MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia...
Transcript of MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia...
![Page 1: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/1.jpg)
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Dr. Daniel Caetano
2018 - 2
MOMENTO DE INÉRCIA
![Page 2: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/2.jpg)
Objetivos
• Apresentar os conceitos: – Momento de inércia: retangular e polar
– Produto de Inércia
– Eixos Principais de Inércia
• Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos
• Determinar os eixos principais e calcular os momentos principais de inércia
![Page 3: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/3.jpg)
Material de Estudo
Material Acesso ao Material
Apresentação http://www.caetano.eng.br/ (Resistência dos Materiais II – Aula 2)
Material Didático Resistência dos Materiais (Beer et al.), págs 728 a 732 Resistência dos Materiais (Hibbeler), págs 570-576
Biblioteca Virtual “Resistência dos Materiais”
![Page 4: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/4.jpg)
RELEMBRANDO:
“MEDINDO A FORMA”
![Page 5: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/5.jpg)
Características das Figuras Planas
• Perímetro
• Área
• Momento Estático → cálculo do centroide
– O quão “simétrica” é a distribuição da área
![Page 6: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/6.jpg)
Momento Estático
• Cálculo do Momento Estático
– Área x Distância até Eixo do Centro de Gravidade
𝑆𝑥 = 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴
𝑆𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑑𝐴𝐴
• Unidade S = [L3]
x
y
![Page 7: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/7.jpg)
MOMENTO DE INÉRCIA
![Page 8: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/8.jpg)
Momento de Inércia • Área
– Mede: quantidade de material
• Momento Estático (ou de 1ª Ordem)
– S = A ∙ d
– Mede a assimetria com relação a um eixo
– Objetivo: identificar o ponto de equilíbrio
– Isso é suficiente para descrever?
![Page 9: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/9.jpg)
Momento de Inércia
• Momento de Inércia (ou de 2ª Ordem)
– “I = A ∙ d2”
– O que mede?
– O espalhamento da área com relação a um eixo
– Objetivo: ???
• Tem a ver com a inércia
![Page 10: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/10.jpg)
Momento de Inércia
• Inércia:
– Tendência de manter estado de movimento
– Massa Inercial
– F = m . a
![Page 11: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/11.jpg)
Momento de Inércia
• Momento de Inércia
– Inércia de um corpo ao giro
– Resistência a alterar o movimento de giro
– “I = A ∙ d2”
Quanto maior o momento de inércia, mais esforço necessário para colocar em movimento de giro
![Page 12: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/12.jpg)
Momento de Inércia
• Diferença no giro pelo Momento de Inércia
Vídeo!
![Page 13: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/13.jpg)
Momento de Inércia
• Região plana: várias direções possíveis
– No mesmo plano...
– Perpendicular ao plano...
![Page 14: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/14.jpg)
MOMENTO RETANGULAR DE INÉRCIA
![Page 15: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/15.jpg)
Momento Retangular de Inércia
• Ou simplesmente Momento de Inércia
𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
𝐼𝑦 = 𝑥2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
• Importante nas flexões
• Sempre positivos! → Unidade I = [L4]
x
y
![Page 16: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/16.jpg)
Momento de Inércia
• Será que dá pra simplificar?
– “Equação”: I = A.d2
– Será que funciona?
y
x
Ix = A.y2
h
b
Ix = b.h. (h/2)2
Ix = b.h.h2/4
Ix = b.h3/4
𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
![Page 17: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/17.jpg)
Momento de Inércia • Calculando pelo método da integral
y
h
b
x
dA
𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
= 𝑦2 ∙ 𝑑𝑥. 𝑑𝑦𝑏
0
ℎ
0
=
dy
dx
y
![Page 18: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/18.jpg)
Momento de Inércia • Calculando pelo método da integral
y
h
b
x
dA
𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝑥. 𝑑𝑦𝑏
0
ℎ
0
=
dy
dx
𝑦2 ∙ 𝑑𝑥. 𝑑𝑦𝑏
0
ℎ
0
=
y
![Page 19: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/19.jpg)
Momento de Inércia • Calculando pelo método da integral
y
h
b
x
dA
dy
dx
𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝑥. 𝑑𝑦𝑏
0
ℎ
0
= 𝑦2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑𝑦ℎ
0
=
y
![Page 20: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/20.jpg)
Momento de Inércia • Calculando pelo método da integral
y
h
b
x
dA
dy
dx
𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑𝑦ℎ
0
= 𝑏 ∙ 𝑦2 ∙ 𝑑𝑦ℎ
0
=
y
![Page 21: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/21.jpg)
Momento de Inércia • Calculando pelo método da integral
y
h
b
x
dA
𝒃 ∙ 𝒉𝟑
𝟑
dy
dx
𝐼𝑥 = 𝑏 ∙ 𝑦2 ∙ 𝑑𝑦ℎ
0
= 𝑏 ∙𝑦3
3 ℎ0=
y
![Page 22: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/22.jpg)
A2
Momento de Inércia
• Calcular por partes funciona?
A1
y
h
b/2
x
𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴1𝐴1
+ 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴2𝐴2
= 𝑏 ∙ ℎ3
6+𝑏 ∙ ℎ3
6= 𝒃 ∙ 𝒉𝟑
𝟑
b/2
![Page 23: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/23.jpg)
Momento de Inércia • Outro momento de inércia importante
𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
=𝑏 ∙ ℎ3
12
y
h
b x
dA
y
![Page 24: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/24.jpg)
Momento de Inércia • Como calcular por partes esse outro?
A2
A1
y
h
b2
x
b1
𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴1𝐴1
+ 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴2𝐴2
= 𝒃𝟏 ∙ 𝒉𝟑
𝟑+𝒃𝟐 ∙ 𝒉𝟑
𝟏𝟐
![Page 25: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/25.jpg)
EXERCÍCIO
![Page 26: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/26.jpg)
Exercício
• Calcular Ix
2
6
2 4
x
y
6
2
4
𝒃 ∙ 𝒉𝟑
𝟑
𝒃 ∙ 𝒉𝟑
𝟏𝟐
![Page 27: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/27.jpg)
Exercício
• Calcular Ix
6
2 4
x
2
y
6
2
4
𝒃 ∙ 𝒉𝟑
𝟑
𝒃 ∙ 𝒉𝟑
𝟏𝟐
![Page 28: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/28.jpg)
EIXO CENTRAL DE INÉRCIA
![Page 29: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/29.jpg)
Eixo Central de Inércia • As coisas em geral giram por um eixo...
– Que passa no centroide do corpo!
• Propriedades especiais
– Vamos ver mais adiante!
![Page 30: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/30.jpg)
Eixo Central de Inércia • Calculando o M.I. do eixo central horizontal
y
h/2
b
dy
x
dA
h/2
𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
= 𝑦2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑𝑦ℎ/2
−ℎ/2
=𝒃 ∙ 𝒉𝟑
𝟏𝟐
y
![Page 31: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/31.jpg)
Eixo Central de Inércia • Calculando o M.I. do eixo central horizontal
y
h/2
b
x
dA
h/2
𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
= 𝑦2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑𝑦ℎ/2
−ℎ/2
=𝒃 ∙ 𝒉𝟑
𝟏𝟐
y
O eixo central, dentre os paralelos a ele, é o eixo de menor inércia
dy
![Page 32: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/32.jpg)
Eixo Central de Inércia • Eixo Central
– Menor inércia entre os paralelos a ele
x
Ao afastar o eixo do centro, o momento de inércia sobe
+ +
![Page 33: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/33.jpg)
EXERCÍCIO
![Page 34: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/34.jpg)
Exercício
• Calcular Ix
4
8
4
x
2
4
2
y
𝒃 ∙ 𝒉𝟑
𝟑
𝒃 ∙ 𝒉𝟑
𝟏𝟐
![Page 35: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/35.jpg)
Exercício
• Calcular Ix
4
8
4
x
2
4
2
y
𝒃 ∙ 𝒉𝟑
𝟑
𝒃 ∙ 𝒉𝟑
𝟏𝟐
![Page 36: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/36.jpg)
MOMENTO POLAR DE INÉRCIA
![Page 37: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/37.jpg)
Momento Polar de Inércia
• Rotação em torno de um eixo que sai da tela
O
![Page 38: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/38.jpg)
Momento Polar de Inércia
• Rotação em torno de um eixo que sai da tela
O
![Page 39: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/39.jpg)
Momento Polar de Inércia
• Rotação em torno de um eixo que sai da tela
O
![Page 40: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/40.jpg)
Momento Polar de Inércia
• Rotação em torno de um eixo que sai da tela
O
![Page 41: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/41.jpg)
Momento Polar de Inércia
• Cálculo do Momento Polar de Inércia
𝐽𝑂 = 𝜌2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
• Inércia relativa a um ponto (eixo que “sai” por ele)
• Importante nas torções
• Sempre positivo! → Unidade J = [L4]
O
ρ dA
![Page 42: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/42.jpg)
Momento de Inércia
• Exemplo
𝐽𝑂 = 𝜌2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
y
ρ
x
dA
O
![Page 43: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/43.jpg)
Momento de Inércia
• Exemplo
y
ρ
x
dA
O
𝐽𝑂 = 𝜌2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
= 𝝅 ∙ 𝑹𝟒
𝟐
R
![Page 44: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/44.jpg)
EXERCÍCIO
![Page 45: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/45.jpg)
Exercício
• Calcular Jo
4
x 2
y
O
![Page 46: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/46.jpg)
RELAÇÃO MOMENTO POLAR X RETANGULAR DE INÉRCIA
![Page 47: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/47.jpg)
Momento Polar de Inércia
• Relação com Momento de Inércia
𝐽𝑂 = 𝜌2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
y
ρ
x
x
O
y
𝜌2 = 𝑥2 + 𝑦2
![Page 48: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/48.jpg)
Momento Polar de Inércia
• Relação com Momento de Inércia
y
ρ
x
x
O
y
𝜌2 = 𝑥2 + 𝑦2
𝐽𝑂 = 𝜌2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
𝐽𝑂 = (𝑥2 + 𝑦2) ∙ 𝑑𝐴𝐴
![Page 49: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/49.jpg)
Momento Polar de Inércia
• Relação com Momento de Inércia
𝐽𝑂 = (𝑥2 + 𝑦2) ∙ 𝑑𝐴𝐴
𝐽𝑂 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
+ 𝑥2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
![Page 50: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/50.jpg)
Momento Polar de Inércia
• Relação com Momento de Inércia
𝐽𝑂 = (𝑥2 + 𝑦2) ∙ 𝑑𝐴𝐴
𝐽𝑂 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
+ 𝑥2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
𝑱𝑶 = 𝑰𝒙 + 𝑰𝒚
![Page 51: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/51.jpg)
EXERCÍCIO
![Page 52: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/52.jpg)
Exercício
• Calcular Jo
4
x
y
O
4
4 4
![Page 53: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/53.jpg)
A INÉRCIA “MISTERIOSA”
![Page 54: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/54.jpg)
A Inércia Misteriosa
• Se esses são momentos de inércia...
𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
= 𝑦 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴
𝐼𝑦 = 𝑥2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
= 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑑𝐴𝐴
• O que seria isso?
𝐼𝑥𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴
![Page 55: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/55.jpg)
Produto de Inércia
• Produto de Inércia: será usado depois
𝐼𝑥𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴
• Pode ser positivo ou negativo → [Ixy] = m4
x
y
Ixy < 0 Ixy > 0
Ixy < 0 Ixy > 0
![Page 56: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/56.jpg)
Produto de Inércia
• Produto de Inércia: será usado depois
𝐼𝑥𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴
• Pode ser positivo ou negativo → [Ixy] = m4
x
y
Ixy < 0 Ixy > 0
Ixy < 0 Ixy > 0
Quando um dos eixos é de simetria, o
produto de inércia será sempre ZERO!
![Page 57: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/57.jpg)
EXERCÍCIO
![Page 58: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/58.jpg)
Exercício
• Calcular Ixy
7
x
y
O
3
5
4
5
4
![Page 59: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/59.jpg)
PAUSA PARA O CAFÉ!
![Page 60: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/60.jpg)
TRANSLAÇÃO DE EIXO NO MOMENTO DE INÉRCIA
![Page 61: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/61.jpg)
• Momento de Inércia (Ix conhecido)
Translação de Eixos
y
x
x’
y
y'
𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
𝐼𝑥′ = 𝑦′2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
![Page 62: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/62.jpg)
• Momento de Inércia (Ix conhecido)
Translação de Eixos
y
x
x’
y
y'
𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
𝐼𝑥′ = 𝑦′2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
d
𝒚′ = (𝒚 + 𝒅)
![Page 63: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/63.jpg)
• Momento de Inércia (Ix conhecido)
Translação de Eixos
y
x
x’
y
y'
𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
𝐼𝑥′ = (𝒚 + 𝒅)2∙ 𝑑𝐴𝐴
d
𝒚′ = (𝒚 + 𝒅)
![Page 64: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/64.jpg)
• Momento de Inércia (Ix conhecido)
𝐼𝑥′ = (𝑦 + 𝑑)2∙ 𝑑𝐴𝐴
𝐼𝑥′ = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
+ 2 ∙ 𝑑 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴
+ 𝑑2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
𝐼𝑥′ = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
+ 2. 𝑑. 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴
+ 𝑑2. 𝑑𝐴𝐴
𝑰𝒙′ = 𝑰𝒙 + 𝟐 ∙ 𝒅 ∙ 𝑺𝒙 + 𝒅𝟐 ∙ 𝑨
Translação de Eixos 𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
![Page 65: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/65.jpg)
• Como fica a translação se x for um eixo central?
𝑰𝒙′ = 𝑰𝒙 + 𝟐 ∙ 𝒅 ∙ 𝑺𝒙 + 𝒅𝟐 ∙ 𝑨
• Qual o valor de Sx nesse caso?
– Se x é central... Sx = 0
𝑰𝒙′ = 𝑰𝒙 + 𝟐 ∙ 𝒅 ∙ 𝑺𝒙 + 𝒅𝟐 ∙ 𝑨
𝑰𝒙′ = 𝑰𝒙 + 𝑨 ∙ 𝒅𝟐
Translação de Eixos
![Page 66: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/66.jpg)
Translação de Eixos
• PRIMEIRO E ÚNICO MANDAMENTO
“Não transladarás eixo que não seja central!”
![Page 67: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/67.jpg)
EXERCÍCIO
![Page 68: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/68.jpg)
Exercício
• Calcular Ix
4
4
x
4
![Page 69: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/69.jpg)
Translação de Eixos - Complemento
• Obviamente isso vale para x e y centrais:
𝑰𝒙′ = 𝑰𝒙 + 𝑨 ∙ 𝒅𝟐
𝑰𝒚′ = 𝑰𝒚 + 𝑨 ∙ 𝒅𝟐
• Como Ix e Iy → eixos centrais, d → positivo
– Partindo do central, translação AUMENTA momento
• Se O é o centroide... também vale:
𝑱𝑶′ = 𝑱𝑶 + 𝑨 ∙ 𝒅𝟐
![Page 70: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/70.jpg)
TRANSLAÇÃO DE EIXO NO PRODUTO DE INÉRCIA
![Page 71: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/71.jpg)
Translação de Eixos • Pode-se demonstrar que se os eixos passam
pelo centroide, isso é válido...
𝑰𝒙′ = 𝑰𝒙 + 𝑨 ∙ 𝒅𝟐
𝑰𝒚′ = 𝑰𝒚 + 𝑨 ∙ 𝒅𝟐
• Da mesma forma deduz-se que...
𝑰𝒙𝒚′ = 𝑰𝒙𝒚 + 𝑨 ∙ 𝒅𝒙 ∙ 𝒅𝒚
![Page 72: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/72.jpg)
Translação de Eixos
• Qual o sinal de dx e dy?
𝑰𝒙𝒚′ = 𝑰𝒙𝒚 + 𝑨 ∙ 𝒅𝒙 ∙ 𝒅𝒚
• Referência: eixo destino da translação
• Exemplo
X
Y
x’
y'
![Page 73: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/73.jpg)
Exercício
• Calcular Ixy
x
y
0,25m
0,10m
0,30m
0,10m
![Page 74: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/74.jpg)
Exercício
• Calcular Ixy
x
y
0,25m
0,10m
A2
X’
Y’
A1
0,30m
0,10m
-0,25m
0,2m
IA2xy =
IA2xy = 0,3∙0,1∙ (-0,25)∙ 0+ 0,2 = -1,5 ∙10-3 m4
IA1xy = 0 m4
IA2x’y’ +A2∙dx∙dy
![Page 75: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/75.jpg)
Exercício
• Calcular Ixy
IA1xy = 0
IA2xy = -1,5∙10-3 m4
x
y
0,25m
0,10m
A2
A3
X’
Y’ A1
0,30m
0,10m
IA3xy =
IA3xy = 0,3∙0,1∙ 0,25∙ -(0,2) = -1,5 ∙10-3 m4
IA3x’y’ +A3∙dx∙dy 0+
0,25m
-0,2m
![Page 76: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/76.jpg)
Exercício • Calcular Ixy
IA1xy = 0
IA2xy = -1,5∙10-3 m4
IA3xy = -1,5∙10-3 m4
• Ixy = IA1xy +IA2xy +IA3xy =
= 0 -1,5 ∙10-3 -1,5 ∙10-3 = -3,0 ∙10-3 m4
x
y
0,25m
0,10m
A2
A3
A1
0,30m
0,10m
![Page 77: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/77.jpg)
ROTAÇÃO DE EIXOS DE INÉRCIA
![Page 78: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/78.jpg)
Rotação de Eixos • Conhecidos Ix, Iy e Ixy
x
y
![Page 79: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/79.jpg)
Rotação de Eixos • Conhecidos Ix, Iy e Ixy
• Como calcular Ix’, Iy’ e Ix’y’?
x
y
θ
![Page 80: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/80.jpg)
Rotação de Eixos • Conhecidos Ix, Iy e Ixy
• Como calcular Ix’, Iy’ e Ix’y’?
• x’ = x.cos θ + y.sen θ
• y’ = y.cos θ - x.sen θ
• Realizando a integral de Ix’ e Iy’...
x
y
θ
dA
𝐼𝑥′ = 𝑦′2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
𝐼𝑦′ = 𝑥′2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
![Page 81: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/81.jpg)
Rotação de Eixos • Relações:
𝑰𝒙′ = 𝑰𝒙 + 𝑰𝒚
𝟐+𝑰𝒙 − 𝑰𝒚
𝟐∙ cos 𝟐𝜽 − 𝑰𝒙𝒚 ∙ sin 𝟐𝜽
𝑰𝒚′ = 𝑰𝒙 + 𝑰𝒚
𝟐−𝑰𝒙 − 𝑰𝒚
𝟐∙ cos 𝟐𝜽 + 𝑰𝒙𝒚 ∙ sin 𝟐𝜽
𝑰𝒙′𝒚′ = 𝑰𝒙 − 𝑰𝒚
𝟐∙ sin 𝟐𝜽 + 𝑰𝒙𝒚 ∙ cos 𝟐𝜽
Jo permanece o mesmo!
x
y
θ
dA
Por quê?
![Page 82: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/82.jpg)
ENCONTRANDO EIXOS DE MAIOR E MENOR INÉRCIA
![Page 83: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/83.jpg)
Eixos de Maior e Menor Inércia
• Maior momento de inércia: maior resistência
– Máximo I, máxima resistência à flexão
![Page 84: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/84.jpg)
Eixos de Maior e Menor Inércia
• Para um dado centro de inércia O...
• ...existem infinitos pares de eixos
• Um deles: máximo e mínimo momentos Ix e Iy
x
y
O
![Page 85: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/85.jpg)
Eixos de Maior e Menor Inércia
• Para um dado centro de inércia O...
• ...existem infinitos pares de eixos
• Um deles: máximo e mínimo momentos Ix e Iy
• De especial interesse: O no centroide
x
y
O
![Page 86: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/86.jpg)
Eixos de Maior e Menor Inércia
• Como encontrar eixos de máximo e mínimo? a) Calcula-se Ix, Iy e Ixy para eixos convenientes
b) Verifica-se este ângulo:
• Se θp for 0, são eixos de máximo e mínimo – Recebem o nome de eixos principais
• Se θp não for 0, θp indica a rotação necessária
𝜽𝒑 =
𝒂𝒕𝒂𝒏𝟐 ∙ 𝑰𝒙𝒚𝑰𝒚 −𝑰𝒙
𝟐
![Page 87: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/87.jpg)
Eixos Centrais de Maior e Menor Inércia
• Se θp não for 0, θp indica a rotação necessária
• Pode-se calcular os novos máximos e mínimos
𝑰𝒎𝒂𝒙 =𝑰𝒙 + 𝑰𝒚
𝟐+
𝑰𝒙 + 𝑰𝒚
𝟐
𝟐
+ 𝑰𝒙𝒚𝟐
𝑰𝒎𝒊𝒏 =𝑰𝒙 + 𝑰𝒚
𝟐−
𝑰𝒙 + 𝑰𝒚
𝟐
𝟐
+ 𝑰𝒙𝒚𝟐
![Page 88: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/88.jpg)
Eixos Centrais e Figuras Simétricas
• Se eixos são centrais e figura tem simetria...
Ixy = 0
• Qual o valor θp de, nesse caso?
𝜽𝒑 =
𝒂𝒕𝒂𝒏𝟐 ∙ 𝑰𝒙𝒚𝑰𝒚 −𝑰𝒙
𝟐
Nesse caso: qualquer eixo central é também um eixo principal!
![Page 89: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/89.jpg)
EXERCÍCIO
![Page 90: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/90.jpg)
Exercício
• Verifique se os eixos são eixos principais
4
4
x
4
y
𝜽𝒑 =
𝒂𝒕𝒂𝒏𝟐 ∙ 𝑰𝒙𝒚𝑰𝒚 −𝑰𝒙
𝟐
![Page 91: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/91.jpg)
PARA TREINAR
![Page 92: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/92.jpg)
Para Treinar em Casa
• Mínimos:
– Exercícios A.2 a A.6
– Exercício A.11
![Page 93: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/93.jpg)
EXERCÍCIO NO SAVA
![Page 94: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/94.jpg)
Exercício – SAVA – Individual
• Calcule o Ix, o Iy e o Ixy no centroide
• Verifique se esses já são os eixos principais
• Se não forem, determine-os e seus Ix, Iy e Ixy.
6
4 4
2
x
y
8
2,5
3,5
![Page 95: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/95.jpg)
CONCLUSÕES
![Page 96: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/96.jpg)
Resumo • Momento de Inércia e Momento Polar de Inércia
• Produto de Inércia
• Eixos Centrais de Inércia
• Translação e Rotação de Eixos
• Eixos Principais de Inércia
• Exercitar: Exercícios Hibbeler / Mat. Didático
• Onde entra a resistência? – Vamos começar pelos esforços axiais
– Tração e Compressão
![Page 97: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/97.jpg)
PERGUNTAS?
![Page 98: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/98.jpg)
EXERCÍCIO EM SALA
![Page 99: MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano –Momento de inércia: retangular e polar –Produto de Inércia –Eixos Principais de Inércia •Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos](https://reader031.fdocumentos.com/reader031/viewer/2022011820/5ea8cf9d5b315a6a680b13fd/html5/thumbnails/99.jpg)
Exercício – Individual, para Agora!
• Calcule Ix da figura abaixo
8
8
4
3
x 3