Apostila de RESMAT

7/23/2019 Apostila de RESMAT

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RESISTNCIA DOS MATERIAISIntroduo

A Resistncia dos Materiais o ramo da mecnica que estuda as relaes entre cargasexternas aplicadas a um Corpo Deformvel e a intensidade das foras internas que atuamdentro do corpo. Se prope, basicamente, a selecionar os materiais de construo e estabeleceras propores e as dimenses dos elementos para uma estrutura ou mquina, a fim de capacit-

las a cumprir suas finalidades, com segurana, durabilidade e em condies econmicas. Da agrande importncia do conhecimento desta disciplina na formao dos engenheiros.

O principal objetivo do estudo da resistncia dos materiais consiste na determinao dastenses e das deformaes a que esto sujeitos os corpos slidos devido ao doscarregamentos atuantes.

Em sua maioria, as construes e as mquinas so muito complicadas quanto s caractersticasdos materiais, forma e geometria dos elementos estruturais, aos tipos de carregamento, seusvnculos etc. e, a menos que sejam estabelecidas hipteses e esquemas de clculo

simplificadores, a anlise dos problemas seria impraticvel. A validade de tais hipteses constatada experimentalmente.

HiptesesOs materiais so considerados:

Contnuos (ausncia de imperfeies, bolhas etc), Homogneos (iguais propriedades em todos os seus pontos), e Istropos (iguais propriedades em todas as direes).

Essas hipteses nos permitem aplicar as tcnicas elementares do clculo infinitesimal para a

soluo matemtica dos problemas.

Princpio de Saint-Venant: possvel substituirmos um sistema de forcas por outro,estaticamente equivalente, significando maior simplificao nos clculos.

Superposio de efeitos: os efeitos causados por um sistema de foras externas agindosob um corpo igual soma dos efeitos produzidos por cada fora considerada agindoisoladamente.

A fim de compensar as incertezasna avaliao das cargas, na determinao das propriedadesdos materiais, nos pressupostos ou nas simplificaes, previsto nas Normas Tcnicas a adoo

de coeficientes de segurana. Consiste em se majorar as cargas e se reduzir a resistncia dosmateriais. Os diversos critrios adotados para escolha dos coeficientes de segurana adequadosso estudados ao longo do curso de Engenharia Civil.


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Sistema Internacional de Unidades (SI)

No decorrer do curso so usadas vrias unidades de medidas: de esforos, de tenses e dedeformaes. O sistema adotado o SI, que no Brasil, est oficializado desde 1962.O Sistema Internacional de Unidades (SI) subdividido em unidades bsicas e unidadesderivadas.As unidades bsicas so: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). Como mostrado na tabela a

seguir:

Grandeza Unidade Smbolo

Comprimento metro m

Massa quilograma kg

Tempo segundo s

Algumas unidades derivas so:

Grandeza Unidade Smbolo

rea metro quadrado m2

Volume metro cbico m

Fora Newton N

Momento Newton -metro N-m

Tenso Pascal Pa=N/m2

A fora medida em Newton (N) que definido como a fora que imprime a acelerao de 1 m/s2 massa de 1 kg. A partir da Equao F=m.a (segunda Lei de Newton), escreve-se: 1 N = 1 kg 1 m/s2.

Pascal (Pa) unidade de tenses normais (compresso ou trao) ou tenses tangenciais(cisalhamento). Pascal definido como a presso exercida por uma fora de 1 Newtonuniformemente distribuda sobre uma superfcie plana de 1metro quadrado de rea, perpendicular

direo da fora Pa = N/m2

.Prefixos de unidades

Prefixo Smbolo Fator

Giga G 10

Mega M 10

Quilo k 10

Micro 10-

Nano n 10-


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Assim, na prtica pode-se usar, por exemplo:

103N ou kN

106Pa ou MPa

109Pa ou GPa

ESTTICA

Grandezas fundamentais

Foras no plano

A Fora representa a ao de um corpo sobre o outro e caracterizada pelo seu ponto deaplicao, sua intensidade, direo e sentido.

A intensidade de uma fora expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades(SI).

A direo de uma fora definida por sua linha de ao, ou seja, a reta ao longo da qual a foraatua, sendo caracterizada pelo ngulo que forma com algum eixo fixo, como indicado na Figuraabaixo.

O sentido da fora indicado por uma seta (vetor).

onde: Mi = momento escalar do vetor Fiem relao ao ponto 0

0= plo ou centro de momento

di= distncia perpendicular de 0 linha de ao de F, tambm chamada de brao de alavanca


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Decomposio de uma fora em um plano

Para a decomposio da fora aplicamos a lei do paralelogramo.

Lei do paralelogramo para a adio de foras: Os efeitos de duas foras concorrentes so osmesmos que os da sua resultante

Esta lei baseada na experincia, no tem prova matemtica.

Caractersticas de

Mdulo ou intensidade22

yx FFF +=

Direo )(x

y

x

y

F

Farctg

F

Ftg ==

No caso de um sistema de foras concorrentes determina-se a resultante R do sistema deforas. Na prtica seguem-se trs etapas:

1- Descompor cada fora nos eixos X e Y

2- Determinamos

=

=

yy

xx

FRFR

3- Determinamos o mdulo, a sua intensidade22

yx RRR +=

4- Determinamos sua direo )(x

y

R

Rarctg=

Exemplos

1. Como se mostra na figura um homem puxa, com uma fora de 300 N uma corda fixada a

uma construo. Qual a componente horizontal e vertical da fora exercida pela corda noponto A?


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2. As foras P e Q agem sobre um parafuso A. Determinar sua resultante, sua direo esentido.

ESTRUTURA

o conjunto de peas ou elementos estruturaisque constitui o esqueleto destinado a suportaras cargas de uma construo, equipamento ou mquinas. As peas esto ligadas entre si e como meio exterior, como pode ser visto na figura 1, de modo a formar um conjunto estvel, isto ,um conjunto capaz de receber solicitaes externas, absorv-las internamente e transmiti-las atseus apoios, onde estas solicitaes externas encontraro seu sistema esttico equilibrante.

Por exemplo, um pilar de concreto de um edifcio recebe em cada andar o peso de aquele piso eo transmite ao pilar do andar de baixo at o ltimo lance do pilar, que transmite a carga total sfundaes e estas ao solo.

Figura 1

As estruturas podem ser estticas(fig-2a) ou dinmicas (fig.2b)


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Figura 2- Estruturas estticas e dinmicas

Elementos estruturais

Classificao

Os elementos estruturais podem ser classificados em elementos lineares, de superfcie e devolume.

1. Lineares = Peas que tm uma das dimenses (denominada comprimento) muito maiorque as outras duas (a~b


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Trelias trao e compresso

Pilar ou colunacompresso;

Escora;

2. Superfcies=Peas que tm uma das dimenses (denominada espessura) muito menorque as outras duas (a


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Casca ou membrana cargas radiais ou longitudinais.

3. Volume = Peas cujas trs dimenses principais so da mesma ordem de grandeza(a~b~c);

Exemplos

Bloco de fundaopredominantemente compresso

Cargas

As cargas so a causa que provocam o aparecimento de esforos ou deformaes nasestruturas.

Cargas externasUm corpo pode ser submetido a vrios tipos de cargas externas; todavia,

qualquer uma delas pode ser classificada como uma fora de superfcieou uma fora de corpo

(Figura 3).

Figura 3


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Foras de superfcieComo o nome sugere, foras de superfcie so causadas pelo contato

direto de um corpo com a superfcie do outro. Em todos os casos, essas foras esto distribudas

pela rea de contato entre os corpos. Se essa rea for pequena em comparao com a rea da

superfcie total do corpo, ento a fora de superfcie pode ser idealizada como uma nica fora

concentrada, aplicada a um ponto do corpo.

Fora de corpoA fora de corpo desenvolvida quando um corpo exerce uma fora sobre

outro, sem contato fsico direto entre eles. Citamos como exemplo os efeitos causados pela

gravitao da Terra ou seu campo eletromagntico. Embora as foras de corpo afetem cada uma

das partculas que compem o corpo, elas normalmente so representadas por uma nica fora

concentrada que age sobre ele. No caso da gravidade, essa fora denominada peso do corpo e

age no centro de gravidade deste.

Tipos de cargas ou carregamentos

Unidades: Newton (N)

Exemplos:

Unidades: Newton/metro ( N/m)


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A aplicao correta das equaes de equilbrio exige a especificao completa de todas as foras

conhecidas ou desconhecidas que agem sobre o corpo. A melhor maneira de levar em conta

essas foras desenhando o diagrama de corpo livre do corpo (D.C.L).Certamente, se o

diagrama de corpo livre for desenhado de maneira correta, os efeitos de todas as foras e

momentos binrios aplicados podero ser levados em conta quando as equaes de equilbrio

forem escritas.

No exemplo abaixo para determinar as traes nos cabos AB e AC devemos fazer o D.C.L do

ponto A. Assim sendo, temos:

Graus de Liberdade

So as possibilidades de translao e rotao que tm um corpo no espao ou no plano.

No espao tem 6 graus de liberdade.

No plano tem 3 graus de liberdade.

Esses graus de liberdade so restringidos para possibilitar o equilbrio da estrutura. Esta restrio

fornecida atravs dos vnculos ou apoios, os quais impedem os movimentos do corpo a travsdo aparecimento de reaes destes apoios sobre o corpo, nas direes dos movimentos que eles

impedem. Essas reaes sero determinadas pelas condies de equilbrio.

Apoios ou Vnculos

No caso de estruturas carregadas no prprio plano os apoios so:

1. Apoio de primeiro gnero - articulao mvel: Impedem translao normal ouperpendicular ao plano e apoio, permitem translao paralela superfcie e a rotao.

A reao aparece na direo do grau de liberdade impedido.


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Este suporte para a viga mestra de ponte permite um movimento horizontal de modo que a ponteesteja livre para se expandir e contrair devido s mudanas de temperatura.

2. Apoio do segundo gnero articulao fixa ou rtula: Impede a translao em duasdirees, na direo normal e na paralela ao plano de apoio e permite a rotao em tornodele.

Exemplo

3. Apoio do terceiro gnero - engaste: Impede translao e rotao. Imobilizam o corpocompletamente.

Exemplo:


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NOTA: Quando o sentido das reaes ou do momento desconhecidos no previsvel, sedeve colocar arbitrariamente. Se quando calculado a resposta for positiva o sentidocolocado o correto.

Classificao das Estruturas

Segundo a Estaticidade e Estabilidade

Quando o nmero de movimentos impedidos maior que o necessrio para impedir o movimento

de corpo rgido da estrutura, diz-se que a estrutura hiperesttica, ocorrendo uma situaoindesejvel de equilbrio estvel.


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Nesse caso, as equaes universais da Esttica no so suficientes para a determinao das

reaes de apoio, sendo necessrias equaes adicionais de compatibilidade de deformaes.

Segundo a Forma


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Exemplos de clculo de reaes de apoios

1. Calcular as reaes de apoios nos exerccios a seguir.

Na Resistncia dos Materiais as peas so estudadas de maneira a atender osseguintes aspectos:

Dimensionamento:Determinar os esforos que agem em uma pea a ser fabricada e fixar asdimenses de sua seo transversal, a fim de que o material da qual seja feita resista comsegurana os esforos.

Verificao:Dada uma pea j existente feita de um dado material, verificar se ela capaz deresistir com segurana os esforos aos quais ela est submetida.

No dimensionamento das estruturas necessrio levar em conta trs itens importantes:

Segurana ruptura. Deformabilidade Economia

Classificao dos Esforos

Tipos de esforos

a)Exteriores:

Ativos dados (na figura abaixo, P) (ao do vento, peso prprio, etc.) Reativosnos apoios (da mecnica, na figura abaixo, P/2)

b)Interiores:

Solicitantes dependem do carregamento. Aparecem no interior da peca devido aosesforos exteriores (na figura abaixo, Fac, Fab, Fbc,)

Resistentes dependem do material (tabelas, grficos, etc.)


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A condio de estabilidade:

Esforos Solicitantes

Os esforos encontrados no interior de qualquer seo transversal de uma barra, chamados deesforos solicitantes, so produzidos pelos esforos externos que se propagam ao longo dabarra.

Os tipos de esforos solicitantespodem ser:

Fora Normal: Que age no sentido de comprimir ou tracionar a seo transversal. Ageparalelo ao eixo da pea.

Fora Cortanteou de cisalhamento: Que atua no plano da rea secionada.Como exemplo de uma situao prtica, considere-se a conexo da figura 4.

Figura 4

(fig.4b)=Sob a fora P as placas atuam sobre o rebite, exercendo presses de contato.

(fig.4c)=Tendncia do rebite ao corte ou cisalhamento na seo ab devido fora cortante V=Pna seo transversal do rebite.

Esforos solicitantes Esforos resistentes para todos os pontos


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Outro exemplo pode ser observado quando duas cargas com igual direo e sentido contrrioagem sobre um elemento, como se mostra na figura abaixo. O elemento AB tende a ser cisalhadoou cortado na seo C.

Momento Fletor: Que age no sentido de flexionar o eixo da barra. Atua no planoperpendicular seo transversal.

Momento Torsor ou Torque: Que age no sentido de torcer a seo transversal emrelao ao eixo. Atua no plano da seo transversal

Uma das mais importantes aplicaes da esttica na anlise de problemas de resistncia dos

materiais poder determinar a fora e o momento resultantes que agem no interior de um corpo e

que so necessrios para manter a integridade do corpo quando submetido a cargas externas.

Como exemplo, considere o corpo mostrado Figura 5, mantido em equilbrio pelas quatro foras

externas.

Corpo em equilbrio:

Fi=0

Mi=0


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Figura 5-Corpo em equilbrio

Para obteno das cargas internas que agem sobre uma regio especifica no interior de um

corpo, necessrio usar o mtodo das sees. O mtodo exige que seja feita uma seo ou

corte imaginrio passando pela regio onde as cargas internas devero ser determinadas.

Ento as duas partes do corpo so separadas e o diagrama de corpo livre de uma das partes

e desenhado (Figura 6). Podemos ver que h, na verdade uma distribuio de fora interna

agindo sobre a rea exposta da seo. Essas foras representam os efeitos do material que

esta na parte direita do corpo agindo no material adjacente na parte esquerda. Tais foras

geram dois sistemas de vetores que se distribuem com mesmo mdulo e direes opostas em

ambas s partes cortadas, graas lei de Newton de ao e reao.

Seccionando e separando o corpo segundo a seo S como mostrado na figura 6, obtemos

as resultantes internas que equilibram, na seo S as aes atuantes externas.

Figura 6Assim obtemos como resultantes internas:

Ficando com a parte esquerda do corpo, como se mostra na figura 7 e descompondo a fora

resultante R na seo transversal obtemos:


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Figura 7

Descompondo o momento resultante M na seo transversal obtemos:

A representao grfica de um momento ou torque apresentada em trs dimenses, como um

vetor acompanhado pelo smbolo grfico de uma seta curvada. Pela regra da mo direta, o

polegar d seta o sentido do vetor e os dedos, ou curvatura da seta indica a tendncia da

rotao (toro ou flexo)(ver figura abaixo)


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Cargas Coplanares Se o corpo for submetido a um sistema de foras coplanares (Figura 8a),

ento haver na seo apenas componentes da fora normal, fora de cisalhamento e momento

fletor (Figura 8b). Se usarmos os eixos coordenados x, y, z com origem no ponto O, como

mostrado no segmento esquerda, ento a soluo direta para Npode ser obtida aplicando-se

FX = 0, e V pode ser obtido diretamente de FY = 0. Por fim, o momento fletor MO pode ser

determinado diretamente pela soma dos momentos em torno do ponto O(o eixo z), MO= 0de

modo a eliminar os momentos causados pelas foras desconhecidas Ne V.

Figura 8

Com o mtodo da seespodem ser obtidos os diagramas dos esforos solicitantes ao longo do

eixo do elemento o que muito importante para o dimensionamento do mesmo, pois podem ser

determinados os valores mximos dos esforos e onde se localizam.


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Exerccios

1- Determinar os esforos solicitantes internos que atuam na seo C assinalada na vigamostrada.

2- Determinar a carga axial nas sees A, B e C da barra mostrada.


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3- Determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal em B e C docano (figura abaixo). A massa do cano de 2kg/m, e ele est sujeito a uma fora verticalde 50N e um momento de 70N.m em sua extremidade A. O tubo est preso a uma paredeem D.

Estado Geral da Tenso

A anlise e o projeto de uma determinada estrutura implica a determinao das tenses e dasdeformaes. Primeiramente estabeleceremos o conceito de TENSO.

Consideremos um corpo que sobre ele est agindo o sistema de foras indicado. Para estudar oestado de tenses num ponto Q no interior do corpo passamos um plano paralelo ao plano XZ,

pelo ponto Q (Fig.1).

O corpo que fica esquerda est sobre a ao das foras externas aplicadas inicialmente e dasforas normais e cortantes distribudas na seo(Fig.a).


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Onde:

A- elemento de rea que contm o ponto Q, ele perpendicular a Y,

Fy- fora normal que age na rea Acom direo do eixo Y,

Vy

- fora cortante que age na rea A, sua direo pode ser qualquer no plano da seo.

Descompondo Vy nas suas componentes paralelas ao eixo X (Vyx) e ao eixo Z(Vyz)(Fig.b).

Se dividirmos a intensidade de cada fora por A e determinamos o limite, fazendo A tender a

zero, definiremos as trs componentes das tenses no ponto Q (Fig.c).

y- tenso normal a uma superfcie perpendicular a Y, (atua no sentido perpendicular a A)

yx tenso de cisalhamento que age num plano perpendicular a Y, na direo de X (atua

tangente a A, no plano de A)

yz- tenso de cisalhamento que age num plano perpendicular a Y, na direo de Z (atua

tangente a A, no plano de A)

A

V

A

V

A

F y

z

Ayz

y

x

Ayx

y

Ay

=

=

= limlimlim 000 ,,


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Da mesma forma obteremos as componentes x, xy, xz, se passarmos pelo ponto Q, um plano

paralelo ao plano YZe as componentes z, zx, zy, se passarmos um plano paralelo a XY

Da obtm-se o Estado de Tensesno ponto Q, que para melhor visualizao vamos considerar

um cubo infinitesimal, com centro no ponto Q (Fig. 2).

Nas trs faces no visveis do cubo ocorrem tenses iguais e de sentidos opostos.

As tenses nas faces do cubo diferem muito pouco das tenses no ponto.

O conceito de tenso importante por nos permitir fazer comparativos do esforo interno

solicitante desenvolvido em peas sob diferentes carregamentos com os esforos admissveis

para o material em estudo.

Definiode Tenso: a razo entre uma fora e a rea de uma superfcie plana.

Tenso Normal Mdia

Na seo transversal de uma barra, se o nico esforo solicitante a fora normal, diz-se que a

barra est submetida trao ou a compresso (conforme o sentido da fora normal).

Quando uma barra feita de material homogneo e isotrpico est carregada nas suas

extremidades por uma fora axial de trao Paplicada no centroide da seo transversal, como

se mostra na figura seccionada perpendicularmente ao eixo atravs de uma seo A,

verificaremos que a solicitao se distribui uniformemente ao longo desta seo.


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Esta fora por unidade de rea denominada Tenso Normal Mdia.

Essa equao =P/A, representa o valor mdio das tenses na seo transversal.

Unidades: [Fora/rea (N/m2=Pa)]

Quando a barra est tracionada a tenso resultante uma Tenso Normal de trao e ser usadoo sinal positivo. Se a barra est comprimida a tenso resultante uma Tenso Normal decompresso e ser usado o sinal negativo.

Exerccios

1- Determinar a tenso normal mdia na barra da figura quando submetida ao carregamento

mostrado. Considerar a rea da seo transversal do trecho AB igual a 3,5 cm2

e do trechoBD igual a 5 cm2 . Desenhar os diagramas de esforo normal e de tenso mdia da barra.

2- A luminria de 50 lb suportada por duas hastes de ao acopladas por um anel em A.Determine qual das hastes est sujeita a maior tenso normal mdia e calcule seu valor. O

dimetro de cada haste dado na figura.


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3- A coluna da figura est submetida a uma fora axial de 8 kN no seu topo. Supondo que aseo transversal tenha as dimenses mostradas, determinar a tenso normal mdia queatua sobre a seo a-a. Mostrar essa distribuio de tenso atuando sobre a rea daseo transversal.

Tenso de Cisalhamento Mdia

Tenso que age no plano da rea secionada do elemento.

Acontece, por exemplo, quando duas foras P e P, so aplicadas a uma barra AB na direo

transversal barra (como mostrado na figura). Este um caso de cisalhamento simples ou direto,uma vez que o cisalhamento provocado pela ao direta da carga.

A distribuio das tenses de cisalhamento na seo transversal no uniforme. Ela realmentevai variando da superfcie para o interior, onde pode ter valores bem superiores amdia.


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Este tipo de cisalhamento ocorre frequentemente em vrios tipos de acoplamentos queusam parafusos, rebites, pinos e soldas que ligam diversas partes de mquinas eestruturas. Nestes elementos, na prtica acontecem dois tipos de cisalhamento:

Cisalhamento simples ou direto

O cisalhamento no elemento conetor provocado pela ao direta da carga aplicadaP. Deve serconsiderada apenas uma superfcie de cisalhamento (superfcie de unio entre as duas chapas)

Cisalhamento duplo

Quando a junta construda como mostrado na figura devem ser consideradas duas superfciesde corte ou cisalhamento (superfcie de unio entre as trs chapas (m-n e p-q))

A tenso de cisalhamento mdia mdiaatua na mesma direo que a fora de cisalhamento V


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Os parafusos, pinos e rebites provocam tenso de esmagamentoou tenso de contatoao longo da superfcie de contato, nos membros que interligam.

Equilbrio:

Se multiplicarmos cada uma das tenses de cisalhamento de cada uma das faces do cubo pelarea podemos obter as foras de cisalhamento que agem em cada face.O sistema de foras aplicado sobre o corpo deve satisfazer as condies de equilbrio.

Momento sobre o eixo X


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Por tanto;

Se nas faces de um elemento atuam somente tenses tangenciais, este estado tensional se

chama Cisalhamento Puro.

Tenses em um plano oblquo ao eixo do elemento

At aqui vimos que:


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Vemos ento que o mesmo carregamento pode produzir tenso normal sem nenhuma tenso decisalhamento, ou tenses normal e de cisalhamento, dependendo da orientao da seoestudada.

Exerccio

O bloco plstico est submetido a uma fora de compresso axial de 600N. Supondo que astampas superiores e inferiores distribuam a carga uniformemente por todo o bloco, determinar astenses normais e tangencias mdias ao longo da seo a-a e b-b. Mostrar a resultante destastenses que atuam sobre um elemento infinitesimal do material.


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Ver os exemplos 1.10 a 1.12 da pg.26-28 do material didtico.

Tenses Admissveis

Um dos objetivos da Resistncia dos Materiais determinar as dimenses da seo transversal

da pea para que de uma forma segura suporte os carregamentos, variaes de temperatura, etc

aos que estar submetida.

Para garantir a segurana, necessrio escolher uma tenso admissvel, designadas por adm.

adm, que restrinja a carga aplicada a um valor menor do que a carga que o elemento possa

suportar integralmente. Vrias razes justificam esta prtica. Por exemplo, a carga para a qual foi

projetado o elemento pode ser diferente do carregamento aplicado. Vibraes desconhecidas,

impactos e cargas acidentais podem acontecer sem elas ter sido consideradas no projeto etc.

Ento quando se aplica a tenso admissvel, apenas uma parte da capacidade de resistncia do

material est sendo utilizada; outra parte reservada para assegurar ao material condies de

utilizao segura.

Ento:

u e u so as tenses ltimas do material usado(ao, alumnio, madeira, etc) determinado

atravs de ensaios.

De um modo geral:

uno ao a tenso de escoamento, esc.(material dctil).

uno concreto = rupt. (material frgil).

Em qualquer dessas equaes o fator ou coeficiente de segurana F.S. maior do que um a fim

de evitar maior possibilidade de falha.

adm=u/F.S. e adm=u/F.S.


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Exerccios:


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3-Determine o dimetro necessrio dos rebites da conexo da figura. Do rebite considere-se uma

tenso de cisalhamento admissvel adm.=105MPa e uma tenso normal admissvel de contato

adm.=200MPa. A espessura das chapas de 8mm.

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