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• MISCELÂNEA:• Aulas do bimestre encerram na aula de 17/09• Lista de Exercícios #02: resolução até 1 fs atrás

• RESUMO:• Guia de ondas tipo Slab Assimétrico• Guias Slab – Abordagem Unificada

• Leitura sugerida: • Fundamentals of Optoelectronics, C. R. Pollock, Capítulos 1 e 2

TE-281Modelagem Numérica Aplicada à Nanofotônica

Aula 04 – 20 AGO 2018

Guia de Ondas Slab Assimétrico

Fonte: ELEMENTS OF PHOTONICS, Volume II, Iizuka, Capítulo 9, Wiley (2002)

zyxi

HE

cceex

tzx

t

tjzji

i

ii

,,

,

.2

,,

0

0,

2

22

Modo óptico em guia slab (homogêneo e isotrópico)

zxy

yz

x

xyz

zxy

yz

x

xyz

Enjy

H

x

H

Enjx

HHj

EnjHjy

H

t

Hjy

E

x

E

Hjx

EEj

HjEjy

E

t

20

20

20

0

0

0

DH

BE

0

yi

zxyzxy EEHHHE ,, ,, :TM :TE ;

Dois conjuntos de soluções independentes

d/2

d/2ns (substrate)

nc (cladding)

nf (film/core)

yz

x

y

zz

y

yxxy

Enjx

HHj

x

EjHHj

x

E

EHHjEj

20

0

0

0

0

1

Solução Genérica:

Solução Guiada

Adequada:

220

2220

22220

2

2

0,

;;

2

22sincos

2

ssccf

dx

dx

y

nknknk

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dxdxCxB

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c

,

,

,

Guia Slab Assimétrico – Solução Guiada TE

000

22202

2

0,

2

2

2

0

..2

,,

0

k

Enkx

E

cceexE

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t

EE

y

y

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y

y

y

xnkjxnkj

y eCeCxE222

0222

0 .. 210,

Condições de Contorno

Condições de contorno para interfaces dielétricas

21

21

2211

2211

0

0

tt

tt

nn

nn

HHt

EEt

HH

EE

DH

BE

B

D

Condição para modo guiado (energia finita): lim E,H = 0x ±

d

d

d

dddd

dddddddd

dd

dd

dd

dd

D

C

B

A

dd

dd

dd

dd

dC

dBD

dC

dBD

dxd

Cd

BA

dC

dBA

dx

dxeD

dxdxCxB

dxeA

jxH

dxeD

dxdxCxB

dxeA

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cs

cs

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s

c

s

c

sc

dx

s

dx

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z

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dx

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tan

2tan1

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02

tan212

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tan22

tan

02

cos2

sin2

sin2

cos22

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sin2

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sin

0

2cos

2sin0

12

sin2

cos0

02

cos2

sin

02

sin2

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0

0

0

2cos

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12

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cos2

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02

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2cos

2sin

2sin

2cos

2

2cos

2sin

2sin

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2

2

22cossin

21

2

22sincos

2

22

2222

22222

2

2

0

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2

2

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Equação Característica


d

d

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dd

dd

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D

C

B

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dC

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cs

cs

cscscscscs

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s

c

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dx

s

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2tan1

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02

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tan

02

cos2

sin2

sin2

cos22

cos2

sin2

cos22

sin

0

2cos

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12

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cos0

02

cos2

sin

02

sin2

cos1

0

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0

0

2cos

2sin0

12

sin2

cos0

02

cos2

sin

02

sin2

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2sin

2sin

2cos

2

2cos

2sin

2sin

2cos

2

2 ,

22 , cossin

2 ,

1

2 ,

22 , sincos

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22

2222

22222

2

2

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0,

2

2

0,

Equação Característica

cs

csd

2 tan


A

dddd

dd

dd

Add

D

Add

dd

dd

d

d

Ad

CAdd

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B

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A

D

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B

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s

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s

s

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cossincossin

02

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sin

102

cos

02

cos

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2sin

cossin

2cos0

12

sin0

02

sin

cossin2

cos2

sin2

sin2

cos2

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12

sin2

cos

02

sin2

cos

0

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12

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cos

02

sin2

cos

22


,

,

,

,

,

,

2

22cos

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2

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2sin

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2

2

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2

2

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dxe

dxdxdd

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dxe

dxdxdd

xdd

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ExE

dx

s

ss

dx

cs

z

dx

ss

dx

s

y

s

c

s

c


• Para o RHS (Right-Hand Side) da Equação Característica, o maior valorpossível para que ainda satisfaz à formulação adotada, ocorre paras=0 (max min=k0ns), supondo-se ns > nc:

• Na Condição de Corte Total (modo TE0), o RHS intercepta uma únicavez o LHS (Left-Hand Side) da Equação Característica, em =max. Parao modo TEm, essa condição ocorre na (m+1)-ésima vez.

Condição de Corte do Slab Assimétrico

22

22

2

220

220max

0min

220

2220

22220

max

0

;;

sf

cs

cs

cs

csc

sf

s

s

ssccf

nn

nn

nnk

nnk

nk

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22

22

22

022

22

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22max

22tantan

sf

sf

cs

sf

cssf

nn

mnn

nn

d

nn

nndnnd

m

πatan

TE Corte

cs

csd

2tan

Coffee Break

s,c é chamado de coeficiente de decaimento do campo evanescente no substrato/cobertura, respectivamente.

O Slab Assimétrico apresenta condição (ponto) de cortetotal, para ambas as polarizações dos modos guiados.

A condição de corte total (do modo fundamental, TE0)ocorre quando s 0 (supondo-se ns > nc), portanto:

Propriedades do Slab Assimétrico

22

22

22

0 20 sf

sf

cs

nn

nn

nn

d

atan

TE Corte

0 3 105

6 105

9 105

1.2 106

1.5 106

1.8 106

2

0

2

4

6

tan d

c 0 s 0

2

c 0 s 0

ns2

nc2

nf2

ns2

2

0nf

2ns

2

Exemplo Genérico:Sem condição de Corte Total(Existindo modos TE0 e TE1)

No Limiar daCondição de Corte Total

(TE0)

0 3 105

6 105

9 105

1.2 106

1.5 106

1.8 106

2

0

2

4

6

tan d

c 0 s 0

2

c 0 s 0

ns2

nc2

nf2

ns2

2

0nf

2ns

2

22

22

0

22

2

2tan

tan

0

sf

cssf

cs

cs

seffs

nn

nndnn

d

nn

Condição de Corte

0 3 105

6 105

9 105

1.2 106

1.5 106

1.8 106

2

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6

tan d

c 0 s 0

2

c 0 s 0

ns2

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nf2

ns2

2

0nf

2ns

2

No Limiar da Condição de Corte

(TE2)

No Limiar da Condição de Corte

(TE1)

0 3 105

6 105

9 105

1.2 106

1.5 106

1.8 106

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2

0

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4

6

tan d

c 0 s 0

2

c 0 s 0

ns2

nc2

nf2

ns2

2

0nf

2ns

2

22

22

0

222tansf

cssf

nn

nnm

dnn

Condição de Corte

Guia Slab Assimétrico – Animação Paramétrica

Ey(x) TE0

TE1

LHS&

RHS

scsc

sc

sc ddsd

cosin tan 2

2

Ey(x)TE0

TE1

LHS&

RHS

Mudança da forma da Equação Característica


Finalidade: facilitar aconvergência dosalgoritmos numéricoscomputacionais usadosna resolução daequação característica.

0 , in

in

2

2

2

RHSLHSdRHSdsLHS

ddsd

scsc

scsc

sc

sc

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LHS-

RHS

Mudança da forma da Equação Característica


Finalidade: facilitar aconvergência dosalgoritmos numéricoscomputacionais usadosna resolução daequação característica.

TE0

TE1

0 , in

in

2

2

2

RHSLHSdRHSdsLHS

ddsd

scsc

scsc

sc

sc

cos

costanMudança da formada Eq. Característica

Guia Slab Assimétrico – Mudança Paramétrica

Os Modos de Propagação correspondem à todas as soluções do sistema de equações diferenciais associado, considerando-se as condições de contorno impostas.

Modos de Radiação: Número infinito de soluções, contínuo (nsneff0),

supondo-se ns > nc:

Radiação de Substrato: ns>neff >nc

Radiação de Substrato &Cobertura: nc>neff >0

Modos Guiados: Número finito de soluções. Supondo-se ns > nc:

discreto (nf > neff > ns):

2 ,

22 ,

2 ,

2

2

0

dxDe

dxdxCxB

dxAe

xE

dx

dx

y

s

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22 ,

2 ,

0

2

0

dxxFxE

dxdxDxC

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xEnn

dxxFxE

dxdxCxB

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ss

cc

yeffc

ss

dx

yceffs

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sincos

sincos

sincos

sincos

sincos

,

,

220

22220

2220

scscscsc

f

nknk

nk

,,,, ;

Guias Slab Assimétrico – Modos de Propagação

Guias Slab – Abordagem Unificada

Fonte: ELECTRO-OPTICS HANDBOOK, 2nd Edition, Capítulo 26, McGraw-Hill (2000); ouOptical Integrated Circuits, Hiroshi Nishihara et al., Capítulo 2, McGraw-Hill (1987).

TM:

ab

b

n

n

b

b

n

nmbV

f

c

f

s 1111

2

21

2

21 tantan

“N neff”“T d ”

Equação Característica (TE)

Frequência Normalizada:

ab

b

b

bmbV

1111 11 tantan

22

22

sf

cs

nn

nna

22

22

sf

s

nn

nNb

220 sf nnTkV

ERRO no Pollock, s. 3.6, p. 99Provável ERRO no Nishihara, (também no Handbook acima)

Fonte: ELEMENTS OF PHOTONICS, Volume II, Iizuka, Capítulo 9, Wiley (2002)

Substrato & Cobertura Só Substrato

Modos de Radiação Modos Guiados

Alerta: Modos de Radiação estão mal-representados no desenho abaixo

Guias Slab – Modos de Propagação

Avisos Finais

• Listas de Exercícios• #03: entrega até 1 fs antes da aula de 27 AGO.

• Próxima Aula (27 AGO):• Guias Slab Multicamadas – Método TMM• Dispositivos Ópticos Integrados• Acoplador Direcional

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