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Resolução de “Curso Básico

de Física” de H. Moysés

Nussenzveig Capítulo 07 - Vol. 2

Engenharia Física 09 – Universidade Federal de São Carlos

20/10/2009

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1 – Uma esfera oca de alumínio tem um raio interno de 10 cm e raio externo de 12 cm a 15°C. O coeficiente de dilatação linear do alumínio é 2,3 x 10-5/°C. De quantos cm³ varia o volume da cavidade interna quando a temperatura sobe para 40°C? O volume da cavidade aumenta ou diminui?

∆V = V0.3α.∆T = [(4/3).π.r³].3.(2,3 .10-5).(40 – 15) = 2,3.π.r³ , com r = 10 cm ∆V = 7,225 = 7,3 cm³

2 – Uma barra retilínea é formada por uma parte de latão soldada em outra de aço. A 20°C, o comprimento total da barra é de 30 cm, dos quais 20 cm de latão e 10 cm de aço. Os coeficientes de dilatação linear são 1,9 x 10-5/°C para o latão e 1,1 x 10-5/°C para o aço. qual o coeficiente de dilatação linear da barra? Para uma dada temperatura T: ∆T = T – T0

∆=∆α=∆∆=∆α=∆

−

−

T.10.1,1.10T..LL

T.10.9,1.20T..LL5

AA0A

5LL0L (I)

∆L = ∆LL + ∆LA = L0.α.∆T (II) Somando (I) e substituindo em (II): 49.10-5.∆T = 30.α.∆T ⇒ α = 1,63 x 10-5/°C 3 - Uma tira bimetálica, usada para controlar termostatos, é constituída de uma lâmina estreita de latão, de 2 mm de espessura, presa lado a lado com uma lâmina de aço, de mesma espessura d= 2 mm, por uma série de rebites. A 15°C, as duas lâminas têm o mesmo comprimento, igual a 15 cm, e a tira está reta. A extremidade A da tira é fixa; a extremidade B pode mover-se, controlando o termostato. A uma temperatura de 40°C, a tira se encurvou, adquirindo um raio de curvatura R, e a extremidade B se deslocou de uma distância vertical y. Calcule R e y, sabendo que o coeficiente de dilatação linear do latão é 1,9 x 10-5/°C e o do aço é 1,1 x 10-5/°C.

I) � ∆� � ����∆� �� � ��1 � ��∆� � 15,007125 ��∆� � ����∆� �� � ��1 � ��∆� � 15,004123 ��� � � ��� � ��� � � ��� � � � ��� � � ����� � ��

� � � 3,002850,00300 � � 10�

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II)

Aplicando pitágoras no triângulo POB`, temos: �� � � � � � ! �� � � � � � 2�! � ! ! � 2�! � �� � 0 � ! � 2� " #2� � 4�� 2 � � " #� � �� !$ % 1,125 �� &' !$ % 19998,9 ��

4 – Num relógio de pêndulo, o pêndulo é uma barra metálica, projetada para que seu período de oscilação seja igual a 1 s. Verifica-se que, no inverno, quando a temperatura média é de 10°C, o relógio adianta, em média 55 x por semana; no verão, quando a temperatura média é de 30°C, o relógio atrasa, em média 1 minuto por semana. a) Calcule o coeficiente de dilatação linear do metal do pêndulo. b) A que temperatura o relógio funcionaria com precisão? Barra) O período do pêndulo pode ser calculado através de:

�� � 2)*+ 2,- 1 � 2)* + 2,9,81 + 2, � 0,24849 �

* Como o pêndulo em questão é físico, seu centro de massa é em + 2, . Inverno) Por regra de três: ∆�.� � 55/ 0 7.24.60.60 / ∆�. 0 1 / � ∆�. � 9,09.1034 / �. � 1,0000909 /

�. � 2)56+ 2, 7.- 1,0000909 � 2)*6+ 2, 7.9,81 6+ 2, 7. � 0,24853 �

∆�. � ���∆� 0,00004538 � �0,2484910 � �� Verão) Por regra de três: ∆�8� � �60/ 0 7.24.60.60 / ∆�8 0 1 / � ∆�8 � �9,92.1034 / �. � 0,9999008 /

�. � 2)56+ 2, 78- 0,9999008 � 2)*6+ 2, 789,81 6+ 2, 78 � 0,24844 �

∆�8 � ���∆� �0,00004909 � �0,2484930 � ��

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Resolvendo o sistema, temos: � 0,00004538 � �0,2484910 � �� �0,00004909 � �0,2484930 � �� � a) � � 1,9.1034/:

b) �� � 19,6:

5 – A figura ilustra um esquema possível de construção de um pêndulo cujo comprimento l não seja afetado pela dilatação térmica. As três barras verticais claras na figura, de mesmo comprimento l1, são de aço, cujo coeficiente de dilatação linear é 1,1 x 10-5/°C. As duas barras verticais escuras na figura, de mesmo comprimento l2, são de alumínio, cujo coeficiente de dilatação linear é 2,3 x 10-5/°C. Determine l1 e l2 de forma a manter l = 0,5 m. Analisando a situação, temos: 1o) Antes da dilatação: + � + � 2+ � +$ � 2+$ � + � + � 2+$ � 0,5 ; 2o) Depois da dilatação: + < � + � 2+ � +$< � 2+$< � + � + < � 2+$< � 0,5 ;; Analisando as dilatações: =ç& ∆�$ � ��+$∆� � 1,1.1034. +$∆� ;;; +=?ã& ∆� � ��+ ∆� � 2,3.1034. + ∆� ;A Por I, II, III e IV: B + < � + � 2,3.1034. + ∆� � 2,3.1034. 2+$ � 0,5 ∆�+ < � + � 2+$< � 0,5 � 2+$ � 0,5 � 2 ∆�$ � 2,2.1034. +$∆�� Resolvendo o sistema: +$ � 0,48 �� e + � 0,46 ��

6 - a) Um líquido tem coeficiente de dilatação volumétrica β. Calcule a razão ρ/ρ0 entre a densidade do líquido à temperatura T e sua densidade ρ0 à temperatura T0. b) No método de Dulong e Petit para determinar β, o líquido é colocado num tubo em U, com um dos ramos imerso em gelo fundente (temperatura T0) e o outro em óleo aquecido à temperatura T. O nível atingido pelo líquido nos dois ramos é, respectivamente, medido pelas alturas h0 e h. Mostre que a experiência permite determinar β (em lugar do coeficiente de dilatação aparente do

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líquido), e que o resultado independe de o tubo em U ter secção uniforme. c) Numa experiência com acetona utilizando este método, T0 é 0°C, T é 20°C, h0 = 1 m e h = 1,03 m. Calcule o coeficiente de dilatação volumétrica da acetona. a) Para um líquido de coeficiente de expansão volumétrica β temos: ∆V = V0 β ∆T Onde ∆V = V - V0 ∆T = T - T0 V = V0 [1+ β(T – T0)] Quando uma porção de um líquido sofre expansão térmica sua densidade diminui, mas sua massa não é alterada. MT = MTo Com esta condição podemos escrever: CA � C�A� CVE F1 � βHT – TEKL � C�A� MMN � $$O PHQ – QRK ;

Se β(T-To) <<1, a expressão acima pode ser escrita através da expanssão de Taylor como: CC� S 1 � βT – TE

b) As diferenças de pressão são: ∆P1 = P1 – Patm = ρogho ∆P2 = P2 – Patm = ρgh Como P1 = P2 = P (estão a mesma altura) ∆P1 = ∆P2 ρogho = ρgh Substituindo esta expressão em (I) Este resultado só depende das alturas do líquido nos ramos, ou seja, este resultado independe da forma da seção transversal do tubo. c) Substituindo os valores dados na equação obtida no item b: T � U � U�U�� � �� � 1,03 � 1,001,0020 � 0 T � 1,5.103V/:

)(

)(1

1

h

00

0

0

0

0

0

00

TTh

hh

h

h

TT

h

hh

−−

=

=−+

=

=

β

β

ρρ

ρρ

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7 – Um tubo cilíndrico delgado de secção uniforme, feito de um material de coeficiente de dilatação linear α, contém um líquido de coeficiente de dilatação volumétrica β. À temperatura T0, a altura da coluna líquida é h0. a) Qual é a variação ∆h de altura da coluna quando a temperatura sobe de 1°C? b) Se o tubo é de vidro (α = 9 x 10-6/°C) e o líquido é mercúrio (β = 1,8 x 10-4/°C), mostre que este sistema não constitui um bom termômetro, do ponto de vista prático, calculando ∆h para h0 = 10 cm.

Por ser um tubo cilíndrico delgado, temos que ∆A A, � 2�∆�.

a) ∆A � A�T � 2� WX . ∆U � WX . U�T � 2� ∆U � U�T � 2�

b) ∆U � U�T � 2� � 10180.103Y � 2.9.103Y � ∆U � 1,62.103V�� A partir dos cálculos, vemos que não há variação expressiva de altura e, assim, não seria possível uma marcação precisa. 8 – Para construir um termômetro de leitura fácil, do ponto de vista prático (Problema 7), acopla-se um tubo capilar de vidro a um reservatório numa extremidade do tubo. Suponha que, à temperatura T0, o mercúrio está todo contido no reservatório de volume V0 e o diâmetro capilar é d0. a) Calcule a altura h do mercúrio no capilar a uma temperatura T > T0. b) Para um volume do reservatório V0 = 0,2 cm³, calcule qual deve ser o diâmetro do capilar em mm para que a coluna de mercúrio suba de 1 cm quando a temperatura aumente de 1°C. Tome α = 9 x 10-6/°C para o vidro e β = 1,8 x 10-4/°C para o mercúrio.

a) AZ[\ � A�T � 3� ∆� � ) 6]N 7 . U U � ^_N`.]Na T � 3� ∆�

b) �� � ^_N`.b T � 3� ∆��^.c, `.$ 180 � 27 . 103Y. 1 � �� � 0,062��

9 – Um reservatório cilíndrico de aço contém mercúrio, sobre o qual flutua um bloco cilíndrico de latão. À temperatura de 20°C, o nível do mercúrio no reservatório está a uma altura h0 = 0,5 m em relação ao fundo e a altura a0 do cilindro de latão é de 0,3 m. A essa temperatura, a densidade do latão é de 8,60 g/cm³ e a densidade do mercúrio é de 13,55 g/cm³. a) Ache a que altura H0 está o topo do bloco de latão em relação ao fundo do reservatório a 20°C. b) O coeficiente de dilatação linear do aço é 1,1 x 10-5/°C; o do latão é 1,9 x 10-5/°C, e o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é 1,8 x 10-4/°C. Calcule a variação δH da altura H0 (em mm) quando a temperatura sobe para 80°C. a) Analisando a situação em equilíbrio, temos: d � e �- � Cfg-A. � � C�=� � =� � h� � U� Cfg h� � =� � U� � C�Cfg =�

Substituindo os valores: h� � 0,61�� b)