um bloco

de comprimento M, o valor de M e definido para que seja admitido que dentro deste bloco

o canal seja considerado invariante no tempo. Caso o erro medio quadratico no final do

bloco tenha aumentado, indicando que o algoritmo nao esta conseguindo rastrear o canal,

o passo inicial do bloco seguinte e aumentado.

O algoritmo utiliza um passo relativo µr(n) definido por

µr(n) = µo(n)σ2s(L + 2) (5.2)

Caso haja necessidade de aumentar o passo no inıcio do proximo bloco, a equacao de

56

atualizacao do passo relativo e dado por

µr(n + 1) = 1 − 1 − µr(n)

r(n)(5.3)

onde r(n) = D(n+1)+p

D(n)+pe o parametro introduzido para refletir a mudanca do sistema e

p = σ2v/σ

2x e definido como o inverso da relacao sinal ruıdo.

Nesse algoritmo, os sımbolos transmitidos sao dividados em blocos com comprimento

M, e a media da estimativa do erro quadratico ǫ2(n) em cada bloco e usado para estimar

o erro medio quadratico, com base na razao entre estimativas do erro medio quadratico

entre blocos adjacentes, denotado por r(n). Dentro de cada bloco, utiliza-se a EQ. 5.1

para atualizar o passo otimo. Entre blocos consecutivos, a equacao de atualizacao depende

do valor de r(n). Se r(n) > τ sendo τ > 1, a Equacao 5.3 e usada para atualizar o passo

relativo e o passo otimo inicial e obtido pela Equacao 5.2; caso contrario usa-se a EQ. 5.1.

O parametro r(n) e utilizado como referencia para aumentar ou reduzir o passo entre

blocos consecutivos. Quando r(n) for inferior a τ , isso e visto como uma indicacao de

que o algoritmo continua reduzindo o nıvel de MSWE. Dessa maneira, pode-se continuar

reduzindo o valor do passo a fim de diminuir mais o nıvel de MSWE. Assim sendo, continua

utilizando-se a EQ. 5.1 para atualizar o passo.

Se no final do bloco r(n) for superior a τ , o que indica que o valor de MSWE esta

aumentando, o valor do passo sera aumentado no inıcio do proximo bloco, utilizando a

EQ. 5.3.

A TAB. 5.2 descreve o algoritmo LMS de passo variavel apresentado nesta secao.

Esse algoritmo possui dois parametros (M e τ) que precisam ser definidas antes de sua

inicializacao.

As figuras FIG. 5.6 e FIG. 5.8 apresentam as curvas de MSWE obtidas variando-se

estes parametros a fim de analisar a sensibilidade do seu desempenho.

Nessas simulacoes adotou-se a modulacao QAM-16 e um canal normalizado com 3

coeficientes com atrasos de T segundos entre coeficientes adjacentes, considerando dois

valores de RSR, 10 e 30 dB, com fDT = 10−3. Os resultados foram obtidos a partir de

500 realizacoes independentes do canal, sendo que cada realizacao foram transmitidos 220

sımbolos.

A FIG. 5.6 ilustra as curvas de MSWE para condicao de RSR = 10 dB. As curvas de

MSWE sao bem parecidas, e os valores dos parametros M e τ que produziram um melhor

compromisso entre velocidade de convergencia e MSWE em regime permanente foram 10

57

TAB. 5.2: Algoritmo LMS de passo variavel descrito em (GU, Chengdu China, 2002)


s(1) = w(1) = 0µ

′

o(n) = 0.99Definir os parametros do algoritmo:

M, τ, Seold = Seincr = 10−5

for n = 1, 2, . . .{

ε(n) = d(n) − wH(n)s(n)w(n + 1) = w(n) + µo(n)ε∗(n)s(n)Seincr = Seincr + |ε(n)|2Se mod(n,M) = 0 entaor(n) = Seincr/Seold, Seold = Seincr e Seincr = 0Se mod(n,M) = 0 e r(n) > τ use

µ′

o(n + 1) = 1 − 1−µ′

o(n)r(n)

senao µ′

o(n + 1) = µ′

o(n) L+2−µ′

o(n)

L+2−µ′2o (n)

E µo(n + 1) = µ′

o(n+1)(L+2)σ2

s

}

e 1.1, respectivamente.

A curva da evolucao do passo do algoritmo para uma realizacao especıfica com M = 10

e τ = 1.1 esta apresentada na FIG. 5.7. Pode-se ver que inicialmente o passo e reduzido

indicando que o canal esta sendo tratado como invariante. Apenas quando r(n) > τ o

valor do passo no inıcio do bloco e aumentado, para que o algoritmo seja capaz rastrear

o canal. Em seguida o canal e tratado novamente como invariante.

A FIG. 5.8 ilustra as curvas de MSWE para diferentes valores de parametros, para

a condicao de RSR = 30 dB e de fDT = 10−3. Neste caso pode-se observar que o

desempenho do algoritmo e mais sensıvel a variacao do parametro M , sendo que para

M = 3 e τ = 1.05 o algoritmo diverge. Isso mostra que, dependendo da escolha dos

parametros, pode haver perda de acompanhamento do canal. A curva da evolucao do

passo, para uma realizacao particular, utilizando os parametros M = 2 e τ = 1.01 e

ilustrada na FIG. 5.9.

Pode-se concluir nessa analise que a escolha criteriosa do parametro influi significa-

tivamente no desempenho do algoritmo. Dessa maneira, deve-se buscar exaustivamente,

58

20 40 60 80 100 120 140 160 180 20010

−2

10−1

100

Iteração

MS

WE

M=10; τ = 1.1M=5; τ = 1.1M=15; τ = 1.1M=10; τ = 1.2

FIG. 5.6: Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo de Gu variandoos parametros M e τ considerando RSR = 10 dB.

via simulacao computacional, os parametros que conduzem ao melhor desempenho, antes

da execucao do algoritmo.

5.2.3 ALGORITMO LMS DE PASSO VARIAVEL DESCRITO EM (KERATIOTIS,

1999)

Na referencia (KERATIOTIS, 1999) e proposto um algoritmo LMS de passo variavel

para canal invariante no tempo, sendo aqui denominado de algoritmo de Keratiotis.

A evolucao do passo desse algoritmo e obtida com base na minimizacao do erro medio

quadratico do algoritmo LMS com passo fixo dentro de um bloco de comprimento M .

Busca-se assim o passo fixo que minimiza o erro medio quadratico no final de cada bloco.

Assim, um passo fixo e usado em cada bloco, com valor diferente.

Assumindo que o sinal de entrada e um processo branco com variancia σ2s , o erro medio

59

20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x 10−3

Iteração

Pas

so V

ariá

vel

Algoritmo LMS de passo variável , M=10 τ = 1.1

FIG. 5.7: Curva da evolucao do passo produzida em uma realizacao doalgoritmo de Gu com os parametros melhores M e τ considerando RSR= 10 dB e fDT = 10−3.

quadratico do algoritmo LMS de passo fixo, J(n) , E{||ε(n)||2}, e dado por

J(n) = Jopt + Lσ2sβ(n), (5.4)

onde Jopt corresponde ao erro medo quadratico produzido pelo filtro de Wiener em regime

permanente, e β(n) e dado por

β(n + 1) = [1 − 2µσ2s + µ2σ4

s(L + 2)]β(n) + µ2σ2sJopt. (5.5)

A funcao J(n) e minimizada quando β(n) e minimizada. A EQ. 5.5 pode ser reescrita

da seguinte maneira:

β(n) = ϕnβ(0) + µ2σ2sJopt(1 − ϕn)/(1 − ϕ), (5.6)

60

20 40 60 80 100 120 140 160 180 20010

−3

10−2

10−1

100

Iteração

MS

WE

M=2; τ = 1 M=2; τ = 1.01 M=2; τ = 1.05 M=3; τ = 1.05

FIG. 5.8: Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo de Gu variandoos parametros M e τ considerando RSR = 30 dB.

onde ϕ 6= 1 e definido como

ϕ = 1 − 2µσ2s + µ2σ4

s(L + 2) (5.7)

A TAB. 5.3 descreve o algoritmo apresentado nesta secao. Nela observa-se que as

variaveis Jinit e M devem ser definidas antes da execucao do algoritmo. Para obter Jinit

sao necessarios os valores de σ2s , σ2

w e σ2v . Como foi feito para os outros algoritmos,

sera avaliado o seu desempenho para diferentes escolhas dos parametros empregados na

adaptacao.

As figuras FIG. 5.10 e FIG. 5.12 ilustram as curvas de MSWE do algoritmo para RSR

de 10 e de 30 dB, respectivamente. Nessas simulacoes, utilizou-se a modulacao QAM-

16 e um canal normalizado com 3 coeficientes invariante no tempo. Os resultados foram

obtidos a partir de 500 realizacoes independentes, cada uma compreendendo a transmissao

de 1000 sımbolos.

A FIG. 5.10 mostra as curvas de MSWE com diferentes valores do parametro M , para

61

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

Iteração

Pas

so V

ariá

vel

Algoritmo LMS de passo variável, M=2 τ = 1.01

FIG. 5.9: Curva da evolucao do passo produzida em uma realizacao doalgoritmo de Gu com os parametros melhores M e τ considerando RSR= 30 dB e fDT = 10−3.

RSR = 10 dB. Como pode ser visto, apesar do melhor desempenho ter sido obtido para

M = 5, a variacao de M nao altera significativamente o desempenho do algoritmo, isso

para a faixa de valores de M testados. A curva de evolucao do passo para M = 5 e

ilustrada na FIG. 5.11.

Os resultados de MSWE obtidos com RSR = 30 dB e diferentes valores de M sao

apresentados na FIG. 5.12. Nela observa-se as curvas de MSWE sao bastante parecidas

na regiao de regime permanente. O algoritmo utilizando o parametro M = 5 apresentou

o mehor desempenho na regiao de transitorio. A curva da evolucao do passo para M = 5

e RSR= 30 dB esta ilustrada na FIG. 5.13.

De acordo com avaliacao realizada, esse algoritmo apresenta pouca sensibilidade a

escolha do seus parametros, porem a sua utilizacao limita-se apenas a canais invariantes

no tempo. Alem de ser necessario estimar parametros do modelo de comunicacao adotado,

tais como σ2v , σ2

w e L. Vale ressaltar que os resultados aqui apresentados foram obtidos

62

TAB. 5.3: Algoritmo LMS de passo variavel descrito em (KERATIOTIS, 1999)


s(1) = w(1) = 0Definir os parametros do algoritmo:

M, β(0) = (Jinit − Jopt)/(Lσs)2,

onde Jinit corresponde o erro medio quadratico inicial,dado por Jinit = σ2

sσ2w + σ2

v

for n = 1, 2, . . .{

ε(n) = d(n) − wH(n)s(n)w(n + 1) = w(n) + µoptε

∗(n)s(n)

Se mod(n,M) = 0 calcula µopt solucionando dβ(n)dµ

= 0

Daı, usa µopt para obter βopt(n) e β(0) = βopt(n)}

100 200 300 400 500 600 700 800

10−3

10−2

10−1

100

Iteração

MS

WE

M=1 M=5 M=10M=15M=30M=50

FIG. 5.10: Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo Keratiotis va-riando o parametro M considerando RSR = 10 dB.

63

100 200 300 400 500 600 700 800

10−4

10−3

10−2

Iteração

Pas

so v

ariá

vel

M = 5

RSR = 10 dB

FIG. 5.11: Curva da evolucao do passo produzida pelo algoritmo Ker-atiotis com RSR = 10 dB e o parametro M = 5.

considerando-se uma estimacao perfeita desses parametros.

5.2.4 ALGORITMO LMS DE PASSO VARIAVEL DESCRITO EM (KWONG, 1992)

Um outro algoritmo LMS de passo variavel que apresenta emprego tanto para canal

variante quanto para invariante no tempo foi proposto em (KWONG, 1992) e foi denomi-

nado pelos autores de algoritmo VSS-LMS, do ingles Variable Step-Size LMS. Aqui este

algoritmo sera chamado de algoritmo de Kwong.

Neste algoritmo, a regra de atualizacao do passo e controlada pela predicao do erro,

ou seja, o passo de adaptacao aumenta ou diminui quando o erro cresce ou se reduz, re-

spectivamente, permitindo que o filtro adaptativo rastreie as variacoes do canal e tambem

produza um baixo MSWE em regime permanente. O valor do passo no instante (n + 1),

representado por µn+1, e obtido a partir do valor do passo no instante n da seguinte forma:

µn+1 = αµn + γε2n (5.8)

64

100 200 300 400 500 600 700 800

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Iteração

MS

WE

M=1 M=5 M=10M=15M=30M=50

FIG. 5.12: Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo de Keratiotiscom RSR = 30 dB e variando o parametro M .

com 0 < α < 1, γ > 0. Se µn+1 > µmax entao µn+1 = µmax ou se µn+1 < µmin entao

µn+1 = µmin.

O passo inicial µ0 e geralmente estabelecido no valor de µmax. Uma condicao suficiente

para garantir a convergencia do algoritmo (FEUER, 1985) e µmax ≤ 2/3tr[Rs].

O valor µmin e arbitrario e o autor nao fornece um mecanismo para escolhe-lo. As-

sim, para uma investigacao inicial, sera considerado que esse valor e dado pelo passo

que conduz ao menor MSWE em regime permanente, obtido de acordo com a referencia

(J. F. GALDINO, 2004).

No final desta secao, e avaliado, via simulacao computacional, o desempenho do algo-

ritmo de Kwong sob a condicao de variacao do valor do passo mınimo.

A TAB. 5.4 descreve a regra de operacao deste algoritmo. Nela observa-se que o

algoritmo utiliza dois parametros (α e γ) a serem ajustados.

Assim sendo, procura-se avaliar a sensibilidade do desempenho deste algoritmo a es-

colha de seus parametros, atraves de simulacoes computacionais, estimando-se o MSWE

65

100 200 300 400 500 600 700 80010

−4

10−3

10−2

Iteração

Pas

so v

ariá

vel

M = 5

RSR = 30 dB

FIG. 5.13: Curva da evolucao do passo produzida pelo algoritmo deKeratiotis com RSR = 30 dB e o parametro M = 5.

com base em 500 realizacoes independentes do canal, utilizando blocos de 220 sımbolos.

Nessas simulacoes utilizou a modulacao QAM-16 e fDT = 10−3. O valor do passo

maximo do algoritmo foi fixado em µmax = 2/3tr[Rs] e µmin foi estabelecido com base em


A FIG. 5.14 ilustra as curvas de MSWE do algoritmo obtidas com RSR = 10 dB

para diferentes valores de γ, mantendo-se α = 0.97. O valor de α foi fixado com base

numa investigacao previa. Na figura observa-se que o melhor desempenho do algoritmo

foi obtido com γ = 10−4, e que o uso de um valor um pouco diferente deste ja degrada

sensıvelmente o desempenho do algoritmo.

A FIG. 5.15 ilustra a curva da evolucao do passo obtidas com os parametros α = 0.97

e γ = 10−4, nas mesmas condicoes de simulacao da FIG. 5.14, para uma realizacao

particular. Como pode ser visto nesta figura, a evolucao do passo apresenta convergencia

bastante lenta.

A FIG. 5.16 ilustra as curvas de MSWE do algoritmo obtidas com RSR = 30 dB

66

TAB. 5.4: Algoritmo LMS de passo variavel descrito em (KWONG, 1992)


s(1) = w(1) = 0µ1 = µmax

Definir os parametros do algoritmo:0 < α < 1, γ > 0for n = 1, 2, . . .

{ε(n) = d(n) − wH(n)s(n)w(n + 1) = w(n) + µnε

∗(n)s(n)µn+1 = αµn + γ|ε(n)|2Se µn+1 < µmin entao µn+1 = µmin

Se µn+1 > µmax entao µn+1 = µmax

}

variando-se o parametro γ e mantendo α = 0.97. Como pode ser visto na FIG. 5.16,

o melhor desempenho do algoritmo foi obtido com γ = 10−2, nesta condicao de RSR o

desempenho do algoritmo e menos sensıvel a variacao do parametro γ.

A curva da evolucao do passo obtida numa realizacao particular com fDT = 10−3

e RSR = 30 dB utilizando-se os parametros α = 0.97 e γ = 10−2 e apresentada na

FIG. 5.17. Como pode ser visto, a evolucao do passo varia rapidamente no inıcio e se

mantem constante a partir de M = 20.

A seguir, sera apresentada uma avaliacao da sensibilidade do desempenho do algoritmo

com a escolha do µmin.

A FIG. 5.18 mostra as curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo de Kwong com os

parametros α e γ ajustados para RSR = 10 dB e fDT = 10−3 variando-se o valor de µmin.

A curva de MSWE produzida pelo algoritmo utilizando µmin = µopt = 0.0308 obteve

o menor nıvel de MSWE em regime permanente, sendo µopt obtido de (J. F. GALDINO,

2004), ja para µmin = 0.01, um valor de passo mınimo inferior ao µopt, o algoritmo de

Kwong apresentou um pessimo desempenho de MSWE. A curva de MSWE obtida com

µmin = 0.05, (µmin > µopt), mostra um nıvel de MSWE em regime permanente superior

ao obtido com µmin = µopt, porem neste caso o desempenho nao se degrada tanto quanto

no caso com µmin = 0.01.

Esses resultados mostram que a escolha do valor de µmin e de grande importancia

67

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10−1

100

Iteraçao

MS

WE

γ = 5.10−3

γ = 5.10−4

γ = 10−4

γ = 5.10−5

FIG. 5.14: Curvas de MSWE do algoritmo Kwong obtidas com RSR =10 dB para diferentes valores de γ.

para o desempenho do algoritmo, pois uma pequena mudanca do µmin em torno de µopt

pode degradar bastante o seu desempenho. Nas simulacoes realizadas para comparacao

de desempenho dos algoritmos LMS de passo variavel, que serao reportadas no proximo

capıtulo, o valor de µmin foi fixado em µopt, de forma a se obter o melhor desempenho

deste algoritmo.

5.3 RESUMO

Neste capıtulo, foram apresentados alguns algoritmos LMS de passo variavel disponıveis

na literatura e feita uma avaliacao da sensibilidade dos seus desempenhos a escolha dos

parametros por eles empregados. Foi constatado que, para garantir um bom desempenho,

deve-se buscar os melhores valores destes parametros, via simulacao computacional.

68

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10−2

Iteração

Pas

so V

ariá

vel

Algoritmo de passo variável, γ = 10−4

FIG. 5.15: Curva da evolucao do passo produzida com RSR = 10 dBe fDT = 10−3 em uma realizacao particular do algoritmo Kwong, comα = 0.97 e γ = 10−4.

69

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10−3

10−2

10−1

100

Iteração

MS

WE

γ = 10−1 γ = 5.10−2

γ = 10−2

γ = 5.10−3

FIG. 5.16: Curvas de MSWE produzidas com RSR = 30 dB e fDT =10−3 pelo algoritmo Kwong variando o parametro γ.

70

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10−2

Iteração

Pas

so V

ariá

vel

Algoritmo de passo variável, γ = 10−2

FIG. 5.17: Curva da evolucao do passo do algoritmo Kwong obtidacom RSR = 30 dB e fDT = 10−3 em uma realizacao particular com osparametros α = 0.97 e γ = 10−4.

71

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10−1

100

Iteração

MS

WE

Algoritmo de Kwong, µopt

=0.0308Algoritmo de Kwong, µ

min=0.01

Algoritmo de Kwong, µmin

=0.05

RSR = 10 dB

FIG. 5.18: Curvas de MSWE produzidas pelo algoritmo de Kwong comos parametros α e γ ajustados para RSR = 10 dB e fDT = 10−3.

72

6 COMPARACAO DE DESEMPENHO DOS ALGORITMOS DE PASSO

VARIAVEL APRESENTADOS

6.1 INTRODUCAO

Neste capıtulo, o desempenho do algoritmo de passo variavel proposto neste trabalho

(Capıtulo 3) e avaliado e comparado com o desempenho dos algoritmos apresentados no

Capıtulo 5. Alem disso, neste estudo comparativo, sao considerados tambem o algoritmo

LMS convencional e o algoritmo RLS. Esta avaliacao e realizada com base nas curvas

de MSWE fornecidas pelos algoritmos, comtemplando canais variantes e invariantes no

tempo.

As Secoes 6.2 e 6.3 mostram os resultados obtidos para canais variantes e invariantes

no tempo, respectivamente. A Secao 6.4 apresenta o resumo do capıtulo.

6.2 DESEMPENHO NA ESTIMACAO DE CANAIS VARIANTES NO TEMPO

Nessa secao, o desempenho do novo algoritmo e comparado com os de outros algoritmos

LMS de passo variavel (GU, Chengdu China, 2002; KWONG, 1992; HARRIS, 1986).

Nessa comparacao que e realizada para canais variantes no tempo, emprega-se tambem

os algoritmos LMS e RLS.

As simulacoes utilizou-se a modulacao QAM-16 e um canal normalizado com 3 coefi-

cientes com atrasos multiplos de T . Foram utilizados dois valores de fDT , 10−3 e 10−4, e

dois valores de RSR, 10 e 30 dB. Os resultados foram obtidos a partir de 1000 realizacoes

independentes.

Vale mencionar que o fator de esquecimento do algoritmo RLS (λRLS) e os parametros

dos algoritmos LMS de passo variavel apresentados no Capıtulo 5 foram ajustados em-

piricamente a fim de produzir um bom compromisso entre velocidade de convergencia e

MSWE em regime permanente. Em particular, considerou-se µmin = µopt.

Alem disso, devido a pouca sensibilidade do algoritmo proposto ao erro nas estimativas

de σ2v e fD, admitiu-se o conhecimento desses parametros na sua implementacao.

Foram utilizados dois valores de passo para o algoritmo LMS convencional, sendo

um deles o passo que conduz ao menor MSWE em regime permanente, obtido com a

73

referencia (J. F. GALDINO, 2004). Como a determinacao desse parametro nao leva em

conta o comportamento de transitorio, o valor do passo e pequeno. Assim sendo, optou-se

por avaliar tambem o algoritmo LMS convencional com um segundo valor de passo, maior

do que o que produz o menor MSWE em regime permanente.

50 100 150 200 250 300 350 400

10−2

10−1

100

Iteração

MS

WE

Algoritmo LMS de passo ótimo, 10dB Algoritmo LMS, 10dB Algoritmo RLS, 10dB Novo Algoritmo LMS de passo variável, 10dBAlgoritmo Kwong, 10dB Algoritmo Gu, 10dB Algoritmo de Harris, 10dB

fD

T=10−4

FIG. 6.1: Curvas MSWE produzidas pelos algoritmos investigados emum canal variante no tempo com fDT = 10−4 e RSR = 10 dB.

As curvas obtidas com fDT = 10−4 na condicao de RSR=10 dB sao mostradas na

FIG. 6.1. Como pode ser visto, o novo algoritmo apresenta melhor desempenho do que

os outros algoritmos LMS de passo variavel investigados, na medida que ele obtem o

menor nıvel de MSWE em qualquer instante de tempo. Ve-se tambem que a curva de

aprendizagem do algoritmo proposto e bem proxima a do algoritmo RLS.

Ainda pode ser visto na FIG. 6.1 que o algoritmo RLS, o proposto, o algoritmo de

Kwong e o LMS de passo otimo apresentaram nıveis de MSWE em regime permanente

praticamente iguais (3.10−3), enquanto os demais algoritmos obtiveram MSWE em regime

permanente proximos de 7, 9.10−3. O novo algoritmo LMS de passo variavel atingiu o

nıvel mınimo de MSWE em regime permanente com menos da metade do numero de

74

20 40 60 80 100 120 140

10−3

10−2

10−1

100

Iteração

MS

WE


fD

T=10−4


iteracoes utilizados pelo algoritmo LMS de passo fixo que minimiza o MSWE em regime

permanente.

Mesmo o LMS convencional com passo maior em nenhum momento apresentou um

valor de MSWE inferior aos produzidos pelos algoritmos LMS de passo variavel (A. M.

ARRAES FILHO, 2004; GU, Chengdu China, 2002; KWONG, 1992). Apenas o algoritmo

de Harris produziu valores de MSWE superiores ao do LMS convencional em certos ins-

tantes de tempo. Esse algoritmo de passo variavel apresentou o pior desempenho dentre

os investigados em termos de velocidade de convergencia.

A FIG. 6.2 ilustra as curvas obtidas com fDT = 10−4 e RSR = 30 dB. Nela pode-

se ver que o algoritmo proposto, dentre todos os algoritmos LMS, apresentou o melhor

desempenho em termos de velocidade de convergencia e nıvel de MSWE produzido em

regime permanente, aproximando-se bastante do desempenho do algoritmo RLS.

O algoritmo de Harris nao apresentou um bom desempenho, como pode ser visto na

FIG. 6.2. A curva de MSWE produzida pelo algoritmo LMS convencional mostra maior

75

velocidade de convergencia, atingindo um nıvel de MSWE em regime permanente um

pouco inferior.

Vale ressaltar que o algoritmo proposto novamente atingiu o nıvel mınimo de MSWE

em regime permanente com menos da metade das iteracoes utilizados pelo algoritmo LMS

convencional de passo otimo.

20 40 60 80 100 120 140

10−1

100

Iteração

MS

WE

Algoritmo LMS de passo ótimo, 10dBAlgoritmo LMS, 10dB Algoritmo RLS, 10dB Novo Algoritmo LMS de passo variável, 10dBAlgoritmo Kwong, 10dB Algoritmo Gu, 10dB Algoritmo de Harris, 10dB

fD

T=10−3


As FIG. 6.3 e FIG. 6.4 mostram os resultados da comparacao de desempenho dos

algoritmos para fDT = 10−3 considerando os valores de RSR iguais a 10 e 30 dB, respec-

tivamente.

Pode ser observado que para a RSR = 10 dB e um canal com variacao mais rapida

(fDT = 10−3), os algoritmos convergem mais rapidamente, porem atingindo um nıvel

mais alto de MSWE em regime permanente.

A FIG. 6.3 tambem mostra que o algoritmo RLS e o que apresenta o melhor desem-

penho, tendo o menor valor de MSWE em qualquer instante de tempo. Dentre os demais

algoritmos avaliados, o que apresenta melhor desempenho e o LMS de passo variavel aqui

76

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10−3

10−2

10−1

Iteração

MS

WE


fD

T=10−3


proposto. O algoritmo LMS de passo variavel (HARRIS, 1986) foi o que apresentou o

pior desempenho dentre os algoritmos de passo variavel, ele teve baixa velocidade de

convergencia e um alto nıvel de MSWE em regime permanente.

A FIG. 6.4 ilustra as curvas de MSWE produzidas pelos algoritmos avaliados para o

valor de RSR = 30 dB. Nela observa-se que o algoritmo RLS atinge o menor nıvel de

MSWE em regime permanente, com a maior velocidade de convergencia. O desempenho

do algoritmo LMS convencional com o passo mınimo e dos algoritmos LMS de passo

variavel, exceto o de Gu, sao bem parecidos. Entretanto, a curva de MSWE produzida

pelo novo algoritmo apresenta os menores valores durante o transitorio dentre todos os

algoritmos LMS de passo variavel.

Como pode ser visto na FIG. 6.4, o algoritmo LMS convencional de menor passo

produziu melhor desempenho em termos de velocidade de convergencia e de nıvel de

MSWE em regime permanente do que o dos algoritmos de Gu e LMS convencional com

passo maior, µ = 2µopt. Esses resultados sao justificados, pois para um maior valor de

77

fDT o passo otimo, no sentido de reduzir o MSWE na condicao de regime permanente,

e elevado. Assim sendo, apesar de os algoritmos de passo variavel iniciarem o processo

com um passo de adaptacao maior do que o de regime permanente, a diferenca entre esses

passos e pequena e em poucas iteracoes eles ficam iguais. Dessa maneira, o algoritmo

LMS utilizando o passo otimo apresenta um desempenho parecido com o do algoritmo

proposto.

6.3 DESEMPENHO NA ESTIMACAO DE CANAIS INVARIANTES NO TEMPO

Nesta secao, o desempenho do novo algoritmo LMS de passo variavel e comparado

com o dos algoritmos LMS convencional, RLS e outros algoritmos de passo variavel (GU,

Chengdu China, 2002; KERATIOTIS, 1999; KWONG, 1992); considerando canais in-

variantes no tempo. Os resultados obtidos pelo algorimo de Harris nao foram incluıdos

na comparacao, pois apresentaram um desempenho muito inferior. O fator de esqueci-

mento do algoritmo RLS (λRLS) e os parametros dos algoritmos de passo variavel foram

ajustados empiricamente, a fim de produzir bons desempenhos.

Nessas simulacoes utilizou-se a modulacao QAM-16 empregando um canal normalizado

com L coeficientes invariante no tempo e um filtro adaptativo FIR de mesma ordem

utilizando duas condicoes de RSR (10 e 30 dB).

Os resultados foram obtidos considerando 500 realizacoes independentes, sendo que

para L = 3 e L = 30, em cada realizacao foram transmitidos 900 e 2000 sımbolos, respec-

tivamente.

A FIG. 6.5 ilustra que para uma RSR de 10 dB e L = 3, o desempenho do novo

algoritmo foi significativamente melhor que do algoritmo LMS convencional, e proximo

do algoritmo RLS. Os outros algoritmos de passo variavel apresentaram um bom desem-

penho; entretanto, em qualquer instante de tempo, o MSWE do novo algoritmo foi sempre

inferior aos dos algoritmos LMS de passo variavel investigados. Isto ocorreu em todas as

simulacoes.

Para uma RSR de 30 dB e L = 3, a FIG. 6.5 mostra que o novo algoritmo de LMS

de passo variavel teve um desempenho superior ao do RLS, principalmente na regiao de

regime transitorio. Os algoritmos de passo variavel investigados tiveram um desempenho

parecido ao do proposto, exceto o algoritmo de Kwong, que apresentou um pior nıvel de

erro em regime permanente.

As curvas de MSWE obtidas para L = 30 e os dois valores de RSR considerados sao

78

100 200 300 400 500 600 700 800

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

Iteração

MS

WE

Algoritmo LMS, 10dB e 30dB Algoritmo Proposto, 10dB e 30dB Algoritmo de Gu, 10dB e 30dB Algoritmo de Keratiotis, 10dB e 30dB Algoritmo de Kwong, 10dB e 30dB Algoritmo RLS, 10dB e 30dB

10dB

30dB

FIG. 6.5: Curvas MSWE produzidas pelos algoritmos investigados emum canal invariante com L = 3.

ilustradas na FIG. 6.6. Pode ser observado que o algoritmo RLS apresentou a maior

velocidade de convergencia quando comparado com outros algoritmos. A FIG. 6.6 mostra

que para RSR de 10 dB o desempenho do novo algoritmo e bem melhor do que o dos

outros algoritmos de passo variavel. Para uma RSR de 30 dB, observa-se que as curvas

de MSWE do novo algoritmo e dos demais algoritmos LMS de passo variavel sao bem

parecidas, a nao ser pelo nıvel de MSWE em regime permanente do algoritmo (KWONG,

1992) que e semelhante ao do algoritmo LMS convencional. Porem, o algoritmo LMS

convencional necessita em torno do triplo do numero de iteracoes para convergir.

6.4 RESUMO

Neste capıtulo foi avaliado o desempenho dos algoritmos LMS de passo variavel em

termos das curvas de MSWE. Pode-se concluir que o novo algoritmo LMS de passo variavel

apresenta o melhor desempenho dentre os algoritmos de passo variavel considerados,

79

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Iteração

MS

WE

Algoritmo LMS, 10dB e 30dBAlgoritmo proposto, 10dB e 30dBAlgoritmo de Gu, 10dB e 30dBAlgoritmo de Keratiotis, 10dB e 30dBAlgoritmo de Kwong, 10dB e 30dBAlgoritmo RLS, 10dB and 30dB

10dB

30dB

FIG. 6.6: Curvas MSWE produzidas pelos algoritmos investigados emum canal invariante com L = 30.

caracterizando-se por altas velocidades de convergencia e baixos nıveis de MSWE em

regime permanente.

E importante destacar que, nessa comparacao de desempenho, empregou-se nos de-

mais algoritmos investigados a melhor colecao de valores de parametros, para lhe conferir

boas caracterısticas de desempenho, tornando assim mais justas as comparacoes e seus

resultados mais confiaveis.

Vale ressaltar que, alem de mostrar vantagens de desempenho, o novo algoritmo de

passo variavel pode ser aplicado tanto para canais variantes e invariantes, enquanto alguns

dos algoritmos considerados aqui nao apresentam essa caracterıstica.

Outro aspecto importante a ser ressaltado e que o desempenho dos demais algoritmos

investigados e bastante sensıvel a escolha de parametros, cujos valores devem ser obtidos

de forma empırica. Ja o algoritmo proposto depende de parametros de comunicacoes que

podem ser estimados em tempo real e apresenta pequena sensibilidade a estes parametros.

No proximo capıtulo avaliar-se-a o desempenho de um esquema de recepcao que em-

80

prega os algoritmos aqui investigados para estimar a RI do canal.

81

7 RECEPTORES MLSE/PSP BASEADOS NOS ALGORITMOS DE

FILTRAGEM INVESTIGADOS

7.1 INTRODUCAO

No capıtulo anterior foram apresentados resultados de desempenho, em termo das

curvas de MSWE, dos algoritmos LMS de passo variavel, alem dos algoritmos LMS con-

vencional e RLS. Neste capıtulo, uma avaliacao do desempenho de receptores MLSE, do

ingles Maximum-Likelihood Sequence Estimation, adaptativos que empregam estes algo-

ritmos e realizada. Esta avaliacao e feita em termos de taxa de erro de sımbolo e de

MSWE.

A organizacao do capıtulo e feita da seguinte maneira: a proxima secao discute o

criterio de decisao MLSE; a Secao 7.3 introduz os receptores MLSE/PSP; na Secao

7.4 sao apresentados e discutidos resultados de avaliacao de desempenho de receptores

MLSE/PSP empregando diversos algoritmos de filtragem aqui abordados; e, na Secao

7.5, e apresentado um resumo do capıtulo.

7.2 O CRITERIO MLSE

Receptores de sequencia de sımbolos processam uma amostra do sinal recebido corres-

pondente a transmissao de N sımbolos com o objetivo de escolher dentre as sequencias de

sımbolos possıveis aquela que otimiza uma funcao apropriada. Um criterio muito utilizado

estabelece como sequencia otima aquela que maximiza a probabilidade da sequencia ~sj =

[sj0, s

j1, · · · , sj

N−1]T ter sido transmitida dado o vetor de observacao ~r = [r0, r1, · · · , rN−1]

T ,

denotada por P (~sj/~r). Segundo este criterio, escolhe-se a sequencia ~si, se para qualquer

j ∈ [1, 2, · · · , Q] e j 6= i :

P (sj/r) < P (si/r), (7.1)

sendo Q quantidade de sequencias possıveis que e dada por Q = MNc , com Mc repre-

sentando a quantidade de pontos da constelacao adotada e N a quantidade de sımbolos

transmitidos.

82

Esta e a regra de decisao de maxima probabilidade a posteriori, que minimiza a pro-

babilidade de erro de sımbolo de um receptor de sequencia de sımbolos.

O criterio de maxima verossimilhanca (ML - do ingles maximum likelihood) consiste

na maximizacao de P (~r/~si) e equivale ao criterio MAP quando os sımbolos transmitidos

sao equiprovaveis.

Admitindo-se que o canal de comunicacao e os filtros de transmissao e recepcao sao

conhecidos e tem resposta ao impulso de duracao finita, a n-esima amostra da saıda do

filtro de recepcao pode ser representado em forma matricial por:

r(n) = wH(n)s(n) + v(n) (7.2)

onde w(n) e s(n) sao vetores com L elementos, sendo (L − 1) a memoria total do canal

(incluindo o efeito dos filtros de transmissao e recepcao).

Para canais invariantes w(n) = w, para ∀n. A probabilidade de receber uma deter-

minada sequencia ~r, dada a transmissao de ~si e o canal w e:

P (r/~si,w) = P (r0/~si,w)P (r1/r0, ~si,w) · · ·P (rN−1/r0, r1, r2, · · · , rN−1, ~si,w), (7.3)

Considerando-se que v(n) representa uma funcao amostra de um processo discreto

branco gaussiano, de media nula e variancia σ2v , a Equacao 7.3 torna-se

P (r/~si,w) =N−1∏

n=0

P (rn/si,w) =N−1∏

n=0

1√2πσv

exp

(

−|rn − wHsi(n)|22σ2

v

)

(7.4)

Portanto, a sequencia ~s0 escolhida de acordo com o criterio ML e aquela que maximiza

a expressao 7.4. Uma forma mais simples de implementar este criterio e dada na expressao

abaixo, onde sao omitidos os termos que independem do ındice i

~s0 = arg~simin|~r − wH ~si|2. (7.5)

A busca da sequencia otima determinada pela Equacao 7.5, apesar de ser trivial do

ponto de vista matematico, e extremamente complexa do ponto de vista computacional,

em funcao da grande quantidade de memoria e comparacoes exigidas. Esses requisitos

crescem exponencialmente com o comprimento da sequencia transmitida (N). O criterio

MLSE pode ser implementado, sem perda de otimalidade, pelo algoritmo de Viterbi (AV)

que realiza uma busca do menor percurso sobre uma estrutura de trelica com complexi-

dade NML−1, ou seja, linear com o comprimento da sequencia de sımbolo transmitida e

exponencial com a memoria do canal.

83

Apesar da grande simplificacao proporcionada pelo AV, a complexidade do receptor

de estimacao de sequencia ML (MLSE) e ainda um problema para implementacao pratica

de determinados esquemas de modulacao, em especial aqueles que proporcionam grande

eficiencia espectral. Muitos pesquisadores tem proposto tecnicas de recepcao sub-otima,

que tentam aproximar o desempenho do MLSE com complexidade menor que a do AV.

Vale salientar que a implementacao do procedimento descrito na Equacao 7.5 supoe

o conhecimento do canal, que na maioria das vezes e desconhecido e variante no tempo.

Nesse cenario, e fundamental utilizar um esquema MLSE adaptativo. O esquema conven-

cional de deteccao MLSE adaptativo utiliza sequencia de treinamento para obter estima-

tiva da RI do canal, antes de iniciar a recepcao dos dados.

7.3 RECEPTOR MLSE/PSP

Em certas aplicacoes de grande interesse na atualidade, como em comunicacoes moveis,

alem da limitacao de faixa determinada pelos filtros de transmissao e recepcao, os canais

sao aleatorios, dispersivos e variantes com o tempo, o que torna mais comprometedora a

existencia da interferencia entre sımbolos (IES)(PROAKIS, 1995) e dificulta sobremaneira

o seu controle. Nestes casos, o receptor deve empregar procedimentos para estimar o canal,

alem das ferramentas para controlar a IES.

A solucao mais usual para este problema usa o recurso de dividir a informacao a ser

transmitida em blocos. No inıcio de cada bloco e inserida uma sequencia de treinamento,

previamente conhecida pelo receptor, que utiliza algum algoritmo de filtragem adaptativa

para estimar o canal. Concluıda a fase de treinamento inicia-se a fase de deteccao dos

sımbolos transmitidos. A cada novo bloco todo o procedimento e repetido.

Na fase de deteccao, se o canal nao puder ser considerado invariante dentro do bloco,

o receptor deve adotar algum procedimento para tentar acompanha-lo. A tecnica mais

empregada para este acompanhamento utiliza os sımbolos detectados como entrada para

o algoritmo de filtragem adaptativa. Este esquema de acompanhamento da RI do canal

e aqui denominado adaptacao direcionada pela decisao (DD - decision-directed).

Apesar de muito simples, a DD possui dois inconvenientes que podem determinar um

baixo desempenho do receptor, particularmente para canais com desvanecimento rapido.

Em primeiro lugar, a utilizacao dos sımbolos detectados na entrada do algoritmo de fil-

tragem adaptativa torna o esquema de recepcao muito instavel. Uma deteccao errada

pode comprometer a atualizacao do canal, o que prejudica deteccoes futuras. Em se-

84

gundo lugar, os receptores precisam adotar um retardo na decisao, para melhor explorar

a correlacao entre as amostras do sinal recebido produzida pela IES e assim aumentar a

probabilidade de acerto nas deteccoes. No entanto este retardo pode prejudicar o acom-

panhamento de canais variantes no tempo, principalmente dos rapidamente variantes no

tempo.

Em suma, a reducao no retardo de decisao diminui a confiabilidade dos sımbolos

detectados, enquanto que o aumento no retardo dificulta o acompanhamento do canal.

O estabelecimento de um compromisso entre essas duas fontes de erro e importante para

determinar um retardo de decisao adequado. Para uma aplicacao especıfica, o valor otimo

do retardo depende de parametros do canal de comunicacao, como por exemplo a memoria

e o maximo desvio Doppler (fD), e de parametros do sistema de transmissao, tais como

a taxa de sımbolos (fs) e o tamanho do bloco (M).

Uma alternativa a DD, em particular para receptores que empregam o criterio MLSE,

e o princıpio do processamento por percurso sobrevivente (PSP, do ingles Per-Survivor

Processing ) (R. RAHELI, 1995; GALDINO, 1998). A abordagem do MLSE/PSP e uma

ferramenta generica que pode ser adotada em receptores de sequencias de sımbolos em

presenca de incertezas relacionadas com o canal de comunicacao.

A estrutura basica do receptor MLSE/PSP e mostrada no diagrama de blocos da

Figura 7.1. A sequencia In representa a informacao transmitida, v(t) representa a funcao

amostra de um processo gaussiano complexo com media nula, r(t) e o sinal em banda

basica na entrada do receptor, rn e a sequencia amostrada na taxa de sımbolo 1/T e,

finalmente, In representa a estimativa de In.

O receptor MLSE/PSP usa um conjunto de filtros adaptativos (FA) que obtem esti-

mativas de canal condicionadas as sequencias sobreviventes, as quais sao fornecidas pelo

algoritmo de busca.

No esquema de recepcao MLSE/PSP, utiliza-se varias sequencias de sımbolo e varios

estimadores de canal, estes estimadores obtem uma estimativa da RI do canal para cada

uma das sequencias de sımbolos. Em uma dada iteracao, cada uma das sequencias retidas

pelo algoritmo de busca do esquema de recepcao MLSE/PSP esta associada a um percurso

sobrevivente ou estado na trelica. Estas sequencias sao disponibilizadas sem retardo.

A abordagem MLSE/PSP permite suplantar as duas principais fontes de degradacao

de desempenho do modo de recepcao MLSE/DD, possibilitando recepcao mais confiavel.

Contudo, o MLSE/PSP tem complexidade computacional bem superior a do MLSE/DD,

85

o que praticamente inviabiliza sua aplicacao em esquemas de modulacao com constelacao

de muitos sımbolos.

Uma questao importante no contexto da recepcao MLSE/PSP diz respeito ao al-

goritmo de busca utilizado. Varios algoritmos de busca tem sido considerados, nesta

aplicacao, dentre os quais se destacam o algoritmo de Viterbi (FORNEY, 1973) e o algo-

ritmo M (ANDERSON, 1984).

Neste trabalho, usou-se o algoritmo de Viterbi para realizar a selecao das sequencias

sobreviventes e, no conjunto de filtro investigou-se o uso de algoritmos LMS de passo

variavel (A. M. ARRAES FILHO, 2004; GU, Chengdu China, 2002; KERATIOTIS, 1999;

KWONG, 1992), algoritmo RLS e o algoritmo LMS convencional. Nesta avaliacao nao foi

considerado o algoritmo LMS de passo variavel (HARRIS, 1986), pelo motivo de ter apre-

sentado um desempenho muito inferior aos demais algoritmos considerados no capıtulo

anterior.

MODULADOR

PSK

FILTRO

TRANSMISSOR

CANAL

WSS-US

ALGORITMO

DE BUSCA

CONJUNTO DE

FA

FILTRO

RECEPTOR

+}ˆ{ nI

}{n

I

Transmissor

Receptor

nr

T

)(tv

)(ty

)(tr

FIG. 7.1: Configuracao basica de um receptor MLSE/PSP.

86

7.4 DESEMPENHO DE RECEPTORES MLSE/PSP UTILIZANDO OS ALGORITMOS

DE FILTRAGEM ADAPTATIVA INVESTIGADOS

O cenario de comunicacao no qual e avaliado o desempenho do referido esquema

de recepcao emprega canais que possuem perfil de intensidade de multipercurso discreto

contendo tres raios espacados a intervalos de sımbolos, utilizando o espectro de Jakes para

modelar o espalhamento Doppler e a memoria do canal e igual a 2.

Nas simulacoes realizadas, sao transmitidos blocos de 150 sımbolos de uma constelacao

QPSK, sendo que os dez primeiros sımbolos sao utilizados como sequencia de treinamento.

Dessa maneira, o sistema proposto opera com uma vazao de informacao igual a 92.11%.

Considerou-se valores de RSR na faixa de 5 ate 20 dB e o numero de blocos transmiti-

dos simulados foi variado com a RSR adotada, a fim de conduzir taxas de erro confiaveis.

Duas formas de simulacao da variacao do canal foram abordadas. A primeira forma,

utiliza a variacao temporal do canal fixa com valor de fDT = 10−4, sendo que os parametros

utilizados pelos algoritmos foram ajustados para garantir o seu melhor desempenho. Na

segunda o produto fDT e modelado por uma variavel aleatoria uniforme no intervalo

[10−4, 10−3]. Neste caso, no inıcio de cada bloco, o valor de fD e sorteado e mantido

constante durante a transmissao de todo o bloco. Este modelo e bastante razoavel, pois

o deslocamento Doppler maximo fica determinado pela velocidade do receptor, que e

aleatoria e permanece praticamente inalterada no intervalo de tempo correspondente a

transmissao de um bloco de sımbolos. Vale mencionar que os parametros dos algoritmos

Gu, Kwong e RLS foram ajustados para fDT = 10−4, ja que e inviavel a obtencao desses

parametros para cada fD sorteado.

Para buscar um melhor desempenho do algoritmo LMS convencional utilizou dois

valores de passo, um para o perıodo de treinamento e outro para a recepcao dos dados. O

primeiro valor igual ao valor inicial do passo do algoritmo proposto (µopt(1)), e o segundo

e igual a µopt(11), passo utilizado pelo algoritmo proposto no inıcio da sequencia de dados.

A FIG. 7.2 apresenta a taxa de erro por sımbolo considerando fDT = 10−4 e mostra

que o algoritmo RLS apresentou a menor taxa de erro de sımbolos, seguido pelo algoritmo

proposto. Todos os algoritmos LMS de passo variavel investigados obtiveram desempenho

superior ao LMS convencional. Entre os algorimos de passo variavel, o algoritmo de Gu

obteve o pior desempenho.

Na FIG. 7.2 pode-se observar que para RSR = 5 dB todos os algoritmos apresen-

87

5 10 15 2010

−4

10−3

10−2

10−1

100

RSRdB

Per

ro

Algoritmo LMS convencionalAlgoritmo PropostoAlgoritmo RLSAlgoritmo KwongAlgoritmo Gu

FIG. 7.2: Taxa de erro por sımbolo utilizando um receptor MLSE/PSP.

tam altas taxas de erro por sımbolo. A FIG. 7.3 ilustra as curvas de MSWE produzidas

pelos algoritmos nessa condicao. Devido a grande ocorrencia de erros na deteccao, a

utilizacao dos sımbolos detectados no algoritmo LMS convencional comprometeu a atu-

alizacao do canal tornando o receptor instavel. O algoritmo LMS obteve a pior taxa de

erro de sımbolo, seguido pelo algoritmo de Gu quando utilizado no receptor MLSE/PSP.

Como pode ser visto na FIG. 7.3, o algoritmo RLS apresentou uma alta velocidade de

convergencia e atingiu o menor nıvel de MSWE em regime permanente, o que justifica a

menor taxa de erro com ele obtida. O algoritmo proposto apresentou o melhor desem-

penho em termos de MSWE dentre os algoritmos de passo variavel investigados.

A FIG. 7.4 ilustra as curvas de MSWE produzidas pelos algoritmos investigados para

RSR = 15 dB. Nela se observa que o algoritmo RLS novamente apresentou alta velocidade

de convergencia, atingindo um nıvel de MSWE em regime permanente igual a 1, 2.10−3.

A taxa de erro de sımbolo do RLS foi igual a 3, 74.10−3. O novo algoritmo LMS de passo

variavel atingiu um nıvel de MSWE em regime permanente igual a 1, 5.10−3 e uma taxa

88

20 40 60 80 100 120 140

10−1

Iteração

MS

WE

Algoritmo LMS convencionalAlgoritmo RLSNovo Algoritmo LMS de passo variávelAlgoritmo KwongAlgoritmo GuRSR = 5dB

FIG. 7.3: Curvas MSWE produzidas pelos algoritmos investigados emum canal variante no tempo com fDT = 10−4.

de erro igual a 5.1.10−3. Vale ressaltar que nenhum algoritmo de passo variavel obteve em

qualquer instante um nıvel de MSWE inferior ao produzido pelo algoritmo aqui proposto.

O novo algoritmo convergiu na 100o iteracao, enquanto o algoritmo de Kwong convergiu

apenas na 150o iteracao, a um nıvel de MSWE igual a 1, 66.10−3. O algoritmo de Gu,

na regiao de regime transitorio, obteve um desempenho melhor do que o do algoritmo de

Kwong, porem teve pior desempenho do que o de Kwong na regiao de regime permanente.

A FIG. 7.5 mostra as curvas de MSWE produzidas pelos algoritmos para RSR = 20

dB. O algoritmo proposto novamente apresentou o melhor desempenho em termos de

MSWE entre os algoritmos LMS de passo variavel, o que justifica a menor taxa de erro

obtida quando empregado no receptor. O algoritmo LMS convencional apresenta um alto

nıvel de MSWE em regime permanente. Isto decorre do fato de se utilizar um valor de

passo relativamente elevado na sequencia de dados. No entanto, caso fosse utilizado um

valor de passo muito baixo, µopt(150) por exemplo, a velocidade de convergencia ficaria

bastante comprometida.

89

20 40 60 80 100 120 140

10−2

10−1

Iteração

MS

WE

Algoritmo LMS convencionalAlgoritmo RLSNovo Algoritmo LMS de passo variávelAlgoritmo KwongAlgoritmo Gu

RSRdB = 15dB


A FIG. 7.6 apresenta a taxa de erro de sımbolo obtida modelando-se o produto fDT

como uma variavel aleatoria uniforme no intervalo [10−4, 10−3]. Nela pode-se ver que o

algoritmo RLS obteve a menor taxa de erro de sımbolos, seguido pelo algoritmo LMS de

passo variavel proposto, para todos os valores de RSR testados. Observa-se tambem que

a medida que se aumenta o valor da RSR os ganhos de desempenho produzidos por estes

algoritmos ficam mais evidentes, sendo que para RSR = 25 dB ambos apresentam valores

de taxa de erro bastante proximos.

A FIG. 7.7 ilustra as curvas de MSWE produzidas pelos algoritmos investigados com a

mesma modelagem do produto fDT , para RSR = 10 dB. Ve-se claramente que o algoritmo

RLS apresenta alta velocidade de convergencia atingindo um nıvel de MSWE em regime

permanente igual a 9, 3.10−3. A taxa de erro de sımbolo com o RLS foi igual a 0.035. O

novo algoritmo LMS de passo variavel atingiu um nıvel de MSWE em regime permanente

igual a 18, 2.10−3 e produziu uma taxa de erro igual a 0.0536. Este algoritmo obteve

ainda o melhor desempenho em termos de MSWE e de taxa de erro de sımbolo dentre os

90

20 40 60 80 100 120 140

10−3

10−2

10−1

Iteração

MS

WE


RSR = 20dB


algoritmos LMS de passo variavel avaliados.

A FIG. 7.8 mostra as curvas de MSWE obtidas nas mesmas condicoes anteriores, a

menos da RSR que foi fixada em 20 dB. Ve-se que o algoritmo proposto apresentou alta

velocidade de convergencia e atingiu um nıvel de MSWE em regime permanente igual a

2, 16.10−3, enquanto o algoritmo de LMS convencional alcancou um nıvel de 7, 66.10−3.

A taxa de erro com o algoritmo proposto foi igual a 3, 43.10−4, e a obtida com o LMS

convencional foi de 2, 13.10−3.

O algoritmo aqui proposto obteve uma velocidade de convergencia maior e um menor

nıvel de MSWE em regime permanente, quando comparado com os demais algoritmos

LMS de passo variavel, e produziu uma taxa de erro inferior.

91

5 10 15 20 25

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

RSRdB

Per

ro

Algoritmo LMS convencionalAlgoritmo PropostoAlgoritmo RLSAlgoritmo KwongAlgoritmo Gu

FIG. 7.6: Taxa de erro por sımbolo utilizando um receptor MLSE/PSP.

7.5 RESUMO

Neste capıtulo, foi feita uma avaliacao de desempenho de receptores MLSE/PSP

baseados no emprego dos diferentes algoritmos de estimacao de canal considerados neste

trabalho, a excecao do algoritmo de Harris que ja havia apresentado desempenho muito

inferior aos demais nas avaliacoes previas de MSWE com a sequencia de sımbolos conhe-

cida.

Foram apresentados diversos resultados de simulacao computacional com diversos al-

goritmos de baixa complexidade computacional, obtidos sob diferentes condicoes de re-

cepcao, caracterizadas pela razao sinal ruıdo e pelo produto fDT .

Verificou-se que o algoritmo LMS de passo variavel proposto neste trabalho apresentou

desempenho muito bom, sendo suplantado apenas pelo algoritmo RLS. Considerando-se

que o algoritmo proposto tem complexidade muito inferior a do RLS, pode-se dizer que

este novo algoritmo LMS se mostrou assim uma ferramenta potencialmente util para

92

20 40 60 80 100 120 140

10−2

10−1

100

Iteração

MS

WE


RSR = 10dB

FIG. 7.7: Curvas MSWE produzidas pelos algoritmos investigados emum canal variante no tempo.

estimacao de canal em receptores adaptativos.

93

20 40 60 80 100 120 140

10−3

10−2

10−1

Iteração

MS

WE


RSR = 20dB

FIG. 7.8: Curvas MSWE produzidas pelos algoritmos investigados emum canal variante no tempo.

94

8 CONCLUSOES E COMENTARIOS FINAIS

8.1 CONCLUSOES

Inicialmente foi apresentada uma breve introducao e revisao de conceitos basicos de

filtragem adaptativa focando principalmente o algoritmo LMS. Este algoritmo e ampla-

mente utilizado em sistemas de comunicacoes moveis como ferramenta para identificar e

acompanhar parametros relacionados com canais de comunicacoes devido principalmente

a sua baixa complexidade computacional e estabilidade de convergencia garantida.

A desvantagem do algoritmo LMS e o compromisso existente entre o nıvel de MSWE

em regime permanente e a velocidade de convergencia do algoritmo, pois para aumentar a

velocidade de convergencia deve-se aumentar o valor do passo de adaptacao o que contribui

para o aumento do nıvel de MSWE em regime permanente, ou seja, nao ha possibilidade

de melhorar um parametro de desempenho sem prejudicar o outro.

A solucao apresentada na dissertacao para solucionar este problema foi utilizar o al-

goritmo com passo de adaptacao variavel. Nessa abordagem, no inıcio do processo de

estimacao dos parametros adota-se um passo elevado cujo valor deve ser progressiva-

mente reduzido a medida que se vai atingindo ao regime permanente. Dessa forma, o

algoritmo apresentara uma alta velocidade de convergencia e baixo nıvel de MSWE em

regime permanente.

A partir deste ponto, o principal objetivo desta dissertacao foi estabelecer a evolucao

otima do valor do passo de adaptacao em termos da minimizacao do MSWE. Para tanto,

minimiza-se de forma recursiva a expressao analıtica do erro medio quadratico nos coefi-

cientes.

O algoritmo LMS de passo variavel assim obtido foi desenvolvido para canais vari-

antes no tempo do tipo WSS-US, e em seguida extendido para canais invariante. O

ponto chave para obtencao da evolucao otima do passo de adaptacao parte da referencia


A fim de validar a analise da evolucao do passo otimo fez-se uma comparacao entre

curvas de evolucao de passo e suas contrapartidas obtidas via simulacao computacional,

sendo observada uma excelente concordancia entre os resultados analıticos e os de sim-

95

ulacao.

Em seguida foi feita uma avaliacao da robustez do novo algoritmo em relacao a erros na

estimacao do desvio Doppler maximo (fD) e da relacao sinal ruıdo (RSR), via simulacao

computacional. Pode-se concluir que o novo algoritmo apresenta pouca sensibilidade a

tais erros de estimacao.

Tambem foram considerados nesta dissertacao alguns algoritmos LMS de passo variavel

disponıveis na literatura, os quais, em geral, tem varios parametros a serem especificados.

Foi realizada uma avaliacao da sensibilidade do desempenho destes algoritmos a escolha

dos valores de seus parametros, sendo constatado a necessidade de ajustar criteriosamente

estes parametros.

O desempenho dos algoritmos LMS de passo variavel, alem dos algoritmos LMS de

passo fixo e RLS foram comparados com base nas curvas de MSWE em funcao do numero

de iteracoes. Pode-se concluir que o algoritmo proposto neste trabalho apresenta o melhor

desempenho dentre os algoritmos LMS de passo variavel considerados, caracterizando-se

por apresentar uma alta velocidade de convergencia e um baixo nıvel de MSWE em regime

permanente.

Por ultimo, uma avaliacao do desempenho de receptores MLSE-PSP que empregam

esses algoritmos foi realizada, essa avaliacao foi feita em termos das curvas da taxa de

erro e curvas de MSWE obtidas via simulacao computacional. Os resultados mostraram

que o novo algoritmo LMS de passo variavel apresentou a menor probabilidade de erro de

sımbolo dentre os algoritmos LMS de passo variavel investigados, para todos os valores de

RSR testados, o que indica ser bastante vantajoso o seu emprego nesse tipo de receptor,

haja vista a reduzida complexidade computacional deste algoritmo.

8.2 TRABALHOS FUTUROS

Algumas sugestoes para continuacao deste trabalho sao delineadas a seguir:

• Otimizacao analıtica do passo variavel para estimacao de canais com desvaneci-

mento seletivo em frequencia e variante no tempo modelados como canais WSS-US

considerando o sinal de entrada correlacionado. Dessa maneira, a sua aplicacao sera

mais ampla;

• Otimizacao analıtica do passo variavel para estimacao de canais invariantes no

tempo considerando o sinal de entrada correlacionado.

96

• Analisar matematicamente a otimizacao do passo variavel para estimacao de canais

com desvanecimento seletivo em frequencia e variante no tempo modelados como

canais WSS-US considerando erro na sequencia de treinamento. Isso permitira a

obtencao de maior robustez em receptores adaptativos que utilizem os sımbolos

detectados para atualizacao das estimativas do canal.

8.3 COMENTARIOS FINAIS

Esta dissertacao apresentou um novo algoritmo LMS de passo variavel para estimacao

de canais invariantes e variantes no tempo, do tipo WSS-US. Comparacoes de desem-

penho com diversos algoritmos de filtragem adaptativa aplicados no mesmo contexto

foram realizadas e mostraram que este novo algoritmo pode ser utilizado como excelente

ferramenta para identificar e acompanhar parametros de canais de comunicacoes, devido

principalmente a sua baixa complexidade computacional, estabilidade e boa velocidade

de convergencia. Dessa forma, o trabalho em questao pode vir a ser uma referencia util

para os interessados neste tema.

97

9 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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