Funções polinomiais

Monica Moulin Ribeiro MerkleInstituto de Matemática, UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil

monica@im.ufrj.br

18 de maio de 2018

Monica Merkle - IM/UFRJ 1 / 9

Funções polinomiaisDEF. Uma função p : R→ R é dita polinomial quando são dadosnúmeros reais a0, a1,..., an, tais que

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x + a0

para todo x ∈ R.Quando an 6= 0 dizemos que p tem grau n.Exemplos.

I A soma e produto de funções polinomiais são funções polinomiais. Deque grau?

I A função polinomial p(x) = xn − αn pode ser escrita como um produtop(x) = xn − αn = (x − α)(xn−1 + αxn−2 + ...+ αn−2x + αn−1).

Quando duas funções polinomiais são iguais?DEF. Uma função polinomial é dita identicamente nula quandop(x) = 0 para todo x ∈ R. Repare que ela não tem grau.Sejam p(x) = anx

n + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0 e

q(x) = bnxn + bn−1x

n−1 + ...+ b1x + b0 funções polinomiais. Temosp(x) = q(x) para todo x ∈ R se e somente se a0 = b0, a1 = b1,...,an = bn.

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Funções polinomiaisDEF. Uma função p : R→ R é dita polinomial quando são dadosnúmeros reais a0, a1,..., an, tais que

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x + a0

para todo x ∈ R.Quando an 6= 0 dizemos que p tem grau n.Exemplos.

I A soma e produto de funções polinomiais são funções polinomiais. Deque grau?

I A função polinomial p(x) = xn − αn pode ser escrita como um produtop(x) = xn − αn = (x − α)(xn−1 + αxn−2 + ...+ αn−2x + αn−1).

Quando duas funções polinomiais são iguais?DEF. Uma função polinomial é dita identicamente nula quandop(x) = 0 para todo x ∈ R. Repare que ela não tem grau.Sejam p(x) = anx

n + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0 e

q(x) = bnxn + bn−1x

n−1 + ...+ b1x + b0 funções polinomiais. Temosp(x) = q(x) para todo x ∈ R se e somente se a0 = b0, a1 = b1,...,an = bn.

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Funções polinomiaisDEF. Uma função p : R→ R é dita polinomial quando são dadosnúmeros reais a0, a1,..., an, tais que

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x + a0

para todo x ∈ R.Quando an 6= 0 dizemos que p tem grau n.Exemplos.

I A soma e produto de funções polinomiais são funções polinomiais. Deque grau?

I A função polinomial p(x) = xn − αn pode ser escrita como um produtop(x) = xn − αn = (x − α)(xn−1 + αxn−2 + ...+ αn−2x + αn−1).

Quando duas funções polinomiais são iguais?DEF. Uma função polinomial é dita identicamente nula quandop(x) = 0 para todo x ∈ R. Repare que ela não tem grau.Sejam p(x) = anx

n + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0 e

q(x) = bnxn + bn−1x

n−1 + ...+ b1x + b0 funções polinomiais. Temosp(x) = q(x) para todo x ∈ R se e somente se a0 = b0, a1 = b1,...,an = bn.

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Funções polinomiaisDEF. Uma função p : R→ R é dita polinomial quando são dadosnúmeros reais a0, a1,..., an, tais que

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x + a0

para todo x ∈ R.Quando an 6= 0 dizemos que p tem grau n.Exemplos.

I A soma e produto de funções polinomiais são funções polinomiais. Deque grau?

I A função polinomial p(x) = xn − αn pode ser escrita como um produtop(x) = xn − αn = (x − α)(xn−1 + αxn−2 + ...+ αn−2x + αn−1).

Quando duas funções polinomiais são iguais?DEF. Uma função polinomial é dita identicamente nula quandop(x) = 0 para todo x ∈ R. Repare que ela não tem grau.Sejam p(x) = anx

n + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0 e

q(x) = bnxn + bn−1x

n−1 + ...+ b1x + b0 funções polinomiais. Temosp(x) = q(x) para todo x ∈ R se e somente se a0 = b0, a1 = b1,...,an = bn.

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Funções polinomiaisDEF. Uma função p : R→ R é dita polinomial quando são dadosnúmeros reais a0, a1,..., an, tais que

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x + a0

para todo x ∈ R.Quando an 6= 0 dizemos que p tem grau n.Exemplos.

I A soma e produto de funções polinomiais são funções polinomiais. Deque grau?

I A função polinomial p(x) = xn − αn pode ser escrita como um produtop(x) = xn − αn = (x − α)(xn−1 + αxn−2 + ...+ αn−2x + αn−1).

Quando duas funções polinomiais são iguais?DEF. Uma função polinomial é dita identicamente nula quandop(x) = 0 para todo x ∈ R. Repare que ela não tem grau.Sejam p(x) = anx

n + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0 e

q(x) = bnxn + bn−1x

n−1 + ...+ b1x + b0 funções polinomiais. Temosp(x) = q(x) para todo x ∈ R se e somente se a0 = b0, a1 = b1,...,an = bn.

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Funções polinomiaisDEF. Uma função p : R→ R é dita polinomial quando são dadosnúmeros reais a0, a1,..., an, tais que

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x + a0

para todo x ∈ R.Quando an 6= 0 dizemos que p tem grau n.Exemplos.

I A soma e produto de funções polinomiais são funções polinomiais. Deque grau?

I A função polinomial p(x) = xn − αn pode ser escrita como um produtop(x) = xn − αn = (x − α)(xn−1 + αxn−2 + ...+ αn−2x + αn−1).

Quando duas funções polinomiais são iguais?DEF. Uma função polinomial é dita identicamente nula quandop(x) = 0 para todo x ∈ R. Repare que ela não tem grau.Sejam p(x) = anx

n + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0 e

q(x) = bnxn + bn−1x

n−1 + ...+ b1x + b0 funções polinomiais. Temosp(x) = q(x) para todo x ∈ R se e somente se a0 = b0, a1 = b1,...,an = bn.

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Funções polinomiaisDEF. Uma função p : R→ R é dita polinomial quando são dadosnúmeros reais a0, a1,..., an, tais que

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x + a0

para todo x ∈ R.Quando an 6= 0 dizemos que p tem grau n.Exemplos.

I A soma e produto de funções polinomiais são funções polinomiais. Deque grau?

I A função polinomial p(x) = xn − αn pode ser escrita como um produtop(x) = xn − αn = (x − α)(xn−1 + αxn−2 + ...+ αn−2x + αn−1).

Quando duas funções polinomiais são iguais?DEF. Uma função polinomial é dita identicamente nula quandop(x) = 0 para todo x ∈ R. Repare que ela não tem grau.Sejam p(x) = anx

n + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0 e

q(x) = bnxn + bn−1x

n−1 + ...+ b1x + b0 funções polinomiais. Temosp(x) = q(x) para todo x ∈ R se e somente se a0 = b0, a1 = b1,...,an = bn.

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Funções polinomiaisDEF. Uma função p : R→ R é dita polinomial quando são dadosnúmeros reais a0, a1,..., an, tais que

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x + a0

para todo x ∈ R.Quando an 6= 0 dizemos que p tem grau n.Exemplos.

I A soma e produto de funções polinomiais são funções polinomiais. Deque grau?

I A função polinomial p(x) = xn − αn pode ser escrita como um produtop(x) = xn − αn = (x − α)(xn−1 + αxn−2 + ...+ αn−2x + αn−1).

Quando duas funções polinomiais são iguais?DEF. Uma função polinomial é dita identicamente nula quandop(x) = 0 para todo x ∈ R. Repare que ela não tem grau.Sejam p(x) = anx

n + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0 e

q(x) = bnxn + bn−1x

n−1 + ...+ b1x + b0 funções polinomiais. Temosp(x) = q(x) para todo x ∈ R se e somente se a0 = b0, a1 = b1,...,an = bn.

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Funções polinomiais e polinômios

DEF. Um polinômio é uma expressão formal do tipo

anXn + an−1X

n−1 + ...+ a1X + a0

com a0, a1,..., an números reais. (aqui X é apenas um śımbolo)

DEF. Dois polinômios anX n + an−1X n−1 + ...+ a1X + a0 ebnX

n + bn−1Xn−1 + ...+ b1X + b0 são iguais quando a0 = b0,

a1 = b1,..., an = bn.

Existe uma correspondência biuńıvoca entre o conjunto dospolinômios e o conjunto das funções polinomiais.

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Funções polinomiais e polinômios

DEF. Um polinômio é uma expressão formal do tipo

anXn + an−1X

n−1 + ...+ a1X + a0

com a0, a1,..., an números reais. (aqui X é apenas um śımbolo)

DEF. Dois polinômios anX n + an−1X n−1 + ...+ a1X + a0 ebnX

n + bn−1Xn−1 + ...+ b1X + b0 são iguais quando a0 = b0,

a1 = b1,..., an = bn.

Existe uma correspondência biuńıvoca entre o conjunto dospolinômios e o conjunto das funções polinomiais.

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Funções polinomiais e polinômios

DEF. Um polinômio é uma expressão formal do tipo

anXn + an−1X

n−1 + ...+ a1X + a0

com a0, a1,..., an números reais. (aqui X é apenas um śımbolo)

DEF. Dois polinômios anX n + an−1X n−1 + ...+ a1X + a0 ebnX

n + bn−1Xn−1 + ...+ b1X + b0 são iguais quando a0 = b0,

a1 = b1,..., an = bn.

Existe uma correspondência biuńıvoca entre o conjunto dospolinômios e o conjunto das funções polinomiais.

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Sobre as ráızes de uma função polinomial

Investigamos a diferença p(x)− p(α) = (x − α)q(x), onde q(x) é umpolinômio de grau n − 1.α é uma raiz de p se e somente se p(x) é diviśıvel por (x − α).Mais geralmente, α1, ..., αk são ráızes de p de grau n se e somente se

p(x) = (x − α1) · · · (x − αk)q(x),∀x ∈ R,

onde q é uma uma função polinomial de grau n − k .Uma função polinomial de grau n não pode ter mais do que n ráızes.

OBS. A função identicamente nula tem uma infinidade de ráızes.

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Sobre as ráızes de uma função polinomial

Investigamos a diferença p(x)− p(α) = (x − α)q(x), onde q(x) é umpolinômio de grau n − 1.α é uma raiz de p se e somente se p(x) é diviśıvel por (x − α).Mais geralmente, α1, ..., αk são ráızes de p de grau n se e somente se

p(x) = (x − α1) · · · (x − αk)q(x),∀x ∈ R,

onde q é uma uma função polinomial de grau n − k .Uma função polinomial de grau n não pode ter mais do que n ráızes.

OBS. A função identicamente nula tem uma infinidade de ráızes.

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Sobre as ráızes de uma função polinomial

Investigamos a diferença p(x)− p(α) = (x − α)q(x), onde q(x) é umpolinômio de grau n − 1.α é uma raiz de p se e somente se p(x) é diviśıvel por (x − α).Mais geralmente, α1, ..., αk são ráızes de p de grau n se e somente se

p(x) = (x − α1) · · · (x − αk)q(x),∀x ∈ R,

onde q é uma uma função polinomial de grau n − k .Uma função polinomial de grau n não pode ter mais do que n ráızes.

OBS. A função identicamente nula tem uma infinidade de ráızes.

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Sobre as ráızes de uma função polinomial

Investigamos a diferença p(x)− p(α) = (x − α)q(x), onde q(x) é umpolinômio de grau n − 1.α é uma raiz de p se e somente se p(x) é diviśıvel por (x − α).Mais geralmente, α1, ..., αk são ráızes de p de grau n se e somente se

p(x) = (x − α1) · · · (x − αk)q(x),∀x ∈ R,

onde q é uma uma função polinomial de grau n − k .Uma função polinomial de grau n não pode ter mais do que n ráızes.

OBS. A função identicamente nula tem uma infinidade de ráızes.

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Sobre as ráızes de uma função polinomial

Investigamos a diferença p(x)− p(α) = (x − α)q(x), onde q(x) é umpolinômio de grau n − 1.α é uma raiz de p se e somente se p(x) é diviśıvel por (x − α).Mais geralmente, α1, ..., αk são ráızes de p de grau n se e somente se

p(x) = (x − α1) · · · (x − αk)q(x),∀x ∈ R,

onde q é uma uma função polinomial de grau n − k .Uma função polinomial de grau n não pode ter mais do que n ráızes.

OBS. A função identicamente nula tem uma infinidade de ráızes.

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Como determinar os valores de a0, a1,..., an a partir dosvalores do polinômio?

PERGUNTA. Precisamos testar a igualdade das funções polinomiaispara todos os valores reais de x? Não...

Se duas funções polinomiais assumem os mesmos valores em n + 1pontos distintos x0, x1,..., xn em R então essas funções são iguais.Sejam x0, x1, ..., xn números reais distintos e (x0, y0), (x1, y1), ...,(xn, yn), n + 1 pontos em R2. Então existe uma única funçãopolinomial p de grau menor do que ou igual a n tal que p(x0) = y0,p(x1) = y1, ..., p(xn) = yn.

Exemplo: Qual a função polinomial que satisfaz p(−1) = −7,p(0) = 1, p(1) = 5, p(2) = 11 e p(3) = 25?Resposta. p(x) = x3 − 2x2 + 5x + 1.

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Como determinar os valores de a0, a1,..., an a partir dosvalores do polinômio?

PERGUNTA. Precisamos testar a igualdade das funções polinomiaispara todos os valores reais de x? Não...

Se duas funções polinomiais assumem os mesmos valores em n + 1pontos distintos x0, x1,..., xn em R então essas funções são iguais.Sejam x0, x1, ..., xn números reais distintos e (x0, y0), (x1, y1), ...,(xn, yn), n + 1 pontos em R2. Então existe uma única funçãopolinomial p de grau menor do que ou igual a n tal que p(x0) = y0,p(x1) = y1, ..., p(xn) = yn.

Exemplo: Qual a função polinomial que satisfaz p(−1) = −7,p(0) = 1, p(1) = 5, p(2) = 11 e p(3) = 25?Resposta. p(x) = x3 − 2x2 + 5x + 1.

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Como determinar os valores de a0, a1,..., an a partir dosvalores do polinômio?

PERGUNTA. Precisamos testar a igualdade das funções polinomiaispara todos os valores reais de x? Não...

Se duas funções polinomiais assumem os mesmos valores em n + 1pontos distintos x0, x1,..., xn em R então essas funções são iguais.Sejam x0, x1, ..., xn números reais distintos e (x0, y0), (x1, y1), ...,(xn, yn), n + 1 pontos em R2. Então existe uma única funçãopolinomial p de grau menor do que ou igual a n tal que p(x0) = y0,p(x1) = y1, ..., p(xn) = yn.

Exemplo: Qual a função polinomial que satisfaz p(−1) = −7,p(0) = 1, p(1) = 5, p(2) = 11 e p(3) = 25?Resposta. p(x) = x3 − 2x2 + 5x + 1.

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Como determinar os valores de a0, a1,..., an a partir dosvalores do polinômio?

PERGUNTA. Precisamos testar a igualdade das funções polinomiaispara todos os valores reais de x? Não...

Se duas funções polinomiais assumem os mesmos valores em n + 1pontos distintos x0, x1,..., xn em R então essas funções são iguais.Sejam x0, x1, ..., xn números reais distintos e (x0, y0), (x1, y1), ...,(xn, yn), n + 1 pontos em R2. Então existe uma única funçãopolinomial p de grau menor do que ou igual a n tal que p(x0) = y0,p(x1) = y1, ..., p(xn) = yn.

Exemplo: Qual a função polinomial que satisfaz p(−1) = −7,p(0) = 1, p(1) = 5, p(2) = 11 e p(3) = 25?Resposta. p(x) = x3 − 2x2 + 5x + 1.

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Fórmula de interpolação de Lagrange

Caso n = 1. Se p(x) = a1x + a0 e p(x0) = y0, p(x1) = y1 então

p(x) = y0x − x1x0 − x1

+ y1x − x0x1 − x0

.

Caso n = 2. Se p(x) = a2x2 + a1x + a0 e p(x0) = y0, p(x1) = y1,

p(x2) = y2 então

p(x) = y0(x − x1)(x − x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)+ y1

(x − x0)(x − x2)(x1 − x0)(x1 − x2)

+

+y2(x − x0)(x − x1)

(x2 − x0)(x2 − x1).

Caso geral:

p(x) =n∑

i=0

yi∏k 6=i

(x − xkxi − xk

).

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Fórmula de interpolação de Lagrange

Caso n = 1. Se p(x) = a1x + a0 e p(x0) = y0, p(x1) = y1 então

p(x) = y0x − x1x0 − x1

+ y1x − x0x1 − x0

.

Caso n = 2. Se p(x) = a2x2 + a1x + a0 e p(x0) = y0, p(x1) = y1,

p(x2) = y2 então

p(x) = y0(x − x1)(x − x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)+ y1

(x − x0)(x − x2)(x1 − x0)(x1 − x2)

+

+y2(x − x0)(x − x1)

(x2 − x0)(x2 − x1).

Caso geral:

p(x) =n∑

i=0

yi∏k 6=i

(x − xkxi − xk

).

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Fórmula de interpolação de Lagrange

Caso n = 1. Se p(x) = a1x + a0 e p(x0) = y0, p(x1) = y1 então

p(x) = y0x − x1x0 − x1

+ y1x − x0x1 − x0

.

Caso n = 2. Se p(x) = a2x2 + a1x + a0 e p(x0) = y0, p(x1) = y1,

p(x2) = y2 então

p(x) = y0(x − x1)(x − x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)+ y1

(x − x0)(x − x2)(x1 − x0)(x1 − x2)

+

+y2(x − x0)(x − x1)

(x2 − x0)(x2 − x1).

Caso geral:

p(x) =n∑

i=0

yi∏k 6=i

(x − xkxi − xk

).

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Gráficos de polinômios

Se p(x) é um polinômio de grau n > 0 e se |x | cresce ilimitadamenteentão |p(x)| cresce ilimitadamente.Dados dois polinômios p e q, se o grau de p é maior do que o grau deq então para x suficientemente grande |p(x)| > |q(x)| e a diferença|p(x)| − |q(x)| é tão grande quanto se queira.Compare p(x) = x2 com q(x) = x8, por exemplo.

Como localizar as ráızes de um polinômio?

Se p(x1) e p(x2) tem sinais diferentes, podemos garantir que existeuma raiz de p em (x1, x2).

Todo polinômio de grau ı́mpar tem uma raiz real.

Fórmulas para determinar raizes de polinômios de graus 2, 3 e 4.

E para polinômios de grau maior?

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Gráficos de polinômios

Se p(x) é um polinômio de grau n > 0 e se |x | cresce ilimitadamenteentão |p(x)| cresce ilimitadamente.Dados dois polinômios p e q, se o grau de p é maior do que o grau deq então para x suficientemente grande |p(x)| > |q(x)| e a diferença|p(x)| − |q(x)| é tão grande quanto se queira.Compare p(x) = x2 com q(x) = x8, por exemplo.

Como localizar as ráızes de um polinômio?

Se p(x1) e p(x2) tem sinais diferentes, podemos garantir que existeuma raiz de p em (x1, x2).

Todo polinômio de grau ı́mpar tem uma raiz real.

Fórmulas para determinar raizes de polinômios de graus 2, 3 e 4.

E para polinômios de grau maior?

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Gráficos de polinômios

Se p(x) é um polinômio de grau n > 0 e se |x | cresce ilimitadamenteentão |p(x)| cresce ilimitadamente.Dados dois polinômios p e q, se o grau de p é maior do que o grau deq então para x suficientemente grande |p(x)| > |q(x)| e a diferença|p(x)| − |q(x)| é tão grande quanto se queira.Compare p(x) = x2 com q(x) = x8, por exemplo.

Como localizar as ráızes de um polinômio?

Se p(x1) e p(x2) tem sinais diferentes, podemos garantir que existeuma raiz de p em (x1, x2).

Todo polinômio de grau ı́mpar tem uma raiz real.

Fórmulas para determinar raizes de polinômios de graus 2, 3 e 4.

E para polinômios de grau maior?

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Gráficos de polinômios

Se p(x) é um polinômio de grau n > 0 e se |x | cresce ilimitadamenteentão |p(x)| cresce ilimitadamente.Dados dois polinômios p e q, se o grau de p é maior do que o grau deq então para x suficientemente grande |p(x)| > |q(x)| e a diferença|p(x)| − |q(x)| é tão grande quanto se queira.Compare p(x) = x2 com q(x) = x8, por exemplo.

Como localizar as ráızes de um polinômio?

Se p(x1) e p(x2) tem sinais diferentes, podemos garantir que existeuma raiz de p em (x1, x2).

Todo polinômio de grau ı́mpar tem uma raiz real.

Fórmulas para determinar raizes de polinômios de graus 2, 3 e 4.

E para polinômios de grau maior?

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Gráficos de polinômios

Se p(x) é um polinômio de grau n > 0 e se |x | cresce ilimitadamenteentão |p(x)| cresce ilimitadamente.Dados dois polinômios p e q, se o grau de p é maior do que o grau deq então para x suficientemente grande |p(x)| > |q(x)| e a diferença|p(x)| − |q(x)| é tão grande quanto se queira.Compare p(x) = x2 com q(x) = x8, por exemplo.

Como localizar as ráızes de um polinômio?

Se p(x1) e p(x2) tem sinais diferentes, podemos garantir que existeuma raiz de p em (x1, x2).

Todo polinômio de grau ı́mpar tem uma raiz real.

Fórmulas para determinar raizes de polinômios de graus 2, 3 e 4.

E para polinômios de grau maior?

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Gráficos de polinômios

Se p(x) é um polinômio de grau n > 0 e se |x | cresce ilimitadamenteentão |p(x)| cresce ilimitadamente.Dados dois polinômios p e q, se o grau de p é maior do que o grau deq então para x suficientemente grande |p(x)| > |q(x)| e a diferença|p(x)| − |q(x)| é tão grande quanto se queira.Compare p(x) = x2 com q(x) = x8, por exemplo.

Como localizar as ráızes de um polinômio?

Se p(x1) e p(x2) tem sinais diferentes, podemos garantir que existeuma raiz de p em (x1, x2).

Todo polinômio de grau ı́mpar tem uma raiz real.

Fórmulas para determinar raizes de polinômios de graus 2, 3 e 4.

E para polinômios de grau maior?

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Gráficos de polinômios

Se p(x) é um polinômio de grau n > 0 e se |x | cresce ilimitadamenteentão |p(x)| cresce ilimitadamente.Dados dois polinômios p e q, se o grau de p é maior do que o grau deq então para x suficientemente grande |p(x)| > |q(x)| e a diferença|p(x)| − |q(x)| é tão grande quanto se queira.Compare p(x) = x2 com q(x) = x8, por exemplo.

Como localizar as ráızes de um polinômio?

Se p(x1) e p(x2) tem sinais diferentes, podemos garantir que existeuma raiz de p em (x1, x2).

Todo polinômio de grau ı́mpar tem uma raiz real.

Fórmulas para determinar raizes de polinômios de graus 2, 3 e 4.

E para polinômios de grau maior?

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Gráficos de polinômios

Se p(x) é um polinômio de grau n > 0 e se |x | cresce ilimitadamenteentão |p(x)| cresce ilimitadamente.Dados dois polinômios p e q, se o grau de p é maior do que o grau deq então para x suficientemente grande |p(x)| > |q(x)| e a diferença|p(x)| − |q(x)| é tão grande quanto se queira.Compare p(x) = x2 com q(x) = x8, por exemplo.

Como localizar as ráızes de um polinômio?

Se p(x1) e p(x2) tem sinais diferentes, podemos garantir que existeuma raiz de p em (x1, x2).

Todo polinômio de grau ı́mpar tem uma raiz real.

Fórmulas para determinar raizes de polinômios de graus 2, 3 e 4.

E para polinômios de grau maior?

Monica Merkle - IM/UFRJ 7 / 9

Método de Newton

Método de Newton: Se x1 é um valor próximo de uma raiz de umpolinômio p, o limite da sequência x1,...., xn,..., dada por

xn+1 = xn −p(xn)

p′(xn),

é o valor aproximado da raiz procurada.

Idéia que motiva o método de Newton: O valor

N(x) = x − p(x)p′(x)

é a abcissa do ponto em que a tangente ao gráfico de p no ponto(x , p(x)) encontra o eixo horizontal. Como a reta tangente aproximao gráfico então a interseção com o eixo x aproxima o zero dopolinômio, aplicando N repetidamente.

Um caso particular: aproximações de√a usando xn+1 =

12

(xn +

axn

).

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Método de Newton

Método de Newton: Se x1 é um valor próximo de uma raiz de umpolinômio p, o limite da sequência x1,...., xn,..., dada por

xn+1 = xn −p(xn)

p′(xn),

é o valor aproximado da raiz procurada.

Idéia que motiva o método de Newton: O valor

N(x) = x − p(x)p′(x)

é a abcissa do ponto em que a tangente ao gráfico de p no ponto(x , p(x)) encontra o eixo horizontal. Como a reta tangente aproximao gráfico então a interseção com o eixo x aproxima o zero dopolinômio, aplicando N repetidamente.

Um caso particular: aproximações de√a usando xn+1 =

12

(xn +

axn

).

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Método de Newton

Método de Newton: Se x1 é um valor próximo de uma raiz de umpolinômio p, o limite da sequência x1,...., xn,..., dada por

xn+1 = xn −p(xn)

p′(xn),

é o valor aproximado da raiz procurada.

Idéia que motiva o método de Newton: O valor

N(x) = x − p(x)p′(x)

é a abcissa do ponto em que a tangente ao gráfico de p no ponto(x , p(x)) encontra o eixo horizontal. Como a reta tangente aproximao gráfico então a interseção com o eixo x aproxima o zero dopolinômio, aplicando N repetidamente.

Um caso particular: aproximações de√a usando xn+1 =

12

(xn +

axn

).

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Exerćıcios em aula e em casa

Em sala de aula: exerćıcios 7.3 ao 7.7.

Para casa. Resolver todos os exerćıcios do caṕıtulo 7 do livro texto.

Monica Merkle - IM/UFRJ 9 / 9

Exerćıcios em aula e em casa

Em sala de aula: exerćıcios 7.3 ao 7.7.

Para casa. Resolver todos os exerćıcios do caṕıtulo 7 do livro texto.

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