MOVIMENTOS BROWNIANOS DO PREÇO DO PETROLEO

7/30/2019 MOVIMENTOS BROWNIANOS DO PREO DO PETROLEO

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AnAnlise de Investimentoslise de Investimentos

com Opcom Opes Reaises Reais

IND 2072IND 2072

Parte 3: Processos Estocsticos. Marco Antonio Guimares DiasProfessor Adjunto (tempo parcial)

Rio de Janeiro, 1o Semestre de 2008 .

Opes Reais x F.C.D.:Preos/Custos de Mercado

X Fluxo de Caixa Descontado (FCD): Trabalha com valores esperados dos preos futuros de

comodities e/ou de custos (valor nico ou tendncia).

X Opes: Considera a natureza estocstica dos preos e/ou custos e,

mais importante, as aes gerenciais que so tomadas nosprojetos devido a essas variaes nos preos.

A abordagem por opes mais realista e maisadequada do ponto de vista terico, ao considerara incerteza e a reao racional frente a ela.


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Processos EstocsticosX Processo estocstico X = { X(t), t T} uma coleo

de variveis aleatrias. Ou seja, para cada t noconjunto de ndices T, X(t) uma varivel aleatria.O Freqentemente t interpretado comotempo e chamamos

X(t) de estado do processo no tempo t (Ross, 1996, p.41).

O Quando o conjunto de ndices T um conjuntocontvel,temos umprocesso estocstico em tempo discreto (ex.binomial, parte 2). Se esse conjunto incontvel/contnuo,temos umprocesso estocstico em tempo contnuo.

O Uma realizao aleatria de X chamada deamostra decaminho (sample path); pode ser discreta ou contnua.

OMas no caso de incerteza tcnica o ndice no tempoSo eventos, tais como exerccios de opes de aprendizagem

(parte 7, veremos se der tempo), na maior parte dos casos.

Exemplo: Preo do Petrleo 1970-2006XPreos do petrleo Brent e similares, valores nominais: a

evoluo dos preos parece ser aleatria, sem padro

Fontes: FMI/IFSe Pratts


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Preos do Petrleo em 1996 (Brent)X

Zoom: trajetrias serrilhadas, variaes imprevisveis.

A Dificuldade de Prever os Futuros PreosX Pouco depois de alguns cenaristas (ex.: CERA, em The Economist

6 de maro/99) preverem a queda de preos at 5 $/bbl, a OPEPmostra fora retirando cerca de 2 milhes de bpd do mercado(menos de 3% do consumo mundial) no final de fevereiro de 1999.

CERA prev preosentre 5 e 10 US$/bbl


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Preos de Commodities Agrcolas: SojaX O grfico mostra que os preos da soja oscilam muito,

mas no h uma tendncia de longo-prazo clara.

Fonte: livro de H. Geman(Commodities andCommodities Derivatives)

Distribuio Lognormal e Taxa de RetornoX A distribuio lognormal de longe a mais usada para

modelar a incerteza de preos de ativos e mercadoriasno futuro. Veremos alguns motivos dessa popularidade.

X Uma varivel aleatria Y tem dist. lognormal se e som.se o seu logaritmo neperiano tem distribuio normal:

Y ~ lognormal X = ln(Y) ~ normal

X Um formato mais conveniente Y = eX, pois:O Ao contrrio da dist. Normal, ela no admite valores negativos,

j que mesmo que X seja negativo, Y = eX sempre positivo;

X O formato exponencial o link entre retornos compostosem tempo contnuo, (geralmente se assume distribuionormal para os retornos) e a lognormalidade dos preos.O O retorno composto continuamente entre 0 e t, por definio

R(0, t) = ln(Vt/V0) Vt = V0 eR(0, t). Isso um bom motivo p/ setrabalhar em tempo contnuo (em vez de discreto), mas tem +.


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Distribuio Lognormal e Taxa de RetornoX Assim, retornos em tempo contnuo com distribuio normal

equivale a dizer preo do ativo com distribuio lognormal.O Veremos que processos estocsticos populares usam dist. lognormais.

X Alm disso,retornos compostos continuamente podem sersomados, i. , se t0 < t1 < t2, e as taxa de retorno contnuonos intervalos [t0, t2], [t0, t1], [t1, t2] so, respectivamente,R(t0, t2), R(t0, t1), R(t1, t2), ento:

R(t0, t2) = R(t0, t1) + R(t1, t2)O Prova: V(t1) = V(t0) exp[R(t0, t1)] e V(t2) = V(t1) exp[R(t1, t2)] podem

ser combinados: V(t2) = V(t0) exp[R(t0, t1)] exp[R(t1, t2)] =

V(t0) exp[R(t0, t1) + R(t1, t2)] V(t2)/V(t0) = exp[R(t0, t1) + R(t1, t2)]ln[V(t2)/V(t0)] = R(t0, t1) + R(t1, t2) R(t0, t2) = R(t0, t1) + R(t1, t2)

X Outro fato: sabe-se que asoma de distribuies normais umadist. normal o produto de lognormais lognormal. Prova:

Y1 = exp(X1); Y2 = exp(X2); Y1 x Y2 = exp(X1) x exp(X2) = exp(X1 + X2),como X1 + X2 tem distrib. normal, ento Y1 x Y2 tem distrib. lognormal.

Distribuio Lognormal e Taxa de RetornoO Note que tendo dist. normal, esse retorno pode ser menor que

100%, embora na prtica a probabilidade seja bem pequena.Mesmo assim o preo lognormal ser sempre positivo! exp(-2) > 0

X Oreinvestimento contnuo de dividendos no ativo bsicotambm gera um nmero exponencial de ativos, e T:O Se em t0 tenho n0 = 1 ativo e todo dia t eu recebo e reinvisto o

dividendo /365 V(t), ento eu terei n1 = (1 + /365) ativos no 1o

dia; no 2o dia eu recebo dividendo (1 + /365) /365 V(t) e terein2 = (1 + /365) /365 + (1 + /365) = (1 + /365) (1 + /365) =(1 + /365)2 ativos no 2o dia; etc., de forma que em T anos terei:

365 T T

365 T

n 1 e

365O Assim, como terei e T mais ativos em T, para ter exatamente uma

unidade do ativo em t = T, basta comprar e T unidades em t = 0.

O Ou: num intervalo dt se ganha o dividendo dV(t) = V(t) dt, quese reinvestido em V tem a soluo (integrando): V(t) = V(0) e t .


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Densidade da dist. lognormal

Distribuio Lognormal: Mdia e VarinciaX Seja a varivel com distr. normal X ~ N(m, s2), por ex.,

X = retorno = ln(Vt/V0). O valor esperado da varivellognormal Y = eX, em funo dos parmetros de X :

2 2X 2 m + s sVar[Y] = Var[e ] = e (e 1)

O Pasta 76: material do livro do McDonaldsobre distribuio lognormal e seu linkcom a frmula do Black-Scholes.

O Agora veremos propriedades dos retornos contnuos normais em relao varivel tempo, que servir para justificar o uso de processos estocsticospopulares tais como o movimento geomtrico Browniano.

2smX 2E[Y] E e e

O A prova est nas mencionadas notas da Pasta 76. Note queE[eX] > eE[X] (efeito deconvexidade,desigualdade de Jensen).

X A varincia da varivel lognormal Y dada por:

Retornos e Varincias Proporcionais ao TempoX Com retornos contnuos vimos que podemos som-los:

12

anual ms i anual mems i mensa nsali =

l1

; se r = conr r r 12stante r= r

O Ou seja, o retorno esperado proporcional ao tempo (no ex.,12 meses), o que intuitivo. E no caso da varincia, tambm?

X A varincia dos retornos pode ser escrita no caso como:12

2anual anual ms i

i = 1

Var r Var r

O Se rms i = cte = rmensal e se osretornos so no-correlacionados( independentes p/ dist. normais), o que desejvel (i.i.d.),ento a varincia da soma igual soma das varinciasindividuais. No caso, se teria 12 termos iguais nessa soma, logo:

12 122 2anual mensal mensal

i = 1 i =

2 2anual mensa

1l Var r 12

h anual h

O Que proporcional ao tempo tambm. Se dividirmos o ano em nperodos de tamanho h (i. , h = 1/n) e tirarmos a raiz, ento o

desvio-padro do retorno no intervalo de tempo h :


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Processo Estocstico Indexado pelo Tempo

++dVdV == dtdtVV dzdzVVdzdz tt dtdt== IncrementoIncremento de Wienerde Wiener

tt ~~ N ( 0 , 1 )N ( 0 , 1 ) dzdz ~~ N ( 0 ,N ( 0 , dtdt ))

ProcessoProcesso EstocEstocsticostico = Tempo += Tempo + AleatoriedadeAleatoriedadeNumNum intervalointervalo dtdt, a, a variavariaoo serser ::

d(varid(varivelvel) =) = FatorFator d(tempod(tempo) +) + FatorFator d(aleatoriedaded(aleatoriedade))

XX Ex: Valor doEx: Valor do projetoprojeto V segue umV segue um MovimentoMovimento GeomGeomtricotricoBrownianoBrowniano (MGB,(MGB, processoprocesso estocestocsticostico maismais popular):popular):

O Como dz tem varincia dt (alm de ser no tendencioso por termdia zero), ento a varincia do processo proporcional aointervalo de tempo em que se olha no futuro (geralmente desejvel)

O No MGB, dV/V tem distrib. normal e V tem dist. lognormal. J dV tem distribuio lognormal com uma translao.

O V = 0 umabarreira absorvente, pois se V(t = 0) = 0 dV = 0, t.

Processos Estocsticos e Previso

XNo caso do Movimento Geomtrico Browniano (MGB):dVV = dt + dz

Taxa de Variaoda VarivelEstocstica

Parcelade ValorEsperado

= +Parcela de Erro(desvio padro;incerteza)

X Pode-se ver um processo estocstico X(t) como umapreviso E[X(t)] mais um erro dessa previso. Ou seja:

X(t) = E[X(t)] + erro(t)

X No caso de V(t) seguir MGB, V(t) tem distribuio lognormale dV/V tem distribuio Normal: dV/V ~ N( dt; 2 dt).

X Prova-se (usa o lema de It, parte 4) que o retorno contnuotambm tem distrib. normal: ln(Vt/V0) ~ N[(

2 t; 2 t].XNote que tanto dV/V como ln(Vt/V0) tem mdia e varincia proporcionais a t.


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Previso: Movimento Geomtrico BrownianoX comum traar intervalos de confiana da previso,

usando percentis das distribuies (lognormal no MGB).X No MGB, a varincia cresce com o horizonte de previso

O Quanto mais longe se tenta prever os preos, mais incerta a previso. Tendncia: exponencial de crescimento ou queda

Figura:Dixit & Pindyck

Processo de Wiener (Movimento Browniano)X O movimento Browniano tambm chamado processo

de Wiener e pode ser definido pelas propriedades:O umprocesso de Markov no sentido que depende do preo

corrente, mas independe da trajetria dos preos no passado;O Tem incrementos independentes (variao num intervalo t

independente da ocorrida em outro intervalo t); eO Os incrementos tm distribuio Normalcom parmetros que

dependem s do intervalo de tempo: incrementos estacionrios.X O termo dz = dt, implica em mudanas bruscas:

O Para um pequeno intervalo t, o movimento do desvio-padroser muito maior que o movimento do termo de tendncia: se

t pequeno, ( t) muito maior que t. Isso determina umcomportamento serrilhado dos caminhos do proc. de Wiener.

O Por razes similares, o processo de Wiener no tem derivadaem relao ao tempo no sentido convencional: z/ t = ( t) , torna-se infinito quando t se aproxima de zero.


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Propriedades do Movimento BrownianoX Num intervalo de tempo a variao de V dada por dois

termos: o determinstico V dt e o estocstico V dz.O Num intervalopequeno de tempo o termo estocstico o

dominante. Se o intervalo de tempo grande, o inverso ocorre,i. , o termo dominante a tendncia determinstica.

O Ex.: = 10 % a.a.; = 10% a.a., as variaes de dV/V so:

O Na prtica, se voc observa a variao diria de um preo, aoscilao parece errtica, como um MGB sem drift: pareceno ser detectvel. Mas ao longo dos anos o drift observvel.

724,980,000140,00000020,0000021 minuto

19,1050,00520,000270,00271 dia3,4640,02890,00830,08331 ms

10,100,1011 ano

0,4470,22360,555 anos

t / ttttIntervalo de

Tempo

Propriedades do Movimento BrownianoX As variaes totais e quadrtica de dz geram

propriedades tpicas do movimento Browniano.O O movimento Browniano dz tem uma naturezafractal, pois

uma amostra de caminho tem uma trajetria serrilhada e secolocarmos um microscpio num aparente segmento de linhareta desse serrilhado veremos uma novo serrilhado.

O Isso significa que num intervalo finito t = T 0 = T, o

tamanho total da amostra de caminho infinito, i. :

X Curiosamente, a variao quadrtica de dz finita eigual ao intervalo de tempo T. Ou seja:

T

0

variao total do mov. Browniano = |dz|

O Na parte 4 isso ficar claro, pois mostraremos que (dz)2 = dt.

T2

0

variao quadrtica do mov. Browniano = (dz) T


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Processos de Markov e de ItX Um processo de Wiener tambm um caso especial de

um processo de difuso forte (strong diffusion process)que uma classe particular de umprocesso de Markovem tempo contnuo (livro do Merton, p. 121-122 e n. 3).

X Processos de Markov independem da histria passada,dado o valor corrente, i. ,toda a informao relevanteest contida no valor corrente da varivel estocstica.O Formalmente, a distribuio de probab. de xt + 1 depende

somente de xt e no do que ocorreu antes do tempo t.Logo, no depende de x

s

, onde s < t, i. , condicionalmenteindependente de xs (condicional a saber xt, independe de xs).

O MGB um tipo particular de processo markoviano.

O Processos de Markov so consistentes com aforma fracade eficincia do mercado (rever parte 2). Preos correntes refletem toda informao dos preos passados.

Processos de It eMovimento Aritmtico Browniano

X Um processo Browiano generalizado chamado deprocesso de It (inclui processos dereverso mdia):

dV = a(V, t) dt + b(V, t) dzX O Movimento Aritmtico Browniano (MAB) o caso

particular mais simples de processo de It, pois ostermos a e b so constantes: a(V, t) = e b(V, t) = .

dV = dt + dzO Pode-se escrever tambm: dV = V(t + dt) V(t) = dt + dz

V(t + dt) = V(t) + dt + dz. Ou seja, um processo deMarkov, j que V(t + dt) depende do valor corrente V(t), masno dos preos passados V(s), onde s < t.

O Como E[dz] = 0, segue que E[dV] = dt = E[dV]/dtrepresenta a variao esperada em V por unidade de tempo.


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Movimento Aritmtico BrownianoComo o MAB descreve a variao em V eno na taxa de retorno de V, o

MABno exibe as propriedades de retornos normais (MGB) que vimos.O J a varincia de V(t + dt) fcil de ver que 2 dt.

X No MAB, o valor V tem distribuio normal (no MGBera lognormal): V(t + dt) ~ N{V(t) + dt; 2 dt)O Por ter distrib. normal, V pode assumir valores negativos.

usado em modelos em quese deseje permitir valores negativos.O Veremos uma aplicao em termoeltricas (spark-spread).

X MAB foi o 1 modelo matemtico usado para valoraropes: tese de doutorado de Bachelier (1900).

O Samuelson (Nobel em Economia; orientador do Merton) em1965 props o MGB para evitar os preos negativos do MAB.

X Ver em casa um exemplo numrico do MAB no anexo.XA forma integral do MAB (a 2a integ. a integral de

It): V(T) V(0) dt dz(t)

Movimento Geomtrico Browniano (MGB)X Vimos na eq. doMovimento Geomtrico Browniano que

os retornos esperados e suas varincias so proporcionaisao tempo, propriedades geralmente desejadas:V

dz = N(0, 1) dt(t + dt) V(t) dV

onde dt dzV(t) V

O Alm disso, no permite preos negativos (tambm desejvel).X A figura abaixo mostra duasamostras de caminho de

dois ativos que seguemMGBs correlacionados ( = 60%).

Planilhasimula-MGBs_correlac.xls


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MGB: Valor Esperado e VarinciaX No MGB o valor esperado de Vno instantet, dado o

valor corrente V0, : E [Vt] = V0 et

O Assim, espera-se que V cresa exponencialmente taxa .Para mostrar isso, pode-se provar (com o lema de It) quev = ln(V) segue o MAB: dv = d(lnV) = ( 2/2) dt + dz.A eq. diferencial de dv tem a seguinte soluo exata p/ t = t 0:

ln(Vt) ln(V0) = ln(Vt/V0) = (2/2) t + N(0, 1) t

Vt = V0 exp[(2/2) t + N(0, 1) t]

E[Vt] = V0 exp[(2/2) t] E{exp[ N(0, 1) t]]}

E[Vt] = V0 exp[(2/2) t] E{exp[N(0, t)]]};

Mas vimos que se X ~ N(m, s2) ento E[eX] = exp[m + s2], logo:E[Vt] = V0 exp[(

2/2) t] exp[ 2 t] E [Vt] = V0 e t

XA varincia de V, dado V0 em t = 0, (ver slide sobre a lognormal):

X Note que se t Var[V] (varincia ilimitada)

Movimento Geomtrico Browniano (MGB)X Um processo estocstico indexado pelo tempo um

mapeamento de probabilidades ao longo do tempo.O No caso do MGB, a tendncia um crescimento (ou queda)

exponencial e os preos tem uma distribuio lognormal comvarincia crescendo (sem limites) com o horizonte temporal.

tendnciaou drift(aqui > 0)

Distribuio deprobabilidadeslog-normal

Varincia cresce como horizonte de previso


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Movim. Geomtrico Browniano: ExemploX

Seja um projeto cujo valor V segue um MGB, com umcrescimento exponencial esperado igual a 3% ao ano etem uma volatilidade de 20% ao ano.

X Se o valor corrente do projeto igual a 100, qual o valoresperado desse projeto e seu desvio padro daqui a 5 anos?

X Escreva a equao estocstica do projeto:

dV = 0,03 V dt + 0,2 V dz

Martingale e Martingale DescontadoX Um processo estocstico X(t) um martingale sob a

medida de probabilidade Q se o seu valor esperado (sobessa medida Q) o seu valor corrente X(0).O EQ[X(t)] = X(0), t > 0; em geral: EQ[X(t) | F(s)] = X(s), t > s,

onde F(s) representa o conhecimento/informao no instante sEx.: se X(0) = 10 e X(t) martingale EQ[X(t)] = 10, para todo t 0.

O

Martingale um processo estocsticosem tendncia (MGB: = 0).O Matemtica: ligada teoria das expectativas condicionais.

X A importncia aqui porque prova-se que se o processodo valor descontado de um ativo um martingale sob amedida Q, ento o processo do valordescontado de um

derivativo desse ativo tambm um martingale sob Q.O Essa medida em que se toma valores esperados chamada de

medida neutra ao risco e o desconto com a taxa livre de risco.EQ[e r t V(t) | F(0)] = V(0); p/ a opo F(V): EQ[e r t F(t) | F(0)] = F(0)


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Medida Neutra ao Risco e Valor EsperadoX Na parte 2 foi definida a medida de probabilidade

neutra ao risco (Q) como aquela que faz o retornoesperado do ativo bsico ser a taxa livre de risco.O fcil ver que isso equivale a subtrair um prmio de risco do

valor esperado do ativo bsico V. Seja o caso simples com doisinstantes, V(0) conhecido em t = 0 e V(1) estocstico em t = 1.

O Os retornos sob medida real (P) e medida de martingale (Q) so:

O claro que diminuindo o primeiro do segundo encontra-se o

prmio de risco do ativo bsico r. Essa subtrao podeser vista tambm em termos de diferenas de valor esperado:

O EP[V(1)] EQ[V(1)] = ( r) V(0) = V(0), logo a expectativaneutra ao risco a expectativa real menos um prmio de risco:

EQ[V(1)] = EP[V(1)] V(0)

Tendncia Neutra ao Risco em Tempo ContnuoX Podemos fazer algo similar em tempo contnuo e t:

V(0) = e t EP[V(t)] e V(0) = e r t EQ[V(t)]O Por hora assumiu-se = 0. Logo, com uma lgebra elementar:

e t = EP[V(t)]/ V(0) e e r t = EQ[V(t)]/V(0)

t = ln{EP[V(t)]/ V(0)} ln{EQ[V(t)]/V(0)} t = ln{EP[V(t)]/EQ[V(t)]}

EQ[V(t)] = e t EP[V(t)]. Logo, com > 0, EQ igual aexpectativa real EP penalizada por um prmio de risco .O Alm disso, se V(t) segue um MGB, EP[V(t)] = V(0) e t. Logo:

EQ[V(t)] = V(0) e t (= V(0) e(r ) t)O Assim, sob medida NR, em vez do drift real , o MGB passa a ter o

drift NR, i. , . J o termo de varincia ( dz) do MGB NR omesmo (prova: Tavella, pasta 76). Se quisermos saber a diferenaentre os dois valores esperados, uma lgebra elementar resulta em:

EQ[V(t)] = EP[V(t)] V(0) [e t e t] = EP[V(t)] (t)


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Tendncia NR em Tempo Contnuo com DividendosX A demonstrao anterior foi para o caso sem dividendos.

X Se o ativo V distribui dividendos a uma taxa contnuaque so reinvestidos continuamente em V, em t se tere t ativos V em t. Como os retornos totais sob medida P esob medida Q devem ser respectivamente e r, temos:

V(0) = e t EP[V(t)] e t e V(0) = e r t EQ[V(t)] e tO Logo, dividindo um pelo outro e com uma lgebra elementar:

e t EP[V(t)] = e r t EQ[V(t)]EQ[V(t)] = e t EP[V(t)], que o mesmo resultado

obtido antes assumindo = 0.

Logo, com > 0, EQ

igual a expectativa real EP

penalizada por um prmio de risco .O Alm disso, se V(t) segue um MGB, EP[V(t)] = V(0) e t. Logo:

EQ[V(t)] = V(0) e t = V(0) e(r ) tO Como antes, a diferena entre os dois valores esperados :EQ[V(t)] = EP[V(t)] V(0) [e t e t ] = EP[V(t)] (t)

Processos Estocsticos Reais x Neutros ao RiscoX Foi visto que subtraindo o prmio de risco da

tendncia real , se obtm a tendncia neutra ao riscoe foi mostrado na parte 1 que = r .

O Assim, um MGB neutro ao risco (sob medida de martingale) :

PdPNR

= (r ) dt + dz

X Doissample-paths dosprocessos reais e NRso mostrados ao lado(ver planilhasimula-real-neutral.xls):

X Processos neutros ao risco so usados em opes/derivativos


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Processos Estocsticos Reais x Neutros ao RiscoX O processo (real) do MGB pode ser escrito da

seguinte forma, lembrando que :dP = P dt + P dz = ( ) P dt + P dz

dP = P dt + P dz P dtO Interpretao: o ativo P cresce a uma taxa mas paga

dividendos a uma taxa P tem crescimento lquido = .A variao dP considera os dividendos preos ex-dividendos.

X Vimos que a medida Q definida como aquela quefaz o retornototalser livre de risco. Assim, a

equao acima para os preos sob medida NR fica:dPNR= r P dt + P dz P d t = (r ) P dt + P dz

O mais comum na literatura ver dzQ (mas aqui os dz soiguais) e no usar dPNRe sim dP (mas aqui eles so diferentes).Aqui os dz so N(0; 1) dt. Os dP so iguais se dzQ = dz + dt (a seguir).

Mudana de Medida e Teorema de GirsanovX Teorema de Girsanov (simplificado): um movimento

Browniano dz com densidade f(t) pode ser transformadonum novo mov. Browniano dzQ(t) = dz(t) + dt onde zQ

tem densidade g(t) f(t), sendo g(t) = exp[ z 2 t].O A escolha de ser conveniente para gerar martingales desc.

O dV/ V = dt + dz dV/V = dt + dz

dV/V = + r r dt + dzdV/V = r dt + dz + ( r) dtdV/V = r dt + [dz + {( r)/ } dt]

OAplicando o teorema de Girsanov com = ( r)/ :dV/V = r dt + dzQ

Nesse caso dV o incremento real e dzQ inclui a translaodt (que soma com dt N(0; 1)) para obter o mesmo dV.

O No teor. de Girsanov a escolha e a notao foram propositaisj que opreo de mercado do risco (ou ndice de Sharpe).


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Mudana de Medida e Intuio EconmicaX

A intuio econmica da mudana de medida queos investidores em equilbrio so indiferentes entreuma mudana na alocao do seu portflio entre osativos de risco e livre de risco desde que a reduono retorno seja acompanhada de reduo de risco.OO ndice de Sharpe aparece na transformao porque

ele mede o retorno em equilbrio demandado pelosinvestidores para absorver mais ou menos risco.

X

O processo transformado dV/V = r dt + dzQ

til pois o processodescontado e r t [V e t] no temdrift (Q-martingale): d{e r t [V e t]} = e (r ) t V dzQ.O Isso pode ser provado facilmente com o Lema de It (ver

parte 4) aplicado funo F(V) = e r t [V e t].

Mudana de Medida e MartingaleX Note que sob medida P o processo dF = e (r ) t V dzQ

no um martingale, j que EP[dF] = e (r ) t V dt.X Mas sob medida Q o teorema de Girsanov diz que dzQ

um movimento Browniano, i. , sob Q, dzQ = N(0; 1) dt.Assim, sob medida Q, EQ[dF] = 0 e um Q-martingale.O Assim, se fizermos dzQ = N(0; 1) dt estaremos no mundo da

medida Q e o incremento dF ser sob essa medida Q.O Por isso, se fizer dzQ = N(0; 1) dt ser prefervel usar tambm

a notao dFQ ou dFNRpara distinguir das variaes reais dF.Lembrar da diferena nos sample-paths dos MGBs real (P) e neutro ao

risco (Q) no grfico da planilha simula-real-neutral.xls.

X Aqui, mudana de medida P para Q significa mudar deretorno real total para retorno livre de risco r.O Assim, parece natural penalizar os retornos do ativo de risco

por um prmio de risco para poder descontar com a taxa r.O O teorema de Girsanov s faz isso ter um rigor matemtico.


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Notas sobre Mudana de MedidaX Uma translao dt no processo estocstico corresponde

a uma mudana na taxa de variao desse processo. Nocaso de ativos uma mudana no retorno desse ativo.O A escolha conveniente de nos deu a medida adequada que

tornou Q-martingales os processos descontados.

X O processodescontado do ativo que um martingalesob medida Q. O ativo em sno um Q-martingale.

X O fator de probabilidade g(t) = exp[ z 2 t] umcaso particular daderivada de Radon-Nikodym = dQ/dP,

que d a razo de mudana de medida.X Para uma intuio matemtica mais apurada ver, por

ex., o livro Financial Calculus de Baxter & Rennie.

X Iremos usar mudana de medida principalmente emsimulao de Monte Carlo para avaliar opes reais.

Movimento de Reverso Mdia (MRM)XX O movimento de reverso mdia um processo de

Markov, mas, ao contrrio do MGB, o sentido e aintensidade da tendncia dependem do preo corrente.

X Na eq. acima, p/ evitar preos P < 0 comum ter reverso emP usando a relao x = ln(P), pois x ~ normal; P ~ lognormal.

XOutros modelos de reverso mdia so o MRMgeomtrico (Dixit & Pindyck) e o de Battacharya. Resp.:

XX Ver tambm www.puc-rio.br/marco.ind/revers.html

XO MRM aritmtico, chamado Ornstein-Uhlenbeck, :

XX Onde: = velocidade de reverso e x = mdia de longo prazo

(valor de equilbrio)

|dzdz== ++dPdP

PPPP PP dtdt == ++ PP dzdzdPdP PP PP dtdt


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X No caso do processo de reverso mdia, a tendncia opreo reverter para um nvel de equilbrio do mercado,P, chamada de mdia de longo prazo. Analogia: mola.O Nesse caso a varincia cresce inicialmente e depois se estabilizaO Figura: varincias ~ iguais em ti , tj tk(i. , ~ estveis aps ti )

Reverso Mdia de Longo Prazo

Caso P0 < PTendncia do preo subir

Caso P0 > PTendncia do preo cair

Reverso Mdia: Caso SimplesX O caso mais simples o do MRM aritmtico, chamado

Ornstein-Uhlenbeck (que pode gerar valores negativos):

X O mtodo geral de obter os momentos probabilsticos deprocessos estocsticos atravs da equao diferencialda densidade de probabilidade (eq. de Komolgorov).O DP (apndice do cap. 3) usam a eq. diferencial de Komolgorov

p/ mostrar a mdia e a varincia do MRM aritmtico, que so:

X Se t Var[x(t)] 2/2 e no para como no MGB.Logo, ao contrrio do MGB, o MRM tem varincia limitada.


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Reverso Mdia e MicroeconomiaX

Se os preos do petrleo (ou de outra commodity) estobaixos (abaixo do preo de equilbrio de longo prazo):O A demanda tende a aumentar e a oferta tende a diminuir:

Empresas e pessoas tendem a consumirem mais derivados depetrleo por estarem baratos (ex: carres nos EUA/anos 90);

Oferta tende a cair pois os projetos so postergados; manutenoem poos so adiados; OPEP tende a reduzir cotas de produo;

Campos marginais/maduros comeam a apresentar prejuzo epodem ser fechados; companhias de petrleo pequenas fecham.

O A depleo aumenta e a explorao tende a ser reduzida:Apesar da atividade ser de longo prazo, firmas tendo menores

receitas e tendo de ter lucro, reduzem o investimento em explorao

X Se os preos esto altos (2008), ocorre o inverso.X A reverso, no entanto, tipicamente lenta.

O Se os preos do petrleo esto altos, leva tempo at paradesenvolver um campo j descoberto (~ 3 anos no mar).

Mercados a Termo e FuturoX Contrato a termo (forward) quando duas partes

combinam e fixam um preo P hoje (t = 0) para um ativobsico que ser pago e entregue numa data futura T.

X Contrato futuro (futures) em essncia um contrato atermonegociado em bolsa (mais liquidez, transparnciae menor risco de crdito). Mas temchamada de margem.O Margem a garantia de que o contrato ser honrado, a qual

depositada numa conta remunerada pela taxa de juros (rf).Todo dia ajustada a posio em funo das oscilaes do mercado

futuro (marcao a mercado): investidor coloca mais dinheiro se aoscilao for desfavorvel ou resgata dinheiro se ela for favorvel.

O Podem ter outras diferenas tais como no custo de transao e impostos.

X Empiricamente os preos a termo e futuro so similares.Aqui eles sero considerados iguais. Mas em modeloscomtaxa de juros estocstica a diferena relevante.O Se a taxa estocstica rf forpositivamente correlacionada com P

ento o preo futuro sermaior que o preo a termo e vice-versa.


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Reverso Mdia nos Preos do leoX

Evidncias empricas e lgica microeconmica (foras deoferta x de demanda, etc.) indicam o processo estocsticodo preo do leo como tendo ocomponente de MRM.

X No entanto, testes economtricos s rejeitam o MGBpara sries muito longas (ex.: Pindyck & Rubinfeldusaram srie com 117 anos e rejeitaram o MGB).O Com sries de 30 a 40 anos no se consegue rejeitar o MGB!

X Preos domercado futuro (estrutura a termo) outroindicativo da presena do processo de reverso mdia,

pelo menos dentro do horizonte de at ~ dois anos.O Estruturasbackwardation para preos altos e decontango

para preos baixos, so coerentes com a hiptese de MRM.O Volatilidade maior dos preos spot e menor p/ preos futuros

(Samuelson effect) mais coerente com a reverso mdia.

X Filme da estrutura a termo do mercado futuro de petrleo

Preos do Petrleo no Mercado FuturoX A estrutura termo dos preos do mercado futuro indica a

existncia de foras de reverso para um nvel de equilbrio.

backwardation

contango

Fonte: livro de H. Geman(Commodities andCommodities Derivatives)


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Petrleo: Preos Spot x Preo FuturoX

Note que os preos spot ( vista) so mais volteis, alcanamvalores mais extremos que os preos do mercado futuro.Brent Prices: Spot (Dated) vs. IPE 12 Month

Jul/1996 - Jan/2002

5

10

15

20

25

30

35

40

7/22/1996

10/22/1996

1/22/1997

4/22/1997

7/22/1997

10/22/1997

1/22/1998

4/22/1998

7/22/1998

10/22/1998

1/22/1999

4/22/1999

7/22/1999

10/22/1999

1/22/2000

4/22/2000

7/22/2000

10/22/2000

1/22/2001

4/22/2001

7/22/2001

10/22/2001

1/22/2002

Brent(US$/bbl)

Brent Platt's Dated Mid (US$/bbl)

Brent IPE Mth12 Close (US$/bbl)

Preos do Petrleo no Mercado Futuro em 2007X O grfico mostra a estrutura a termo do mercado futuro

(5 anos) de bolsa em janeiro, julho e agosto de 2007.O Aqui estamos mostrando o mercado do WTI de bolsa (Nymex),

que em bolsa tem contratos mais longos que o Brent (Londres).


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Preo do Mercado Futuro e Futuro Preo SpotX A pergunta natural :ser que o preo do petrleo de um

contrato do mercado futuro hoje (ex.: p/ entrega em t = 1ano), uma boa previso do futuro preo spot (no ex., p/daqui a 1 ano)? Isto , ser o preo futuro = E[P(t=1)]?O Se oprmio de risco > 0 preo hoje do mercado futuro Ft

p/ t uma estimativaconservadora (i.,tendenciosa p/ baixo) dovalor esperado do futuro preo spot E[P(t)]. A diferena o :

Ft = E[P(t)] (t)

O A razo simples: um comprador de um ativo de risco(ex.: 1 bbl de leo) no mercado futuro est incorrendo no

risco daquele ativo se desvalorizar na data de vencimento. P/ o investidor aceitar esse risco, ele exige um prmio (desconto em P).

O Como vimos que subtrair um prmio de risco de uma mdia uma mdia neutra ao risco, Ft a expectativaneutra ao riscodo futuro (em t) preo spot desse ativo. Ser mais formalizado.

X Ver: http://www.fenews.com/fen36/teach_notes/teaching_notes.htm

Mercado Futuro e Taxa de ConveninciaX O preo no mercado termo (forward), que igual ao do

mercado futuro (assumindo r no-estocstico),Ft emrelao ao preo corrente (spot) P dum ativo com taxa dedividendos (ou taxa de convenincia, se commodity) :

X Antes de provar essa equao devemos notar que ela

til para estimar ataxa de convenincia (convenienceyield) do preo de uma commodity, a ser usada em OR:investimentos em petrleo, agri-business e minerao.O A taxa um fluxo de benefcios de possuir estoque fsico (em

funo do risco de escassez) e lquido do custo de estocagem(Kaldor, 1939; Working, 1948, 1949; Brennan, 1958).

O Podemos calcular taxas t diferentes para cada contrato futuroFt. Em OR usamos o de contrato com t mais longo (+estvel).

X fcil ver que na expirao t ospreos convergem: P(t) = Ft(t).O Caso contrrio, nessa data t se faria arbitragem instantnea!

Ft = P e(r ) t ( Ft a expectativa NR de P) .


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Relao entre Preos Futuros e SpotX fcil ver que se um ativo no tem dividendo ( = 0),

ento o preo forward (futuro) tem de serFt = er t P.O Se Ft > er t P, se poderia obter um ganho porarbitragem

emprestando a uma taxa r um valor P, comprando o ativo porP e entrando num contrato futuro de valor Ft. Total caixa = 0.

O No vencimento, ele entrega o ativo em troca do pagamento Ftcom o qual se paga o emprstimo (er t P), lucrando a diferena.

O Se Ft < er t P, se faria as operaes inversas, com arbitragem.

X No caso com dividendo > 0, vimos que para ter umaunidade do ativo no vencimento, em vez de comprar

uma unidade do ativo em t = 0, basta comprar e t P ereinvestir todos os dividendos no ativo para ter P em t.O Assim, s precisa pegar emprestado (em t = 0) o valor e t P. Na

expirao ele pagar er t (e t P) = e(r ) t P e entregar seu ativo,recebendo Ft. Logo, p/ no ter arbitragem temos Ft = e

(r ) t P.

X Futuros de divisas (ex.: dlar): juros externos faz papel de .

Notas Sobre a Taxa de ConveninciaX Embora a taxa de convenincia deva ser em mdia

positiva para justificar a existncia de estoques (j queexiste um custo de estocagem), ela pode ser negativa:O Ela negativa quando o custo de estocagem supera o seu

benefcio. Isso ocorreu, por ex., com o petrleo no ano de 1998.O Taxas de convenincia negativas no geram arbitragem (mito).

X A demonstrao anterior de Ft = P e(r ) tpara o caso decommodities ( interpretado como taxa de convenincia)pode ser questionada, pois um especulador no teria obenefcio advindo do estoque e no faria lucro sem risco.O O livro do McDonald um dos poucos que chamam ateno para

isso e coloca umrange de no-arbitragem no caso de commodities:P e(r ) t Ft P e

(r c) t onde c = custo de estocagem e = bruto c

O Mas pode-se argumentar que existem empresas de petrleo nomercado que podem usufruir de e fazer esse range ser + estreito.

O A maioria dos livros no consideram esse range, s Ft = P e(r ) t.


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Qual o Melhor Modelo Estocstico?X

Um razovel mapeamento probabilstico ao longo dotempo (processo estocstico), mesmo no sendoperfeito, melhor do que nenhum mapeamento.O Erro com a viso determinstica , em geral, bem maior.

X O modelo mais simples (matematicamente) e maisusado o Movimento Geomtrico Browniano (MGB)O A rigor o MGB um timo processo para preos de aes,

ouro, ndice Ibovespa, etc. (ativos financeiros em geral),mas tambm parademanda de novos produtos, terrenos.

X O modelo de reverso mdia considerado o maislgico para commodities e para taxa de juros.O No entanto, o processo puro de reverso para um nvel

fixo demasiado previsvel e pode ser pior que o MGB.O Por isso mais realistacombinar o MRM com um MGB

para o nvel de equilbrio ou com processo de saltos.

Processos Estocsticos para Preos do leoX Existem vrios modelos de processos estocsticos para preos do

leo na literatura de opes reais. Eu classifico eles em trs classes

X As propriedades adequadas do Movimento Geomtrico Browniano(poucos parmetros para estimar, homogeneidade do ativo bsico eda opo) um grande incentivo prtico para seu uso.O Pindyck (1999) escreveu: improvvel que a premissa do MGB

leve a erros significativos na regra tima de investimento


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Simplicidade do Mov. Geomtrico BrownianoX O uso do MGB em modelos de opes mais simples por

ter menos parmetros para estimar e por causa dahomogeneidade da equao diferencial.O Temos de estimar somente os parmetros r, eO Na rever. mdia temos de estimar ao menos r, , , e P

X A homogeneidade ocorre tanto na equao do valor daopo como na prpria equao original do MGB:O Ex.: Se o preo P segue um MGB e o valor do projeto V

proporcional a P (isto , V = k P), ento V segue tambmum MGB e com os mesmos parmetros do MGB de P:dP = P dt + P dz e V = k P k d P = k P dt + k P dz

d(k P) = (k P) dt + (k P) dz dV = V dt + V dzUma demonstrao usando o Lema de It tem no website.

XA homogeneidade da opo ser vista depois. Essano ocorrep/ a reverso mdia (distr. de retornos depende de P em t = 0)

Processos de Saltos de PoissonX umprocesso de Markov que conta o nmero de eventos

aleatrios independentes ao longo do tempo, N(t).O umprocesso de contagem particular, com incrementos

independentes e estacionrios (s depende de t), com N(0) = 0e com o nmero n de eventos em t tendo umadistribuio de

Poisson: Prob{N(t + t) N(t) = n} = exp( t) . ( t)n / n!;

O E[N( t)] = t; a freqncia de ocorrncia de um evento;

O Se o intervalo t pequeno, Prob{n 2} 0 (ou o( t));

O O tempo entre ocorrncias de eventos temdistribuioexponencialcom mdia 1/ .

O Processo usado para modelar a ocorrncia de eventos raros,tais como a ocorrncia de um sinistro (indstria de seguros), aentrada de um concorrente (viso exgena), uma crise, etc.

X Em finanas/opes reais ele mais usado combinado comumprocesso de difuso (jump-diffusion ouPoisson-Gaussian).


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Simulao do Processo Puro de SaltosX A figura mostra uma possvelamostra de caminho

(sample-path) do processo de Poisson composto puro(no-combinado com difuso) do exemplo. Ver planilha.

Processos Mistos de Difuso com SaltosX Um processo misto de difuso com saltos de Poisson:

O dV = a(V, t) dt + b(V, t) dz + V dq

O Com dz (Wiener) e dq (Poisson composto) independentes; e

X Merton (1976) justificou o modelo para aes V:

O Em caso de notcias normais, V segue um processo de difuso(MGB em Merton), mas em caso de notcias anormais (raras,mas de muito impacto) ocorre o evento de Poisson (salto em V)

O Para opes europias sob um processo de MGB + Poisson emque o tamanho dos saltos tem distribuio lognormal, Merton(1976) encontrou uma soluo analtica.

X Em vez do MGB, pode-se usar um processo dereverso mdia. Ex.: modelos para taxa de juros e para cmbioO Reverso + jumps em OR: Dias & Rocha (1998) os pioneiros.


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Processo de Jump-Reverso: os Sample PathsX Um outro modelo de reverso + jumps foi usado no financiamento de

Marlim. Ver www.puc-rio.br/marco.ind/sim_stoc_proc.htmlO Na simulao de preos do petrleo, a freqncia de 1 salto a cada 5 a.

Motivao para Processos de Saltos de PoissonX Vemos saltos (jumps) nos preos do leo em ambas direes,

dependendo do tipo de notcia anormal:jumps-up em 1973/4, 1978/9,1990, 1999, 2002; e jumps-down em 1986, 1991, 1997, e 2001

Jumps-upJumps-down


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Produtos com Ciclo de VidaX Produtos com ciclo de vida tais como os chips de memria

DRAM tem curva de demanda crescente seguido de curva dedemanda decrescente. So modelados com umprocessoestocstico com mudana de regime.

Fonte: Bollen (1998)

X Para modelar a incerteza na demanda dado que existemudana de regime (demanda crescente seguida dedecrescente), se usa dois movimentos Brownianos, um comtendncia c positiva e outro com tendncia d negativa.

X O instante de troca de regime (crescente para decrescente) incerto, mas com probabilidade crescente. Exs.:O Colocar a probabilidade de mudana como alguma funo do

parmetro da demanda ou como funo das vendas acumuladasO Bollen (1998) usadistribuio acumulada normal do tempo desde t0

para a probabilidade de mudana de regime. Ex.: Para umadistribuio com mudana de regime esperada de 5 anos e comdesvio-padro de 1 ano, a demanda decrescente no ano 4 com 2,28% de chances; no ano 6 com 50% de chances; e no ano 8 de 97,72 %.

O Os objetivos so: (a) calcular o valor da firma que tem as opesde expanso e de contrao de acordo com o nvel de demanda;(b) escolher a capacidade inicial tima.Ele calcula para o caso de monoplio, mas a extenso para duoplio

(ou oligoplio) no difcil (especifica equilbrio, veremos no 2o sem.)

Modelo para Produtos com Ciclo de Vida


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rvore PentanomialX Bollen usa uma estruturapentanomialpara modelar a incerteza,

sendo os dois ramos superiores representando o crescimento e osdois de cima representando o decaimento da demanda.

Nmero de ns:1; 5; 9; 4t + 1,para t = 0; 1; 2...

X O quinto ramo (central) conveniente para a rvore recombinar.Com 4 ramos haveria problemas computacionais j que a rvoreno recombina. A rvore de 5 ramos permite grande economia:O Ex.: para uma rvore com 500 passos-tempo, com 5 ramos em vez de

4 ramos se obtm uma reduo de 99% na quantidade futura de ns.

Estimativa de Parmetros: RegressoX Para usar processos estocsticos temos de estimar os

seus parmetros, tais como a volatilidade e outros.O Embora econometria no seja o foco do curso, veremos o

mtodo mais simples que aregresso linear p/ MGB e MRM. Tem outros mtodos. No discutiremos detalhes do tipo autocorrelao, etc.

X A regressotima (a que minimiza o MSE) de Y emrelao a X afuno expectativa condicionalE[Y | X]:O A medida mais usada para medir a qualidade de um previsor

g(X) o erro quadrtico mdio (MSE): MSE(g) = E[Y g(X)]2.A funo g*(X) que minimiza o MSE a expectativa condicionalE[Y|X],

que em geral no-linear, mas linear no caso de X e Y ~ dist. Normal.

O Na regresso: Y = g(X) + , onde E[ ] = 0, se X ~ N(mX, X2) eY ~ N(mY, Y2), ento adistribuio condicional Normal com

mdia linear em X: fY|X ~ N(mY + Y (xi - mX)/ X, Y2 (1 - 2))

Isto , a funo expectativa condicional g(xi) = E[Y|X = xi] linear em X.

O Trabalhar com distr. Normais faz com que a regresso timaseja linear. Por isso vamos trabalhar com logaritmo dos preos.


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Estimativa de Parmetros: MGBX Seja P

t

o preo em t. Para trabalhar com dist. normais, o1o passo pegar os dados e calcular os logaritmos ln(Pt).

X Se os preos seguem um movimento geomtrico Browniano( , ), foi dito antes que isso implica na seguinte eq. discreta:O ln(Pt) = (

2/2) t + ln(P0) + N(0, 1) t. Assim, temos a equao:

ln(Pt ) = a + ln(Pt 1 ) + t ou ln(Pt ) ln(Pt 1 ) = a + t seqncia i.i.d. t ~ Normal(0,

2/N); para dadosdirios, N = 252 Corrigimos com N para obter parmetros anuais (para dadosmensais, N = 12)

Var[ln(Pt ) ln(Pt 1 )] = Var[ t ] =2/N 2 = N Var[ln(Pt /Pt 1 )]

= N {Mdia[ln(Pt /Pt 1 )] + 0,5 2/N}

O Com dados dirios, para calcular a volatilidade no MGB, bastacalcular a varincia de ln(Pt /Pt 1 ), multiplicar por 252 (parapassar para varincia anual) e extrair a raiz quadrada.

X O MGB pode ser testado, por ex., checando a hiptese docoeficiente de ln(Pt 1 ) da equao discreta ser unitrio.

chamado deteste da raiz unitria de Dickey-Fuller.

Estimativa em Reverso MdiaX Na reverso mdia, o coeficiente de ln(Pt 1 ) na equao

anterior ser menor que um. Seja a equao mais geral:ln(Pt ) = a + b ln(Pt 1 ) + t

O Deixaremos os dados dizerem sobre b em vez de estipular b = 1

O Se 0 < b < 1, teremos indcios de reverso mdia

X Faa a regresso [ln(Pt ) ln(Pt 1)] versus ln(Pt 1 ) :

ln(Pt ) ln(Pt 1 ) = a + (b 1) ln(Pt 1 ) + tX As seguintes frmulas permitem estimar um processo de reverso

para o logaritmo dos preos (Dixit & Pindyck, p.77, corrigido):

X O nvel de reverso j em termos de preo de equilbrio dado pela equao (prova: Sheldon Ross, 1999, p.171):O P = exp[(a + 0,5 2/N) / (1 b)]

O = ln(b) . N e


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Regresso Para Preos do PetrleoX

Fazendo a regresso [ln(Pt ) ln(Pt 1 )] versus ln(Pt 1 ) paraos preos do petrleo Brent (de jan/1970 a out/2004), se ainclinao da reta for ~ zero, no se pode rejeitar a hiptesede MGB. Se a inclinao for negativa, indcio de MRM.O A figura mostra a inclinao zero (MGB no rejeitado).

O Oteste da raiz unitria de Dickey-Fuller tb. no rejeita o MGB.

Critrios para Escolha do EstimadorX Pindyck (1999) e Dixit & Pindyck (1994) recomendam uma

srie longa de preos para estimar parmetros de tendncia.O Com apenas 30 a 40 anos no se rejeita a hiptese de MGB.

O Com srie longa se observa uma reverso lenta (H = 5 anos).

O Tem muita gente estimando parmetros de reverso com srietemporal de apenas dois a 5 anos: estimadores no-confiveis.

X O livro de econometria de Campbell & Lo & MacKinlay (1997,p.364) demonstra isso. O melhor estimador o estimador demenor varincia e critrio depende do parmetro a estimar:

O Drift: quantidade de dados no resolve. O melhor estimador aquele baseado no maior intervalo de tempo. Var(drift) ~ 2/TUsar sries longas (duas ou mais dcadas) para estimar tendncia.

O Volatilidade: aqui a quantidade de dados o que resolve e noo intervalo tempo (ao contrrio do drift). Var( ) ~ 2 4/n. Usar dados dirios para estimar volatilidade.


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Incerteza em Funes Cncavas e ConvexasX O efeito da incerteza em funes depende se a funo

linear, cncava ou convexa. Esse efeito conhecido pordesigualdade de Jensen e quantificado com o lema de It.

O Desigualdade de Jensen: se x varivel aleatria (v.a.) ef(x) uma funo (estritamente)convexa de x, ento:

E[f(x)] > f(E[x])

Logo, se o valor esperado de x permanece o mesmo, massua varincia aumenta, ento E[f(x)] aumenta. Ex.: opo.

Se g(X) funo (estritamente)cncava de x, e x for v.a.,

basta inverter a desigualdade: E[g(x)] < g(E[x]) Se h(x) funo linear da v.a. x, ento: E[h(x)] = h(E[x])

X Ex. (DP, p.49): r a taxa de desconto e a perpetuidade f(r) de $1 1/r.Se r = 10% 1/r = $10. Se r v.a. com distrib. discreta {r = 5% com50% chances; r = 15% com 50% chances}, i. , E[r] = 10%, o E[.] de f(r) maior que $10: E[f(r)] = 50% (1/0,05) + 50% (1/0,15) = 13,33 > 10

Barreiras Absorventes e RefletorasX Um processo estocstico X(t) pode atingir um nvel

superior ou inferior onde algo ocorre com o processo.O Esse nvel chamado de barreira, que pode serabsorvente,

refletora ou elstica (parcialmente absorvente ou refletora).

X Uma barreira absorvente quando o processoestocstico termina assim que ele toca nessa barreira.O Ex.: processo estocstico do valor de um projeto V(t) toca num

nvel superior V* (gatilho) onde a opo exercida. O processode V(t) deixa de ter interesse e termina para efeitos prticos.

O O valor de uma firma em indstria declinante atinge um valorinferior V** em que a firma entra em falncia (abandona).

X Uma barreira refletora quando o processo estocstico refletido (direo oposta) aps tocar essa barreira.O Ser muito usado em jogos de opes: o preo de uma

indstria no consegue superar P*, pois as firmas inundam omercado de produtos (exercem opes) quando P atinge P*.


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Tempo de Toque de um Processo EstocsticoX First hitting time o u first passage time o u first exit

time denotam o primeiro instante em que um processoestocstico toca (ou cruza) um certo valor (ex.: o gatilho)

X A definio defirst hitting time T*(V = b) = T*b para umprocesso estocstico V(t) alcanar (ou cruzar) a barreirab, assumindo que o processo inicia com V(t = 0) < b, :

; onde o nfimo de um conjunto vazio infinito

Ver planilhasimula-hit_time.xls.

First Hitting Time: AplicaesX Tem inmeras aplicaes em opes e jogos de opes

O Planejamento: se um projeto no est deep-in-the-money,qual o tempo esperado para ele atingir a curva de gatilhos?

O Clculo da opo: exerce a opo em t* (t que atinge o gatilho),o valor da opo F(0) o payoff descontado por E[exp( r t*)].

O No primeiro caso se considera o processo real e no segundocaso o processo estocstico neutro ao risco.


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Valor Esperado do Fator de DescontoX No caso de termos uma barreira inferior V** < V(ex.: V** um gatilho para exercer uma opo de

abandono ou de parada temporria), a equao fica:

onde X** o gatilho e X > X**

X Onde 2 a raiznegativa da eq. quadrtica do caso decontingentclaims: MGB com tendncia NR (r ) e taxa de desconto livre derisco r:

X No caso de usar o mtodo daprogramao dinmica em que

se usa uma tendnciareal e taxa de desconto exgena(ajustada ao risco?) , i. , se quer E[exp( t*)], s muda oparmetro beta. No caso de umabarreira superior, o 1 fica:

X Prova: http://www.puc-rio.br/marco.ind/hittingt.html#proof

MATERIALANEXO

Os anexos nos materiais do curso contm slidesque reforam os conceitos tericos eapresentam exemplos adicionais que no serodiscutidos em sala de aula, mas que podem serteis para um melhor entendimento deconceitos apresentados.


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Exemplo: Movim. Aritmtico Browniano

X Considere a seguinte verso discreta de ummovimento aritmtico Browniano para V:

Sendo: valor esperado (ou mdia) de V = Vt V0 = a t

varincia de V = b2 t

X O caixa de uma firma tem hoje $50, tendncia de subir$20/ano e um desvio padro anual (b) de b = $30/ano.Qual o valor esperado e o desvio padro do caixa dafirma daqui a 1 ano, se o caixa segue o processo acima?O Daqui a 1 ano a mdia ser de 70 (= V0 + a t = 50 + 20 x 1).

OO desvio padro ser de 30 (= b = 30 x 1).

OExerccio: Resolva para o caso de 6 meses. VOLTAR

t

Valor Esperado do MGB: Outra ProvaX Outra maneira de calcular o valor esperado de V

no instantet, dado o valor corrente V0, no MGB:OVimos que esse valor esperado : E[V (t)] = V0 e t

X A outra maneira tomar o valor esperado de dVna eq. original dV/V = dt + dz, pois o termo

aleatrio (2o termo) desaparece j que E(dz) = 0:

X Ou seja, dV = V dt descreve a curva de valor esperadode V. Assim, a soluo dessa equao diferencial para uminstante t, V(t), d o valor esperado de V no instante t.


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Preos do leo em 1997 e a Crise da siaX Em novembro/97 os preos do petrleo comeam a cair

muito rapidamente. A crise da sia foi o fator maisimportante, mas inverno ameno e atuao da OPEP so osoutros fatores que fizeram a oferta superar muito a demanda

Preos do Petrleo (120 anos)X Preos reais (no-nominais), mas com dlar de 1967.


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Preos do Petrleo: 2004 e Pico Real HistricoX Em termos reais, os valores 2004 (recordes nominais na poca)

estavam abaixos do pico real histrico do incio dos anos 80.

O O pico real depende do ndice de inflao usado (varia de 70 a80 US$/bbl conforme a fonte). Em 2006 chegou a + de 70 $/bbl.

Mudana nos Preos de Longo-PrazoX Alguns autores dizem que existe uma mudana de patamar

de longo-prazo, pois o volume de novas descobertas no temacompanhado o crescimento da demanda de petrleo.O O fato que os cenaristas tm errado muito na previso de preos.


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Reverso Mdia de Longo PrazoX Varincia inicialmente cresce com o tempo e depoisse estabiliza devido fora de reverso

O Tendncia o preo se aproximar da mdia de longoprazo. Se os preos estiverem altos, a tendncia cair;se os preos estiverem baixos, a tendncia subir.

Fonte:Dixit & Pindyck

Meia Vida do Processo de ReversoX Uma medida mais gerencial da velocidade de reverso

o conceito demeia-vida da reverso H (half-life), que duma medida da lentido do processo.

X Meia vida H o tempo em que a varivel estocstica levapara percorrer a metade do caminho entre o seu valorcorrente e a mdia de longo prazo.

X Ex.: se o preo corrente do leo 12 $/bbl, se a mdia delongo prazo P 20 $/bbl e se a meia vida H = 2 anos, ento seespera que os preos em 2 anos subam para 16 $/bbl [= 12 +(20 12)/2]. Nesse exemplo o processo para P e no lnP.O Isso no significa que se espera que os preos atinjam 20 $/bbl em 4

anos. Em 4 anos se atingiria 18 $/bbl [= 12 + (20 12)/2 + (20 16)/2]

X A relao entre a velocidade de reverso e a meia vidaHpara o logaritmo de P H = ln(2)/


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Reverso com Saltos: Dias & Rocha (1998)X Assuma que os preos do petrleo (P) seguem o

seguinte processo geomtrico de reverso + saltos:

Logo,

X Notcias normais causa apenas ajustes marginais nos preos

do leo. Notcias anormais (guerra, grandes crises, surpresasda OPEP, ...) causam saltos discretos nos preos do leo.

X Incerteza no tamanho/direo dos saltos representada porX O salto pode ser sistemtico (no poderia construir um portflio

sem risco) ou no-sistemtico (poderia usarcontingent claims).O Dias & Rocha (1998) analisaram os dois casos.

Dias & Rocha: Saltos (Jumps) IncertosX O tamanho e sentido dos saltos so incertos e tem a seguinte

distribuio de probabilidades (2 normais truncadas):

X Em caso de ocorrer uma notcia anormal, existem 50% dechances do salto ser positivo (jump-up, aumentando o preo) e50% de chances de ser negativo (jump-down, reduz o preo)

X Se ocorrer um jump-up, espera-se que os preos dobrem, e emcaso de jump-down, espera-se que os preos caiam metade.Mas existe incerteza e os saltos podem ser maiores ou menores


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Derivada de Radon-NikodymX

A derivada de Radon-Nikodym dQ/dP umprocessoestocstico que permite mudar da medida P (medida deprobabilidade aqui) p/ a medida Q um outro processo.O No caso de tempo discreto, modelo binomial em 1 perodo:

O Pois multiplicando as probabilidades originais p e 1 p poressas derivadas de Radon-Nikodym se obtm q e 1 q.

O Para o caso de dois perodos, apesar de dois caminhos resultaremnum nico cenrio central (recombinao da rvore), dQ/dP deveser especificado em t = 1 e t = 2 p/ cada um dos 4 caminhos possveis.

V

V

V

p

1 p

V

V

V

q

1 q

Radon-Nikodym

qp

1 q

1 p

Cenrio V

Cenrio V

Movimento Browniano e Auto-SimilaridadeX Foi dito que o movimento Browniano z(t) = N(0; 1) t

tem uma naturezafractaldevido a auto-similaridade desuas amostras de caminho se ampliadas sucessivamente.O Mandelbroot escreveu The Fractal Geometry of Nature para

enfatizar o carter universal daauto-similaridade (self-similarity) (Shiryaev, Essential of Stochastic Finance, p. 224).Ver tambm Etheridge, A Course in Financial Calculus, 2002, p. 55.

O O movimento Browniano tem a propriedade estatstica de auto-similaridade com expoente de Hurst H = .

X Uma classe mais geral de movimentos Brownianos chamada deFractional Brownian Motion.O Esses processos tm a propriedade de auto-similaridadeO So processos gaussianos quando H (0, 1].

O movimento Browniano (H = ) um caso particular.

O Esses processos em geral tm incrementos dependentes,sendo casos particulares quando eles so independentes,como no movimento Browniano tradicional

MOVIMENTOS BROWNIANOS DO PREÇO DO PETROLEO

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