ModelagemMatemtica

MCLAB

Prof.MichaelSouza

Modelo vs Realidade

ConcretoAbstrato

Modeloerealidadesodiferentes.Asconclusesobtidassolimitadas.

Maquete MolculaH2O

RealidadeC

ompl

exid

ade

Modelo Matemtico

Eqs.MatemticasEq.dotransporte(conveco)

Eq.daonda

Eq.docalor

tu(x , t )+cxu(x , t )=f (x , t )

tt2 u(x , t )c2xx

2 u(x , t )=0

tu(x , t )k xx2 u(x , t)=f (x , t )

Modelo Matemtico

ProblemaAt que altura devemos encher umtanque para atingir uma dadaconcentrao?[g /m3]

Modelo Matemtico

ModelotericoreaBase

Reagente

Soluo

R2=A [m2]

M [g ]

c=MV= M

Ahh= M

AC

Modelo Matemtico

Modeloemprico

Asconclusesvalemapenasparacondiesiguais/semelhantes!

[m ] [g /m3]

Modelo Terico: Fundamentao

Princpiosfundamentais

Nanatureza,nadacriado,nadaPerdido,tudosetransformaLavoisier(17431794)

[1]Amassaseconserva;PrincpiodeLavoisier[2]Aenergiaseconserva;1LeidaTermodinmica[3]Aqtddemovimentoseconserva;3LeideNewton

Modelo Terico: Fundamentao

Eq.debalano

Obs:ProduzirnoAdicionarProduo:i j(transf./endgeno)Adio:exgeno

Gacumulada=GadicionadaGretirada+G produzida

k Gproduzidak =0

Modelo Matemtico

ModelosdinmicosConsideramvariaestemporais;

ModelosestacionriosModelosquenosodinmicos;

u=u(x , y , t)

u=u(x , y , t)=u(x , y)

Modelo Matemtico

ModeloaparmetrosdistribudosConsideramvariaesespaciais;

Modeloaparmetrosconcentrados

[Heterogeneidade]

u=u(x , y , t)

u=u(x , y , t)=u(t )

Modelo concentrado

Ummodeloaparmetrosconcentrados

Tanqueagitadoexotrmicocomreaode1ordem;Solvente:Reagente:Produto:

SAB

AB

Modelo concentrado

Reaodeprimeiraordem

Velocidadedareao

Concentraomolar

Const.cinticadareao

ABRB=RA=KC A

RB , RA

[mol /(m3 s)]

C A

K

[mol /m3]

[1 / s ]

Modelo concentrado

Balanodemassaglobal(emgramas)

Vazo

Densidade

Tempo

M (t+ t)M (t)=qee tqss t

qe , qs

e ,s

t , t

[g /m3]

[s ]

[m3/ s ]

dMdt

=qeeqss

Modelo concentrado

Hiptesessimplificadoras[1]Reatorbemmisturado

[2]Fluidoincompressvel

[3]Controledenveleficiente

Da,

V (t )=V (const .)

s=

M=V dVdt

=qeqs=0

e=s=

qe=qs

Modelo concentrado

BalanodemassadocomponenteA(moles)

Umvezquetemos

M A(t+ t )M A (t )=qeC Ae tqsC As t+RAV tmolesproduzidos

[mol /(m3 s)]R A=KC A

VdC Adt

=qC AeqC As+RAV

=q(C AeC A)KC AV

Modelo concentrado

BalanodemassadocomponenteB(moles)

Umvezquetemos

M B(t+ t )M B(t )=qeCBe tqsCBs t+RBV tmoles produzidos

[mol /(m3 s)]RB=RA

VdCBdt

=qCBeqCBs+RBV

=qCB+KC AV

zero(produo)

Modelo concentrado

BalanodemassadocomponenteS(gramas)

CSPM S+C APM A+CBPM B=

Soluo=S+A+B

MolesproduzidosPesomolecular[g/mol]

CS=C A PM ACBPM B

PM S

Modelo concentrado

Eqs.debalanodemassa

CS=C A PM ACBPM B

PM S

VdCBdt

=qCB+K C AV

VdC Adt

=q(C AeC A)KC AV

Grandezas no sistema SIGRANDEZA SMBOLO DIMENSO UNIDADE

Massa m [M] kg

Comprimento l [L] m

Tempo t [T] s

Temperatura T [] K

CorrenteEltrica i [I] A

Qtd.deLuz [Lu] cd

Qtd.dematria [Mo] mol

Velocidade V [M0L1T1] m/s

Acelerao a [M0L1T2] m/s2

Fora F [M1L1T2] Newton:N=kg.m/s2

Torque Q [M1L2T2] N.m

Presso p [M1L1T2] Pascal:N.m2

Trabalho,Energia , E [M1L2T2] Joule:J=N.m

Potncia P [M1L2T3] Watt:W=J/s

Adimensionalizao

Ex:Partculauniformenteacelerada

Estaeq.parametrizadapelasconstantescaractersticas

Umadasvantagensdaadimensionalizaoareduodasconstantescaractersticasdasequaes.

x=x0+V 0 t+12at 2

x0,V 0,a

Adimensionalizao

Ex:Partculauniformenteacelerada

Dividindoambososladosporx0

edefinindo

x=x0+V 0 t+12at 2

xx0=1+

V 0x0

t+ 12 x0

at2

~x= xx0

, ~t =V 0x0

t , F=V 0ax0

[M0L0T0]

[M0L0T0]

Nr.deFroude

Adimensionalizao

obtemos

Comparandocom

vemosclaramenteareduodasconstantescaractersticas.

~x=1+~t + 12F2

~t 2 [M0L0T0]

x=x0+V 0 t+12at 2

Modelo concentrado

Adimensionalizao

CS=C A PM ACBPM B

PM S

VdCBdt

=qCB+K C AV

VdC Adt

=q(C AeC A)KC AV

Modelo concentrado

Adimensionalizao

xA=C AC Ae

xB=CBC Ae

xS=CSC Ae

= tqV

Concentraesadimensionais

Tempoadimensional

Modelo concentrado

Adimensionalizao

DividindoambososladosporCAe

Umavezque

obtemos

VdxAdt

=q (1x A)KV xA

= tqVdt=V

qd

dxAd

=1x A(K Vq )xA=1xA xA [M0L0T0]constante

Referncias

[1]Laranjeira,Paulo,andJosCarlosPinto.Mtodosnumricosemproblemasdeengenhariaqumica.EditoraEpapers,2001.

[2]Hirata,Miguel.Mecnicadosfluidos.UERJ,2011.

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