MODELAMENTO FRACTAL DA FRATURAMODELAMENTO FRACTAL DA FRATURAE DA PROPAGAE DA PROPAGAÇÇÃO DE TRINCAS EM ÃO DE TRINCAS EM

MATERIAISMATERIAIS

Defesa da Tese de Doutorado deDefesa da Tese de Doutorado de

Lucas MLucas Mááximo Alvesximo AlvesDOUTORANDODOUTORANDO

Bernhard Bernhard Joachim MokrossJoachim MokrossORIENTADORORIENTADOR

JosJoséé de Anchieta Rodriguesde Anchieta RodriguesCOCO--ORIENTADORORIENTADOR

ÍÍndicendice

INTRODUINTRODUÇÇÃO ÃO -- ConsideraConsideraçções iniciaisões iniciais FUNDAMENTO DA MFFUNDAMENTO DA MF--CLCLÁÁSSICASSICA INTRODUINTRODUÇÇÃO A TEORIA FRACTAL DE ÃO A TEORIA FRACTAL DE

MEDIDAMEDIDA O MODELAMENTO FRACTAL DA SUPERFO MODELAMENTO FRACTAL DA SUPERFÍÍCIE CIE

DE FRATURADE FRATURA O MODELAMENTO FRACTAL DA FRATURA O MODELAMENTO FRACTAL DA FRATURA

ESTESTÁÁVEL OU QUASEVEL OU QUASE--ESTESTÁÁTICATICA RESULTADOS E DISCUSSÕES.RESULTADOS E DISCUSSÕES. CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURASCONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS

INTRODUINTRODUÇÇÃO ÃO -- ConsideraConsideraçções iniciaisões iniciaisEste trabalho foi motivado pelas seguintes circunstâncias Este trabalho foi motivado pelas seguintes circunstâncias

cientcientííficas e tecnolficas e tecnolóógicas:gicas:Compromisso entre resistência mecânica, Compromisso entre resistência mecânica, ff, e tenacidade a , e tenacidade a

fratura, fratura, KKICIC, (Ex, discrepância entre um vidro e um metal)., (Ex, discrepância entre um vidro e um metal). Qual Qual éé o limite mo limite mááximo da resistência e da tenacidade a ximo da resistência e da tenacidade a

fratura, fratura, KKICIC, de um material?, de um material? Entender o processo geomEntender o processo geoméétrico de dissipatrico de dissipaçção de energia ão de energia

na fratura (na fratura (tenacificatenacificaççãoão) dos materiais.) dos materiais. A Mecânica da Fratura ClA Mecânica da Fratura Cláássica não leva em conta o ssica não leva em conta o

efeito da rugosidade na sua descriefeito da rugosidade na sua descriçção matemão matemáática.tica. O que pode ser evidenciado de uma teoria fractal da O que pode ser evidenciado de uma teoria fractal da

fratura.fratura. Em comparaEm comparaçção com os resultados experimentais o que ão com os resultados experimentais o que

esta teoria acrescenta no entendimento do fenômeno da esta teoria acrescenta no entendimento do fenômeno da fratura.fratura.

ProposiProposiççãoão dodo problemaproblema

i)Existe atualmente uma teoria matemi)Existe atualmente uma teoria matemáática, capaz de tica, capaz de fornecer uma descrifornecer uma descriçção analão analíítica da superftica da superfíície de fratura cie de fratura rugosa, a fim de que esta descrirugosa, a fim de que esta descriçção possa ser inserido no ão possa ser inserido no formalismo matemformalismo matemáático da MFC? E qual tico da MFC? E qual éé esta teoria?esta teoria?

iiii) Como deveria ser o formalismo matem) Como deveria ser o formalismo matemáático da MFC, tico da MFC, se na sua elaborase na sua elaboraçção inicial, tivesse sido possão inicial, tivesse sido possíível inserir vel inserir analiticamente a descrianaliticamente a descriçção da rugosidade das superfão da rugosidade das superfíícies cies de fratura nas suas de fratura nas suas equaequaççoesoes??

iiiiii) O que pode ser evidenciado da fenomenologia da ) O que pode ser evidenciado da fenomenologia da MFC, utilizandoMFC, utilizando--se a descrise a descriçção da superfão da superfíícies rugosas de cies rugosas de fratura, por meio da geometria fractalfratura, por meio da geometria fractal

iviv) Em compara) Em comparaçção com os resultados experimentais, ão com os resultados experimentais, qual qual éé a precisão e o limite desta abordagem? Ela a precisão e o limite desta abordagem? Ela éésuficiente?suficiente?

Metas e objetivos gerais do trabalhoMetas e objetivos gerais do trabalho

(i) Verificar, experimentalmente, e reformular os modelos (i) Verificar, experimentalmente, e reformular os modelos para a fratura, jpara a fratura, jáá exitentesexitentes na literatura, desenvolvidos com na literatura, desenvolvidos com base na teoria fractal;base na teoria fractal;

((iiii) Propor modelos para a propaga) Propor modelos para a propagaçção de trinca, em regime ão de trinca, em regime estestáável, usandovel, usando--se a geometria fractal e a descrise a geometria fractal e a descriçção ão elastoelasto--plpláástica dos fenômenos existentes na fratura quasestica dos fenômenos existentes na fratura quase--estestáática;tica;

((iiiiii) Conferir, reformular, adequar e/ou aperfei) Conferir, reformular, adequar e/ou aperfeiççoar os oar os modelos propostos com base nos experimentos realizadosmodelos propostos com base nos experimentos realizados, , para em seguidapara em seguida

((iviv) Conhecer e explicar o comportamento das propriedades ) Conhecer e explicar o comportamento das propriedades dos materiais em fundos materiais em funçção da microestrutura com a finalidade ão da microestrutura com a finalidade dede

(v) Gerar contribui(v) Gerar contribuiçções cientões cientííficas, no sentido de se ficas, no sentido de se compreender melhor alguns dos mecanismos e processos compreender melhor alguns dos mecanismos e processos estruturais e estruturais e microestruturaismicroestruturais envolvidos na dissipaenvolvidos na dissipaçção da ão da energia da fratura, tais como: defeitos, inclusões, contornos energia da fratura, tais como: defeitos, inclusões, contornos de grãos e fenômenos de grãos e fenômenos elastoelasto--plpláásticos, estendendo os sticos, estendendo os resultados para materiais resultados para materiais policristalinospolicristalinos, etc;, etc;

(vi) Estudar as propriedades mecânicas da fratura de (vi) Estudar as propriedades mecânicas da fratura de diferentes materiais, a fim de diferentes materiais, a fim de comparcomparáá--laslas, e sugerir novas , e sugerir novas composicomposiçções com novos mecanismos ões com novos mecanismos tenacificantestenacificantes, , conforme a necessidade.conforme a necessidade.

Todo o conhecimento a ser adquirido neste trabalho, Todo o conhecimento a ser adquirido neste trabalho, permitirpermitiráá aproveitar as diversas propriedades oferecidas aproveitar as diversas propriedades oferecidas pelos materiais, somandopelos materiais, somando--se as diferentes contribuise as diferentes contribuiçções ões oferecidas pela microestrutura, e otimizar as condioferecidas pela microestrutura, e otimizar as condiçções de ões de fabricafabricaçção e de uso da peão e de uso da peçça ou produto final. No caso de a ou produto final. No caso de materiais cerâmicos materiais cerâmicos policristalinospolicristalinos, ser, seráá possivelpossivel projetar projetar novos materiais, capazes de resistir ao impacto em condinovos materiais, capazes de resistir ao impacto em condiçções ões melhores do que os materiais jmelhores do que os materiais jáá existentes.existentes.

Objetivos especObjetivos especííficos do trabalho ficos do trabalho

(i) Na parte te(i) Na parte teóórica, caracterizar a geometria descrita rica, caracterizar a geometria descrita pela trinca, sob o aspecto fractal.pela trinca, sob o aspecto fractal.

((iiii) Fundamentar os conceitos geom) Fundamentar os conceitos geoméétricos, tricos, extraextraíídos da teoria fractal, e dos da teoria fractal, e aplicaplicáá--loslos àà fratura, fratura, visandovisando--sese

((iiiiii) Construir uma linguagem precisa, para a ) Construir uma linguagem precisa, para a descridescriçção matemão matemáática da MFC, dentro da nova visão tica da MFC, dentro da nova visão da teoria fractalda teoria fractal

((iviv) Estabelecer, corretamente, a medida da ) Estabelecer, corretamente, a medida da áárea rea rugosa da fratura.rugosa da fratura.

(v) Modelar e descrever a estrutura irregular das (v) Modelar e descrever a estrutura irregular das trincas e superftrincas e superfíícies de fratura. cies de fratura.

(vi) Medir a dimensão fractal e procurar (vi) Medir a dimensão fractal e procurar relacionrelacionáá--lala com com o comprimento da trinca (ou com a o comprimento da trinca (ou com a áárea da rea da superficiesuperficie de de fratura) e com a taxa de liberafratura) e com a taxa de liberaçção da energia elão da energia eláástica, stica, GG, , ou ou JJ.. com a finalidade de:com a finalidade de:

((viivii) Relacionar a caracteriza) Relacionar a caracterizaçção ão fractogrfractográáficafica e fractal da e fractal da superfsuperfíície de fratura com o processo quasecie de fratura com o processo quase--estestáático de tico de dissipadissipaçção de energia e instabilidade da trinca.ão de energia e instabilidade da trinca.

((viiiviii) Explicar o crescimento da curva ) Explicar o crescimento da curva JJ--RR nos materiais nos materiais atravatravéés da descris da descriçção matemão matemáática fractal da rugosidade,tica fractal da rugosidade,((ixix) Relacionar quaisquer outras grandezas que se fizerem ) Relacionar quaisquer outras grandezas que se fizerem necessnecessáárias para comprovarias para comprovaçção dos modelos.ão dos modelos.

A forma de abordagem do A forma de abordagem do problemaproblema

Toda a problemToda a problemáática da descritica da descriçção ão matemmatemáática da Mecânica da Fratura, tem tica da Mecânica da Fratura, tem como base dois aspectos: a rugosidade das como base dois aspectos: a rugosidade das superfsuperfíícies geradas e o campo de cies geradas e o campo de tensão/deformatensão/deformaçção, aplicados ao corpo de ão, aplicados ao corpo de prova. Este trabalho tratou da descriprova. Este trabalho tratou da descriçção ão matemmatemáática, fractal, do primeiro aspecto, tica, fractal, do primeiro aspecto, isto isto éé, a rugosidade. , a rugosidade.

Metodologia teórico-experimental

Os modelos foram desenvolvidos Os modelos foram desenvolvidos generalizandogeneralizando--se o formalismo matemse o formalismo matemáático da tico da MFC, com base na geometria fractal.MFC, com base na geometria fractal.

Essa generalizaEssa generalizaçção, foi feita basicamente ão, foi feita basicamente atravatravéés da relas da relaçção entre a ão entre a áárea projetada e a rea projetada e a áárea rea rugosa, que corresponde a rugosa, que corresponde a áárea verdadeira do rea verdadeira do processo.processo.

Neste sentido, todas as equaNeste sentido, todas as equaçções clões cláássicas ssicas contidas neste trabalho foram corrigidas pela contidas neste trabalho foram corrigidas pela geometria fractal.geometria fractal.

Para comprovaPara comprovaçção dos modelos, utilizouão dos modelos, utilizou--se se resultados de ensaios experimentais jresultados de ensaios experimentais jáá realizados realizados pela estudante, Rosana pela estudante, Rosana VilarimVilarim da Silva, no da Silva, no LaboratLaboratóório de Ensaios Mecânicos da EESC, tais rio de Ensaios Mecânicos da EESC, tais como: ensaio de flexibilidade e de como: ensaio de flexibilidade e de mmúútiplostiplos corpos corpos de prova, utilizando o conceito de curva de prova, utilizando o conceito de curva JJ--RR em em amostras de cerâmica, metal e polamostras de cerâmica, metal e políímero (PMMA) mero (PMMA) e e poliuretanopoliuretano (extra(extraíído do do do óóleo da mamona).leo da mamona).

Durante o ensaio de fratura, a taxa de energia Durante o ensaio de fratura, a taxa de energia eleláástica liberada, stica liberada, GG, ou , ou JJ, pôde ser obtida , pôde ser obtida indiretamente via software pelo sistema de indiretamente via software pelo sistema de aquisiaquisiçção de dados, acoplado ão de dados, acoplado àà mmááquina de quina de ensaios, atravensaios, atravéés da curva s da curva Carga x DeslocamentoCarga x Deslocamentoda trinca.da trinca.

ApApóós o ensaio, foram feitas as devidas s o ensaio, foram feitas as devidas caracterizacaracterizaçções geomões geoméétricas das tricas das superficiessuperficiesde fratura, atravde fratura, atravéés da ans da anáálise lise fractogrfractográáficaficapor Microscopia Eletrônica de Varredura por Microscopia Eletrônica de Varredura (MEV).(MEV).

A anA anáálise fractal da lise fractal da superficiesuperficie de fratura, foi de fratura, foi feita por meio de um mfeita por meio de um méétodo desenvolvido todo desenvolvido pelo estudante de doutorado Lucas Mpelo estudante de doutorado Lucas Mááximo ximo Alves, o qual chamouAlves, o qual chamou--se de se de ““ananáálise das lise das ilhas de contrasteilhas de contraste””. Este m. Este méétodo, todo, éé ananáálogo logo ao mao méétodo das ilhas cortadas de todo das ilhas cortadas de MandelbrotMandelbrot..

ArcabouArcabouççoo dodo desenvolvimentodesenvolvimento dodo trabalhotrabalho dede pesquisa pesquisa realizadorealizado

FUNDAMENTOS DA MECÂNICA DA FUNDAMENTOS DA MECÂNICA DA FRATURA CLFRATURA CLÁÁSSICASSICA

ModeloModelo dede uma placa uma placa plana plana ee infinitainfinita de de espessura desprezespessura desprezíível vel sujeita sujeita a a uma tensão uma tensão remotaremota, , = cte= cte..

Esta teoria não levaEsta teoria não leva em em contaconta a a rugosidaderugosidade dasdassuperfsuperfííciescies de de fraturafratura. . Por Por esta razão não esta razão não explica diversos efeitos explica diversos efeitos dependentes da dependentes da rugosidaderugosidade

BalanBalançço energo energéético de Griffithtico de Griffith--IrwinIrwin

dF dF –– dUdU dUdU

CondiCondiçção quaseão quase--estestáática de propagatica de propagaçção (grampos ão (grampos fixos)fixos)

dF = dF = XduXdu= 0= 0 IrwinIrwin--OrovanOrovan

((22effeff = 2= 2ee + + pp)) CondiCondiçção de deformaão de deformaçção plana ou ão plana ou triaxialidade triaxialidade

((x x , , yy, , , , zz) ) KKICIC = = ctecte

o

ooo

oo dL

UFdJE

LU )(22

effo

oooeffo dL

dURLU

22 ).(2 vidroExconstanteJRJ

IrwinGriffithdepropagaçãodeCritério

efooo

EL

dLdUJFp o

o

ooo

2

0/

INTRODUINTRODUÇÇÃO A TEORIA FRACTAL DE ÃO A TEORIA FRACTAL DE MEDIDAMEDIDA

FRACTALFRACTAL -- são objetos geomsão objetos geoméétricos cuja a dimensão de tricos cuja a dimensão de HaussdorfHaussdorf--BesicovitchBesicovitch excede estritamente a dimensão excede estritamente a dimensão topoltopolóógica e possuem estruturas em todas as suas escalas de gica e possuem estruturas em todas as suas escalas de ampliaampliaçção, comumente com alguma similaridade entre elasão, comumente com alguma similaridade entre elas

Invariância por transformaInvariância por transformaçção de escalaão de escala -- partes semelhantes partes semelhantes ao todo que pode ser por:ao todo que pode ser por:

AUTOAUTO--SIMILARIDADESIMILARIDADE ou ou AUTOAUTO--AFINIDADEAFINIDADE..(Ex. um Pinheiro) (Ex. uma Trinca)(Ex. um Pinheiro) (Ex. uma Trinca)

A extensão do objetoA extensão do objeto, , MMdd, , depende do tamanho da rdepende do tamanho da réégua de gua de medida utilizada, medida utilizada, , isto , isto éé,,

MMdd(() = ) = MMdododd--D D se se D = d D = d MMdd(() = ) = MMdodo.. fator de escala fator de escala = = lloo//LLoo ..

. Medida de uma . Medida de uma áárea de dimensão rea de dimensão D = 2D = 2, feita , feita com diversos padrões de medida com diversos padrões de medida uuDD = 1, 2, 3= 1, 2, 3..

DparaDparaM

DparaM DoD

0)(

ComparaComparaçção entre a geometria euclidiana e a geometria ão entre a geometria euclidiana e a geometria fractal. fractal. DD, , dd e e DDff representam as dimensões topolrepresentam as dimensões topolóógica, gica, euclidiana e fractal, de um ponto, de um segmento, de euclidiana e fractal, de um ponto, de um segmento, de uma superfuma superfíície plana e de um cubo, respectivamente.cie plana e de um cubo, respectivamente.

Modelo Fractal de EstruturasModelo Fractal de Estruturas

Padrão geomPadrão geoméétrico autotrico auto--similar similar construidoconstruido a partir a partir da iterada iteraçção de padrões geomão de padrões geoméétricos com estruturas tricos com estruturas em escalas sucessivas de ampliaem escalas sucessivas de ampliaççãoão

Fractais ramificados, mostrando os elementos de Fractais ramificados, mostrando os elementos de estrutura, ou as unidades estrutura, ou as unidades geometricasgeometricas elementares, elementares, de dois fractais. a) Fractal matemde dois fractais. a) Fractal matemáático autotico auto--similar similar b) Fractal fb) Fractal fíísico estatisticamente autosico estatisticamente auto--similar.similar.

Tipos de EscalonamentoTipos de Escalonamento ConstruConstruçção matemão matemáática de um fractal, seguindo uma regra btica de um fractal, seguindo uma regra báásica de sica de

preencimentopreencimento do espado espaçço a) o a) CoalescênciaCoalescência: : llrkrk = vari= variáávelvel , , LLoo = = ctecte, b) , b) FragmentaFragmentaçção: ão: llrkrk = vari= variáávelvel, , LLoo = = ctecte c) Crescimento: c) Crescimento: lloo = = ctecte, , LLrkrk = = varivariáável.vel.

AutoAuto--SimilaridadeSimilaridade Fractal autoFractal auto-- similar similar DxDx = = DyDy = = Dz = D;Dz = D;

d d D D d+1 ; d+1 ; DxDx + + DyDy + Dz = d+1+ Dz = d+1d = dimensão de projed = dimensão de projeçção ; d+ 1 = dimensão de imersãoão ; d+ 1 = dimensão de imersão

AutoAuto--AfinidadeAfinidade Fractal autoFractal auto-- afimafim

DxDx = = DyDy HH

d d D D d+1d+1

DxDx + + DyDy + H = d+1+ H = d+1

d = dimensão de projed = dimensão de projeççãoão

d+ 1 = dimensão de imersãod+ 1 = dimensão de imersão

O MODELAMENTO FRACTAL DA O MODELAMENTO FRACTAL DA SUPERFSUPERFÍÍCIE DE FRATURACIE DE FRATURA

Diferentes tipos de defeitos presentes num material que Diferentes tipos de defeitos presentes num material que agem como concentradores de tensão e influenciam na agem como concentradores de tensão e influenciam na formaformaçção da superfão da superfíície de fratura.cie de fratura.

Diferentes nDiferentes nííveis hierveis hieráárquicos estruturais de uma fratura rquicos estruturais de uma fratura em funem funçção da escala de observaão da escala de observaçção a) não a) níível atômico b) vel atômico b) nivelnivel cristalino (degraus de clivagem) c) ncristalino (degraus de clivagem) c) níível vel microestruturalmicroestrutural ((microsuperfmicrosuperfííciescies de fratura) e d) nde fratura) e d) níível vel macroestruturalmacroestrutural da superfda superfíície de fraturacie de fratura

SuperfSuperfíície ou perfil de cie ou perfil de fratura (fratura (triaxialidadetriaxialidade, , xx, , yy, , zz, ou deforma, ou deformaçção ão

plana, plana, KKICIC = = ctecte))

12

22

12

)2(1

H

o

o

H

o

o

o

Ll

LlH

dLdL

Modelo matemModelo matemáático autotico auto--afim (afim (Dx Dx = = DyDy HH))

22

12

H

o

oo

LlLL

GrGrááficofico do do comprimento rugosocomprimento rugoso, , LL, , mostrando mostrando a a influênciainfluência dos dos parâmetrosparâmetros do do modelomodelo

Efeito daEfeito da alturaaltura, , Ho,Ho, sobresobre o o comprimento rugosocomprimento rugoso, , LL..

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0 Ho = 0.00001 Ho = 0.0001 Ho = 0.001 Ho = 0.01 Ho = 0.1

Com

prim

ento

rugo

so d

a tri

nca

L (m

m)

comprimento projetado da trinca Lo (mm)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0

50

100

150

200

250 H = 0.2 H = 0.4 H = 0.6 H = 0.8 H = 1.0

Com

prim

ento

rugo

so d

a tri

nca

L (m

m)

comprimento projetado da trinca Lo (mm)

Efeito Efeito do do expoenteexpoente Hurst, Hurst, H,H,sobre sobre o o comprimento rugosocomprimento rugoso, , LL..

Postulados de transformaPostulados de transformaçção da MFão da MF--ClCláássica para a MFssica para a MF--FractalFractal

Equivalência energEquivalência energéética de tica de IrwinIrwin

oUUdeformaçãodeEnergia

Invariância das equaInvariância das equaçções para o caminho rugosoões para o caminho rugoso

oUU

superfíciedeEnergia

o

effo

o

oceffc

GLL

GLL 22

O MODELAMENTO FRACTAL DA O MODELAMENTO FRACTAL DA FRATURA ESTFRATURA ESTÁÁVELVEL

BalanBalançço energo energéético de Griffithtico de Griffith--IrwinIrwin ((dF dF –– dUdU dUdU CondiCondiçção de grampos fixos (ão de grampos fixos (dF = dF = XduXdu= 0= 0)) CondiCondiçção Quaseão Quase--EstEstáática de Propagatica de Propagaçção ou Critão ou Critéério de rio de

GriffithGriffith--IrwinIrwin ((JJoo RRoo))

MFMF--ClCláássicassica

MFMF--FractalFractal

o

oo

o

ooo dL

dUR

dLUFdJ

;)(

oeff

oo

oo

oo

dLdL

dLdLRR

dLdL

dLdU

RdLdL

dLUFdJ

2

;)(

0

Grandezas em funGrandezas em funçção da ão da ÁÁrea Projetada da rea Projetada da FraturaFratura corrigida pela rugosidade da corrigida pela rugosidade da

superfsuperfíície de fraturacie de fratura

2222

12

H

o

ooo L

lELU

22

122H

o

ooeffo L

lLU

Energia de DeformaEnergia de Deformaççãoão

Energia de SuperfEnergia de Superfííciecie

Taxa de Energia Taxa de Energia ElastoElasto--PlPláástica Liberada Fractalstica Liberada Fractal

222

)2(1H

o

ooo L

lHE

LJ

GrGrááfico da Energia de fico da Energia de DeformaDeformaçção, ão, UUoo x x LLoo

GrGrááfico da Energia de fico da Energia de SuperfSuperfíície, cie, UU x x LLoo

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

2000

4000

6000

8000

10000 H = 0.2 H = 0.4 H = 0.6 H = 0.8 H = 1.0

Ener

gia

de S

uper

fície

Uo (J

)

comprimento projetado da trinca Lo (mm)

GrGrááficos dasficos das grandezas em fungrandezas em funçção da ão da ÁÁrea rea Projetada da FraturaProjetada da Fratura corrigida pela corrigida pela rugosidade da superfrugosidade da superfíície de fraturacie de fratura

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-60000

-50000

-40000

-30000

-20000

-10000

0

H = 0.2 H = 0.4 H = 0.6 H = 0.8 H = 1.0

Ener

gia

de D

efor

maç

ão U

o (J)

comprimento projetado da trinca Lo (mm)

BalanBalançço Energo Energééticotico de Griffithde Griffith--Irwin Irwin corrigido corrigido pelo modelopelo modelo fractal fractal da rugosidadeda rugosidade

MFMF--ClCláássicossico

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Ener

gia

Tota

l (U

= U

o + U

) (J

)

comprimento projetado da trinca Lo (mm)

H = 0.2 H = 0.4 H = 0.6 H = 0.8 H = 1.0

MFMF--FractalFractal

RESULTADOS da SuperfRESULTADOS da Superfíície de Fraturacie de Fratura

AnAnáálise das lise das ““Ilhas de Ilhas de ContrasteContraste””

100 1000 10000

10

100

1000

10000 B2CT2 Ajuste Linear

log

Área

log Perímetro

AA1/21/2 ~ P~ P1/D 1/D logAlogA ~ 2/~ 2/DlogPDlogP

Tabela Tabela dos dos Resultados da anResultados da anááliselise dasdas superfsuperfíícesces de de fratura pelo fratura pelo mméétodotodo das das ““IlhasIlhas de de ContrasteContraste””

Amostras = 2/D = 2/(2-H) D = 2 - H H = 2 - D

A1CT1 1.0544 ± 0.0094 1.89681 ± 0.16910 0.10319 ± 0.00092

A1CT2 1.5468± 0.0297 1.29298 ± 0.02483 0.70702 ± 0.01357

B1CT2 1.6818± 0.0329 1.18922 ± 0.02326 0.81078 ± 0.01586

B1CT6 1.6315 ± 0.0435 1.22589 ± 0.03268 0.77411 ± 0.02064

B2CT2 1.4100 ± 0.1200 1.42000 ± 0.12085 0.58000 ± 0.04936

B2CT7 1.6437 ± 0.0186 1.21680 ± 0.01377 0.78320 ± 0.00886

B1SE[B]6 1.6525 ± 0.0260 1.21030 ± 0.01904 0.78970 ± 0.01242

B1SE[B]7 1.6106 ± 0.0224 1.2418 ± 0.01727 0.75820 ± 0.01054

PU0.5 1.3281 ± 0.0178 1.50590 ± 0.02018 0.49410 ± 0.00662

PU1.0 1.3330 ± 0.0122 1.50034 ± 0.01373 0.49966 ± 0.00457

Cerâmica 1.6632 ± 0.0200 1.2025± 0.0144 0.7975± 0.00959

Amostras = 2/D = 2/(2-H) D = 2 - H H = 2 - D

A1CT1 1.0544 ± 0.0094 1.89681 ± 0.16910 0.10319 ± 0.00092

A1CT2 1.5468± 0.0297 1.29298 ± 0.02483 0.70702 ± 0.01357

B1CT2 1.6818± 0.0329 1.18922 ± 0.02326 0.81078 ± 0.01586

B1CT6 1.6315 ± 0.0435 1.22589 ± 0.03268 0.77411 ± 0.02064

B2CT2 1.4100 ± 0.1200 1.42000 ± 0.12085 0.58000 ± 0.04936

B2CT7 1.6437 ± 0.0186 1.21680 ± 0.01377 0.78320 ± 0.00886

B1SE[B]6 1.6525 ± 0.0260 1.21030 ± 0.01904 0.78970 ± 0.01242

B1SE[B]7 1.6106 ± 0.0224 1.2418 ± 0.01727 0.75820 ± 0.01054

PU0.5 1.3281 ± 0.0178 1.50590 ± 0.02018 0.49410 ± 0.00662

PU1.0 1.3330 ± 0.0122 1.50034 ± 0.01373 0.49966 ± 0.00457

Cerâmica 1.6632 ± 0.0200 1.2025± 0.0144 0.7975± 0.00959

AmostrasAmostras = 2/D = 2/(2-H) = 2/D = 2/(2-H) D = 2 - HD = 2 - H H = 2 - DH = 2 - D

A1CT1A1CT1 1.0544 ± 0.00941.0544 ± 0.0094 1.89681 ± 0.169101.89681 ± 0.16910 0.10319 ± 0.000920.10319 ± 0.00092

A1CT2A1CT2 1.5468± 0.02971.5468± 0.0297 1.29298 ± 0.024831.29298 ± 0.02483 0.70702 ± 0.013570.70702 ± 0.01357

B1CT2B1CT2 1.6818± 0.03291.6818± 0.0329 1.18922 ± 0.023261.18922 ± 0.02326 0.81078 ± 0.015860.81078 ± 0.01586

B1CT6B1CT6 1.6315 ± 0.04351.6315 ± 0.0435 1.22589 ± 0.032681.22589 ± 0.03268 0.77411 ± 0.020640.77411 ± 0.02064

B2CT2B2CT2 1.4100 ± 0.12001.4100 ± 0.1200 1.42000 ± 0.120851.42000 ± 0.12085 0.58000 ± 0.049360.58000 ± 0.04936

B2CT7B2CT7 1.6437 ± 0.01861.6437 ± 0.0186 1.21680 ± 0.013771.21680 ± 0.01377 0.78320 ± 0.008860.78320 ± 0.00886

B1SE[B]6B1SE[B]6 1.6525 ± 0.02601.6525 ± 0.0260 1.21030 ± 0.019041.21030 ± 0.01904 0.78970 ± 0.012420.78970 ± 0.01242

B1SE[B]7B1SE[B]7 1.6106 ± 0.02241.6106 ± 0.0224 1.2418 ± 0.017271.2418 ± 0.01727 0.75820 ± 0.010540.75820 ± 0.01054

PU0.5PU0.5 1.3281 ± 0.01781.3281 ± 0.0178 1.50590 ± 0.020181.50590 ± 0.02018 0.49410 ± 0.006620.49410 ± 0.00662

PU1.0PU1.0 1.3330 ± 0.01221.3330 ± 0.0122 1.50034 ± 0.013731.50034 ± 0.01373 0.49966 ± 0.004570.49966 ± 0.00457

CerâmicaCerâmica 1.6632 ± 0.02001.6632 ± 0.0200 1.2025± 0.01441.2025± 0.0144 0.7975± 0.009590.7975± 0.00959

DISCUSSÕESDISCUSSÕES

Foi possFoi possíível obter uma relavel obter uma relaçção matemão matemáática entre o caminho tica entre o caminho rugoso, rugoso, LL, e projetado, , e projetado, LLoo..

O tamanho de rO tamanho de réégua mgua míínima, nima, lloo, aponta para o tamanho , aponta para o tamanho crcríítico mtico míínimo para a fratura, nimo para a fratura, aa, sugerido por , sugerido por MishnaevskyMishnaevsky..

A existência de um tamanho mA existência de um tamanho míínimo, nimo, lloo= a= a, para a fratura , para a fratura dependente das propriedades do material, implica em um dependente das propriedades do material, implica em um escalonamento fractal, escalonamento fractal, = lo/Lo = a/Lo , não arbitr, não arbitráário.rio.

As medidas experimentais confirmam a As medidas experimentais confirmam a fractalidadefractalidade autoauto--afim da superfafim da superfíície de fratura.cie de fratura.

RESULTADOS da Fratura QuaseRESULTADOS da Fratura Quase--EstEstááticatica

GrGrááfico de fico de JJoo x x LLoo

TeTeóóricorico

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

1000

2000

3000

4000

5000

H = 0,2 H = 0,4 H = 0,6 H = 0,8 H = 1,0

Cur

va J

- R

(Jou

les/

m2 )

comprimento projetado da trinca (mm)

GrGrááfico de fico de JJoo x x LLoo

ExperimentalExperimental

22

22

12

)2(12

H

o

o

H

o

o

effo

Ll

LlH

J

Tabela dos ajuste das curva JTabela dos ajuste das curva J--R para o Modelo AutoR para o Modelo Auto--AfimAfim

Material Amostra 2e + p(KJ/m2)

lo(mm) H(teo) H(exp) Constante(KJ.mm1-H)

MetálicoA1CT2

73,06782 9,24015

0,11671 0,02992

0,37721 0,01671

0,70702 0,01357

451,83955 200,54029

A2SE(B)2

19,43401 0,05183 0,20463 0,05635

- 367,36682

B1CT6 19,86755 6,01971

0,17699 0,1327

0,49198 0,05436

0,77411 0,02064

72,21186

B2CT2 37,07451 4,59279

0,07472 0,02642

0,56948 0,00692

0,58000 0,04936

162,02324 80,45072

PoliméricoPU0.5 0,02688 0,00035 0,36388

0,147610,49410 0,00622

6,94435

PU1.0 0,30541 0,00536 0,50060 0,18209

0,49966 0,00457

6,23528

Cerâmico Alumina 0,03018707

0,2493645

1.00000 0,79750 0,00959

0,03018707

Material Amostra 2e + p(KJ/m2)

lo(mm) H(teo) H(exp) Constante(KJ.mm1-H)

MetálicoA1CT2

73,06782 9,24015

0,11671 0,02992

0,37721 0,01671

0,70702 0,01357

451,83955 200,54029

A2SE(B)2

19,43401 0,05183 0,20463 0,05635

- 367,36682

B1CT6 19,86755 6,01971

0,17699 0,1327

0,49198 0,05436

0,77411 0,02064

72,21186

B2CT2 37,07451 4,59279

0,07472 0,02642

0,56948 0,00692

0,58000 0,04936

162,02324 80,45072

PoliméricoPU0.5 0,02688 0,00035 0,36388

0,147610,49410 0,00622

6,94435

PU1.0 0,30541 0,00536 0,50060 0,18209

0,49966 0,00457

6,23528

Cerâmico Alumina 0,03018707

0,2493645

1.00000 0,79750 0,00959

0,03018707

MaterialMaterial AmostraAmostra 2e + p(KJ/m2)2e + p(KJ/m2)

lo(mm)lo(mm) H(teo)H(teo) H(exp)H(exp) Constante(KJ.mm1-H)Constante(KJ.mm1-H)

MetálicoMetálicoA1CT2A1CT2

73,06782 9,2401573,06782 9,24015

0,11671 0,029920,11671 0,02992

0,37721 0,016710,37721 0,01671

0,70702 0,013570,70702 0,01357

451,83955 200,54029

451,83955 200,54029

A2SE(B)2A2SE(B)2

19,43401 19,43401 0,05183 0,05183 0,20463 0,056350,20463 0,05635

-- 367,36682 367,36682

B1CT6B1CT6 19,86755 6,0197119,86755 6,01971

0,17699 0,13270,17699 0,1327

0,49198 0,054360,49198 0,05436

0,77411 0,020640,77411 0,02064

72,21186 72,21186

B2CT2B2CT2 37,07451 4,5927937,07451 4,59279

0,07472 0,026420,07472 0,02642

0,56948 0,006920,56948 0,00692

0,58000 0,049360,58000 0,04936

162,02324 80,45072162,02324 80,45072

PoliméricoPoliméricoPU0.5PU0.5 0,02688 0,02688 0,00035 0,00035 0,36388

0,147610,36388 0,14761

0,49410 0,006220,49410 0,00622

6,94435 6,94435

PU1.0PU1.0 0,30541 0,30541 0,00536 0,00536 0,50060 0,182090,50060 0,18209

0,49966 0,004570,49966 0,00457

6,23528 6,23528

CerâmicoCerâmico AluminaAlumina 0,03018707 0,03018707

0,24936450,2493645

1.00000 1.00000 0,79750 0,009590,79750 0,00959

0,03018707 0,03018707

Tabela dos ajuste das curva JTabela dos ajuste das curva J--R para o Modelo AutoR para o Modelo Auto--similarsimilar

Material Amostra 2 e + p(KJ/m2)

lo(mm) H(teo) H(exp) Constante(KJ.mm1-H)

Metálico

A1CT2 15,24868 1,92835

0,00963 0,00247

0,41734 0,01849

0,70702 0,01357

360,9775 160,90

A2SE(B)2 2,20748 0,00382 0,20799 0,05727

325,2874

B1CT6 3,98898 1,20863

0,00498 0,00373

0,57297 0,03804

0,77411 0,02064

54,78316

B2CT2 15,15793 1,87776

0,01525 0,00539

0,59199 0,00408

0,58000 0,04936

117,6223 57,434

PoliméricoPU0.5 1,21669 0,13085 0,47622

0,065430,49410 0,00622

5,37921

PU1.0 3,13883 1,01222 0,50291 0,06957

0,49966 0,00457

4,67078

Cerâmico Alumina 0,03018707

0,2493645 1.00000 0,7975 0,00959

0,03018707

Material Amostra 2 e + p(KJ/m2)

lo(mm) H(teo) H(exp) Constante(KJ.mm1-H)

Metálico

A1CT2 15,24868 1,92835

0,00963 0,00247

0,41734 0,01849

0,70702 0,01357

360,9775 160,90

A2SE(B)2 2,20748 0,00382 0,20799 0,05727

325,2874

B1CT6 3,98898 1,20863

0,00498 0,00373

0,57297 0,03804

0,77411 0,02064

54,78316

B2CT2 15,15793 1,87776

0,01525 0,00539

0,59199 0,00408

0,58000 0,04936

117,6223 57,434

PoliméricoPU0.5 1,21669 0,13085 0,47622

0,065430,49410 0,00622

5,37921

PU1.0 3,13883 1,01222 0,50291 0,06957

0,49966 0,00457

4,67078

Cerâmico Alumina 0,03018707

0,2493645 1.00000 0,7975 0,00959

0,03018707

MaterialMaterial AmostraAmostra 2 e + p(KJ/m2)2 e + p(KJ/m2)

lo(mm)lo(mm) H(teo)H(teo) H(exp)H(exp) Constante(KJ.mm1-H)Constante(KJ.mm1-H)

MetálicoMetálico

A1CT2A1CT2 15,24868 1,9283515,24868 1,92835

0,00963 0,002470,00963 0,00247

0,41734 0,018490,41734 0,01849

0,70702 0,013570,70702 0,01357

360,9775 160,90360,9775 160,90

A2SE(B)2A2SE(B)2 2,20748 2,20748 0,00382 0,00382 0,20799 0,057270,20799 0,05727

325,2874 325,2874

B1CT6B1CT6 3,98898 1,208633,98898 1,20863

0,00498 0,003730,00498 0,00373

0,57297 0,038040,57297 0,03804

0,77411 0,020640,77411 0,02064

54,78316 54,78316

B2CT2B2CT2 15,15793 1,8777615,15793 1,87776

0,01525 0,005390,01525 0,00539

0,59199 0,004080,59199 0,00408

0,58000 0,049360,58000 0,04936

117,6223 57,434117,6223 57,434

PoliméricoPoliméricoPU0.5PU0.5 1,21669 1,21669 0,13085 0,13085 0,47622

0,065430,47622 0,06543

0,49410 0,006220,49410 0,00622

5,37921 5,37921

PU1.0PU1.0 3,13883 3,13883 1,01222 1,01222 0,50291 0,069570,50291 0,06957

0,49966 0,004570,49966 0,00457

4,67078 4,67078

CerâmicoCerâmico AluminaAlumina 0,03018707 0,03018707

0,24936450,2493645 1.00000 1.00000 0,7975 0,009590,7975 0,00959

0,03018707 0,03018707

Dados calculados a partir dos modelos auto-afim e auto-similar

Material Amostra f(107

N/m2)E (107N/m2)

p/ lo auto-similar

KIC (N.m-3/2)p/ lo auto-similar

E (107N/m2) p/ lo auto-afim

KIC (N.m-3/2)p/ lo auto-afim

MetálicoA1CT2 5,16 0,52825463 283816,59245 1,3360761 988049,43125

A2SE(B)2 7,57 1,8112216 523969,17429 3,6282991 1,15982E6

B1CT6 7,71 2,33145 304960,77721 16,636541 1,81804E6

B2CT2 4,84 1,2735241 167668,69319 1,9627247 617605,14095

PoliméricoPU0.5 0,407 0,55967058 82519,42803 0,067760635608

664267,79321

PU1.0 0,407 1,6782081 229512,74257 0,09133142374851

16701,35627

Cerâmico Alumina 3,4 3000,0008 951636,66572 0,08421409481890

159442,05139

Material Amostra f(107

N/m2)E (107N/m2)

p/ lo auto-similar

KIC (N.m-3/2)p/ lo auto-similar

E (107N/m2) p/ lo auto-afim

KIC (N.m-3/2)p/ lo auto-afim

MetálicoA1CT2 5,16 0,52825463 283816,59245 1,3360761 988049,43125

A2SE(B)2 7,57 1,8112216 523969,17429 3,6282991 1,15982E6

B1CT6 7,71 2,33145 304960,77721 16,636541 1,81804E6

B2CT2 4,84 1,2735241 167668,69319 1,9627247 617605,14095

PoliméricoPU0.5 0,407 0,55967058 82519,42803 0,067760635608

664267,79321

PU1.0 0,407 1,6782081 229512,74257 0,09133142374851

16701,35627

Cerâmico Alumina 3,4 3000,0008 951636,66572 0,08421409481890

159442,05139

MaterialMaterial AmostraAmostra f(107

N/m2)f(107

N/m2)E (107N/m2)

p/ lo auto-similar

E (107N/m2) p/ lo auto-

similar

KIC (N.m-3/2)p/ lo auto-similar

KIC (N.m-3/2)p/ lo auto-similar

E (107N/m2) p/ lo auto-afimE (107N/m2)

p/ lo auto-afimKIC (N.m-3/2)

p/ lo auto-afimKIC (N.m-3/2)

p/ lo auto-afim

MetálicoMetálicoA1CT2A1CT2 5,165,16 0,528254630,52825463 283816,59245283816,59245 1,33607611,3360761 988049,43125988049,43125

A2SE(B)2A2SE(B)2 7,577,57 1,81122161,8112216 523969,17429523969,17429 3,62829913,6282991 1,15982E61,15982E6

B1CT6B1CT6 7,717,71 2,331452,33145 304960,77721304960,77721 16,63654116,636541 1,81804E61,81804E6

B2CT2B2CT2 4,844,84 1,27352411,2735241 167668,69319167668,69319 1,96272471,9627247 617605,14095617605,14095

PoliméricoPoliméricoPU0.5PU0.5 0,4070,407 0,559670580,55967058 82519,4280382519,42803 0,067760635608

660,067760635608

664267,793214267,79321

PU1.0PU1.0 0,4070,407 1,67820811,6782081 229512,74257229512,74257 0,09133142374851

0,09133142374851

16701,3562716701,35627

CerâmicoCerâmico AluminaAlumina 3,43,4 3000,00083000,0008 951636,66572951636,66572 0,08421409481890

0,08421409481890

159442,05139159442,05139

DISCUSSÕESDISCUSSÕES Todas as influências do processo deixam traTodas as influências do processo deixam traçços sobre a os sobre a

morfologia da superfmorfologia da superfíície de fratura garantindo o sucesso do cie de fratura garantindo o sucesso do modelo fractal da fratura.modelo fractal da fratura.

Quanto maior a dificuldade para a trinca se propagar menor Quanto maior a dificuldade para a trinca se propagar menor ééo o HH e maior a rugosidade e maior o tamanho cre maior a rugosidade e maior o tamanho críítico, tico, LLococ..

Uma nova propriedade para a fratura que pode ser chamada Uma nova propriedade para a fratura que pode ser chamada de de ““Densidade Fractal de EnergiaDensidade Fractal de Energia””

constantelHLJ Hoeff

Hoo 11 )2(4

RelaRelaçção de universalidade para as curvas Jão de universalidade para as curvas J--RR

1211 )2()2(4 HoIC

Hoeff

Hoof lHKlHEELJK

ou ou ““tenacidade fractal a fraturatenacidade fractal a fratura””, v, váálida para o inicio da lida para o inicio da propagapropagaçção da trincaão da trinca

),(12

)2(1)2(2 22

22

HfHJ

geométrica

H

H

energética

pe

o

Confusão na literatura a respeito da correta expressão da Confusão na literatura a respeito da correta expressão da curva Jcurva J--R pela teoria fractal.R pela teoria fractal.

Foi possFoi possíível separar a influência da rugosidade da vel separar a influência da rugosidade da influência da funinfluência da funçção ão Y(Y(LLoo/W)/W) no cno cáálculo da curva Jlculo da curva J--R.R.

-2 0 2 4 6 8 10 12 14

0

50

100

150

200

250

300

350

400

J o/(2

e + p

)

(lo/Lo)

B2CT2 B1CT6 A2SEB2 PU05 PU10 A1CT2

GrGrááfico da relafico da relaçção de universalidade para as curvas Jão de universalidade para as curvas J--RR

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 70000

50

100

150

200

250

300

350

400

J o/(2

e +

p)

1/ (Lo/l

o)

B2CT2 B1CT6 A2SEB2 PU05 PU10 A1CT2

CONCLUSÕES CONCLUSÕES

A teoria fractal de medida A teoria fractal de medida éé imprescindimprescindíível para vel para uma anuma anáálise mais profunda do fenômeno da fratura.lise mais profunda do fenômeno da fratura.

Todas as influências do processo deixam traTodas as influências do processo deixam traçços sobre os sobre a morfologia da superfa morfologia da superfíície de fratura garantindo o cie de fratura garantindo o sucesso do modelo fractal da fratura.sucesso do modelo fractal da fratura.

A rugosidade da superfA rugosidade da superfíície de fratura explica o cie de fratura explica o crescimento da curva Jcrescimento da curva J--R.R.

A A abordagemabordagem fractalfractal dada MFMF provê uma provê uma úúnicanica eeconcisa ferramenta para determinar entre outras concisa ferramenta para determinar entre outras propriedadespropriedades asas condicondiççõesões sob assob as quaisquais aa ramificaramificaçção ão da trinca toma lugarda trinca toma lugar..

O crescimento estO crescimento estáável de trinca vel de trinca éécaracterizado pela curva caracterizado pela curva JJ--RR e observae observa--se se que esta curva cresce com o aumento no que esta curva cresce com o aumento no comprimento da fratura. Este crescimento comprimento da fratura. Este crescimento tem sido analisado por argumentos tem sido analisado por argumentos qualitativos] mas nenhuma explicaqualitativos] mas nenhuma explicaçção ão definitiva e satisfatdefinitiva e satisfatóória em termos da ria em termos da MFEP tem sido apresentada.MFEP tem sido apresentada.

Neste trabalho introduziuNeste trabalho introduziu--se a se a geometria fractal no formalismo da MFEP geometria fractal no formalismo da MFEP para descrever os efeitos da rugosidade para descrever os efeitos da rugosidade nas propriedades mecânicas. nas propriedades mecânicas.

A expressão clA expressão cláássica da taxa de energia ssica da taxa de energia elastoelasto--plpláástica liberada foi corrigida stica liberada foi corrigida introduzindointroduzindo--se a se a fractalidadefractalidade (rugosidade) (rugosidade) da superfda superfíície trincada.cie trincada.

Este procedimento tornou a expressão Este procedimento tornou a expressão clcláássica, linear com o comprimento da ssica, linear com o comprimento da fratura, obtida pela MFEP, fratura, obtida pela MFEP, eqeq. (2.76), em . (2.76), em uma equauma equaçção nãoão não--linear, linear, eqeq. (4.69), que . (4.69), que reproduz precisamente o processo de reproduz precisamente o processo de propagapropagaçção quaseão quase--estestáático de trincas nos tico de trincas nos materiais dmateriais dúúcteis. cteis.

MostrouMostrou--se portanto de forma se portanto de forma inambinambííguaguacomo diferentes morfologias (rugosidades) como diferentes morfologias (rugosidades) são correlacionadas com o crescimento da são correlacionadas com o crescimento da curva curva JJ--RR. Ou seja,. Ou seja,

devido a equivalência energdevido a equivalência energéética de tica de IrwinIrwinpara o caminho projetado da fratura, a curva para o caminho projetado da fratura, a curva JJ--RR apresenta um crescimento proveniente apresenta um crescimento proveniente da influência da rugosidade que não era da influência da rugosidade que não era computado anteriormente pelas equacomputado anteriormente pelas equaçções ões clcláássicas da MFEP baseada na geometria ssicas da MFEP baseada na geometria euclidiana.euclidiana.

(i) o problema do (i) o problema do modelamentomodelamento fractal da fratura instfractal da fratura instáável (ou vel (ou catastrcatastróófica) com ramificafica) com ramificaçções de trinca que não foi ões de trinca que não foi feito neste trabalho. Este modelo deverfeito neste trabalho. Este modelo deveráá ser um extensão ser um extensão dos modelos de fratura aqui apresentados.dos modelos de fratura aqui apresentados.

((iiii) o ) o modelamentomodelamento fractal da fragmentafractal da fragmentaçção por ramificaão por ramificaçção ão de trinca. Este de trinca. Este éé um problema que deve ser resolvido um problema que deve ser resolvido devido a suas diretas aplicadevido a suas diretas aplicaçções tecnolões tecnolóógicas, mas gicas, mas éénecessnecessáário contar com o estrio contar com o estáágio sugerido pelo item gio sugerido pelo item anterior.anterior.

((iiiiii) o ) o modelamentomodelamento fractal da nucleafractal da nucleaçção e do crescimento ão e do crescimento simultâneo de trincas ramificadas. Este modelo sersimultâneo de trincas ramificadas. Este modelo seráá úútil til para resolver problemas de choque tpara resolver problemas de choque téérmico, fratura em rmico, fratura em solos e impacto.solos e impacto.

PERSPECTIVAS FUTURASPERSPECTIVAS FUTURAS

((iviv) um ) um modelamento modelamento Termodinâmico Fractal e Termodinâmico Fractal e uma Mecânica Estatuma Mecânica Estatíística Fractal para a stica Fractal para a fratura. Este tipo de abordagem generalizada fratura. Este tipo de abordagem generalizada deverdeveráá preencher uma lacuna existente entre a preencher uma lacuna existente entre a mecânica da fratura e a teoria da mecânica da fratura e a teoria da fragmentafragmentaçção e a teoria dos meios granulares.ão e a teoria dos meios granulares.

(v) uma simula(v) uma simulaçção da fratura rugosa nos seus mais ão da fratura rugosa nos seus mais variados casos. Esta simulavariados casos. Esta simulaçção serão seráá úútil para til para se obter respostas imediatas a problemas se obter respostas imediatas a problemas tecnoltecnolóógicos de fraturas e choque tgicos de fraturas e choque téérmico em rmico em materiais.materiais.