Notas.al
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ii
Sumário
1
2 SUMÁRIO
soma, matrizmatriz, somamatriz, mult. por escalaroposta, matrizmatriz, oposta
Capítulo 1
Matrizes I
1.1 Definições e Propriedadessec:permutacoes
Uma matriz é simplesmente uma tabela bidemensional de números, por exemplo amatriz com 2 linhas e 3 colunas:
A =
(1 2 34 5 6
)Dizemos que A ∈ M2,3. Para referir-se aos elementos de A ∈ Mm,n, escrevemos:A = (aij), onde i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n e ai,j ∈ R.
Definição 1.1.1 Para duas matrizes com as mesmas dimensões, A = (aij) ∈ Mm,n
e B = (bij) ∈ Mm,n , a sua soma e definido pela matriz C = (cij) ∈ Mm,n, cujaelementos são:
cij = aij + bij
Definição 1.1.2 Definimos também a matriz multiplicado por um escalar, c ∈ R, C =cA, como a matriz com os elementos:
cij = caij
A matriz oposta de A = aij , denotado −A, é obtida pondo c = −1 e tem elementos:(−aij).example:PseudoCodSomaMatr
Exemplo 1.1.1 Pseudocódigo: Soma e multiplicação por um escalar.
Em praticalmente todas as linguagens de programação indexa os elementos de uma ma-triz, A ∈M i,j com indices, i, j, variando entre 0, ...,m−1 respectivamente 0, ..., n−1.Assim, um pseudo-código para somar duas matrizes A,B ∈Mm,n:
for (i=0;i<m;i++){
for (j=0;j<n;j++)
3
4 CAPÍTULO 1. MATRIZES I
produto, matrizmatriz, produtomatriz, transpostotransposto, matrizmatriz, simétricasimetria, matriz
{C[i][j]=A[i][j]+B[i][j];
}}
De mesma forma para a multiplicação com um escalar, c:
for (i=0;i<m;i++){
for (j=0;j<n;j++){
B[i][j]=c*A[i][j];}
}
3
Definição 1.1.3 Pelo produto entre duas matrizes compatíveis, A ∈ Mm,p e Bp,n,entendemos a matriz, C com elementos:
cij =
p∑k=1
aikbkj
example:PseudoCodMultMatr
Exemplo 1.1.2 Pseudocódigo: Multiplicação de matrizes.
for (i=0;i<m;i++){
for (j=0;j<n;j++){
C[i][j]=0.0;for (k=0;k<p;k++){
C[i][j]=C[i][j]+A[i][k]*B[k][j];}
}}
3example:Vetor coluna
Exemplo 1.1.3 Vetor coluna.
Convencionalmente um vetor, v, é considerado como uma matriz coluna, ou seja umamatriz com apenas uma coluna.
3
A transposta, AT ∈ An,m, de uma matriz, A = (aij) ∈ Am,n, é obtida escrevendosuas linhas em colunas:
AT = (aji)
Uma matriz cuja AT = A, é chamado de simétrica.example:MatrizColLin
Exemplo 1.1.4 Matriz coluna e matriz linha.
1.2. MATRIZES NOTÁVEIS 5
Dado alguns vetores: v1,v2, . . . ,vn ∈ Rn as vezes é conveniente organizar-los emcolunas de uma matriz:
V =
| | |v1 v2 . . . vn
| | |
,
ou em linhas:
V′ =
−− v1 −−−− v2 −−
· · ·−− vn −−
Observamos: V′ = VT .Da mesma forma, podemos para uma matriz data, A associar seus vetores linhas, respec-tivamente seus vetores colunas:
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
...am1 am2 · · · amn
=
| | |c1 c2 . . . cm| | |
=
−− l1 −−−− l2 −−
· · ·−− ln −−
3example:ProdEscalar.1
Exemplo 1.1.5 O produto escalar como um produto de matrizes.
Sendo v,w dois vetores em colunas, podemos escrever o produto escalar entre os dois:
v ·w = v1w1 + v2w2 + · · ·+ vnwn = vTw
Observamos que o produto v wT tera como resultado o matriz: (viwj) ∈Mn,n.
3
1.2 Matrizes Notáveissec:notaveis
6 CAPÍTULO 1. MATRIZES I
soma, matrizmatriz, somamatriz, mult. por escalaroposta, matrizmatriz, oposta
Capítulo 2
Matrizes Isec:permutacoes
Uma matriz é simplesmente uma tabela bidemensional de números, por exemplo amatriz com 2 linhas e 3 colunas:
A =
(1 2 34 5 6
)Dizemos que A ∈ M2,3. Para referir-se aos elementos de A ∈ Mm,n, escrevemos:A = (aij), onde i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n e ai,j ∈ R.
Definição 2.0.1 Para duas matrizes com as mesmas dimensões, A = (aij) ∈ Mm,n
e B = (bij) ∈ Mm,n , a sua soma e definido pela matriz C = (cij) ∈ Mm,n, cujaelementos são:
cij = aij + bij
Definição 2.0.2 Definimos também a matriz multiplicado por um escalar, c ∈ R, C =cA, como a matriz com os elementos:
cij = caij
A matriz oposta de A = aij , denotado −A, é obtida pondo c = −1 e tem elementos:(−aij).example:PseudoCodSomaMatr
Exemplo 2.0.1 Pseudocódigo: Soma e multiplicação por um escalar.
Em praticalmente todas as linguagens de programação indexa os elementos de uma ma-triz, A ∈M i,j com indices, i, j, variando entre 0, ...,m−1 respectivamente 0, ..., n−1.Assim, um pseudo-código para somar duas matrizes A,B ∈Mm,n:
for (i=0;i<m;i++){
for (j=0;j<n;j++){
C[i][j]=A[i][j]+B[i][j];}
}
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8 CAPÍTULO 2. MATRIZES I
produto, matrizmatriz, produtomatriz, transpostotransposto, matrizmatriz, simétricasimetria, matriz
De mesma forma para a multiplicação com um escalar, c:
for (i=0;i<m;i++){
for (j=0;j<n;j++){
B[i][j]=c*A[i][j];}
}
3
Definição 2.0.3 Pelo produto entre duas matrizes compatíveis, A ∈ Mm,p e Bp,n,entendemos a matriz, C com elementos:
cij =
p∑k=1
aikbkj
example:PseudoCodMultMatr
Exemplo 2.0.2 Pseudocódigo: Multiplicação de matrizes.
for (i=0;i<m;i++){
for (j=0;j<n;j++){
C[i][j]=0.0;for (k=0;k<p;k++){
C[i][j]=C[i][j]+A[i][k]*B[k][j];}
}}
3example:Vetor coluna
Exemplo 2.0.3 Vetor coluna.
Convencionalmente um vetor, v, é considerado como uma matriz coluna, ou seja umamatriz com apenas uma coluna.
3
A transposta, AT ∈ An,m, de uma matriz, A = (aij) ∈ Am,n, é obtida escrevendosuas linhas em colunas:
AT = (aji)
Uma matriz cuja AT = A, é chamado de simétrica.example:MatrizColLin
Exemplo 2.0.4 Matriz coluna e matriz linha.
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diagonal, matrizmatriz, diagonaldiagonal superior, matrizmatriz, diagonal superiordiagonal inferior, matrizmatriz, diagonal inferiormatriz nulaidentidade, matrizmatriz de identidade
Dado alguns vetores: v1,v2, . . . ,vn ∈ Rn as vezes é conveniente organizar-los emcolunas de uma matriz:
V =
| | |v1 v2 . . . vn
| | |
,
ou em linhas:
V′ =
−− v1 −−−− v2 −−
· · ·−− vn −−
Observamos: V′ = VT .Da mesma forma, podemos para uma matriz data, A associar seus vetores linhas, respec-tivamente seus vetores colunas:
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
...am1 am2 · · · amn
=
| | |c1 c2 . . . cm| | |
=
−− l1 −−−− l2 −−
· · ·−− ln −−
3example:ProdEscalar.1
Exemplo 2.0.5 O produto escalar como um produto de matrizes.
Sendo v,w dois vetores em colunas, podemos escrever o produto escalar entre os dois:
v ·w = v1w1 + v2w2 + · · ·+ vnwn = vTw
Observamos que o produto v wT tera como resultado o matriz: (viwj) ∈Mn,n.
3
Destacamos as matrizes quadráticas: Mn,n, e entre essas as matrizes diagonais:λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0...
......
0 0 . . . λn
Uma matriz quadrática é dito diagonal superior (inferior), se contém zeros abaixo(acima) da diagonal:
a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n...
......
0 0 . . . ann
a11 0 . . . 0a21 a22 . . . 0
......
...an1 an2 . . . ann
Destacamos ainda a matriz nula, 0 = (0) ∈Mm,n, e a matriz de identidade (quadrática):
10 CAPÍTULO 2. MATRIZES I
kroneckers delta, $\delta_ij$operação em linhaoperação em coluna
I = (δij) =
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
......
0 0 . . . 1
Aqui δij é kronecker’s delta, definido por:{
1, i = j0, i 6= j
2.1 Operações Elementaressec:opelem
Quanto ao cálculo de determinantes e resolução de sistemas lineares, precisaremos deas seguintes operações elementares.deg:oplinhacol?? Por uma operação de linha em uma matriz, entenderemos a substituição da linha i,li, por li + clj , c ∈ R e j 6= i. Dizemos: Linha i mais c linha j.Definição 2.1.1 De mesma forma, por uma operação de coluna em uma matriz, enten-deremos a substituição da coluna i, ci, por ci + ccj , c ∈ R e j 6= i. Dizemos: Colunai mais c coluna j.
example:opelemrep
Exemplo 2.1.1 Representação matricial de operações elementares.
Considere a matriz com diagonal com valor 1, e apenas um elemento, i > j, acima dadiagonal não zero:
Rij
=
1 · · · 0 · · · 0 · · · 0...
......
...0 · · · 1 · · · c · · · 0...
......
...0 · · · 0 · · · 1 · · · 0...
......
...0 · · · 0 · · · 0 · · · 1
Dado uma matriz A, efetuando o produto AR
ijcorresponde a efetuar a operação coluna:
c′j := cj + cci, quanto o produto RijA corresponde a efetuar a operação linha: l′j :=
lj + cli.
3
Capítulo 3
Determinantes
11
12 CAPÍTULO 3. DETERMINANTES
permutaçãopermutaç\~ao, composiç\~aocomposiç\~ao, permutaç\~ao
Capítulo 4
Determinanteschap:determinantes
Para definir determinantes com mais facilidade, consideramos primeiramente permu-tações.
4.1 Permutaçõessec:permutacoes
Definição 4.1.1 Uma permutação dos números 1, . . . , n é simplesmente os mesmosnúmeros escrito em ordem diferente.
Como um exemplo, (1, 3, 2) é uma permutação dos números 1, 2, 3. Por n números,existe n! permutações.example:S31
Exemplo 4.1.1 As permutações de 1, 2, 3.
Existe 3! = 6 permutações dos números 1, 2, 3, são elas:
(1, 2, 3) (1, 3, 2) (2, 1, 3) (2, 3, 1) (3, 1, 2) (3, 2, 1)
3
Para efetuar calculus com permutações, é conveniente usar a seguinte notação para apermutação (j1, j2, . . . , jn): (
1 2 . . . nj1 j2 . . . jn
)Este equação deve ser lido em colunas: 1 7→ j1, 2 7→ j2, e assim por diante. Ressalta-mos que usando esta notação, a ordem dos colunas não importa, ou seja as permu-tações: (
1 2 . . . nj1 j2 . . . jn
) (2 1 . . . nj2 j1 . . . jn
),
são considerados iguais. Usando a notação, podemos definir a composição de duaspermutações (que é de novo uma permutação):
13
14 CAPÍTULO 4. DETERMINANTES
grupogrupo simétrica, $S_n$ (
1 2 . . . nj1 j2 . . . jn
)◦(. . . j1 . . . j2 . . . jn . . .. . . kj1 . . . kj2 . . . kjn . . .
)=
(1 2 . . . nkj1 kj2 . . . kjn
)Denotamos por Sn os n! permutações de 1, . . . , n. Com a composição ◦ acima, esteconjunto forma um grupo, isto é:
1. Tem elemento neutro, e ∈ Sn:
e =
(1 2 . . . n1 2 . . . n
),
pois: e ◦ x = x ◦ e = x, ∀x ∈ Sn.
2. Todo elemento em Sn tem inverso:(1 2 . . . nj1 j2 . . . jn
)−1=
(j1 j2 . . . jn1 2 . . . n
)3. Associatividade. Por todo x, y, z ∈ Sn:
x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z
O grupo de permutações, Sn, é chamado o grupo simétrico.example:S32
Exemplo 4.1.2 O grupo S3.
Tomando como exemplo, S3:
e = (1, 2, 3) a = (3, 1, 2) a2 = (2, 3, 1) b = (1, 3, 2) b2 = (3, 2, 1) ba2 = (2, 1, 3)
Representados por:
e =
(1 2 31 2 3
)
a =
(1 2 33 1 2
)a2 =
(1 2 32 3 1
)
b =
(1 2 31 3 1
)ba =
(1 2 33 2 1
)ba2 =
(1 2 32 1 3
)Observando que: a3 = b2 = e e ab = ba2, formamos a tábua da (S3, ◦):
◦ e a a2 b ba ba2
e e a a2 b ba ba2
a a a2 e ba2 b baa2 e a2 a b ba2 bab b ba ba2 e a a2
ba ba ba2 b a2 e aba2 ba2 b ba a a2 e
3
4.2. TRANSPOSIÇÕES 15
matrizes de permutaçãoisomorfismotransposição
example:PM
Exemplo 4.1.3 Matrizes de permutação.
Permutações também podem ser representados por matrizes quadráticas. Consideramosas matrizes:
I =
1 0 00 1 00 0 1
A =
0 0 11 0 00 1 0
A2 =
0 1 00 0 11 0 0
B =
1 0 00 0 10 1 0
BA =
0 0 10 1 01 0 0
BA2 =
0 1 01 0 00 0 1
O Leitor pode estabelecer, que esses matrizes obedecem relações similares aos dos ele-mentos do grupo simétrica S3: A3 = B2 = I e A B = B A2. Em conseqüência, atábua do grupo composto por estes matrizes com composição multiplicação de matrizes,é estruturalmente idêntico a tábua do exemplo anterior.
3
O resultado do exemplo anterior extende-se facilmente para n > 3. Em termos maismatemáticos, dizemos que a bijeção definido por:
Φe = I Φa = A Φb = B,
fornece um isomorfismo entre os dois grupos, e:
Φx◦y = Φx ∗Φy,
onde ∗ denota multiplicação de matrizes. Podemos afirmar, que os dois grupos secomportam identicalmente, e assim são matematicamente ’iguais’. A conexão entre osdois grupos se manifesta em:
Φx
123
= x
4.2 Transposiçõessec:transposicoes
Transposições são permutações onde trocamos apenas dois números:
(ij) =
(1 · · · i · · · j · · · n1 · · · j · · · i · · · n
)Teorema 4.2.1 Qualquer permutação, p, pode ser escrito como um produto de trans-posições, t1, . . . , tq:
p = t1 ◦ . . . ◦ tq
16 CAPÍTULO 4. DETERMINANTES
permutaç\~ao par/\’\imparsubgruposinal de permutaç~aodeterminante, definição
Prova: Veja XXX
2
Estacamos que essa fatorização de permutações em termos transposições não é única,pois:
(ij)2 = e
e em efeito, podemos inserir dois transposições: t ◦ t qualquer lugar na fatorização.Assim, a quantia de transposições na fatorização tampouco é única, porém é sempre oupar ou ímpar, o que leva nos a uma classificação das permutações:
Definição 4.2.1 Uma permutação é chamado de (ím)par, se ele pode escrito como umproduto um número (ím)par transposições.
example:S33
Exemplo 4.2.1 S3 revisitado.
Com as definições no Exemplosec:permutacoes??.0, os elementos: e, a e a2 são pares, quanto b, ba e ba2
são ímpares. Assim: A3 = {e, a, a2}.
3
Definição 4.2.2 Um subconjunto, G′ de um grupo (G, ◦), é chamado um subgrupo deG, se é fechado ao respeito da composição ◦:
x ◦ y ∈ G” ∀x, y ∈ G′
Um subgrupo, claro, é de novo um grupo. Como exemplo de subgrupo, mencionamosque o conjunto de permutações pares, An ⊂ Sn, é um subgrupo em Sn.
Definição 4.2.3 Por o sinal de uma permutação, (j1, . . . , jn) entendemos a função,θ : Sn 7→ {−1, 1}:
θ(j) =
{1, (j1, . . . , jn) ∈ An
−1, (j1, . . . , jn) /∈ An
4.3 Determinantessec:determinantes
Para definir o determinante do uma matrriz, A = (aij) ∈Mn,n, consideramos de novoo grupo simétrico, Sn = {p1, . . . , pn!}. Por cada pk = (j1, . . . , jn) ∈ Sn formamos oproduto:
dk = θ(j1, . . . , jn)a1j1 · · · anjn , k = 1, . . . , n! (4.1) eq:defdetterm
Observamos que este produto contém exatamente um fator de cada linha (e de cadacoluna) da matriz.
Definição 4.3.1 O determinante do matriz A = (aij) ∈ Mn,n, e definido como asoma dos termos, dk, em Equaç ao (
eq:defdetterm??):
detA =∑
(j1,...,jn)∈Sn
θ(j1, · · · , jn)a1j1 . . . anjn (4.2) eq:defdet
4.3. DETERMINANTES 17
Comentário: É claro, que também podiamos definir o determinante ’por linhas’ emlugar de ’por colunas’:
detA =∑
(j1,...,jn)∈Sn
θ(j1, · · · , jn)aj11 . . . ajnn (4.3) eq:defdetrev
example:Det2
Exemplo 4.3.1 Determinantes de ordem 2.
O grupo S2 contém apenas 2! = 2 elementos; um par e um ímpar:
e =
(1 21 2
)a =
(1 22 1
)Assim o determinante da matriz A = (aij) ∈M2,2, é:
detA =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = θ(e)a11a22 + θ(a)a12a21 = a11a22 −12 a21
3example:Det3
Exemplo 4.3.2 Determinantes de ordem 3.
Usando os resultados dos Exemplossec:permutacoes??.0,
sec:permutacoes??.0 e
sec:transposicoes??.0, temos para matrizes quadráticas de
ordem 3:
detA =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ =θ(e)a11a22a33 + θ(a)a13a21a32 + θ(a2)a12a23a31+
θ(b)a11a23a32 + θ(ba)a13a22a31 + θ(ba2)a12a21a33 =
a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31 − a11a23a32 − a13a22a31 − a12a21a33
3example:Perm2
Exemplo 4.3.3 Determinantes dos matrizes de permutação de ordem 3.
Para as matrizes de permutações em Exemplosec:determinantes??.0, temos por todo x ∈ S3:
detϕ(x) = θ(x)
Em detalhes:det I = detA = detA2 = 1
E:detB = detBA = detBA2 = −1
3
Para determinantes de ordem superior a 3, a definiçã do determinante rapidamente ficaineficiente. Por isso estabelecemos no seguinte, algumas resultados facilitando o seucálculo.
18 CAPÍTULO 4. DETERMINANTES
Teorema 4.3.1 O determiante de uma matriz diagonal, diagonal superior ou diagonalinferior é o produto dos elementos na diagonal:∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n...
......
0 0 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 . . . 0a21 a22 . . . 0
......
...an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11a22 · · · ann
Prova: O termo correspondendo ao elemento neutro em Sn, (1, 2, . . . , n) (par), con-tribui para o determinante com a parcela:
d = a11a22 · . . . · ann
Por cada termo conter exatamente um elemento de cada linha e de cada coluna domatriz, se o termos contém um elemento abaixo do diagonal, necessariamente tambémcontém um elemento acima do diagonal. Porém, no mínimo um desses e elemento ézero, assim cancelando o produto.
2
teo:dettrocar Teorema 4.3.2 Se a matrix quadrática A′ resulta da matriz A, trocando duas linhas(colunas), vale para os determinantes: detA′ = −detA.
Prova: Supomos que estamos trocando as duas colunas i < j. Para o matriz A ostermos aparecendo na Equação (
eq:defdetterm??) são:
dk = θ(j1, . . . , ji . . . , jj . . . , jn)a1j1 · · · aiji · · · ajjj · · · anjn
E para a matriz A′:
d′k = θ(j1, . . . , jj . . . , ji . . . , jn)a1j1 · · · ajjj . . . aiji · · · anjn =
−θ(j1, . . . , ji . . . , jj . . . , jn)a1j1 · · · aiji · · · ajjj · · · anjn = −dkAssim: detA′ =
∑d′k =
∑−dk = −
∑dk = −detA.
2
Teorema 4.3.3 Se a matriz A′ resulta da matriz A multiplicando os elementos de umalinha (coluna) com α ∈ R: detA′ = α detA.
Prova: Supondo que multiplicamos com α na linha i, temos:
d′k = θ(j1, . . . , ji . . . , jn)a1j1 · · · (α)aiji · · · anjn = αdk
Então: detA′ =∑d′k =
∑αdk = α
∑dk = α detA.
2
Em efeito, podemos colocar fatores comuns em linhas (colunas) em evidência.
4.3. DETERMINANTES 19
Teorema 4.3.4 Se uma matriz tem duas linhas (colunas) iguais, seu determinate é 0.
Prova: Se a matriz contém duas colunas (linhas) iguais, se trocamos esses, o valordo determinante é inalterado. Porém pelo Teorema (
teo:dettrocar??) efetuando essa operação o
determinante muda sinal. Assim, seu valor somente pode ser 0.
2
Teorema 4.3.5 Se uma matriz tem duas linhas (colunas) proporcionais, seu determi-nante é zero:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1i . . . ca1i . . . a1na21 . . . a2i . . . ca2i . . . a2n
......
......
an1 . . . ani . . . cani . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n...
......
ai1 ai2 · · · ain...
......
cai1 cai2 · · · cain...
......
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0
Prova: Colocando o fator de proporcionalidade, c, em evidência, o determinante re-sultante tem duas linhas (colunas) iguais e assim seu valor é zero.
2
teo:detsum Teorema 4.3.6 Vale as seguintes fórmulas:∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1j + b1j . . . a1na21 . . . a2j + b2j . . . a2n
......
...an1 . . . anj + bnj . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1j . . . a1na21 . . . a2j . . . a2n
......
...an1 . . . anj . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . b1j . . . a1na21 . . . b2j . . . a2n
......
...an1 . . . bnj . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣E: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1n...
......
ai1 + bi1 ai2 + bin . . . ain + bin...
......
an1 ani . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1n...
......
ai1 ai2 . . . ain...
......
an1 ani . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b11 b12 . . . b1n...
......
bi1 bi2 . . . bin...
......
bn1 bni . . . bnn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
20 CAPÍTULO 4. DETERMINANTES
Prova: Ambos são conseqüências imediatas da definição como uma soma de termosde produtos - da forma da equação (
eq:defdetterm??) - de um elemento de cada linha (e de cada
coluna) da matriz.
2
Teorema 4.3.7 Efetuando operações elementares - em linhas, tanto como em colunas- não altera o valor do determinante.
Prova: Substituindo por exemplo linha li com li+αlj , usando a teorema anterior podeser escrito como uma soma de dois determinantes:∣∣∣∣∣∣∣∣
......
......
l1 · · · li + αlj · · · lj · · · ln...
......
...
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣...
......
...l1 · · · li · · · lj · · · ln...
......
...
∣∣∣∣∣∣∣∣+ α
∣∣∣∣∣∣∣∣...
......
...l1 · · · lj · · · lj · · · ln...
......
...
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
......
......
l1 · · · li · · · lj · · · ln
......
......
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Porque o valor do ultimo determinante e 0, pois tem duas colunas iguais. O caso deoperação em colunas pode ser tratado de mesmo jeito.
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4.4 Subdeterminantes e Expansão de Laplacesec:subdeterminantes
Definição 4.4.1 Dado uma matriz quadrática, A ∈ Mn,n, definimos a sua subdeter-minante, Cij , como o determinante resultante de apagar a linha i e a coluna j, e seucomplemento:
Aij = (−1)i+jCij
Usando subdeterminantes, podemos ’reduzir’ o cálculo de um determinante de ordemn, para o cálculo de n subdeterminantes de ordem n− 1:
Teorema 4.4.1 Vale a Expansão de Laplace em linha i:
detA = ai1Ai1 + . . .+ ainAin =
n∑k=1
aikAik
4.4. SUBDETERMINANTES E EXPANSÃO DE LAPLACE 21
E Expansão de Laplace em coluna j:
detA = a1jA1j + . . .+ anjAnj =
n∑k=1
akjAkj
Prova: A prova pode ser encontrado em CCCC
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Corolário 4.4.1 Se i 6= i′:
ai1Ai′1 + . . .+ ainAi′n = 0
E se j 6= j′:aljA1j′ + . . .+ anjAnj′ = 0
Prova: O valor dos determinantes, são de determinantes com duas linhas (colunas)iguais.
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