UMA ANÁLISE HISTÓRICA DO PRINCÍPIO DE FERMAT E SUAS

IMPLICAÇÕES NO ENSINO DA REFLEXÃO E REFRAÇÃO DA LUZ.

Prof. Marcos Antonio Barros1

RESUMO: Este trabalho teve início durante as aulas da disciplina de História da Física, no curso de Licenciatura em Física da UEPB, quando discutíamos a respeito dos fenômenos descritos pela luz, em especial a reflexão e refração analisadas por Snell e posteriormente por Descartes. Associado a esses fenômenos aparecia o princípio de Pierre Fermat, que fundamentalmente divergia com Descartes na dedução das leis da reflexão e refração. Paralelamente à análise de artigos, buscávamos em livros textos adotados como referências para o curso de Licenciatura em Física, se algum deles apresentava essa discussão histórica ou se pelo menos descrevia o princípio de Fermat. Constatamos que alguns livros chegam a mencionar o princípio, às vezes de forma incompleta teoricamente e historicamente, às vezes postulado em forma de exercícios, que enfatizam apenas o aspecto matemático através do “tempo mínimo”, levando os estudantes a terem uma visão distorcida dos fenômenos analisados.

A partir daí, nosso trabalho tomou outro rumo que nos levou a verificar o relato histórico sobre o Princípio de Fermat, através de suas cartas a de la Chambre e a outros cartesianos , buscando entender se o seu Princípio estava bem fundamentado dentro do contexto científico da época. Para isso foi fundamental a leitura dos originais ou e de fontes secundárias confiáveis, evitando assim a perpetuação de erros conceituais e históricos. Além disso, procuramos verificar o princípio de Fermat, para a reflexão (espelhos plano e esférico) e refração, através do cálculo diferencial, geométrico e experimentos concretos e virtuais. Nossa conclusão nos faz acreditar que leitura de cartas ou livros originais associado a experimentos simples, seja boas oportunidades para que se perceba o processo de criação e de descoberta científica, além de didaticamente, contribuir para um melhor entendimento dos conceitos e teorias.

1. INTRODUÇÃO

Este trabalho teve início durante as aulas da disciplina de História da Física, no

curso de Licenciatura em Física da UEPB, quando discutíamos a respeito dos fenômenos descritos pela luz, em especial a reflexão e refração descritas e analisadas por Descartes, em sua famosa obra literária a Dióptrica (El tratado de la luz). Mostramos e analisamos também, a famosa divergência surgida na metade do século XVII entre Descartes e Pierre Fermat, além da importância dessa divergência em favor de Fermat. Um artigo foi essencial para a nossa pesquisa, escrito por Ildeu C. Moreira em 1999, na Revista Brasileira de Ensino de Física. Nesse artigo sentíamos a necessidade de ler e analisar as cartas escritas por Fermat para alguns amigos cartesianos, para que a partir delas, fossemos capazes de tirar algumas conclusões, além de ser a nossa primeira incursão por um texto original, incentivando-os a pesquisa. 1 Professor do Departamento de Licenciatura em Física da UEPB; Doutorando no programa de pós-graduação em HFEC UFBA/UEPB.

O nosso segundo passo foi pesquisar os livros de física mais utilizados no curso de licenciatura em física da UEPB, com o objetivo de verificar quais deles explicitavam o princípio de Fermat e se estavam coerentes com os aspectos históricos, pois entendemos que as informações a respeito desse episódio (Descartes x Fermat) reúne muitas informações importantes de caráter histórico, além de dar aos futuros professores uma noção adequada e aprofundada sobre a história da ciência, uma vez que os livros utilizados, em sua maioria, não descrevem a teoria original e quando os fazem são simplificadas e distorcidas em função de aspectos matemáticos e modelos defendidos no período. Os livros pesquisados pelos estudantes foram os seguintes:

• Halliday e Resnick, 1978, vol. IV; • Sears, Zemansky, 1985, vol. IV; • Tipler, 1984, vol II ; • Eisberg e Lerner, 1982, Vol. IV; • Alonso e Finn, 1972, vol II; • Moisés N ussenveig, vol IV .

Além de erros conceituais, do tipo citando apenas o tempo mínimo para o

percurso da luz, temos os erros históricos que alguns livros cometem quando fazem referência a lei da refração, citando Snell/Descartes e mostrando uma equação que não foi a mesma proposta por Descartes. Outros livros (Sears, Halliday) pesquisados não dão importância merecida ao princípio, colocando-o como exercício demonstrativo e/ou no final dos capítulos como exercícios e problemas solicitados. Outros (Tippler, Nussenveig, Eisberg) , porém, fazem referência a tempo mínimo, máximo e constante, para o caminho óptico, em sua parte teórica, além de demonstrar a lei dos senos usando cálculo diferencial. Define o princípio muito próximo do histórico, mas sem tecer maiores detalhes em sua análise. O livro de física do Moisés Nussenzveig é o único dos livros pesquisados que explicita de forma detalhada a parte teórica e o cálculo do princípio, mas não faz referência aos aspectos históricos. Todos os livros citados analisam o princípio de Fermat, na dedução da lei dos senos, usando o cálculo diferencial. Usar o cálculo diferencial na dedução da minimização do tempo de percurso, na refração ou reflexão, é negar todo o legado da geometria euclidiana usada por ele na demonstração do seu princípio, até porque o cálculo diferencial só apareceu depois com Isaac Newton. Entendemos que o princípio da minimização do tempo proposto por Fermat se torna mais elegante e verdadeiro, quando se utiliza a geometria euclidiana.

A maioria dos livros pesquisados fala apenas no tempo mínimo de percurso da luz entre dois pontos, tal enunciado merece uma analise mais profunda, pois:

• Do ponto de vista histórico não é exatamente o que dizia Fermat; • Do ponto de vista atual ele é incompleto.

Essa situação já foi objeto de críticas como as que aparecem nos trabalhos de Mak (1986), Kaushik e Sukeeja (1984), além do livro do Moisés Nussenzveig. Tais pesquisadores, preocupados com o problema da aprendizagem dos fenômenos da reflexã o e refração, do ponto de vista histórico e teórico, mostram em seus artigos como um raio de luz pode percorrer um caminho no qual o tempo gasto é um máximo, um mínimo ou assume um valor estacionário, comparado com o tempo ao longo de trajetórias próximas. Esses pesquisadores acrescentam ainda, que uma completa e correta declaração do princípio de Fermat é raramente fundamentado em livros

didáticos, que abusam da falta de rigorosidade. Em outro artigo, Tan (1985) demonstra de forma elegante o princípio de Fermat usando apenas aspecto geométrico em superfícies esféricas, sem recurso do cálculo diferencial, como os outros fazem.

Dessa forma nasceu a necessidade de pesquisar e verificar o relato histórico sobre o Princípio de Fermat, através de suas cartas (1648, 1657 e 1662) enviadas a De La Chambre (Marin Cureau), em suas famosas divergências com a lei da refração descrita por Descartes. Posteriormente em outras cartas a outros cartesianos, como Jacques Rohault em 1658, onde Fermat confirma suas objeções e ref lexões a dioptrique de Descartes. Por isso, entendemos que só a partir dos originais ou de fontes seguras e confiáveis, é que evitamos a perpetuação de erros conceituais e históricos. Segundo Whitaker (1979), as seções históricas de muitos livros texto de física são extremamente de má qualidade, com a inclusão de erro em simples assuntos de fatos históricos.

Através da análise cuidadosa dessas cartas buscamos entender se o seu princípio estava bem fundamentado e dentro do contexto científico da época. Através do seu princípio, Fermat foi capaz de explicar as leis da reflexão e da refração, além de propor e justificar o uso da minimização do tempo gasto para a luz se propagar de um ponto a outro, acreditando na idéia de que “a natureza faz seus movimentos pelas vias mais simples ou sempre atua pelo caminho mais curto”. Entretanto, esse enunciado feito por Fermat não é novo, pois no ano de 75, segundo Ildeu (1999), Heron de Alexandria propôs que a luz segue sempre o caminho mais curto ao se propagar em um meio homogêneo, fornecendo assim uma explicação para a igualdade entre o ângulo de incidência e o ângulo de reflexão.

A análise de textos históricos permite-nos constatar, com exatidão, a origem de certas afirmações quando delas nos quisermos valer como veículo de aprendizagem. É ilustrativo, aqui, lembrar as palavras de Martins:

“Esse tipo de estudo pode contribuir para a formação de uma visão mais adequada acerca da construção do pensamento científico, das contribuições dos cientistas e da própria prática científica; permite que se conheça o processo de formação de conceitos, teorias, modelos, etc. Além disso, pode auxiliar o ensino da própria ciências, tornando-a não apenas mais atraente mas principalmente mais acessível para o aluno, possibilitando uma melh or compreensão de conceitos, modelos e teorias atuais” (Martins, 1998, p.18).

Whitaker (1979) comenta as relações existentes entre a física e a história das ciências. Para ele, o estudo da física tem como objetivos propiciar aos estudantes:

• Um entendime nto dos princípios físicos, técnicas aplicações; • Uma avaliação do significado do método cientifico, das várias revoluções do

entendimento humano da natureza, da maneira pela qual a ciência é tratada hoje em dia e de seu lugar na vida moderna.

Whitaker cha ma esse material de quase -história. Segundo ele, a história das ciências serve para atingir várias partes desse segundo objetivo, e propõe:

“Quero discutir um outro tipo de material que parece História, mas não tem muito a ver com a História realmente: o objetivo é mostrar fatos científicos e a História esta presente para fornecer um referencial dentro do qual os fatos científicos se encaixem, parecem fazer sentido e possam ser lembrados facilmente” (Whitaker, 1979, p. 108)

Assuntos sobre a quase-história ou pseudo-história em sala de aula de ciências são situações vivenciadas por todos nós que foram e que continuam sendo professores

do ensino fundamental e médio, nas escolas públicas e particulares. O nosso conhecimento em história das ciências advém, na maioria das vezes, dos livros textos que utilizamos em sala de aula, para que os alunos acompanhem os conteúdos a serem ministrados. Se dermos uma olha da no livro do Ramalho, Nicolau e Toledo (2002) , ele continua nos mostrando o Arquimedes na banheira descobrindo o princípio da flutuação dos corpos; a maçã caindo na cabeça do Newton ao tempo que ele descobre, como num passe de mágica, a lei da gravitação universal, etc. Várias outras situações de uma quase-história podem ser encontradas em outros livros didáticos utilizados nas escolas de ensino médio e também em nível universitário. Essas quase-histórias, como nos alerta Martins, R. (2006), transmitem não somente informações históricas erradas, mas também deturpam totalmente a própria natureza da ciência, gerando mitos.

Nosso trabalho de pesquisa seguiu uma linha próxima daquela preconizada por Whitaker (1979), isto é, propomos atividades com o objetivo de analisar o fenômeno da reflexão e da refração sob um ponto de vista didático, baseado na teoria de Fermat, e tendo como pano de fundo o aspecto histórico da questão. Propomo-nos a fazer uma interligação entre a história das ciências, através da análise dos textos históricos e originais e a instrumentação para o ensino, usando experimentos virtuais e concretos, de fácil manuseio. Acreditamos que a leitura de artigos originais da ciência associado à experimentos simples, sejam boas oportunidade para que se perceba o processo de criação e de descoberta científica, além de didaticamente, contribuir para um melh or entendimento dos conceitos e teorias.

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 A DIOPTRIQUE DE DESCARTES

A exata lei da refração da luz foi descoberta em 1621 por Willebrod Snell (snellius), professor de matemática em Leiden. Segundo os historiadores Mason (1964) e Ronan (2001), Snell descobriu que os senos dos ângulos de incidência e refração sempre mantinham entre si a mesma razão numa dada superfície de contato entre dois meios, sendo a razão denominada o índice refrativo dessa superfície. A lei tornou-se conhecida pela primeira vez em 1637 graças a Descartes quando publicou o seu Discours de La Méthode, com três apêndices, La Dioptrique, Les Météores e La Géometrie. Moreira (p. 148, 1998) descreve as concepções de Descartes de forma sintetizadas:

• O universo é pleno e não existe vácuo; a luz é uma pressão transmitida

através de um meio: “uma certa ação em uma matéria muito sutil que enche os poros dos outros corpos”.

• A velocidade da luz é infinita: a pressão é propagada em um instante; • A luz atravessa mais facilmente os corpos mais densos.

Tinha Descartes, “en tratado de la luz”, uma segunda teoria sobre a luz: esta

seria uma ação ou pressão que se transmitia de um objeto para a vista humana através da matéria estreitamente compacta do espaço interposto. Sugeria que a luz era como a pressão transmitida de um objeto para a mão de um cego através de sua bengala. Para Descartes, era a pressão da luz proveniente do sol que mantinha firme o vórtice do sistema solar face às pressões das estrelas exteriores.

Para os fenômenos da reflexão e refração, Descartes parte da suposição de ser a luz constituída de pequenas partículas em rápido movimento linear. Para a reflexão, por analogia com uma bola de tênis que colide sobre uma superfície dura, sustentava que a determinação2 do movimento muda instantaneamente, mas não a força do movimento, tornando o ângulo de incidência igual ao da reflexão. Analogamente, a refração da luz, ao passar de um meio denso para outro rarefeito, assemelhava-se a uma bola rompendo um tecido fino. De acordo com a figura abaixo, a componente da velocidade da bola perpendicular ao pano era reduzido pela resistência deste, enquanto a componente da velocidade paralela ao obstáculo permanecia imutável. A analogia mostrava ser a velocidade da luz maior num meio mais espesso.

Dessa forma percebe-se que o raio luminoso (BI) tende a mudar de direção em

função da diferença de grau de agitação das partes do meio em que se propaga. Nesse ponto, Descartes faz claramente a distinção entre a velocidade de agitação das partes do meio e a de propagação da luz, considerando a velocidade como infinita, pois “não se pode duvidar que a ação pela qual as primeiras [partes] são empurradas passa em um instante até as últimas, da mesma forma que, ao se tocar um extremo de um bastão, [a ação] passa ao outro extremo no mesmo instante”.3

Segundo Moreira (1998), Descartes chegou corretamente a lei dos senos não por experimentos, mas pelo uso da matemática em problemas físicos e embora tivesse sido inspirado por observações qualitativas, ele não conseguiu fornecer, de forma inteiramente convincente, uma interpretação física de suas suposições.

2.2 O PRINCÍPIO DE FERMAT

A dedução cartesiana de que a luz devia propagar-se mais depressa num meio

mais denso foi contestada por Pierre de Fermat. Esse conselheiro do parlement provincial de Tolos foi capaz de explicar as leis da reflexão e da refração, além de propor e justificar o uso da minimização do tempo gasto para a luz se propagar de um ponto a outro, acreditando na idéia de que “a natureza faz seus movimentos pelas vias mais simples ou sempre atua pelo caminho mais curto”. Vale acrescentar que esse

2 “Quantidade física resolvida e composta de acordo com a regra do paralelogramo geométrico.” McLaughlin, p.16, 1998. 3 “Tampoco puede dudarse que la acción que impele a las primeras no pase em um instante a las últimas, como la acción que impele uno de los extremos de um bastón pasa instantáneamente al otro”(El mundo. Tratado de la luz, p. 217) .

Descartes sobre a refração (discours second, p. 17, La Dioptrique).

enunciado feito por Fermat, já havia sido proposto no ano de 75, segundo Moreira (1999), por Heron de Alexandria, afirmando que a luz segue sempre o caminho mais curto ao se propagar em um meio homogêneo, fornecendo assim uma explicação para a igualdade entre o ângulo de incidência e o ângulo de reflexão. Na carta de Fermat para Mersenne, onde ele faz o primeiro julgamento sobre a dioptrique de Descartes em setembro de 1637 (p.106), Fermat cita Alhasen (Ibn A l-Haythan) em 1039, que comenta sobre a refração (a luz segue o caminho mais fácil) em seu livro “tesouros da óptica”, mas não há um avanço sobre o tema.

Na carta escrita a Descartes (setembro de 1637), após a leitura do Dioptrique, Fermat contesta suas suposições a respeito dos fenômenos da reflexão e refração, apresentadas aqui de forma resumida:

• A decomposição da determinação em componentes normal e paralela; para Fermat podem existir infinitas decomposições;

• Não há provas que a componente paralela a superfície se conserva; • Existe certa confusão entre os termos “pressão” e “velocidade do

movimento”. • Apesar de aceitar o aspecto matemático da relação entre os senos para a

refração, ele não acredita no aumento da velocidade. Na última carta (três no total) enviada por Descartes a Fermat, por intermédio de

Mersenne, em julho de 1638, ele agradece as contestações feitas, não aceita as objeções, reitera a legitimidade da decomposição do movimento, podendo as componentes ser tratadas como reais. A partir daqui a comunicação entre eles passa a ser através de outros cartesianos, como: Jacques Rohault, Clerselier, Mersenne e de la Chambre. Esse último será o nosso referencial na discussão entre Fermat e Descartes, relativa a óptica geométrica.

Para Fermat a refração se reduzia a um problema de geometria:

Dados dois pontos A e C e a reta DB, devemos encontrar um ponto na reta DB a qual se conduz as retas CB e BA, sendo que para minimizar o tempo, a luz busca percorrer uma trajetória maior no meio menos denso, no qual tem velocidade maior (AB) e inversamente percorre uma trajetória menor no meio mais denso, onde terá uma velocidade menor (BC). O ponto B encontrado pela construção deste problema será o ponto onde se fará a refração (Fermat a de la Chambre, p. 358).

Como podemos notar nessa afirmação, Fermat baseava seu argumento no

princípio de economia (ABC) ou de um caminho mais fácil (menor resistência) segundo o qual os fenômenos naturais ocorriam sempre no menor tempo possível. Mostrou a seguir que as leis da reflexão e da refração surgiam como conseqüências necessárias desse princípio, uma vez que se tivesse como pressuposto a mais rápida propagação da luz nos meios rarefeitos. Como nos alerta Moreira (1998), embora a lei obtida por Fermat dê a mesma proporção de Descartes, ela leva a uma razão entre os senos que depende diretamente das velocidades e não inversamente como pensava Descartes.

2.3 FERMAT X DESCARTES

Após a morte de Descartes, na metade do século XVII (1650), as discussões

sobre a natureza dos fenômenos luminosos continuam opondo Fermat aos cartesianos. Pierre de Fermat adaptou a estratégia de Héron para o caso da refração da luz, só que agora considerando que a luz toma o caminho que leva menos tempo . Na demonstração do seu princípio ele utiliza como ferramenta matemática, o princípio de máximo e mínimo. Com isso, ele queria mostrar que a fórmula da refração (lei de Snell) derivada por Descartes era falsa. Em agosto de 1657, Fermat tenta obter o apoio de De La Chambre:

O que me confirma é que, por meio disso, eu entro em diálogo convosco e até mesmo ouso assegurar-vos antecipadamente que, se vós suportais que eu alie um pouco da minha geometria à vossa física, nós faremos um trabalho em comum que nos colocará primeiramente em oposição contra o senhor Descartes e todos os seus amigos (Fermat, 1657, p. 354).

Por outro lado, mesmo entre os dois existiam algumas divergências. Enquanto

que para Fermat a luz tinha uma velocidade finita, para de la Chambre um raio luminoso deslocava-se de um ponto à outro instantaneamente, confirmando o que Descartes dizia sobre transmissão da luz a qualquer distância. Uma das discordâncias entre Fermat e os cartesianos era quanto à velocidade de propagação da luz nos meios “mais ou menos densos ou rarefeitos”. Como mostramos anteriormente, Fermat supôs que a luz se propaga com uma velocidade menor em meios mais densos (o que é verdade, mas ia contra ao que achavam Descartes e posteriormente Newton). Ao fazer suas contas, descobriu que o caminho de menor tempo era justamente aquele que satisfazia a lei de Snell-Descartes! Obteve assim uma “lei de mínimo” para a propagação da luz, mas seu resultado só seria aceito após a metade do séc. XIX, quando da comprovação da velocidade da luz.

Numa outra carta a de la Chambre, janeiro de 1662, ele se glorifica por ter chegado aos mesmos resultados de Descartes, usando o seu princípio do tempo mínimo.

Mas o prêmio do meu trabalho foi extraordinário, o mais imprevisto e o mais feliz que já me aconteceu. Porque, depois de ter passado por todas as equações, multiplicações, antíteses e outras operações de meu método, e de haver por fim concluído o problema – que o senhor pode ver em folha separada -, encontrei que meu princípio fornecia justa e precisamente a mesma proporção das refrações que Descartes havia estabelecido. Fiquei tão surpreso com um evento tão inesperado que a custo sai de meu espanto. Repeti minhas operações algébricas diversas vezes e sempre o sucesso foi o mesmo, ainda que minha demonstração suponha que a passagem da luz pelos corpos densos seja mais difícil que nos corpos menos densos, o que eu creio ser muito verdadeiro e indisputável, embora Descartes suponha o contrario. (Moreira, p.155, 1998).

Em recente artigo, Martins e Silva (2007), discutindo o princípio da mínima

ação proposto por Maupertuis em 1744, mostra o conflito entre a suposição de Fermat a respeito da velocidade da luz com a óptica newtoniana daquele período, segundo a qual a luz se move mais rapidamente em meios mais refringentes. Segundo esses autores, em nota de rodapé, as hipóteses levantadas por Fermat e posteriormente por Newton, levavam à lei da refração, mas não levava à relação entre a velocidade da luz e a

refringência do meio. Portanto, como a física newtoniana era bastante aceita, o principio de Fermat tornou-se incompatível durante o século XVIII, em que Maupertuis lançou a base teórica do princípio da mínima ação. Segundo, Moreira (1999), Maupertuis foi um dos primeiros a defender e a divulgar a física newtoniana na França, além de apresentar um interessante argumento de simetria, similar aos dos cartesianos, para criticar o princípio do mínimo tempo proposto por Fermat.

Em seu livro publicado em 1662, La lumiére, dedicado ao Cardial Mazarin, de la

Chambre argumenta que a velocidade da luz é instantânea e não faz sentido dizer se ela aumenta ou diminui com a mudança do meio (p. 345 a 346). Nesse sentido, De La Chambre acrescenta ainda que a luz apresente uma antipatia com a matéria e que o desvio causado na passagem da luz por uma matéria mais forte para outra menos forte é ocasionado pela presença de anjos e, portanto os ângulos de incidência e refração não são iguais.

A idéia do caminho mínimo foi lançada inicialmente por de la Chambre e, na

mesma carta de 1657, Fermat escreve: “Primeiramente, reconheço, convosco, a verdade desse princípio, que a natureza age sempre pelas vias mais curtas.” (Fermat, 1657, p. 354).

Nessa época, contudo, já era conhecido o fato de que, nos espelhos côncavos, nem sempre a luz percorre um caminho mínimo. Fermat, então, tenta ajustar o enunciado para poder contornar tal obstáculo, acrescentando:

O princípio de Física é que a natureza faz seus movimentos pelas vias as mais simples. Ora, a linha direita sendo mais simples do que a circular e do que qualquer outra curva , deve-se crer que o movimento do raio que cai sobre a curva se relaciona de preferência com a direita que toca a cu rva do que com a própria curva. Primeiro, porque esta direita do toque é mais simples do que a curva; segundo, (e é o que se empresta da Geometria), porque nenhuma direita pode cair entre a curva e a tangente, por um princípio de Euclides. De maneira que o movimento é justamente o mesmo sobre a direita que tange e a curva que é tangida. E isso supõe que nunca se possa dizer que as duas direitas que conduzem a luz ou o raio sejam algumas vezes mais longas nos espelhos côncavos, porque nesse caso mesmo elas se encontram mais curtas do que todas aquelas que podem se refletir sobre a direita que toca a curva. E, conseqüentemente, não se deve nem supor que a natureza aja nesse caso por constrangimento, nem concluir que ela siga um outro modo de movimento que ela [se] pratica nos espelhos planos e em qualquer outra espécie de espelhos. Deste modo, eis aqui vosso princípio plenamente estabelecido para a reflexão (Fermat, 1657, p. 555).

Fermat, na carta mencionada vai mais além. Ele tenta mostrar a de la Chambre

como o princípio, agora comum aos dois poderia ser utilizado para explicar a refração. Todavia, ele introduz uma nova modificação. Ele não vai falar apenas em caminho curto, mas também no caminho mais fácil. No caso da refração, a luz, para minimizar o intervalo de tempo, percorre um trajeto maior no meio menos denso, no qual tem uma velocidade maior, e percorre uma distância menor no meio mais denso. Mais ainda, ele utiliza agora o termo nosso princípio ao se dirigir a de la Chambre: “Mas deve-se ir ainda mais longe e encontrar a razão da refração em nosso princípio comum, que é

[este]: que a natureza age sempre pelas vias as mais curtas e as mais fáceis” (Fermat, 1657, p. 356).

Será mais tarde nos dois artigos “analyse pour les refractions” e “Synthese pour les refractions”, que Fermat referir-se-á a um tempo mín imo.

Com efeito, do mesmo modo que, ao especular sobre os movimentos naturais dos graves, Galileu mede as razões destes tanto pelos tempos que pelo espaço; do mesmo modo, não consideraremos o espaço ou as linhas mais curtas, mas aquelas que podem ser percorridas o mais comodamente e no tempo o mais curto (Fermat, p. 149 – 156,1657).

Na afirmação acima se percebe a preocupação de Fermat com o movimento da

luz, dando-lhe uma característica de espaço-tempo, citando, por exemplo, Galileu com a queda dos corpos. Essa é a divergência principal entre ele e Descartes, que não considerava o tempo no percurso da luz entre dois pontos e acreditava numa velocidade instantânea para a luz. Mas a principal crítica ao princípio proposto por Fermat se refere a suposição de que a natureza obedece ao princípio das vias mais curtas e simples e portanto Clerselier em maio de 1662 argumenta:

Tratar-se-ia de um princípio moral e não físico, de natureza teleológica e, portanto, inaceitável na ótica cartesiana. O princípio colocaria também a natureza em uma indecisão. Por que ela não seguiria a trajetória mais curta, a reta, se segue as vias mais curtas e simples? Qual seria o caminho mais simples: o mais rápido ou o mais curto? E como a natureza sabe o caminho a escolher? E o raio de luz, estando já no ar, como poderá saber para onde se inclinar se meios diferentes (água ou vidro) forem colocados na sua frente? (Moreira, p.158, 1998).

Pouco depois, Fermat respondeu com ironia e com uma consciente antevisão de

que a história da polêmica ainda não estava terminada:

Não pretendo nem jamais pretendi ser o confidente secreto da natureza. Ela tem vias obscuras e ocultas que não tentei jamais penetrar; eu apenas havia lhe ofertado um pequeno auxílio de geometria acerca do assunto refração, se ela tivesse necessidade disso. Mas, porque o senhor me assegura que ela pode cumprir suas tarefas sem a geometria e que se contenta com o caminho que Descartes lhe prescreveu, eu abandono de bom coração, em vossas mãos, minha pretensa conquista de física. É suficiente para mim que o senhor me deixe de posse de meu problema de geometria inteiramente puro e in abstracto, por meio do qual se pode encontrar a rota de um móvel que passa por dois meios diferentes e que busca concluir seu movimento da maneira mais rápida possível. (Moreira, p.160, 1998).

Finalizando sua carta, Fermat citava irônico, numa cobrança pelo verdadeiro, bonito: “Quando serà il vero/ Si bello, che si posa a ti preporre?”. Para decretar, em seguida, o termino das hostilidades, cruzando as armas: “em voilà de reste, je croise les armes” (Moreira, p.160, 1998).

Percebe-se nas respostas de Fermat a Clerselier e a de la Chambre, que havia uma forte fundamentação no que ele defendia, ultrapassando dessa forma os limites de compreensão de sua época.

3. METODOLOGIA

O intuito deste capítulo é apresentar como o trabalho de pesquisa foi estruturado de modo que os objetivos definidos inicialmente fossem alcançados. Para tanto, apresentaremos detalhadamente todas as etapas que foram realizadas, tanto pelo pesquisador como pelos alunos que participaram da intervenção.

O universo de pesquisa foi composto por alunos da disciplina de história da física do curso de Licenciatura em Física da Universidade Estadual da Paraíba – UEPB em Campina Grande, Paraíba. Todos os alunos convidados (dez no total) participaram integralmente de todas as etapas e atividades desenvolvidas em sala ou fora dela, dando um caráter mais dinâmico ao trabalho, modificando assim a passividade dos alunos diante dos novos obstáculos. A escolha desse universo de pesquisa , junto a disciplina de História da Física, justifica-se pelo fato de que muitos desses alunos não tiveram a oportunidade de estudar fatos históricos no ensino fundamental e médio, e quando isso acontecia se deparavam com acontecimentos históricos distorcidos de sua forma original ou relegados a um pequeno trecho de informação nos livros de física ou às vezes reduzido a um problema de final de capítulo, o que termina por não dar a importância merecida ao fenômeno em questão.

As atividades, no total de cinco, foram elaboradas com o objetivo de provocar discussões a respeito dos fenômenos analisados, levando-nos a uma reflexão ativa. Dividimos as atividades da seguinte maneira:

• Leitura (com tradução) e análise das já referidas cartas de Fermat e do livro El mundo: Tratado de la Luz – Descartes, (fontes primárias) com relação aos fenômenos da reflexão e refração;

• Leituras complementares em artigos (fontes secundários) a respeito da oposição entre Fermat e Descartes;

• Verificação de informações conceituais e históricas sobre o princípio de Fermat nos livros didáticos de Física utilizados no curso de licenciatura;

• Análise matemática e geométrica sobre o princípio de Fermat e a minimização do tempo com o uso de derivadas;

• Uso de experimentos concretos (lápis e papel milimetrado) e virtuais (princípio de Fermat 1 e 2) encontrados na web (www.ludoteca.if.usp.br), além de outro que utilizamos pra traçar no papel milimetrado, o fenômeno da reflexão para o caminho mínimo no espelho concavo: http://serge.mehl.free.fr/anx/mir_concav.html

A pesquisa, portanto, foi desenvolvida numa perspectiva predominantemente

qualitativa, uma vez que a mesma lida com aspec tos relacionados à aprendizagem histórica e conceitual dos fenômenos da reflexão e refração, interpretados diferentemente por dois cientistas, o que terminou por favorecer especificamente o nível de percepção dos alunos em relação as suas dificuldades em abandonar formas errôneas apreendidas ao longo de suas vidas escolares, possibilitando uma compreensão menos fragmentada e mais significativa dos assuntos, já que isso é dificilmente obtido nos cursos tradicionais.

Quando afirmamos que privilegiamos a abordagem qualitativa, fomos buscar alguns fundamentos em Oliveira (2003), que afirma:

A abordagem qualitativa facilita descrever a complexidade de problemas e hipóteses, bem como analisar a interação entre variáveis, compreender e classificar determinados processos sociais, oferecer contribuições no processo das mudanças, criação ou formação de opiniões de determinados grupos e interpretação das particularidades dos comportamentos ou atitudes dos indivíduos (p. 58).

Como podemos perceber na afirmação acima, não se trata de colher dados para uma análise estatística e sim observações ou inferências sobre o tema abordado, que pode se modificar em favor de uma nova concepção, levando em considerações fatores sociais, históricos, etc. Devemos levar em consideração que mesmo tentando ser totalmente imparcial ao longo da pesquisa e em sua análise, tivemos que interferir por diversas vezes, no sentido de conduzir a pesquisa histórica, pois para os alunos aquela estava sendo suas primeiras incursões pela pesquisas em textos e cartas originais, que precisavam de uma tradução mais minuciosa das mesmas (as cartas de Fermat aos cartesianos são do século XVII e escrito em Francês arcaico, o que nos trouxe uma série de dificuldades).

4. ANÁLISE DOS RESULTADOS E CONCLUSÃO Visando uma melhor análise e compreensão dos vários aspectos envolvidos nas

situações estudadas e na sua aprendizagem, lembrando que se tratava de alunos da disciplina de História da Física e que precisavam ser avaliados, relatam os a baixo as várias situações que os alunos apresentaram ao longo da pesquisa:

Ø Mostraram-se altamente interessados nas discussões históricas entre

Fermat e Descartes, Fermat e os cartesianos, objetivando a importância de um relato histórico bem fundamentado em oposição a uma história fantasiosa, como encontrada nos livros pesquisados citados na introdução desse trabalho (nossa fundamentação teórica é um dos resultados da pesquisa realizada);

Ø Foram capazes de traçar geometricamente, em papel milimetrado, o percurso mínimo, máximo e constante de um raio luminoso, em um espelho plano e esférico, para em seguida usando ferramentas do cálculo diferencial comprovar essas medidas, além de provar as leis da reflexão e da refração.

Ø Paralelamente ao uso do lápis e papel nos experimentos citados acima, os alunos foram incentivados a descreverem a mesma situação nos experimentos virtuais já citados.

Ø No último encontro (num total de cinco), durante o fórum de discussões metodológicas sobre o papel da história da ciência nas aulas de física como mais um dos recursos para a sua aprendizagem, ficou evidente a aceitação dos alunos a esse recurso. Entretanto, a maioria acha que esse tipo de pesquisa só é possível se houver uma boa tradução dos textos, o que nem sempre ocorre. Conosco, as dificuldades foram superadas por que contamos com uma tradutora4 que nos ajudou bastante, pois as cartas foram escritas em Francês arcaico.

Nossa conclusão nos leva a acreditar que leitura de cartas ou livros originais

associado a experimentos simples, seja boas oportunidades para que se perceba o processo de criação e de descoberta científica, além de didaticamente, contribuir para um melhor entendimento dos conceitos e teorias. Referências 4 Profª Drª Maria Aparecida Paty, que agradecemos pela tradução de trechos da carta de Fermat a de la Chambre.

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