Modelagem com variáveis binárias

Um grande número de problemas de otimização linear inteiro envolve a ocorrência ou não de um evento, e a decisão entre duas alternativas.

=

ocorrenãoeventoose0

ocorreeventoose1x

Decisão sobre uma atitude (fazer ou não fazer, comprar ou não comprar...).

Custo fixo (um exemplo)

A produção de um item implica em um custo fixo, por exemplo, de preparação da máquina .

Nos modelos de produção dados anteriormente tínhamos:xj=Quantidade produzida de um item.

Para o item j, a função custo, designada por cj(xj) ,traduz os custos incorridos quando se produzem xj itens do tipo j.

(não linear devido a descontinuidade no ponto x=0). Como Modelar de forma linear?

Seja uma variável binária yj, tal que yj vale 1 se xj>0 e yj vale 0 caso contrário

>

=cc

xsey

jj

0

01

jj cxsyK +=

Como associar x e y ?Considerando M um limite superior para a produção do item (xj) podemos escrever:

jj Myx ≤

Podemos formular matematicamente um problema de planejamento da produção da seguinte maneira

Considere uma situação em que, se o produto 1 é fabricado, então o produto 2 também deve ser fabricado. Sejam

1x =quantidade produzida do item 1.

2x =quantidade produzida do item 2.

As condições são expressas por:

Podemos ter a condição de que 1 1y = implica que 2 0x > . Isto é obtido por meio

da desigualdade 2 1x ny≥ , onde n é o limitante para a produção do item 2

Suponha que quatro itens podem ser produzidos em uma máquina denotada por k,e se o item 1 é produzido na máquina k,

então os outros itens:2, 3 e 4 não podem ser processados em k e são processados em outras máquinas.

então se 1 1kx = implica que 2 3 4 0k k kx x x= = = .

Como as variáveis são binárias, pode-se expressar esta condição como:

1 0kx > então 2 3 4 0k k kx x x+ + ≤ , ou 2 3 4 0k k kx x x− − − ≥ .

Seja a desigualdade 1( , , ) 0nf x x ≤L

Definindo:

1 se f 0

0y

cc

≤=

Podemos expressar esta implicação como:

1( , , ) (1 )nf x x M y≤ −L

Onde M é um número grande. Note que se y=0, a restrição é desativada, isto é,

1( , , )nf x xL pode assumir qualquer valor até seu limite superior M.

Considere as desigualdades:

1( , , ) 0nf x x ≤L (4)

e

1( , , ) 0ng x x ≤L (5)

Deseja-se que somente uma das desigualdades esteja ativada.

Definindo

1 se f 0

0 g 0y

se

≤= ≤

Isto pode ser representando por:

1( , , ) (1 )nf x x M y≤ −L

1( , , )ng x x My≤L

O acréscimo de um número M grande do ladodireito das restrições faz com que a restriçãoseja transladada paralelamente no quadrante superior. As linhas pontilhadas indicam a translação mínima das duas retas de forma

que somente uma das restrições seja ativada.

yxx

yxx

M

xxxx

xxxx

12010052

)1(1208024

120}100,120max{

2005210052

200248024

21

21

2121

2121

+≤+−+≤+

===+→=+

=+→=+

Suponha que existam cinco tipos de investimento financeiro e seja xj a variável binária de decisão tal que

1 se o investimento j é selecionad

0jo

xcc

=

Considere as seguintes restrições e situações: 1) No máximo três investimentos são selecionados

1 2 3 4 5 3x x x x x+ + + + ≤ 2) Exatamente um investimento é selecionado

1 2 3 4 5 1x x x x x+ + + + = 3) O investimento 1 ou o investimento 2 é selecionado

1 2 1x x+ ≥ 4) Se o investimento 2 é selecionado, então o investimento 1 é selecionado

2 1x x≤ 5) Se os investimentos 2, 3 ou 4 são selecionados, então o investimento 1 é selecionado. Duas formas:

2 1x x≤

3 1x x≤

4 1x x≤ ou

2 3 4 13x x x x+ + ≤

Qual é o melhor?

Relaxação linear???

Relaxação linear???

}4,1,10,3{ 14321 L=≤≤≤++= ixxxxxX i

}4,1,10,,,{ 1413122 L=≤≤≤≤≤= ixxxxxxxX i

2

11432

12

satisfazemnão mas

satisfazem3

1,

4

1,

2

1pois

X

Xxxxx

XX

====

⊂

12 relaçãoempreferido XX

Considere o problema de localização de armazéns cujo objetivo é escolher os armazéns que devem ser instalados para servir um conjunto de clientes.Neste modelo existem uma capacidade associada a cada local possível e uma procura associada a cada cliente. A procura dos clientes associados a um certo armazém não pode exceder a sua capacidade. O objetivo do problema é ainda satisfazer os pedidos a um custo global mínimo, que envolve os custos mensais da renda dos armazénse os custos de transporte da mercadoria entre os armazéns e os clientes.

Considere 4 possíveis armazéns (A,B,C e D) com capacidades de 35, 28, 22 e 28 respectivamente e com as rendas mensais indicadas na tabela. Existe um conjunto de 5 clientes (a,b,c,d, e e) que representam as procuras de 14, 12, 10, 12 e 8, respectivamente. Os custos de transporte unitários entre cada possível armazém e cada cliente são indicados na tabela.

Exemplo

� Formule um modelo de programação inteira que lhe permita determinar qual o conjunto ótimo de armazéns a selecionar. Considere as variáveis a quantidade a ser transportada do armazém i até o cliente j. As variáveis binárias assumem o valor 1 se o armazém i é selecionado e 0, caso contrário. Para o problema é necessário respeitar as seguintes restrições:

� Dos locais C e D, exatamente 1 deve ser selecionado

� A seleção do local A ou do local B implica na exclusão do local C.

� A seleção do local A ou do local B implica a seleção do local D