O POVO NO ENEM 2012 Fasc 02

02Matemática e suas TecnologiasMatemáticaAdriano Aquino, Carlos Mattos, Márcio Rebouças e Samyo Praciano

Un

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Ab

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do

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a. É

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ibid

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plic

ação

ou

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uçã

o d

esse

fas

cícu

lo.

Có

pia

não

au

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zad

a é

crim

e.

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enem2012

GRATUITO

27Universidade Aberta do Nordeste

Prezado(a) Leitor(a),

Este fascículo contempla a área de Matemática e suas Tecnologias e explora conhecimentos de matemática aplicados no

cotidiano por meio de questões contextualizadas que exigem domínio sobre razões, proporções, porcentagem, juros e

função afim. Assim, você exercitará suas habilidades e suas competências nessa área, além de aprimorar o conhecimento

da linguagem matemática, a qual é necessária para expressar a relação entre grandezas e solucionar situações-problema em

seu dia a dia.

Bom estudo!

Razões e Proporções

Considere que, no ano de 2010, o faturamento de uma empresa tenha sido de R$ 200.000,00 e que, em 2011, tenha sido de R$ 500.000,00. Poderíamos comparar essas duas grandezas, subtraindo-as e dizendo que o faturamento de 2011 é maior que o de 2010 em R$ 300.000,00. Entretanto, a diferença não dá uma ideia relativa do crescimento do faturamento.

Para obter essa ideia, podemos dividir os valores dos

faturamentos: 500000200000

2 5= , . Desta maneira, dizemos

que as vendas de 2011 equivalem a duas vezes e meia as vendas de 2010 ou, ainda, que o crescimento foi de uma vez e meia do faturamento de 2010. Essa comparação é denominada razão.

RazãoDados dois números a e b, com , define-se

razão de a para b ou, simplesmente, razão entre a e b,

nessa ordem, ao quociente ab

que também pode ser

indicado por a : b, em que o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente. As grandezas envolvidas em uma razão podem ser de espécies diferentes (por exemplo, densidade demográ-fica) ou de mesma espécie (por exemplo, escala) sendo expressas numa mesma unidade.

Exemplos1. Escala é a razão entre o comprimento no desenho e

o comprimento real correspondente.

E = comprimento no desenhocomprimento real

Fonte: www.mundogeografico.sites.uol.com.br

O mapa acima foi feito na escala 1:100000, ou seja, a cada 1 cm no desenho, temos 100000 cm ou 1km de comprimento real. A distância entre os pontos A e B é de 5,5 cm no desenho, o que equivale a 5,5 km de distância real. Observe que como a escala é uma razão, segue que quanto maior é o denominador (distância real) menor é a escala.

2. Densidade Demográfica é a razão entre o número de habitantes e a área do território ocupado por eles

Densidade Demográficanúmero de habitantes

área do territór=

iio

A maneira como uma população está distribuída em determinado território e as transformações que essa dis-tribuição sofre no decorrer do tempo são importantes para evidenciar problemas e contradições socioeconômi-cas. Por exemplo, segundo dados do IBGE, o Brasil em 2010 possuía 190.732.694 habitantes em uma área de 8.514.215,3 km², ou seja, uma densidade demográfica de 22,40 habitantes por quilômetro quadrado.

28

Proporção

Define-se proporção a uma igualdade de duas ou mais

razões. Dizemos que os números a, b, c e d, com

e , formam uma proporção quando ab

cd

= ou a :

b = c : d, em que a e d são os extremos enquanto b e c

são os meios. Por exemplo, os números 2, 4, 6 e 12 for-

mam, nessa ordem, uma proporção, pois 24

612

= , isto é,

os resultados das duas frações são iguais a 12

, sendo esse

resultado denominado constante de proporcionalidade.

Propriedades:

1. ab

cd

a d b c= ⇔ ⋅ = ⋅

(por exemplo, 23

69

2 9 3 6= ⇔ ⋅ = ⋅ ).

2. ab

cd

a bb

c dd

= ⇔ + = +

(por exemplo, 32

64

3 22

6 44

= ⇔ + = + ).

3. ab

cd

a ba

c dc

= ⇔ + = +

(por exemplo,32

64

3 23

6 46

= ⇔ + = +).

4. ab

cd

a bb

c dd

= ⇔ − = −

(por exemplo, 53

106

5 33

10 66

= ⇔ − = − ).

5. ab

cd

a ba

c dc

= ⇔ − = −

(por exemplo, 53

106

5 35

10 610

= ⇔ − = − ).

6. a

b

c

d

a c

b d

a c

b d= =

++

=−−

(por exemplo,6

9=

4

6=

6+ 4

9+6=

6 - 4

9 -6).

Exemplo de aplicaçãoNum bar, suco de tangerina é uma mistura de xarope com água na razão de 1 parte de xarope para 2 de água e refresco de tangerina é uma mistura de xarope com água na razão de 1 para 5. Juntando um copo de suco com um de refresco, obtemos uma mistura de xarope com água na razão de

A. 1 para 3.B. 2 para 5.C. 3 para 5.D. 5 para 13.E. 6 para 17.

Solução: No suco, a quantidade de xarope é de 1 parte num total de 3 partes, enquanto a quantidade de água representa 2 partes num total de 3 partes. O refresco é constituído de 1 parte de xarope num total de 6 partes e de 5 partes de água num total de 6 partes. Misturando--se 1 copo de suco com 1 copo de refresco, temos

xarope

água=

1

3copo+

1

6copo

2

3copo+

5

6copo

=

2+1

6copo

4 +5

6copo

=3

9=

11

3

Assim, a proporção é de 1 parte de xarope para 3 partes de água.Resposta: a

Números Diretamente ProporcionaisDizemos que os números (x

1, x

2, ..., x

n) são diretamente

proporcionais aos números (y1, y

2, ..., y

n), quando pode-

mos estabelecer uma proporção direta entre esses valo-

res, ou seja,xy

=xy

=…=xy

1

1

2

2

n

n

.

Exemplo de aplicaçãoTrês sócios resolveram abrir uma pizzaria. O primeiro in-vestiu 30 mil reais, o segundo investiu 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1 ano de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for distribuído de forma que a quantia recebida seja direta-mente proporcional ao valor investido. Quanto cada um recebeu?

Solução: Indicando por a, b e c as quantias recebidas por cada um dos sócios, temos:

a + b + c = 24 e a b c30 40 50

= = .


Somando os numeradores e denominadores da propor-

ção, obtemos: a

30=

b40

=c

50=

a+b+c30+ 40+50

=24

120=

15

.

Daí:

a

b

c

a

b

c

3015

4015

5015

6

8

10

=

=

=

⇔===

.

Assim, o primeiro sócio receberá 6 mil reais, o segundo sócio receberá 8 mil reais e o terceiro sócio receberá 10 mil reais.

Números Inversamente ProporcionaisDizemos que os números (x

1, x

2, ..., x

n) são inversamente

proporcionais aos números (y1, y

2, ..., y

n), quando po-

demos estabelecer uma proporção entre os valores da primeira sequência e os inversos dos valores da segunda sequência, ou seja,x1y

=x1y

=…=x1y

x × y = x × y =…= x × y1

1

2

2

n

n

1 1 2 2 n n⇔

.

Exemplo de aplicaçãoUma senhora deseja dividir sua fortuna, que é de R$ 1.100.000,00 entre seus netos, de maneira inversamen-te proporcional às idades desses netos. Sabendo que as idades dos netos são 10, 5 e 4, qual a quantia recebida por neto?

Solução: Indicando por x, y e z os valores recebidos por neto, temos:

x y z+ + = 11, e x y z1

1015

14

= = .

Somando os numeradores e denominadores da propor-ção, obtemos:

x1

10

=y15

=z14

=x + y + z1

10+

15

+14

=1,11120

= 2 .

Daí:

10x = 2

5y = 2

4z = 2

x = 0,2

y = 0,4

z = 0,5

⇔

.

Assim, o neto mais velho receberá 0,2 milhão (200 mil reais), o neto do meio receberá 0,4 milhão (400 mil reais) e o neto mais novo receberá 0,5 milhão (500 mil reais).

Observações1. Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais

quando os valores da primeira grandeza e os valores da segunda grandeza são diretamente proporcio-nais. Assim, quando o valor (absoluto) de uma gran-deza aumenta (ou diminui) sendo multiplicada por uma constante k, o valor (absoluto) correspondente da outra grandeza aumenta (ou diminui) sendo mul-tiplicada pela mesma constante k.

2. Duas grandezas são ditas inversamente proporcio-nais quando os valores da primeira grandeza e os valores da segunda grandeza são inversamente pro-porcionais. Assim, quando o valor (absoluto) de uma grandeza aumenta (ou diminui) sendo multiplicada por uma constante k, o valor (absoluto) correspon-dente da outra grandeza diminui (ou aumenta) sen-do dividida pela mesma constante k.

Exemplos1. Velocidade e distância percorrida são grandezas di-

retamente proporcionais, para um mesmo intervalo de tempo. Observe o caso em que é medido o des-locamento de quatro móveis com velocidades dife-rentes durante duas horas:

Velocidade (km/h) 10 20 30 40

Deslocamento (km) 30 60 90 120

Podemos observar que os valores da velocidade e do deslocamento formam uma proporção direta:

1030

=2060

=3090

=40

120 . Observe que da velocidade 10 para a velocidade 30,

a grandeza foi multiplicada por 3, enquanto a dis-tância correspondente foi de 30 para 90, ou seja, também multiplicada por 3.

2 Velocidade e tempo gasto são grandezas inversamen-te proporcionais, para uma mesma distância. Observe o caso em que é medido o deslocamento de qua-tro móveis com velocidades diferentes para percorrer uma distância de 200 km:

Velocidade (km/h) 10 20 40 50

Tempo (h) 20 10 5 4

Podemos observar que os valores da velocidade e do deslocamento formam uma proporção inversa:

10 20 = 20 20 = 40 5 = 50 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅

30

Observe que, da velocidade 10 para a velocidade 40, a grandeza foi multiplicada por 4, enquanto o tempo correspondente foi de 20 para 5, ou seja, foi dividida por 4.

Regra de Três SimplesDadas duas grandezas e conhecendo 2 medidas de uma grandeza e 1 medida da outra, podemos calcular a quarta medida estabelecendo uma proporção entre esses valores.

Exemplo de aplicaçãoSe 3 cachorros comem 5 quilos de ração, então 12 ca-chorros comem quantos quilos de ração?

Solução: O número de cachorros e a quantidade de ração são grandezas diretamente proporcionais, pois, quanto mais cachorros, mais ração será consumida. Va-mos representar que são diretamente proporcionais por duas setas com mesmo sentido.

↑ ( ) ↑ ( )Nº de cachorros Qde de ração

3 5

12 x

Estabelecendo a proporção, temos:

312

53 60 20= ⇔ = ⇔ =

xx x

.

Assim, os 12 cachorros comem 20 quilos de ração.

Exemplo de aplicaçãoQuatro pintores demoram 60 horas para pintar uma casa, quantas horas cinco pintores levariam para pintar a mesma casa?

Solução: O número de pintores e a quantidade de horas são grandezas inversamente proporcionais, pois, quan-do aumentamos o número de pintores, vamos precisar de menos horas para executar o mesmo serviço. Vamos representar as grandezas inversamente proporcionais por duas setas com sentidos contrários.

↑ ( ) ↓ ( )Nº de pintores Qde de horas

4 60

5 x

Estabelecendo a proporção, invertendo uma das frações, temos:

45 60

5 240 48= ⇔ = ⇔ =xx x

.

Assim, os cinco pintores levariam 48 horas para pintar a casa.

Regra de Três CompostaQuando tratarmos de mais de duas grandezas, podemos proceder de maneira idêntica à regra de três simples, porém vamos adotar o seguinte procedimento:•• escolher uma das grandezas e comparar com as ou-

tras, verificando se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais;

•• isolar a fração obtida da grandeza que foi usada para comparação no primeiro membro e no segun-do membro colocamos o produto das frações obti-das das outras grandezas, com o cuidado de inverter as frações que são de grandezas inversamente pro-porcionais à grandeza escolhida para comparação.

Exemplo de aplicaçãoCinco pessoas comem doze quilos de feijão em quatro semanas, em quanto tempo dez pessoas comem trinta quilos de feijão?

Solução: Vamos escolher o número de pessoas para comparar com as outras grandezas. Quanto mais pes-soas, mais feijão será consumido, portanto a quantidade de feijão e o número de pessoas são diretamente pro-porcionais. Quanto mais pessoas, menos tempo irá durar o feijão, portanto o número de pessoas e o tempo são duas grandezas inversamente proporcionais.

↑ ( ) ↑ ( ) ↓ ( )Nº de pessoas Qde de feijão Tempo

5 12 4

10 30 t

Estabelecendo a proporção, temos:

510

1230 4

120 600 5= ⋅ ⇔ = ⇔ =tt t

.Assim, dez pessoas comendo trinta quilos de feijão pre-cisarão de cinco semanas.

Questão comentada (Enem/2011) A resistência das vigas de dado comprimento é diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado da al-tura (d), conforme a figura. A constante de proporcionalidade k varia de acordo com o material utilizado na sua construção.


Considerando-se S como a resistência, a representação algébrica que exprime essa relação é

A. S k b d= ⋅ ⋅ .

B. S b d= ⋅ 2 .

C. S k b d= ⋅ ⋅ 2

D. Sk bd

= ⋅2

E. Sk d

b= ⋅ 2

Solução: A resistência S é diretamente proporcional à largura b e ao quadrado da altura d, ou seja, dividindo S por b e por d2 obtemos uma constante:

Sb

dk

Sb d

k S k b d2 221= ⇔ ⋅ = ⇔ = ⋅ ⋅.

Resposta: C.

Para aprender mais!1. A figura a seguir mostra a porcentagem de oxigênio

(O2) presente na atmosfera, ao longo de 4,5 bilhões

de anos, desde a formação da Terra até a era dos dinossauros.

Disponível em: <http://www.universia.com.br/MIT/10/1018J/PDF/lec02hand2003.pdf>. Acesso em: 1º mar.2009

Considere que a escala de tempo fornecida seja subs-tituída por um ano de referência, no qual a evolução química é identificada como 1º de janeiro à zero hora e a era dos dinossauros como dia 31 de dezembro às 23 h 59 min e 59,99 s. Desse modo, nesse ano de referência, a porcentagem de oxigênio (O

2) presente na atmosfera

atingiu 10% no

A. 1º bimestre. B. 2º bimestre.C. 2º trimestre. D. 3º trimestre.E. 4º trimestre.

2. O gás natural veicular (GNV) pode substituir a gasoli-na ou o álcool nos veículos automotores. Nas grandes cidades, essa possibilidade tem sido explorada, princi-palmente, pelos táxis, que recuperam em um tempo relativamente curto o investimento feito com a con-versão por meio da economia proporcionada pelo uso do gás natural. Atualmente, a conversão para gás natural do motor de um automóvel que utiliza a gasolina custa R$ 3.000,00. Um litro de gasolina permite percorrer cerca de 10 km e custa R$ 2,80, enquanto um metro cúbico de GNV permite percor-rer cerca de 12 km e custa R$ 1,80. Desse modo, um taxista que percorra 6000 km por mês recupera o investimento da conversão em aproximadamente

A. 2 meses. B. 4 meses.C. 6 meses. D. 8 meses.E. 10 meses.

Leia mais!

O número (letra grega que se pronuncia “fi”), apesar

de não ser tão conhecido, tem um significado muito in-

teressante. Durante anos, o homem procurou a beleza

perfeita, a proporção ideal. Os gregos criaram, então,

o retângulo de ouro. Era um retângulo, do qual havia

proporções (do lado maior dividido pelo lado menor) e,

a partir dessa proporção, tudo era construído. Assim,

eles fizeram o Parthernon (proporção do retângulo que

forma a face central e lateral). A profundidade dividida

pelo comprimento ou altura, tudo seguia uma propor-

ção ideal de 1,618. Os egípcios fizeram o mesmo com as

pirâmides, cada pedra era 1,618 menor do que a pedra

de baixo, a de baixo era 1,618 maior que a de cima, que

era 1,618 maior que a da 3ª fileira e assim por diante.Durante milênios, a arquitetura clássica grega preva-

leceu. O retângulo de ouro era padrão, mas, depois de

32

muito tempo, veio a construção gótica com formas arre-dondadas, que não utilizavam retângulo de ouro grego. Mas, em 1200, Leonardo Fibonacci um matemático que estudava o crescimento das populações de coelhos criou aquela que é provavelmente a mais famosa sequência matemática: a Série de Fibonacci. A partir de 2 coelhos, Fibonacci foi contando como eles aumentavam a partir da reprodução de várias gerações e chegou a uma sequên-cia em que um número é igual a soma dos dois números anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

11

1 + 1 = 21 + 2 = 32 + 3 = 53 + 5 = 8

5 + 8 = 138 + 13 = 21

13 + 21 = 34e assim por diante.

Aí entra a primeira “coincidência”: proporção de crescimento média da série é 1,618. Os números variam, um pouco acima às vezes, um pouco abaixo, mas a mé-dia é 1,618, exatamente a proporção das pirâmides do Egito e do retângulo de ouro dos gregos. Então, essa descoberta de Fibonacci abriu uma nova ideia de tal pro-porção que os cientistas começaram a estudar a natu-reza em termos matemáticos e começaram a descobrir coisas fantásticas:•• a proporção de abelhas fêmeas em comparação

com abelhas machos numa colmeia é de 1,618;•• a proporção em que aumenta o tamanho das espi-

rais de um caracol é de 1,618;•• a proporção em que aumenta o diâmetro das espi-

rais sementes de um girassol é de 1,618;•• a proporção em que se diminuem as folhas de uma

árvore à medida que subimos de altura é de 1,618.

E não só na Terra se encontra tal proporção. Nas galáxias, as estrelas se distribuem em torno de um as-tro principal numa espiral obedecendo à proporção de 1,618 também. Por isso, o número ficou conhecido como a DIVINA PROPORÇÃO. Porque os historiadores descrevem que foi a beleza perfeita que Deus teria esco-lhido para fazer o mundo.

Bom, por volta de 1500, com o Renascentismo, a cultura clássica voltou à moda. Michelangelo e, princi-palmente, Leonardo da Vinci, grandes amantes da cul-tura pagã, colocaram esta proporção natural em suas

obras. Mas Da Vinci foi ainda mais longe; como cien-tista, pegava cadáveres para medir a proporção do seu corpo e descobriu que nenhuma outra coisa obedece tanto à DIVINA PROPORÇÃO quanto o corpo huma-no... obra-prima Divina.

Exemplos1. Meça sua altura e depois divida pela altura do seu

umbigo até o chão; o resultado é 1,618.2. Meça seu braço inteiro e depois divida pelo tamanho

do seu cotovelo até o dedo; o resultado é 1,618.3. Meça seu dedo, ele inteiro dividido pela dobra cen-

tral até a ponta ou da dobra central até a ponta dividido pela segunda dobra; o resultado é 1,618.

4. Meça sua perna inteira e divida pelo tamanho do seu joelho até o chão; o resultado é 1,618.

5. A altura do seu crânio dividido pelo tamanho da sua mandíbula até o alto da cabeça; o resultado é 1,618;

6. Da sua cintura até a cabeça e depois só o tórax; o resultado é 1,618. (Considere erros de medida da régua ou fita métrica que não são objetos acurados de medição.)

7. Cada osso do corpo humano é regido pela Divina Proporção. Seria Deus, usando seu conceito maior de beleza em sua maior criação feita à sua imagem e semelhança?

Coelhos, abelhas, caramujos, constelações, girassóis, árvores, arte e o homem; coisas teoricamente diferentes, todas ligadas numa proporção em comum. Então, até hoje, essa é considerada a mais perfeita das proporções.

Porcentagem

Qualquer razão de denominador 100 é chamada de razão centesimal, taxa percentual ou simplesmente porcentagem.

Exemplos

1. 3

1003= % .

2. 3

2015

10015= = % .

3. 37

0 428642 86100

42 86≅ = =,,

, % .

Observe, no terceiro exemplo, que, para transfor-marmos um número escrito na forma decimal para por-centagem, basta multiplicarmos o número por 100%.


Exemplos1. 0 23 0 23 100 23, , % %= ⋅ = .

2. 0,3214 = 0,3214 100%= 32,14%⋅ .

Observação: Podemos calcular a porcentagem que um número a representa de outro b, com , simples-

mente escrevendo a fração ab

na forma de porcentagem.

Exemplo: O número 9 representa 60% do número 15,

pois 9

150 6 60= =, % .

Variação PercentualSendo V0 o valor inicial e V o valor final de uma grande-

za, define-se variação percentual o número, escrito no

formato de porcentagem, obtido pela razãoV V

V− 0

0

, ou

seja, VariaçãoValor inicial

.

Exemplos1. O preço de uma mercadoria aumentou de R$

13,00 para R$ 25,00. Observe que o aumento foi de 12 reais, enquanto o aumento percentual foi de 25 13

131213

0 9231 92 31− = = =, , % .

2. Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 200,00 e vendeu com 50% de lucro. Observe que o lucro do comerciante foi de 50 200 100% ⋅ = reais e, portanto, o comerciante vendeu a mercadoria por 200 + 100 = 300 reais, ou, ainda, o preço de venda foi de

200 50 200 200 1 50 200 15 300+ ⋅ = ⋅ +( ) = ⋅ =% % ,

reais.Observação: Para obtermos o valor de uma grandeza após um acréscimo percentual, podemos multiplicar o valor inicial por 1+i, em que i é o acréscimo percentual, caso seja um decréscimo, multiplicaremos por 1-i.

Exemplos

1. Acréscimo de 30% ⇒ x (1 + 30%) = x1,3.

2. Acréscimo de 70% ⇒ x (1 + 70%) = x1,7.

3. Decréscimo de 20% ⇒ x (1 - 20%) = x0,8.

4. Decréscimo de 40% ⇒ x (1 - 40%) = x0,6.

Podemos raciocinar de forma contrária, caso um número seja multiplicado por 1,3, sofrerá um acrésci-mo de 0,3 em relação a 1 (valor inicial), multiplicando 0,3 por 100%, concluímos que o acréscimo foi de 30%.

Por outro lado, caso um número seja multiplicado por 0,6, sofrerá uma decréscimo de 0,4 em relação a 1 (valor inicial), multiplicando 0,4 por 100%, concluímos que o decréscimo foi de 40%.

Exemplos1 A temperatura de um corpo que é de 15° aumentou

40% e, assim, a temperatura final do corpo será de 15 1 40 15 1 4 21° ⋅ +( ) = ° ⋅ = °% , .

2. Uma pessoa comprou um computador de R$ 1.200,00 com desconto de 15% e, as-sim, o preço final do computador será de 1200 1 15 1200 0 85 1020⋅ −( ) = ⋅ =% , reais.

Variações Percentuais SucessivasConsidere i1, i2, ..., in como sendo as variações sucessivas de uma certa grandeza, para obter o valor final V de uma grandeza, devemos multiplicar o valor inicial V0 por 1 mais cada taxa de variação, isto é:

V V i i in= ⋅ +( ) ⋅ +( ) ⋅ ⋅ +( )0 1 21 1 1… .

Exemplo de aplicaçãoO preço de um livro é de R$ 60,00. Em dezembro, o preço aumenta 20%; em janeiro, aumenta 10% e, em março, diminui 30%. Qual o valor do preço desse livro em março?

Solução: Aplicando dois acréscimos e um desconto su-cessivamente, obtemos:

V V i i i

V

V

n= ⋅ +( ) ⋅ +( ) ⋅ ⋅ +( )= ⋅ +( ) ⋅ +( ) ⋅ −( )

=

0 1 21 1 1

60 1 20 1 10 1 30

6

…

% % %

00 1 2 11 0 7

55 44

⋅ ⋅ ⋅=

, , ,

,V

.

Assim, o valor do preço desse livro em março será de 55,44 reais.

Questão comentada (ENEM/2011) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, no segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3.800,00 gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa pessoa apli-cou em ações corresponde ao valor deA. R$ 4.222,22. B. R$ 4.523,80.C. R$ 5.000,00. D. R$ 13.300,00.E. R$ 17.100,00.

Solução: No primeiro mês, perdeu 30% do total C

investido, ficando com 1 30 0 7−( ) ⋅ = ⋅% ,C C . No

34

segundo mês, recuperou 20% do que havia perdi-

do, ou seja, 20 0 3 0 06% , ,⋅ ⋅( ) = ⋅C C , ficando com

0 7 0 06 0 76, , ,⋅ + ⋅ = ⋅C C C . Daí:

0 76 3800

38000 76

38000076

5000

,

,

⋅ =

=

=

=

C

C

C

C

.

Assim, o valor investido no início foi de R$ 5.000,00.

Resposta: C.

Ampliando conhecimentos para o Enem 1. Um fabricante de papel higiênico reduziu o compri-

mento dos rolos de 40m para 30m. No entanto, o preço dos rolos de papel higiênico, para o consu-midor, manteve-se constante. Nesse caso, é correto afirmar que, para o consumidor, o preço do metro de papel higiênico teve um aumento

A. inferior a 25%.B. igual a 25%.C. superior a 25% e inferior a 30%.D. igual a 30%.E. superior a 30%.

2. Em maio de cada ano, certa empresa reajusta os sa-lários de seus funcionários pelo índice de aumento de preços ao consumidor, apurado no ano anterior. Em 2001, esse índice foi de 6,2%. Com base nesses dados, pode-se estimar que um funcionário que, em maio de 2001, recebia R$ 540,00, passou a receber, em maio de 2002,

A. R$ 573,48. B. R$ 575,20.C. R$ 577,28. D. R$ 580,34.E. R$ 591,34.

Leia mais!FINANCIAMENTO DE VEÍCULO

Consumidor desavisado paga mais por um financiamento de veículo. Nem a resolução 3517 do Banco Central conse-guiu disciplinar totalmente os valores extras que os consu-midores pagam embutidos nas prestações, sem saber.

Muitos lojistas ainda estão aproveitando-se da falta de informação da maioria dos compradores para cobrar va-lores adicionais. Num financiamento, o consumidor paga

várias taxas. A primeira delas é a Taxa de Abertura de Cré-dito (TAC), que pode variar, dependendo do lojista ou da instituição financeira, de R$ 400,00 até R$ 1.000,00.

Além disso, há a taxa de juros, que, no mercado de au-tomóveis, pode chegar a até 2,5% ao mês, dependen-do do valor a ser financiado e idade do veículo. Quanto mais antigo, maior os juros. Há ainda impostos e o valor cobrado pelos bancos, por folha de boleto bancário emi-tida, que pode chegar a R$ 4,50. Todas estas cobranças são legais e estão diluídas nas prestações. O problema está na taxa de retorno, uma espécie de presente que as financeiras dão aos lojistas, à custa do consumidor, incluídas nas parcelas. Apesar disso, não é proibida por lei. Mesmo assim, nós não reconhecemos a legalidade dessa cobrança. A consideramos abusiva porque o con-sumidor, às vezes, nem sabe que a está pagando.

A taxa de retorno surgiu há vários anos, por sugestão das instituições financeiras. Elas lançaram aos revendedores pelo menos dez tabelas de financiamentos diferentes, que vão de R1 a R10. “R” significa retorno, e, quando maior o “R”, maior é a comissão que os revendedores de automóveis recebem das financeiras. É uma espécie de presente, pelo lojista ter sugerido aquela instituição financeira ao consumidor para o fechamento do negó-cio. Mecanismos de fidelização entre lojistas e financei-ras devem existir, mas não é o consumidor que tem que pagar por isso.

O que deveria ser uma oportunidade de aumentar o vo-lume de negócios, passou a ser, para os lojistas, uma maneira fácil de ganho extra de dinheiro. Além de não darem o desconto sugerido pelas financeiras nos auto-móveis, ainda empurravam aos clientes as tabelas de fi-nanciamento com taxas de retorno. Qual é o critério uti-lizado para escolher entre a tabela R1 e a R10? Nenhum.

O lojista usa a tabela de acordo com a cara do cliente, o carro e o valor que ele vai financiar. Se o vendedor perce-be que o comprador é pouco esclarecido e tem dinheiro para gastar, pode até lhe jogar uma tabela R10, da qual o cliente pode chegar a pagar até 14,4% a mais do que o valor total do financiamento.

Fonte: http://www.caesp.org

Juros

Fundamentalmente, a Matemática Financeira estuda os procedimentos utilizados em pagamentos de emprésti-mos, bem como os métodos de análise de investimen-tos em geral. Quando uma pessoa empresta a outra um


valor monetário, durante certo tempo, essa quantia é denominada capital (ou principal) e é indicada por C. O valor que o emprestador cobra pelo uso do dinheiro, ou o valor pago pelo tomador do empréstimo é deno-minado juros e indicado por J. A taxa de juros, indicada por i (do inglês interest, que significa juros), é expressa como porcentagem do capital.

Ela representa os juros numa certa unidade de tempo, normalmente indicada da seguinte forma: ao dia (a.d.), ao mês (a.m.), ao ano (a.a.), etc. Assim, por exemplo, se o capital emprestado for R$ 8.000,00 e a taxa, 1,5% ao mês, os juros pagos no mês serão iguais a 1,5% sobre R$ 8.000,00, que equivale a 0 015 8000, ⋅ e, portanto, igual a R$ 120,00. De modo geral, os juros em cada período são determinados pelo produto do capital pela taxa, isto é:

J C i= ⋅ (juros em cada período da taxa).

Se o pagamento do empréstimo for feito numa úni-ca parcela, ao final do prazo do empréstimo, o tomador pagará a soma do capital emprestado com o juro, que é denominado montante e indicado por M. No caso do empréstimo de R$ 8.000,00, durante 1 mês, à taxa de 1,5% ao mês, o montante será igual a R$ 8.120,00. De modo geral, teremos:

M C J= + .

As operações de empréstimo são feitas geralmente por intermédio de um banco que, de um lado, capta di-nheiro de interessados em aplicar seus recursos e, de ou-tro, empresta esse dinheiro aos tomadores interessados no empréstimo. A captação é feita sob várias formas, como cadernetas de poupança e certificados de depósi-to bancário (cada aplicação recebe uma taxa de acordo com o prazo e os riscos envolvidos). Os tomadores tam-bém podem obter financiamento sob diversas maneiras, e as taxas cobradas dependem do prazo do empréstimo, dos custos do capital para o banco e do risco de não pagamento por parte do tomador.

Juros SimplesJuros Simples é o regime de capitalização em que os ju-ros são calculados sobre o capital inicial. Nesse caso, o juro em cada período de tempo (mês, ano, ...) é cons-tante e igual ao produto C i⋅ , passados três meses, por exemplo, os juros são 3 ⋅ ⋅C i , mas, se considerarmos t períodos de tempo, os juros acumulados serão dados por: J C i t= ⋅ ⋅ .

Os juros simples são resultado do produto do capital pela taxa e pelo prazo da aplicação. Observe que, nessa

fórmula, o prazo t deve estar expresso na mesma unida-de de i, isto é, se a taxa i for definida em meses, o prazo virá também em meses. Além disso, embora a fórmula tenha sido deduzida para t inteiro, ela é estendida tam-

bém para qualquer prazo fracionário, por exemplo, 12

ano ou 5

12 ano.

Exemplo de aplicaçãoUm capital de R$ 8.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 2% a.m., durante 5 meses. Qual o valor do montante acumulado?

Solução: Os juros da aplicação, em reais, são:

J C i t

J

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ =8000 0 02 5 800,

.

O montante da aplicação, em reais, é:

M C J

M

= += + =8000 800 8800

.

Assim, o montante acumulado após 5 meses é 8.800 reais.

Juros CompostosJuros Compostos é o regime de capitalização em que os juros são calculados sobre o montante do período ante-rior. Nesse caso, os juros em cada período são variáveis. Considerando a taxa de juros constante igual a i, para obtermos o montante de cada período, vamos multipli-car o de cada período anterior por 1+i.

Montante

Início C

Após 1 período C i⋅ +( )1

Após 2 períodos C i⋅ +( )1 2

Após 3 períodos C i⋅ +( )1 3

� �

Após t períodos C i t⋅ +( )1

Portanto, o montante será dado porM C i t= ⋅ +( )1 .

Exemplo de aplicaçãoQuanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia R$ 6.000,00, à taxa de 1% ao mês?

36

Solução: Observe que C = 6000, t = 6 meses e i = 1% (a.m.). Logo:

M C i

M

M

t= ⋅ +( )= ⋅ +( )

= ⋅ ≅

1

6000 1 1

6000 1 01 6369 12

6

6

%

, ,

.

Daí:M C J

J

= += − =6369 12 6000 369 12, ,

.

Assim, a pessoa receberá R$ 369,12 de juros.

Questão comentada (ENEM/2011) Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possi-bilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garan-tidas pelo período de um ano, conforme descritas:•• Investimento A: 3% ao mês•• Investimento B: 36% ao ano•• Investimento C: 18% ao semestre

As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproxi-mações para a análise das rentabilidades:

n 1,03n

3 1,093

6 1,194

9 1,305

12 1,426

Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa deveráA. escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois

as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%.B. escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilida-

des anuais são iguais a 39%.C. escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anu-

al é maior que as rentabilidades anuais dos investimen-tos B e C.

D. escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C.

E. escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B.

Solução: Para transformar uma taxa de 3% mensal para taxa anual, basta considerarmos 12 aumentos sucessivos, isto é, 1 03 1 42612, ,≅ . Logo, a rentabilidade do investimento A é 42,6%. Para transformar uma taxa de 18% mensal para taxa anual, basta considerarmos 2 aumentos sucessivos, isto

é, 118 1 3922, ,≅ . Logo, a rentabilidade do investimento C é 39,2%. Assim, essa pessoa deve escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C.Resposta: C.

Para aprender mais!3. O preço à vista de uma mercadoria é R$ 130,00. O

comprador pode pagar 20% de entrada no ato da compra e o restante em uma única parcela de R$ 128,96, vencível em 3 meses. Admitindo-se o regi-me de juros simples comerciais, a taxa de juros men-sal cobrada na venda a prazo é de

A. 5,2%. B. 8%.C. 8,3%. D. 8,6%.E. 9,8%.

4. Em 1626, Peter Minuit comprou a ilha de Manhattan (em Nova Iorque) dos índios em troca de objetos no valor de 24 dólares. (dados extraídos de: Zvi Bodie. Finanças. Porto Alegre, 1999.) Se os índios tivessem recebido em dinheiro e aplicado esse valor a juros compostos, à taxa de 8% ao ano, o valor do seu montante em 2011, 385 anos depois, teria sido: (Dado: 1 08 7 4 10385 15, ,= ⋅ )

A. mais de 1 trilhão de dólares.B. um valor entre 1 bilhão e 1 trilhão de dólares.C. um valor entre 1 milhão e 1 bilhão de dólares.D. um valor entre 1 mil e 1 milhão de dólares.E. menos de 1 mil dólares.

Leia mais!A NOVA POUPANÇA

Determinada a reduzir os juros reais a 2% até o fim de seu mandato, a presidente Dilma Rousseff não viu alternativa senão mudar a remuneração das cadernetas de poupan-ça. O rendimento fixo de 6,17% ao ano mais TR mostrou--se um obstáculo à queda acentuada dos juros depois que a Selic ficou abaixo de um dígito. Na sexta-feira 4, o governo publicou a Medida Provisória 567 com a nova fórmula de cálculo. As cadernetas agora passam a render 70% da Selic mais TR. “Sei que a medida é ousada, mas precisa ser feita”, disse a presidenta Dilma ao ministro da Fazenda, Guido Mantega, e ao presidente do Banco Central, Alexandre Tombini, ao bater o martelo. Na reu-nião do Conselho Político, com líderes de partidos da base aliada, a presidenta explicou que, depois de dois anos, abriu-se uma janela de oportunidades que não poderia


ser desperdiçada. O momento, segundo Dilma, é ideal por três motivos: o cenário econômico favorece a redu-ção de juros, sua popularidade recorde de 77% sustenta reações negativas e a atenção da oposição está totalmen-te voltada para a CPI do Cachoeira. Com a nova regra de reajuste, a poupança terá um gatilho. Sempre que a Selic se igualar ou ficar abaixo de 8,5%, a remuneração da caderneta será de 70% da Selic mais TR. Ao defender a mudança, Guido Mantega adiantou-se a possíveis críti-cas: “Não há rompimento de contrato nem usurpação de direito.” Frisou também que as mudanças não são ime-diatas – hoje a Selic está em 9% –, que a liquidez conti-nuará diária e a poupança permanece isenta de Imposto de Renda. O mais importante é que o novo cálculo só vale para os depósitos que forem feitos a partir de 4 de maio. Antes dessa data, todos os investimentos em poupanças estão preservados, com o rendimento tradicional. A me-dida manteve a caderneta simples e acessível. Os novos depósitos serão remunerados com base na Selic em vigor no dia do investimento, independentemente do valor, po-dendo ser R$ 10 ou R$ 100 mil.

Fonte: www.istoe.com.br (09/07/2012)

Ampliando conhecimentos para o Enem 3. Uma universidade recebeu do Governo Federal re-

cursos financeiros no valor de R$ 170.000,00 para serem divididos proporcionalmente ao número dos

alunos de seus campus conforme indicado na tabela a seguir:

Campus Número de Alunos

A 2.200

B 2.600

C 5.200

O valor recebido pelo campus B foi

A. R$ 37.400,00. B. R$ 42.500,00.C. R$ 44.200,00. D. R$ 52.000,00.E. R$ 88.400,00.

4. A hidrovia é o modelo de transporte menos oneroso que qualquer outra modalidade disponível no mun-do. Mas, no Brasil, onde há condições geográficas bastante favoráveis a esse tipo de operação, os in-vestimentos no setor andam na contramão. O meio mais utilizado é o rodoviário, que chega a ser 20 ve-zes mais caro que o fluvial. Estudos indicam que, caso o Brasil cresça uma média de 5% durante três anos consecutivos, o país pode entrar em colapso logístico. Uma barcaça (unidade que compõe a embarcação) pode transportar até 1.500 toneladas em cargas. Na comparação com o transporte rodoviário, cada bar-caça equivale a 60 carretas, que podem transportar no máximo até 25 toneladas. “Nas hidrovias, não há pedágios, estradas esburacadas que causam danos à unidade de transporte e desperdício da carga, e o risco de roubo também é menor”, destaca Rocha. Quando o comparativo é com as ferrovias, o sistema hidroviário também é mais vantajoso. Cada barcaça pode substituir até 15 vagões, com capacidade para carregar até 100 toneladas. Considerando a degra-dação da malha ferroviária brasileira, abandonada há cerca de 50 anos, a hidrovia se mostra ainda mais viável, por não oferecer riscos.

Fonte: http://www.revistaportuaria.com.br

Uma empresa deseja transportar 30.000 toneladas de mi-nério de ferro, podendo usar o transporte marítimo ou o rodoviário, seria necessário, no mínimo, o equivalente a

A. 20 barcaças. B. 25 barcaças.C. 60 carretas. D. 80 carretas.E. 100 carretas.

5. Segundo a Organização Pan-Americana de Saú-de (OPAS), cada indivíduo necessita de 189 litros

38

de água por dia para atender suas necessidades de consumo, para higiene e preparo de alimentos. Além disso, cada pessoa necessita de 1.325 litros por ano só para beber.

Tabela deconsumo de água

Consumo

Escovar os dentes com torneira cons-tantemente aberta por 5 minutos

15 litros/dia

Escovar os dentes com torneira oca-sionalmente fechada por 5 minutos

6 litros/dia

Escovando os dentes com a torneira ocasionalmente fe-chada por 8 minutos, pode-se, durante um ano, econo-mizar água suficiente para

A. 2 pessoas beberem.B. 3 pessoas beberem.C. 4 pessoas beberem.D. 5 pessoas beberem.E. 6 pessoas beberem.

6. Um automóvel, modelo flex, consome 34 litros de gasolina para percorrer 374 km. Quando se opta pelo uso do álcool, o automóvel consome 37 litros deste combustível para percorrer 259 km. Suponha que um litro de gasolina custe R$ 2,20. Qual deve ser o preço do litro do álcool para que o custo do quilômetro rodado por esse automóvel, usando so-mente gasolina ou somente álcool como combustí-vel, seja o mesmo?

A. R$ 1,00. B. R$ 1,10.C. R$ 1,20. D. R$ 1,30.E. R$ 1,40.

7. Uma fábrica produz 2000 peças em 2 dias de traba-lho, usando 6 máquinas iguais. No momento, duas máquinas estão quebradas, porém a fábrica recebeu uma encomenda de 6000 peças, então para atender essa encomenda, serão necessários

A. 5 dias de trabalho.B. 6 dias de trabalho.C. 7 dias de trabalho.D. 8 dias de trabalho.E. 9 dias de trabalho.

8. Um quilograma de tomates é constituído por 80% de água. Essa massa de tomate (polpa+H2O) é sub-metida a um processo de desidratação, no qual

apenas a água é retirada, até que a participação da água na massa de tomate se reduza a 20%. Após o processo de desidratação, a massa de tomate, em gramas, será de

A. 200. B. 225.C. 250. D. 275.E. 300.

9. A tabela a seguir foi utilizada para calcular o Impos-to de Renda devido à Receita Federal nos meses de janeiro a março de 2012.

Base de cálculomensal em R$

Alíquota %

Parcela a deduzir do

Imposto em R$

Até 1.499,15 - -

De 1.499,16 até 2.246,75 7,5 112,43

De 2.246,76 até 2.995,70 15,00 280,94

De 2.995,71 até 3.743,19 22,5 505,62

Acima de 3.743,19 27,5 692,78

O Imposto de Renda devido por Alfredo, que presta ser-viços a uma empresa, é calculado da seguinte maneira: toma-se por base de cálculo o seu salário bruto em reais, aplica-se a alíquota (porcentagem) e, do resultado deste produto, subtrai-se a parcela a deduzir. O salário líquido de Alfredo é calculado subtraindo-se do seu salário bru-to o valor do Imposto de Renda devido. Em fevereiro de 2012, o salário bruto de Alfredo foi R$ 3.000,00, então seu salário líquido, nesse mês, foi de

A. R$ 1.530,94. B. R$ 1.830,94.C. R$ 2.530,94. D. R$ 2.650,00.E. R$ 2.830,62.

10. Com o início da temporada de turismo na ilha de Flo-rianópolis, observa-se uma alta de preços em vários produtos, principalmente no mês de janeiro. Veja na tabela as diferenças de preços de alguns produtos observados no dia 30 de dezembro de 2007, em comparação com os meses anteriores.

ProdutosMeses

anterioresDezembro

de 2007

Cerveja R$ 3,00 R$ 7,00

Coquetel de frutas R$ 10,00 R$ 20,00

Milho cozinho R$ 2,00 R$ 2,00


Água de coco R$ 3,00 R$ 3,00

Tomate (Kg) R$ 0,95 R$ 2,49

Corvina (Kg) R$ 6,00 R$ 8,00

Filé de peixe (Kg) R$ 8,00 R$ 10,00

Sorteve artesanal R$ 4,50 R$ 5,00

Gasolina (litro) R$ 2,49 R$ 2,60

Álcool (litro) R$ 1,65 R$ 1,79

Segundo a tabela, o conjunto de produtos que tiveram aumento entre 10% e 110% é compreendido por

A. cerveja, coquetel de frutas, corvina e filé de peixe.B. álcool, corvina, filé de peixe e sorvete artesanal.C. sorvete artesanal, coquetel de frutas, corvina e filé

de peixe.D. sorvete artesanal, cerveja, coquetel de frutas e corvina.E. filé de peixe, sorvete artesanal, coquetel de frutas e

álcool.

11. A Suíça tem um dos mais altos IDH (Índice de Desen-volvimento Humano) do mundo. Sua área é 41.285 km² e sua população é de 7 milhões de habitantes. A tabela abaixo mostra a área degradada em km² da Floresta Amazônica.

Se a área degradada na Suíça fosse igual a média de km² degradados na Amazônia no período 2007-2009, o porcentual aproximado de natureza destruída nesse país seria de

A. 25%. B. 30%.C. 35%. D. 40%.E. 45%.

12. Define-se renda per capita de um país como a razão entre o produto interno bruto (PIB) e a população economicamente ativa. Em certo país, o governo pretende aumentar a renda per capita em 50%. Se, nesse período, a população economicamente ativa aumentar em 20%, o acréscimo do PIB deverá ser de

A. 50%. B. 65%.C. 80%. D. 95%.E. 110%.

13. A Lei de Boyle-Mariotte (enunciada por Robet Boyle e Edme Mariotte) diz que: “Sob temperatura cons-tante (condições isotermas), o produto da pressão e do volume de uma massa gasosa é constante, sen-do, portanto, inversamente proporcionais. Qualquer aumento de pressão produz uma diminuição de vo-lume e qualquer aumento de volume produz uma diminuição de pressão.” Aumentando a pressão do gás em 25%, o volume do gás diminuirá

A. 20%. B. 18%.C. 15%. D. 12%.E. 10%.

14. O crescimento anual das exportações de um país, em um determinado ano, é medido tendo-se por base o valor total das exportações do ano imediata-mente anterior. Considere um país em que o cresci-mento das exportações foi de 12% em 2008 e 8% em 2009. Em 2009, o valor das exportações, em re-lação a 2007, foi maior em

A. 8%.B. 12%.C. entre 12 % e 20 %.D. 20%.E. maior que 20%.

15. “Pão por quilo divide opiniões em Campinas” (Cor-reio Popular, 21/10/2006).

Uma padaria de Campinas vendia pães por unidade, a um preço de R$ 0,20 por pãozinho de 50 g. Atualmente, a mesma padaria vende o pão por peso, cobrando R$ 4,50 por quilograma do produto.A taxa de variação percentual do preço do pãozinho provo-cada pela mudança de critério para o cálculo do preço foi de

A. 10%. B. 12,5%.C. 15%. D. 17,5%.E. 20%.

16. Um determinado cidadão recebe um salário bruto de R$ 2.500,00 por mês e gasta cerca de R$ 1.800,00 por mês com escola, supermercado, plano de saúde, etc. Uma pesquisa recente mostrou que uma pessoa com esse perfil tem seu salário bruto tributado em 13,3% e paga 31,5% de tributos sobre o valor dos produtos e serviços que consome. Nesse caso, o per-centual total do salário mensal gasto com tributos é de cerca de

40

A. 40%. B. 41%.C. 45%. D. 36%.E. 30%

17. Há um ano, Bruno comprou uma casa por R$50.000,00. Para isso, tomou emprestados R$10.000,00 de Edson e R$10.000,00 de Carlos, prometendo devolver-lhes o dinheiro, após um ano, acrescido de 5% e 4% de juros, respectivamente. A casa valorizou 3% durante esse período de um ano. Sabendo-se que Bruno vendeu a casa hoje e pagou o combinado a Edson e Carlos, o seu lucro foi de

A. R$ 400,00. B. R$ 500,00.C. R$ 600,00. D. R$ 700,00.E. R$ 800,00.

18. Uma rede de lojas promove a venda de uma má-quina fotográfica digital pela seguinte oferta: “Leve agora e pague daqui a três meses”. Caso o paga-mento seja à vista, a rede de lojas oferece ao con-sumidor um desconto de 20%. Caso o consumidor prefira aproveitar a oferta, pagando no final do 3º mês a compra, a taxa anual de juros simples que está sendo aplicada ao financiamento é de

A. 20%. B. 50%.C. 80%. D. 100%.E. 120%.

19. O Sr. Marcelo quer dividir seu capital de R$ 30.000,00 em duas partes, uma a ser aplicada no banco A, que paga juros simples à taxa de 0,5% ao mês, e a outra no banco B, que também paga juros simples, mas à taxa de 0,8% ao mês. A aplicação no banco A é por dois anos e a aplicação no banco B por dois anos e meio, os juros obtidos nas duas aplicações são iguais, então, no banco A, foi apli-cado o valor de

A. R$ 20.000,00.B. R$ 21.000,00.C. R$ 22.000,00.D. R$ 23.000,00.E. R$ 24.000,00.

20. No próximo dia 8/12, Maria, que vive em Portugal, terá um saldo de 2.300 euros, em sua conta corren-te, e uma prestação a pagar no valor de 3.500 eu-ros. O salário dela é suficiente para saldar a dívida,

mas será depositado nessa conta corrente apenas no dia 10/12. Maria está considerando duas opções para pagar a prestação:

1. Pagar no dia 8. Nesse caso, o banco cobrará juros compostos de 2% ao dia sobre o saldo negativo em sua conta corrente, por dois dias.

2. Pagar no dia 10. Nesse caso, ela deverá pagar uma multa de 2% sobre o valor total da prestação.

Suponha que não haja outras movimentações em sua conta corrente. Se escolher a opção 2, ela terá, em rela-ção à opção 1

A. desvantagem de 22,50 euros.B. vantagem de 22,50 euros.C. desvantagem de 21,52 euros.D. vantagem de 21,52 euros.E. não há diferença.

21. O mercado automotivo na América Latina crescerá, no máximo, 2% em 2012. A estimativa é que, após esse período, ele voltará a expandir-se mais rapi-damente, o que permitirá um crescimento médio de 5% nos próximos 5 anos. A afirmação foi feita pelo presidente da GM na América do Sul. Suas estimativas para as vendas, especificamente da GM na América Latina, são de 1,1 milhão de unidades em 2012 e de chegar a 1,4 milhão de veículos por ano até 2015.

(http://economia.estadao.com.br, 06.10.2011. Adaptado.)

A estimativa de que as vendas da GM, na América Lati-na, chegarão a 1,4 milhão de unidades no ano de 2015 pode ser considerada

A. otimista, pois, para isso, a taxa média de crescimen-to anual das vendas para o período deveria ser maior que 5%.

B. tímida, pois, para isso, a taxa média de crescimento anual das vendas para o período deveria ser menor que 5%.

C. correta, pois, para isso, a taxa média de crescimento anual das vendas para o período deveria ser igual a 5%.

D. realista, pois, para isso, a taxa média de crescimento anual das vendas para o período deveria ser menor ou igual a 5%.

E. não matematicamente verificável, pois não são for-necidos dados suficientes para isto.

22. A nota do Ceará no IDEB (Índice de Desenvolvimen-to da Educação Básica), relativa ao Ensino Médio,


em 2009 foi 3,6. Admitindo um aumento percentu-al cumulativo e constante desta nota, ao longo dos próximos 11 anos, para que, em 2020, a nota atinja valor 6,0, é necessário que haja um aumento em

torno de: (Dado: 53

1 04711 ≅ , )

A. 3,5% a.a.B. 4,1% a.a.C. 4,7% a.a.D. 5,2% a.a.E. 5,6% a.a.

Função Afim

João pegou um táxi que cobra uma parcela fixa, cha-mada de bandeirada, mais um valor que depende da distância rodada. A tabela abaixo fornece esses valores.

Preço(R$)

Bandeirada 5,00

Quilômetro Rodado 2,00

Para uma distância de 10Km, João terá pago 10.R$2,00 = R$20,00 pela distância percorrida e mais R$ 5,00 pela bandeirada, totalizando R$20,00 + R$ 5,00 = R$25,00.

Para uma determinada distância d (km), o valor gas-to V por João foi R$2,00 . d pela distância percorrida, mais a bandeirada de R$ 5,00 resultando na expressão abaixo.

V(d) = 2.d + 5, com V em reais.A expressão V = 2d + 5 é um exemplo de função

afim, também conhecida como função do 1º grau.

Chama-se função afim ou função do 1º grau qual-quer função real do tipo f(x) = ax + b, com a e b sendo números reais e a ≠ 0.

Na função y = f(x) = ax + b,o número a é chamado de coeficiente angular e b como coeficiente linear ou termo independente .

Ex: •• f(x) = 2x + 3, em que a = 2 e b = 3 •• g(x) = – 3x + 5 em que a = – 3 e b = 5•• h(x) = 4x, em que a = 4 e b = 0

Taxa de VariaçãoA taxa de variação ou taxa de crescimento é represen-tada pela razão entre as variações de duas grandezas.

Como exemplo, considere a velocidade de um mó-vel dada por v = v

o + at, em que a velocidade inicial é de

4m/s e a aceleração de 2m/s²:v = 4 + 2tt = 1s v = 6 m/st = 2s v = 8 m/st = 5s v = 14 m/s

Observe que de t = 1s para t = 2s, a velocidade pas-sou de 6m/s para 10 m/s . A taxa de variação da veloci-

dade em relação ao tempo foi de ∆∆vt

m s= −−

=10 82 1

2 / ² .

De t = 2s para t = 5s, a velocidade aumen-tou de 8 m/s para 14 m/s. A taxa de variação foi de ∆∆vt

m s= −−

=14 85 2

2 / ² .

Note que a taxa de variação da função afim é cons-tante, igual ao coeficiente angular.

GráficoO gráfico da função afim é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Para traçar o gráfico da função afim, basta atri-buir dois valores a uma das grandezas para se obter os valores da outra. Dessa maneira, obtemos dois pontos que são suficientes para traçar a reta.

Ex: Construa o gráfico da função y = 2x + 3.Para a construção do gráfico, podemos atribuir

qualquer valor ao x, no caso usaremos os valores 0 e 1.x =0 y = 2.0 + 3 = 3 Ponto (0,3)x =1 y = 2.1 + 3 = 5 Ponto (1,5)

Marcamos os pontos no plano cartesiano.

Então, traçamos a reta passando pelos dois pontos.

42

O gráfico intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3, esse valor é o coeficiente linear.

Na função y = ax + b, o valor b representa o ponto em que a reta intercepta o eixo y.

O coeficiente angular a representa a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo Ox, situado acima do eixo Ox e à direita da reta, como indicado abaixo.

f(x) = ax + b

a = tgSe a > 0 teremos tg >0, o que ocorre quando o ân-

gulo é agudo, portanto a função será crescente.

Se a < 0 teremos tg <0, o que ocorre quando o ângulo é obtuso, portanto a função será decrescente.

Raiz da funçãoZero ou raiz da função é o valor de x que anula a função, ou seja, o valor de x para o qual f(x) = 0.

f(x) = ax + b0 = ax + bax = – bx = – b/a

O zero da função representa o ponto de ordenada zero, ou seja, o ponto em que o gráfico corta o eixo Ox.

Estudo do sinal Estudar o sinal da função é analisar o valor de y em cada ponto do gráfico, a parte do gráfico que está acima do eixo x tem y positivo, enquanto a parte do gráfico que está abaixo do eixo x tem y negativo.

Se a > 0, teremos:

f(x) 0 x ba

f(x) 0 x ba

f(x) 0 x ba

< ⇒ < −

= ⇒ = −

> ⇒ > −

Se a < 0, teremos:


f(x) 0 x ba

f(x) 0 x ba

f(x) 0 x ba

< ⇒ > −

= ⇒ = −

> ⇒ < −

Ex: Um comerciante de camarão tem uma despesa fixa de R$ 3.000,00, com aluguel, energia, etc. O comer-ciante compra o camarão por R$ 3,00 e vende por R$ 5,00 o quilo. A partir de quantos quilos esse comerciante terá de vender para ter lucro?

O lucro por quilo é de R$ 2,00, considerando que são vendidos x quilos de camarão, o valor do lucro com a venda do camarão é de R$ 2,00.x. Descontando a des-pesa fixa, temos:

R = 2.x – 3000, em que R representa o resultado financeiro.

Igualando a receita a zero, obtemos a raiz da função:0 = 2.x – 3000 2x = 3000x = 1500

A função R = 2x – 3000 apresenta coeficiente an-gular (a = 2) positivo, portanto, a função é crescente. Fazendo o estudo do sinal temos,

O resultado será positivo, ou seja, terá lucro ao ven-der mais de 1500 quilos de camarão.

Função LinearUm caso particular de função afim é aquele em que b = 0.

Nesse caso, temos a função afim dada pela lei f(x) = ax, com a real e diferente de zero.

Ex: y = 3x, em que a = 3 e b = 0

Quando duas grandezas são relacionadas por uma função linear, dizemos que elas são diretamente propor-cionais, podendo, inclusive, usar regra de três.

Ex: O valor arrecadado com a venda de um pro-duto depende da quantidade de unidades vendidas. A tabela abaixo apresenta alguns exemplos de arreca-dação ou receita.

Unidades vendidas Arrecadação (R$)

25 625

50 1250

75 1875

100 2500

Com base nos dados da tabela, a função que me-lhor descreve a arrecadação é aA. exponencialB. quadráticaC. linearD. logarítmica

A razão entre os valores da arrecadação e o núme-ro de unidades vendidas é constante, indicando que as grandezas são proporcionais.

arrecadaçaoquantidade vendida

= = = = =62525

125050

187575

2500100

255

Como as grandezas são proporcionais, a função que relaciona as duas grandezas é a linear.

Questão Comentada04. (ENEM-2011) O saldo de contratações no mercado for-mal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo re-gistrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4.300 vagas no setor, totalizando 880.605 trabalhadores com carteira assinada.

Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).

Suponha que o incremento de trabalhadores no setor vare-jista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é

44

A. y = 4300xB. y =884905xC. y = 872 005 + 4300xD. y = 876 305 + 4300xE. y = 880 605 + 4 300x

Solução: O mês de janeiro corresponde a x = 1, o mês de fevereiro corresponde x = 2 e assim por diante. x = 1s y = 876305x = 2s y = 880605

O coeficiente angular é a = −−

=880605 8763052 1

4300 ,

para encontrar o coeficiente linear, podemos substituir qual-quer um dos pontos na função y = 4300x + b.(1, 876305) y = 4300x + b 876305 = 4300.1 + b b = 872005A função é y = 4300x + 872005. Resposta: C.

Leia mais!

De alguns anos para cá, quando procuramos informações sobre a previsão do tempo, é comum encontrarmos dois ti-pos de temperatura: a real e a relativa à sensação térmica.

Mas o que é essa tal sensação térmica?Muitas vezes, quando olhamos um termômetro que

registra a temperatura ambiente, parece que a tempe-ratura que ele acusa não condiz com a sensação de frio que estamos sentindo. Não é raro notarmos que está calor, que o sol brilha intensamente, mas, mesmo assim, ainda sentirmos um certo “friozinho”... Pois é, esse tal friozinho é um exemplo da chamada sensação térmica, a qual é mais intensamente sentida em dias com muitos ventos, uma vez que, nesses dias, parece que o vento “rouba” calor do corpo das pessoas, aumentando a sen-sação de frio. Uma fórmula empírica, baseada em ex-periências e observações, permite-nos obter, a partir da temperatura externa do ar e da velocidade do vento, um índice que representa o valor numérico da temperatura, em graus Fahrenheit, equivalente àquela que a pele sen-tiria com um vento a uma velocidade de 4 milhas/hora.

Esse índice, que é denotado por WCI (índice de sensação térmica), pode ser obtido pela seguinte fórmula

WCI

T se v

T v v se v

T

=

≤ ≤

+ −( ) − −( ) < <

−

,

, , , , , ,

,

0 4

91 4 91 4 0 02 0 3 0 5 4 45

1 6 55,,sev ≥

45

em que T é a temperatura do ar em graus Fahre-nheit e v é a velocidade do vento em milhas por hora.

Para aprender mais!5. O Museu do Louvre é um dos mais visitados do

mundo. Em 2001, recebeu a visita de 5.093.280 pessoas. A tabela apresenta o número de visitantes, em três anos consecutivos.

Anos 2004 2005 2006

Números de visitantes(em milhões)

6,7 7,5 8,3

Observe que o aumento do número de visitantes, por ano, entre 2004 e 2006, é constante. Supondo-se que o aumento, nos anos seguintes, se mantenha constante, o ano em que haverá ou houve, no Louvre, 12,3 milhões de visitantes é

A. 2010 B. 2011 C. 2012 D. 2013 E. 2014

6. O dono de uma loja de pneus distribuiu a tabela abaixo para seus vendedores, para que não perdes-sem muito tempo calculando o custo dos pneus, que são iguais.

Número de pneus (n) Custo (C)

1 R$ 100,00

2 R$ 190,00

3 R$ 280,00

4 R$ 370,00

A função C(n) que relaciona o custo, em reais, com o número de peças é dada por

A. C(n) = 90n – 10 B. C(n) = 90n + 10 C. C(n) = 10n – 10 D. C(n) = 10n + 10E. C(n) = 10n.

Ampliando conhecimentos para o Enem23. Para a produção de um alimento matinal, uma in-

dústria utiliza dois tipos de cereal, A e B, na razão


3 para 2, nessa ordem. O custo por quilograma do cereal A é R$ 5,00 e do cereal B é R$ 3,00. A função que expressa o custo c de x kg da mistura dos dois cereais empregados na produção do alimento é

A. c (x) = 2x/3. B. c (x) = 3x/3.C. c (x) = 7x/3. D. c (x) = 19x/3.E. c (x) = 21x/3.

24. A fórmula usada como padrão no esporte, há mais de três décadas, para o controle dos batimentos cardíacos está superada. No mesmo artigo, é apresentada uma nova fórmula que, assim como a fórmula tradicional, permite encontrar a frequência cardíaca máxima, em batimentos por minuto, de uma pessoa em função de sua idade. Se X é a idade, em anos, de uma pessoa, e 20 ≤ X ≤ 80, então essas duas fórmulas são as seguintes:

Fórmula Nova 208 – 0,7 . XFórmula Tradicional 220 – X

Com base nessas informações, pode-se afirmar que

A) os valores obtidos com a Fórmula Nova serão sem-pre maiores do que os valores obtidos com a Fórmu-la Tradicional.

B) os valores obtidos com a Fórmula Nova serão sem-pre menores do que os valores obtidos com a Fór-mula Tradicional.

C) para idades acima de 30 anos, os valores obtidos com a Fórmula Tradicional serão sempre menores do que os valores obtidos com a Fórmula Nova.

D) para idades acima de 40 anos, os valores obtidos com a Fórmula Nova serão sempre maiores do que os valores obtidos com a Fórmula Tradicional.

E) para a idade de 50 anos, os valores obtidos com a Fór-mula Nova e com a Fórmula Tradicional serão idênticos.

25. Uma artesã que produz pequenas esculturas em ar-gila, pensando em ampliar seu negócio, elaborou a tabela a seguir para calcular seus custos mensais.

Salário do auxiliar R$ 450,00

Energia elétrica e água R$ 60,00

Impostos R$ 160,00

Combustível R$ 70,00

Material para uma peça R$ 3,40

Embalagem de uma peça R$ 0,60

Utilizando-se os dados da tabela, a relação entre o custo

C e o número de peças N produzidas mensalmente pode ser estabelecida na sentença matemática dada por

A. C = 740N. B. C = 4 + 740N.C. C = 740 – 4. D. C = 4N + 740.E. C = 4N + 820.

26. As empresas de telefonia I e II, na disputa pelos clientes, lançaram as seguintes tabelas de preços para seus serviços:

Assinatura (R$)

Preço do minuto

diurno (R$)

Preço do minuto

noturno (R$)I 32,00 0,60 0,25II 18,00 0,80 0,35

Se chamarmos de P o valor mensal da conta, de D o número de minutos diurnos falados e de N o número de minutos noturnos falados, obteremos as leis matemáti-cas que relacionam esses valores:

P = 32 + 0,60D + 0,25N para a empresa I P = 18 + 0,80D + 0,35N para a empresa II

Para um assinante que só utiliza os serviços diurnos, é mais vantajoso optar pelos serviços da empresa I se o número de minutos falados for

A. maior que 60.B. maior que 70.C. menor que 60.D. menor que 70.E. menor que 50.

27. Um vendedor recebe, ao final de cada mês, além do salário-base de R$ 400,00, uma comissão percentual sobre o total de vendas que realizou no mês. No grá-fico abaixo, estão registrados o total de vendas reali-zadas pelo vendedor e o salário total recebido por ele.

46

Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, pode-se afirmar que a comissão do vendedor sobre o total de vendas que realizou no mês é de

A. 10%.B. 15%.C. 20%.D. 25%.E. 30%.

28. Em janeiro de 2011, o diretório acadêmico de uma faculdade começou a publicar um jornal informativo mensal e, nesse mês, foram impressos 150 exempla-res. Devido à aceitação, esse número foi acrescido, a cada mês subsequente, de uma quantidade cons-tante, até atingir, em dezembro de 2011, o número de 920 exemplares.

A expressão que representa o número E de exemplares impressos em relação ao tempo t, em meses, sendo ja-neiro de 2004 equivalentee a t = 0, é

A. E = 920t – 150. B. E = 920t + 150.C. E = 70t – 150.D. E = 70t + 150.E. E = 70t.

29. Uma caixa de água de forma cilíndrica é alimentada por uma torneira. Aberta a torneira, o volume de água vai aumentando em função do tempo, segun-do o gráfico abaixo.

Sabendo que o volume dessa caixa é de 3,8 m³ e que a caixa estava vazia quando a torneira foi aberta, o tempo em que a torneira deverá permanecer aberta para en-cher completamente a caixa será de

A. 1,9 h.B. 7h e 9 min.

C. 7h e 36 min.D. 19h.E. 36h.

30. A figura mostra os esboços das funções A(x) e B(x), que fornecem os preços que as papelarias, A e B, cobram para fazer x cópias de uma folha.

Uma pessoa deseja tirar 360 cópias, a copiadora A cobra

a) R$ 7,00 a menos que B.b) R$ 5,00 a mais que B.c) R$ 10,00 a menos que B.d) 3/2 do que cobra B.e) o mesmo preço cobrado por B.

31. Nos últimos anos, o salário-mínimo tem crescido mais rapidamente que o valor da cesta básica, con-tribuindo para o aumento do poder aquisitivo da população. O gráfico abaixo ilustra o crescimento do salário-mínimo e do valor da cesta básica na re-gião Nordeste, a partir de 2005.

Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dos valores do salário-mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste, possam ser aproximados mediante funções polinomiais do 1º grau., f(x) = ax + b, em que x representa o número de anos transcorridos após 2005.


Em que ano, aproximadamente, um salário-mínimo po-derá adquirir cerca de três cestas básicas, na região

A. 2010.B. 2011.C. 2012.D. 2013.E. 2014.

32. Uma pesquisa mostra como a transformação demo-gráfica do país, com o aumento da expectativa de vida, vai aumentar o gasto público na área social em centenas de bilhões de reais. Considere que os grá-ficos dos aumentos com aposentadorias e pensões, educação e saúde sejam, aproximadamente, linhas retas de 2010 a 2050.

Estima-se que o gasto com aposentadorias e pensões em 2050 será de

A. 500 bilhões de reais.B. 600 bilhões de reais.C. 700 bilhões de reais.D. 800 bilhões de reais.E. 900 bilhões de reais.

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B C A A B C A A B

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D D C A B A E C A D

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C B A D C E

BIBLIOGRAFIA CONSULTADADANTE, Luís Roberto. Matemática contexto e aplicações. v. 1

LEZZI, Gelson; Samuel Hazzan; David Degenszajn. Fun-damentos de matemática elementar. v. 1

LEZZI, Gelson; Osvaldo Dolce; Davis Degensza JN; Ro-berto Périgo; Nilze de Almeida. Matemática ciências e aplicações. v. 1

O POVO NO ENEM 2012 Fasc 02

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