Um problema de Erdös e a solução de Mordell:da conjectura de Erdös ao Teorema de Erdös-Mordell

Arsélio de Almeida Martinssobre uma sugestão de A. Kovačec

Formação de Acompanhantes do Programa de Matemática do Ensino SecundárioAveiro, 1997/1998

O resultado de que estudámos algumas soluções foi originalmente proposto por Erdös [1] como umproblema:

“De um pontoO no interior de um triânguloABC tiram-se perpendicularesOP,OQ e ORaos seus lados. Provar que

OA+OB +OC ≥ 2(OP +OQ+OR)”

ou, considerando a figura seguinte,

a+ b+ c ≥ 2(x+ y + z) (1)

A primeira solução que escolhemos para estudar, de Vilmos Komornik [4], utilizava somente resul-tados de matemática básica. Procurámos seguir em detalhe os passos dessa demonstração.

Mantendo o propósito de descrever resoluções elementares, neste texto apresentamos em detalhea demonstração de L. J. Mordell [2]1, na qual serão utilizados apenas resultados de álgebra etrigonometria leccionados nos ensinos básico e secundário, como sejam

u2 + v2 ≥ 2uv (u, v ∈ IR) (2)

sin 2α+ cos 2α = 1 (3)

cos (α± β) = cos α . cos β ∓ sin α . sin β (4)1Segundo Alexander Kovačec, professor da Universidade de Coimbra, teria sido Mordell, “mentor" de Erdös, a

apresentar a primeira demonstração numa revista húngara pouco divulgada. A solução de Mordell que estudámose se resumia a algumas poucas linhas de Trigonometria foi publicada ao mesmo tempo que uma outra solução deDavid Barrow. Talvez por isso Kovačec se refira ao resultado como Teorema de Erdös-Mordell-Barrrow

1

sin (α± β) = sin α . cos β ± sin β . cos α (5)

cos (π − α) = −cos α (6)

ou relações que destas se podem deduzir, utilizando cálculos algébricos simples com notação referidaà primeira figura de ilustração do problema de Erdös:

a =

√y2 + z2 + 2yz.cos α

sin α(7)

ou

b =

√x2 + z2 + 2xz.cos β

sin β(8)

ou

c =

√x2 + y2 + 2xy.cos γ

sin γ(9)

Não demonstraremos aqui (1), (2) e (5). Quanto à dedução das fórmulas para os seno e cossenoda soma e da diferença, propomos ao leitor que atente na figura adaptada de [5] 2

A primeira das três relações(7), (8), (9) pode ser demonstrada do seguinte modo (identificandoângulos e respectivas amplitudes, para não complicar desnecessariamente o texto)·

Consideremos a figura seguinte (sobre a figura inicial)

2Sugestão de Vitor Neves do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro

2

Dado que OQ é perpendicular a AC e OR é perpendicular a AB, a é um diâmetro da circunferênciaque passa A, Q, O e R. A′ é, por construção o extremo do diâmtero que passa por R e, portanto,∠RQA′ é recto. Por observação da figura, conclui-se que os ângulos ∠RAQ e ∠RA′Q são iguais(inscritos no mesmo arco QOR), e, em consequência,

QR

a= sin

ou seja

a =QR

sin α(10)

Reparando que OQ = π − α, e tomando o triângulo ∆OQR, se prolongarmos QO e traçarmos aperpendicular de R para QO, podemos concluir que

QR2

= y2 + z2 + 2yzcos α (11)

De facto, por ser ∠QOR = π − α, ∠ROR′ = α e fazendo y′ = QR′, vem z′ = z.sin α e y′ =y + z.cos α, pelo que, também utilizando (3),

QR2

= QR′2 +RR′2

= (y + z.cos α)2 + (z.sin α)2

= y2 + z2.cos 2α+ 2yz.cos α+ z2.sin 2α

= y2 + z2 + 2yz.cos α

FInalmente conjugando (10) e (11),

a =QR

sin α=

√y2 + z2 + 2yz.cos α

sin α

De modo inteiramente análogo se demonstrarão as restantes (8) e (9).

Demonstração de Mordell

Provemos a desigualdadea+ b+ c ≥ 2(x+ y + z)

referida à figura inicial.

Adicionando membro a membro nas equações seguintes

(y.sin γ + z.sin β)2 = y2.sin 2γ + z2.sin 2β + 2yz.sin γ.sin β

e(y.cos γ − z.cos β)2 = y2.sin 2γ − z2.sin 2β + 2yz.sin γ.sin β

obtém-se

(y.sin γ + z.sin β)2 + (y.cos γ − z.cos β)2 = y2 + z2 + 2yz.cos α

pois α+ β + γ = π ou β + γ = π − α.

Por (7) podemos escrever:

a =

√(y.sin γ + z.sinβ)2 + (y.cos γ − z.cos β)2

sin α≥

√(y.sin γ + z.sin β)2sin α

oua ≥ y.sin γ + z.sin β

sin α

dado que α, β, γ ∈]0, π] e portanto sin α, sin β, sin γ ∈ IR+.

3

De modo análogo,

b ≥ x.sin γ + z.sin α

sin β

ec ≥ x.sin β + y.sin

sin γ

Adicionando ordenadamente

a+ b+ c ≥ y.sin γ + z.sin β

sin α+x.sin γ + z.sin α

sin β+x.sin β + y.sin

sin γ

Cálculos simples levam o segundo membro desta desigualdade à foram

x.sin 2β + sin 2γ

sin β.sin γ+ y.

sin 2α+ sin 2γ

sin α.sin γ+ z.

sin 2α+ sin 2β

sin α.sin β.

Como α, β, γ ∈]0, π], sin α, sin , sin γ ∈]0, 1] e daí sin α.sin β > 0; consequenetemente, por (2),

sin 2α+ sin 2β

sin α.sin β. ≥ 2.

Analogamentesin 2α+ sin 2γ

sin α.sin γ≥ 2

esin 2β + sin 2γ

sin β.sin γ≥ 2.

Assim, podemos finalmente concluir que

a+ b+ c ≥ 2(x+ y + z).

Bibliografia:

[1] Erdös, Paul (1935) Problem 3740, American Mathematical Monthly 42, 396.

[2] Mordell, l. J. (1937) Solution by L. J. Mordell, American Mathematical Monthly44, 252.

[3] Barrow, David F. (1937) Solution by David F. Barrow, American MathematicalMonthly 44, 252-254

[4] Komornik, Vilmos (1997) A Short Proof of the Erdös-Mordell Theorem, AmericanMathematical Monthly 104, 57-68.

[5] Keisler, H. Jerome(1986)Elementary Calculus - An Infinitesimal Approach; Prindle,Weber and Schmidt, p. 372.

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