Flambagem

Nota de aula 15 -Flambagem

Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo)

MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF

1o. semestre de 2011

Flávia Bastos RESMAT II 1/22

Flambagem

Informações sobre este documento: Estes slides servem paraauxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas deresistência dos materiais II ministradas pela professora FláviaBastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo.

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Flambagem

Carga Crítica

1. Carga CríticaAlguns elementos podem estar submetidos a uma carga decompressão e, caso sejam compridos e esbeltos, tal cargapode ser suficientemente grande para provocar sua deflexãolateral.Colunas↔ FlambagemCarga Crítica Pcr ↔ carga axial máxima que uma coluna podesuportar quando está no limite da flambagem.

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Flambagem

Coluna ideal

2. Coluna ideal

• perfeitamente reta antes do carregamento;• material homogêneo;• carga aplicada através do centróide da seção transversal;• comportamento linear-elástico;• flexão plana.

Flávia Bastos RESMAT II 4/22

Flambagem

Coluna ideal

Em teoria a carga axial P pode ser aumentada até que a falhaocorra por fratura ou escoamento do material. Entretanto,quando a carga crítica Pcr é atingida, a coluna está no limite detornar-se instável, de modo que uma pequena força lateral F ,quando removida, vai fazê-la permanecer na posição fletida.Qualquer pequena redução de P para menos de Pcr permiteque a coluna fique reta e qualquer aumento de P, além de Pcr,provoca aumento adicional da delexão lateral.A habilidade de restauração baseia-se em sua resistênciaà flexão.

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Flambagem

Coluna idealEquação que relaciona o momento interno e sua forma fletida:

EId2v

dx2=M (1)

M = −Pv (2)

EId2v

dx2= −Pv (3)

d2v

dx2+

(P

EI

)v = 0 (4)

equação diferencial homogênea de 2a ordem com coeficientesconstantes.

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Flambagem

Coluna ideal

Solução geral:

v = C1sen

(√P

EIx

)+ C2cos

(√P

EIx

)(5)

Condições de contorno:

v = 0 em x = 0 ∴ C2 = 0

v = 0 em x = L ∴ sen

(√P

EIL

)= 0 solução não trivial

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Flambagem

Coluna ideal

√P

EIL = nπ (6)

P =n2π2EI

L2n=1,2,3... (7)

O menor valor de P é obtido quando n = 1:

Pcr =π2EI

L2carga crítica de Euler (8)

v = C1senπx

L(9)

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Flambagem

Coluna ideal

Com momento de inércia expresso por I = Ar2, onde r é o raiode giração:

Pcr =π2E(Ar2)

L2(10)

(P

A

)cr

=π2E(Lr

)2 (11)

σcr =π2E

λ2(12)

sendo λ = Lr denominado de índice de esbeltez.

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Flambagem

Colunas com vários tipos de apoio

3. Colunas com vários tipos de apoio- Fixa na base e livre no topo;

M = P (δ − v) (13)

EId2v

dx2= P (δ − v) (14)

d2v

dx2+

(P

EI

)v =

P

EIδ (15)

equação diferencial não homogênea: solução complementar +solução particular.

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Flambagem

Colunas com vários tipos de apoio

solução:

v = C1sen

(√P

EIx

)+ C2cos

(√P

EIx

)+ δ (16)

condições de contorno:

v = 0 em x = 0 ∴ C2 = −δ

dv

dx= 0 em x = 0 ∴ C1 = 0

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Flambagem

Colunas com vários tipos de apoioPortanto:

v = δ

[1− cos

(√P

EIx

)](17)

v = δ em x = L

cos

(√P

EIL

)= 0 (18)

√P

EIL = n

π

2(19)

quando n = 1:Pcr =

π2EI

4L2(20)

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Flambagem

Colunas com vários tipos de apoio

A coluna com apoio fixo na base suporta apenas um quarto dacarga crítica que pode ser aplicada a uma coluna apoiada porpino nas extremidades.

• comprimento efetivo de flambagem→ Lfl = kL:

Pcr =π2EI

(kL)2(21)

σcr =π2E(kLr

)2 (22)

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Flambagem

Colunas com vários tipos de apoio

Condição dos apoios lfl Carga críticarótula/rótula l π2EI

l2

engaste/ rótula 0, 7l π2EI(0,7l)2

engaste/ engaste l/2 π2EIl2

engaste/ livre 2l π2EI(2l)2

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Flambagem

Fórmula da Secante

4. Fórmula da Secante

• Colunas nunca são perfeitamente retas;• A aplicação da carga não é conhecida com grande

precisão.

Carga aplicada a uma distância excêntrica (e) pequena.

• carga axial P ;• momento fletor M ′ = Pe;• extremidades A e B apoiadas por pinos.

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Flambagem

Fórmula da Secante

Momento interno na coluna:

M = −P (e+ v) (23)

Equação diferencial da curva de deflexão:

EId2v

dx2= −P (e+ v) (24)

d2v

dx2+

P

EIv = − P

EIe (25)

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Flambagem

Fórmula da Secante

solução particular + solução complementar:

v = C1sen

(√P

EIx

)+ C2cos

(√P

EIx

)− e (26)

Condições de contorno:

v = 0 em x = 0 ∴ C2 = e

v = 0 em x = L ∴ C1 =

e

[1− cos

(√PEIL

)]sen

(√PEIL

)

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Flambagem

Fórmula da Secante

Identidades trigonométricas:

1− cos

(√P

EIL

)= 2sen2

(√P

EI

L

2

)e

sen

(√P

EIL

)= 2sen

(√P

EI

L

2

)cos

(√P

EI

L

2

)

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Flambagem

Fórmula da Secante

C1 = e

[tg

(√P

EI

L

2

)](27)

v = e

[tg

(√P

EI

L

2

)sen

(√P

EIx

)+ cos

(√P

EIx

)− 1

](28)

Deflexão máxima:

v = vmax em x =L

2

vmax = e

[sec

(√P

EI

L

2

)− 1

](29)

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Flambagem

Fórmula da Secante

A tensão máxina na coluna é provocada tanto pela cara axialcomo pelo momento fletor. O momento fletor máximo ocorre noponto médio da coluna:

M = −P (e+ vmax) (30)

M = −P · e · sec

(√P

EI

L

2

)(31)

σmax =P

A+Mc

I=P

A− P · e · c

Isec

(√P

EI

L

2

)(32)

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Flambagem

Hipérbole de Euler

σcr =π2E

λ2(33)

sendo λ = Lr denominado de índice de esbeltez.

λlim → σcr = σe

onde σe é a tensão de escoamento do material. Então:

λ2lim =π2E

σe(34)

λlim =

√π2E

σe(35)

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Flambagem

Hipérbole de Euler

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