O Modelo Atômico de Bohr

A estrutura do átomo revelada.

O Espectro Atômico

Hidrogênio

Hélio

Mercúrio

Radiação Contínua

O Espectro AtômicoA assinatura do átomo

Produção e observação do espectro: Descarga elétrica passa através de gás

monoatômico contido em um tubo. Colisões com elétrons e mesmo entre si

levam os átomos a energias mais altas. Ao retornarem para o estado normal os

átomos liberam esse excesso de energia na forma de radiação eletromagnética.

Ao passar por uma rede de difração (ou prisma) o espectro é separado em seus comprimentos de onda e registrado em uma placa fotográfica para medição.

A natureza do espectro atômico: Ao contrário do espectro contínuo emitido

por corpos sólidos a altas temperaturas, o espectro atômico revela-se como um conjunto discreto de comprimentos de onda.

Emissão característica: Átomos de diferentes elementos

revelam espectros discretos específicos. Informação de grande importância

prática na identificação atômica. Contudo apresenta em geral grande

complexidade com espectros de centenas de linhas.

O átomo de HidrogênioA Série de Balmer

O espectro atômico do Hidrogênio O espectro do H é o mais simples. Parte do espectro característico do H se

localiza na região do visível. Observa-se que os ’s diminuem em

separações cada vez menores, indicando uma série que converge para um valor limite 0= 364,56 nm.

J. Balmer (1885) estabeleceu empiricamente a fórmula que reproduz os valores da série de linhas para n= 3, 4, 5 ...

42

2

0 n

n

A fórmula de Rydberg J.R. Rydberg (1890) desenvolveu

uma forma mais conveniente de expressar as séries em termos do recíproco do comprimento de onda ( = 1/)

Para a série de Balmer:

RH= (10.967.757 1) m-1 (por medidas espectroscópicas)

22

1

2

11

nRH

O Átomo de BohrModelo para o átomo de um elétron

Os postulados de Bohr (1913)1. O elétron orbita o núcleo em

movimento circular sob a ação da força coulombiana conforme as leis da mecânica clássica.

2. Só é possível ao elétron mover-se em órbitas para as quais o seu momento angular seja múltiplo inteiro de ћ (h/2).

3. Apesar do elétron estar constantemente acelerado, ele não irradia.energia eletromagnética na órbita permitida .

4. Radiação eletromagnética só é liberada quando o elétron “salta” de forma descontínua de uma órbita com energia Ei para outra com energia Ef, tal que a frequência da radiação emitida é dada por: = (Ei – Ef)/h.

Desenvolvimento do modelo Núcleo: carga +Ze e massa M Elétron: carga –e e massa m (m << M)

em órbita circular de raio r. Fc= mv2/r = (1/40).Ze2/r2 L= mvr= cte. Quantização: L= n.ћ (n= 1, 2, 3 ...)

Raio e velocidade das órbitas

Energia total E= U + K

2

22

04mZe

nr

n

Ze2

04

1v

r

ZeU

0

2

4

r

ZeK

0

2

8

A solução de BohrÁtomo nuclear estável e espectro explicados

Níveis discretos de energia

O Espectro atômico discreto Salto quântico do nível ni nf

Constante de Rydberg calculada pelo modelo para o H, com os valores conhecidos das constantes universais:

2220

42 1

2)4( n

emZEn

223

422

0

11

44

11

if

fi

nnc

emZ

hc

EE

c

22

2 111

if nnZRk

mch

meR 7

320

4

10096897,18

A solução de BohrA precisão do modelo para o átomo de Hidrogênio

Núcleo de massa finitaAté para o H (M 2000.m), a aproximação M é bastante razoável.

Contudo pode-se adotar a correção de massa finita do núcleo com (M 1836.m), substituindo o valor da massa do elétron pela sua massa reduzida nas equações:

m.M/(m+M) A Cte. de Rydberg corrigida:

RM R./m= 10.968.100 m-1

Valor que concorda com dados de medidas espectroscópicas em cerca de 3 partes por 100.000!RH= (10.967.757 1) m-1

Como apresentado antes.

O caso do Deutério (D) Isótopo do H com 1 neutron: MD 2M Produz um deslocamento das linhas ()

do espectro para valores ligeiramente menores.

Linha H (vermelha) da série de Balmer para D:

O Experimento de Franck-HertzComprovação independente dos estados quantizados de energia do átomo

J. Franck e G. Hertz (1914) Tradução comentada - Copyright ©

Michael Richmond

Simulação do Experimneto de Franck-Hertz

Generalização das Regras de Quantização

Casos particularesPlanck: E= nh Bohr: L= nћ

Regras de Wilson e Sommerfeld (1916) Para todo sistema físico, cujas coordenadas

sejam funções periódicas do tempo, a condição de quantização de cada

coordenada ser tal que:

Sendo q a coordenada em questão e pq o momento associado a q.

Integração sobre um ciclo da coordenada.

hndqp qq

• Caso do OHS unidimensionalPartícula submetida a uma força tipo: F= -kx

Energia total:E= K + V

Neste caso:

e como

Temos finalmente:

Reproduzindo a Lei de quantização de Planck.

2

.

2

22 xk

m

pE x

nhmk

Edxpx

2

2mk

nhE

Generalização das Regras de Quantização

• Caso da partícula em órbita circularElétron atômico em órbita de raio r.

Momento angular: L= mvr= cte.

Neste caso:

Assim:

Temos finalmente:

Reproduzindo a lei de quantização de Bohr.

• Interpretação de de Broglie (1924)Para a regra de quantização de Bohr.

L= mvr = pr = nh/2πmas, p= h/λB

então: 2πr= nλB (n= 1, 2, 3 ...)

As órbitas permitidas, aos elétrons atômicos, são aquelas para as quais a circunferência contém, exatamente um número inteiro de comprimentos de onda de de Broglie.

Lddqpq

nhLdL

22

0

2

hnL

As ondas de de Broglie e as órbitas de Bohr

O Modelo de SommerfeldA estrutura fina do átomo de hidrogênio

Órbitas elípticasSemi-eixo maior: a

Semi-eixo menor: b

Distância entre focos: F1-F2= 2c

Excentricidade: e= c/a

Regras de Quantização

E uma 3ª equação p/força centrípeta.

...)3,2,1( nnLhnLd

...)3,2,1,0()1/( rrrr nnbaLhndrp

O Modelo de SommerfeldA estrutura fina do átomo de hidrogênio

A solução de Sommerfeld Forma e tamanho das órbitas:

Números quânticos:

n= nθ + nr

(principal)

nθ= 1, 2, 3 ...n (azimutal)

Energia total:

Estados degenerados de energia (mesmo n). Ou seja, mesma energia para diferentes órbitas com mesmo nº quântico principal.

n

nab

Ze

na

2

22

04

2220

42

2

1

4 n

eZE

O Modelo de SommerfeldRemovendo a degenerescência

Correção relativísticas da me

Cálculo de Bohr mostrou que: v/c ≈ 10-2

produz correções de ≈ (v/c)2 em me e E

Que é da ordem (10-4) de separação das linhas de estrutura fina, observadas no espectro do hidrogênio!

Velocidade média dos elétronsDependerá da elipcidade da órbita (nθ)

Recalculando a Energia total:

Onde,

É a constante de estrutura fina.

A estrutura fina do hidrogênio

As transições observadas são representadas pelas setas de linha cheia.

Transições permitidas são definidas pela seguinte regra de seleção:

nθi – nθf = 1

nnn

Z

n

eZE

4

311

2

1

4

22

2220

42

137

110297,7

4

1 32

0

c

e

O Princípio da CorrespondênciaUma justificativa para as regras de seleção

Enunciado de Bohr (1923)1. As previsões da teoria quântica para o comportamento de

qualquer sistema físico deve corresponder às previsões da física clássica no limite em que os números quânticos que especificam o estado do sistema se tornem muito, muito grandes.

2. Uma regra de seleção deve ser verdadeira para toda a faixa do número quântico considerado. Assim, qualquer regras que sejam necessárias para obter a correspondência no limite clássico (n grande) se aplica igualmente no limite quântico (n pequeno).