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• MISCELÂNEA:

• Lista de Exercícios #01: resolução até 1 fs atrás

TE-281Modelagem Numérica Aplicada à Nanofotônica

Aula 03 – 13 AGO 2018

• RESUMO:

• Guia Slab Simétrico: Abordagem por Óptica Eletromagnética• Equivalência entre Óptica Eletromagnética e Geométrica

• Visão Pictorial do Guiamento

• Velocidade de Fase (vp) versus Velocidade de Grupo (vg)

• Propriedades dos Modos: Caso Geral e Slab Simétrico

• Confinamento Óptico

• Leitura sugerida: • Fundamentals of Optoelectronics, C. R. Pollock, Capítulos 1 e 2

TE-281Modelagem Numérica Aplicada à Nanofotônica

Aula 03 – 13 AGO 2018

Equações de Maxwell Óptica Eletromagnética

J = E

Fonte: Wikipedia

Equação de Onda (Helmholtz)

-

t

t

DH

BE

B

D

J

0

0

0

00

0

0

0

2

22

2

22

2222

2

2

2

te,Similarmen

homogêneo eescalar

-

-

-

-

-

t

t

EEE

tt

zyx

HH

EE

E

zyxE

EEE

EHE

..,r

,,;

rk, cceeEtE

zyxit

EE

tjjii

ii

-

-

0

2

22 0

Onda plana em meio dielétrico(homogêneo e isotrópico)

Guia Slab Simétrico - Óptica Eletromagnética

Fonte: ELEMENTS OF PHOTONICS, Volume II, Iizuka, Capítulo 9, Wiley (2002)

-

-

zyxi

HE

cceextzx

ttjzj

ii

ii

,,

,

.,,

0

0,

2

22

Modo óptico em guia slab (homogêneo e isotrópico)

-

-

-

-

-

-

zxy

yz

x

xyz

zxy

yz

x

xyz

Enjy

H

x

H

Enjx

HHj

EnjHjy

H

t

Hjy

E

x

E

Hjx

EEj

HjEjy

E

t

20

20

20

0

0

0

DH

BE

0

yi

zxyzxy EEHHHE ,,,, :TM :TE ;

Dois conjuntos de soluções independentes

d/2

d/2

Condições de Contorno

Condições de contorno para interfaces dielétricas

Condição para modo guiado (energia finita): lim E,H = 0x ±

21

21

2211

2211

0

0

tt

tt

nn

nn

HHt

EEt

HH

EE

-

DH

BE

B

D

Guia Slab – Solução Guiada TE

-

-

--

yz

x

y

zz

y

yxxy

Enjx

HHj

x

EjHHj

x

E

EHHjEj

20

0

0

0

0

1

000

22202

2

0

2

2

2

0

2

0

-

-

-

k

Enkx

E

cceexE

tzxE

t

EE

y

y

tjzjy

y

y

y

..,,,

xnkjxnkj

y eCeCxE222

0222

0

210

--- ..,

Solução Genérica:

Solução Guiada Adequada:

(A Solução Genérica também leva à mesma solução, porém, após

muito mais trabalho)

22

20

2221

20

2

2

0

2 ,

22 ,

2 ,

nknk

dxDe

dxdxCxB

dxAe

xE

dx

dx

y

--

-

-

--

;

sincos,

Usarei Ey para encontrar todos os campos

20

0

12

21

12

21

20

0

12

21

12

21

0

0

0

0

220

122

0

022

022

1

22

222

22

222

2 ,

22 ,

2 ,

1

2 ,

22 ,

2 ,

2

2

0

0

2

2

0

-

--

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

--

-

--

-

-

-

--

--

d

D

C

A

d

d

d

D

B

A

d

d

D

C

B

A

dd

dd

dd

dd

dC

dBD

dC

dBD

dxd

Cd

BA

dC

dBA

dx

dxeD

dxdxCxB

dxeA

jxH

dxDe

dxdxCxB

dxAe

xE

dx

dx

z

dx

dx

y

tan

cos

sin

tan

sin

cos

cossin

sincos

cossin

sincos

cossin

sincos

cossin

sincos

cossinsincos ,,

I

II

III

IV

I+III

(IV-II)/

I-III

(IV+II)/

Modo com simetria par (C = 0):Modo com simetria ímpar (B = 0):

-

2

2

d

d

tan

tanEquaçãoCaracterística

Guia Slab Simétrico – Solução Guiada TE

Guia Slab Simétrico – Modos Guiados

d/2

d/2

Elements of Photonics, K. Iizuka, Volume II, Wiley Interscience, 2002.

22

20

2221

20

2

2

0

2 ,

22 ,

2 ,

nknk

dxDe

dxdxCxB

dxAe

xE

dx

dx

y

--

-

-

--

;

sincos,

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 8, Wiley (2007)

xExH

dxed

dxdx

dxed

EjxH

dxed

dxdx

dxed

ExE

yx

dx

dx

z

dx

dx

y

0

0

0

2

2

0

00

2

2

00

2 ,

2

22 ,

2 ,

2

2 ,

2

22 ,

2 ,

2

,,

,,

sin

sin

sin

cos

cos

cos

-

-

--

-

-

-

--

--

Modo com simetria par:

2dtan

2 106

1 106

0 1 106

2 106

1

0

11

1-

Ey x even0, even0,( )

Hzz x even0, even0,( )

Ey x even1, even1,( )

Hzz x even1, even1,( )

3 106-

3- 106-

h-

2

h

2

x


-2dtanModo com simetria ímpar:

xExH

dxed

dxdx

dxed

EjxH

dxed

dxdx

dxed

ExE

yx

dx

dx

z

dx

dx

y

0

0

0

2

2

0

00

2

2

00

2 ,

2

22 ,

2 ,

2

2 ,

2

22 ,

2 ,

2

,,

,,

cos

cos

cos

sin

sin

sin

-

-

-

--

-

--

--

2 106

1 106

0 1 106

2 106

1

0.5

0

0.5

11

1-

Ey x odd0, odd0,( )

Hzz x odd0, odd0,( )

Ey x odd1, odd1,( )

Hzz x odd1, odd1,( )

3 106-

3- 106-

h-

2

h

2

x


Guia Slab Simétrico – Animação Paramétrica

Aproximação Gaussiana

n1 n2

n1 n2

Guia Slab Simétrico - Equivalência entre Óptica Eletromagnética e Geométrica

NOTA: O método geométrico não é, de fato, totalmente baseado na ópticageométrica – a fase r associada à reflexão decorre de análisebaseada na óptica eletromagnética.


...,,

cos

210

222 11

-

m

mdk r

Condição de Ressonância Transversal

TE

TM

---

-

-

-

21

22

21

21

222222

21

20

22

121

20

21

22101

2

2

1m

112

:queLembrar

210 ; 122

TE Modo

n

nn

n

n

nk

knkknkk

mmd

k

cccc

c

sincossinsin

sin

sinsin

...,,sin

sinsintan


-

-

cc

2

21

Guia Slab Simétrico – Eletromagnética vs Geométrica

---

-

-

-

21

22

21

21

222222

21

20

22

121

20

22101

2

2

1m

112

:queLembrar

210 ; 122

TE Modo

n

nn

n

n

nk

knknkk

mmd

k

cccc

c

sincossinsin

sin

sinsin

...,,sin

sinsintan

Guia Slab Simétrico – Eletromagnética vs Geométrica

-

-

-

-

-

-

---

--

-

-

2

2

1

2

2

22

22

22

2

1122 2

222

20

2221

20

2

22

20

21

20

21

20

2

21

22

21

1

d

dd

d

d

d

d

d

nknknknk

nk

n

nn

dk

d

tan

tansin

cos

cos

sin

tan

tan

sintantan

Solução Par (m é par) Solução Ímpar(m é ímpar)

-

-

cc

2

21

Representação gráfica mostra, simultaneamente, a projeção vetorial dos vetores de onda e do caminho óptico.

Exemplo genérico:

25

5

22

1

11 LL

LLk/

212

11 sinsinsinsin LkLkL

242

11 coscoscoscos LkLkL

27

Comentário: representação de Vetor de Ondas

Visão Pictorial do Guiamento

Fonte: ELEMENTS OF PHOTONICS, Volume II, Iizuka, Capítulo 10, Wiley (2002)

Hz

Hx

Ey

TE

TM

Slab

Canal (3D)

Coffee BreakCoffee Break

Propriedades Gerais dos Modos

Cada autovalor (constante de propagação) corresponde a um mododistinto, com sua respectiva distribuição espacial de campos e polarização.

Valores discretizados de correspondem a modos guiados (k0n1 > > k0n2),enquanto que valores contínuos de correspondem a modos de radiação(0 < < k0n2).

Os modos de propagação (guiados ou de radiação) são ortogonais entre si:

ij: Delta de Kroenecker

Campos normalizados

Alguns modos podem ser degenerados, ou seja, podem ter o mesmoautovalor , mas apresentar diferentes distribuições espaciais e/oupolarizações de campos.

O conjunto de todos os modos de propagação (guiados + de radiação) deum sistema (guia de onda) formam uma base completa, isto é, qualquerdistribuição contínua de campo eletromagnético pode ser descrita por meiodo somatório ponderado dos modos que formam essa base.

ij

Area

ji dAzyxzyx ,,H,,E*

é chamado de coeficiente de decaimento do campo evanescente(fora do núcleo).

(1/) é chamado de comprimento característico do decaimento docampo – é uma figura-de-mérito que permite estimar a região deinfluência dos campos evanescentes.

O guia de onda Slab Simétrico não apresenta ponto-de-corte para omodo guiado de menor ordem (válido para ambas as polarizações),ou seja, haverá sempre ao menos um modo guiado, qualquer queseja o conjunto de parâmetros físicos.

Considerando-se a propagação óptica na direção z, a componentede fluxo de potência óptica (vetor de Poynting) é reativa (imaginária)na direção x (evanescente) e real na direção z (propagante).

Propriedades do Slab Simétrico

HES

Guia Slab Simétrico – Modos de Propagação Modos de Propagação (Radiação/Guiados): toda e qualquer solução

do sistema de equações diferenciais (equação de onda) associado, considerando-se as condições de contorno impostas.

Modos de Radiação: Número infinito de soluções

contínuo (0 < < k0n2):

(Exemplo Caso TE)

Modos Guiados: Número finito de soluções

discreto (k0n1 > > k0n2):

(Exemplo Caso TE)

-

-

--

2 ,

22 ,

2 ,

2

2

0

dxDe

dxdxCxB

dxAe

xE

dx

dx

y

sincos,

-

-

2 ,

22 ,

2 ,

0

dxxFxE

dxdxDxC

dxxBxA

xEy

sincos

sincos

sincos

,

22

20

2221

20

222

20 nknknk --- ;;

0

0

222

222

0

0

0

0

222

222

222

222

0

0

0

0

0

0

222200

222200

002222

002222

IV- IIIII I

2220

2220

00

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

C

B

A

ddd

ddd

C

B

A

ddd

ddd

ddd

ddd

nk

nknknk

FB

EA

D

F

E

D

C

B

A

dddd

dddd

dddd

dddd

s

f

seff

sincossin

cossincos

sincossin

cossincos

sincossin

cossincos

:Par Simetria com Solução

cossincossin

sincossincos

cossincossin

sincossincos

-

-

-

-

-

--

--

-

-

-

2222

22222

2222

22222

2 ,

22 ,

2 ,

1

2 ,

22 ,

2 ,

0

00

dD

dC

dF

dE

dD

dC

dF

dE

dxd

Dd

Cd

Bd

A

dD

dC

dB

dA

dx

dxxFxE

dxdxDxC

dxxBxA

jxH

dxxFxE

dxdxDxC

dxxBxA

xE zy

cossincossin

sincossincos

cossincossin

sincossincos

cossin

cossin

cossin

sincos

sincos

sincos

,,

Apenas duas equações linearmente independentes

0 2 106

4 106

6 106

8 106

10

0

10

tan d

2

0,( )

-

0,( )

Modos de Radiação Slab Simétrico – Simetria Par

220

2220

2220

00

22

1

2222

2222

2

2

22

221

0

0

-

-

-

-

-

ddxE

ddddB

ddddA

d

d

B

A

dd

dd

C

nk

nknknk

FB

EA

D

y

s

f

seff

sincos

cossinsincos

sinsincoscos

sin

cos

cossin

sincos

:Par Simetria com Solução

,

nf 2.5 nc 1.5 0 1.55 106-

d 1.1 106-

2 106

1 106

0 1 106

2 106

1

0.5

0

0.5

1

Ey_rad x 0,( )

Ey_rad x 1.2,( )

Ey_rad x 1.4,( )

Ey_guided x even0, even0,( )

Ey_guided x even1, even1,( )

d-

2

d

2

x

Modos de Radiaçãoneff = 0, 1.2 e 1.4 (aleatoriamente

escolhidos)

n1 n2

-

-

-

-

-

2 ,

22222222

22 ,

2 ,

22222222

dxxdddd

xdddd

dxdx

dxxdddd

xdddd

sinsincoscossincossinsincoscos

cos

sinsincoscossincossinsincoscos

(Exemplo Caso TE)

Modos Guiados (Simetria Par)

Velocidade de Fase (vp) & Velocidade de Grupo (vg) Velocidade de fase: veloc. de uma frente de onda com fase constante:

E(z,t) = E0 cos(t −z);

(t −z) = 0 = cte d0 = dt − dz = 0

vp = dz/dt = / = c/neff

Velocidade de grupo: velocidade da propagação do envelope (envoltória) de um pacote de ondas.

E(z,t) = E0[cos(1t −1z)+cos(2t −2z)]

= E0{cos[( +)t −( + )z] + cos[( −)t −( − )z]}

= 2E0 cos(.t −.z) cos(.t −.z)

vg = /

FONTE: Optical Filter Design and Analysis, C. K. Madsen And J. H.Zhao, John Wiley & Sons, Inc., 1999

vg = d/d = (d /d )-1

= [d (neff /c)/d ] -1

= c / (neff + dneff/d )

= c / {neff + (2c/)[(dneff/d)/(d/d)]}

= c / (neff − dneff/d ) = c / ng

Índice Efetivo (neff) & Índice de Grupo (ng)

5 107

1 106

1.5 106

2 106

2.5 106

1.4

1.42

1.44

1.46

1.48

nf

nc

neff_even 0,( )

neff_odd 0,( )

neff_even 1,( )

neff_odd 1,( )

endstart

5 107

1 106

1.5 106

2 106

2.5 106

1.4

1.45

1.5

1.541

nc

ng_even 0,( )

ng_odd 0,( )

ng_even 1,( )

ng_odd 1,( )

endstart

TE0

TE1

TE2TE3

TE0

TE1

TE2

TE3

Parâmetrosd = 4 mn1 = nf = 1.5n2 = nc = 1.4

neff

ng

n1

n2

n1

n2

27

Cálculo numérico/semi-analítico de ng = neff - .(dneff /d)

--

22lim0

effeffeffnnn

d

dNumérico (genérico):

Uso direto da função no MathCAD deve serusado “com cautela”, pois não dá bons resultados emtodos os casos.

d

d effn

Comentários sobre Cálculo do Índice de Grupo

Semi-Analítico (soluções específicas): ng = neff - .(dneff /d)

Slab Simétrico, modo TE, de simetria par, sem dispersão material:

eff

eff

eff

n

n

nk

nkn

2

22

2

212

0

221

0

2

d

d.

d

d

d

2

.d

d

d

d

d

d

d

-

-

-

cte e 21

nn

-

-

--

-

--

--

-

-

--

--

----

--

--

----

211

2

11

11

d

d

1.

22

tan12

2

2

d

d

1.

2

d

d2

d

d2

tan12

d

1.

2d

d2

tand

1.

22

tan 2

; ;2

tan

22

2

22

21

2

23222

21

2

2322

21

2

22

21

2

322322

21

2

2

22

21

2

22

21

2

0

222

21

20

22

20

2221

20

dd

nnddnn

nn

nn

nndd

nnd

nndk

nnknknkd

dn

d

kn

nn

nnn

eff

eff

eff

eff

eff

effg.2

.

2

d

d.

d

d2

02

22

- ng neff

Cálculo do Índice de GrupoCálculo semi-analítico de ng = neff - .(dneff/d): só em soluções específicas

Semi-analítico: pois expressão analítica depende de solução numérica prévia de ou

0 5 107-

1 106-

1.5 106-

2 106-

1.48

1.5

1.52

1.54

ng_even λλ 0, ( )

ng_even λλ 1, ( )

ng_analit_TEeven λλ κsol_even λλ 0, ( ), 0, ( )


λλ

0 5 107-

1 106-

1.5 106-

2 106-

1.48

1.5

1.52

1.54

ng_even λλ 0, ( )

ng_even λλ 1, ( )



λλ

0 5 107-

1 106-

1.5 106-

2 106-

1.48

1.5

1.52

1.54

ng_even λλ 0, ( )

ng_even λλ 1, ( )



λλ

ng = neff - .(dneff /d)

= 10-6 m

= 3 10-7 m

= 10-7 m

Cálculo do Índice de Grupo

Modo fundamental (ordem 0) &segundo modo (ordem 2).

Numérico pontosSemi-analítico linhas

Conclusão:O método numérico é uma boa

aproximação (pouco exigente), comrelação ao valor de .

--

22d

dlim

0

effeffeffnnn

dn

d

knn

eff

effg.2

.2

0

Solução para o Slab Simétrico – modo TE de Simetria Par, semdispersão material:

21

22

11

nn

nn

nn

--

-

-

-

-

-

-

-

-

-

--

-

--

--

-

--

--

----

-

--

------

1d

d

d

d

21

d

d

11

d

d

d

d

.

2

d

d11

2

1

.

2

d

d

d

d

.

2

d

d1

.

21

2

d

d

d

d

d

d

.

2

d

d1

2

1.

2

d

d

d

d

d

d2

d

d2

tan12

d

1.

2d

d2

tand1

.

22

tan

; ;2

22

21

22

11

2

22

21

22

11

22

21

222

122

21

2

22

11

2

22

21

22

1122

21

22

11

2

2

22

21

2

322322

21

22

11

222

2

22

21

2

22

21

2

222

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22

20

2221

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Cálculo do Índice de GrupoCálculo semi-analítico de ng = neff - .(dneff/d) para o Slab Simétrico,modo TE, de simetria par, com dispersão material:

-

-

-

--

-

-

-

-

-

-

-

--

--

22

21

22

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21

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22

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22

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22

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21

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eff

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ng neff


Dispersão material normal (dn1,2/d < 0)

21

22

11

nn

nn

nn

d/2

d/2

Confinamento Óptico

-

-

-

- dxxHxE

dxxHxE

dx

dx

P

P

xy

d

d xy

d

d

total

nucleo

2/

2/

2/

2/

S

S

TE modo

Avisos Finais

• Lista #02: em breve no website

• Próxima Aula (20 AGO 2018):

• Guias de ondas tipo Slab Assimétrico

• Guias Slab: Abordagem Unificada – Simétrico & Assimétrico

• Guias Slab Multicamadas – Método TMM

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