Notas de Aula Pcs 2427

PCS 2427 – Lógica Computacional – Prof. João José Neto – Aula 1 Assunto: Conceitos. Teoria de Linguagens. Hierarquia de Chomsky.

a)Conceitos

Alfabetos são conjuntos finitos e não-vazios de símbolos

Uma cadeia sobre um alfabeto é uma seqüência finita de símbolos do alfabeto

A cadeia vazia não contém símbolos

S* é o conjunto de todas as cadeia possíveis (incluindo a cadeia vazia ) sobre o alfabeto S

Comprimento de uma cadeia é o número de símbolos da seqüência que a compõe

Um mesmo símbolo s pode ocorrer mais de uma vez na mesma cadeia

Concatenação w=xy de duas cadeias x e y é a cadeia formada pela justaposição de x com y

A concatenação é associativa, não-comutativa e seu elemento neutro é a cadeia vazia.

Uma cadeia v é sub-cadeia de outra cadeia w se e somente se existirem x e y tais que w=xvy. Nesse

caso, Se w = xv, v é sufixo de w, e se w = vy, v é prefixo de w

Para cada natural i e cada cadeia w define-se: w0=; wi+1=wwi

Define-se cadeia reversa wR de uma cadeia w:

Se w = , então wR = w = .

Se |w| = n+1 > 0, e w=ua para aS, então wR=auR

Um conjunto de cadeias sobre S (um subconjunto de S*) é chamado linguagem.

Linguagens infinitas são conjuntos do tipo L={ wS* | w tem a propriedade P}

Se S é finito, S* será o conjunto de todas as possíveis cadeias de símbolos de S

Pode-se definir para linguagens L, L’:

Complemento de uma linguagem S*-L

Concatenação de linguagens LL’

Fechamento reflexivo e transitivo de uma linguagem L*

Fechamento transitivo da linguagem L L+=LL*

b) Representação finita de linguagens

Representações de linguagens são cadeias finitas sobre um alfabeto finito

Logo existe un número infinito, enumerável, de representações para linguagens

Algumas representações usuais de linguagens: expressões regulares, para linguagens regulares;

geradores ou gramáticas; reconhecedores ou autômatos; algoritmos

c) Terminologia básica

ÁTOMO - elemento básico da linguagem

ALFABETO - conjunto de átomos

CADEIA - concatenação arbitrária de símbolos do alfabeto

SENTENÇA - cadeia pertencente à linguagem

LINGUAGEM - conjunto de todas as sentenças válidas

GRAMÁTICA - enumeração ou conjunto de leis de formação

DERIVAÇÃO - obtenção de sentenças usando gramáticas

RECONHECEDORES - conjunto de regras de aceitação

RECONHECIMENTO - aceitação das sentenças da linguagem

ALFABETO - conjunto finito não-vazio de átomos

CADEIA VAZIA - seqüência de zero átomos

CADEIA ELEMENTAR - seqüência de um só átomo

COMPRIMENTO - número de átomos de uma cadeia

CONCATENAÇÃO DE CADEIAS - obtida por justaposição das cadeias

CONCATENAÇÃO DE CADEIA COM ÁTOMO = com cadeia elementar

d) Hierarquia de Chomsky

Tipo 0 - Gramáticas irrestritas - geram linguagens estruturadas em frases

Tipo 1 - Gramáticas sensíveis ao contexto - geram linguagens sensíveis ao contexto

Tipo 2 - Gramáticas livres de contexto - geram linguagens livres de contexto

Tipo 3 - Gramáticas lineares - geram linguagens regulares

Gramática Reconhecedor Linguagem

Tipo 0 irrestrita máq. de turing c/ fita

infinita

conjuntos recursivamente

enumeráveis

Tipo 1 dependente de contexto máq. de turing c/ fita

limitada

ling. dependentes de contexto

Tipo 2 livre de contexto autômato de pilha ling. livres de contexto

Tipo 3 linear autômato finito linguagens regulares

e) Propriedades da concatenação de cadeias

ASSOCIATIVA; NÃO-COMUTATIVA; ELEMENTO NEUTRO É A CADEIA VAZIA

f) Fechamentos

TRANSITIVO - conjunto de todas as cadeias não-vazias

REFLEXIVO E TRANSITIVO - inclui a cadeia vazia

Os fechamentos podem ser aplicados a operadores, indicando sua repetida aplicação

g) Gramáticas - são dispositivos de geração de sentenças

Componentes: vocabulário da gramática (terminais e não-terminais); terminais da gramática (átomos

da linguagem); símbolo inicial ou raiz da gramática (não-terminal); produções da gramática

(regras de substituição).

Derivação direta é a operação resultante da aplicação de uma produção apenas

Forma sentencial é qualquer cadeia sobre o vocabulário, derivável a partir da raiz

Sentença é uma forma sentencial sem não-terminais

Linguagem é o conjunto de todas as sentenças geradas pela gramática

h) Reconhecedores: São dispositivos de aceitação da linguagem

Componentes: :texto de entrada;cursor de leitura; máquina de estados; memória auxiliar; indicação de

reconhecimento;

Configuração do reconhecedor: estado corrente; posição do cursor e conteúdo do texto de entrada;

conteúdo da memória auxiliar

Tipos: determinísticos - um único movimento possível por configuração;

não-determinísticos - podem apresentar mais de um movimento

Reconhecimento: Configuração inicial; estado inicial único; cursor no início do texto de entrada;

memória auxiliar com conteúdo conhecido.

Configuração final: estado pertencente ao conjunto de estados de aceitação; cursor aponta além da

cadeia de entrada; conteúdo da memória auxiliar atende a critério pré-estabelecido

Aceitação: parte-se de uma configuração inicial; executam-se movimentos sucessivos da máquina de

estados; atinge-se uma configuração final

i) Observações - Linguagens dos tipos 2 e 3 têm sido as de maior interesse; Reconhecedores

determinísticos têm preferência; autômatos finitos mínimos para linguagens do tipo 3; reconhecedores

LL(k) e LR(k) para linguagens do tipo 2; Linguagens do tipo 1 estão ganhando espaço; gramáticas de

atributos para linguagens do tipo 1; Há uma crescente tendência à automatização da obtenção de

reconhecedores a partir de definições formais da linguagem; A dificuldade de formalização da

semântica ainda é o maior obstáculo a esta atividade

PCS-2427 - Lógica Computacional – Aula 2 – prof. João José Neto Assunto: Conjuntos. Relações. Funções. Fechos.

Conjuntos

conjuntos são coleções de objetos L = {a,b,c}

cada objeto é um membro ou elemento do conjunto

conjuntos contêm cada um de seus elementos aL

não há elementos repetidos em um conjunto

conjuntos iguais contêm os mesmos elementos

conjuntos unitários contêm um só elemento {a} a.

o conjunto vazio não contém elemento algum = {}

conjuntos infinitos contêm infinitos elementos = {0,l,...}

B é subconjunto de A se todos os elementos de B forem também elementos de A. B

A

Conjuntos podem ser dados por regras que definem as propriedades de seus

elementos {x | x>0}

C é a união de A e B se todos os seus elementos pertencerem ou a A ou a B,

C=AB

C é a intersecção de A e B se todos os seus elementos pertencerem a A e a B,

C=AB

C é a diferença entre A e B se seus elementos pertencerem a A, mas não a B, C=A

- B

Idempotência - um conjunto não se altera sob união ou intersecção consigo mesmo

Comutativa - a ordem dos conjuntos não altera o resultado das operações de união

ou intersecção

Associativa - a seqüência de aplicação de operações de união (ou de intersecção) a

três conjuntos é irrelevante

Distributiva - vale a distributividade para a união em relação à intersecção e vice-

versa

Absorção - um conjunto não se altera sob união (intersecção) com o resultado de

sua intersecção (união) com outro conjunto

Leis de De Morgan - a diferença entre um conjunto e uma união (intersecção) de outros

dois é igual à intersecção (união) das diferenças entre esse conjunto e cada um dos

outros dois

A e B são disjuntos se não tiverem intersecção

Uniões e intersecções se aplicam também a mais de dois conjuntos

Conjunto-potência de A (2A) é o conjunto de todos os possíveis subconjuntos de A

Partição de A é qualquer subconjunto de 2A que não inclua o conjunto vazio, que tenha

elementos disjuntos dois a dois e que seja tal que a união de todos os seus elementos

seja A

Teoremas de De Morgan

A - (BC) = (A -. B) (A - C)

A - (BC) = (A - B) (A - C)

Absorção

A(AB) = A

A(AB) = A

Relações

Par ordenado (a,b) distingue os elementos a e b

Produto cartesiano AB de A por B é o conjunto de todos os possíveis pares

,ordenados (a,b) tais que aA e bB

Uma relação binária sobre dois conjuntos é qualquer subconjunto de seu produto

cartesiano

Ênupla ordenada (al,a2, ... , an)

Seqüência é uma ênupla ordenada em que não está fixado o número de elementos

componentes

Comprimento de uma seqüência é o número de seus elementos

Produto cartesiano AlA2...An é o conjunto de todas as possíveis ênuplas ordenadas

(al,a2, ... ,an) tais que ai Ai

Uma relação n-ária sobre A1, A2, ... ,An é um subconjunto qualquer de A1A2 ... An

Funções

Uma função f: A B, de A para B, é uma relação binária R sobre A e B tal que para

cada aA existe um e só um par ordenado de R, cuja forma seja (a,x).

O conjunto A é o domínio de f.

Para aA denota-se como f(a) o elemento bB tal que (a,b) f, f(a) é dito imagem do

elemento a, segundo f.

Se f: AlA2...An B é função, e f(al,a2, ... ,an) = b, então os

ai são chamados argumentos de f, e b é o correspondente valor de f.

f: A B é injetora se para todo a b, f(a) f(b)

f: A B é sobrejetora se cada elemento de B é imagem de algum elemento de A

f: A B é bijetora se for injetora e sobrejetora

Uma relação binária R AB tem uma relação inversa

R-1 BA dada por (b,a) R-1 (a,b) R

A inversa de uma função nem sempre é função

Se f for uma bijeção, f -1 também será uma bijeção

Em bijeções simples, em que na prática o argumento pode ser confundido com sua

imagem, caracterizam-se os isomorfismos naturais

Para relações binárias Q e R, define-se composição Q◦R ou QR como sendo o conjunto:

Q◦R = { (a,b) | para algum c, (a,c) Q e (c,b) R}

Relações Binárias Especiais

Uma relação R AA pode ser representada através de um grafo orientado

Elementos de A correspondem aos nós do grafo

R AA é reflexiva se todo (a,a) R

R AA é simétrica se (a,b) R sempre que (b,a) R

R AA é anti-simétrica se para todo (a,b) R , com ab, implicar que (b,a) R

R AA é transitiva se (a,b) R (b,c) R (a,c) R

Uma relação reflexiva, simétrica e transitiva é dita relação de equivalência

Cada grupo de nós conexos do grafo forma uma classe de equivalência

As classes de equivalência de uma relação de equivalência sobre A criam uma partição

de A

Uma relação reflexiva, anti-simétrica e transitiva é chamada relação de ordem parcial

Uma relação de ordem parcial R AA é chamada relação de ordem total se, para

todo a, b A, tem-se que ou (a,b) R ou (b,a) R

Uma cadeia em uma relação binária é uma seqüência

(al,a2, ... ,an), n 1, tal que (ai, ai+1) R, i = 1, ... , n-1. Diz-se que esta cadeia vai de a1

até an

Uma cadeia é um ciclo se os ai são distintos, e também (an,a1) R

Um ciclo é trivial se n=1. Se não, será não-trivial

Uma relação é de ordem parcial se e somente se for reflexiva e transitiva, e isenta de

ciclos não-triviais

Fechamentos

Se D é um conjunto e n 0, seja R Dn+1 uma relação (n+l)-ária sobre D. Então um

subconjunto B D é dito fechado em relação a R sempre que (bl, ... , bn+1) R,

caracterizando uma propriedade de fechamento de B.

Seja P uma propriedade de fechamento definida por relações sobre um conjunto D, e

seja A D. Nessas condições, existirá um conjunto mínimo B, que contém o conjunto

A. e que guarda a propriedade P.

B é o fechamento de A em relação às relações Rl ... Rn

No particular caso de R AA define-se R* como fechamento reflexivo e transitivo de

R.

O fechamento reflexivo e transitivo R* é dado por:

R { (a,b) | existe uma cadela de a para b, em R}

Relação binária pode ser fechada para uma ou mais propriedades.

Ex.: R+ fechamento transitivo

Conjuntos Finitos e Infinitos

Tamanho (número de elementos) finito caracteriza conjuntos finitos.

Dois conjuntos finitos A e B são equinumerosos se for possível obter alguma bijeção f:

A B.

É uma relação de simetria.

Um conjunto finito é equinumeroso em relação a {l, ..., n}, com n .

Neste caso, diz-se que a cardinalidade do conjunto é n.

Para conjuntos infinitos não é possível contar os elementos,

Um conjunto é enumeravelmente infinito se for equinumeroso em relação a .

Um conjunto é enumerável se for finito ou então enumeravelmente infinito.

Caso contrário será dito não-enumerável.

A forma mais direta de mostrar que um conjunto é enumerável consiste em estabelecer

uma bijeção deste conjunto com outro conjunto enumerável, como por exemplo o

conjunto dos naturais.

Uma união finita de conjuntos enumeráveis é enumerável.

Um produto cartesiano de um número finito de conjuntos enumeráveis é enumerável.

Material de Apoio para esta aula:

Lewis e Papadimitriou – Elements of the theory of computation. Existe a

tradução para o português, da Bookman, Porto Alegre: Elementos de teoria da

computação, 2a. edição. CUIDADO: Utilizar apenas a “versão totalmente

revisada”, de 2004.

Harrison – Introduction to formal language theory – Addison Wesley, 1978.

Ramos, Neto e Vega – Linguagens Formais – Bookman, Porto Alegre, 2009.

PCS-2427 - Lógica Computacional – Aula 3 – prof. João José Neto Assunto: Representação finita de linguagens

Alfabetos e Linguagens

Alfabetos e linguagens podem ser usados como modelos para os

dados que o computador manipula, na forma de cadeia de símbolos.

O alfabeto binário {0,1} é particularmente útil.

Uma cadeia sobre um alfabeto é uma seqüência finita de símbolos do

alfabeto

A cadeia vazia não contém símbolos.

* é o conjunto de todas as cadeia sobre o alfabeto

Comprimento de uma cadeia é o número de símbolos da seqüência

que a compõe

Um mesmo símbolo s pode ocorrer mais de uma vez na mesma cadeia

Concatenação w de duas cadeias x e y é a cadeia formada pela

justaposição de x com y: w=x°y Não havendo ambigüidade, pode-

se omitir o símbolo “°”: w=xy

A concatenação é associativa, não-comutativa e seu elemento neutro é

a cadeia vazia.

Uma cadeia v é sub-cadeia de outra cadeia w se e somente se

existirem x e y tais que w=x°v°y.

Se w = x°v, v é sufixo de w

Se w = v°y, v é prefixo de w

Para cada natural i e cada cadeia w define-se indutivamente:

w0=; wi+1=w°wi

Define-se cadeia reversa wR de uma cadeia w:

Se w = , então wR = w = .

Se |w| = n+1 > 0, e w=u° para , então wR=°uR

(demonstra-se por indução)

Um conjunto de cadeias sobre (um subconjunto de *)

é chamado linguagem.

Linguagens infinitas são conjuntos do tipo

L={ w* | w tem a propriedade P}

Se é finito,* será um conjunto infinito enumerável

(prova-se construindo uma bijeção, através da enumeração de * de

acordo com alguma ordenação lexicográfica)

Pode-se definir para linguagens L, L’:

Complemento de uma linguagem *-L

Concatenação de linguagens L°L’

Fechamento de Kleene de uma linguagem L*

Fechamento transitivo L+=L°L*

Representação finita de linguagens

Representações de linguagens são cadeias finitas, sobre um alfabeto

finito, destinadas a definir linguagens.

Logo existe um número infinito, enumerável, de representações para

linguagens

O conjunto de linguagens possíveis sobre um alfabeto é 2*

Esse conjunto é não-enumerável de acordo com o teorema de Cantor

Assim, há linguagens que não são finitamente representáveis,

independentemente da forma escolhida para sua representação.

Algumas representações usuais de linguagens:

expressões regulares, para linguagens regulares

geradores ou gramáticas

reconhecedores ou autômatos

algoritmos

Fechamentos

FECHAMENTO TRANSITIVO - conjunto de todas as cadeias não-

vazias sobre um dado alfabeto

FECHAMENTO REFLEXIVO E TRANSITIVO – além das cadeias

compreendidas no fechamento transitivo, inclui a cadeia vazia

Fechamentos podem ser aplicados a operadores, indicando sua

repetida aplicação

Gramáticas

Dispositivos de geração de sentenças

Componentes

vocabulário da gramática (terminais e não-terminais)

terminais da gramática (átomos da linguagem)

símbolo inicial ou raiz da gramática (não-terminal)

produções da gramática (regras de substituição)

Derivações

Derivação direta é o resultado da aplicação de uma produção apenas

Forma sentencial – qualquer cadeia sobre o vocabulário da gramática,

que seja derivável a partir da raiz

Sentença é uma forma sentencial isenta de não-terminais

Linguagem é o conjunto de todas as sentenças geradas pela gramática

Reconhecedores

São dispositivos de aceitação da linguagem

Elementos componentes:

texto de entrada

cursor de leitura

máquina de estados

memória auxiliar

indicação de reconhecimento

Configuração do reconhecedor

estado corrente

posição do cursor e conteúdo do texto de entrada

conteúdo da memória auxiliar

Tipos de reconhecedores

determinísticos - um único movimento possível em cada config.

não-determinísticos - mais de um movimento possível

Reconhecimento

Configuração inicial

estado inicial único

cursor no início do texto de entrada

memória auxiliar com conteúdo conhecido

Configuração final

estado pertencente ao conjunto de estados de aceitação

cursor aponta além da cadeia de entrada

conteúdo da memória auxiliar atende a critério pré-estabelecido

Aceitação

parte-se de uma configuração inicial

executam-se movimentos sucessivos da máquina de estados

atinge-se uma configuração final

Observações

Gramáticas e Reconhecedores são formas alternativas de

representação de linguagens

Linguagens dos tipos 2 e 3 têm sido as de maior interesse

Reconhecedores determinísticos têm preferência

autômatos finitos mínimos para linguagens do tipo 3

reconhecedores LL(k) e LR(k) para linguagens do tipo 2

Linguagens do tipo 1estão ganhando espaço

Há uma crescente tendência à automatização da obtenção de

reconhecedores a partir de definições formais da linguagem

A dificuldade de formalização da semântica ainda é o maior

obstáculo à utilização prática da semântica formal.


Lewis e Papadimitriou – Elements of the theory of

computation. Existe a tradução para o português, da

Bookman, Porto Alegre: Elementos de teoria da

computação, 2a. edição. CUIDADO: Utilizar apenas a

“versão totalmente revisada”, de 2004.

Harrison – Introduction to formal language theory –

Addison Wesley, 1978.

Ramos, Neto e Vega – Linguagens Formais – Bookman,

Porto Alegre, 2009.

PCS-2427 - Lógica Computacional – Aula 4 – prof. João José Neto Assunto: Técnicas de demonstração: Contradição, Indução, Princípio da casa de pombos, Diagonalização.

Algumas Técnicas Importantes de Demonstração

Há vários tipos de demonstrações, baseados nos

seguintes princípios:

(a) Principio da contradição ou redução ao absurdo

A essência deste princípio consiste em basear a

demonstração de uma afirmação X na negação de X, ou

seja, parte-se da hipótese de que seja verdadeira a

negação daquilo que se deseja demonstrar.

Depois, através de manipulação lógica, prova-se algo

que seja uma contradição, ou seja, prova-se como

insustentável a hipótese formulada (negação de X),

portanto conclui-se que X só pode ser verdadeira, já

que sua negação implica alguma afirmação

inconsistente ou absurda.

(Ver exemplo 1.48 do livro Linguagens Formais,

página 51.)

(b) Principio da indução matemática

Seja A um subconjunto dos números naturais tal que 0

A e para cada natural n, se {0,1, ..., n} A. então

n+1 A. Nessas condições tem-se A=.

Usa-se para provar asserções do tipo:

"Para todo natural n, a propriedade P é válida".

Para isso, deve ser provada a validade de:

(1) Base da indução - provar que P vale para n=0.

(2) Hipótese de indução: admitir que P vale para os

números naturais 0,1,..., n.

(3) Passo indutivo: provar que P é válido também para

n+1.

(Ver exemplos: 1.45 a 1.47 do livro Linguagens

Formais, páginas 48 a 50;

1.5.1 e 1.5.2 do livro Elementos da teoria da

computação, páginas 37 e 38.)

(c) Principio das Casas de Pombos

Se A e B forem conjuntos finitos não-vazios, e se a

cardinalidade de A for maior que a de B, então não

haverá nenhuma função injetora de A para B (prova-se

por indução).

Teorema: se R é uma relação binária sobre um

conjunto A finito, caso haja em R cadeias

arbitrariamente longas, então certamente haverá ciclos

em R (prova-se pelo princípio das casas de pombos)

(Ver, como exemplo, o teorema 1.5.1 do livro

Elementos da teoria da computação, página 39)

(d) Principio da diagonalização

Sendo B uma relação binária sobre um conjunto C,

define-se D como conjunto diagonal de C para a

relação R, como sendo o conjunto de todos os

elementos de C tais que, sendo c um elemento de C, o

par (c, c) não pertence à relação R.

Para cada elemento c do conjunto C, seja Rc = {c’ | c’

C e (c, c’) R}. Nessas condições, o princípio da

diagonalização garante que D será diferente de todos os

elementos de Rc.

Este princípio da diagonalização é pouco empregado na

matemática, mas tem um papel importante na

demonstração de muitos fatos essenciais da teoria da

computação.

Teorema de Cantor Seja A um conjunto qualquer,

enumerável por bijeção com o conjunto dos números

naturais. Nessas condições, o conjunto-potência de A

não será enumerável por bijeção com o conjunto dos

números naturais.

(Ver, como exemplos do uso deste princípio, o

exemplo 1.5.3 do livro Elementos da Teoria da

Computação, páginas 39 e 40, e a demonstração do

famoso teorema de Cantor, nas páginas 40 e 41)

Para um pequeno estudo adicional sobre a teoria de

Cantor, acerca da enumerabilidade de conjuntos, e da

cardinalidade de conjuntos infinitos, leia o cap. 1.7 do

livro Linguagens Formais, páginas 51 a 57.

Bibliografia de Apoio para esta aula:


computation. Existe a tradução para o português,

da Bookman, Porto Alegre: Elementos de teoria da

computação, 2a. edição, mas CUIDADO: Utilizar

apenas a “versão totalmente revisada”, de 2004.

Ramos, Neto e Vega – Linguagens Formais –

Bookman, Porto Alegre, 2009.

PCS-2427 – Lógica Computacional – Aula 5 – Prof. João José Neto Assunto: Expressões Regulares. Linguagens Regulares.

Expressões Regulares

* (fechamento reflexivo e transitivo, ou fechamento

de Kleene, ou “estrela” de Kleene) é o conjunto de

todas as possíveis cadeias que se pode formar sobre o

alfabeto

* inclui a cadeia vazia que não contém símbolos

Qualquer conjunto de cadeias sobre (sempre um

subconjunto de *) é chamado linguagem.

* é um conjunto-universo no domínio das linguagens.

Linguagens regulares sobre um alfabeto são

conjuntos de cadeias formadas a partir de elementos de

através do uso único das operações de concatenação,

união de conjuntos e fechamento de Kleene

Expressões regulares constituem uma forma precisa de

definição para as linguagens regulares.

Álgebra das Expressões Regulares

Def. Conjunto Regular sobre um alfabeto {a1 ,..., an}

é qualquer conjunto que se possa formar com os

elementos de aplicando-se-lhes uma seqüência

conveniente de regras escolhidas dentre as seis

seguintes

1. { } (o conjunto vazio de cadeias) é um conjunto

regular por definição

2. { } (o conjunto unitário que contém apenas a

cadeia vazia) é um conjunto regular por definição

3. {a1}, ... , {an} (os conjuntos unitários de cadeias de

comprimento unitário) são conjuntos regulares,

também por definição

4. Se L1 e L2 forem conjuntos regulares, então é

também regular o conjunto L1L2 que representa sua

concatenação

5. Se L1 e L2 forem conjuntos regulares, então é

também regular o seu conjunto união L1L2

6. Se L1 for um conjunto regular, então é também

regular o conjunto L1* que representa seu

fechamento de Kleene

Def. Expressão Regular sobre o alfabeto {a1 ,..., an}

é uma cadeia de símbolos formada pela aplicação, aos

elementos de , de uma seqüência adequada de regras,

escolhidas dentre as seis seguintes::

1. é a expressão regular que representa o conjunto

regular { }

2. é a expressão regular que representa o conjunto

regular { }

3. a1, ... an são expressões regulares, que simbolizam

os conjuntos regulares {a1} , ... , {an},

respectivamente

4. Se R1 e R2 forem duas expressões regulares,

correspondentes aos conjuntos regulares L1 e L2,

então R1R2 é também uma expressão regular, a

qual representa o conjunto regular L1L2

5. Se R1 e R2 forem duas expressões regulares

correspondentes aos conjuntos regulares L1 e L2,

então R1 | R2 é também uma expressão regular, que

representa o conjunto regular L1L2

6. Se R1 for uma expressão regular, correspondente ao

conjunto regular L1, então R1* será a expressão

regular que representa o conjunto regular L1*

Convenções de notação

Para tornar mais legível a notação, convenciona-se uma

precedência entre os operadores utilizados: * tem a

máxima precedência, seguido de , e finalmente | .

Parênteses são usados para alterar essa precedência se

necessário.

Parênteses usados em conformidade com essa

precedência podem ser omitidos, assim como o par que

envolve toda a expressão.

A simples justaposição pode substituir o sinal de

concatenação.

Def. Sendo R uma expressão regular, a linguagem

representada por R é denotada por L (R). Duas

expressões regulares R1 e R2 são ditas equivalentes

quando representarem a mesma linguagem, ou seja,

quando L (R1) =L (R2), e o fato é denotado por R1=R2.

Propriedades das expressões regulares

Prova-se que as seguintes igualdades sempre valem:

1. R1 | = R1

2. R1 = R1 = R1

3. R1 = = R1

4. R1 | R2 = R2 | R1

5. R1 | R1 = R1

6. R1 | (R2 | R3) = (R1 | R2) | R3

7. R1 (R2 R3) = (R1 R2) R3

8. R1 (R2 | R3) = (R1 R2) | (R1 R3)

9. * =

10. * =

11. (R1 | R2)* = (R1* | R2*)*

12. (R1 | R2)* = (R1* R2*)*

13.(R1*)* = R1*

14.(R1*)(R1*) = R1*

Por outro lado, há exemplos de conjuntos para os

quais:

1. R1 | R1

2. R1 R2 R2 R1

3. R1 R1 R1

4. R1 | (R2 R3) (R1 | R2) (R1 | R3)

5. (R1 R2)* (R1* R2*)*

6. (R1 R2)* (R1* | R2*)*

PCS-2427 - Lógica Computacional – Aula 6 – prof. João José Neto Assuntos desta aula: Hierarquia de Chomsky e Gramáticas regulares

Hierarquia de Chomsky

Em seu estudo sistemático de linguagens formais, Chomsky definiu

uma hierarquia que consta de quatro diferentes classes de

linguagens, denominadas linguagens dos tipos 0, 1, 2, 3.

Tipo 0 – linguagens gerais

Tipo 1 – linguagens sensíveis ao contexto

Tipo 2 – linguagens livres de contexto

Tipo 3 – linguagens regulares.

As mais simples são do tipo 3 (regulares), e as mais complexas, do

tipo 0 (gerais).

Linguagem tipo 0

Linguagem tipo 1

Linguagem tipo 2

Linguagem tipo 3

Linguagens regulares ou do tipo 3:

Na aula anterior essas linguagens regulares já foram definidas e

estudadas do ponto de vista dos conjuntos, e também do ponto de

vista das expressões regulares.

Nesta aula estudam-se as linguagens regulares do ponto de vista de

um mecanismo generativo ou gramatical.

Definição gramatical de linguagens regulares:

A partir do alfabeto, usando apenas concatenações, uniões de

conjunto e fechos de Kleene, formam-se todas as sentenças de

qualquer linguagem regular.

Portanto, gramáticas regulares devem permitir a definição de

sentenças de forma análoga, aplicando regras sujeitas a essa mesma

restrição.

As gramáticas regulares podem assumir diversas formas, sendo as

mais populares aquelas chamadas gramáticas lineares.

Gramáticas lineares (à direita / à esquerda):

São aquelas que definem cadeias que crescem sempre no mesmo

sentido (direita/esquerda, respectivamente), por meio da

justaposição sucessiva de novos elementos do alfabeto a uma cadeia

já construída.

Para isso, as gramáticas lineares devem fornecer elementos para:

definir ao menos uma regra gramatical que defina uma cadeia

inicial que servirá como ponto de partida para que novos

símbolos possam ser justapostos.

justapor a uma cadeia existente novos elementos do alfabeto.

construir cadeias arbitrariamente longas a partir da sucessiva

justaposição de instâncias de cadeias já construídas.

Gramáticas lineares

Def. Gramática linear à direita (esquerda) sobre um alfabeto

{a1, ... , an} é uma quádrupla G=(V,,P,S), onde

1. é o conjunto finito não-vazio de terminais da gramática, e

seus elementos são os componentes das sentenças da linguagem

que G define.

2. Define-se N como sendo o conjunto de não-terminais da

gramática G, e seus elementos são todos os símbolos utilizados

na gramática que não sejam terminais.

3. S é um símbolo não-terminal, único e diferenciado, denominado

raiz da gramática G.

4. V é um conjunto finito não vazio denominado vocabulário da

gramática G. Os elementos de V podem ser terminais ou não-

terminais: V=N

5. P é o conjunto das produções ou regras de produção de G, ou

seja o conjunto de possíveis substituições dos não-terminais.

Essas regras constituem as leis de formação das sentenças da

linguagem definida por G.

6. Cada regra de P assume uma das formas seguintes:

A B (ou A B ), com AN, BN{}, e *

A restrição de haver apenas um não-terminal por regra é forte, e a

isso se acrescenta o fato de que esse não terminal deve aparecer

sempre na extremidade direita (esquerda) da expressão, daí o nome

linear à direita (esquerda).

Def.: Forma sentencial é qualquer cadeia, formada de símbolos do

vocabulário V da gramática, que se pode construir a partir da raiz S

da gramática pela aplicação sucessiva de regras do conjunto de

produções P. Por definição, S é uma forma sentencial.

Def. Uma sentença da linguagem definida por uma gramática linear

G é qualquer forma sentencial composta apenas de terminais.

Def. Um passo de derivação consiste na geração de uma nova

forma sentencial pela aplicação de alguma regra do conjunto P a

uma forma sentencial dada. Diz-se nesse caso que a nova forma

sentencial deriva diretamente daquela.

Def. Derivação de uma sentença é a seqüência de todas as formas

sentenciais utilizadas na construção de uma sentença a partir da raiz

da gramática.

Def. Árvore de derivação de uma sentença é uma representação

gráfica do conjunto de passos de derivação que constituem a

derivação dessa sentença. A raiz da árvore de derivação é o não-

terminal S (raiz da gramática), e o contorno formado apenas pelas

folhas dessa árvore, lidas visitando os nós da árvore da esquerda

para a direita, forma a sentença em questão.

Observe-se que para gramáticas lineares à direita a árvore de

derivação terá a aparência de uma linha inclinada descendente, com

os terminais anexados ao longo dessa linha, enquanto para as

gramáticas lineares à esquerda, a aparência é idêntica, porém a linha

é ascendente.

Observe-se ainda que em nenhum estágio intermediário da

derivação podem coexistir dois ou mais não-terminais nas formas

sentenciais e portanto nunca ocorrerão árvores de derivação

incompletas que representam as formas sentenciais, que apresentem

mais de um único não-terminal.

Prova-se que o conjunto de todas as linguagens geradas por

gramáticas lineares à direita é o mesmo que o gerado por gramáticas

lineares à esquerda. Este conjunto coincide com o das linguagens

representadas através de expressões regulares. É o conjunto das

linguagens regulares, ou do tipo 3 segundo a classificação de

Chomsky.

Chama-se gramática regular, ou do tipo 3, àquela que for linear à

direita ou linear à esquerda.

Derivações em gramáticas lineares:

Partindo de uma cadeia (forma sentencial) inicial que contém

apenas o não-terminal S (raiz da gramática), aplicam-se as regras

gramaticais de substituição do não-terminal , contidas no

conjunto P. Só podem ocorrer duas situações:

Ou contém um não-terminal, que deverá ser substituído

aplicando-se em seguida alguma regra de P. Como todas as regras

desse tipo podem apenas conter um não-terminal, então

continuará restando um não-terminal apenas a ser substituído.

Ou não contém não-terminais, e nesse caso o único não-

terminal que restava a ser substituído não mais existe, terminando

assim a derivação.

Notar que durante toda a derivação, as gramáticas lineares mantêm

um único não-terminal a ser substituído, e esse não-terminal

permanece sempre na mesma extremidade das diversas formas

sentenciais.


Lewis e Papadimitriou –Elementos de teoria da computação,

2a. edição. versão totalmente revisada. Bookman, Porto Alegre:

2004.


Porto Alegre, 2009.

PCS 2427 – Lógica Computacional – Aula 7 – Prof. João J. Neto Assunto: Propriedades das linguagens aceitas por autômatos finitos. Teste de Regularidade e teorema do bombeamento. O não-determinismo não altera o poder dos autômatos finitos

Teorema 1 −−−− A classe das linguagens aceitas pelos autômatos finitos é fechada em relação à união, à intersecção, à estrela de Kleene, à complementação e à intersecção. Demonstra-se simulando um autômato que aceite a linguagem apropriada. • União: transições em vazio do estado inicial para os estados iniciais dos

autômatos originais; unir os estados finais dos dois autômatos • Concatenação: estado inicial do primeiro, transição em vazio dos estados

finais do primeiro para o inicial do segundo, estados finais do segundo • Fechamento de Kleene: novo estado, inicial e final; transição em vazio

para o estado inicial do autômato original, transições em vazio do estado final do autômato original para o novo estado inicial.

• Complemento: mesmo estado inicial; os estados finais são apenas aqueles que não eram finais no autômato original.

• Intersecção: complementar a união dos complementos das linguagens (aplicação do teorema de De Morgan)

Teorema 2 −−−− Existem algoritmos para resolver as seguintes questões: Dado um autômato finito M, e uma cadeia w, w ∈∈∈∈ L(M)? Basta verificar que, em uma versão determinística de M, é possível

reconhecer w em |w| movimentos. Dado um autômato finito M, L(M) = ∅ ∅ ∅ ∅ ? Verificar se inexiste caminho do estado inicial para algum estado final no

grafo que representa o autômato finito. Dado um autômato finito M, L(M) = Σ Σ Σ Σ * ? Verificar se o complemento é vazio. Dados dois autômatos finitos M1 e M2, L(M1) ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ L(M2) ? Verificar se (ΣΣΣΣ*- L(M2)) ∩ ∩ ∩ ∩ L(M1) = ∅.∅.∅.∅. Dados dois autômatos finitos M1 e M2 , L(M1) = L(M2) ? Verificar se L(M1) ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ L(M2) ∧∧∧∧ L(M2) ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ L(M1).

Teorema 3 −−−− Uma linguagem é regular se e somente se for aceita por algum autômato finito.

Condição suficiente: A classe das linguagens regulares é a menor classe de linguagens que inclui ∅∅∅∅ e {σσσσ}, e é fechado em relação a ∪∪∪∪, ∩∩∩∩ e °°°° . É trivial obter autômatos que aceitem o conjunto vazio e o conjunto unitário. Linguagens reconhecidas pelos autômatos finitos são fechadas em relação a ∪, ∪, ∪, ∪, ∩∩∩∩ e °°°° , então toda linguagem regular é aceita por um autômato finito Condição necessária: Dado um autômato finito M qualquer, deve-se mostrar que existe uma linguagem regular R, que é a linguagem por ele aceita R=L (M) Prova-se por indução que os conjuntos R(i,j,k) de cadeias de ΣΣΣΣ* que levam M de um estado qi para um estado qj qualquer, sem passar por estados de índice maior ou igual a k, são sempre regulares, logo sua união, que compõe a linguagem R, também será regular

Testes de Regularidade Para mostrar que uma linguagem é regular, é suficiente representá-la através de expressões regulares ou de autômatos finitos. Linguagens regulares exigem uma quantidade fixa de memória para serem reconhecidas. Linguagens regulares com número infinito de cadeias exibem apenas um certo número de construções repetitivas concatenadas, excluindo-se, portanto, desta classe, as linguagens mais complexas.

Teorema 4 (do bombeamento) −−−− Seja L uma linguagem regular infinita. Existem, neste caso, cadeias x, y, z tais que y ≠ ε ≠ ε ≠ ε ≠ ε , e xymz ∈∈∈∈ L para todo m ≥≥≥≥ 0 A argumentação pode ser baseada no fato de que cadeias infinitas sobre relações binárias finitas implicam na presença de ciclos. Este importante teorema é da classe dos teoremas de bombeamento

Exercícios 1. Demonstrar detalhadamente os vários casos do teorema 2, acima

enunciados. 2. Demonstrar, usando o teorema do bombeamento, que as linguagens da

forma anbn ou a2n+3bcn não são regulares (invente outras linguagens, regulares e não-regulares, para exercitar este problema).

PCS 2427 – Lógica Computacional – Aula 8 – Prof. João J. Neto Assunto: Determinismo em autômatos finitos • Dado um autômato, este geralmente apresenta com não-determinismos, transições em

vazio e estados redundantes. • É possível, nesse caso, aplicar ao autômato procedimentos de eliminação de transições

em vazio e de outros não-determinismos presentes, bem como algoritmos de eliminação de estados equivalentes.

• Eliminação de Transições em Vazio

• Transições em vazio geram caminhos alternativos válidos em um autômato, tornando-o não-determinístico. Isso é indesejável, logo convém eliminar transições em vazio.

• Ao eliminar-se uma transição em vazio, para não alterar a linguagem reconhecida, o estado-origem desta transição deve absorver cópias de todas as transições que emanam do seu estado-destino. Adicionalmente, se o estado-destino for um estado final, o estado-origem deve absorver também este atributo. Repete-se o procedimento para cada uma das transições em vazio presentes no autômato.

• O estado de origem deve incorporar todas as transições que partem de cada estado destino, podendo-se então descartar a coluna das transições em vazio.

• Em autômatos representados tabularmente, as células da linha correspondente ao estado de origem devem incorporar todas as informações que constam nas células das colunas correspondentes, da linha associada ao estado de destino (“merge”).

• Pode-se estabelecer o seguinte procedimento para a eliminação de transições em vazio de uma tabela de transições: • Efetuar uma operação de “merge” das linhas que correspondam aso estados-destino

de cada transição em vazio presente na tabela (esta operação pode eventualmente acrescentar novas transições em vazio ao estado-origem em estudo)

• Repetir enquanto houver transições em vazio que não tenham sido eliminadas • O estado-origem deve passar a ser estado final do autômato se algum dos estados

incorporados o for • Eliminar a coluna correspondente às transições em vazio • Eliminar eventuais estados inatingíveis após a operação.

• Estados Inatingíveis

• Estados inatingíveis não contribuem para o reconhecimento da linguagem, podendo ser descartados. Pode-se determiná-los construindo uma árvore de atingibilidade dos estados do autômato: • Inicia-se a construção da árvore de atingibilidade pela sua raiz, ou seja, pelo nó

associado ao estado inicial do autômato. • Criam-se, para cada folha da árvore, nós-filhos associados aos estados-destino das

transições que têm como origem o estado a ela associado, mas apenas para os estados-destino que não tenham ainda sido representados na parte da árvore já construída.

• Aplica-se sucessivamente esta regra até que não seja mais possível acrescentar novos ramos à árvore

• Todos os estados do autômato que não estiverem representados nos nós da árvore construída são considerados nós inatingíveis, podendo ser eliminados do autômato, juntamente com todas as transições que os referenciem.

• Eliminação de outros não-determinismos

• Os eventuais não-determinismos remanescentes devem-se a transições múltiplas que consomem um mesmo átomo a partir de um mesmo estado-origem, criando também caminhos múltiplos a serem eliminados.

• Nas tabelas de transições, isto se manifesta pela presença de mais de um estado-destino em alguma célula da tabela.

• Podem ser eliminados tais não-determinismos criando-se um estado auxiliar associado a cada um destes conjuntos de estados-destino alternativos.

• Os novos estados devem então incorporar todas as transições que emanam dos estados que compõem o conjunto de estados que lhes dá origem.

• Nas tabelas de transições, acrescenta-se uma nova linha para cada um desses novos estados, e se preenchem suas células com o “merge” das linhas associadas aos estados do conjunto (isto pode, por sua vez, fazer surgir novos não-determinismos, que devem ser eliminados um a um de forma análoga).

• Não existe o perigo de mais e mais estados surgirem indefinidamente, pois se o conjunto inicial de estados é finito, tem-se a certeza de que seu conjunto-potência também será finito.

• Chega-se dessa maneira a um procedimento sistemático para a obtenção de um

autômato finito determinístico: • Construir um autômato, da forma convencional • Eliminar suas transições em vazio • Eliminar suas transições não-determinísticas restantes • Eliminar os seus estados não-atingíveis

• Isso é suficiente para tornar determinístico o autômato. Se for conveniente, é possível ainda minimizar o autômato resultante, eliminando a redundância representada pela presença de estados equivalentes.

PCS-2427 - Lógica Computacional – Aula 09 – prof. João José Neto Assunto: Minimização de Estados de Autômatos Finitos.

Motivação �� A importância do estudo de métodos para a minimização de autômatos finitos

decorre de diversos fatores: �� É válido para a classe de linguagens definidas por autômatos finitos e não

vale para outras linguagens; �� Extrapola interesses somente teóricos, mostrando-se útil para a obtenção

prática de autômatos eficientes; �� É possível automatizar essa operação, por meio de um algoritmo aplicável a

qualquer autômato inicial, gerando um único autômato mínimo a partir dele; �� Para cada linguagem regular é único o autômato finito mínimo

correspondente, permitindo provar a equivalência de duas linguagens pela verificação da identidade entre seus autômatos finitos mínimos;

Hipóteses �� O autômato inicial é determinístico, portanto um autômato isento de transições em

vazio e também de múltiplas transições emergindo de um mesmo estado e consumindo um mesmo símbolo de entrada.

�� O algoritmo de minimização consta das etapas seguintes: �� Eliminação de transições em vazio �� Eliminação das demais transições não-determinísticas �� Eliminação de estados inúteis e inacessíveis �� Identificação de estados indistinguíveis �� Agrupamento e fusão de estados equivalentes

Princípio do método de minimização �� A idéia é particionar sistematicamente o conjunto de estados do autômato em

grupos cada vez mais abrangentes, até que cada grupo tenha o maior número possível de estados, constituindo, portanto, uma classe de equivalência.

�� Em seguida, em cada uma dessas classes de equivalência substituem-se todos os estados por um estado apenas, que represente toda a classe, descartando-se todos os demais.

Identificação sistemática das classes de equivalência �� Definição: Dois estados de um autômato finito M são equivalentes se e somente se,

para uma cadeia x qualquer, se a operação de M for iniciada em qualquer desses dois estados, tendo x como cadeia de entrada, então ou o autômato aceitará x em ambos os casos, ou então rejeitará x em ambos os casos.

� (E. F. Moore, "Gedanken-experiments on sequential Machines." in Automata Studies, ed. C. E. Shannon and J. McCarthy. Princeton University Press, 1956, 129 – 153)�

Estados indistinguíveis e equivalentes

Indistinguibilidade de estados em autômatos finitos

�� Definição. Uma cadeia x distingue os estados q1 e q2 quando (q1, x)��* (q3, ε) e (q2, x)��* (q4, ε), e nesse caso, ou q3 é estado final ou q4 é estado final, mas não ambos.

�� Definição. Dois estados q1 e q2 são k-indistinguíveis quando não existir nenhuma cadeia x, de comprimento k ou menor, que permita distinguir q1 e q2.

�� Assim, a equivalência entre dois estados q1 e q2 ser identificada à sua k-indistinguibilidade para qualquer valor de k.

�� Para k=0 (cadeia vazia), qi ≡0 qj só se qi e qj forem ambos finais �� Para k>0, qi ≡k qj se e só se qi ≡k-1 qj e também

δ(qi , σ) ≡k-1 δ (qj , σ) ∀ σ ∈ Σ. Equivalência de estados em autômatos finitos

�� Teorema. Para autômatos finitos com n estados, tem-se: q1 ≡ q2 ⇔ q1 ≡n-2 q2 Algoritmo: classes de equivalência �� Hipótese: o autômato original é determinístico. �� Divide-se o conjunto de estados original em dois grupos: o dos estados finais e o

dos não-finais. �� Para cada grupo existente, refiná-lo de acordo com o seguinte critério:

Dois estados são equivalentes se e só se aceitam o mesmo conjunto de entradas, sendo que para cada entrada ou os correspondentes estados-destino coincidem, ou então são equivalentes. Caso contrário, os dois estados não serão equivalentes, devendo pertencer portanto a grupos diferentes.

�� Após analisar exaustivamente todos os pares de estados contidos nos grupos e refinar os grupos correspondentemente, resultam as classes de equivalência.

Algoritmo: minimização de estados �� Construir as partições correspondentes às classes de equivalência de ordem 0, 1, 2,

... , k+1 até que as classes de ordem k e k+1 coincidam. �� Construir o autômato finito mínimo equivalente, tal que:

�� O conjunto de estados seja o conjunto dessas classes de equivalência [q]. �� O conjunto de transições seja dado pela transição de uma classe de

equivalência [q] consumindo o símbolo σ para a classe de equivalência [r] sempre que existir uma transição de q para r consumindo σ no autômato original.

�� O estado inicial seja [q0] correspondente à classe que contém o estado inicial q0 do autômato original.

�� O conjunto dos estados finais seja o conjunto das classes de equivalência que contenham algum estado final do autômato original.

Material de Apoio para esta aula: �� Ramos, Neto e Vega – Linguagens Formais – Bookman, Porto Alegre, 2009.

(p. 216-230)

PCS-2427 - Lógica Computacional – Aula 10 – prof. João José Neto Assunto desta aula: Equações envolvendo linguagens regulares

Equações envolvendo linguagens regulares Prova-se que para qualquer expressão regular é possível de forma metódica (algoritmicamente) construir um autômato finito que aceite a mesma linguagem que essa expressão regular representa. Isso decorre do fato de que qualquer linguagem aceita por um autômato finito constitui um conjunto regular sobre seu alfabeto (este teorema está formalmente demonstrado nas páginas 191-192 do livro Theory of Finite Automata) .

Def. Equações envolvendo linguagens regulares são igualdades entre duas expressões regulares sobre conjuntos (coeficientes) e incógnitas que representam conjuntos (linguagens regulares). Coeficientes e incógnitas simbolizam linguagens regulares. Resolver uma equação desse tipo consiste em determinar, para a incógnita, uma expressão regular sobre o conjunto dos símbolos que não são incógnitas, tal que, substituindo-se a incógnita por tal expressão, a equação se transforme em uma identidade.

Teorema 1 (ou Lema de Arden): Sendo Σ um alfabeto, sendo � e � subconjuntos de Σ�, então a equação �� admite a linguagem �� como solução. Qualquer outra solução para esta equação obrigatoriamente conterá a linguagem representada por ��. Adicionalmente, se ε∉�, então �� será a única solução dessa equação. (encontra-se uma prova formal deste teorema no livro Theory of Finite Automata, pág. 185-186)

Exemplo 1: ��

tem como solução única �� . Notar que �� não é solução desta equação, pois:

�� ≠��

uma vez que a partir da expressão �� nunca será obtida uma cadeia que contenha o símbolo , embora isso possa ocorrer a partir da expressão ��

Exemplo 2: � �� ε��

tem diversas soluções, entre as quais �� e �� .

Isso ocorre por causa da presença de ε no coeficiente ��ε�, que contraria a hipótese do teorema 1.

Def. Um sistema de equações envolvendo linguagens regulares corresponde a um conjunto não unitário de equações, envolvendo mais de uma incógnita, ou seja, um conjunto de igualdades entre expressões regulares sobre conjuntos (coeficientes) e incógnitas, ambos simbolizando linguagens regulares. Resolver um sistema de equações dessa natureza consiste em determinar, para cada incógnita, uma expressão regular sobre os conjuntos (coeficientes) que não sejam incógnitas, tal que, substituindo-se, no sistema de equações, todas as incógnitas pelas expressões regulares que representam as respectivas soluções, o sistema se transforma em um conjunto de identidades. Sempre é bom lembrar que tanto as variáveis como as constantes dessas equações referem-se a linguagens regulares.

Teorema 2: Seja ��, e um sistema de � equações com � incógnitas ��:

�� onde ε∉��∀��. a) Este sistema tem solução única, b) Pode-se solucionar esse sistema combinando a técnica de

resolução de uma equação com uma só incógnita com a técnica de resolução algébrica de sistemas de equações por eliminação sucessiva de variáveis e por substituição. (demonstrado nas páginas 189-190 do livro Theory of Finite Automata)

Esse teorema sugere um método prático para solucionar sistemas dessa forma: Aplicando passo a passo uma das seguintes opções, eliminar uma a uma as variáveis do sistema, até que reste apenas a raiz da gramática, expressa apenas em função de símbolos do alfabeto: a) Para eliminar auto-dependências nas expressões que

definem uma variável, usar o Lema de Arden. b) Para eliminar uma variável, substituir todas as suas

instâncias por uma expressão que a defina em função das restantes e de símbolos do alfabeto.

Exemplo 3:

��ε��

��∅�� ∅�� Sendo ��

�� ε�� ∅��∅��ε�� ε�∅��ε��∅��ε e (eliminando-se ��) ��

�� ∅�� ε�� . Assim,

��ε��, cuja única solução é

��

Substituindo na segunda equação, tem-se ��∅�� ∅��,

que também tem a solução única ��∅�� .

Exercícios: 1) Resolva a equação: �� ε� 2) Resolva a equação: �� ε� 3) Resolva o sistema:

�� ε} ��

�� Resolva o sistema: �� ε��

5) Crie outras gramáticas lineares a partir de situações práticas. Considerando o sistema de equações cujas incógnitas são seus não-terminais, resolva o sistema e obtenha para cada não-terminal uma solução na forma de expressão regular.

6) Na construção de compiladores, a operação de extração de identificadores, números inteiros, palavras reservadas e operadores faz parte da tarefa de análise léxica. Modele essa linguagem usando uma gramática linear, com um não-terminal para cada tipo de elemento extraído, e resolva o sistema de equações assim obtido.

Material de Apoio para esta aula: capítulo 6.3 (p.185-200) do livro�� Carroll e Long – Theory of Finite Automata with an introduction

to formal languages, Prentice-Hall International, 1989.

PCS 2427 – Lógica Computacional – Aula 11 – Prof. João J. Neto Assunto: Conversão de formato entre formalismos regulares

Foi estudado que as linguagens regulares são construídas a partir de um alfabeto finito não-vazio, usando-se apenas concatenações, uniões e fechos de Kleene, e podem ser expressas de diversas formas equivalentes, tais como:

�� conjuntos regulares (especificação do conjunto pelas suas propriedades) �� expressões regulares (formalismo gramatical) �� gramáticas lineares (formalismo gramatical) �� autômatos finitos não-determinísticos (formalismo de aceitação �� autômatos finitos determinísticos (formalismo de aceitação) �� autômatos finitos mínimos (formalismo de aceitação) �� sistemas de equações sobre linguagens regulares (formalismo algébrico)

Havendo uma equivalência entre esses formalismos, torna-se interessante que, dispondo-se de uma especificação de linguagem em um desses formatos, se saiba convertê-los em outro formato, pois há sempre alguma dessas notações que se mostra mais conveniente na prática sobre as demais, conforme a situação particular em que se está trabalhando. Algumas conversões são óbvias, outras exigem um certo esforço para serem feitas. Vamos tratar apenas de algumas delas, que merecem uma atenção maior devido à maior complexidade que apresentam. Assim, vamos comentar acerca de como resolver as seguintes conversões: a) autômatos finitos para gramáticas lineares – para converter um autômato finito em uma expressão regular equivalente, basta seguir o seguinte procedimento: iniciar considerando o estado inicial do autômato; para cada estado do autômato, sendo m o estado de origem e n o estado de destino, e sendo s o símbolo consumido a partir de m (eventualmente a cadeia vazia εεεε), criar uma regra da forma m →→→→ s n (quando s=εεεε essa regra se reduz a m →→→→ n); para cada estado final m, acrescentar uma regra da forma m →→→→ εεεε . Obtém-se assim uma gramática linear para a linguagem. b) autômatos finitos não-determinísticos para autômatos finitos determinísticos – há dois tipos de não-determinismo: transições em vazio ou transições para vários destinos consumindo o mesmo símbolo. Levanta-se o não determinismo em cada caso: Para cada transição em vazio do estado m para um estado n, incorporar transições com origem em m que consumam os mesmos símbolos que cada uma das transições que partem do estado n, e que tenham como destino os mesmos estados correspondentes. Em seguida, passa-se a eliminar o segundo tipo de transições: Para cada símbolo s, consumido por mais de uma transição, com destino a estados n com origem em um mesmo estado m, substituir o conjunto dessas transições por uma transição única de m para um novo estado m’ consumindo s, e a partir de m’ e, para cada transição que parte dos estados n com destino a estados n’, consumindo símbolos s’, criar as transições correspondentes partindo de m’, consumindo s’, com destinos n’. Depois de tratar todas as ocorrências desse tipo, eliminam-se todos os estados que não possam ser alcançados a partir do estado inicial do autômato. c) autômatos finitos determinísticos para autômatos finitos mínimos – para esta conversão, eliminam-se estados equivalentes substituindo conjuntos de estados que formam classes de equivalência por um único estado, representante da classe: separam-se em duas partições os estados finais e os não-finais refinam-se essas duas partições separando em partições menores conjuntos de estados que transitam com os mesmos conjuntos de símbolos refinam-se sucessivamente as partições restantes, mantendo em uma mesma partição somente estados indistinguíveis para cadeias de comprimentos cada vez maiores, ou seja,

estados que com um mesmo símbolo transitam para um mesmo estado ou para estados indistinguíveis deste. d) gramáticas lineares para sistemas de equações – uma simples mudança de notação. considerando cada não-terminal de uma gramática como se fosse uma variável, e cada terminal como uma constante, é possível agrupar os não-terminais da gramática como se estivéssemos colocando esses não terminais em evidência, fatorando sucessivamente as expressões até que cada não terminal seja expresso por expressão única, envolvendo terminais e não-terminais. Tem-se assim um sistema de equações regulares equivalente à gramática linear inicial. e) sistemas de equações para expressões regulares – método algébrico trivial para obtenção de expressões regulares e autômatos finitos. Partindo-se da raiz da gramática, e usando-se o método das substituições, eliminam-se referências não-recursivas a não-terminais. Aplicando-se o lema de Arden, eliminam-se auto-recursões. Alternando-se esses dois processos até restar uma fórmula contendo apenas terminais, obtém-se uma expressão regular da linguagem. f) gramáticas lineares para autômatos finitos – é o processo dual do caso a). A raiz da gramática dá origem ao estado inicial do autômato. Para cada regra da forma m →→→→ s n, com m e n não-terminais, e s um símbolo do alfabeto, inclui-se a transição δδδδ(m, s)=n na função de transição sendo m o estado de origem e n o estado de destino, e sendo s o símbolo consumido a partir de m. Se s=εεεε, inclui-se δδδδ(m, εεεε)=n. Para regras do tipo m →→→→ εεεε, m se torna um estado de aceitação. g) autômatos finitos para expressões regulares – converte-se primeiro para uma gramática linear (como em a) e depois, para sistema de equações (como em d) e finalmente para expressões regulares resolvendo o sistema (como em e) h) expressões regulares para autômatos finitos – mapeia-se segundo as regras seguintes cada uma das formas que compõem as expressões regulares para autômatos finitos equivalentes: εεεε é mapeado como uma transição em vazio de um estado inicial para um de aceitação. O conjunto vazio corresponde a um estado inicial e um de aceitação, desconexos. Um símbolo s do alfabeto se traduz em uma transição que consome o símbolo s um estado inicial e um de aceitação. Uma concatenação entre r e s se traduz na ligação do estado de saída do autômato correspondente a r ao estado de entrada do autômato que corresponde a s. Uma união entre r e s se traduz como um autômato que de um estado único de entrada tem transições em vazio para as entradas de r e de s, e dos estados de saída de r e de s, emergem transições em vazio com destino a um estado único de aceitação. Um fecho de Kleene sobre r leva de um estado único de entrada em vazio para o estado de aceitação e para o estado de entrada de r. Do estado de saída de r partem duas transições em vazio: uma para o estado de aceitação e outra para o estado de entrada de r. i) expressões regulares para gramáticas lineares - obtêm-se primeiro a partir da expressão regular um autômato finito (como em h), depois este pode ser convertido para gramática linear (como em a) Material de Apoio para esta aula: �� Ramos, Neto e Vega – Linguagens Formais – Bookman, Porto Alegre, 2009.

capítulos 3.3 até 3.8

PCS-2427 - Lógica Computacional – Aula 12 – prof. João José Neto Assunto: Aninhamento sintático

Aninhamento sintático As linguagens regulares, que formaram o foco do estudo nesta disciplina até este ponto, baseavam-se na obtenção de sentenças sobre um alfabeto mediante a aplicação exclusiva de três operações: concatenação, união e estrela de Kleene e nada mais. As linguagens da prática, no entanto, necessitam mais que isso para serem devidamente representadas. Em particular, até as mais simples linguagens de programação exibem uma estrutura que não pode ser obtida aplicando-se exclusivamente estas três operações. Trata-se do aninhamento sintático, fenômeno lingüística em que pode ser identificada uma estrutura sintática formada pela concatenação de três sub-cadeias, sendo que as duas mais externas são não-vazias, e envolvem uma terceira, cujo formato é exatamente o mesmo da estrutura completa, comportando portanto uma nova sub-cadeia que contenha por sua vez outra estrutura completa e assim por diante, recursivamente. Formalmente, pode-se identificar em uma gramática a presença de aninhamentos sintáticos procurando-se não terminais X tais que X�*AXB, com A ≠ε e B ≠ε. Em outras palavras, os aninhamentos sintáticos na definição de um não terminal X permitem que, durante uma derivação a partir de X, surja outra ocorrência de X, envolvida por cadeias A e B não vazias. Como nem A nem B são vazias, torna-se impossível a aplicação do lema de Arden, extensivamente utilizado para a eliminação de variáveis recursivas em equações com coeficientes regulares. No caso, o lema não se aplica, sendo portanto impossível eliminar a variável X em equações nas quais o aninhamento sintático se manifesta. São estas as chamadas auto-recursões centrais em X. Resta neste caso conviver com uma definição recursiva de X, com recursão não-eliminável. Extensões às expressões regulares Do ponto de vista algébrico, demonstra-se que é possível tratar esses termos auto-recursivos centrais em X como se fossem termos constantes nas equações obtidas a partir de gramáticas que exibem estruturas auto-recursivas centrais, ou seja, aninhamentos sintáticos. No entanto, ao escrever as expressões “regulares” correspondentes, surgem ocorrências de variáveis, ou seja, não-terminais, contradizendo a definição de expressões regulares, que por hipótese somente podem exibir símbolos do alfabeto Σ, ou seja, constantes. Para contornar essa limitação, pode-se estender o conceito, definindo-se expressões regulares estendidas, as quais têm exatamente a mesma estrutura de uma expressão regular usual, exceto pela possibilidade de utilização de variáveis além das constantes. Adicionalmente, em contraste como as expressões regulares tradicionais, as expressões regulares estendidas admitem que lhes

seja associado um nome, correspondente ao não-terminal (variável) cuja sintaxe representam. Assim, uma expressão regular estendida cujo nome é X representa a forma geral da sintaxe representada pelo não-terminal X na gramática, e é definida através de uma auto-recursão central, sendo tal recursão denunciada pela presença do não-terminal X nessa expressão. Extensões aos autômatos finitos Ao se tentar projetar um autômato finito para linguagens assim definidas, depara-se com uma dificuldade: os autômatos finitos, assim como as gramáticas regulares, não estão preparados para lidarem com não-terminais, e sabemos que não-terminais auto-recursivos centrais, embora necessários no caso em questão, não são elimináveis. Assim sendo, é possível procurar uma forma de contornar o problema nos autômatos da mesma forma que foi feito nas expressões regulares: estendendo-os através do relaxamento da exigência de que todas as transições devam ser feitas consumindo-se um terminal (símbolo do alfabeto), e permitindo-se que sejam aceitas também transições especiais, que sejam capazes de “consumir” não-terminais. Entre aspas, significando que não se trata de uma operação da mesma consumo Embora essa interpretação possa à primeira vista parecer artificial, essas transições especiais têm um significado legítimo: “consumir” um não-terminal, por definição, significa consumir a maior sub-cadeia possível que respeite a sintaxe associada ao não-terminal em questão. Em outras palavras, é o mesmo que consumir uma sub-cadeia que leve de um estado inicial a um estado de aceitação o autômato finito estendido que reconhece a sintaxe associada a esse não-terminal. Por analogia com as expressões regulares estendidas, tal autômato conteria transições em tudo iguais às dos autômatos finitos, exceto no caso daquelas que “consomem” não-terminais. A execução de uma destas transições equivale à execução do autômato estendido capaz de reconhecer o não-terminal a que se refere, consumindo de entrada uma sub-cadeia máxima. Autômatos com tais características podem ser construídos na forma de dispositivos recursivos, que ativam uns aos outros – da mesma forma como um programa aciona suas sub-rotinas ou funções – sempre que uma transição que “consome” não-terminal for percorrida. Ao final do reconhecimento dessa sub-cadeia, deve haver um retorno ao autômato de origem, para o exato estado de destino da transição que “consome” o não-terminal que provocou essa sua ativação recursiva – da mesma forma como, em programação, se efetua um retorno, após a execução de uma função ou de uma sub-rotina. Uma pilha é necessária para guardar esses “estados de retorno” em um autômato estendido desta natureza.

Autômato de pilha estruturado Generalizando esta idéia, pode-se considerar um sistema de equações mutuamente recursivas, e neste caso pode-se considerar uma expressão regular estendida como solução de cada uma das variáveis do sistema. Para cada uma dessas variáveis, associa-se um autômato finito estendido, que reconhece a sintaxe correspondente, eventualmente em função da sintaxe de outras variáveis. A solução do sistema de equações se reflete em uma família de autômato finitos estendidos mutuamente recursivos, que corresponde ao dispositivo reconhecedor para esse tipo de linguagem. Dá-se o nome de autômato de pilha estruturado a este dispositivo formado de um conjunto de submáquinas, cada qual implementando o reconhecimento da sintaxe de uma das variáveis do sistema. Uma pilha serve como repositório auxiliar para guardar estados de retorno pendentes. Prova-se que autômatos de pilha estruturados têm o mesmo poder dos autômatos de pilha convencionais, sendo capazes, portanto, de reconhecer linguagens com aninhamentos sintáticos. Assim, os autômatos de pilha estruturados reconhecem linguagens livres de contexto, da mesma forma que o fazem os autômatos de pilha tradicionais. Exercício Com base nos exemplos estudados em aula, e usando a técnica da resolução de equações com coeficientes regulares, obter expressões regulares estendidas e a partir delas, construir um autômato de pilha estruturado capaz de reconhecer a estrutura típica de uma linguagem de programação, dada pela seguintes regras gramaticais:

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* '� $ �→→→→�� / � ��0�� # $ �1��

� / � ��→→→→�� ! �� / � �� / � � �� / � 2 Material de Apoio para esta aula: �� Ramos, Neto e Vega – Linguagens Formais – Bookman,

Porto Alegre, 2009, particularmente o capítulo 4.15 inteiro

PCS 2427 – Lógica Computacional – Aula 13 – Prof. João José Neto

Assunto: Linguagens Livres de Contexto

Um reconhecedor de linguagens é um dispositivo capaz de aceitar cadeias corretas (sentenças) da linguagem. É o caso dos autômatos. Um gerador de linguagens é um dispositivo capaz de sintetizar todas as sentenças de uma linguagem. É o caso das gramáticas. Adicionando-se a possibilidade de aninhamentos às linguagens regulares (concatenação, união e fecho de Kleene), obtém-se outra classe de linguagens, as linguagens livres de contexto.

Gramáticas Livres de Contexto são gramáticas que permitem definir construções sintáticas contendo concatenação, união, fecho de Kleene e aninhamento sintático. Definem-se formalmente como quádruplas G=(V, ΣΣΣΣ, P, S), com: V - alfabeto da gramática Σ - conjunto de terminais da linguagem V = N ∪ Σ N - conjunto de não-terminais N = V-Σ P - conjunto de produções P ∈ (V-Σ) × V* S - símbolo inicial (raiz) da gramática S ∈ N Para cada A ∈ N e u ∈ V*, escreve-se A →G u sempre que (A, u) ∈ P Para quaisquer u, v ∈ V*, escreve-se A �G u se e só se houver cadeias x, y, v’ ∈ V* e A ∈ N tais que u=xAy, v=xv’y e A →G v’ A relação �G* é o fechamento de Kleene para �G L(G) é a linguagem gerada por G. L(G)= {w∈Σ∈Σ∈Σ∈Σ*|S ��G* w} Uma linguagem L’ é livre de contexto se houver uma gramática G tal que L(G)=L’

Observações • Os símbolos →G e �G

podem ser abreviados como → e

�, respectivamente, sempre que G é subentendido no contexto. • Uma seqüência da forma w0 �G w1 �G ... �G wn é dita uma

derivação de wn a partir de w0 segundo a gramática G. • Cada wi é uma cadeia de V*. • n ≥ 0 é chamado comprimento da derivação.

Constata-se facilmente que • Toda linguagem regular é livre de contexto (prove!) • Há linguagens livres de contexto não regulares (dê exemplos!)

Exemplos de Gramáticas Livres de Contexto: São gramáticas livres de contexto (V,Σ,P,S): • V={S,a,b}, Σ={a,b}, P={S→aSb, S→ε} gera anbn, n≥≥≥≥0. • V={x,+,*,(,),E,T,F}, Σ={x,+,*,(,)}, S=E,

P={E→E+T , E→T , T→T*F , T→F , F→x , F→ (E)} gera expressões aritméticas simples envolvendo apenas

somas e produtos, a variável x, e parênteses • V={a,b,S,A}, Σ={a,b}, P={S→AA, A→AAA, A→a, A→bA, A→Ab} gera cadeias com um número de a’s par e não nulo. • V={S,(,)}, Σ={(,)}, P={S→ε , S→SS, S→ (S)} gera cadeias com um número balanceado de parênteses,

escritos em ordem correta.

Linguagens Regulares e Livres de Contexto Uma gramática livre de contexto G=(V,Σ,P,S) é dita regular se e só se P ⊆ (V-ΣΣΣΣ) ×××× ΣΣΣΣ* ((V-ΣΣΣΣ) ∪∪∪∪ {εεεε}) Prova-se que Uma linguagem é regular se e só se for gerada por uma gramática regular. Prova-se também que Qualquer linguagem sobre um alfabeto unitário é sempre uma linguagem regular. Note que não é necessário que uma linguagem gerada por gramática livre de contexto contenha aninhamentos sintáticos. (exemplifique) Note também que nem todo aninhamento sintático definido em gramática livre de contexto implica obrigatoriamente que a linguagem não seja regular. (exemplifique)

Reconhecimento Linguagens livres de contexto não-regulares exigem, para seu reconhecimento, algo mais que um autômato finito. Torna-se necessária uma memória para o registro de fatos acerca da parte já lida do texto de entrada. A memória é usada para assegurar um casamento perfeito entre os delimitadores esquerdo e direito de construções sintáticas aninhadas. Não-determinismos também podem ser usados para manipular a informação memorizada durante o reconhecimento das sentenças. Um autômato para o reconhecimento estrito de linguagens livres de contexto deve ser inspirado nas gramáticas livres de contexto. Derivação mais à esquerda Para G=(V,Σ,P,S) livre de contexto, w ∈ L(G) ⇔ ∃ S�G*w, ou seja, S�G

w1�G

w2�G

... �G wn-1�G

w.

Se wi�G wi+1 sempre ocorrer por substituição do não-terminal mais à

esquerda de wi, esta será chamada uma derivação mais à esquerda, sendo denotada wi�G

L

wi+1, com wi,

wi+1 ∈ V*, se e só se

(1) wi=α1Aα2,wi+1=α1γα2, (2) A→γ for uma regra de G e (3) α1∈Σ*. Denota-se o fechamento de Kleene de �G

L

por �*G

L. Prova-se que Para toda gramática livre de contexto

G=(V,Σ,P,S), e

toda cadeia w∈Σ*, S �*G w se e só se S �*GL

w .

Exercícios 1. Projete uma gramática livre de contexto que descreva a

linguagem definida pela expressão regular (a(a|b)*|c)* 2. Usando como base a gramática do exercício anterior,

desenhe a árvore de sintaxe da sentença aabbabacacabc 3. Projete uma gramática livre de contexto que descreva a

linguagem das expressões aritméticas simples, formadas de variáveis ou inteiros, somas, subtrações, multiplicações, divisões e potenciações, além de outras expressões entre parênteses, entre colchetes ou entre chaves.

4. Usando como base a gramática do exercício anterior, desenhe a árvore de sintaxe da sentença (1+a*4)**(3/x-2)

5. Descreva através de uma gramática livre de contexto a sintaxe de programas formados de blocos aninháveis delimitados por um par de chaves, e formados de uma seqüência opcional de declarações seguidas de seqüências de comandos, podendo os comandos ser por sua vez blocos, comandos simples ou comandos vazios. Os elementos das seqüências são separados por ponto-e-vírgulas. Represente um comando por c e uma declaração por d. Complete esta descrição se sentir falta de maiores detalhes para desenvolver a gramática.

6. Usando como base a gramática do exercício anterior, desenhe a árvore de sintaxe e explicite uma derivação mais à esquerda para o programa {d;d;d;c;{c;c;{d;d;c;;c;};c;c};;}

7. Defina, através de uma gramática livre de contexto, a sintaxe da notação utilizada para se descrever expressões regulares sobre um alfabeto {a,b,c}.

8. Mostre por que razão a gramática do exercício anterior define uma linguagem livre de contexto não regular.

9. Se as expressões regulares servem para definir linguagens regulares, a afirmação anterior não deveria constituir um paradoxo?

10. Usando a gramática do exercício 7, derive, por meio de derivações mais à esquerda, a expressão regular do enunciado do exercício 1. Monte também a árvore de sintaxe dessa sentença.

PCS-2427 – Lógica Computacional – Aula 14 – prof. João José Neto Assunto: Reconhecedores para Linguagens Livres de Contexto: Autômatos de Pilha

Autômato de Pilha

Autômato de pilha é uma sêxtupla M=(Q,,,,q0,F), com

Q - conjunto de estados; - alfabeto de entrada; - alfabeto de pilha;

- relação de transição: (Q * *) (Q *);

q0 - estado inicial; F - conjunto de estados finais F Q

Se ((p, u, ), (q,)) , então estando M no estado p, com no topo da pilha, poderá consumir u da cadeia de entrada, e evoluir para o estado q,

modificando para o topo da pilha. Este par ordenado é chamado transição de M. As transições podem ser aplicadas de forma não-determinística.

Funcionamento

Configuiração de um autômato de pilha é um membro de Q * *, caracterizando, em um dado momento, o estado, a parte não lida da cadeia de entrada e o conteúdo da pilha, lido a partir do seu topo.

Para todo ((p, u, ), (q,)) , x* e *, define-se (p, ux, ) M

(q, x, ), válido entre configurações desta forma, para alguma transição,

algum x e algum

Notação: O símbolo M* denota o fechamento de Kleene para M .

M aceita w* se e só se (q0, w, ) M* (p, , ), com p F.

Neste caso, há uma seqüência c0 M c1 M ... M cn de configurações ci ,

com c0=(q0, w, ) e cn=(p, , ), p F.

Esta seqüência é uma computação executada por M sobre w, e tem comprimento n (tem n passos).

L(M), linguagem aceita por M, compreende todas as cadeias aceitas por M:

L(M)={w*|(q0,w,) M* (p,,), pF} Exemplo – Palíndrome ímpar centrada

Para L={wcwR|w{,}*}, pode-se usar o autômato com = { ((q0,,), (q0,)), ((q0,,), (q0,)),

((q0,c,), (f,)),

((f,,), (f,)), ((f,,), (f,)) }

Exemplo – Para L={w{,}*|w contém o mesmo número de ’s e ’s} = { ((q0,,), (q1,c)), ((q1,,c), (q1,c)),

((q1,,), (q1,)), ((q1,,), (q1,)),

((q1,,c), (q1,c)), ((q1,,), (q1,)),

((q1,,), (q1,)), ((q1,,c), (f,)) }

Exemplo – Palíndrome par (Observar o não-determinismo neste autômato!)

Para L={wwR|w{,}*}, pode-se usar o autômato com = { ((q0,,), (f,)),

((q0,,), (q0,)), ((q0,,), (q0,)),

((f,,), (f,)), ((f,,), (f,)) }

Teorema - Se M é um autômato de pilha e (q1, w1, 1) M* (q2, , 2) e

(q2, w2, 23) M* (q3, , 4), então (q1, w1w2, 13) M* (q3, , 4).. (Divide-se o reconhecimento em duas etapas; em q2, a pilha não está vazia)

Corolário – Nas condições do teorema anterior, se ocorrer (q1, w1, 1) M*

(q2, , ) e (q2, w2, 3) M* (q3, , ), então (q1, w1w2, 13) M* (q3, , )..

(caso particular: 2=4=. Pilha vazia: separam-se os dois reconhecimentos) Teorema – Toda linguagem livre de contexto é aceita por autômato de pilha

Prova: a partir de uma gramática livre de contexto G=(V,,P,S) da linguagem

desejada, constrói-se M=(Q,,,,q0,F) tal que L(M)=L(G): Faz-se Q={p,q};

q0=p; F={q}, e constrói-se assim: ={ ((p, , ), (q, S)) } empilhaS

{ ((q, , A), (q, x)) | A x P } substitui não-terminais

{ ((q, a, a), (q, ) | a } desempilha terminais

Por indução, prova-se que este autômato simula derivações mais à esquerda.

Teorema – Toda linguagem aceita por autômato de pilha é livre de contexto

Para M=(Q,,,,q0,F) qualquer, efetuam-se no autômato simplificações estruturais , ou seja, transformações que eliminam consultas a mais de um elemento da pilha de cada vez, e que permitem, se necessário, a consulta ao topo da pilha sem desempilhar o elemento consultado: (i) eliminação de

transições ((q, u, ), (p, )) com ||>1; (ii) incluir em Q novos estados t1,..., tn-

1; (iii) incluir em o conjunto de transições ((q, , B1), (t1, )) , ((t1, , B2), (t2,

)) , ... , ((tn-2, , Bn-1), (tn-1, )) , ((tn-1, u, Bn), (p, )) ; (iv) acrescentar transições

((q, u, A), (p, A)) para cada A sempre que contiver ((q, u, ), (p, )) Propriedades das linguagens livres de contexto: Serão estudados três tipos de propriedades: (i) Propriedades de fechamento; (ii) Propriedades de periodicidade; (iii) Propriedades algorítmicas. Essas propriedades facilitam o reconhecimento de uma linguagem como sendo ou não livre de contexto, facilitam a busca de algoritmos para responder a certas questões sobre linguagens livres de contexto e proporcionam, através de suas provas, um maior domínio sobre a estrutura dessas linguagens. Propriedades de Fechamento Teorema – As linguagens livres de contexto são fechadas em relação às

operações de união, concatenação e fechamento de Kleene

Seja G1=(V1,1,P1,S1), G2=(V2,2,P2,S2), com V1-1 V2-2= Prova: Em cada caso, cria-se uma gramática que simule a operação desejada:

União: G=(V1 V2 {S} , 12, P1 P2 {SS1 , S S2}, S)

Concatenação: G=(V1 V2 {S}, 12, P1 P2 {SS1 S2}, S)

Kleene: G=(V1 , 1, P1 {S , SS S1}, S)

Teorema - A intersecção de uma linguagem livre de contexto com uma linguagem regular é uma linguagem livre de contexto

Prova: Sejam M1=(Q1,1,1,1,q01,F1) e M2=(Q2,2,2,q02,F2) os autômatos que representam respectivamente as linguagens livre de contexto e regular. Combinam-se os dois autômatos em um único, M, que efetue em paralelo o reconhecimento das duas linguagens, aceitando a cadeia apenas se ambos os

autômatos a aceitarem: M=(Q1Q2,,1,,(q01,q02),F1F2), com dado por:

(((q1,q2),u,) , ((p1,p2),)) se e só se ((q1,u,) , (p1,)) 1 e (q2,u) MM22**

(p2,)

Árvore de Derivação de uma cadeia por uma gramática É uma representação gráfica da derivação desta cadeia. A raiz da árvore corresponde à raiz da gramática; Os nós da árvore correspondem aos não-terminais; As folhas da árvore correspondem aos terminais.

Para uma gramática livre de contexto G=(V,,P,S) tem-se as seguintes leis de formação de árvores de derivação: a cadeia vazia é representada como uma árvore elementar, assim como um símbolo terminal; um não-terminal é o nó principal de uma sub-árvore, cujos ramos representam os componentes do lado direito de uma produção referente àquele não-terminal, os quais podem ser, por sua vez, terminais, não-terminais ou a cadeia vazia. Um caminho em uma árvore de derivação é uma seqüência de nós distintos, cada qual conectado ao anterior por um só segmento, sendo o primeiro nó do caminho a raiz da gramática, e o último nó, uma folha da árvore de derivação. O comprimento de um caminho é o número de seus segmentos. A altura de uma árvore de derivação é o comprimento do seu caminho mais longo. Propriedades de Periodicidade das linguagens livres de contexto Teorema do Bombeamento - Para gramática cada G livre de contexto há um k tal que qualquer cadeia w em L(G), com |w|>k, pode ser decomposta

como w=uvxyz, com |v|0 , |y|0. Nessas condições, uvnxynz também

deverá estar em L(G), para todo n 0.

Notar que v e y se comportam como um par de delimitadores casados, aninhando sucessivamente o centro x da cadeia w.

Teorema - A linguagem L={anbncn|n0} não é livre de contexto Prova: Seja G uma gramática livre de contexto tal que L=L(G); Seja k uma constante para

G, dada pelo teorema anterior; Seja n>k/3. Nessas condições, w=anb

nc

n pode ser

escrita na forma w=uvxyz, |v|0, |y|0, com uvixy

izL(G). Isto é impossível, pois se

v ou y contiver dois símbolos de {a,b,c} então uv2xy

2z conterá obrigatoriamente um c

antes de um b ou um b antes de um a. Se v e y contêm cada um apenas a’s, ou apenas b’s ou apenas c’s, então uv

2xy

2z não poderá conter o mesmo número de a’s,

b’s e c’s.

Teorema - Linguagens livres de contexto não são fechadas em relação à operação de intersecção ou de complementação Intersecção: A intersecção das duas linguagens abaixo não é livre de contexto:

{anbncm|m,n0}{ambncn|m,n0}={anbncn|n0} Complementação: Não sendo fechadas em relação à intersecção, não serão fechadas em

relação à complementação, pois, pelo teorema de De Morgan, L1L2=*-((*-

L1)(*-L2))

Teorema - Linguagens livres de contexto sobre alfabetos unitários são sempre regulares

Prova: Se a linguagem é livre de contexto, ela pode ser representada por gramáticas livres

de contexto; As produções serão da forma NapN’a

q ou Na

p, com p,q0,

={a}, N,N’ V-Como Nap a* N V- , e como Na

pN’a

q gera as

mesmas cadeias que Nap+q

N’ N, N’ V-então é possível obter, a partir desta gramática, uma gramática regular. Logo, a linguagem em questão será sempre regular

Propriedades Algorítmicas das linguagens livres de contexto Teorema: Existem algoritmos para solucionar as seguintes questões sobre

gramáticas livres de contexto: (i) Dada uma gramática G e uma

cadeia w, w L(G)? (ii) L(G)= ? Prova: Pode-se determinar se w L(G) verificando se w é contorno de alguma das

árvores, de altura máxima |w|. Eliminam-se da gramática todas as regras dos

tipos Ae AB. Por inspeção exaustiva (finita) de árvores de altura máxima

|V-| é sempre possível determinar se L(G)=

Autômatos de Pilha Determinísticos Um autômato de pilha M é dito determinístico se, sempre que M estiver na

configuração (p,w,) e para os prefixos w1 e w2 de w e 1 e 2 de , tanto

((p,w1,1),(q1,1)) como ((p,w2,2),(q2,2)) são transições de M, então estas

transições deverão se iguais: w1=w2, 1=2, 1=2. Equivalentemente: Duas cadeias são consistentes se uma delas for prefixo da outra; duas transições são compatíveis se partirem do mesmo estado, se suas cadeias de entrada forem consistentes e se as correspondentes cadeias de pilha também o forem; M é determinístico se não tiver transições compatíveis Linguagens livres de contexto determinísticas São as que podem ser aceitas por algum autômato de pilha determinístico. Por questões práticas, e sem perda de generalidade, será exigido que uma

cadeia de entrada sempre seja finalizada por um símbolo indicador de final de cadeia, para que a cadeia possa ser reconhecida com mais facilidade.

Teorema – L* é uma linguagem livre de contexto determinística se, para

algum autômato de pilha determinístico M, tem-se que L = L(M).

TTeeoorreemmaa –– TTooddaa lliinngguuaaggeemm lliivvrree ddee ccoonntteexxttoo ddeetteerrmmiinnííssttiiccaa éé ttaammbbéémm uummaa

lliinngguuaaggeemm lliivvrree ddee ccoonntteexxttoo..

Teorema – SSeejjaa L* uummaa lliinngguuaaggeemm lliivvrree ddee ccoonntteexxttoo ttaall qquuee,, ppaarraa ccaaddaa

u* eexxiissttee uumm v* ttaall qquuee u°vL, e *-L nnããoo éé lliivvrree ddee ccoonntteexxttoo.. NNeessssaass

ccoonnddiiççõõeess,, aa lliinngguuaaggeemm L nnããoo éé lliivvrree ddee ccoonntteexxttoo ddeetteerrmmiinnííssttiiccaa..

Exemplo: L0={ am1bam2bam3b...bamn | mi,mj0, mimj para algum i,j }

PCS-2427 – Lógica Computacional – Aula 15 – Prof. João José Neto

Assunto: Linguagens e Gramáticas Sensíveis ao Contexto Autômatos não são as únicas formas de implementação de computações: Há gramáticas gerais, equivalentes às máquinas de Turing. Gramáticas irrestritas (1) • São dispositivos de geração de linguagens • São sistemas de transcrição • Nas gramáticas irrestritas, o lado esquerdo das regras não se

restringe apenas a um não-terminal isolado

Gramáticas Irrestritas são quádruplas: G=(V,,P,S) V = alfabeto da gramática

= conjunto de terminais V

N = conjunto de não-terminais N = V-

S = símbolo de partida (raiz da gramática) SN P = o conjunto de regras de substituição (produções)

deve ser um subconjunto finito de (V*NV*)V*

• Regras são denotadas: u G v para todo (u,v)P

• u G v se e só se, para algum w1, w2 V* e alguma regra

u’ G v’, tem-se: u = w1 u’ w2 e v = w1 v’ w2

• G* denota o fechamento de Kleene para o operador G

• w* é gerada por G se e só se S G* w

• L(G) é o conjunto de todas as cadeias de * geradas por G

• w0 G w1 G ... G wn é uma derivação

• Restringindo-se as gramáticas gerais, é possível definir

gramáticas livres de contexto impondo que uN, o que elimina as substituições condicionais

• Restringindo-as ainda mais, de modo que v*(N{}) ou

v(N{})*, são obtidas as gramáticas lineares fatoradas à esquerda ou fatoradas à direita, respectivamente

• Gramáticas lineares geram cadeias acrescendo terminais a uma só das extremidades da forma sentencial

Exemplo (1) • Uma gramática que gera apenas sentenças sobre {a,b,c} com

igual ocorrência de cada um dos símbolos.

1. S

2. S ABCS [ 1-2 gera (ABC) n , n 0 ]

3. AB BA

4. BA AB

5. AC CA

6. CA AC

7. BC CB

8. CB BC [ gera todos os anagramas ]

9. A a

10. B b

11. C c [ elimina os não terminais ]

Exemplo (2)

• Gramática que gera a linguagem { a2n

| n 0 }

1. S [A] [ gera um só A entre colchetes ]

2. [ [D [ cria certo número n de D’s ]

3. DA AAD [ D duplica cada A que salta ]

4. D] ] [ na extremidade, D é eliminado]

5. [ [elimina os ...

6. ] ... colchetes]

7. A a [ elimina os não terminais ]

Exercícios: Construir gramáticas irrestritas para as linguagens seguintes:

1. { wcw | w { a, b }* }

2. { wwRw | wR é a cadeia reversa de w { a, b }* } 3. { anbncn | n > 0} 4. { anbmcndm | m, n > 0 } 5. { aibjck | i<j<k} 6. { (ambm)k (anbn)k | k, m, n > 0 }

7. { w (wR)2 | wR é a cadeia reversa de w { a, b }* }

PCS-2427 - Lógica Computacional – Aula 16 – prof. João José Neto Assunto: Máquina de Turing

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PCS-2427 - Lógica Computacional – Aula 17 – prof. João José Neto Assunto: Computação com Máquina de Turing

Computação com Máquina de Turing

Convenção – formato convencionado para os dados de

entrada de uma máquina de Turing:

A cadeia de símbolos deverá estar entre dois brancos;

Deve estar ajustada à extremidade esquerda da fita;

O cabeçote deve apontar o branco que segue os dados;

A máquina deve estar posicionada em seu estado inicial.

Def.: Função sobre cadeias, computável por máquina de

Turing. Sejam 0 e 1 alfabetos que não contêm o símbolo #.

Seja uma função de 0* para 1*.

Uma máquina de Turing M = (Q, , , s) é capaz de computar

se 0, 1 , e para qualquer 0*, se () = 1*,

então (s,##) ┣M * (h,# #).

Se existe alguma máquina de Turing nessas condições, então

a função é dita Turing-computável.

Convenção - A definição estabelece também uma convenção

para a saída da computação. Por compatibilidade com a

convenção para a cadeia de entrada, deve haver um # à

esquerda da cadeia de saída, e após a computação o

cabeçote deve estar posicionado sobre um #, imediatamente à

direita de .

Caso tenha mais de um parâmetro, trata-se a seqüência

como se fosse um só bloco, separando-se os argumentos por

um #. Dessa forma, caso ( 1, 2, ..., n ) = , então

( s, #1#2#...#n# ) ┣M * ( h, ## ).

Funções Numéricas Turing-Computáveis

Se : N N, usa-se um alfabeto unitário { I }, e Ik representa

o número k. M = (Q, , , s) computa se e somente se M

computar ’: {I}* {I}* e ’(In) = I(n), para cada n N. Diz-

se neste caso que é Turing-computável.

Linguagens Turing-Decidíveis

Linguagens Turing-decidíveis são as que contam com alguma

máquina de Turing que decida se uma entrada qualquer

pertence ou não à linguagem. Seja 0 um alfabeto que não

contenha #. Sejam Y e N dois símbolos não presentes em 0.

Então a linguagem L 0* é Turing-decidível se e somente se

a função L : 0* {Y, N} é Turing-computável, desde que,

para cada 0*: L() = Y se L, L() = N se L

Se L for computada por alguma máquina de Turing M, diz-se

que M decide L, ou que M constitui um procedimento de

decisão para L.

Construção de aceitadores.

Diz-se que uma máquina de Turing M aceita uma cadeia

L (Linguagem especifíca), se M pára (“halt”) com a entrada .

Então, seja 0 o alfabeto gerador de L, e L 0*, M aceita L

se e somente se L = { 0* : M aceita }, e uma linguagem

é dita Turing-aceitável se há uma máquina de Turing que a

aceita. É fácil constatar que toda linguagem Turing-decidível é

também Turing-aceitável, porém o inverso não é verdade.

Lema: Seja M uma máquina de Turing tendo (qi, iaiui) como

configurações de M, para i = 1, 2, 3,.

Se (q1, 1a1u1) ┣M * (q2, 2a2u2), e (q2, 2a2u2) ┣M *

(q3, 3a3u3), então: (q1, 1a1u1) ┣M * (q3, 3a3u3).

Combinação de Máquinas de Turing

Def.: Um esquema de máquina de Turing é uma tripla

(M, , M0), no qual M é um conjunto finito de máquinas de

Turing com um alfabeto comum e conjuntos distintos de

estados. M0 M é a máquina inicial; é uma função parcial,

de um subconjunto de M para M.

Def.: Seja M = (M0, ..., Mn), com n 0, com Mi = (Qi, , i, si)

para i= 0, ..., n. Sejam q0, ..., qm novos estados não contidos

em Qi. Então se (M, , M) é um esquema de máquina de

Turing, diz-se que este é representativo da máquina de Turing

M = (Q, , , s), na qual: Q = Q0 Q1 ... Qn {q0, ..., qm};

s= s0; é definido como:

1) Se 0 i m, q Qi, a , e i(q, a) = (p, b), em que ph,

então (q, a) = i(q, a) = (p, b);

2) Se 0 i m, q Qi, a , e i(q, a) = (h, b), então (q, a)

= (qi, b);

3) Se 0 i m, q Qi, a , e (Mi, a) não é definida, então

(qi, a) = (h, a);

4) Se 0 i m, q Qi, a , e (Mi, a) = Mj, e seja j(sj, a) =

(p, b), então: (qi, a) = (p, b) se ph, e (qi, a) = (qj, b) se p=h

É possível construir um conjunto de máquinas que seguem

essas convenções, formando uma biblioteca de blocos

funcionais (R, L, Rn, Ln, R#, L#, , ...) cujas instâncias podem

ser combinadas para formarem máquinas de Turing mais

complexas.

Extensões Possíveis para Máquinas de Turing

Algumas extensões para a máquina de Turing foram propostas

no sentido de ampliar sua capacidade computacional,

entretanto pouco ou nenhum resultado considerável foi obtido

neste campo, assim tem-se:

1) Fita infinita à esquerda e à direita.

2) Múltiplas fitas.

3) Múltiplas fitas e múltiplas cabeças independentes de leitura

e gravação.

4) Máquina de Turing não-determinística

Teorema: Qualquer uma dessas máquinas de Turing

estendidas pode ser reduzida ao caso clássico estudado.

Teorema: Qualquer problema que pode ser resolvido por uma

máquina de Turing não-determinística também pode ser

resolvido por uma máquina de Turing determinística.



computation. Existe a tradução para o português, da

Bookman, Porto Alegre: Elementos de teoria da

computação, 2a. edição. CUIDADO: Utilizar apenas a

“versão totalmente revisada”, de 2004.

Harrison – Introduction to formal language theory –

Addison Wesley, 1978.


Porto Alegre, 2009.


Assunto: Linguagens Recursivas e Recursivamente Enumeráveis. Gramáticas Irrestritas Máquinas de Turing podem definir uma linguagem quando, para qualquer cadeia dada, a máquina parar em um de dois tipos de estados de parada: num estado de aceitação, caso a cadeia pertença à linguagem, ou em um estado de rejeição, em caso contrário [a máquina decide a linguagem]. Ao conjunto de linguagens assim definidas dá-se o nome de linguagens recursivas. Uma linguagem é dita recursiva quando existir alguma máquina de Turing que a decida. Exemplo: Uma máquina de Turing que, para toda entrada formada de n caracteres I (n≥0), pára com uma cadeia de n+1 caracteres I na fita Ainda usando máquinas de Turing, é possível definir uma linguagem da seguinte maneira alternativa: dada uma cadeia, diz-se que, se ela pertence a essa linguagem, a máquina de Turing parará em resposta a essa cadeia, e, caso a cadeia não pertença à linguagem, a máquina não parará, independente do conteúdo da fita [a máquina semi-decide a linguagem]. As linguagens assim definidas formam a classe das linguagens recursivamente enumeráveis.. Uma linguagem é dita recursivamente enumerável quando existir alguma máquina de Turing que a semi-decida. Exemplo: Uma máquina de Turing que, para toda entrada formada de caracteres a e b, pára somente ao encontrar o primeiro caractere a na fita, aceitando portanto apenas cadeias que contenham algum a. Note-se que, ao contrário do caso das linguagens recursivas, essas máquinas de Turing, que não terminam sua operação quando a cadeia de entrada não pertencer à linguagem que definem, não constituem algoritmos e portanto não são úteis para classificar cadeias, pois entram em loop infinito para certas cadeias.

Teorema 1 – Toda linguagem recursiva é recursivamente enumerável, mas nem toda linguagem recursivamente enumerável é recursiva. Teorema 2 – O complemento de toda linguagem recursiva é uma linguagem recursiva (linguagens recursivas são fechadas em relação à complementação). Teorema 3 – Linguagens recursivamente enumeráveis não são fechadas em relação à complementação.

Outra maneira de definir linguagens recursivamente enumeráveis é através de dispositivos geradores denominados Gramáticas Irrestritas, também chamados sistemas de reescrita ou de regravação. Ver mais detalhes na aula 15.

Teorema 3 – Uma linguagem pode ser gerada por uma gramática irrestrita se e somente se ela for recursivamente enumerável. Teorema 4 – Toda gramática pode ser convertida em uma gramática equivalente cujas regras sejam todas da forma uAv→→→→uwv, com A não-terminal, e u, v, w cadeias arbitrárias de terminais e/ou não-terminais.

Exercícios 1. Construa uma máquina de Turing capaz de decidir as seguintes

linguagens sobre {a,b}: a) ∅ b){ε} c){a} d) {a}*

2. Construa uma máquina de Turing capaz de semi-decidir a seguinte linguagem regular: a*ba*b.

3. Prove que as linguagens recursivas são fechadas em relação às operações de concatenação, união e fechamento de Kleene.

4. Prove que as linguagens recursivamente enumeráveis são fechadas em relação às operações de concatenação, união e fechamento de Kleene.

5. Dada uma gramática irrestrita com as seguintes produções: S→ ABCS S→Tc CA→AC BA→AB CB→BC CTc→Tcc CTc→Tbc BTb→Tbb BTb→Tab ATa→Taa Ta→ε Pede-se determinar qual é a linguagem gerada pela gramática e derivar, passo a passo, uma sentença de comprimento maior ou igual a 7. Desenhar o grafo de derivação desta sentença.

PCS-2427 – Lógica Computacional – Aula 19 – Prof. João José Neto Assunto: Uma forma normalizada para as gramáticas irrestritas e dependentes de contexto

Teorema - QQuuaallqquueerr ggrraammááttiiccaa ppooddee sseerr ccoonnvveerrttiiddaa eemm uummaa ggrraammááttiiccaa eeqquuiivvaalleennttee eemm qquuee ttooddaass aass pprroodduuççõõeess ssããoo ddaa ffoorrmmaa u N v → → → → u w v ccoomm N nnããoo--tteerrmmiinnaall,, u ee v ccaaddeeiiaass aarrbbiittrráárriiaass eennvvoollvveennddoo tteerrmmiinnaaiiss ee//oouu nnããoo--tteerrmmiinnaaiiss

• para cada terminal a, – acrescentar um novo não-terminal correspondente A, substituindo a por A

em todas as suas ocorrências na gramática – acrescentar a regra A →→→→ a

• remover cada regra da forma A1A2...An →→→→ wk onde n > 1, ( notar que, nessas condições, todo Ai será um não-terminal e todo wk será uma

cadeia envolvendo apenas não-terminais ) • no lugar de cada regra removida no passo anterior, acrescentar as seguintes

regras: A1A2...An →→→→ Rk A1A2 ... An (em que A1 foi substituído por RkA1) Rk Ai Ai+1...An→→→→ Rk Ai+1 ... An para cada i ≤ ≤ ≤ ≤ n, de forma que Ai seja eliminado

[correspondente a Ai →→→→ εεεε ] Rk →→→→ wk • manter intactas as demais produções da gramática original. A gramática assim obtida é equivalente à inicial, mas suas regras são todas da

forma u N v → → → → u w v especificada no enunciado Exemplo Vamos aplicar o método apresentado à gramática seguinte, que gera anbncn, n >1: ( 0) S →→→→ ABCS ( 1) S →→→→ Tc ( 2) CA →→→→ AC ( 3) BA →→→→ AB

( 4) CB →→→→ BC ( 5) CTc →→→→ Tc c ( 6) CTc →→→→ Tb c ( 7) BTb →→→→ Tb b

( 8) B Tb →→→→ Ta b ( 9) A Ta →→→→ Ta a (10) Ta →→→→ εεεε • para cada terminal (a, b ou c)

• acrescentar um novo não-terminal correspondente (X, Y ou Z), substituindo a por X, b por Y e c por Z em todas as suas ocorrências na gramática.

• acrescentar as regras X →→→→ a, Y →→→→ b, Z →→→→ c Resulta: ( 0) S →→→→ ABCS ( 1) S →→→→ Tc ( 2) CA →→→→ AC ( 3) BA →→→→ AB

( 4) CB →→→→ BC ( 5) C Tc →→→→ Tc Z ( 6) C Tc →→→→ Tb Z ( 7) B Tb →→→→ Tb

Y

( 8) B Tb →→→→ Ta Y ( 9) A Ta →→→→ Ta X (10) Ta →→→→ εεεε (11) X →→→→ a (12) Y →→→→ b (13) Z →→→→ c • substituir cada uma das regras da forma A1A2...An →→→→ wk onde n > 1 (regras

2,3,4,5,6,7,8,9): A1A2...An →→→→ Rk A1A2 ... An (em que A1 foi substituído por RkA1) Rk Ai Ai+1...An→→→→ Rk Ai+1 ... An para cada i ≤ ≤ ≤ ≤ n,

( de forma que Ai seja eliminado [correspondente a Ai →→→→ εεεε ] ) Rk →→→→ wk • substituir regras do tipo KL→→→→ wk por

{KL →→→→ Rk KL, Rk K L →→→→ Rk L, Rk L →→→→ Rk, Rk →→→→ wk}

( 0) S →→→→ ABCS ( 1) S →→→→ Tc ( 2) CA →→→→ AC por CA →→→→ R2 CA R2 CA →→→→ R2 A R2 A →→→→ R2 R2 →→→→ AC ( 3) BA →→→→ AB por BA →→→→ R3 BA R3 BA→→→→ R3 A R3 A →→→→ R3 R3 →→→→ AB ( 4) CB →→→→ BC por CB →→→→ R4 CB R4 CB →→→→ R4 B R4 B →→→→ R4 R4 →→→→ BC ( 5) C Tc →→→→ Tc Z por C Tc →→→→ R5 C Tc R5 C Tc →→→→ R5 Tc R5 Tc →→→→ R5 R5 →→→→ Tc Z ( 6) C Tc →→→→ Tb Z por C Tc →→→→ R6 C Tc R6 C Tc →→→→ R6 Tc R6 Tc →→→→ R6 R6 →→→→ Tb Z ( 7) B Tb →→→→ Tb Y por B Tb →→→→ R7 B Tb R7 B Tb →→→→ R7 Tb R7 Tb →→→→ R7 R7 →→→→ Tb Y ( 8) B Tb →→→→ Ta Y por B Tb →→→→ R8 B Tb R8 B Tb →→→→ R8 Tb R8 Tb →→→→ R8 R8 →→→→ Ta Y ( 9) A Ta →→→→ Ta X por A Ta →→→→ R9 A Ta R9 A Ta →→→→ R9 Ta R9 Ta →→→→ R9 R9 →→→→ Ta X (10) Ta →→→→ εεεε (11) X →→→→ a (12) Y →→→→ b (13) Z →→→→ c

A gramática assim obtida é equivalente à inicial, mas suas regras são todas da

forma normalizada u N v → → → → u w v especificada pelo teorema: ( 0) S →→→→ ABCS ( 1) S →→→→ Tc

( 2.1) CA →→→→ R2 CA ( 2.2) R2 CA →→→→ R2 A ( 2.3) R2 A →→→→ R2 ( 2.4) R2 →→→→ AC ( 3.1) BA →→→→ R3 BA ( 3.2) R3 BA→→→→ R3 A ( 3.3) R3 A →→→→ R3 ( 3.4) R3 →→→→ AB ( 4.1) CB →→→→ R4 CB ( 4.2) R4 CB →→→→ R4 B ( 4.3) R4 B →→→→ R4 ( 4.4) R4 →→→→ BC ( 5.1) C Tc →→→→ R5 C Tc ( 5.2) R5 C Tc →→→→ R5 Tc ( 5.3) R5 Tc →→→→ R5 ( 5.4) R5 →→→→ Tc Z ( 6.1) C Tc →→→→ R6 C Tc ( 6.2) R6 C Tc →→→→ R6 Tc ( 6.3) R6 Tc →→→→ R6 ( 6.4) R6 →→→→ Tb Z ( 7.1) B Tb →→→→ R7 B Tb ( 7.2) R7 B Tb →→→→ R7 Tb ( 7.3) R7 Tb →→→→ R7 ( 7.4) R7 →→→→ Tb Y ( 8.1) B Tb →→→→ R8 B Tb ( 8.2) R8 B Tb →→→→ R8 Tb ( 8.3) R8 Tb →→→→ R8 ( 8.4) R8 →→→→ Ta Y ( 9.1) A Ta →→→→ R9 A Ta ( 9.2) R9 A Ta →→→→ R9 Ta ( 9.3) R9 Ta →→→→ R9 ( 9.4) R9 →→→→ Ta X (10) Ta →→→→ εεεε (11) X →→→→ a (12) Y →→→→ b (13) Z →→→→ c Exercícios Construir gramáticas para as linguagens abaixo indicadas, e normalizá-las, de acordo com o método utilizado na demonstração do teorema:

1.

�� ∈∈∈∈ ��

2.

� � � � � �� ∈∈∈∈ ��

3. L3 = { �� ∈∈∈∈ �� } 4.

��

∩∩∩∩

� � � �

5.

�! � � � �! � � � �! � � � �! � � �

6.

�" � ��" � ��" � ��" � ��

∪∪∪∪

�!�! �!�!


Assunto: Equivalências entre os dispositivos gramaticais e os autômatos estudados (fonte: Ramos, Neto e Vega Linguagens formais, cap.7) 1. Linguagens regulares Linguagens regulares são construídas aplicando-se apenas concatenações, uniões e

estrelas de Kleene sobre os elementos de seu alfabeto. Linguagens regulares são aceitas por autômatos finitos não-determinísticos. Linguagens regulares são aceitas por autômatos finitos determinísticos. Linguagens regulares são representadas por expressões regulares. Linguagens regulares são geradas por gramáticas lineares (à direita / à esquerda). Exemplo: L1={ w∈∈∈∈{a,b}* | w=a*b* }

2. Linguagens livres de contexto Linguagens livres de contexto são construídas aplicando-se, além das concatenações,

uniões e estrelas de Kleene, também aninhamentos sintáticos sobre os elementos de seu alfabeto. As linguagens livres de contexto englobam as regulares, que são seus casos particulares

Linguagens livres de contexto que não apresentam aninhamentos sintáticos são também linguagens regulares. Linguagens livres de contexto são aceitas por autômatos de pilha. Em particular, são aceitas também por autômatos de pilha estruturados. Há autômatos de pilha estruturados em que os aninhamentos sintáticos se expressam na forma de chamadas auto-recursivas de sub-máquinas. Linguagens livres de contexto são representadas por expressões regulares estendidas, que permitem o uso de não-terminais para representarem expressões completas (uma das notações usuais é a Notação de Wirth).

Linguagens livres de contexto determinísticas são aceitas por autômatos de pilha determinísticos. Linguagens livres de contexto determinísticas são geradas por gramáticas livres de contexto LL(k) ou LR(k). As linguagens representáveis por gramáticas LL(k) também o são por gramáticas LR(k), mas o oposto não ocorre. Há linguagens livres de contexto que não são LL(k) nem LR(k), e formam a classe das linguagens livres de contexto intrinsecamente não-determinísticas.

Gramáticas LL(k) produzem reconhecedores determinísticos descendentes (top-down). Exemplo: L2={ w∈∈∈∈{a,b}* | w=anbn , n>0 }

Gramáticas LR(k) produzem reconhecedores determinísticos ascendentes (bottom-up). Exemplo: L3={ w∈∈∈∈{a,b,e,o}* | w=a2nb2ne, n≥≥≥≥0 } ∪∪∪∪ { w∈∈∈∈{a,b,e,o}* | w=a2n+1b2n1o, n≥≥≥≥0 }

Linguagens livres de contexto não-ambíguas são aquelas que podem ser representadas por gramáticas não-ambíguas. Exemplo: L4={ wwR| w=∈∈∈∈{a,b}* }

As demais são linguagens ambíguas, que não podem ser representadas por gramáticas não-ambíguas. Exemplo: L5={ ambmanbn | m,n≥≥≥≥1 } ∪∪∪∪ { anbmambn | m,n≥≥≥≥1 }

3. Linguagens sensíveis ao contexto As linguagens sensíveis ao contexto englobam as anteriores, mas não podem ser

representadas por autômatos de pilha, e podem ser decididas por máquinas de Turing com fita limitada. Exemplo: L6={ ambmcm | m≥≥≥≥1 }

4. Linguagens recursivas Máquinas de Turing que decidem linguagens representam a classe das linguagens

recursivas. Gramáticas dependentes de contexto também representam linguagens recursivas. Todas as linguagens recursivas também podem ser aceitas por algum

algoritmo, representado pela máquina de Turing que decide a linguagem em questão. Exemplo: L7={ ααααi | ααααi ∉∉∉∉ L(Gi), ∀∀∀∀i ≥≥≥≥1 }

Toda gramática dependente de contexto pode ser convertida à forma normal na qual todas as regras de substituição promovem a reescrita de um não-terminal dentro de um contexto explicitamente especificado. As linguagens dependentes de contexto englobam todas as anteriores – regulares e livres de contexto, que são seus casos particulares.

5. Linguagens recursivamente enumeráveis Máquinas de Turing que semi-decidem linguagens representam a classe das linguagens

recursivamente enumeráveis. Gramáticas irrestritas também representam as linguagens recursivamente enumeráveis. Exemplo: L8 = { C(M)w ∈∈∈∈ ΣΣΣΣ* | w ∈∈∈∈ L(M) }

Toda gramática irrestrita pode também ser convertida à forma normal na qual todas as regras de substituição promovem a reescrita de um não-terminal dentro de um contexto explicitamente especificado. As linguagens recursivamente enumeráveis são as mais gerais, e por isso englobam todas as demais.

6. Linguagens estruturadas em frases Todas as linguagens sobre o alfabeto ΣΣΣΣ, inclusive as que não se enquadram em nenhum

dos casos anteriores, formam a classe de linguagens estruturadas em frases, e não são representáveis nem por gramáticas irrestritas nem por máquinas de Turing. Linguagens estruturadas em frase que não são recursivamente enumeráveis são chamadas linguagens não-gramaticais. Exemplo: L9 = { C(M)w∈∈∈∈ΣΣΣΣ* | w ∉∉∉∉ L(M) }

Exercícios 1. Exemplificar, usando algumas linguagens regulares à escolha, cada uma das

possibilidades de representação acima enumeradas: a construção do conjunto usando os três operadores básicos, os dois tipos de autômatos finitos, as expressões regulares e os dois tipos de gramáticas lineares.

2. Estabelecer alguns mapeamentos entre as representações possíveis das linguagens regulares: (a) entre expressões regulares e autômatos finitos; (b) entre autômatos finitos e gramáticas lineares; (c) entre gramáticas lineares e autômatos finitos.

3. Escolher uma linguagem livre de contexto não muito complexa e representá-la nas diversas formas acima mencionadas. Identificar, em cada tipo de representação, a maneira como são representadas as concatenações, as uniões, as estrelas de Kleene, os aninhamentos sintáticos.

4. Estabelecer ao menos uma forma sistemática de mapeamento de uma gramática livre de contexto para um autômato de pilha. Aplicar para uma linguagem livre de contexto a sua escolha.

5. Escolha uma linguagem dependente de contexto que não seja livre de contexto. Represente-a usando notação de conjuntos, usando uma gramática dependente de contexto qualquer, e depois outra na forma normalizada. Represente-a também usando uma máquina de Turing.

6. Repita o exercício anterior para uma linguagem irrestrita à sua escolha que não seja dependente de contexto.

PCS-2427 - Lógica Computacional – Aula 21 – prof. João José Neto Assunto: A Tese de Church e Máquinas de Turing UniversaisA máquina de Turing não tem o seu poder computacional ampliado através de qualquer alteração estrutural. Em outros termos, tornar a fita duplamente infinita, aumentar o número de fitas, de cabeçotes, criar uma máquina de Turing não-determinística, nada aumenta o poder computacional da máquina de Turing conforme foi concebida. Existem diversos modelos computacionais distintos, como: Máquina de Turing, Máquina de Post, Funções recursivas, Cálculo-λ, e demonstra-se que são todos equivalentes em seu poder computacional. A Tese (Conjectura) de Church presume que os possíveis modelos de computação sejam todos equivalentes (não apenas os já vistos): “As máquinas de Turing são versões formais de algoritmos, e assim sendo, nenhum procedimento computacional será considerado um algoritmo se não puder ser representado como máquina de Turing.” Quando se utiliza a Tese de Church, e isso é usual em computação, pode-se demonstrar a equivalência entre um modelo computacional qualquer e a máquina de Turing apenas simulando no modelo a máquina de Turing, sem demonstrar o inverso. Computação por Gramáticas Pode-se utilizar gramáticas como dispositivos geradores de linguagens, mas também como dispositivos computacionais. Desta maneira, as gramáticas podem ser vistas como computadores de funções, desde que tais funções sejam de cadeias para cadeias. Para isso, pode-se usar a Tese de Church. Lema: Seja M=(K, ΣΣΣΣ, δδδδ, s) uma máquina de Turing qualquer. Então existe uma gramática G tal que para quaisquer configurações (q, u, a, v), (q’, u’, a’, v’) de M, (q, u, a, v)��

M* (q’, u’, a’, v’) ⇔⇔⇔⇔ [uqav] ��G

* [u’q’a’v’]. { ], [ } ∩∩∩∩ K ∪∪∪∪ ΣΣΣΣ=∅∅∅∅; K ∩∩∩∩ΣΣΣΣ=∅∅∅∅ Demonstra-se representando cada configuração como uma cadeia de símbolos, na qual o estado é um não-terminal de G, e aponta à sua direita o símbolo seguinte da cadeia. Os símbolos [ e ] inseridos servem para delimitar a cadeia de entrada: à direita de ] só há símbolos “#”. As produções

assim obtidas simulam cada movimento da máquina de Turing na gramática G=(K∪{[,],h,S}, Σ, P, S). Funções Computáveis por Gramática Com este Lema pode-se definir função gramaticamente computável: Def.: Sejam ΣΣΣΣ0 e ΣΣΣΣ1 alfabetos que não contêm #, e seja ƒƒƒƒ uma função de ΣΣΣΣ0

* para ΣΣΣΣ1*. Então ƒƒƒƒ será computável por

gramática se e somente se houver uma gramática G=(V,T,P,S), onde ΣΣΣΣ0, ΣΣΣΣ1 ⊆⊆⊆⊆ T, e houver cadeias x, y, x’, y’ ∈∈∈∈ (V ∪∪∪∪ T)*, tais que para qualquer u ∈∈∈∈ ΣΣΣΣ0

*, v ∈∈∈∈ ΣΣΣΣ1*,

ƒƒƒƒ(u)=v ⇔⇔⇔⇔ xuy ��G* x’vy’. A definição para funções

numéricas é semelhante à da Máquina de Turing. Observa-se que x, y, x’, y’ são marcadores associados à gramática G, assim a computação só terá efeito na região delimitada pelos marcadores. Teorema: As Funções Turing-computáveis são gramaticalmente computáveis. Demonstra-se a partir de uma máquina de Turing qualquer M=(K, Σ, δ, s), para a qual ƒ(u)=v ⇔ (s,#u#)�

M* (h,#v#).

Aplica-se o Lema anterior para obter G, e faz-se x=x’= “[#”, y=“s#]”, y’=“h#]”. Funções µµµµ-Recursivas (não serão detalhadas aqui) Definem-se as funções recursivas primitivas e, a partir destas e de minimização ilimitada sobre funções regulares de Kleene, definem-se as funções µ-recursivas. Faz-se um paralelo com cálculo-λ, fundamento de linguagens funcionais, tais como Lisp e Scheme. Máquinas de Turing Universais Pode-se definir uma codificação padrão para um alfabeto infinito enumerável e um conjunto infinito enumerável de

estados, em termos de cadeias de símbolos. Aceita-se, dessa forma, que qualquer máquina de

Turing possa ter seus estados e símbolos codificados dentro do padrão. Assim tem-se os conjuntos K� = {q1, q2, ...} e Σ� = {a1, a2, ...}, de tal maneira que para toda máquina de Turing o conjunto de estados seja um subconjunto finito de

K�, e o alfabeto da fita seja um subconjunto finito de Σ�. Adota-se a seguinte correspondência entre os símbolos usados na máquina de Turing e cadeias sobre o alfabeto unitário {I}. Esta escolha impede que haja no mesmo conjunto dois elementos igualmente representados. Usa-se um outro símbolo (“c”) para configurar a completamente a máquina. Assim, o alfabeto de representação será {c, I}. Portanto, cada símbolo e cada estado de uma máquina de Turing M=(K, Σ, δ, s) podem ser representados, e cada elemento da função de transição de uma máquina de Turing também o pode, da seguinte maneira: seja δ(q, a)=(p, b), onde q e p ∈ K� ∪ {h}, a ∈ Σ�, e b ∈ Σ� ∪ {L, R}, então cada elemento será representado por k.� cadeias Spr=“cw1cw2cw3cw4c”, (1≤p≤k, 1≤r≤�) onde w1=λ(q), w2=λ(a), w3=λ(p) e w4=λ(b). Faça-se S0=λ(s) e defina-se a função de codificação ρ(M)=cS0cS11S12 ... Sk�c. A máquina de Turing Universal opera sobre o alfabeto {c, I, #}, e recebe em sua fita a codificação ρ(M) seguida da codificação ρ(w). A operação da máquina de Turing Universal então é bastante simples, simula a execução de M a partir de s, acompanhando a função de transição e o símbolo encontrado na fita. Observe-se que mesmo que w contenha símbolos #, ρ(w) não possui #. Def.: Define-se a máquina de Turing Universal U assim: U=(KU, ΣΣΣΣU, δδδδU, sU), tal que para toda máquina de Turing M=(K, ΣΣΣΣ, δδδδ, s) e para toda cadeia w ∈∈∈∈ ΣΣΣΣ*, (i) Se (h, uav) é uma configuração de parada de M tal que (s, #w#)��

M*

(h, uav), então (sU, #ρρρρ(M)ρρρρ(w)#)��U

* (h, #ρρρρ(uav)#); (ii) Se (sU, #ρρρρ(M)ρρρρ(w)#)��

U* (h, u’a’v’) é uma configuração de

parada de U, então a’=#, v’=εεεε, u’=#ρρρρ(uav), para algum u, a, v tais que (h, uav) seja uma configuração de parada de M, e que (s, #w#)��

M* (h, uav).

Esta máquina define o padrão usual de computação. Todo dispositivo computacional pode ser representado por uma máquina de Turing Universal, e cada máquina de Turing construída representa um algoritmo, ou seja, um programa para a máquina Universal.

σσσσ qi h L R ai λλλλ(σσσσ) Ii+1 I I I2 Ii+2

PCS-2427 - Lógica Computacional – Aula 22 – prof. João José Neto Assunto: Computabilidade e Decidibilidade – Problema da Parada da Máquina de TuringProblemas que máquinas de Turing não representam também não se resolvem algoritmicamente (tese de Church). Isso motiva a investigar problemas computáveis, chegando a importantes conclusões a partir do conceito de decidibilidade para máquinas de Turing . Teorema: Qualquer linguagem Turing-decidível também é uma linguagem Turing-aceitável. Monta-se uma máquina de Turing de aceitação, a partir da sua máquina de decisão disponível. Teorema: Se L é uma linguagem Turing-decidível então o seu complemento L também é Turing-decidível. Constrói-se a máquina de Turing desejada a partir de outra disponível, que decida L. Computabilidade e Decidibilidade Problemas que máquinas de Turing não representam também não se resolvem algoritmicamente (tese de Church). Isso motiva a investigar problemas computáveis, chegando a importantes conclusões a partir do conceito de decidibilidade para máquinas de Turing . Teorema: Toda Linguagem Turing-decidível é Turing-aceitável. Monta-se uma máquina de Turing de aceitação, a partir da máquina disponível, de decisão. Teorema: Se L é uma Linguagem Turing-decidível então o seu complemento L também é Turing-decidível. Constrói-se a máquina de Turing a partir de outra, disponível, capaz de decidir L. Problema da Parada da Máquina de Turing Se houvesse uma máquina de Turing capaz de “descobrir” a saída de uma máquina de Turing M qualquer, então toda linguagem Turing-aceitável seria Turing-decidível. Pode-se resumir esta constatação na seguinte linguagem: K0={ρ(M)ρ(w) | M aceita w}.

Se K0 for Turing-decidível por alguma máquina M0, então toda linguagem Turing-aceitável será Turing-decidível. Se K0 é Turing-decidível, então K1={ρ(M) | M aceita ρ(M)} também o é, e a máquina de Turing M1 que a decide é composta de uma máquina de codificação, que codifica e copia a cadeia recebida w em ρ(w), e passa o controle para a máquina M0. Assim o resultado final de M0 será �� se e somente se: (i) w é ρ(M), e (ii) M aceita w, isto é, ρ(M). Mas isso é a definição de K1. Entretanto se K1 é Turing-decidível, então seu complemento também o é: 1K ={w ∈ {I, c}*: w não é a codificação de uma máquina de Turing M, ou então w=ρ(M) para alguma máquina de Turing M que não aceita entrada ρ(M)}. Entretanto 1K não é sequer Turing-aceitável, porque se o fosse haveria uma máquina de Turing M* que a aceita. Pela definição de 1K , ρ(M*) ∈ 1K se e somente se M* não aceita ρ(M*). Mas M* deve aceitar 1K , assim ρ(M*) ∈ 1K se e somente se M* aceita ρ(M*).

Portanto M* aceita ρ(M*) se e somente se M* não aceita ρ(M*), o que é absurdo, logo deve ter havido erro na hipótese sobre M*, que não deve existir. Logo tem-se: Teorema: Nem toda linguagem Turing-aceitável é Turing-decidível. Teorema: Os complementos de algumas linguagens Turing-aceitáveis não são Turing-aceitáveis. Este é o famoso problema da parada da máquina de Turing (K0). Através dele, conclui-se que há problemas que não admitem solução algorítmica. Tais problemas são chamados insolúveis. Por outro lado, um problema é dito solucionável se existe um algoritmo que o resolve, isto é, se há um procedimento de decisão para ele. Teorema: Uma linguagem é Turing-decidível se e somente se tanto ela quanto o seu complemento são Turing-aceitáveis.

Teorema: Uma linguagem é Turing-aceitável se e somente se ela é a linguagem de saída de alguma máquina de Turing. Definição: Uma Linguagem é dita Turing-enumerável se e somente se existe uma máquina de Turing que enumera suas cadeias. Teorema: Uma linguagem é Turing-aceitável se e somente se ela é Turing-enumerável. Problemas Insolúveis sobre a Máquina de Turing Teorema: Os problemas a seguir são insolúveis: (i) Dada uma máquina de Turing M e uma cadeia de entrada w, M pára com a entrada w? (ii) Para uma específica máquina M, dada uma cadeia de entrada w, M pára com a entrada w? (iii) Dada uma máquina de Turing M, M pára com a fita de entrada vazia? (iv) Dada uma máquina de Turing M, há alguma cadeia de entrada com a qual M pára? (v) Dada uma máquina de Turing M, M pára com toda cadeia de entrada? (vi) Dadas duas máquinas de Turing M1 e M2, elas param com as mesmas cadeias de entrada? (vii) Dada uma máquina de Turing M, a linguagem que M aceita é regular? É livre de contexto? É Turing-decidível? Problemas Insolúveis envolvendo Gramáticas Teorema: Os problemas abaixo são insolúveis: (i) Para uma gramática arbitrária dada G e uma cadeia w, determinar se w ∈∈∈∈ L(G). (ii) Para uma específica gramática G0 e uma cadeia w, determinar se w ∈∈∈∈ L(G0). (iii) Dadas duas gramáticas arbitrárias G1 e G2, determinar se L(G1)=L(G2). (iv) Para uma gramática arbitrária G, determinar se L(G)=∅∅∅∅ Problemas Insolúveis sobre gram. livres de contexto Teorema: Os problemas a seguir são insolúveis: (i) Dadas 2 gramáticas livres de contexto G1 e G2, determinar se L(G1)∩∩∩∩L(G2)=∅∅∅∅. (ii) Para G, gramática livre de contexto, determinar se G é ambígua.

PCS-2427 - Lógica Computacional – Aula 23 – prof. João José Neto Assunto: Complexidade computacional

Conceito O conceito de complexidade está diretamente associado à computação

em dispositivos físicos. Alguns problemas solucionáveis têm uma

complexidade em tempo tão alta que sua utilização prática se torna

inviável. Ex.: caixeiro viajante.

Definição: Decidibilidade em tempo. Seja T: uma função

numérica, L 0* uma linguagem, e M=(K, , , s) uma máquina de

Turing com k fitas e com 0 . Diz-se que M decide L em tempo T

se (s, #w#,#, ...,#)Mt (h, #Y#,#, ...,#) para algum t T(w) sempre

que w L, e, sempre que w L, (s, #w#,#, ...,#)Mt (h, #N#,#,

...,#) para algum t T(w);

Diz-se que L é decidível em tempo T se existir algum k > 0 e alguma

máquina de Turing com k fitas que decide L em tempo T. A classe de

todas as linguagens decidíveis em tempo T é denotada por TIME(T).

Assim uma função do comprimento da entrada determina o limite

para o número de passos da máquina de Turing. Assim não há função

T tal que o T(n) < 2n + 4 para algum n 0 (já que, em qualquer

computação, é necessário, no mínimo, percorrer a cadeia de entrada,

apagá-la e escrever Y ou N).

Determinar um limite superior para a função T pode não ser trivial.

Entretanto, o objetivo da teoria da complexidade computacional é

indicar, dentre as várias possíveis máquinas de Turing que decidem

uma dada linguagem, aquela capaz de terminar em T passos, sendo T

o menor possível, ou então, se isso não puder ser feito, apresentar

uma demonstração rigorosa da inviabilidade de uma máquina tão

rápida.

Taxa de crescimento de funções

O mais significativo no estudo da complexidade computacional é a

taxa de crescimento da função T. São irrelevantes para tal estudo os

termos de ordem inferior e os valores exatos das constantes.

Definição: Sejam f e g funções de para . Escreve-se f=O(g) se e

somente se há uma constante c > 0 e um inteiro n0 tal que: f(n)

c.g(n), para todo n n0.

Teorema: Sendo f(n)=

d

j

j

j na0

um polinômio, e r>1, então f=O(rn).

Funções de complexidade

T (n) O (1) : constante – mais rápido, impossível

T (n) O (log log n) : super-rápido

T (n) O (log n) : logarítmico – muito bom

T (n) O (n) : linear – é o melhor que se pode esperar se

algo não pode ser determinado sem examinar toda a entrada

T (n) O (n log n) : limite de muitos problemas práticos,

ex.: ordenar uma coleção de números

T (n) O (n2) : quadrático

T (n) O (nk) : polinomial – ok para n pequeno

T (n) O (kn), O (n!), O (nn) : exponencial – evite!

Simulações limitadas no tempo

Teorema: Se uma linguagem L é decidida em tempo T1 por uma

máquina de Turing M1 com fita duplamente infinita, então L é

decidida em tempo T2 por uma máquina de Turing clássica M2, com

uma fita. Neste caso, T2(n)=6T1(n)+3n+8 para todo n.

Teorema: Se uma linguagem L é decidida em tempo T1 por uma

máquina de Turing M1 com k fitas, então L é decidida em tempo T2

por uma máquina de Turing clássica M2, com uma fita. Neste caso,

T2(n)= 4T1(n)2+(4n+4k+3)T1(n)+5n+15.

Teorema: Se L é decidida em tempo T por alguma máquina de Turing

bidimensional, então L é decidida em tempo T’=O(T3) por uma

máquina de Turing de 4 fitas.

Corolário: Se L é decidida por uma máquina de Turing com k fitas em

tempo T, então L é decidida em tempo T’=O(T2) por uma máquina de

Turing clássica, com uma só fita.

Isso tudo significa que, dentro de certos limites, o tempo de resposta

da máquina que decide uma linguagem pode ter seu grau modificado

apenas escolhendo-se convenientemente o tipo de máquina de Turing

utilizada em sua implementação.

Outra leitura desses resultados é que, em tempo polinomial, todas as

variantes da Máquina de Turing podem ser simuladas usando-se o

modelo clássico, com uma única fita semi-infinita.

Complexidade no espaço

É possível transpor os métodos aqui esboçados para a avaliação da

resposta temporal das máquinas de Turing para um estudo similar,

visando à medida da quantidade de espaço que esses dispositivos

utilizam quando decidem a linguagem que representam.

Para isso o alvo é a obtenção da relação que existe entre o tamanho da

cadeia de entrada e a quantidade de fita (número de células da fita)

ocupada pela máquina ao decidir tal cadeia.

É preciso notar que existe uma interdependência entre a

complexidade espacial e temporal, que tal dependência reflete o

método utilizado pela máquina no processamento das suas cadeias de

entrada, e que nem sempre as funções que representam tais

complexidades de tempo e de espaço são “complementares”.

Assim, por exemplo, modificações em uma Máquina de Turing que

aumentem o seu tempo de processamento nem sempre garantem a

obtenção de outra máquina de Turing cujas necessidades de memória

de trabalho sejam inferiores.

Complexidade de Algoritmos

Como, de acordo com a Tese de Church, Máquinas de Turing são

representações formais de algoritmos, o estudo da complexidade das

Máquinas de Turing proporciona os fundamentos para a compreensão

da importante prática do estudo da complexidade de algoritmos.

Transpor para os algoritmos as métricas utilizadas no estudo da

complexidade das Máquinas de Turing é muito simples e intuitivo, e

se resume à estimativa do tempo de resposta do algoritmo através da

contabilização dos tempos de execução das instruções que o

compõem, em função das entradas que lhe são fornecidas, bem como

da quantidade de memória exigida para a representação e

manipulação dos seus dados, especialmente aqueles implementados

utilizando alocação dinâmica de memória. Este importantíssimo

assunto não é coberto aqui porque foge ao escopo desta disciplina.

Exemplo 1: Máquina de Turing com T(n)=2n+4

L # L # L

R NÃO

R

#

R SIM

R

a

b

b

#

a

#

#

_

>

#

Exemplo 2: Máquina de Turing com T(n)=2n2+13n+9

>L L R#L R#L R#

# # ##

R#L #L

RSIMR

# R#L #L

RNÃOR

_

_

#

PCS-2427 - Lógica Computacional – Aula 24 – prof. João José Neto Assunto: Classes de complexidade computacional1. Classe �� Definição: Define-se � (classe das linguagens decidíveis por máquina de Turing determinística, em tempo polinomial) como: �� = ∪∪∪∪ { TIME (nd) | d>0}. Os problemas da classe � são aqueles que permitem soluções computacionais realísticas (suas exigências de tempo de processamento e de espaço são razoáveis). Um problema L em � exige uma máquina de Turing determinística que o decida em tempo polinomial. 2. Classe �� Seja T: ΝΝΝΝ →→→→ ΝΝΝΝ uma função numérica, L ⊆ Σ* uma linguagem, e M = (K, Σ, ∆, s) uma máquina de Turing não determinística Definição: Diz-se que M aceita L em tempo não determinístico T se para todo w ∈ Σ*, w∈L se e somente se (s, #w#)�

Mt (h, vσu) para algum v, u ∈ Σ*,

σ ∈ Σ, e t ≤ T(�w�). Definição: NTIME(T) = classe das linguagens L aceitáveis em tempo não determinístico T (se houver uma máquina de Turing não-determinística que aceita L em tempo não-determinístico T). Definição: �� = classe das linguagens decidíveis não-determinísticamente em tempo polinomial – é definida como ��= ∪∪∪∪ {NTIME (nd) | d > 0}. Definição: Uma computação é considerada infinita se necessitar de mais de T(�w�) passos para a entrada w. Aplica-se na prática esta definição para a detecção de loops em algoritmos com resposta temporal conhecida.

Teorema: �� ⊆⊆⊆⊆ ∪∪∪∪ {TIME( dnr ): r, d > 0}. 3. Classe ��-Completo

Definição: Sejam Σ e ∆ alfabetos e f: Σ*→∆* uma função de cadeia para cadeia. Essa função f é dita computável em tempo T por uma máquina de Turing determinística com k fitas M=(K, Σ’, δ, s) se e somente

se (s, #x#,#, ..., #)�M

t (h, #f(x)#,#, ..., #), para qualquer cadeia x ∈ Σ* e para algum t≤T(�x�). Definição: Diz-se que f é computável em tempo polinomial se existir algum T que seja um polinômio.

Definição: Sejam as linguagens L1 ⊆ Σ1* e L2 ⊆ Σ2

*. Uma função τ: Σ1

* → Σ2* computável em tempo

polinomial é chamada transformação de L1 para L2 em tempo polinomial se e somente se, para cada cadeia x∈Σ1

*, x∈L1 ⇔ τ(x)∈L2 Definição: Uma linguagem L é dita ��-completa se e somente se L∈��, e se existir uma transformação polinomial de L’ para L para toda linguagem L’∈��. Teorema: Seja L uma linguagem ��-completa. Nessa situação, �� = �� ⇔ L∈�. (É pena que isso não signifique que ��=��, mas apenas que teria L∈� como condição necessária e suficiente. Está em aberto, até onde se sabe, se isso é verdade ou não). 4. Exemplos de Problemas ��-Completos: Há mais de 3000 problemas ��-completos catalogados (ver livro de Garey e Johnson). Suas definições são todas equivalentes entre si (ver livro do Sipser). Seu tratamento prático costuma ser feito através de métodos de aproximação. Três deles são: (i) Programação Linear Inteira – determinação da

solução de um sistema de equações lineares, cujos coeficientes e soluções são números inteiros (ver detalhes no livro do Lewis e Papadimitriou);

(ii) Ciclo Hamiltoniano – dado um grafo, determinação da existência ou não de um ciclo que percorra todos os seus vértices, passando uma só vez em cada um;

(iii) Caixeiro Viajante – determinação do ciclo hamiltoniano de comprimento mínimo para o grafo ponderado das conexões existentes entre as cidades de um conjunto dado.

Discute-se aqui só o problema (ii) acima mencionado.

Existência de Ciclo Hamiltoniano – Na determinação da existência de um ciclo hamiltoniano em um grafo, a cadeia de entrada para a máquina de Turing (determinística) decisora corresponde à descrição do grafo, no qual se deseja determinar a existência ou não de um ciclo hamiltoniano. Um possível algoritmo para resolver este problema de decisão determina todas as permutações dos n vértices do grafo, e verifica se cada uma delas é ou não um Ciclo Hamiltoniano. Sua complexidade temporal é O(n!), resposta de natureza fatorial. Não se conhece (ainda) solução polinomial para este problema. Para resolver polinomialmente problemas em �� necessita-se de uma máquina de Turing determinística capaz de verificar em tempo polinomial se uma cadeia de entrada qualquer pertence ou não à linguagem que representa o problema. Verificação de Ciclo Hamiltoniano – No problema de verificação de um ciclo hamiltoniano, a cadeia de entrada de uma máquina de Turing (determinística) verificadora corresponde à descrição do grafo, e a cadeia a ser verificada representa uma proposta de ciclo hamiltoniano, a ser testada. Isso também constitui um problema de decisão. É simples verificar se uma cadeia proposta representa ou não um ciclo Hamiltoniano: dada uma seqüência de n vértices, verifica-se primeiramente se ela é de fato uma permutação dos vértices do grafo, e em seguida, se cada par de vértices consecutivos constitui realmente uma aresta do mesmo. A complexidade deste algoritmo é O(nk), logo trata-se de outro caso de problema verificável em tempo polinomial. Definição: Um clique em um grafo não-orientado G=(V,E) é um subconjunto C⊆V do conjunto V de vértices tal que para cada par de vértices em C exite

uma aresta que os interliga. Em outras palavras, o subgrafo determinado por C é completo. Em alguns casos, o termo clique refere-se ao próprio subgrafo. Definição: Clique ou Subgrafo completo de um grafo G=(V,E) é um subconjunto C ⊆ V tal que para cada par de vértices em C exite em E uma aresta que os interliga. Definição: k-clique é um clique com k vértices. Definição: O problema clique consiste em encontrar um clique máximo, (ou, conforme o autor, determinar todos os cliques, ou um k-clique) em um grafo G não orientado. Trata-se de um problema da classe ��.

Um verificador V (polinomial) para o problema clique, com c sendo o clique a ser verificado: Para a entrada �� G, k��, c�� as 2 condições abaixo devem ser satisfeitas: (i) c deve ser um conjunto de k vértices do grafo (ii) o grafo deve contém todas as arestas que conectam os vértices em c. Apesar de ser bem complicado determinar a existência de um ciclo hamiltoniano num grafo G, dado o grafo e um ciclo, verificar se tal ciclo é um ciclo hamiltoniano de G pode ser feito em tempo polinomial. Apesar da complexidade do problema geral do clique, em certos casos favoráveis, como o dos grafos planares, a solução pode ser obtida em tempo polinomial. 5. Outros problemas �� (i) CLIQUE = {<G,k> | G é um grafo não orientado, com k-clique}; (ii) SUBSET-SUM = {<S,t> | S={x1, x2, ..., xk} e para algum {y1, y2, ..., ym} ⊆ {x1, x2, ..., xk} tem-se Σ yi = t}. Ex: <{4, 11, 16, 21, 27}, 25> ∈ SUBSET-SUM pois 4 + 11 = 25. SUBSET-SUM está em ��.

6. Classe �� ×××× Classe �� Todos os problemas de complexidade P são também de complexidade ��. O inverso “parece” não ser verdade. Porém não se pode afirmar isso. Alguns problemas “parecem” não ter soluções passíveis de serem obtidas

em tempo polinomial. Entretanto, os algoritmos podem simplesmente não ser conhecidos, ainda! 7. Redução de Problemas Redução é uma forma de converter um problema A em outro, B, de modo que a solução do problema B pode ser usada para resolver o problema A.

Notação: A ≤≤≤≤ B lê-se: A é redutível a B. Ex.1: o problema de ir de São Paulo a Paris se reduz ao de comprar uma passagem aérea de SP a Paris, que se reduz ao problema de conseguir dinheiro para isso,... Ex.2: o problema de medir a área de um retângulo se reduz ao problema de medir sua altura e largura (dado que efetuar uma multiplicação é tarefa elementar). A redução consiste em definir uma função f que reduz A em B, de forma que, se w é entrada de A, a solução de w por A é equivalente à solução de f(w) por B. Se A e B são problemas de decisão, então a solução de w por A é a mesma solução de f(w) por B.

Mostra-se que AMT é redutível a HALTMT: AMT ≤≤≤≤ HALTMT. Como AMT é indecidível, HALTMT também é. Teorema: Se A≤≤≤≤B e A é indecidível, então B também é.

Teorema: Se A≤≤≤≤B e B é decidível, então A é decidível. Prova: Seja MA a MT que decide A e MB a MT que decide B: MA = “Para a entrada w: (i) Calcule f(w). (ii) Execute MB em f(w). (iii) Se MB aceitar, aceite. Se não, rejeite.” Assim, se B é decidível, A também é decidível.

Teorema: Se A ≤ B e B∈��, então A∈��.

8. Problemas NP-completos Um problema B é NP-completo se: (i) B ∈ �� e (ii) ∀A∈�� pode ser reduzido a B em tempo polinomial (A ≤P B) . Teorema: Se B∈�� -completo e B∈P, então � = ��.

Teorema: Se B∈� �� -completo e B ≤P C e C∈� ��, então C∈�� -completo.

A classe �� -completo então relaciona todos os problemas de ��, através da redução. Se uma solução polinomial for encontrada para um problema de �� -completo, então todos os outros problemas de �� também poderão ser solucionados por um algoritmo polinomial, isto é, � =�� (provar-se-á que � =��). Para definir a classe �� -completo, deve-se provar que um problema está, de fato, em �� e que outros de �� podem ser reduzidos a ele em tempo polinomial (isto seria o “começo” da classe �� -completo).

Teorema: Se B∈�� -completo e B∈��, então � = ��.

Prova: 1. Se A ≤P B e B∈� �, então A∈� � (teorema de slide anterior). 2. Como B∈NP-completo, todo A∈��, A≤PB (def. de NP-completo). 3. Se B∈� e com 2 (todo A≤PB), então todo A∈�� e também a � (� = ��)�!

Teorema: Se B∈��-completo e B ≤P C e C∈��, então C∈�� -completo.

Prova: Dado que B∈��-completo e B≤PC e C∈��, para provar que C∈� �� -completo, basta mostrar que todo A∈��, A≤PC. 1. Como B∈�� -completo, então A≤PB. 2. Como B ≤P C, então A≤PB ≤PC. Portanto, A≤PC 9. Outras Classes de Complexidade PSPACE – problemas que podem ser decididos em espaço polinomial em uma MT determinística - analogia, para a complexidade espacial, com a classe �

EXPTIME – problemas que podem ser resolvidos em tempo exponencial. Conjectura sobre inclusão das classes:

�� <�� < SPACE < EXPTIME 10. Bibliografia específica desta aula Sipser, M. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing Company, Boston, MA. 1997. Garey, Michael R.; Johnson, David S. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness W. H. Freeman, 1979. ISBN 0-7167-1045-5 .

PCS-2427 – Lógica Computacional – Aula 25 – Prof. João José Neto Assunto: Exercícios de fixação dos conceitos Linguagens livres de contexto 1. Projetar uma gramática livre de contexto para a linguagem definida por uma

expressão regular 2. Desenhar a árvore de sintaxe de uma sentença dada, com base em uma

gramática fornecida. 3. Projetar uma gramática livre de contexto para uma linguagem cujas

propriedades são fornecidas através de uma descrição em linguagem natural.

4. Usando como base uma gramática fornecida, explicitar uma derivação mais à esquerda e uma derivação mais à direita para uma sentença fornecida.

5. Definir, através de uma gramática livre de contexto, a sintaxe das notações meta-lingüísticas utilizadas para a descrição de outras linguagens.

Linguagens e Gramáticas Sensíveis ao Contexto: 6. Construir gramáticas irrestritas para linguagens definidas pelas

propriedades de suas sentenças. Linguagens Recursivas e Recursivamente Enumeráveis. Gramáticas Irrestritas 7. Construir uma máquina de Turing capaz de decidir uma linguagem

especificada através da discrição das propriedades de suas sentenças. 8. Construir uma máquina de Turing capaz de semi-decidir uma linguagem

regular dada. 9. Provar para as linguagens recursivas e recursivamente enumeráveis a

propriedade de fechamento em relação às operações de concatenação, união e fecho de Kleene.

10. Dada uma gramática irrestrita através de suas produções, determinar qual é a linguagem gerada pela gramática e derivar, passo a passo, uma sentença de comprimento maior ou igual a 7. Desenhar o grafo de derivação desta sentença.

Forma normalizada das gramáticas

� �

�

� �

�

� �

�

� �

� Construir gramáticas para as linguagens especificadas através de propriedades de suas sentenças, e normalizá-las.

Equivalências entre dispositivos gramaticais e autômatos 12. Exemplificar, usando algumas linguagens regulares à escolha, cada uma

das possibilidades de representação acima enumeradas: a construção do conjunto usando os três operadores básicos, os dois tipos de autômatos finitos, as expressões regulares e os dois tipos de gramáticas lineares.

13. Estabelecer alguns mapeamentos entre as representações possíveis das linguagens regulares: (a) entre expressões regulares e autômatos finitos;

(b) entre autômatos finitos e gramáticas lineares; (c) entre gramáticas lineares e autômatos finitos.

14. Escolher uma linguagem livre de contexto não muito complexa e representá-la nas diversas formas acima mencionadas. Identificar, em cada tipo de representação, a maneira como são representadas as concatenações, as uniões, as estrelas de Kleene, os aninhamentos sintáticos.

15. Estabelecer ao menos uma forma sistemática de mapeamento de uma gramática livre de contexto para um autômato de pilha. Aplicar para uma linguagem livre de contexto a sua escolha.

16. Escolha uma linguagem dependente de contexto que não seja livre de contexto. Represente-a usando notação de conjuntos, usando uma gramática dependente de contexto qualquer, e depois outra na forma normalizada. Represente-a também usando uma máquina de Turing.

17. Repita o exercício anterior para uma linguagem irrestrita à sua escolha que não seja dependente de contexto.

Computabilidade gramatical 18. Projete uma máquina de Turing que represente a linguagem {

w∈{Ι}∈{Ι}∈{Ι}∈{Ι}∗∗∗∗ | | | | | | | |w|=|=|=|=n2222,,,, n∈∈∈∈� }. Use em seguida o método apresentado na demonstração do teorema 1 para converter essa máquina de Turing em uma gramática que compute a função ƒƒƒƒ(n)=n2. Exercite a máquina de Turing e a gramática para o caso de n=4. (Lembrar que quadrados perfeitos podem ser obtidos como a soma de um número finito de termos da série de números naturais ímpares, iniciada em 1).

19. Construa diretamente uma gramática que compute a mesma função do exercício anterior, sem construir antes a máquina de Turing. Exercite-a para n=4.

20. Repita o exercício 2 para outras funções naturais algébricas de uma variável, tais como: 5n, 3n2, 2n, n2+3n+2, nn, n!, etc.

Taxa de crescimento de funções 21. No estudo da complexidade computacional dos algoritmos, é freqüente

que se chegue a expressões contendo combinações de funções como as listadas a seguir. Determine a taxa de crescimento dessas funções, e coloque-as em ordem crescente de sua taxa de crescimento, indicando, se houver, quais delas apresentam taxas iguais de crescimento: n^2; 2^n; n*lg(n); n!; 4^n; n^n; n^(lg(n)); 2^(2^n); 2^(2*n); 2^(2^(n+1)); (2^(100))*n; 2^(1000) (usou-se o operador ^ para indicar potenciação, e * para indicar produto, e lg para indicar logaritmo em base dois)

PCS-2427 - Lógica Computacional – Aula 26 – prof. João José Neto Assunto: Lista de exercícios sobre Computabilidade, Algoritmos e Complexidade Computacional1. Construa um esquema de máquina de Turing que promova a concatenação de duas cadeias v e w sobre o alfabeto {x, y}, convertendo o conteúdo da sua fita de trabalho de #v#w# para #vw# 2. Usando blocos de construção elementares, construa um esquema de máquina de Turing converta o conteúdo de sua fita de #w# onde w é qualquer cadeia de x’s e y’s, na configuração #w#v#, onde v é o reverso da cadeia w. 3. Desenhe uma máquina de Turing M que reconheça as linguagens:

a) L(M) = {xny2nzn | n � 0}. b) L(M) = {xmynxmyn | m, n � 0}

4. Determine a linguagem que a MT ao lado reconhece. O que ocorre ao serem processadas as cadeias: xyxxy, xxx e yyy? 5. Mostre que a linguagem L = {wi | w2i não é aceito por MT} não é aceita por nenhuma máquina de Turing. (observar que L tem uma definição semelhante à definição da linguagem diagonalização, construída a partir de codificações das MT) 6. Mostre que o problema da parada, o conjunto de pares ordenados (M,w) tais que M pára (com ou sem aceitação) ao receber a entrada w é recursivamente enumerável, mas não recursivo. 7. Demonstre que as linguagens recursivas e as linguagens recursivamente enumeráveis são fechadas sob as operações de união, interseção, concatenação e fecho de Kleene. 8. Demonstra-se (Teorema de Rice) que nenhum dos dois problemas abaixo é decidível. Determinar se eles são ou não recursivamente enumeráveis: a) L(M) contém pelo menos duas sentenças? b) L(M) é infinita? 9. Mostrar que os problemas a seguir são decidíveis: a) o conjunto de códigos para máquinas de Turing que nunca fazem um movimento à esquerda

b) o conjunto de pares (M, w) tais que a máquina de Turing M, iniciada com a entrada w, nunca visita qualquer célula da fita mais de uma vez. 10. Mostre que o problema descrito pela linguagem seguinte é recursivamente enumerável: O conjunto de triplas (M1, M2, M3) tais que L(M1) = L(M2)L(M3); isto é, a linguagem da primeira é a concatenação das linguagens das outras duas máquinas de Turing. 11. Para cada problema abaixo, mostre se é recursivo, se é recursivamente enumerável mas não recursivo, ou se não é sequer recursivamente enumerável: a) O conjunto de todos os códigos correspondentes a máquinas de Turing que param em resposta a pelo menos uma particular entrada. b) O conjunto de todos os códigos correspondentes a máquinas de Turing que entram em loop em resposta a pelo menos uma particular entrada. 12. Pesquise em livros e sites web sobre teoria da computação um pouco mais sobre classes de complexidade de problemas computacionais. Com base nessas informações, identifique alguns problemas NP-completos em sua área de atuação. 13. Sem dúvida o mais famoso dos problemas NP-completos é o problema do caixeiro viajante. Pesquise, nas fontes de que você dispõe, uma formulação precisa deste problema e estude uma demonstração de que ele é NP-completo. Imite a formulação e a demonstração para outras variantes deste problema. 14. As linguagens recursivamente enumeráveis não são fechadas em relação à operação de complementação. Provar que elas são fechadas em relação às operações de união e de interesecção. 15. Pesquise, em boas fontes, informações técnicas sobre como determinar analiticamente a complexidade de algoritmos. Selecione um conjunto representativo de algoritmos clássicos de seu maior interesse e estude-os do ponto de vista de sua complexidade no tempo e no espaço. Relacione os resultados dessa pesquisa com os conhecimentos estudados nesta disciplina, com base na máquina de Turing. Existem excelentes

catálogos e manuais de análise da complexidade de algoritmos. 16. Escolha e estude rigorosamente um problema bem conhecido e não muito complexo (por exemplo, busca ou de ordenação de dados), e selecione dois algoritmos básicos que os resolvam, analisando-os comparativamente, de acordo com diversos critérios, objetivos e pontos de vista: a) modelando-o com máquina de Turing e avaliando o a resposta no tempo da computação efetuada por esta máquina em função do número de dados tratados; b) efetuando análise similar, relativa à quantidade de espaço em fita necessário para a decisão da cadeia de entrada; c) implementando o mesmo método de resolução em alguma linguagem de baixo nível ou de máquina, para a qual se disponha do tempo de execução que cada instrução consome, e avaliando quantitativamente o tempo de resposta deste programa em função do número de dados tratados; d) efetuando análise similar, relativa à quantidade de espaço em memória/disco necessário para que os dados de entrada sejam totalmente processados; e) implementando o mesmo método de resolução em alguma linguagem de alto nível, para cujas instruções se conheça o código-objeto gerado pelo compilador, e portanto o tempo necessário para a execução de cada instrução, e avaliando quantitativamente o tempo de resposta deste programa em função do número de dados tratados; f) efetuando para esse programa uma análise similar, referente às exigências de espaço em memória e/ou disco. g) avalie a sensibilidade dessa análise em relação a variações na representação física dos dados e sua organização lógica (por exemplo, representação como vetor de vetores, como matriz bidimensional ou como lista ligada, dados ordenados ou não, possibilidade de indexação direta ou acessos através de ponteiros ou similares, etc).

�# � yy

x

�#

�# � yy

x

�#

PCS-2427 – Lógica Computacional – Aula 27 – Prof. João José Neto Assunto: Exercícios para Revisão 1. Exprimir a linguagem L={x∈∈∈∈{0,1}* | x representa inteiros binários

positivos}: (a) por meio de uma expressão regular; (b) por meio de uma gramática linear à esquerda; (c) por meio de uma gramática linear à esquerda; (d) por meio de um autômato finito não-determinístico; (e) por meio de um autômato finito determinístico mínimo; (f) por meio de uma máquina de Turing.

2. Dada a gramática livre de contexto G=(V,ΣΣΣΣ,P,S) onde P = { S→→→→aSa , S→→→→bSb , S→→→→εεεε }, provar que esta gramática gera a linguagem �(G)={xxR

| x∈∈∈∈{a,b}*}. Montar um autômato de pilha que represente esta linguagem �(G). Montar um autômato de pilha estruturado que represente �(G). Finalmente, montar uma máquina de Turing que decida esta mesma linguagem��(G). Mostre que é impossível representar essa linguagem com um autômato finito.

3. Prove que, no exercício anterior, substituindo o terminal b por a, �(G) passa a representar uma linguagem regular. Apresente um autômato finito determinístico mínimo que represente tal linguagem.

4. Para a gramática G=(V,ΣΣΣΣ,P,S) onde P = { S→→→→ABC , AB→→→→0AD , AB→→→→1AE, DC→→→→B0C , EC →→→→B1C , D0→→→→0D , D1→→→→1D , E0→→→→0E , E1→→→→1E , AB→→→→εεεε , C→→→→εεεε , 0B→→→→B0 , 1B→→→→B1 }, mostrar que �(G)={xx|x∈∈∈∈{0,1}*}. Construir uma máquina de Turing que aceite todas as sentenças geradas por essa gramática e nada mais. Fazendo uma análise cuidadosa, mostrar por que a solução apresentada está correta.

5. Montar uma gramática G que gere a linguagem �(G)={ 0i1j0i1j | i, j > 0}, e mostrar que essa gramática gera todas as sentenças da linguagem em questão e nada mais. Construir uma máquina de Turing que aceite todas as sentenças geradas por essa gramática e nada mais. Mostrar por que a solução proposta está correta.

6. Mostre que a gramática G=(V,ΣΣΣΣ,P,S), onde P = { S→→→→a , S→→→→SbS } é ambígua. Apresente uma outra gramática livre de contexto não-ambígua que represente a mesma linguagem �(G). Construa autômatos de pilha que imitem o comportamento de cada uma das duas gramáticas.

7. A linguagem L={ aibjck | i=j ou j=k, onde i, j, k > 0}, livre de contexto, é inerentemente ambígua, no sentido de que para ela é impossível repetir o que foi feito no exercício anterior.

8. Diz-se de uma gramática livre de contexto que ela está em Forma Canônica de Pares (canonical two form) quando os lados direitos de suas regras forem de quatro tipos apenas: (a) uma seqüência de dois não-terminais; (b) um não-terminal isolado; (c) um terminal isolado; (d) a cadeia vazia. Adicionalmente, se S→→→→εεεε for uma das regras, sendo S a raiz da gramática, então nas regras dos tipos (a) e (b) o não terminal S não pode ser usado. Nessas condições, pede-se converter para esta forma canônica de pares a gramática cujas produções estão contidas no conjunto P= { S→→→→aAC , A→→→→aB , A→→→→bAB , B→→→→b , C→→→→c }.

9. Outra forma normal para gramáticas livres de contexto é a Forma Normal de Chomsky. Diz-se que uma gramática livre de contexto está na Forma Normal de Chomsky quando o lado direito de cada uma de suas regras é de uma das formas seguintes: (a) uma seqüência de dois não-terminais; (b) um terminal; (c) a cadeia vazia. Como no caso anterior, impõe-se que, caso a raiz seja definida como uma cadeia vazia, então o não-terminal correspondente à raiz não pode ser utilizado em regras do tipo (a). Pede-se converter para a Forma Normal de Chomsky a gramática do exercício anterior, dada pelas regras P={ S→→→→aAC , A→→→→aB , A→→→→bAB , B→→→→b , C→→→→c }.

10. Uma terceira forma normal para gramáticas livres de contexto, denominada Forma Binária Padrão, restringe o tipo de regra a uma única forma: uma seqüência de dois símbolos do vocabulário (ou seja, cada um é, indiferentemente, ou um terminal ou um não-terminal). Converter para esta forma binária padrão a mesma gramática dos exercícios anteriores, dada pelas regras P= { S→→→→aAC , A→→→→aB , A→→→→bAB, B→→→→b , C→→→→c }.

11. Outra forma normal famosa é a Forma Normal de Greibach, na qual os lados direitos de todas as regras de produção devem ser colocados em uma das formas seguintes: (a) S→→→→εεεε onde S é a raiz da gramática; (b) um terminal; (c) um terminal, seguido de uma seqüência de não-terminais, que não envolva a raiz S. Pede-se colocar na Forma Normal de Greibach a gramática cujo conjunto de produções é o seguinte: P={ S→→→→TbT , T→→→→TaT , T→→→→ca }.

Notas de Aula Pcs 2427

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