26-01-2014

1

um movimento em que um corpo: - percorre repetidamente a mesma trajetria - Passa pela mesma posio, com a mesma velocidade e a mesma acelerao, ao fim de um intervalo de tempo igual a um perodo T

Movimento Oscilatrio ou

vibratrio

Movimento peridico em que a trajetria percorrida em ambos os sentidos, em torno de uma posio de equilbrio

- Movimentos Peridicos

26-01-2014

2

- Movimento Harmnico Simples - MHS

Movimento ligado a uma mola numa superfcie plana e horizontal de atrito desprezvel - oscilador

Quando a mola no est pressionada o corpo encontra-se na posio de equilbrio

x = 0

- Movimento Harmnico Simples - MHS

Quando distendemos a mola, esta tende a regressar sua posio de equilbrio

x >0

A mola exerce uma fora , uma fora elstica

F

- uma fora restauradora - atua no sentido negativo F

26-01-2014

3

- Movimento Harmnico Simples - MHS

Quando comprimimos a mola, esta tende a regressar sua posio de equilbrio

x 0 F

- Movimento Harmnico Simples MHS LEI DE HOOKE

O valor da fora elstica diretamente proporcional e de sinal contrrio elongao

F = -kx

F valor da fora elstica x elongao k constante de elasticidade (Nm-1) uma caracterstica

da mola

Aplicando a 2 Lei de Newton:

F = -kx F= ma

xm

ka =

A acelerao do MHS no constante: proporcional e de sentido contrrio elongao do oscilador

26-01-2014

4

- Movimento Harmnico Simples - MHS

F mx; a = mx;

F = 0; a = 0;

F mx; a = mx;

F = 0; a = 0;

F mx; a = mx;

- Movimento Harmnico Simples - MHS

26-01-2014

5

- Equao do movimento - MHS

MHS como projeo do movimento circular

Coordenada da posio x corresponde projeo segundo o eixo xx, quando o ngulo descrito t

x = Rsen t x (t)= A sen t

- Equao do movimento - MHS

MHS como projeo do movimento circular

Coordenada da posio x corresponde projeo OP segundo o eixo xx, quando o ngulo descrito t mais o ngulo no ponto inicial P0

x (t)= A sen (t+)

Equao do movimento harmnico simples

26-01-2014

6

- Caractersticas de um oscilador harmnico simples

- Perodo T - frequncia f - elongao x - amplitude A - fase inicial -Fase do movimento - t+ -frequncia angular -

f

2=

2=

- Velocidade e Acelerao do MHS

Movimento retilneo aplicando a lei dos movimentos

td

rdv

=

td

vda

=

dt

dxvv x ==

dt

dvaa x ==

x(t) = A sen (t+)

v(t) = A cos (t+)

a(t) = -A 2 sen (t+)

a(t) = - 2x A acelerao proporcional elongao mas de sentido contrrio

26-01-2014

7

- Velocidade e Acelerao do MHS

-H um desfasamento de de T entre a elongao e a velocidade - h um desfasamento de de T entre a elongao e a acelerao

x = A v = 0 ; a = 2x

x = 0 v = A ; a = 0

A elongao e a acelerao encontram-se em oposio de fase

- Velocidade e Acelerao do MHS

- Frequncia Angular

F = ma F = -Kx m

tkxta

)(=)( -

)(=)( txta 2-

m

k =

A frequncia angular depende apenas da constante de elasticidade e da massa do oscilador, tal como

m

k

f

2

1=

k

mT 2=

No depende da amplitude do movimento

26-01-2014

8

- Exerccio

Um oscilador harmnico constitudo por uma massa de 5,0 g ligada a uma mola elstica. No instante t = 0, encontra-se 4,0 cm da oposio de equilbrio com uma velocidade v0

= 87 cms-1. Sabendo que a frequncia do movimento de 2,o Hz, determine: a) A fase inicial e a amplitude do movimento b) A elongao e o valor da velocidade no instante t = 0,5 s c) O valor mximo da velocidade e da acelerao do oscilador d) A constante elstica da mola e) A intensidade da fora elstica mxima f) A elongao do oscilador quando se move com uma velocidade de 60 cm s-1

- Regras de derivao

26-01-2014

9

- Energia de um Oscilador Harmnico Simples

Movimento de um corpo ligado a uma mola elstica

No movimento oscilatrio h transformao da Ep elstica em Ec e vice-versa

Em =constante oscilador atinge posies extremas Fora elstica uma fora conservativa

- Energia Potencial Elstica

Ep gravtica Peso fora conservativa

Ep eltica F elstica fora conservativa

pgravPEW = -

pelstelastFEW = -

Considerar movimento da mola desde posio equilbrio at a um ponto distenso ou compresso

elastFW rea do Grfico

2

2

1= KxW

elastF- 0

26-01-2014

10

- Energia Potencial Elstica

0>elastF

W

2

2

1= KxE

elastP

Quando regressa posio de equilbrio

2

2

1= KxW

elastF

S depende da elongao e da constante de elasticidade da mola

x (t)= A sen (t+)

m

k =

22

2

1= xmE

elastP

EP elst tanto maior quanto maior for a elongao Nas posies extremas mxima Na posio de equilbrio nula

- Energia Potencial Elstica

22

2

1= AmE

elastP

EP elst tanto maior quanto maior for a elongao Nas posies extremas mxima Na posio de equilbrio nula

26-01-2014

11

- Energia Cintica

2

2

1= mvEc

v(t) = A cos (t+)

m

k =

Na posio de equilbrio

Vmax=A

22

2

1=

maxmAEc

)+(cos2

1= 22 tkAEc

- Energia Mecnica

elastpcmEEE +=

m

k =

2

2

1= kAEm

22

2

1= mAEm

26-01-2014

12

- Exerccio

Um corpo de massa 500 g est ligado a uma mola cuja constante de elasticidade k = 18 Nm-1 . O sistema executa um MHS de amplitude A = 50 mm e fase inicia = /2. Considerar o atrito desprezvel. a) Determinar a frequncia angular de oscilao b) Deduzir uma expresso para a velocidade de elongao e, usando essa expresso,

calcular o mdulo da velocidade em x= 30 mm c) Estabelecer uma expresso que permita calcular a elongao do coro, relativamente

posio de equilbrio em funo da velocidade. Com essa expresso determinar a elongao.

d) Calcular a energia mecnica do oscilador e) Escrever a expresso da energia potencial elstica e da energia cintica em funo do tempo e verificar a conservao da energia mecnica

- Pendulo gravtico

TPFR

+= ttR PF

= TPF nnR

+=

mgsenPt -=Pt tem sentido oposto ao do deslocamento orientada para a posio e equilbrio

uma fora restauradora responsvel pela variao da velocidade dt

dsv =

26-01-2014

13

- Pendulo gravtico

Para pequenas oscilaes < 30

sen Arco s x

mgPt -= Com = x/l Em radianos

l

xmgPt -=

x= kPt -

A componente tangencial o peso uma fora restauradora pois satisfaz a Lei de Hooke

k

mT 2= como

l

mgK =

g

lT 2=

O perodo e oscilao de um pndulo gravtico depende apenas do comprimento e da acelerao da gravidade

- Oscilaes Amortecidas

Oscilador Real - devido a foras dissipativas Em do sistema diminui ao longo do tempo

A diminui ao longo do tempo

Se fornecermos energia ao oscilador real, passa a oscilar com A constante

Oscilaes Foradas