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O RACIOCÍNIO DE PROPORCIONALIDADE SOB A LUZ DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM ESTUDANTES DO 7° ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL GUARAPUAVA 2019
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O RACIOCÍNIO DE PROPORCIONALIDADE SOB A
LUZ DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM
ESTUDANTES DO 7° ANO DO ENSINO
FUNDAMENTAL
GUARAPUAVA
2019
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE, UNICENTRO-PR
O RACIOCÍNIO DE PROPORCIONALIDADE SOB A
LUZ DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM
ESTUDANTES DO 7° ANO DO ENSINO
FUNDAMENTAL
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
LUCIANO MATULLE
GUARAPUAVA, PR
2019
LUCIANO MATULLE
O RACIOCÍNIO DE PROPORCIONALIDADE SOB A LUZ DA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS COM ESTUDANTES DO 7° ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
Dissertação apresentada à Universidade
Estadual do Centro-Oeste, como parte das
exigências do Programa de Pós-Graduação em
Ensino de Ciências Naturais e Matemática,
área de concentração em Ensino e
Aprendizagem de Ciências Naturais e
Matemática, para a obtenção do título de
Mestre.
Prof. Dr. Márcio André Martins
Universidade Estadual do Centro Oeste − UNICENTRO
Orientador
GUARAPUAVA, PR
2019
Catalogação na Publicação
Biblioteca Central da Unicentro, Campus Cedeteg
Matulle, Luciano
M445r O raciocínio de proporcionalidade sob a luz da Resolução de Problemas com
estudantes do 7° ano do Ensino Fundamental / Luciano Matulle. – – Guarapuava,
2019.
xiii, 116 f. : il. ; 28 cm
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual do Centro-Oeste, Programa de
Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática, área de concentração
em Ensino e Aprendizagem de Ciências Naturais e Matemática, 2019
Inclui Produto Educacional intitulado: Guia didático para o ensino de
proporcionalidade sob a luz da Resolução de Problemas e da Teoria dos
Campos Conceituais
Orientador: Márcio André Martins
Banca examinadora: Célia Finck Brandt, Dionísio Burak, Márcio André Martins
Bibliografia
1. Ciências Naturais. 2. Matemática. 3. Ensino de proporcionalidade. 4. Resolução
de Problemas. 5. Raciocínio de proporcionalidade. 6. Teoria dos Campos
Conceituais. I. Título. II. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências
Naturais e Matemática.
CDD 500.7
Dedico este trabalho a minha mãe MARLENE BORGES, a mais admirável de todas as mães.
AMO MUITO VOCÊ!
AGRADECIMENTOS
Primeiramente agradeço a Deus pela dádiva da vida, inteligência, sabedoria, paciência,
fé e força de vontade.
Agradeço a meus pais, ZENO e MARLENE, pelo amor incondicional, apoio e
compreensão em todos os momentos da minha vida.
A minha namorada SANDRA, pelo amor, paciência, compreensão e incondicional
companhia.
Aos meus amigos, THIEGO e PABLO, pelo apoio e companheirismo ao longo destes
anos.
A direção do Colégio Estadual do Campo Professor Julio Moreira, pela confiança e
apoio durante a realização desta pesquisa.
A professora LORENI, meu agradecimento especial, pela amizade, conselhos e
confiança. Meu muito obrigado!
Ao meu orientador, professor MÁRCIO, pela confiança, conselhos, apontamentos e
por se dispor a dividir comigo seus conhecimentos, que foram fundamentais para a realização
deste trabalho.
Aos meus colegas de mestrado, em especial, MÁRCIA, SILTON e KÁTIA, meu
agradecimento pelos conselhos e companheirismo.
Agradeço, portanto, todos que participaram direta ou indiretamente na realização deste
trabalho.
Obrigado à todos!
SUMÁRIO
LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS ..................................................................... 10
LISTA DE FIGURAS ............................................................................................................. 11
LISTA DE QUADROS ........................................................................................................... 12
RESUMO ................................................................................................................................. 13
ABSTRACT ............................................................................................................................ 14
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 15
1.1 O raciocínio proporcional ............................................................................................. 17
1.2 A Resolução de Problemas no Ensino de Matemática ................................................. 21
1.3 Sobre a questão e objetivos da investigação ................................................................. 24
1.4 Estruturação da Dissertação .......................................................................................... 25
2 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ................ 26
2.1 Educação Matemática ................................................................................................... 26
2.2 A Resolução de Problemas enquanto metodologia de ensino ...................................... 28
2.3 Concepções sobre a Resolução de Problemas .............................................................. 30
2.4 A Resolução de Problemas na Educação Básica .......................................................... 33
2.5 Investigações envolvendo a RP na Educação Básica ................................................... 35
3 TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS .................................................................. 37
3.1 Teoria dos Campos Conceituais ................................................................................... 37
3.2 Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas ........................................................ 43
3.3 Investigações envolvendo a TCC e a proporcionalidade .............................................. 47
4 ASPECTOS METODOLÓGICOS ................................................................................ 52
4.1 Natureza e Delineamento da investigação .................................................................... 52
4.2 Caracterização do local da investigação ....................................................................... 54
4.3 Da coleta de dados ........................................................................................................ 55
4.4 Descrição das atividades ............................................................................................... 56
4.5 Do tratamento de dados ................................................................................................ 57
4.6 Do produto educacional ................................................................................................ 59
5 DESCRIÇÕES DAS ATIVIDADES , RESULTADOS E DISCUSSÕES .................. 60
5.1 Experiência 1 ................................................................................................................ 60
5.1.1 Apresentação e discussão do vídeo .......................................................................... 60
5.1.2 Aplicação do problema gerador P1 e etapas da RP ................................................. 63
5.1.3 Atividade envolvendo trajetos no mapa e no Google Maps .................................... 70
5.1.4 Considerações sobre a experiência 1 ....................................................................... 74
5.2 Experiência 2 ................................................................................................................ 75
5.2.1 Aplicação do problema gerador P2 e etapas da RP ................................................. 75
5.2.2 Considerações sobre a experiência 2 ....................................................................... 81
5.3 Experiência 3 ................................................................................................................ 82
5.3.1 Aplicação do problema gerador P3 e etapas da RP ................................................. 82
5.3.2 Atividade envolvendo a confecção de um bolo ....................................................... 85
5.3.3 Considerações sobre a experiência 3 ....................................................................... 89
5.4 Experiência 4 ................................................................................................................ 90
5.4.1 Aplicação do problema gerador P4 e etapas da RP ................................................. 90
5.4.2 Atividade envolvendo a dosagem de sucos.............................................................. 93
5.4.3 Considerações sobre a experiência 4 ....................................................................... 96
CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................. 97
REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 102
ANEXOS ............................................................................................................................... 108
ANEXO 1 − Termo de Consentimento Livre e Esclarecido ............................................. 109
ANEXO 2 − Termo de Assentimento ............................................................................... 111
ANEXO 3 − Parecer aprovação do projeto ....................................................................... 113
ANEXO 4 − Parecer autorização da SEED-PR ................................................................ 117
LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS
ARCM Adições Repetidas e Contagem de Múltiplos
COPEL Companhia Paranaense de Energia
DCE Diretrizes Curriculares Estaduais
EI Estratégia Inadequada
EJA Educação de Jovens e Adultos
EM Educação Matemática
EMT Estratégia Mista
E1 Estudante 1
FP Fator de Proporcionalidade
I Significante
MM Modelagem Matemática
MT Mídias Tecnológicas
NCTM National Council of Teachers of Mathematics
OCDE Cooperação e o Desenvolvimento Econômico
O Outras
P Conjunto de todos os pares de roupas
PCN Parâmetros Curriculares Nacionais
PP Professor Pesquisador
P1 Problema gerador do encontro 1
P2 Problema gerador do encontro 2
P3 Problema gerador do encontro 3
P4 Problema gerador do encontro 4
P5 Problema gerador do encontro 5
P1I Problema Individual do encontro 1
P2I Problema Individual do encontro 2
P3I Problema Individual do encontro 3
P4I Problema Individual do encontro 4
R Significado
RP Resolução de Problemas
RT Regra de Três
S Realidade
TCC Teoria dos Campos Conceituais
TDM Teoria da Disciplina Mental
VU Valor Unitário
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 − Ampliação do pato ................................................................................................. 20
Figura 2 − Construção do Ovo Mágico ................................................................................... 20
Figura 3 − Ideia construtivista de Santos para a resolução de problemas ............................... 32
Figura 4 − Triângulo da didática ............................................................................................. 38
Figura 5 − Registro das soluções da lousa ............................................................................... 66
Figura 6 – Resolução do problema individual semelhante a P1 ............................................... 69
Figura 7 − Estudantes explorando o mapa das rodovias do estado do Paraná ........................ 71
Figura 8 − Estudante desenvolvendo atividade em laboratório de informática ....................... 72
Figura 9 − Distâncias encontradas entre duas cidades ............................................................. 73
Figura 10 − Registro da resolução do problema1 pelos grupos na lousa ................................ 78
Figura 11 − Estratégia de solução apresentada pelo grupo 4 na resolução de P1.................... 79
Figura 12 − Esquema apresentado pelo grupo 3 na resolução do problema 1 ........................ 80
Figura 13 − Registro das resoluções do problema P3 pelos estudantes dos grupos ................ 84
Figura 14 − Receita do bolo ..................................................................................................... 87
Figura 15 − Estudantes trabalhando na confecção do bolo ..................................................... 88
Figura 16 − Resolução apresentada pelo grupo 6 .................................................................... 91
Figura 17 − Produção dos sucos .............................................................................................. 93
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 − Etapas da resolução de problemas propostas por Onuchic e Allevato (2014) ...... 33
Quadro 2 − de Primeira classe de isomorfismo medidas ......................................................... 44
Quadro 3 − Representação da resolução de uma situação da primeira classe ......................... 44
Quadro 4 − Segunda classe de isomorfismo de medidas ......................................................... 45
Quadro 5 − Representação da resolução de uma situação da segunda classe de ..................... 45
Quadro 6 − Terceira classe de isomorfismo de medidas ......................................................... 46
Quadro 7 − Representação da resolução de uma situação da terceira classe de ...................... 46
Quadro 8 − Possibilidades de formar conjuntos (saias e blusas) ............................................. 47
Quadro 9 − Estrutura da intervenção pedagógica .................................................................... 56
Quadro 10 − Esquemas utilizados pelos estudantes ................................................................ 58
Quadro 11 − Estrutura das atividades da experiência 1 ........................................................... 60
Quadro 12 − Recorte do diálogo sobre o vídeo ....................................................................... 61
Quadro 13 − Recorte do dialogo sobre o conceito de escala ................................................... 61
Quadro 14 − Recorte do diálogo sobre a interpretação do conceito de escala ........................ 62
Quadro 15 − Representação da situação problema envolvendo escalas .................................. 62
Quadro 16 − Problema gerador do encontro 1 ......................................................................... 64
Quadro 17 − Esquema apresentada pelo grupo 6 .................................................................... 67
Quadro 18 − Problema individual semelhante a P1 ................................................................. 68
Quadro 19 − Representação da resolução do problema P1I .................................................... 69
Quadro 20 − Estrutura da atividade da experiência 2 .............................................................. 75
Quadro 21 − Temas de interesse dos grupos ........................................................................... 75
Quadro 22 − Problemas elaborados pelos grupos .................................................................... 76
Quadro 23 − Representação da resolução para encontrar a massa total dos ovos ................... 77
Quadro 24 − Estrutura das atividades da experiência 3 ........................................................... 82
Quadro 25 − Problema da receita ............................................................................................ 82
Quadro 26 − Divisão para confecção do bolo.......................................................................... 86
Quadro 27 − Problema dos sucos ............................................................................................ 90
Quadro 28 − Quantidade de suco produzida por cada grupo ................................................... 90
Quadro 29 − Representação da resolução do problema P4 ..................................................... 92
Quadro 30 − Representação de um esquema para dosagem de sucos ..................................... 94
Quadro 31 − Representação de um esquema para dosagem de sucos ..................................... 95
Quadro 32 − Confluências da RP com a TCC ......................................................................... 99
RESUMO
Luciano Matulle. O raciocínio de proporcionalidade sob a luz da Resolução de Problemas
com estudantes do 7° ano do Ensino Fundamental.
Este estudo buscou contribuir com a solução de um dos problemas identificados durante a
Educação Básica, na disciplina de Matemática: o Ensino de Proporcionalidade. Neste sentido,
considerou-se como questão norteadora: com base na Teoria dos Campos Conceituais, que
potencialidades são percebidas duma metodologia de ensino baseada na Resolução de
Problemas para o desenvolvimento do raciocínio de proporcionalidade? A investigação foi
caracterizada como uma Pesquisa-Ação prática, em que se buscou paralelamente com a
pesquisa, realizar uma ação visando à solução de um problema de aprendizagem. O
desenvolvimento ocorreu por meio de observação participante e intervenção pedagógica, em
uma turma de 7° ano do Ensino Fundamental II, de um colégio público do interior do
município de Pinhão, Paraná - PR. Considerou-se como metodologia de ensino a Resolução
de Problemas, conforme a concepção de ensinar via resolução de problemas. Nesta
concepção, os problemas são propostos aos estudantes antes que lhe seja apresentado
formalmente o conteúdo matemático. Em consonância com a Teoria dos Campos Conceituais
de Gerard Vergnaud, foi possível identificar as principais dificuldades apresentadas pelos
estudantes na resolução dos problemas e apontar os caminhos e procedimentos a serem
seguidos pelo professor para que os estudantes aprendam sobre proporcionalidade. Destacam-
se contribuições da RP em relação à mudança de atitudes dos estudantes, no envolvimento em
sala de aula, na criação e diversificação de estratégias de solução, nas reflexões sobre as
resoluções dos problemas e na elaboração do raciocínio de proporcionalidade.
Palavras-Chave: Ensino de proporcionalidade; Resolução de Problemas; Raciocínio de
proporcionalidade; Teoria dos Campos Conceituais.
ABSTRACT
Luciano Matulle. The proportionality reasoning in light of the Problems Solving with students
from seventh year from Elementary School.
These studies aimed contribute with the solution of one of the problems identified during the
Basic Education, in the subject of Mathematic: The Proportionality Teaching. In this way,
was considered how a guide question: with base on Theory of Conceptual Fields, which
potentially are noticed in a teaching methodology based on Problems Resolution, on the
development of proportionality? The investigation was featured as a practice research-action,
seeking in parallel with the research; make an action aim the solution of a learning problem.
The development occurred through participating observation and pedagogical intervention, in
a class of seventh year of an Elementary school, in a public school in the countryside from the
city of Pinhão - Pr. It was considered as a teaching methodology of the Problem Resolution,
according to the conception to teach via Problem Resolution. In this conception, the problems
are proposed to the students before is has been submitted formally the mathematic content. In
agreement with the theory of the Conceptual Fields from Gerard Vergnaud, was possible
identify the main difficulties presented for the students in the resolution of problems and
point the ways and procedures to be followed for the teacher to the students learn about
proportionality. The most valuable contribution of PR in relation to in the changing of
attitudes of the students, in the engagement in the classroom, in the creation and
diversification of the strategies of solution , in the thinking about solution problems and in the
elaboration of the reasoning of proportionality.
Keywords: Proportionality teaching; Problems Resolution; Proportionality Reasoning;
Theory of the Conceptual Fields.
1 INTRODUÇÃO
O processo de ensino e aprendizagem de Matemática é tema de discussões entre
pesquisadores e educadores matemáticos. Estudos vêm sendo realizados a fim de buscar
melhorias no ensino que proporcionem uma aprendizagem mais efetiva aos estudantes.
Um ensino deve contemplar metodologias que despertem o interesse do estudante,
enfatizem a construção de estratégias, criatividade, trabalho coletivo e o desenvolvimento da
capacidade de resolver problemas.
Para tanto, há necessidades de repensar o ensino atual que supere procedimentos
mecânicos, decoração de fórmulas e algoritmos desprovidos de sentido. Aprender matemática
vai além de utilizar fórmulas e fazer cálculos, é utilizar deste conhecimento para compreender
e transformar a realidade.
De acordo com Araujo (2008), para a maioria dos estudantes, resolver um problema
consiste em fazer cálculos com os dados apresentados no enunciado aplicando alguma
fórmula ou algoritmo que aprenderam na sala de aula. Desta forma, os conceitos matemáticos
não se apresentam inter-relacionados e a concepção de ensino está centrada na reprodução.
Segundo Ponte (2002), durante o ensino de conteúdos matemáticos, não se pode dar
ênfase a conceitos isolados, é necessário se estabelecer relações e conexões entre eles,
formando um conhecimento amplo e diversificado. Para Costa e Allevato (2015) tem-se
percebido poucas relações entre os conteúdos “ensinados”, dando-se mais ênfase as técnicas e
algoritmos matemáticos do que as estratégias e/ou procedimentos criados pelos estudantes.
Esta problemática pode ser percebida no ensino de proporcionalidade, conteúdo
previsto para o 7° do Ensino Fundamental, e que possui natureza fundamental no contexto do
ensino de Matemática. É comum iniciar este assunto partindo de um problema, em seguida
apresentar a definição de razão e proporção, exemplos e listas de exercícios para fixação deste
conteúdo (BATISTA; SÁ, 2017). A 'regra de três', segundo Costa e Allevato (2015),
apresenta-se como principal estratégia de solução utilizada.
Batista e Sá (2017), mediante entrevista com professores da Educação Básica,
constataram poucas evidências de uma prática sobre o ensino, que contemple situações
diferenciadas do ensino tradicional, ou seja, em que o professor passa e explica os conteúdos
na lousa de forma expositiva. Neste âmbito, a maioria das abordagens ainda permanecem em:
definição de conceitos e resolução de listas de exercícios para a fixação do conteúdo.
Para Silvestre e Ponte (2009), esta forma como são abordados os problemas de
proporcionalidade não garante a compreensão das relações envolvidas. Kamii (1995) destaca
que os estudantes ao utilizarem algoritmos, como a 'regra de três', acabam procedendo de
forma mecânica, fazendo seu uso incorreto e não reconhecendo relações de
proporcionalidade.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 1997) – orientam que este
conteúdo deva ser iniciado a partir de uma situação ou determinado assunto sempre buscando
estabelecer conexões com outros conteúdos, pois “é importante que essas atividades sejam
conduzidas de forma que mantenham ligações estreitas com o estudo de outros conteúdos, em
particular com as atividades numéricas, métricas e com a noção de proporcionalidade”
(BRASIL, 1997, p. 69).
Ainda, segundo os PCN, o ensino de proporcionalidade deve visar o desenvolvimento
do raciocínio proporcional mediante a exploração de situações que levem o estudante a
observar a variação entre grandezas estabelecendo relações entre elas, criando estratégia de
solução que envolva a proporcionalidade. No entanto, a aplicação deste conceito acontecerá
na medida em que o estudante vivencia situações em seu dia a dia, que envolvam grandezas
diretamente e inversamente proporcionais (COSTA; ALLEVATO, 2015).
Situações como a compra de uma fatia de bolo, venda de produtos a granel, dosagem
de ingredientes de uma receita, análise de contas de água e luz, envolvem o raciocínio de
proporcionalidade. Por exemplo, quando se vai a uma panificadora comprar um pedaço de
torta, o seu preço vai variar de acordo com a quantidade estabelecida, se esta duplicar o preço
duplica se triplicar o preço também triplica e, assim respectivamente conforme a quantidade
solicitada.
Outras situações como lucros, prejuízos, taxas, escala de mapas, ampliação e redução
de imagens, produção de alimentos, são contextos que envolvem o raciocínio de
proporcionalidade. Como este raciocínio é essencial na resolução de problemas ligados ao
cotidiano dos estudantes e nos vários eixos da Matemática, o seu ensino deve ir além da
aplicação de fórmulas e algoritmos, deve contemplar diferentes estratégias de solução, bem
como a diversificação de atividades e situações que possibilitem sua real compreensão.
1.1 O raciocínio proporcional
O raciocínio de proporcionalidade, ou apenas raciocínio proporcional, ou, ainda,
pensamento proporcional são termos utilizados por diversos autores para descrever uma
maneira de pensar em Matemática diante de situações que envolvem relações proporcionais
(SOUZA, 2013).
Entretanto, há diferença entre o raciocínio proporcional e a definição de
proporcionalidade. Souza (2013) explica que a proporcionalidade tem suas aplicações em
situações dominadas por princípios físicos, ou seja, está relacionada com os cálculos,
enquanto que o raciocínio proporcional é um pré-requisito necessário à compreensão de
contextos e aplicações baseadas na proporcionalidade.
O raciocínio proporcional não se limita a resolver situações utilizando apenas
algoritmos, mas envolve o raciocínio com proporções, covariação, comparações múltiplas,
capacidade de processar informações e a compreensão que ao comparar grandezas estas se
relacionam entre si e variam em conjunto (LESH; POST; BEHR, 1988).
Lesh, Post e Behr (1988) definem o raciocínio proporcional como uma forma de
raciocínio matemático que
[...] envolve o sentido de covariação e possibilita múltiplas comparações,
requerendo a aptidão para reunir e processar mentalmente diversos conjuntos
de informação, relacionados com inferência e predição e envolvendo
pensamento qualitativo e quantitativo (LESH; POST; BEHR, 1988, p. 1).
Na explicação de Lesh, Post e Behr (1988), o raciocino proporcional envolve os
pensamentos: qualitativo e quantitativo. O pensamento qualitativo é mais amplo que o
quantitativo, pois possibilita uma análise dos resultados encontrados, fazendo com que os
estudantes questionem e validem suas soluções conforme o enunciado do problema (JESUS,
2013). O pensamento qualitativo, ainda permite fazer uma análise prévia do problema e tirar
conclusões a partir da comparação entre duas grandezas, antes da realização dos cálculos na
obtenção da resposta. Já o pensamento quantitativo está relacionado com a parte operatória,
ou seja, a realização dos cálculos com o objetivo de encontrar a solução para o problema em
estudo (GONÇALVES, 2010).
Para Lamon (2005 apud COSTA, 2007), o raciocínio proporcional vai muito além da
mecanização, ou seja, da aplicação de algoritmos na resolução de problemas de
proporcionalidade e, está relacionado com as habilidades de estabelecer relações entre
quantidades que envolvem a compreensão de dois tipos de grandezas. Uma destas habilidades
está relacionada à compreensão da relação constante entre duas grandezas (invariância) e à
compreensão que estas grandezas se relacionam e variam em conjunto (covariância).
Lesh, Post e Behr (1988), explicam que o raciocínio proporcional apresenta aspectos
matemáticos e psicológicos. No que se refere à Matemática, a noção de proporcionalidade,
comumente, resulta na equação 𝑦 = 𝑘𝑥, nas variáveis 𝑥 e 𝑦, e respeitadas às restrições à
proporcionalidade inversa, em que k é um número real associado à proporcionalidade, assim
denominado constante de proporcionalidade.
Em termos matemáticos, a definição de proporcionalidade direta e inversa, segundo
Ávila (1986) descrita em Ferreira (2013, p. 20):
Definição 1. Diz-se que duas variáveis (ou grandezas) x e y são proporcionais, mais
especificamente, diretamente proporcionais, se estiverem relacionadas: 𝑦 = 𝑘𝑥 ou 𝑦
𝑥= 𝑘, em
que 𝑘 é a constante de proporcionalidade real.
Definição 2. Diz-se que as variáveis 𝑥 e 𝑦 são inversamente proporcionais se
𝑦 = 𝑘
𝑥 ou 𝑥𝑦 = 𝑘, em que 𝑘 é a constante de proporcionalidade real.
Sob o aspecto psicológico, Schliemann e Carraher (1997) apontam duas concepções: a
que defende que o raciocínio proporcional só pode ser desenvolvido mediante ao domínio das
operações formais, por volta de 15 anos de idade; e a que considera que este raciocínio pode
ser trabalhado muito antes do ensino formal desse conteúdo. Neste sentido, Oliveira e Santos
(2000) e Costa (2007) observaram que estudantes do 6° ano do Ensino Fundamental, mesmo
sem uma visão formal de proporcionalidade e/ou 'regra de três', foram capazes de resolver
problemas desta natureza com a criação de diferentes estratégias.
Este raciocínio não é um pensamento presente apenas quando se estuda Matemática,
mas também é empregado em diversas situações do cotidiano (GONÇALVES, 2010).
Estudos realizados por Schliemann e Carraher (1997) e Spinillo (1997) apontaram que este
tipo de raciocínio foi utilizado de forma intuitiva por adultos e crianças na resolução de
situações de seu dia a dia, sem recorrer à definição formal de proporcionalidade. Schliemann
e Carraher (1997) destacam que a criança desenvolve desde a infância, embora sem noção,
mas intuitivamente, por observação ou percepção, no entanto há conhecimentos no âmbito
escolar que podem promover o desenvolvimento do raciocínio proporcional.
Miranda (2016), buscando desenvolver o raciocínio proporcional de estudantes do 6°
ano do Ensino Fundamental II, elaborou uma sequência didática tendo como suporte teórico a
Teoria dos Campos Conceituais, TCC1, de Gerárd Vergnaud. Em seu estudo abordou
problemas de valor omisso e comparação. A autora relata que durante a exploração da
sequência didática, percebeu que os problemas de valor omisso não apresentavam grandes
dificuldades para os estudantes. As utilizações de estratégias multiplicativas evidenciavam
certo desenvolvimento do raciocínio proporcional. Nas situações problemas envolvendo
comparação, a maioria dos estudantes resolveram de forma correta. No entanto, apesar de
resolverem problemas de comparação com quantidades contínuas, a partir de seis anos,
estudantes de 10 a 12 anos apresentaram dificuldade em resolver problemas de raciocínio
proporcional envolvendo unidades discretas.
Neste sentido, Viana e Miranda (2016) sugerem que devam ser oferecidas situações
diferenciadas para ampliação do campo conceitual referente à proporcionalidade. Lesh, Post e
Behr (1988) afirmam que a diversificação das tarefas é imprescindível para que os estudantes
desenvolvam o raciocínio proporcional.
Nesse encalço, Fioreze (2010) propõe uma abrangência de situações que envolvam os
campos conceituais das estruturas multiplicativas, investiga atividades digitais utilizando o
software régua e compasso, planilha eletrônica, geoplano, vídeos, entre outros em uma turma
de 8° ano do Ensino Fundamental II. Seus resultados revelam que na busca da compreensão
sobre a proporcionalidade há uma amplitude do campo conceitual, pois há necessidades de
analisar vários conceitos que se articulam, assim como investigar as dificuldades cognitivas,
obstáculos enfrentados e representações que possibilitem a resolução das tarefas.
Jesus (2013) destaca que o ensino e aprendizagem da proporcionalidade não devem ser
mecanizados, por meio de fórmulas, não promovendo a compreensão do conceito. Em seu
estudo propôs um trabalho lúdico com estudantes do 5° ano, com o Tangram (Ovo Mágico,
Figura 1), e investigou as estratégias movidas pelos estudantes ao traçar segmentos,
bissetrizes e construir circunferências.
1 TCC é uma abreviatura utilizada neste texto para Teoria dos Campos de Conceituais.
Fonte: JESUS (2013, p. 78)
Com o ovo construído (Figura 1), recorta-se as peças e é proposta a construção de um
pato. Em grupos os estudantes deveriam ampliar o pato, conforme ilustrado na Figura 2.
Figura 2 − Ampliação do pato
Fonte: JESUS (2013, p. 87)
Figura 1 − Construção do Ovo Mágico
Jesus (2013) destaca que houve grandes dificuldades em realizar esta tarefa, sendo
necessária a intervenção do professor e que a maior parte dos estudantes, apesar de
reconhecerem intuitivamente a razão de semelhança, não conseguiu aplicar o raciocínio
proporcional. A autora relaciona as dificuldades apresentadas com a falta de compreensão das
estruturas multiplicativas – raciocínio multiplicativo.
Ao questionar os estudantes, Jesus (2013) percebeu que esta abordagem é algo
incomum para eles, pois não estavam habituados em envolver uma diversidade de conceitos
numa só tarefa. No entanto, esta atividade proporcionou relembrar outros conceitos e observar
que atividades envolvendo o raciocínio proporcional e conceitos geométricos são pouco
exploradas. A autora destaca a necessidade de trabalhar com tarefas diversificadas a fim de
promover o desenvolvimento do raciocínio proporcional.
Os estudos de Jesus (2013), Fioreze (2010), Miranda (2016), Costa e Allevato (2015),
Silvestre e Ponte (2009) corrobam à afirmação que, atualmente, a abordagem de
proporcionalidade na Educação Básica é feita de forma mecânica e há necessidade de se
(re)pensar práticas em sala de aula com esta temática.
Neste sentido, uma das alternativas para contribuir com as soluções para esta
problemática é o trabalho com metodologias de ensino que favoreçam a construção de
estratégias próprias e com uma ruptura deste modelo de ensino que privilegia a memorização
de fórmulas e algoritmos. A Resolução de Problemas, RP2, se apresenta como uma alternativa
metodológica.
1.2 A Resolução de Problemas no Ensino de Matemática
Dentre as possibilidades, pesquisadoras como Onuchic e Allevato (2014) indicam a
RP como uma alternativa metodológica. Propõe-se que nesta tendência a resolução de
problemas passe a ser o ponto de partida da atividade matemática, e não mais as definições e
algoritmos.
Onuchic e Allevato (2005) afirmam que esta tendência visa tirar o estudante de sua
tradicional postura passiva em sala de aula, para levá-lo a uma postura ativa e interessada.
Morais e Onuchic (2014) especificam três concepções sobre a RP, que são apontadas por
Hatfild (1978) e mais tarde nos estudos de Schroeder e Lester (1989): (1) ensinar sobre
2 RP é uma abreviatura utilizada neste texto para a metodologia Resolução de Problemas
Resolução de Problemas; (2) ensinar para resolução de problemas, e (3) ensinar via resolução
. Estas concepções são descritas no capítulo II.
Ferreira (2011) utilizou a RP no ensino de funções, com estudantes da Educação de
Jovens e Adultos (EJA), considerando a terceira concepção apontada anteriormente. Em seu
estudo, os sujeitos investigados comentaram sobre o seu descontentamento por não
conseguirem empregar a Matemática que aprendiam na escola para resolver os seus
problemas do cotidiano. Ferreira (2011) propôs que cada estudante redigisse um texto
descrevendo alguma situação problemática de seu dia a dia, e que considerasse possível de ser
resolvida por meio da Matemática. O professor tinha o compromisso de abordar o tema
“funções”, então decidiu partir dessas situações para trabalhar este conteúdo.
Ao perceber a riqueza das informações apresentadas nos textos, Ferreira (2011) propõe
que cada estudante elaborasse o seu problema. Após a correção do professor, algumas cópias
do problema foram distribuídas entre os alunos, que formaram duplas para resolvê-lo. Ferreira
(2011) comenta que os estudantes solicitaram que o autor do problema não fizesse parte de
nenhum grupo, uma vez que ele já tinha conhecimento da resolução. Como resultado, destaca
que ao se trabalhar com essa metodologia os estudantes constroem seus conhecimentos de
forma natural, sem a utilização de procedimentos convencionais. Ainda, relacionam os
conteúdos estudados com sua vida cotidiana, permitindo uma melhor interpretação e análise
crítica acerca dessa realidade.
Da mesma forma, Prado (2010) considerou a RP na terceira concepção, na abordagem
do Teorema de Tales. A autora relata que, durante as atividades surgiram dificuldades na
resolução dos problemas, relacionando ao desconhecimento de conteúdos referentes aos anos
anteriores, sendo feitas intervenções durante a resolução dos problemas. Entretanto, destaca
que houve perceptíveis avanços na postura e no aprendizado dos estudantes ao decorrer das
atividades.
Fernandes (2016) investigou as contribuições da RP no estudo da divisibilidade de
números naturais, com estudantes do 6° ano, segundo o Modelo Metodológico de Romberg-
Onuchic. Ao final, destaca as contribuições em relação ao comportamento dos estudantes: na
organização, na participação individual e coletiva, além do aprendizado de diversos conceitos
e técnicas relacionadas à divisibilidade. No entanto, aponta que no início a falta de
organização e o não cumprimento de atividades extraclasse prejudicaram o desenvolvimento
de algumas tarefas. Durante o processo da RP, foi possível identificar e sanar defasagens de
conteúdos – em ação diagnóstica e contínua.
No que se refere ao ensino de proporcionalidade, Zanini e Langer (2014), apoiados
nas etapas propostas por Onuchic e Allevato (2014), desenvolveram uma sequência didática
para o ensino de proporcionalidade em uma turma do 7° do ensino Fundamental. As autoras
comentam que durante a intervenção pedagógica, na formação dos grupos, foram utilizados
vários critérios como: sorteio ou ordem dos números da chamada, ordem das filas, afinidade e
grau de facilidade ou dificuldade dos integrantes. Na resolução dos problemas, observou-se
algumas dificuldades em alguns conceitos, havendo intervenção e sugestões de outros
possíveis caminhos para a resolução.
Zanini e Langer (2014) explicam que em cada grupo sempre havia um estudante que
procurava ir explicando e ajudando os colegas com maior dificuldade, ocorrendo a construção
de conhecimentos por meio da interação entre eles.
No que se refere ao registro das soluções na lousa, Zanini e Langer (2014) comentam
que foram poucas as situações em que os registros estavam errados, entretanto, nestas, mesmo
sem a intervenção da professora, alguns estudantes já questionavam o possível erro,
possibilitando discutir diferentes soluções, esclarecimentos de dúvidas e consenso da solução.
Os autores destacam que durante o trabalho com RP os estudantes participaram com
entusiasmo, havendo total envolvimento nas atividades propostas. Além disso, foi possível o
trabalho colaborativo, ruptura do modelo tradicional de ensino, criação de estratégias e
construção de conhecimentos no qual o próprio estudante atuou como protagonista de seu
aprendizado.
Os estudos de Ferreira (2011), Prado (2010), Fernandes (2016) e Zanini e Langer
(2014) ressaltam aspectos potenciais da RP na abordagem de conteúdos da Educação Básica.
Neste sentido, consideram a viabilidade da concepção de ensinar via resolução de problemas.
Na busca de favorecer o desenvolvimento do raciocínio proporcional, mediante a
criação de estratégias que valorizem a participação dos estudantes, tornando a aula mais
dinâmica, é que a presente investigação está assentada. Como delimitação, considera-se o
ensino de proporcionalidade, com base na concepção de ensinar via resolução de problemas –
3° concepção – seguindo as etapas propostas por Onuchic e Allevato (2014) e a TCC,
segundo Gérard Vergnaud, no que se refere à compreensão das estratégias multiplicativas
inerentes ao desenvolvimento do raciocínio proporcional.
1.3 Sobre a questão e objetivos da investigação
Diante da problemática apresentada, propõe-se investigar a Resolução de Problemas,
segundo etapas propostas por Onuchic e Allevato (2014), como alternativa metodológica para
o ensino de proporcionalidade na Educação Básica. O 7° ano do Ensino Fundamental foi
eleito pela justificativa que o primeiro contato formalmente com este conteúdo acontece neste
período escolar. Busca-se, portanto, investigar as estratégias utilizadas pelos estudantes
durante a resolução de problemas. Propõe-se, então, a seguinte questão norteadora: com base
na Teoria dos Campos Conceituais, que potencialidades são percebidas duma metodologia de
ensino baseada na Resolução de Problemas para o desenvolvimento do raciocínio de
proporcionalidade?
Para responder a este questionamento, o objetivo geral está estabelecido como:
“apontar as potencialidades da Resolução de Problemas com base na Teoria dos Campos
Conceituais para o desenvolvimento do raciocínio de proporcionalidade”.
Neste sentido, estão postos três Objetivos Específicos:
Identificar possíveis confluências entre a TCC e a RP no âmbito do
desenvolvimento do raciocino de proporcionalidade.
Propor um guia didático para o ensino de proporcionalidade utilizando a RP com
base na TCC.
Investigar os procedimentos utilizados pelos estudantes do Ensino Fundamental
na resolução de problemas de proporcionalidade.
A fim de alcançar estes objetivos foram vivenciadas diversas situações didáticas com
estudantes do 7° do Ensino Fundamental de um Colégio da rede estadual pública de ensino no
município de Pinhão, PR.
Este estudo desenvolveu-se em dois momentos: o primeiro relacionado a leitura de
artigos, livros, teses e dissertações que tratam sobre o tema em estudo e a elaboração da
proposta didática. E o segundo consistiu da intervenção pedagógica e da análise dos
resultados.
1.4 Estruturação da Dissertação
Esta dissertação está dividida em capítulos de 1 a 5. O capítulo inicial consiste da
Introdução, que discorre sobre: uma revisão da literatura sobre o raciocínio proporcional, o
ensino de proporcionalidade na Educação Básica, questão de investigação e objetivos.
O capítulo 2 apresenta a metodologia de ensino Resolução de Problemas sob a
perspectiva da Educação Matemática e discorre sobre as concepções encontradas na literatura.
O capítulo 3 versa sobre a Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud, base
teórica para análise e interpretação dos dados obtidos, pois a proporcionalidade está inserida
no Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas, portanto, é essencial considerar esta base
teórica neste estudo.
O capítulo 4 descreve a metodologia utilizada na investigação, apresenta a natureza e o
delineamento, caracteriza o local e os sujeitos da pesquisa, apresenta a metodologia de análise
e coleta de dados, bem como o produto educacional que está sendo proposto com este
trabalho.
No último capítulo são apresentadas as análises e interpretações dos dados obtidos
mediante intervenção pedagógica realizada, buscando dialogar coma literatura vigente sobre a
temática em questão.
2 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Neste capítulo, é apresentado os elementos da metodologia de ensino utilizada durante
intervenção pedagógica, mais especificadamente, a Resolução de Problemas. Para isto,
buscou-se apresentar alguns aspectos referentes à Educação Matemática e em seguida a
trajetória da RP, suas concepções e especificidades enquanto tendência metodológica da
Educação Matemática.
2.1 Educação Matemática
Com o crescimento econômico e social decorrem configurações de novas demandas
frente aos anseios da sociedade atual (ALLEVATO, 2013). Os sistemas educacionais devem
dar resposta a múltiplos desafios, promovendo um enriquecimento contínuo dos saberes e do
exercício de uma cidadania adaptada às exigências que atenda a formação que hoje a
sociedade reclama (DELORS, 2004; BRASIL, 1997).
As constantes transformações na sociedade fazem com que o contexto educacional se
adapte a estas mudanças, exigindo dos educadores a busca contínua na reconstrução de seu
conhecimento e de novas práticas de ensino (ALLEVATO, 2013).
Neste cenário, destaca-se o ensino de Matemática frente às novas exigências que
atendam à sociedade atual. Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática − PCN
(BRASIL, 1997) destacam que a Matemática é componente importante na construção da
cidadania, portanto, deve estar ao alcance de todos e seu ensino deve ser meta prioritária do
trabalho docente. Allevato (2013) e Burak (2010) afirmam que a sociedade atual exige que os
cidadãos apresentem aspectos como criatividade, habilidade para trabalhar em equipe,
autodidatismo e saibam agir diante das constatações, mais do que apontar números.
Neste contexto, destaca-se a Educação Matemática − EM3, que possibilita uma leitura
do mundo, que engloba inúmeros saberes, que estuda o ensino e aprendizagem de
Matemática, caracterizada como “uma práxis que envolve o domínio do conteúdo específico
(a matemática) e o domínio de ideias e processos pedagógicos relativos a
transmissão/assimilação e ou a apropriação/construção do saber matemático” (FIORENTINI;
LORENZATO, 2006, p.5).
3 EM é uma abreviatura para Educação Matemática.
Segundo Kilpatrick (1996), a EM apresenta aspectos acadêmicos e profissionais. Sob
o aspecto profissional: as disciplinas nas licenciaturas, de graduação, os concursos para a
criação de disciplinas, etc. No que se refere aos aspectos acadêmicos, é uma área ainda em
construção, que tem se fortalecido com o surgimento de pesquisas cada vez mais qualificadas.
No segundo aspecto, a EM deve buscar cada vez mais interações com o ambiente da sala de
aula, em que a Matemática e o seu ensino, os professores e os estudantes, em relação de
aprendizagem, devem cada vez mais ser mediados pelas contribuições da EM.
Kilpatrick (1996) destaca que, ao considerar os dois aspectos da EM, é necessário
considerar sua interconexão, ou seja, para o desenvolvimento da área científica ela precisa
dialogar e apresentar respostas para a prática profissional. Neste elo, o desenvolvimento
profissional necessita do conhecimento especializado oferecido pela investigação científica e
acadêmica.
Kilpatrick (1996) esclarece que apesar da EM como campo acadêmico e científico ser
recente, com menos de um século de atividade, sua origem remonta ao período em que a
Matemática passa a ser vista como conteúdo a ser ensinado e aprendido na escola. Educadores
matemáticos, inicialmente matemáticos preocupados com a matéria que ensinavam, realizam
suas pesquisas com ênfase nas reflexões sobre os métodos de ensino da disciplina de
matemática. Paralelamente, a Psicologia passa a se estruturar como ciência promovendo
estudos em relação à aprendizagem das crianças, dando suporte ao processo educacional.
Desta forma, a Matemática e a Psicologia formam os primeiros pilares da nova área
acadêmica e científica, chamada EM.
Neste sentido, a EM não envolve apenas a Matemática, mas outros campos do
conhecimento que dão sustento a Educação. Enquanto que a Matemática é pautada pelas
Ciências Exatas e Naturais, a EM é norteada pelas Ciências Humanas e Sociais. Seus objetos
de estudos são distintos, ou seja, a Matemática almeja a construção de conhecimentos
matemáticos, ao ponto que a EM preocupa-se com ensino e aprendizagem da Matemática
(BURAK; MARTINS, 2015).
Burak e Martins (2015) destacam que ao usar as lentes da EM, pretende-se um ensino
que incentive o estudante a pensar, atribuir significado ao que se aprende, apoderar-se de um
conhecimento interdisciplinar e holístico, que demonstre conexões entre as partes e o todo,
saiba explorar e investigar, estabelecer relações, desenvolver capacidades de argumentar e
tomar decisões.
Pela EM, a aprendizagem matemática vai além de decorar fórmulas e algoritmos, é
usar deste conhecimento para transformar sua realidade (BRASIL, 1997). “Aprende-se
Matemática não somente por sua beleza ou pela consistência de suas teorias, mas, para que, a
partir dela, o homem amplie seu conhecimento e, por conseguinte, contribua para o
desenvolvimento da sociedade” (PARANÁ, 2008, p. 48).
Neste sentido, as Diretrizes Curriculares Estaduais − DCE (2008), destacam a
importância de trabalhar conteúdos matemáticos mediante as tendências metodológicas da
Educação Matemática, tais como: Resolução de Problemas (RP); Modelagem Matemática
(MM); Etnomatemática; Mídias Tecnológicas (MT); Historia da Matemática e Investigações
Matemáticas. Dentre estas, optou-se por desenvolver o presente estudo com base na RP,
descrita a seguir.
2.2 A Resolução de Problemas enquanto metodologia de ensino
Resolver problemas sempre foi uma atividade presente na vida do ser humano, e
conforme Azevedo (2014), grandes descobertas aconteceram sempre a partir da resolução de
um problema.
De acordo com Morais e Onuchic (2014), a Resolução de Problemas (RP) como
abordagem metodológica, tem início na primeira metade do século XX em meio a mudanças
curriculares, sendo os Estados Unidos o país em que a RP se constituiu como teoria.
Morais e Onuchic (2014) comentam que na passagem do século XIX para o século
XX, a Teoria da Disciplina Mental (TDM) vigorava e orientava como teoria psicológica os
currículos escolares. Nesta Teoria, a mente humana era considerada como uma hierarquia, ou
seja, uma coleção de faculdades ou capacidades das quais destacam-se a percepção, a
memória, a intuição ou a razão, a imaginação e a compreensão. Acreditava-se que ao treinar
uma faculdade ocorria uma transferência geral da mente para todas as outras, desta forma o
ensino se ocupava mais em desenvolver estas faculdades do que em ensinar conteúdos.
Segundo Morais e Onuchic (2014), com início do século XX e passagem da sociedade
agrária para industrial, a nova economia exigia que as pessoas soubessem mais Matemática a
qual pudesse ser aplicada no dia a dia. Neste sentido, em 1902, Edward Lee Thorndike e
Robert Sessions Woodworth publicam o artigo “A influência da melhoria em uma função
mental sobre a eficiência de outra função”, buscando testar a TDM. Seus resultados
apontaram aspectos relevantes que contradiziam esta teoria, provocando grandes mobilizações
entre matemáticos, psicólogos e pessoas ligadas ao ensino de Matemática. Com a publicação
desta pesquisa, Thorndike desenvolveu uma nova teoria psicológica, que ficou conhecida
como Conexionismo que afirmava que todas as aprendizagens consistem em adições,
eliminação e de organização de conexões.
Nesta teoria o ensino compreendia os seguintes passos: (1) lei do efeito, (2) lei da
prontidão ou da maturidade específica e (3) lei do exercício e repetição. Apoiado na teoria
Conexionista, Thorndike, em 1921, escreve o livro “Os novos Métodos na Aritmética”
afirmando que o ensino de Aritmética deveria ser voltado para a vida, ou seja, os problemas
deveriam apresentar respostas com sentido para a vida real (MORAIS; ONUCHIC, 2014).
Um exemplo de problema é: se fossem comprados 160 mudas e deseja-se plantar 24
por fileira, quantas fileiras seriam necessárias? Quantas mudas restariam? Para esta situação,
Morais e Onuchic (2014) explicam que, para Thorndike, certas perguntas como “Quantas
mudas restariam?” eram inapropriadas, pois se as mudas fossem compradas para o plantio,
todas deveriam ser plantadas. Então, ele sugere uma nova maneira de enunciar este problema
e com uma quantidade diferente, dando sentido ao que poderia de fato acontecer na vida real:
um agricultor possui 150 mudas de uma determinada planta, pensou em plantá-las em fileiras
de 24 mudas, separando as mudas mais feias e fracas. Quantas mudas sobrariam para uma
nova fileira? Quantas mudas, ainda precisariam ser adquiridas?
Morais e Onuchic (2014) esclarecem que apesar de Thorndike ter destinado sua obra
“Aritmética para a vida real” sobre os problemas e suas funções, a teoria Conexionista deu
ênfase à “lei do exercício e repetição” recebendo várias críticas de pesquisas que vinham
sendo publicadas. Para Brownell (1944, apud MORAIS; ONUCHIC, 2014), a visão
conexionista de aprendizagem levava os professores a induzirem respostas nas crianças, não
considerando o estágio de pensamento que haviam alcançado.
Neste contexto, surgem novas teorias de aprendizagem e durante a década de 30 e 40,
a ênfase do ensino da matemática esteve sobre os processos e não somente sobre os produtos.
A teoria psicológica que norteou esta concepção foi a Teoria Significativa de Willian
Brownell. É neste cenário que a RP constituiu-se como uma teoria com a publicação do livro
a “Arte de resolver problemas” de George Polya, em 1945 (MORAIS; ONUCHIC, 2014).
Segundo Onuchic (1999) foi a partir deste livro, pela primeira vez, que a resolução de
problemas é tratada como tema de interesse para professores e estudantes, e a RP começa
então a ser investigada como tendência metodológica da Educação Matemática. Inicialmente
os estudos envolvendo resolução de problemas, antes da década de 60, buscavam sucesso na
solução do problema, não havendo preocupação com os processos.
O ensino de resolução de problemas limitava-se ao ensino da busca de solução, tipo
treino, num esquema cognitivo estímulo-resposta. Entre as décadas de 60-80 o ensino
voltou-se aos processos de resolução de problemas, centrando o ensino em diferentes
estratégias (ANDRADE, 1998, p.8).
Conforme Onuchic (1999), no final da década de 70, a RP ganha espaço no mundo
inteiro, começando um movimento a favor da resolução de problemas. Durante a década de
1980, vários recursos em RP foram desenvolvidos visando ao trabalho em sala de aula, na
forma de coleções de problemas, lista de estratégias, sugestões de atividades e orientações
para avaliar o desempenho dos estudantes.
Morais e Onuchic (2014) comentam que, em 1980, a National Councilof Teachers of
Mathematics (NCTM) publica o documento “Uma Agenda para Ação-Recomendações para a
Matemática escolar para década de 1980” propondo que a RP fosse o foco da matemática
escolar para aquela década. A pesquisa em Educação Matemática que tratava de Resolução de
Problemas tornou-se vasta, e o termo resolução de problemas tornou-se comum nos textos e
livros textos de Matemática (ALLEVATO, 2013).
Terto (2008) comenta que os materiais produzidos nesta época ajudaram os
professores a dar mais ênfase à resolução de problemas em sala de aula. No entanto, o
trabalho com resolução de problemas não obteve sucesso devido às diferentes concepções,
sobre as divergências entre ela ser ou não o ponto central da Matemática escolar. Ainda, nos
dias atuais a RP causa dúvidas entre os professores, não se elegendo como prática comum no
âmbito escolar. Neste sentido, as concepções sobre a RP devem ser esclarecidas.
2.3 Concepções sobre a Resolução de Problemas
A importância dada a RP no âmbito da Educação Matemática é recente e somente nas
últimas décadas que educadores matemáticos passaram a aceitar a ideia que o
desenvolvimento da capacidade de resolver problemas merecia mais atenção (ONUCHIC;
ALLEVATO, 2005).
Segundo Lambdin e Walcott (2007, apud MORAIS; ONUCHIC, 2014) a RP toma
força a partir dos anos 1980 quando teorias de aprendizagem como o Construtivismo, a
Psicologia Cognitivista e a Teoria de Sociocultural de Vygotsky estão voltadas aos processos
de aprendizagem do pensamento matemático.
De acordo Morais e Onuchic (2014), três concepções de realizar o trabalho em sala de
aula de Matemática utilizando a RP são apontadas por Hatfild (1978) e mais tarde nos estudos
de Schroeder e Lester (1989) a quais destacam-se: (1) ensinar sobre Resolução de Problemas;
(2) ensinar para resolução de problemas, e (3) ensinar via resolução de problemas.
A primeira concepção, de acordo com Allevato (2013), corresponde a uma teorização
sobre resolução de problemas, ou seja, vista como mais um conteúdo a ser ensinado. O livro
“A Arte de Resolver Problemas” de Polya (1945) pode ser considerado o mais importante
exemplo de obras que tratam do ensino sobre resolução de problemas. Em seu livro, Polya
propõe 4 etapas a serem seguidas na resolução de um problema: (1) Compreensão do
problema; (2) estabelecimento de um plano; (3) execução do plano e (4) retrospectiva.
Nesta concepção, o estudante era submetido a longas listas de problemas semelhantes
uns aos outros, com o objetivo de promover a fixação das estratégias adotadas para chegar a
solução. Acreditava-se que se o aluno repetisse nas avaliações o que o professor ensinou, ele
havia aprendido (ALLEVATO, 2013).
A segunda concepção considera a Matemática como utilitária, ou seja, que a aquisição
do conhecimento matemático deve possibilitar ao aluno sua aplicação. O professor preocupa-
se com as habilidades dos alunos aplicarem o que aprenderam em problemas de diversos
contextos. Para Allevato (2013), esta concepção é atualmente a mais utilizada nos livros texto
de Matemática, no entanto, passa a ideia que os estudantes só podem realizar uma
determinada atividade depois da introdução de um conceito e do treino de um cálculo ou
algoritmo. Nesta concepção a Matemática é ensinada separada de suas aplicações. Van de
Walle (2001) descreve este tipo de abordagem de ensino como paradigma do “teach-then-
solve”, referindo-se à abordagem em que há separação entre o que é ensinar Matemática e o
que é resolver problemas.
A terceira concepção, segundo Allevato (2013), considera um meio para ensinar
Matemática, que atualmente configura-se em ensino através da resolução de problemas. Essa
concepção pode estar associada à ideia do construtivismo, que de acordo com Santos,
[...] a aquisição de novos conhecimentos está ligada ao processo de internação entre o
sujeito e objeto de estudo, em matemática costumamos dizer que o aluno aprende pela
resolução de problemas, e não escutando o professor relatar esse objeto em sala de
aula (SANTOS, 2002, p.154).
Para exemplificar essa ideia, Santos (2002) apresenta o seguinte esquema:
Figura 3 – Ideia construtivista de Santos para a resolução de problemas
Fonte: SANTOS (2002, p. 15)
Neste esquema, Santos (2002) explica que o estudante é colocado em situação que
percebe que os conhecimentos são insuficientes para resolver determinado problema, e assim
é forçado a mobilizar novos conhecimentos para resolver a situação. Desta forma, a
responsabilidade pela aprendizagem é colocada em suas mãos. Embora o esquema
apresentado por Santos (2002) contemple momentos importantes para a resolução de
problemas, deve-se considerar a leitura e compreensão do problema como ponto de partida
em atividades matemáticas, pois é a partir deste momento que o estudante identifica as
relações contidas no problema e investe seus conhecimentos, conforme Figura 3.
Na concepção via resolução de problemas, os problemas são propostos aos alunos
antes que lhe seja apresentado formalmente o conteúdo matemático. Tais problemas são
escolhidos ou criados de acordo com o tema a ser ensinado pelo professor. Assim, o ensino de
um assunto matemático começa por um problema que carrega em sua estrutura aspectos chave
desse tópico. O ponto de partida das atividades matemáticas deixa de ser a definição e passa a
ser o problema, chamado de problema gerador (ALLEVATO; ONUCHIC, 2005).
Segundo Allevato e Onuchic (2005), esta abordagem é mais completa e abrangente
que as outras duas, uma vez que não exclui as demais concepções. Segundo Allevato (2013),
quando adotada proporciona momentos de aprendizado tanto sobre resolução de problemas,
quanto sobre a Matemática para resolver novos problemas.
Morais e Onuchic (2014) destacam que em atividades utilizando esta concepção, o
professor não pode indicar os métodos e/ou regras para chegar a solução. Autores como
Krulik (2005) e Van de Walle (2009), segundo Allevato (2013), apresentam formas de colocar
essa metodologia em prática. Onuchic e Allevato (2014) sugerem as etapas para se trabalhar
com essa metodologia, descritas no Quadro 1.
Quadro 1 − Etapas da resolução de problemas propostas por Onuchic e Allevato (2014)
Fase Procedimento
Elaboração do
problema
O professor seleciona ou elabora um problema e propõe aos estudantes, ou aceita um
problema proposto por eles. Este problema inicial é chamado de problema gerador.
Leitura individual Cada aluno recebe o problema impresso e então é solicitada sua leitura.
Leitura em conjunto Formar grupos e solicitar nova leitura do problema, agora nos grupos.
Resolução do
problema Em grupos, os alunos buscam resolver o problema.
Observar e
incentivar
O professor omite-se da tarefa de transmissor do conhecimento dando tempo e
oportunidade para que os alunos pensem, incentivando e fornecendo pequenas dicas.
Registro das
soluções na lousa Solicitar a cada grupo que apresente na lousa a sua resolução do problema.
Plenária Mediar um debate sobre as soluções apresentadas.
Busca do consenso Tentar chegar a um consenso sobre o resultado correto.
Formalização do
conteúdo Apresentar formalmente o conteúdo matemático envolvido no problema para a turma.
Fonte: Adaptado de ONUCHIC e ALLEVATO (2014)
Conforme as etapas propostas por Onuchic e Allevato (2014), percebe-se que a
primeira etapa, ou seja, a elaboração do problema é de responsabilidade do professor, no
entanto pode-se aceitar um problema proposto pelos estudantes. Entretanto, deve-se tomar
cuidado com a estrutura do problema, para que não fuja dos objetivos do que se deseja
ensinar.
Outro ponto a destacar refere-se à resolução do problema, em que os estudantes
durante a resolução apresentem dificuldades de conteúdos e conhecimentos prévios, sendo
necessário que o professor explique ou retome estes conteúdos na lousa ou de forma
individual.
Em particular, para o desenvolvimento deste trabalho considerou-se a terceira
concepção, seguindo as etapas propostas por Onuchic e Allevato (2014) apresentadas no
Quadro 1.
2.4 A Resolução de Problemas na Educação Básica
Os PCN (BRASIL, 1997) apontam a RP como um ponto de partida em atividades
matemáticas. Conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a
exploração de problemas. Van de Walle (2001) destaca que a resolução de problemas deve ser
o foco do currículo de Matemática e a principal estratégia de ensino.
Ao eleger a RP como metodologia de ensino, Onuchic (1999, p.216) afirma que “o
papel do professor muda de comunicador de conhecimento para o de observador, organizador,
consultor, mediador, interventor, controlador e incentivador da aprendizagem”.
Smole e Diniz (2001) comentam que ao trabalhar com RP, o professor deve
possibilitar um espaço para discussões dos problemas, em que os estudantes elaborem
estratégias de resolução, apresentem hipóteses, façam registros das soluções encontradas e
reformulem estratégias sempre que necessário para chegar a uma solução coerente.
Neste contexto, aumenta-se a dinamicidade das aulas e foge-se das práticas
tradicionais de abordagem do conteúdo. Assim, é possível tirar o estudante de sua tradicional
postura passiva em sala de aula, para levá-lo a uma postura ativa e interessada (ONUCHIC;
ALLEVATO, 2005).
De acordo com Allevato (2005), algumas dificuldades na implementação da RP como
metodologia de ensino podem ser evidenciadas. Para a autora desprender-se do método
tradicional de ensino não é fácil, deve-se ter clareza do que é principal e o que é secundário
entre tudo o que se quer ou precisa ensinar. Escolhido o conteúdo é de fundamental
importância propor bons problemas que direcionem o estudante ao que é pretendido.
Merichelli (2010) comenta que ao se trabalhar com a RP, os problemas devem ser
adequados ao que se pretende ensinar. Não se trata de escolher aleatoriamente um problema
do livro didático, a elaboração ou seleção de problemas deve ser cuidadosa a fim de dar
oportunidade aos estudantes de sistematizar e ampliar os conhecimentos matemáticos.
Breseghello (2016) destaca que ao se trabalhar com a RP o docente deve ter uma
postura de mudança, ou seja, ao invés de solicitar aos estudantes que lhe façam perguntas, é o
docente que pergunta para que os estudantes possam responder. Dante (1998) afirma que o
professor deve estar habilitado para realizar perguntas aos seus alunos, para que estes possam
compreender o problema e em conseguinte realizar perguntas ao docente e entre eles mesmos.
Deve-se conduzir este processo propiciando situações que promovam o surgimento de
diferentes estratégias de resolução, em que as estratégias utilizadas sejam socializadas e
comparadas com os demais estudantes, sempre dando ênfase ao processo e não ao produto.
Conforme as contribuições da RP, mencionadas anteriormente, Gonçalves (2015)
destaca que a RP não é a única metodologia de ensino, no entanto quando eleita no processo
de ensino e aprendizagem no âmbito da Educação Matemática, tem o poder de romper com o
ensino tradicional, possibilita desenvolver o Ensino da Matemática de forma colaborativa e
reflexiva, em que o estudante tem papel ativo na construção de seu conhecimento.
2.5 Investigações envolvendo a RP na Educação Básica
Na busca de promover a RP como prática comum no âmbito escolar, estudos vêm
sendo realizados a fim de investigar suas contribuições no processo de ensino e
aprendizagem.
Martinez (2015) em seu estudo aborda o conteúdo de função exponencial com
estudantes do 1° ano de Ensino Médio utilizando a RP na concepção de Polya articulada com
o Software GeoGebra. Para introdução deste conteúdo utiliza dois problemas relacionados à
temática em estudo. O primeiro sobre crescimento de bactérias e o segundo referente à
construção do gráfico de uma função exponencial, relacionando-o com a situação proposta.
Seus resultados apontam para uma melhor compreensão deste conceito e possibilidades de
trabalhar com a RP concomitantemente com outras metodologias de ensino, por exemplo, RP
e Mídias tecnológicas.
Martinez (2015) destaca que há um grande desafio em se trabalhar com RP, pois a
preparação de atividades demanda tempo, estudo e paciência. Exige mudança de postura, não
sendo mais aquele professor que passa os conceitos na lousa e explica, mas sim aquele que
constrói com os estudantes os conceitos, passando a mediar suas respostas.
No mesmo sentido, Makuch (2016) elabora seu estudo utilizando a RP e Mídias
Tecnológicas de acordo com a terceira concepção apoiada nas ideias de Onuchic e Allevato
(2014). Com o uso de Mídias tecnológicas, buscou explorar potencialidades de simulações
interativas PhET no ensino de frações com estudantes da Sala de Apoio e Aprendizagem de
Matemática. Seu estudo dividiu-se em dois momentos, o primeiro relacionado à sala de aula,
com aplicações dos problemas envolvendo frações e o segundo em laboratório com atividade
mediada pelo uso do PhET.
As atividades propostas no estudo de Makuch (2016) passaram por três etapas: antes
(Preparação do Problema), durante (Resolução do Problema) e depois (Plenária e
Formalização) conforme sugere Onuchic e Allevato (2014). Seus resultados evidenciaram que
a utilização da RP, aliada as Mídias Tecnologias, promoveu grande entusiasmo e motivação
aos estudantes, contribuindo para a aprendizagem de frações.
A autora relata que durante a atividade os estudantes puderam ser colaborativos, pois
sempre que um aluno pedia esclarecimento sobre algo, eles próprios se ofereciam a responder,
cooperando uns com os outros. Ainda, durante a socialização das respostas, alguns alunos
tiveram oportunidade para ensinar seus colegas e mostrar como chegaram a resposta correta.
Seu estudo evidencia contribuições da RP ao ensino de frações.
No que se refere ao ensino de proporcionalidade com abordagem da RP, Abucarub e
Martin (2014), apoiados nas 4 etapas de Polya: (1) Compreensão do problema; (2)
Estabelecimento de um plano; (3) Execução do plano e (4) Retrospectiva, investigam
estratégias movidas por estudantes do 6° e 7° ano na resolução de problemas. Em um primeiro
momento estas turmas receberam um questionário com alguns problemas envolvendo
proporção, o que possibilitou identificar diferentes estratégias movidas pelos estudantes do 6°
ano, tais como: multiplicação entre um escalar, somas sucessivas e desenhos, enquanto que no
7° ano a estratégia mais utilizada foi a comparação entre razões, ou seja, a 'regra de três'.
Os autores destacam que mesmo sem o ensino formal de proporcionalidade, os
estudantes de 6° ano resolveram de forma correta alguns problemas, resultado tratado em
Costa (2007). No entanto, no 7° ano os estudantes apresentaram confusão ao comparar as
grandezas quando utilizado o algoritmo denominado 'regra de três', não resolvendo
corretamente algumas questões. Em um segundo momento, os estudantes receberam quatro
problemas os quais deveriam seguir as etapas de Polya, e então construir uma maquete de um
imóvel real do município. Abucarub e Martin (2014) destacam que ao utilizar estas etapas
para resolução dos problemas os estudantes passaram a ler com mais atenção o enunciado, em
seguida a identificar com mais facilidade as grandezas inseridas, bem como a traçar
mentalmente uma estratégia para a resolução das questões. Durante a construção da maquete,
constatou que os estudantes estavam seguindo uma estratégia e quando deparavam-se com um
erro retornavam ao ponto de início, e faziam uma nova leitura do problema.
Abucarub e Martin (2014) comentam que ao assumir a RP no ensino de
proporcionalidade, os estudantes demonstraram total controle nas atividades que eram
necessários a leitura e interpretação, tornaram-se libertos, pois não estavam “engessados” em
apenas uma estratégia de solução.
Os estudos observados nesta seção sugerem que o trabalho com a RP pode contribuir
com a promoção de um ensino de matemática mais dinâmico e atraente. É neste sentido que
considerou-se esta metodologia de ensino no desenvolvimento deste estudo.
3 TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS
Neste capítulo, é feita uma breve abordagem sobre a Teoria dos Campos Conceituais
de Gerárd Vergnaud e do Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas. Buscou-se
apresentar os principais aspectos referentes a esta base teórica para interpretação dos dados
obtidos neste estudo. Ao final deste capítulo, são abordados alguns estudos correlatos.
3.1 Teoria dos Campos Conceituais
A Teoria dos Campos Conceituais (TCC) foi proposta pelo psicólogo, pesquisador e
professor Gérard Vergnaud. Seus estudos procuram investigar o sujeito do conhecimento em
resposta a uma situação de ensino. Vergnaud (1982) toma como premissa que o conhecimento
está organizado em campos conceituais cujo domínio, por parte do sujeito, ocorre ao longo de
um largo período de tempo, por meio de experiência, maturidade e aprendizagem.
Para Vergnaud (1982), Campo Conceitual é um conjunto informal e heterogêneo de
problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e operações de pensamento,
que são conectados uns aos outros e, provavelmente, entrelaçados durante o processo de
aquisição.
Segundo Moreira (2002), o âmago do desenvolvimento cognitivo na TCC é a
conceitualização, tendo como chave além do próprio conceito de campo conceitual, os
conceitos de esquema, situação, invariante operatório (teorema-em-ação ou conceito-em-
ação), e a sua concepção de conceito.
Vergnaud (1993, p.1) afirma que a TCC não é uma teoria didática, pois “ao fornecer
uma estrutura à aprendizagem, ela envolve a didática, embora não seja uma teoria didática”.
Pais (2008, p. 66) destaca que “uma situação didática é formada pelas múltiplas relações
pedagógicas estabelecidas entre o professor, os alunos e o saber, com a finalidade de
desenvolver atividades voltadas para o ensino e aprendizagem de um conteúdo específico”.
Entretanto, Zanella e Barros (2014) afirmam que a TCC pode ser considerada uma
teoria didática, pois está situada em um sistema (Figura 3) que liga o professor, aluno e saber.
Figura 4 − Triângulo da didática
Fonte: FIOREZE (2010, p. 28)
Segundo Astolfi et al. (2002) a didática pode ser simbolizada por um triângulo em que
seus vértices representam a estrutura conceitual e a epistemologia (vértice saber), as diversas
psicologias da aprendizagem (vértice aluno) e os modelos de ensino (vértice professor). Nesta
visão, o professor não é apenas um sujeito que ensina e o aluno um mero sujeito do processo
de ensino e aprendizagem. Para Menezes (2006, p. 30-31) “há uma menor rigidez em relação
a esses papeis, pois ambos, agora são sujeitos participantes de um processo ativo e interativo
de construção de significados”.
Segundo Menezes (2006), existem diferentes concepções em analisar a tríade entre
professor-aluno-saber, podendo ser de forma triangular, dual ou, ainda, individual. Para
Vergnaud, o ensino não se dá no sentido intransitivo e sim partindo de um determinado
conteúdo do saber, considerando as relações estabelecidas entre professor e o aluno no
processo de ensino e aprendizagem.
No que se refere à Didática da Matemática, segundo Zanella e Barros (2014), estuda
situações inerentes aos processos de ensino e aprendizagem, dá importância à significações
das tarefas e privilegia a construção de conceitos por meio de atividades desenvolvidas em
sala de aula. Neste sentido,
a TCC proporciona o estudo das ações dos alunos e as condições de produção, registro
e comunicação durantes situações de aprendizagem. Proporciona ao professor uma
compreensão das ações do estudante, fornecendo subsídios para a organização dos
conteúdos em sala de aula, de modo a privilegiar uma diversidade de situações
relacionadas ao mesmo conceito (ZANELLA; BARROS, 2014, p.10).
Vergnaud (1993, p. 1) destaca que TCC “é uma teoria cognitivista, que busca propiciar
estrutura coerente e alguns princípios básicos ao estudo do desenvolvimento e da
aprendizagem das competências complexas, sobretudo as que dependem da ciência e técnica”,
sendo sua principal finalidade:
[...] propor uma estrutura que permita compreender as filiações e rupturas entre
conhecimentos, em crianças e adolescentes, entendendo-se por “conhecimentos”,
tanto as habilidades quanto as informações expressas. As ideias de filiação e ruptura
também alcançam as aprendizagens do adulto, mas estas ocorrem sob condições mais
ligadas ao hábito e forma de pensamentos adquiridas, do que ao desenvolvimento da
estrutura física. Os efeitos da aprendizagem e do desenvolvimento cognitivo ocorrem,
na criança e no adolescente, sempre em conjunto (VERGNAUD, 1993, p. 1).
Vergnaud (1993) afirma que a TCC não é uma teoria específica da Matemática, no
entanto, foi elaborada a fim de explicar o processo de conceitualização progressiva das
estruturas aditivas, das estruturas multiplicativas, das relações entre número-espaço e álgebra.
Destacam-se dois objetivos principais desta teoria:
[...] (1) escrever e analisar a complexidade progressiva, a longo e médio prazo, das
competências matemáticas que os estudantes desenvolvem dentro e fora da escola e
(2) estabelecer melhores conexões entre a forma operacional do conhecimento, que
consiste em ação no mundo físico e social, e a forma predicativa do conhecimento,
que consiste na linguagem e na expressão simbólica desse conhecimento
(VERGNAUD, 2009a, p. 83).
Para Zanella e Barros (2014), Vergnaud ao citar a complexidade progressiva Das
Matemáticas, está se referindo a aprendizagem do estudante diante de situações problemas, a
qual está associada à forma dos enunciados, da estrutura cognitiva dos estudantes, do contexto
envolvido e da forma como os dados são apresentados.
Conforme Zanella e Barros (2014), as situações problemas que envolvem vários
conceitos são mais proveitosas, sendo o desafio do professor de matemática elaborá-las
adequadamente. Astolfi et al. (2002) destacam que situações problemas são mais vastas, pois
partem de problemas complexos e podem ser construídas a partir de dificuldades de
aprendizagem identificadas, fazendo surgir seu debate em sala de aula.
Para Aguiar (2017), a TCC considera que a aquisição de conceitos está ligada a três
aspectos principais: o primeiro relacionado à análise e categorização de problemas
matemáticos (classes de situações problemas); o segundo referente a descrição e análise dos
diferentes conhecimentos envolvidos na resolução destes problemas (invariantes operatórios),
e o terceiro sobre a representação simbólica empregada na resolução.
No contexto da TCC, o conceito não é simplesmente sinônimo de definição, mas o
conjunto de formas de linguagem que podem ser utilizadas para representá-lo
simbolicamente. Em Matemática, conceituar um objeto não se restringe apenas em defini-lo,
mas também ao estabelecer relações e encontrar formas de utilizá-lo para resolução de
problemas que o envolvam (AGUIAR, 2017).
A TCC considera que o desenvolvimento de um conhecimento conceitual deve surgir
de situações problemas em que sejam consideradas a representação, esquemas, o conceito e os
invariantes operatórios (conceitos e teoremas em ação) (VERGNAUD, 2009b).
Para Astolfi et al. (2002) um conceito é considerado um conjunto de elementos que
possuem a mesma finalidade. Conforme Vergnaud (1993), um conceito sempre funciona em
relação com outros conceitos teóricos e práticos, formando um nó em uma rede complexa de
relações, coerente e organizada apresentando uma extensão e uma compreensão, um domínio
e uma validade, sempre dependentes de uma definição prefixada. Neste sentido, não está
restrito a uma definição, pois o interesse está em seu ensino e aprendizagem.
Zanella e Barros (2014) explicam que a compreensão de um conceito pelo estudante
não se dá apenas em uma única situação, não deriva apenas de uma situação, nem um só
conceito e nem uma só situação dão conta do processo aquisitivo de um determinado
conhecimento, uma vez que os conceitos matemáticos estabelecem seus sentidos por meio de
diferentes situações.
Pais (2008) esclarece que a utilização de diferentes situações propicia ao estudante a
conexão entre os vários conceitos, e assim faz com que o conhecimento seja caracterizado
como uma sucessão de adaptações que o estudante realiza a partir de situações vivenciadas na
escola e em seu dia a dia.
Vergnaud (1993) define conceito como uma terna C = (S, I, R), em que S é um
conjunto de situações que dão significado ao conceito; I é um conjunto de invariantes
operatórios que estruturam as formas de organização das atividades (esquemas), que podem
ser evocados por estas situações; e, R representa o conjunto de representações simbólicas e
linguísticas (álgebra, diagramas, gráficos, etc.) que permitem representar os conceitos e suas
relações e, consequentemente, as situações e esquemas que eles evocam.
Moreira (2002) explica que o tripleto (S, I, R), em termos psicológicos, são a realidade
(S) e (I, R) a representação que pode ser considerada como dois aspectos interagentes do
pensamento, o significado (I) e o significante (R). Portanto, para estudar o desenvolvimento
de um determinado conceito durante o processo de aprendizagem, é necessário considerar os
três conjuntos simultaneamente nas práticas escolares. Zanella e Barros (2014) esclarecem
que não se pode afirmar que há relação biunívoca entre significantes e significados, nem entre
invariantes e situações. Não se pode considerar um único conceito e uma única situação, e
nem analisar uma única situação com um único conceito.
No que se refere aos esquemas, Vergnaud (2009a) comenta que o conceito de esquema
foi introduzido por Piaget, embora há relatos que filósofos do século XIX, como Kant e
psicólogos do século XX utilizaram este termo. No entanto, Piaget foi o primeiro a fornecer
exemplos concretos, definições e descrições sobre significado de esquema no
desenvolvimento da criança.
Vergnaud (1993, p. 2) define esquema como “a organização invariante do
comportamento para uma classe de situações dadas”. É nos esquemas que pode-se indicar
elementos cognitivos que fazem com que a ação do sujeito seja operatória. Por exemplo, no
campo da motricidade, o esquema que organiza o movimento do corpo do atleta no instante
do salto em altura representa um conjunto de conhecimentos espaciais e mecânicos.
No que se refere à Matemática, Vergnaud (1993) explica que as competências são
sustentadas por esquemas organizadores do pensamento. Por exemplo, o esquema de
resolução de uma equação da forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 positivos e 𝑏 < 𝑐 (o que não
ocorre quando um dos valores 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são negativos ou quando 𝑐 < 𝑏) atinge alto grau de
disponibilidade e confiabilidade por crianças do quinto e sexto ano do ensino Fundamental. A
sequência registros escritos pelos estudantes mostra claramente uma organização invariante
apoiada em hábitos e teoremas do tipo: mantêm-se a igualdade verdadeira subtraindo 𝑏 de
ambos os lados, ou dividindo por a. As operações de trocar o sinal do número ao se trocar de
lado da igualdade, isolar o 𝑥, são processos cognitivos que se automatizam progressivamente
na medida em que o estudante adquire confiabilidade no esquema, no conhecimento que ele
possui, explícito ou implícito, e das características em relação ao algoritmo e do problema a
resolver.
A automatização, segundo Vergnaud (1993), é uma das mais visíveis do caráter
invariante da organização da ação. No entanto, ressalta que uma série de descrições
conscientes também pode ser objeto de uma organização invariante. A automatização não
impede que o sujeito controle condições sob as quais ele considere tal operação apropriada ou
não. Por exemplo, na utilização do algoritmo da adição em numeração decimal, há
procedimentos totalmente automatizados utilizados pelas crianças. Entretanto, há ações
diferentes em função das características da situação, ou seja, em todos os nossos
comportamentos há uma parte de automatismo e outra de decisão consciente.
Vergnaud (1993) afirma que algoritmos são esquemas, ou ainda, esquemas são objetos
do mesmo tipo lógico dos algoritmos. Em muitas vezes, faltam-lhes efetividades, ou seja,
após um número de passos, chegar a uma resposta adequada ao problema em questão. Os
esquemas são eficazes, mas nem sempre afetivos. Quando uma criança utiliza um esquema
ineficaz em uma determinada situação, surge a necessidade de modificar o esquema.
Fioreze (2010) destaca que a utilização de esquemas pode levar a erros devido à falta
de conceitualização. Os esquemas estão sempre apoiados em uma conceitualização implícita.
Por exemplo, o algoritmo da multiplicação envolve o posicionamento decimal, decomposição
e base decimal, ou seja, sem a conceitualização implícita pode haver erros na execução deste
esquema.
Neste aspecto, surgem os conceitos em ação e os teoremas em ação, que segundo
Vergnaud (2009c) o primeiro refere-se a um conceito considerado pertinente na ação em
situação, e o segundo uma proposição tida como verdadeira na ação em situação, ou podendo
ser designada com uma expressão mais global “invariantes operatórios” (VERGNAUD, 1993,
p. 4).
Fioreze (2010) esclarece que, diante de novas situações, o estudante constrói novos
esquemas, utilizando-se de conhecimentos e esquemas anteriores, adaptando-os. O
funcionamento cognitivo em uma determinada situação irá depender da quantidade de
esquemas disponíveis, formados anteriormente. A aquisição de conhecimentos baseia-se em
situações problemas que o sujeito já vivenciou. A generalização de um esquema passa pelo
reconhecimento de invariantes.
Neste contexto, como ilustração, considere-se a situação: usando apenas os algarismos
0, 2, 3 e 4, quantos números diferentes de quatro algarismos podem ser formados?
Na resolução desta questão, Aguiar (2017) explica que o estudante pode optar por
listar todas as opções de números com quatro algarismos, alterando as posições dos números e
observando que o 0 não pode ocupar a primeira posição. Esta forma como pode ser resolvido
constitui um possível esquema. Neste esquema, a ação do sujeito está apoiada nas noções de
contagem, sem o uso do Princípio Multiplicativo. No entanto, a autora afirma que ao se
deparar com situações semelhantes é possível que o estudante automatize o esquema utilizado
e deduza o Princípio Multiplicativo, fazendo com que este problema passe a compor a classe
de situações em que o sujeito já possui uma conduta automatizada.
No que se refere ao raciocínio de proporcionalidade, há vários conceitos que se
relacionam, a 'regra de três' se apresenta como um possível esquema de solução. No entanto,
não é um esquema construído pelo estudante, fazendo com que no momento de sua utilização
possam ocorrer erros conceituais (FIOREZE, 2010). Neste sentido, é desejável a exploração
de diferentes situações visando à construção de estratégias (esquemas) e o desenvolvimento
do raciocínio de proporcionalidade. Neste encalço, a TCC contribui com a investigação a fim
de identificar os esquemas utilizados por estudantes na resolução dos problemas. Em
particular, neste estudo, como a proporcionalidade faz parte das estruturas multiplicativas, é
essencial considerá-las como base teórica.
3.2 Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas
Fioreze (2010) afirma que, entre os campos conceituais estudados por Vergnaud, as
estruturas multiplicativas e a proporcionalidade ocupam posições privilegiadas, pois são
consideradas o pivô no ensino de Matemática e na construção das estruturas cognitivas do
pensamento.
O campo conceitual das estruturas multiplicativas, segundo Zanella e Barros (2014), é
o conjunto das situações cuja resolução implica em multiplicações e divisões ou em uma
combinação entre ambas, e o conjunto de conceitos e teoremas que permitem analisar estas
situações como atividades matemáticas tais como “proporção simples e múltipla, função n-
linear, razão escalar direta e inversa, quociente e produtos de dimensões, combinação linear e
aplicação linear, razão, fração, número racional, múltiplo e divisor (VERGNAUD, 1993, p.
9).
Segundo Vergnaud (1991), as relações multiplicativas estão distintas em: isomorfismo
de medidas e produto de medidas. O isomorfismo de medidas é uma relação quaternária e
discute quatro quantidades, duas a duas, medidas diferentes, e uma dessas quantidades
corresponde ao valor unitário. O produto de medidas é uma relação ternária entre três
quantidades, das quais uma delas é o produto de outras duas, tanto no plano numérico, quanto
no plano dimensional (ZANELLA; BARROS, 2014). Vergnaud (2009b) explica, ainda, que
existem 3 classes do isomorfismo de medidas e duas classes de produto de medidas.
Para a primeira classe de isomorfismo de medidas, ou seja, a multiplicação conhece o
valor unitário e as outras duas quantidades, conforme ilustrado no Quadro 2.
Quadro 2 − de Primeira classe de isomorfismo medidas
Quantidade a Quantidade b
1
𝑏
𝑎
𝑥
Fonte: ZANELLA e BARROS (2014, p. 63)
Sobre esta classe, visando a uma contextualização, considere-se o seguinte problema:
Ana tem 4 pacotes de canetas, em cada pacote há três canetas. Quantas canetas Ana possui?
Uma resolução desta situação está apresentada no Quadro 3.
Quadro 3 − Representação da resolução de uma situação da primeira classe
de isomorfismo de medidas
Quantidade de pacotes de canetas
Quantidade de canetas
1
4
3
𝑥
Fonte: Adaptado de ZANELLA e BARROS (2014, p. 64)
A equação que representa esta situação é: 1
4=
3
𝑥⇒ 1. 𝑥 = 4.3 ⇒ 𝑥 = 12, ou seja, Ana
possui 12 canetas. Os valores 1 e 4 correspondem ao número de pacotes, e 3 e 𝑥 ao número de
canetas. As grandezas envolvidas são de naturezas distintas, ou seja, o operador vertical é
adimensional, que permite passar de uma linha a outra na mesma categoria de medidas,
enquanto que o operador horizontal representa a função relacional, que expressa a passagem
de uma categoria de medidas a outra, expressa neste problema como o quociente 𝑐𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎
𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒
(VERGNAUD, 2009b).
Conforme Zanella e Barros (2014) há duas possibilidades de determinar o número 𝑥
× 4 × 4 × 3 𝑐𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎
𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒
de canetas. A primeira aplicando o operador vertical (× 4) à quantidade de 3 canetas e, a
segunda em aplicar a função relacional: 3 𝑐𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎
𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒 vezes 4 pacotes de canetas.
Para a segunda classe de isomorfismo de medidas, ou seja, a divisão, busca-se o valor
unitário, conforme ilustrado no Quadro 4.
Quadro 4 − Segunda classe de isomorfismo de medidas
Quantidade a Quantidade b
1
𝑏
𝑥
𝑐
Fonte: ZANELLA e BARROS (2014, p. 65)
Como exemplo de situação desta classe: Carlos pagou R$ 9,00 por 3 revistas. Quanto
custa cada revista? Um esquema de resolução está representado no Quadro 5.
Quadro 5 − Representação da resolução de uma situação da segunda classe de
isomorfismo de medidas
Quantidade de revistas
Valor pago (R$)
1
3
𝑥
9
Fonte: Adaptado de ZANELLA e BARROS (2014, p. 66)
A equação que representa esta situação é: 1
3=
𝑥
9⇒ 3. 𝑥 = 9.1 ⇒ 𝑥 =
9
3⇒ 𝑥 = 3, ou seja,
Carlos pagou R$3,00 em cada revista. De acordo com Vergnaud (2009b), o operador vertical
é adimensional, que permite passar de uma linha a outra na mesma categoria de medidas,
enquanto que o operador horizontal representa a função relacional, que expressa a passagem
÷3 ÷3 ×𝑅$ 3,00
𝑟𝑒𝑣𝑖𝑠𝑡𝑎
entre a quantidade de revistas pelo valor pago unitário pago.
A terceira classe relaciona na divisão a busca por uma quantidade de unidades,
conforme ilustrado no Quadro 6.
Quadro 6 − Terceira classe de isomorfismo de medidas
Quantidade a Quantidade b
1
𝑥
𝑎
𝑐
Fonte: ZANELLA e BARROS (2014, p. 67)
O seguinte problema ilustra esta classe: João tem R$ 20,00 e quer comprar cadernos
que custam R$ 5,00 cada um. Quantos cadernos poderá comprar? Um esquema para a
resolução desta situação está apresentado no Quadro 7.
Quadro 7 − Representação da resolução de uma situação da terceira classe de
isomorfismo de medidas
Quantidade de cadernos
Preço (R$)
1
𝑥
5
20
Fonte: Adaptado de ZANELLA e BARROS (2014, p. 68)
A equação que representa esta situação é: 1
𝑥=
5
20⇒ 5. 𝑥 = 20.1 ⇒ 𝑥 =
20
5⇒ 𝑥 = 4, ou
seja, João poderá comprar 4 cadernos iguais. De modo análogo a primeira e a segunda classe
de isomorfismo de medidas, encontra-se o preço pago correspondente à quantidade de
cadernos comprados.
× 4 × 4 ÷𝑅$ 5,00
𝑐𝑎𝑑𝑒𝑟𝑛𝑜
No que se refere ao produto de medidas, consideram-se duas configurações: retangular
e análise combinatória. Segundo Magina, Santos e Merlini (2014), a configuração retangular
consiste de situações em que uma variável se encontra na vertical e outra na horizontal, por
exemplo: o cálculo da área de retângulos. Já a análise combinatória envolve a combinação
entre grandezas, e remete a ideia de produto cartesiano, por exemplo: Maria tem 3 blusas
iguais, mas de cores diferentes, sendo uma branca, uma azul e outra cinza. Ela também possui
4 saias de cores: marrom, preta, roxa e vermelha. De quantas maneiras Maria poderá se
vestir? Conforme Vergnaud (2009b), o esquema para representar esta situação é uma tabela
cartesiana. Considere o conjunto 𝐵 das blusas, tal que, 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} e 𝑆 o conjunto das saias,
𝑆 = {𝑚, 𝑝, 𝑟, 𝑣}. O conjunto de todos os pares que podem ser formados é P = B×S, representado
conforme o Quadro 8.
Quadro 8 − Possibilidades de formar conjuntos (saias e blusas)
Saias
m p r v
Blusas
a (a, m) (a, p) (a, r) (a, v)
b (b, m) (b, p) (b, r) (b, v)
c (c, m) (c, p) (c, r) (c, v)
Fonte: VERGNAUD (2009, p. 254)
A equação correspondente é: 𝑥 pares de roupas = 3 blusas × 4 saias. Para o número de
possibilidades tem-se: 𝑥 = 3 × 4 e para as dimensões a correspondência sobre pares de
roupas, ou seja, blusas e saias: pares de roupas = blusas × saias (ZANELLA; BARROS,
2014).
Para Vergnaud (2009b) o estudo das estruturas multiplicativas apresenta diferentes
tipos de multiplicação e divisão, devem ser trabalhadas cuidadosamente na sala de aula para
que os estudantes reconheçam os componentes envolvidos e desenvolvam estratégias de
solução.
3.3 Investigações envolvendo a TCC e a proporcionalidade
A TCC fornece elementos que possibilitem a análise de situações de aprendizagem dos
sujeitos em resposta a uma situação de ensino. Neste sentido, Pereira (2015) investigou
estratégias utilizadas por estudantes do 9° ano em problemas matemáticos envolvendo as
estruturas multiplicativas, em específico, buscando identificar invariantes operatórios
recorrentes nos esquemas utilizados. Seus resultados evidenciaram que o invariante operatório
mais utilizado, no conjunto de esquemas identificados, foi a ideia de inversibilidade entre as
operações de multiplicação e divisão. A autora infere que, mesmo já possuindo contato prévio
com a ideia de proporcionalidade, alguns dos estudantes ainda vivem um processo de ruptura
entre os campos conceituais aditivo e multiplicativo, pois foi detectado o uso de adições
repetidas em determinados esquemas.
Outro ponto importante destacado por Pereira (2015) refere-se à interpretação do
enunciado, pois os estudantes sempre buscam “palavra-dica” e na presença da palavra
“vezes”, eles utilizam uma multiplicação, e quando aparecem expressões como “vezes mais”,
“vezes menos”, “menos do que”, os estudantes tendem a realizar operações de adição e
subtração, respectivamente, a multiplicação, e em seguida, a adição ou subtração. Ainda, a
pesquisadora constatou que nos esquemas em que os estudantes utilizaram procedimentos
aditivos, não apresentaram a solução correta.
A presente dissertação apresenta semelhança com o texto de Pereira (2015), ou seja,
busca analisar as resoluções dos estudantes no que se refere ao raciocínio de
proporcionalidade, sob a luz da TCC. Porém, neste caso, Pereira (2015) investigou um grupo
de estudantes que já haviam estudado o conteúdo de proporcionalidade, enquanto aqui nesta
dissertação o grupo investigado ainda não estudou este conteúdo.
Também neste cenário, Aguiar (2017) investigou esquemas utilizados por estudantes
do 7° na resolução de problemas envolvendo razões e proporções. Em sua abordagem utiliza a
RP na concepção de Onuchic e Allevato (2014) e suas análises estão baseadas na TCC. Em
seu estudo identifica esquemas como: agrupamento de símbolos, frases escritas, tabelas e
representações na forma fracionária. Em um primeiro momento Aguiar (2017) testa um grupo
de estudantes e observa que na resolução das questões propostas, mesmo sem serem
apresentados ao conteúdo de proporção como uma igualdade entre frações, eles mobilizaram
outros conceitos de forma natural para resolver os problemas. A autora comenta que embora
estudando definições, especificamente, os estudantes participantes, em sua maioria, utilizaram
a noção de proporcionalidade como organizadores do pensamento em seus esquemas.
No que se refere à intervenção pedagógica envolvendo a RP, Aguiar (2017) comenta
que esta metodologia proporcionou a construção de esquemas que utilizavam a noção de
proporcionalidade, auxiliando a dar sentido a um conceito, ainda que este não tenha sido
definido formalmente.
Conforme os estudos de Pereira (2015) e Aguiar (2017), quando os estudantes
apresentam esquemas que fazem uso exclusivamente de estruturas aditivas, são identificados
erros nas resoluções dos problemas propostos. No entanto, quando estes esquemas respeitam
as estruturas multiplicativas, fazendo uso de operadores multiplicativos verticais e/ou
horizontais, há um maior nível de compreensão dos problemas propostos com a utilização da
noção de proporcionalidade.
O estudo de Aguiar (2017) possui correlação com a presente dissertação, no entanto,
possui diferença nas atividades propostas. Na presente dissertação, para os problemas
abordados, desenvolveu-se atividades práticas, como exemplo, envolvendo: a utilização de
mídias tecnológicas, em específico, o Google Maps, a confecção de um bolo, a dosagem de
bebidas e a construção de uma maquete, visando a aplicação e o desenvolvimento do
raciocínio de proporcionalidade. Enquanto que na investigação de Aguiar (2017) não houve
esta diversificação nas atividades.
Leite (2016) buscou descrever e classificar as resoluções e as estratégias
desenvolvidas por estudantes dos anos finais do Ensino Fundamental II (7°, 8° e 9° anos,
divididos em grupos com 30 estudantes) ao resolverem situações-problema sobre proporção
dupla (muitos-para-muitos) e proporção múltipla (um-para-muitos) em relações diretamente
proporcionais. Seu estudo desenvolveu-se em dois momentos: o primeiro relacionado ao uso
com atividades no computador, envolvendo a resolução de quatro situações-problema que
alternam proporção dupla e proporção múltipla; e o segundo momento em sala de aula,
envolvendo o uso de lápis e papel.
Em seu estudo, Leite (2016) constatou que situações computacionais de proporção
dupla e múltipla apresentam o mesmo grau de dificuldade, independente do grau de
escolaridade, e que os estudantes mobilizaram estratégias específicas para a resolução de cada
tipo de situação.
No que se refere às estratégias de resolução empregadas pelos estudantes na resolução
de situações envolvendo o raciocínio de proporcionalidade, Leite (2016) destaca 4 casos: (1)
não lembram, não resolveram ou não utilizaram procedimentos de proporcionalidade; (2)
resolve ou estima a partir de operadores funcionais; (3) resolve ou estima a partir de
operadores escalares e (4) resolve ou estima a partir de operadores funcionais e escalares. Na
experiência, os estudantes lançaram mão de esquemas que envolvem tanto operadores
escalares como operadores funcionais. A autora infere que cada tipo de situação proposta
conduziu o estudante a elaborar uma estratégia, específica e distinta, pois cada situação exigiu
a interação de vários conceitos.
A presente dissertação, assim como o estudo de Leite (2016), também tem por
objetivo analisar as resoluções dos estudantes, no entanto tem como diferencial os grupos de
estudantes e a abordagem metodológica.
Batista (2002), apoiado na TCC, investiga de que forma as diferentes representações
realizadas pelos estudantes influenciam na compreensão de conceitos inseridos no campo
conceitual das estruturas multiplicativas, ao utilizar problemas de isomorfismo de medidas e
produto de medidas. Seu estudo teve como participantes 60 crianças com faixa etária de 8
anos de idade. Durante a realização das atividades, a classe foi dividida em 3 grupos, e para
cada um foram disponibilizado diferentes materiais. Para o grupo 1: lápis e papel; para o
grupo 2: material concreto neutro (fichas) e para o grupo 3: material concreto definido
(objetos).
Para cada tipo de suporte de representação e problema, comparou-se o desempenho e
as estratégias adotadas. No que se refere ao desempenho, Batista (2002) contatou que os
estudantes que tinham como suporte o material concreto apresentavam melhor desempenho, e
quando comparado ao tipo de problema, o padrão de resultados foi o mesmo, no entanto
houve maior dificuldade na resolução de problemas de combinatória do que de isomorfismo.
No que se refere às estratégias evidenciadas no estudo de Batista (2002), destacam-se:
estratégia inadequada (a criança realiza uma operação inadequada, em geral, adiciona ou
subtrai os dados do enunciado sem se preocupar com as relações de proporcionalidade);
contagem unitária (as crianças contam unidade por unidade até chegar ao resultado); ensaio
por erro e por ajustes (a criança considera um número e a partir de adições e subtrações
encontra um valor que considera como reposta, correta ou não); adição repetida (a criança
realiza uma adição repetida de um número); contagem em múltiplos (a criança faz contagem
formando grupos quantidades iguais) e mista (a criança faz uma combinação entre as
operações); e aplicação das operações (a criança usa as operações de multiplicação e de
divisão). Seus resultados apontam que a estratégia adotada varia de acordo com o suporte de
representação, e a utilização do material concreto contribuiu para uma melhor representação
do problema, permitindo que as estratégias menos elaboradas levem a respostas corretas.
O trabalho de Batista (2002) também buscou investigar as estratégias utilizadas por
estudantes que ainda não estudaram o conteúdo de proporcionalidade em sala de aula. No
entanto são distintos em relação aos objetivos.
Os estudos apresentados nesta seção apresentam correlação com a presente dissertação
e conforme os resultados apresentados por Leite (2016), Pereira (2015), Aguiar (2017) e
Batista (2002), foi possível identificar relações com o presente estudo que contribuíram para a
interpretação dos dados obtidos, mediante a metodologia norteadora de investigação que está
descrita no próximo capítulo.
4 ASPECTOS METODOLÓGICOS
Neste capítulo são descritos os procedimentos metodológicos utilizados durante a
realização desta investigação, apresentados como: delineamento da pesquisa; campo de
estudo; intervenção pedagógica e técnicas para coleta e análise de dados. Ao considerar estes
procedimentos, buscou-se uma resposta para a questão de pesquisa: “com base na Teoria dos
Campos Conceituais, que potencialidades são percebidas duma metodologia de ensino
baseada na Resolução de Problemas para o desenvolvimento do raciocínio de
proporcionalidade? e, por conseguinte, ao alcance do objetivo geral – “apontar as
potencialidades da Resolução de Problemas com base na Teoria dos Campos Conceituais para
o desenvolvimento do raciocínio de proporcionalidade”.
4.1 Natureza e Delineamento da investigação
A investigação desenvolvida caracteriza-se como qualitativa e interpretativa. Para
Fiorentini e Lorenzato (2006), a pesquisa qualitativa é uma modalidade de investigação na
qual a coleta de dados é realizada diretamente no local em que o problema ou fenômeno
acontece. Segundo Moreira e Caleffe (2008), a pesquisa qualitativa não se preocupa com a
representatividade numérica, embora não a descarte, mas, sim, em descrever as situações
vivenciadas pelos participantes e interpretar os significados que estes lhe atribuem, cujos
dados são coletados por meio de falas, observação, descrição, gravação, etc.
Conforme Boavida e Amado (2008), a diversidade dos sujeitos pesquisados faz com
que a pesquisa assuma caráter interpretativo, tendo por objetivo descrever e interpretar o
fenômeno em questão. Neste sentido, a credibilidade dos dados é baseada na veracidade do
pesquisador e no registro dos acontecimentos, bem como as intenções nas ações, falas e
concepções dos participantes.
Este estudo seguiu as cinco características básicas sugeridas por Bogdan e Biklen
(1982) sobre a investigação qualitativa: (a) tem o ambiente natural como fonte direta de dados
e o investigador como seu principal instrumento; (b) os dados coletados são
predominantemente descritivos; (c) a preocupação com o processo é muito maior do que com
o produto; (d) o “significado” que as pessoas dão as coisas e à sua vida são focos de atenção
especial pelo pesquisador e (e) a análise dos dados tende a seguir um processo indutivo.
Mais especificadamente, buscou-se o desenvolvimento de uma Pesquisa-ação prática
por meio de intervenção pedagógica envolvendo as tendências metodológicas em Educação
Matemática, em específico, a Resolução de Problemas (RP) no contexto do ensino de
proporcionalidade.
Ao buscar idealizar uma ação − intervenção pedagógica utilizando a RP − para sanar
um problema educacional − dificuldades no ensino e aprendizagem de Matemática − em
específico, o ensino de proporcionalidade considera-se a Pesquisa-Ação como a modalidade
de investigação que mais se enquadra neste estudo, que segundo Thiollent (2011, p. 20):
[...] é um tipo de investigação social com base empírica que é concebida e realizada
em estreita associação com uma ação ou com a resolução de um problema coletivo
no qual os pesquisadores e os participantes representativos da situação ou do
problema estão envolvidos de modo cooperativo ou participativo.
Para Fonseca (2002), ao considerar esta modalidade, busca-se transformar as
realidades observadas, a partir da sua compreensão, conhecimento e compromisso para a ação
dos elementos envolvidos na pesquisa. Portanto, o principal objetivo da Pesquisa-Ação é a
transformação da realidade observada. Segundo Fiorentini e Lorenzato (2006), trata-se de um
processo investigativo, em que caminham juntas a prática investigativa, a prática reflexiva e a
prática educacional.
No que se refere a investigação escolar, os objetivos da Pesquisa-Ação são: (1) a
melhoria da prática pedagógica dos professores; (2) o desenvolvimento curricular centrado na
escola; (3) o desenvolvimento de um grupo auto-reflexivo na escola e (4) a melhoria das
condições de trabalho pedagógico e investigativo (FIORENTINI; LORENZATO, 2006).
Portanto, este estudo enquadra-se no primeiro objetivo, o qual busca contribuir para o
desenvolvimento educacional e melhorias da aprendizagem de proporcionalidade, a partir da
melhoria do ensino.
Este estudo dividiu-se em dois momentos: o primeiro relacionado à revisão
bibliográfica, sobre o tema em questão, embasado em livros, teses, dissertações e artigos que
retratam o assunto, ocorrendo durante todo o processo de investigação, bem como da
descrição da estrutura das atividades. E o segundo, relacionado a sala de aula, com
intervenção pedagógica com atividades envolvendo a proporcionalidade, mediadas pela RP.
O ambiente consistiu de uma classe de 7° Ano do Ensino Fundamental II, composta
por 26 estudantes dos quais frequentavam 24, com faixa etária entre 12 e 14 anos de um
colégio estadual do interior do município da cidade de Pinhão, no estado do Paraná. A classe
escolhida estava sob a regência de outro docente, que concordou em disponibilizar uma classe
de 7° ano ao professor pesquisador para o desenvolvimento desta investigação.
Antes de iniciar esta pesquisa, realizou-se uma conversa inicial com os estudantes a
fim de esclarecer as atividades a serem desenvolvidas, a metodologia utilizada e apresentar os
consentimentos de participação (Anexos 1 e 2). Foi apresentado o calendário das aulas, os
objetivos e a dinâmica da sala de aula.
A intervenção pedagógica ocorreu em três momentos: Antes (elaboração dos
problemas, professor-pesquisador e estudantes); durante (resolução dos problemas) depois
(plenária e formalização do conteúdo).
Para a realização das atividades, solicitou-se a divisão da classe em 6 grupos de 4
integrantes, os quais foram determinados por afinidade. As atividades iniciavam-se partindo
de um problema − problema gerador − que em sua estrutura apresentava aspectos
relacionados ao conteúdo de proporcionalidade.
Para contextualizar os problemas trabalhados em sala de aula e favorecer o
desenvolvimento do raciocínio de proporcionalidade, desenvolveu-se situações práticas, ou
seja, atividades relacionadas a experimentação e/ou manipulação, que envolvia a
proporcionalidade, tais como: a utilização de mídias tecnológicas, em específico, o Google
Maps, a confecção de um bolo e a dosagem de bebidas. Cada experiência envolvendo o
problema gerador e a situação prática teve duração mínima 5 horas/aula.
4.2 Caracterização do local da investigação
Para o desenvolvimento deste estudo, optou-se pelo Colégio Estadual do Campo Professor
Julio Moreira, situado no município de Pinhão, no estado do Paraná, no distrito Faxinal do
Céu, na Vila Residencial da Usina Hidrelétrica de Foz do Areia, de propriedade da
Companhia Paranaense de Energia – COPEL.
Este colégio teve sua origem na Escola Foz do Areia – Ensino de 1° Grau, que iniciou
seu funcionamento em 1976, paralelamente a construção da Usina Hidrelétrica de Foz do
Areia, atualmente denominada Usina Governador Bento Munhoz da Rocha Neto. Em 1977,
com a implantação do 2° Grau, foi autorizado a funcionar como Colégio Professor Júlio
Moreira – Ensino de 1° e 2 ° Graus.
A escolha do Professor Júlio Moreira, como patrono, deve-se aos relevantes serviços
prestados à Comunidade Paranaense, em diversas áreas de atividade, principalmente na
Educação e na Saúde. Atualmente, a denominação adequada é: Colégio Estadual do Campo
Professor Júlio Moreira – Ensino Fundamental e Médio.
O espaço físico é composto por 11 salas de aula, 1 biblioteca, 1 sala de professores, 1
secretaria, 1 laboratório de informática, 1 laboratório de ciências, 1 sala de direção, 1 sala da
equipe pedagógica, 1 refeitório, 1 cozinha com despensa; 1 banheiro feminino, com três vasos
sanitários, dois chuveiros e 4 pias; 1 banheiro masculino, com três vasos sanitários, dois
chuveiros e 4 pias e dois mictórios e outros 2 para funcionários (1 masculino e 1 feminino); 1
banheiro na secretaria; 1 sala para depósito de materiais diversos, 1 sala de artes e 1 ginásio
de esportes, com vestiários masculino e feminino.
Até o momento da investigação, atuavam no colégio 34 professores, 1 diretor, 4
professores pedagogos, 6 agentes educacionais I e 4 agentes educacionais II. Funciona no
período matutino com oferta de Ensino Fundamental II e Médio, e vespertino com oferta de
Ensino Fundamental II. Atende aproximadamente 300 estudantes de diversas localidades,
como: Lageado Feio I e II, Arroio Bonito I e II, Nova Divinéia I e II, Serra da Cabra,
Agrovila, Santa Maria I e II, Faxinal dos Ribeiros, Faxinal dos Taquaras, Faxinal dos Freskis,
Santa Emília I e II e residentes da sede do Município, sendo que, muitos se deslocam
diariamente até Faxinal do Céu.
Para a intervenção pedagógica, conforme citado, optou-se por trabalhar com uma
classe de 7° ano do Ensino Fundamental II.
4.3 Da coleta de dados
Para coleta de dados considerou-se a observação participante, produção escrita dos
estudantes, gravações de áudios e vídeos, imagens e anotações em 'Diário de Bordo'.
Assim como a observação participante possibilita a obtenção de informações
detalhadas junto aos sujeitos pesquisados, com envolvimento direto do pesquisador, a
utilização do 'Diário de Bordo' constitui um dos instrumentos mais ricos de coleta de
informações (FIORENTINI; LORENZATO, 2006).
A produção escrita, segundo Santos e Buriasco (2010), possibilita a obtenção de
informações que auxiliem a conhecer e compreender os processos de ensino e de
aprendizagem. Em cada atividade realizada, eram recolhidas as anotações feitas pelos
estudantes no material disponibilizado pelo professor pesquisador.
A utilização da câmera fotográfica e a gravação de áudios e vídeos, conforme Bogdan
e Biklen (1992), consistem em recursos para lembrar e estudar detalhes que poderiam passar
despercebidos. Durante a investigação estes recursos favoreceram a descrição de como os
estudantes pensaram sobre cada atividade proposta, bem como a perceber e analisar suas
reações frente às situações de aprendizagem.
4.4 Descrição das atividades
No decorrer das atividades mediadas pela RP, considerando a terceira concepção,
seguindo as etapas propostas por Onuchic e Allevato (2014), buscou-se que os estudantes
desenvolvessem diferentes estratégias ao resolverem os problemas propostos, bem como para
o desenvolvimento do raciocínio de proporcionalidade.
No Quadro 9 está apresentada a estrutura da intervenção pedagógica realizada durante
esta pesquisa.
Quadro 9 − Estrutura da intervenção pedagógica
ENCONTRO ATIVIDADES DESENVOLVIDAS DURAÇÃO
1°
Apresentação da proposta; Exibição do Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
(TCLE, Anexo 1); Exibição do Termo de Assentimento para crianças e adolescentes
(Anexo 2) Identificação dos conhecimentos prévios dos estudantes sobre
proporcionalidade; Apresentação do Vídeo: Matemática na vida-Razão e Proporção
(Portal Domínio público, com duração de 13 min). Discussão sobre os aspectos referentes ao vídeo e
proporcionalidade.
5 horas/aula
2°
Composição dos grupos; Entrega do problema gerador (Problema das distâncias e
escalas-P1) e encaminhamentos metodológicos conforme sugere
Onuchic e Allevato (2014); Atividade prática em laboratório de informática, mediada pelo o
uso do Google Maps;
5 horas/aula
3°
Pesquisa em laboratório sobre temas de interesse dos grupos; Montagem de problemas geradores, pelos estudantes, sobre tema
de interesse relacionando a proporcionalidade; Entrega dos problemas aos grupos e encaminhamentos
metodológicos, conforme sugere Onuchic e Allevato (2014); Socialização das estratégias utilizadas;
5 horas/aula
4°
Entrega do problema gerador (Problema da receita-P3) e
encaminhamentos metodológicos conforme sugere Onuchic e
Allevato (2014); Atividade prática: produção de um bolo conforme receita
proposta; Socialização das estratégias utilizadas; Avaliação individual escrita na forma de problemas.
5 horas/aula
5°
Entrega do problema gerador (Problema dos sucos-P4) e
encaminhamentos metodológicos conforme sugere Onuchic e
Allevato (2014); Atividade prática: Dosagem de sucos conforme orientação em
pacote. Socialização das estratégias utilizadas;
5 horas/aula
6° Formalização do conteúdo; Problemas envolvendo a proporcionalidade Socialização das estratégias utilizadas;
5 horas/aula
7°
Avaliação individual escrita na forma de perguntas sobre
integrantes do grupo; Avaliação oral, realizada com os grupos sobre as atividades
desenvolvidas; Socialização dos conhecimentos adquiridos durante intervenção
pedagógica.
5 horas/aula
Tempo total: 35 horas/aula
Fonte: AUTOR (2018)
4.5 Do tratamento de dados
Para o tratamento dos dados coletados, baseou-se a Análise de Conteúdo. Segundo
Bardin (2011), esta técnica já era utilizada desde as primeiras tentativas da humanidade de
interpretar os livros sagrados, tendo sido sistematizada como método apenas na década de 20,
por Leavell. O termo 'analise de conteúdo' pode ser entendido como:
um conjunto de técnicas de análise das comunicações visando a obter, por
procedimentos sistemáticos e objetivos de descrição do conteúdo das mensagens,
indicadores (quantitativos ou não) que permitam a inferência de conhecimentos
relativos às condições de produção/recepção (variáveis inferidas) destas mensagens
(BARDIN, 2011, p. 47).
Para Bardin (2011), a análise de conteúdo passa por três etapas: pré-análise,
exploração do material e tratamento dos resultados – a inferência e a interpretação. Durante a
pré-análise, faz-se a leitura do material e a seleção dos documentos, levantamento das
hipóteses e determinação dos objetivos específicos da análise. Cada elemento recebe um
código ou uma sigla. Na exploração do material, ocorre a releitura e definem-se as unidades
de análise. Individualizadas, cada uma recebe um código referente às produções textuais que
serão analisadas e, montam-se as categorias. Na terceira etapa, calçado de dados brutos, o
pesquisador procura torná-los significativos e válidos.
Conforme orienta Bardin (2011), nesta pesquisa procedeu-se, primeiramente, com a
preparação do material e separação das produções (escrita, imagens, áudios, etc) por encontro.
Cada estudante e problema trabalhado (individual e coletivo) recebeu uma numeração
sucessiva, por exemplo: Problema gerador do Encontro 1 (P1), Problema Individual do
Encontro 1 (P1I), Estudante 1 (E1), etc.
As categorias estabelecidas surgiram a priori, ou seja, com base em leituras de
trabalhos que tratavam sobre o raciocínio proporcional. Desta forma, listou-se as categorias
encontradas na literatura que poderiam ser possíveis categorias desta investigação. Assim,
durante a leitura e interpretação das produções dos estudantes, pode-se identificar em quais os
resultados se encaixavam, e então com a análise das produções (encontro por encontro),
estabeleceu-se 6 categorias conforme os esquemas utilizados pelos estudantes durante a
resoluções dos problemas. Estes esquemas foram identificadas nos estudos de Leite (2016),
Pereira (2015), Aguiar (2017) e Batista (2002), que são apresentadas no Quadro 10.
Quadro 10 − Esquemas utilizados pelos estudantes
Esquema utilizado Descrição
Estratégia Inadequada (EI) Consiste em uma operação inadequada, ou seja, o estudante adiciona
ou subtrai os valores do enunciado sem se preocupar com as relações
de proporcionalidade envolvidas.
Fator de Proporcionalidade (FP) Consiste em encontrar um fator de proporcionalidade dentro da mesma
grandeza, e posteriormente aplicá-lo na outra grandeza. Adições Repetidas e Contagem de
Múltiplos (ARCM) É quando o estudante faz agrupamentos de quantidades iguais até
chegar ao resultado.
Estratégia Mista (EMT) É quando o estudante combina estratégias de agrupamento, fazendo o
uso do algoritmo correspondente ou quando realiza a operação
mentalmente.
Valor Unitário (VU) É quando os estudantes resolvem o problema por meio do
estabelecimento de uma relação entre as grandezas, encontrando o
valor unitário e posteriormente aplicando este resultado ao problema.
Outras (O) Esquemas que apresentam apenas o resultado, o uso de desenhos ou
quando deixadas em branco pelos estudantes ou atividades não
entregues ao professor pesquisador.
Fonte: AUTOR (2018)
4.6 Do produto educacional
Como produto resultante desta pesquisa, considerou-se a elaboração de um Guia
Didático para o ensino de proporcionalidade mediada pela RP, tendo como base teórica a
Teoria dos Campos Conceituais de Gerárd Vergnaud, contendo em sua estrutura um resumo
sobre os principais pontos teóricos e sua relação com as atividades propostas, orientações ao
professor sobre como utilizar o material (momentos, dinâmicas, tempos, etc) e descrição das
atividades desenvolvidas.
5 DESCRIÇÕES DAS ATIVIDADES , RESULTADOS E DISCUSSÕES
Neste capítulo é descrita a experiência vivenciada com os estudantes durante a
intervenção pedagógica envolvendo o ensino de proporcionalidade por meio da RP. Para
tanto, considerou-se a RP na terceira concepção, seguindo as etapas propostas por Onuchic e
Allevato (2014). O relato das atividades está dividido em experiências vivenciadas 1 a 4.
Cada experiência teve duração mínima de 5 horas/aula.
5.1 Experiência 1
A experiência 1 contempla duas situações envolvendo distâncias e escalas. A primeira
refere-se ao trajeto da escola e a outra sobre trajetos no mapa. A duração de cada atividade
está descrita no Quadro 11.
Quadro 11 − Estrutura das atividades da experiência 1
Atividade Duração (horas/ aula)
Apresentação e discussão do vídeo Matemática na
Vida – Razão e Proporção (Portal Domínio público,
duração de 13min).
1
Aplicação do problema gerador (P1) e etapas da
RP, conforme orientam Onuchic e Allevato (2014) 2
Trajetos no mapa e no Google Maps 2
Fonte: AUTOR (2018)
5.1.1 Apresentação e discussão do vídeo
Como ponto de partida para o desenvolvimento desta proposta, considerou-se a
apresentação do Vídeo4: Matemática na Vida – Razão e Proporção (Portal Domínio público,
duração de 13 min). Neste vídeo, o personagem discorre sobre as semelhanças encontradas
em animais, figuras e objetos. Com uma câmera, o personagem entrevista algumas pessoas
sobre este conceito e sobre como ele se apresenta em suas atividades. Neste sentido, relaciona
as grandezas envolvidas em diretamente e inversamente proporcionais, definindo o conceito
de semelhança e proporcionalidade.
4 Disponível em: http://www.dominiopublico.gov.br/download/video/me001053.mp4
No vídeo, o personagem toma como exemplo um “bezerro e uma vaca”, e afirma
haver semelhança entre eles, no entanto explica que ser semelhante não significa serem iguais
e do mesmo tamanho, mas apresentar a mesma forma, estando relacionadas em proporção
direta. Ao assistir este vídeo, os estudantes foram questionados sobre a compreensão do
conceito de semelhança. Um recorte deste diálogo está apresentado no Quadro 12, sendo
utilizadas as siglas PP para professor pesquisador e E para estudante, seguido de um número
natural para diferenciá-los, por exemplo, E1 significa estudante 1.
Quadro 12 − Recorte do diálogo sobre o vídeo
PP: O que é ser semelhante?
𝐸1: Serem iguais, igual na vaca [sic].
E2: Não é possível uma coisa se exatamente igual à outra, nem um ser humano é igual ao outro, até os gêmeos
tem alguma coisa diferente [sic].
E3: Mas se forem de cores diferentes?[sic].
PP: Não importa a cor e tamanho, precisam apresentar a mesma forma.
E4: Tipo da mesma raça?[sic].
PP: Sim! E em Matemática o que é ser semelhante?
E5: Igual na fotografia, 8 por16, 3 por 6 da o mesmo resultado, tipo dividir 6 por 3 e 16 por 8 [sic].
PP: Sim! Quando medimos os lados correspondentes de duas figuras semelhantes e fazemos a divisão entre
estas medidas, encontramos sempre o mesmo valor, isso é ser semelhante em Matemática.
Fonte: AUTOR (2018)
Neste trecho do diálogo, observa-se que alguns estudantes apresentam compreensão
sobre semelhança e igualdade. Durante o vídeo, o personagem apresenta uma maquete do
Congresso Nacional na escala 1:300 (um para trezentos), então os estudantes são questionados
sobre este conceito, conforme apresentado no Quadro 13.
Quadro 13 − Recorte do dialogo sobre o conceito de escala
PP: Qual foi o procedimento utilizado para saber o tamanho real da maquete?
E6: Eles mediram com uma trena, dai foram e mediram o prédio e deu igual [sic].
PP: Eles mediram em uma escala, no vídeo era um para trezentos. O que significa a escala um para trezentos?
E7: Um por trezentos [sic].
Fonte: AUTOR (2018)
Neste momento, identificou-se que os estudantes não tinham compreensão sobre a
interpretação deste conceito (escala), no entanto já tinham conhecimentos prévios sobre sua
utilidade. Desta forma, foi feita uma exploração com alguns exemplos na lousa, explicando
que a escala 1:100 (um para cem) significa que cada centímetro desenhado no papel,
corresponde a 100 cm do objeto no real (ou 1 metro). Após esta exploração, voltou-se a
alguns questionamentos sobre o vídeo e situações do dia a dia que utilizam escalas e
proporcionalidade, conforme apresentado no Quadro 14.
Quadro 14 − Recorte do diálogo sobre a interpretação do conceito de escala
PP: Então se eu tiver 2 cm no desenho quanto corresponderá na vida real na escala 1:100?
E8: Duzentos centímetros.
PP: Em metros?
E9: Dois metros!
PP: Tem como desenhar uma bactéria no papel?
E10: Não.
E11: Tem sim! Só que tem que aumentar [sic].
Fonte: AUTOR (2018)
No trecho do diálogo apresentado no Quadro 14, identifica-se as primeiras relações de
proporcionalidade estabelecidas pelos estudantes, conforme a primeira classe de isomorfismo
de medidas (conhece o valor unitário e as outras duas quantidades). Ao responder sobre
quantos centímetros e metros na vida real a escala 1:100 correspondia, E8 e E9 fazem o uso
do operador vertical (× 2) e de uma função relacional ×𝑐𝑒𝑛𝑡 í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎 𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
100 que
transforma centímetros em metros (𝑥), conforme apresentado no esquema do Quadro 15:
Quadro 15 − Representação da situação problema envolvendo escalas
Centímetros no desenho
Metros na vida real
1
2
Fonte: AUTOR (2018)
× 2 × 2 ×
𝑐𝑒𝑛𝑡í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎 𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑎𝑙
100
1
𝑥
Após a exploração do conceito de escala, foram feitos questionamentos sobre outras
relações de proporcionalidade estabelecidas no dia a dia, por exemplo, na compra de
mercadorias. O PP comentou que para compras considera-se como referência o preço unitário
(um litro, um quilo, um metro, etc). Neste momento, E3 complementou a discussão ao
apresentar um exemplo sobre a venda de Erva-Mate vendida em “Arroba” (unidade de 15 kg).
Outros exemplos foram apontados pelos estudantes sobre plantações, tais como, o plantio de
um alqueire, (unidade de área equivalente a 24200m²), hectares (10000m²), etc, o que
possibilitou relembrar estas medidas e discutir sobre como o raciocínio de proporcionalidade
está vinculado em suas atividades cotidianas. Um exemplo a destacar é na fala de E2 quando
relaciona este raciocínio com a dosagem de medicamentos: usa também a proporcionalidade
na dosagem de remédios, pois dependendo do peso é a quantidade que deve ser tomada5
[sic].
Ao término deste encontro, observou-se que os estudantes conseguiram identificar o
uso do raciocínio de proporcionalidade em diversas situações relacionadas ao seu cotidiano,
no entanto manifestam dificuldades em identificar este conceito com o conteúdo matemático
visto em sala de aula.
.
5.1.2 Aplicação do problema gerador P1 e etapas da RP
Para iniciar as atividades com RP, foi proposto um problema gerador − P1, elaborado
pelo PP (primeira etapa da RP), relacionado a uma situação comum que ocorre no colégio em
que este estudo se desenvolveu. De acordo com Onuchic (1999), uma condição importante
para que ocorra a aprendizagem, nesta metodologia, é que as situações propostas apresentem
relações com a o contexto do estudante.
O colégio está situado no interior do município de Pinhão, a aproximadamente a 30
quilômetros da sede. Todos os dias, estudantes se deslocam por meio do transporte escolar
para frequentar as aulas, sejam residentes da cidade ou de localidades próximas (zona rural).
A situação proposta está apresentada no Quadro 16.
5 Fonte em itálico referente à fala do estudante.
Quadro 16 − Problema gerador do encontro 1
P1) Um estudante que mora em Pinhão, toda manhã, pega o ônibus para ir estudar no colégio Estadual do Campo
Professor Julio Moreira. Certo dia, curioso para saber quantos quilômetros percorria no trajeto de ida e volta, foi
na internet e pesquisou no Google Maps a distância aproximada de sua casa a escola. Ao fazer isso, percebeu que
havia um segmento de reta no canto inferior direito e abaixo dela uma distância de 5 km. Ele compreendeu que
cada segmento de reta valia uma distância de 5 km. Ao medir este segmento, encontrou 3 cm. Então, pegou um
barbante e colocou por cima do trajeto e mediu o barbante encontrando 18 cm. Qual é a distância que este
estudante percorre no trajeto de ida e volta para sua casa?
Fonte: AUTOR (2017)
Após entregar uma cópia de P1 a cada estudante, seguiram-se as demais etapas
propostas por Onuchic e Allevato (2014). Ou seja, cada estudante fez a leitura individual, e na
sequência, solicitou-se a montagem de grupos com o máximo 4 integrantes. Os grupos foram
determinados por afinidade. O PP solicitou que nos grupos fosse feita novamente esta leitura,
no entanto de forma coletiva. Feito isto, deveriam discutir e resolver o problema proposto. De
acordo com Onuchic e Allevato (2014) é neste momento que o estudante desenvolve sua
própria compreensão do problema apresentado, aplica seus conhecimentos prévios e decide
pelas estratégias que levem à solução do problema. Durante a leitura individual, alguns
estudantes apresentaram dúvidas relação ao problema, comentando que não tinham entendido,
enquanto que outros, após a leitura individual, iniciaram alguns registros no material
impresso.
Na etapa “observar e incentivar” constatou-se que em cada grupo sempre havia um
integrante que ia resolvendo o problema de forma individual, enquanto os demais
conversavam assuntos diversos. Neste momento, foram orientados pelo PP da importância da
troca de ideias e discussões sobre o problema, e que o integrante que estava resolvendo o
problema deveria ir comentando e explicando suas estratégias com os demais colegas. Após
esta fala do PP, observou que o estudante que estava resolvendo individualmente, passou a
explicar a seus colegas, e alguns alunos que estavam dispersos começaram a ter atenção nas
explicações do colega.
No entanto, uma das dificuldades encontradas nesta etapa foi manter os estudantes
com foco no problema. Nesta fase, observou que os estudantes tinham dificuldades em
trabalhar coletivamente, enquanto que outros não participavam ativamente das discussões.
Este fato também pode estar associado a cultura do trabalho individual nas aulas
convencionais, a falta de interesse em relação ao problema ou a falta de autonomia e
independência apresentada por eles.
As solicitações do PP aos grupos eram feitas constantemente, pois tinham dificuldades
em interpretar as informações apresentadas no problema, e pediam que o “professor
explicasse como fazia e que conta usava”. Neste momento, percebeu-se que os estudantes
estavam condicionados a pensar a resolução do problema com a aplicação de um método ou
uma estratégia pré-estabelecida, sendo evidenciada a dificuldade de elaborar suas próprias
estratégias. Embora, ainda com algumas diferenças de um ensino centrado no professor, já
exigia dos estudantes um protagonismo, o qual não estavam acostumados a vivenciar nas
aulas de Matemática.
Decorrida estas etapas, solicitou-se aos grupos que elegessem um representante para
registrar as soluções na lousa, as quais estão apresentadas na Figura 5.
Figura 5− Registro das soluções da lousa
Fonte: AUTOR (2017)
Entre as soluções apresentadas pelos grupos, apenas uma evidenciou o raciocínio de
proporcionalidade, as demais adicionaram os dados apresentados no enunciado do problema
não respeitando as relações de proporcionalidade envolvidas. Desta forma, observou as
primeiras estratégias mobilizadas pelos estudantes, e posteriormente procedeu-se a
categorização destes dados.
No esquema apresentado pelo grupo 6, a estratégia correspondeu a encontrar um Fator
de Proporcionalidade (FP), que segundo Oliveira (2000) consiste em encontrar uma relação
numérica dentro da mesma grandeza, e posteriormente aplicar este resultado a outra grandeza.
Neste caso, o fator de proporcionalidade encontrado foi 6 (adimensional, dentro da mesma
grandeza) ao estabelecer que para aquela distância o segmento de 3 cm caberia 6 vezes.
Portanto, ao multiplicar o fator de proporcionalidade (6) por 5 km, determinou-se a distância
requerida. O Quadro 17 ilustra o esquema apresentado pelos estudantes.
Quadro 17 − Esquema apresentada pelo grupo 6
Medida de um segmento de reta (cm) Distância real (km)
3 5
18 𝑥
Fonte: AUTOR (2018)
Neste esquema, o FP representa o operador vertical (adimensional), que estabelece
uma relação numérica dentro da mesma grandeza, e a função relacional
×𝐷𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 que permite encontrar a distância real a partir da medida do segmento
de reta. Por exemplo, para uma distância de 20 cm no mapa, tem-se que a medida real
é 20 ×5
3 = 33, 34 𝑘𝑚. Para esta mesma situação o FP seria
20
3= 6, 66 (adimensional). A
razão 5
3= 1,66 é a constante de proporcionalidade. Nota-se que os estudantes do grupo 6
estabeleceram a relação FP, no entanto não identificaram esta razão 1,66 . A utilização da
constante de proporcionalidade, segundo Ferreira (2013), descrever o raciocínio de
proporcionalidade ideal.
Os demais grupos fizeram o uso exclusivo da adição, ou seja, utilizaram uma
Estratégia Inadequada (EI), que segundo Batista (2002) consiste em adicionar ou subtrair os
valores do enunciado sem se preocupar com as relações de proporcionalidade. Neste caso,
observa-se que a resposta considerada é 31 km, ou seja, a adição 5 + 5 + 3 + 18, que é
composta por todos os valores numéricos apresentados no enunciado. De acordo com Batista
(2002), a utilização desta estratégia (EI) sempre leva ao erro, pois há uma perda do
significado do problema e das relações envolvidas, ou seja, não há presença do raciocínio de
proporcionalidade.
Após a etapa do registro das resoluções na lousa, iniciou-se a plenária, que segundo
Onuchic (1999) é o momento em que os estudantes socializam e explicam as estratégias
adotadas. Para isto, cada grupo foi convidado a explicar como pensou e quais foram as
estratégias utilizadas para chegarem aos resultados apresentados.
÷ 6 ÷ 6 ×𝐷𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
Um integrante do grupo 6 explica: [...] a gente pegou os 18 cm que tinha ali, daí a
gente pegou o 18 e dividiu por 3, daí deu o resultado, daí agente fez vezes o 5, daí deu o
resultado ali [sic]. Os demais grupos comentaram que não haviam compreendido o problema,
no entanto explicam que como tratava de distâncias percorridas, relacionaram à operação de
adição.
Durante a plenária, observou-se que os estudantes tentavam adivinhar o que os
colegas haviam feito a partir dos registros na lousa. Como houve coincidência em 5
resultados, notou-se certa curiosidade em saber como os integrantes do grupo 6 tinham
resolvido o problema, pois de acordo com a maioria, a resposta 31 km estaria correta. No
entanto, o PP explicou a proximidade dos resultados e que a estratégia de adicionar os valores
para aquela situação não fazia sentido, pois ao somar os valores do enunciado, não foram
consideradas as relações entre as grandezas, ou seja, as ideias associadas a multiplicação e
divisão que estavam implícitas na resolução do problema.
Ainda, nesta experiência, para melhor avaliar a compreensão dos estudantes e o
envolvimento na resolução do problema resolvido em grupo, foi proposto um segundo
problema de resolução individual, em que os estudantes deveriam levar para casa e apresentar
na aula seguinte, com contextualização semelhante ao anterior, conforme apresentado no
Quadro 18.
Quadro 18 − Problema individual semelhante a P1
P1I) A distância de uma cidade A até uma cidade B é de 60 km. Ao medir em um mapa, com a régua, a
distância entre elas, um estudante encontrou 20 cm. No mapa, cada 1cm correspondia a uma determinada
distância em quilômetros. Quanto cada centímetro corresponde em quilômetros no mapa?
Fonte: AUTOR (2017)
Para a resolução deste problema, a maioria dos estudantes procedeu conforme a
Figura 6.
Figura 6 – Resolução do problema individual semelhante a P1
Figura 6a − Resolução apresentada por um
integrante do grupo 6
Figura 6b − Resolução apresentada por
um integrante do grupo 4
Fonte: AUTOR (2017)
Durante a análise dos dados, entre os 24 estudantes, observou-se que 2 não entregaram
o problema proposto, 3 deixaram em branco e 4 fizeram uso de uma estratégia incorreta EI,
enquanto que os demais apresentaram uma resposta correta. Os problemas em branco e não
entregues são categorizados como estratégia Outros (O).
No esquema da Figura 5, constatou o uso de um operador vertical conforme a segunda
classe de isomorfismo de medidas (busca-se o valor unitário) feita pelos estudantes,
representado no esquema a seguir (Quadro 19):
Quadro 19 − Representação da resolução do problema P1I
Centímetros no desenho
Km na vida real
20
1
60
𝑥
Fonte: AUTOR (2018)
Na resposta apresentada na Figura 5a, observa-se que os estudantes estabeleceram
÷ 20 ÷ 20
×
3 𝑘𝑚
𝑐𝑒𝑛𝑡í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
uma função relacional ×3 𝐾𝑚
𝑐𝑒𝑛 𝑡í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 que transforma centímetros no desenho em quilômetros
na vida real. A estratégia utilizada pelos estudantes é categorizada como Valor Unitário (VU).
Para Vergnaud (1991), esta estratégia consiste na utilização de uma lei binária, em que os
estudantes irão estabelecer uma relação entre grandezas diferentes, encontrando um valor
unitário de referência (razão), por exemplo, tempo e velocidade. Ainda, o valor unitário,
conforme Vergnaud (2009) é um dos organizadores do pensamento que fazem parte do
conjunto das estruturas multiplicativas, considerado um dos aspectos ligados a aquisição do
conceito de proporcionalidade. Desta forma, constatou-se que os estudantes começaram a
formar raciocínios envolvendo a proporcionalidade.
No que se refere ao envolvimento dos estudantes no grupo, considerou-se os
integrantes do grupo 6, visto que foi o único grupo que apresentou uma resposta correta ao
problema. Para este grupo, percebeu-se que seus integrantes utilizaram o mesmo raciocínio
apresentado na Figura 5, o que sugere que houve a participação de todos na resolução de P1 e
consequente a compressão das relações envolvidas no problema.
Já para os outros grupos observa-se que não houve este envolvimento, no entanto,
nota-se uma melhor compreensão do problema, pois alguns estudantes abandonaram a EI e
buscaram estabelecer relações entre as grandezas o que não foi explícito no trabalho em
grupo.
5.1.3 Atividade envolvendo trajetos no mapa e no Google Maps
A fim de favorecer o desenvolvimento do raciocínio de proporcionalidade e
contextualizar a atividade realizada (P1), desenvolveu-se uma atividade mediada pelo uso das
Mídias Tecnológicas, em específico, pelo Google Maps, pois de acordo com Vergnaud (1993)
a aquisição de um conceito não deriva de apenas uma situação, é essencial considerar a
diversificação de tarefas na ampliação do campo conceitual referente à proporcionalidade.
Em sala de aula foi explorado um mapa das rodovias do estado do Paraná, conforme
ilustrado na Figura 7.
Figura 7 − Estudantes explorando o mapa das rodovias do estado do Paraná
Fonte: AUTOR (2017)
O primeiro questionamento foi referente à escala deste mapa, apresentada como
1: 750000. Como os estudantes já ideias relacionadas a escala, questionou-se como ficaria
esta medida (750000 cm) em quilômetros. Alguns estudantes relacionaram a 1 metro possuir
100 cm, logo 1 km teria 1000 × 100, ou seja, 100000 cm. Portanto, bastava dividir 750000
por este valor, encontrando 7,5 km. Este raciocínio apresenta o estabelecimento de uma
função relacional ×7,5 𝑘𝑚
𝑐𝑒𝑛𝑡 í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 que permite passar da grandeza centímetros no desenho para
quilômetros, no real. O estabelecimento de funções relacionais segundo Vergnaud (1993)
também está associado com aquisição do conceito de proporcionalidade.
Para melhor compreensão do conceito de proporcionalidade em escalas, considerou-se
uma atividade no laboratório de informática, mediada pelo Google Maps. Em um primeiro
momento, solicitou-se que os estudantes pesquisassem pelo trajeto apresentado no Quadro 15.
A distância encontrada foi de 28,8 km, e então questionou-se sobre quantos centímetros esta
distância representaria no mapa, rapidamente alguns estudantes responderam que bastava
dividir este valor por 7,5. Com esta inferência, percebe-se que os estudantes utilizaram a
função relacional ÷7,5 𝑘𝑚
𝑐𝑒𝑛𝑡 í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 que permite passar da grandeza quilômetros no real para
centímetros no mapa. Percebe-se também que as respostas dadas pelos estudantes são
baseadas em multiplicações e divisões. O uso destes operadores multiplicativos verticais e/ou
horizontais na resolução dos problemas revela um maior nível de compreensão do conceito de
proporcionalidade, conforme indica os estudos de Aguiar (2017) e Pereira (2015).
Em um segundo momento, propôs-se que cada estudante escolhesse um trajeto no
mapa, que deveriam contornar com um barbante e medi-lo com a régua, conforme ilustrado
na Figura 8.
Figura 8 − Estudante desenvolvendo atividade em laboratório de informática
Fonte: AUTOR (2017)
No material impresso (conforme Figura 9) deveriam completar com os dados que
coletaram e fazer as comparações no Google Maps.
Figura 9 − Distâncias encontradas entre duas cidades
Fonte: AUTOR (2017)
Durante a realização desta atividade, observou-se a utilização da função relacional
7,5 𝑘𝑚
𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 . Por exemplo, ao determinar a distância de sua casa ao colégio, cada estudante
tinha uma medida diferente, no entanto a estratégia de solução era a mesma, ou seja, bastava
aplicar a função relacional ÷7,5 𝑘𝑚
𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 . Ao fazer esta divisão, notou-se erros relacionados
aos cálculos com decimais (divisão e multiplicação), sendo necessária a retomada deste
conteúdo a fim de sanar lacunas de aprendizagem.
5.1.4 Considerações sobre a experiência 1
Ao iniciar as atividades envolvendo a RP, percebeu-se certa resistência dos estudantes
a esta metodologia, pois estavam acostumados com o ensino tradicional em que o professor
passa e explica os conteúdos na lousa. Neste primeiro momento observou-se esta necessidade
nos estudantes, do PP estar na lousa comentando e explicando o problema proposto. Outro
ponto a destacar é a falta de autonomia e confiança dos estudantes em resolver o problema a
partir de uma estratégia criada por eles.
Durante a experiência 1, pode-se identificar diversas dificuldades nos estudantes, entre
elas: operações com decimais, em específico divisão e multiplicação, transformação de
unidades, leitura e linguagem matemática. Observa-se também a importância de o professor
sempre se utilizar de uma linguagem correta, incentivar os estudantes a fazerem leituras de
situações escritas em linguagem natural e traduzir para linguagem simbólica, matemática.
Na concepção adotada da RP nesta investigação, o ponto de partida de atividades
matemáticas são os problemas e quando o estudante investe seus conhecimentos é possível
identificar estas falhas de aprendizagem, o que talvez não fosse identificado em uma
abordagem tradicional, ou seja, por meio da aplicação de um algoritmo ou de uma fórmula
para a resolução do problema, o que evidencia uma potencialidade da RP.
No que se refere ao raciocínio de proporcionalidade, no inicio das atividades,
percebeu-se que na resolução de P1 que a maioria dos estudantes não manifestou este
raciocínio. No entanto, ao decorrer das atividades os estudantes começam a elaborar
raciocínios envolvendo a proporcionalidade. O uso dos operadores verticais e/ou horizontais é
uma destas constatações. Evidencia-se que quando os estudantes deparam-se com situações
que envolvam o raciocínio proporcional, há o favorecimento para o desenvolvimento deste
raciocínio.
Além das contribuições para o processo de ensino e aprendizagem de
proporcionalidade por meio da RP, destaca-se: uma mudança de atitudes, ou seja, um trabalho
mais colaborativo, um maior envolvimento do estudante com o conteúdo abordado em sala de
aula, a necessidade de criar estratégias de solução e a reflexão sobre as resoluções dos
problemas.
Outro ponto a destacar foi o uso das mídias tecnológicas, em específico, o Google
Maps, em que os estudantes puderam visualizar e explorar o conceito de escala de forma
dinâmica. Durante a atividade percebeu-se um grande envolvimento dos estudantes, os
cálculos realizados tornaram-se significativos no sentido em que houve a compreensão dos
conceitos de escala e proporcionalidade.
5.2 Experiência 2
Segundo Onuchic e Allevato (2014), ao trabalhar com a RP, os problemas podem ser
elaborados ou selecionados pelo professor, ou o professor pode aceitar um problema proposto
pelos estudantes. Desta forma, na Experiência 2, considerou-se que os estudantes deveriam
trabalhar com problemas de sua autoria. Para tanto, o PP solicitou que cada grupo deveria
discutir temas de interesses entre seus integrantes e chegarem a um consenso sobre qual tema
gostariam de pesquisar. A duração de cada atividade está apresentada no Quadro 20.
Quadro 20 − Estrutura da atividade da experiência 2
Atividade Duração (horas/ aula)
Discussão nos grupos para a escolha do tema de
pesquisa. 1
Pesquisas em laboratório de informática, leituras e
elaboração dos problemas. 2
Aplicação dos problemas (P2) e etapas da RP,
conforme orientam Onuchic e Allevato (2014). 2
Fonte: AUTOR (2018)
5.2.1 Aplicação do problema gerador P2 e etapas da RP
Após as discussões nos grupos, foram escolhidos os temas de pesquisa conforme
apresentados no Quadro 21.
Quadro 21 − Temas de interesse dos grupos
Grupo Tema de interesse
1 Dormir
2 Bilhar
3 Carros
4 Comida
5 Engenharia Civil
6 Grécia Antiga
Fonte: AUTOR (2017)
Com estes temas os estudantes deveriam levantar informações, discuti-las, apresentá-
las e na sequência elaborar um problema que apresentasse em sua estrutura o conceito de
proporcionalidade. Esta abordagem tinha como objetivo identificar a compreensão que os
estudantes estavam adquirindo deste conceito, e de como eles identificavam-no em diferentes
contextos.
Durante a elaboração dos problemas, observou-se dificuldades em criar esta relação,
ou seja, entre o tema e a proporcionalidade, sendo necessária a intervenção do PP, com
algumas sugestões. Esta dificuldade pode estar associada com a compreensão do conceito de
proporcionalidade, ou com o hábito dos estudantes receberem os problemas prontos durante o
processo de ensino e aprendizagem, sem que haja conexões com seu dia a dia. Desta forma,
havendo dificuldades em estabelecer relações com os conceitos trabalhados em sala de aula.
Vale destacar que na elaboração dos problemas não houve interferência do PP
referente a estrutura destes, apenas na linguagem e escrita. Os problemas elaborados pelos
estudantes estão apresentados no Quadro 22.
Quadro 22 − Problemas elaborados pelos grupos
1) A cada 4 tijolos paga-se R$2,00. Se fossem comprados 723 tijolos, quanto pagaríamos?
2) Quanto irá medir uma maquete do Coliseu na escala 1:10, sabendo que ele tem 48 m de comprimento?
3) O ser humano dorme 8 horas por dia. Quantas horas dormimos em uma semana, sendo que em um dia
dormimos 2 horas a menos?
4) A receita abaixo, apresenta os ingredientes de uma torta de bolacha. Quantos quilos de torta conseguiríamos
com esta receita?
5) Um carro tem rotação de 1000 𝑟𝑝𝑚. Quantas voltas são dadas em 1 hora?
Fonte: AUTOR (2017)
Para esta atividade, o grupo 2 não apresentou um problema para o tema escolhido
(bilhar). Durante o processo de elaboração dos problemas, os integrantes deste grupo
comentaram que estavam com dificuldades em estabelecer relações de proporcionalidade. O
PP fez algumas sugestões ao grupo, que eles poderiam relacionar o tamanho da mesa de
bilhar, das bolas, dos tacos, ou até mesmo criar relações de escala. Outras sugestões foram
dadas pelos seus colegas de outros grupos, entretanto acabaram não realizando no tempo
disponível da aula e não entregando posteriormente.
Em todos os problemas apresentados no Quadro 22, pode-se observar relações de
proporcionalidade. Até mesmo no problema proposto pelo grupo 4, em que se busca a massa
de uma torta, cuja solução implica na adição das massas de seus ingredientes. Ao determinar a
massa de 3 ovos, tem-se o uso de um operador vertical (×3), conforme ilustrado no Quadro
23.
Quadro 23 − Representação da resolução para encontrar a massa total dos ovos
Quantidade de ovos
Massa (g)
1
3
120
x
Fonte: AUTOR (2018)
× 3 × 3 ×120 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠
𝑜𝑣𝑜
Desta forma, observa-se que houve o estabelecimento de relações de
proporcionalidade nos problemas apresentados, sendo evidenciada a aplicação do raciocínio
proporcional. Observa-se também a utilização de assuntos estudados nos encontros anteriores,
ou seja, no problema 2, elaborado pelo grupo 6, em que estabeleceram relações de escala.
Após a elaboração dos problemas, cada estudante recebeu uma cópia e na sequência
procedeu-se com as etapas propostas por Onuchic e Allevato (2014). Durante a leitura
individual e em grupo notou-se interesse dos estudantes em compreender o que seus colegas
haviam proposto. Na resolução dos problemas, quando um grupo não compreendia
determinado problema e solicitavam a ajuda do PP, os integrantes do grupo autor davam dicas
sobre a respectiva resolução. Um dos pontos positivos a destacar nesta etapa (resolução do
problema) foi o envolvimento dos estudantes, pois gerou um clima de competição na classe
para ver quem resolvia o problema do colega de forma correta.
Na lousa, cada grupo fez o registro do mesmo problema, então, houve a plenária em
relação ao problema em foco, conforme apresentado na Figura 10.
Figura 10 − Registro da resolução do problema1 pelos grupos na lousa
Fonte: AUTOR (2017)
Durante os registros na lousa, o grupo que era autor do problema sempre estava
atencioso como o registro de seus colegas, e na socialização das respostas, os estudantes
adotavam a resolução apresentada pelo grupo que elaborou o problema, como referência para
a correção.
No que se refere as estratégias utilizadas pelos grupos, identificou-se como a principal
o Valor Unitário (VU). Por exemplo, no problema 1, busca-se o preço pago por 723 tijolos,
sabendo que a cada 4 tijolos, paga-se R$ 2,00. Para tanto, uma das estratégias consiste em
encontrar o valor unitário de cada tijolo e em seguida multiplicar este valor pela quantidade de
tijolos desejada, conforme a resolução apresentada pelo grupo 4, ilustrada na Figura 11.
Figura 11 − Estratégia de solução apresentada pelo grupo 4 na resolução de P1
Fonte: AUTOR (2017)
Neste esquema apresentado pelos estudantes, observa-se que a multiplicação por 50,
corresponde ao preço unitário de cada tijolo (R$ 0,50) e que também pode ser interpretada
como a função relacional ×𝑅$ 0,5
𝑡𝑖𝑗𝑜𝑙𝑜 que permite passar do número de tijolos para preço.
Durante a socialização das estratégias, o PP questionou sobre o 723 ser multiplicado
por 50 e não por 0,5. Os estudantes explicaram que o 50 representava o valor de cada tijolo,
ou seja, R$ 0,50. No entanto, questionou-se sobre não haver vírgulas na multiplicação
realizada, mas na resposta final ser considerada. Os integrantes do grupo comentaram que
multiplicaram o 0,50 por 100 para eliminar a vírgula e ao final da conta dividiram por 100,
sem alterar a resposta, conforme haviam estudado em conteúdos anteriores com a professora
regente. Este conhecimento apresentado pelos estudantes é um invariante operatório
relacionado com deslocamento da vírgula à direita ou a esquerda quando realiza-se uma
multiplicação ou uma divisão por 10, por 100, ou por 1000, respectivamente.
Para o mesmo problema, o grupo 3 estabelece a função relacional ×𝑅$ 1,00
2 𝑡𝑖𝑗𝑜𝑙𝑜𝑠 , que é
equivalente a função relacional ×𝑅$ 0,5
𝑡𝑖𝑗𝑜𝑙𝑜 , conforme ilustrado na Figura 12.
Figura 12 − Esquema apresentado pelo grupo 3 na resolução do problema 1
Fonte: AUTOR (2017)
A partir do estabelecimento da função relacional ×𝑅$ 1,00
2 𝑡𝑖𝑗𝑜𝑙𝑜𝑠 , ou seja, que a cada de 2
tijolos paga-se R$1,00, os estudantes buscaram identificar quantas vezes é possível formar
grupos de 2 tijolos com uma quantidade de 723 tijolos. Desta forma, encontrando o valor de
723 tijolos por meio do produto: número de grupos de 2 tijolos × valor do grupo de 2 tijolos.
No entanto, observa-se no esquema apresentado na Figura 12, que os estudantes não
consideraram na resposta (361) a adição de R$ 0,50 que corresponde ao valor unitário do
tijolo, apresentado no esquema como o resto da divisão. Ao serem questionados pelo PP sobre
este fato, os estudantes comentaram que não lembravam como realizar a divisão do 1 por 2,
mas que haviam compreendido o problema em questão.
No entanto, percebe-se que mesmo os estudantes utilizando de forma correta o
algoritmo da divisão, houve dificuldades em interpretá-lo, pois mesmo que apresentassem
dificuldades na divisão de um número menor por um maior, era possível observar que o resto
da divisão (1 tijolo) custava R$ 0,50, e este devendo ser adicionado ao R$ 361,00.
Muitas vezes, os estudantes acabam não resolvendo um problema por não lembrarem
procedimentos e/ou algoritmos, embora tenham entendido o problema, não apresentam outros
caminhos de resolução, pois consideram a estratégia estudada em sala de aula como única
maneira aceitável pelo professor. Este fato pode estar relacionado com as abordagens em sala
de aula que não apresentam esta diversidade de estratégias na resolução dos problemas, ou
com a falta de diálogos nas aulas de matemática que consideram a explicação dos estudantes
em relação as suas produções.
Para Vergnaud (2009b), identificar, analisar, compreender, socializar e valorizar as
produções dos indivíduos no processo educativo permite ao educador colocar-se como
mediador diante das produções parciais ou ineficientes. Para Muniz (2008), a compreensão
dos esquemas é mais uma oportunidade de interação entre aluno e professor, o que favorece
um diálogo mais profícuo nas aulas de matemática. Ainda, esta verbalização do aluno sobre
suas produções é considerada parte essencial na compreensão dos processos cognitivos, pois
algoritmos e esquemas normalmente são registros que não traduzem estes processos em sua
totalidade.
Para os demais problemas (2, 3, 4 e 5) não foram identificadas dificuldades durante a
resolução, apenas na questão 5 a notação 'rpm' (rotações por minuto) causou dúvidas, no
entanto sendo esclarecida pelos integrantes do grupo autor do problema.
5.2.2 Considerações sobre a experiência 2
Ao considerar a elaboração dos problemas pelos estudantes, observou dificuldades em
estabelecer relações entre as situações e o conceito de proporcionalidade, pois durante esta
atividade, questionavam o PP se o problema criado por eles apresentava ou não a
proporcionalidade. Neste sentido, percebe-se dificuldades relacionadas a compreensão e
identificação do conceito de proporcionalidade em diferentes situações. Embora fossem
necessárias intervenções e explicações do PP, foi possível identificar aspectos referentes ao
desenvolvimento do campo conceitual da estrutura multiplicativa, por exemplo, o
envolvimento das operações de multiplicação e divisão na estrutura dos problemas.
No que se refere a dinâmica da sala de aula, houve um melhor envolvimento dos
estudantes na experiência 2 quando comparado as atividades da experiência 1. Este resultado
pode estar associado a autonomia dada aos estudantes na escolha dos temas e na elaboração
de seus próprios problemas. Durante as pesquisas observou que todos os estudantes estavam
concentrados em suas investigações e registros. Apesar do grupo 2 não ter realizado a
atividade proposta, seus integrantes participaram ativamente na apresentação das informações
que haviam coletadas.
Considera-se a elaboração dos problemas pelos estudantes uma atividade desafiadora,
pois permitiu investir conhecimentos já adquiridos e estabelecer relações entre os conteúdos e
situações do seu cotidiano. Ainda, os problemas propostos pelos estudantes, permitiram
avaliar a compreensão que eles estavam apresentando do conceito de proporcionalidade e
promoveram ricas discussões e aquisição de diferentes conhecimentos.
.
5.3 Experiência 3
A experiência 3 contempla duas situações, a primeira relacionada ao problema gerador
(P3) e a segunda referente a confecção de um bolo. A duração de cada atividade está descrita
no Quadro 24.
Quadro 24 − Estrutura das atividades da experiência 3
Atividade Duração (horas/ aula)
Aplicação do problema gerador (P3) e etapas da
RP, conforme orientam Onuchic eAllevato (2014) 2
Confecção do bolo 3
Fonte: AUTOR (2018)
5.3.1 Aplicação do problema gerador P3 e etapas da RP
Neste encontro, trabalhou-se o problema da receita – P3, descrito no Quadro 25.
Quadro 25 − Problema da receita
P3) Dona Ana irá fazer um bolo de chocolate para 20 convidados. A receita abaixo apresenta os ingredientes
necessários para fazer um bolo que rende 10 pedaços. Suponhamos que cada pessoa irá consumir 3 pedaços.
Quanto de ingrediente dona Ana irá gastar para produzir estes bolos?
Fonte: AUTOR (2017)
Para tanto, cada estudante recebeu uma cópia para leitura individual e em conjunto.
Nestas etapas, percebeu-se que os estudantes já estavam habituados com a dinâmica da sala de
aula, ou seja, após realizarem a leitura individual, alguns alunos perguntaram ao PP se já
poderiam formar os grupos e iniciar a resolução do problema. Desta forma, iniciou-se a etapa
da resolução, observar e incentivar. Nesta fase, foram poucas as solicitações feitas ao PP
sobre o problema, sendo observada a autonomia dos estudantes e maior envolvimento nos
grupos, as maiorias das conversas estavam direcionadas ao problema, foram poucos os
momentos que houve a dispersão dos grupos, a atenção esteve voltada ao problema e não a
outros assuntos, o que não foi evidenciado na resolução de P1, abordado na experiência 1. A
Figura 13 apresenta o registro das resoluções na lousa.
Figura 13 − Registro das resoluções do problema P3 pelos estudantes dos grupos
Fonte: AUTOR (2017)
Durante a socialização das estratégias, após os registros na lousa (Figura 13), os
estudantes foram questionados sobre como chegaram a estes resultados, uma integrante do
grupo 4 explica que: cada pessoa come 3 pedaços de cada bolo, sobra 1 pedaço de cada bolo.
De 3 bolos da pra mais uma pessoa. São seis bolos que não sobra mais [sic].
Este raciocínio corresponde a uma estratégia categorizada como Adições Repetidas e
Contagem de Múltiplos (ARCM), que segundo Batista (2002) consiste em agrupamentos de
quantidades iguais até chegar ao resultado. Nesta situação, a estudante agrupa três em três
pedaços, observado que a cada bolo há possibilidade de servir três pessoas, sobrando um
pedaço, logo de cada três bolos há possibilidade de servir mais um convidado. Ela afirma que
são seis bolos e não sobra mais, ou seja, é esta a quantidade de bolos que satisfaz as condições
apresentadas no problema. O esquema utilizado pela estudante pode ser representado como:
quantidade de pedaços × quantidade de bolos = número de convidados. Em números: 3 × 6
= 18. Como em cada bolo sobra 1 pedaço, em seis bolos sobra 6, sendo possível servir mais
dois convidados que adicionados ao 18 resultam em 20 convidados. Portanto, o número de
bolos que dona Ana deve produzir é 6.
Neste esquema, observa-se que a estudante considerou todas as informações
apresentadas no problema, estabeleceu relações entre as grandezas e utilizou exclusivamente
de adições repetidas na resolução. Segundo Aguiar (2017) quando os estudantes utilizam de
adições ou subtrações repetidas na resolução dos problemas e respeitam a estrutura
multiplicativa de proporcionalidade existente entre as grandezas do problema, evidencia-se
um nível intermediário de compreensão e utilização do conceito de proporcionalidade.
Durante o registro das soluções na lousa, era comum os estudantes levarem suas
anotações para transcrição, e ao final das atividades serem entregues ao PP. No entanto,
durante esta experiência, este fato não foi observado no que se refere aos integrantes do grupo
6. Porém, haviam apresentado uma solução correta para o problema em foco. Ao serem
questionados, sobre como haviam chegado aos valores apresentados na lousa, um integrante
do grupo 6 explica: nos fizemos 3 vezes o 20, dai achamos quantos pedaços, ai dividimos por
10, dai fizemos 6 vezes a quantidade de cada ingrediente [sic].
A estratégia utilizada pelos estudantes é categorizado como uma estratégia mista
(EMT), que de acordo com Batista (2002), é quando o estudante combina estratégias de
agrupamento, fazendo o uso do algoritmo correspondente ou quando realiza a operação
mentalmente. Neste caso, os estudantes agruparam todos os pedaços de bolo, por meio da
operação de multiplicação e em seguida reagrupam novamente utilizando a operação de
divisão, encontrando um fator (6) e aplicando ao problema, determinando a quantidade de
ingredientes desejada.
Esta estratégia também foi considerada pelos demais grupos, o que evidencia a
compreensão e o estabelecimento das relações de proporcionalidades envolvidas.
5.3.2 Atividade envolvendo a confecção de um bolo
Para contextualizar o problema da receita – P3, relacionar a proporcionalidade com a
produção de alimentos e favorecer o desenvolvimento do raciocínio de proporcionalidade,
considerou-se a confecção de um bolo.
Para realizar esta atividade, cada grupo ficou responsável por confeccionar uma fração
correspondente de um bolo, cuja receita estava anexa em P3. Nesta receita, estava registrada
uma fração que determinava a quantidade de massa a ser confeccionada. De forma aleatória,
cada grupo escolheu uma receita e então determinou-se a divisão descrita no Quadro 26.
Quadro 26 − Divisão para confecção do bolo
Grupo Confecção do bolo
1 1
2 bolo
2 1
4 bolo
3 1
2 bolo
4 11
2 bolo
5 1
2 bolo
6 11
4 bolo
Fonte: AUTOR (2018)
Com as quantidades estabelecidas, os grupos deveriam selecionar a quantidades dos
ingredientes correspondentes. Nesta etapa, houve várias discussões sobre como poderiam
realizar esta tarefa, pois algumas divisões não eram exatas. Por exemplo, ao determinar 1
4 de
duas colheres ou de três xícaras de farinha, seria algo complicado, pois poderiam existir
colheres mais cheias e isso promoveria diferenças no desenvolvimento da massa. Desta
forma, com o auxilio da professora regente e com sua experiência em culinária, estabeleceu-se
com o auxilio de uma balança de precisão as quantidades (em gramas) de cada ingrediente
necessário para a confecção de um bolo. Tendo como referência os valores encontrados
durante a pesagem, os estudantes deveriam completar o material impresso, conforme
apresentado na Figura 14.
Figura 14 − Receita do bolo
Fonte: AUTOR (2017)
Vale destacar que alguns ingredientes foram alterados conforme solicitação da
professora regente, pois segundo ela o aumento de algumas quantidades não implicaria no
desenvolvimento da massa, mas que poderia trazer uma melhor consistência, textura e gosto
ao bolo.
Ao estabelecer as quantidades, os estudantes deveriam comparar as massas (do
ingrediente pela calculada) por meio da razão 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙. Este cálculo tinha como objetivo
observar a proporcionalidade existente entre as quantidades e conferir se os valores
encontrados estavam corretos. O próximo passo era fazer a pesagem dos ingredientes e
confeccionar a massa conforme os passos descritos no modo de preparo. Por fim, deveriam
juntar as massas com a de outros grupos para formar a quantidade equivalente a um bolo.
Ao juntar os bolos houve certa desconfiança, pois nenhum grupo queria adicionar sua
massa com outras. O PP explicou que mantida as relações de proporcionalidade, não haveria
problema e também não havia formas suficientes para assar separadamente todas as
produções. No entanto, ao perceberem a homogeneidade nas massas, gerou um clima de
segurança, confiança e curiosidade em ver como ficaram os bolos após assados. Ao final desta
atividade foram produzidos o equivalente a 4,5 bolos, que foram adicionadas a 4 formas para
irem ao forno. A Figura 15 apresenta estas etapas.
Figura 15 − Estudantes trabalhando na confecção do bolo
Fonte: AUTOR (2017)
Durante a confecção do bolo, foi possível trabalhar vários conceitos, além de favorecer
o desenvolvimento do raciocínio de proporcionalidade e abordar conteúdos já estudados. Por
exemplo, ao determinar a quantidade correspondente de cada ingrediente, os estudantes
deveriam utilizar o conceito de fração, ao juntar as massas era necessário relembrar as
operações com frações e ao fazer a pesagem do leite deveriam relembrar os conceitos de
transformação de medidas, ou seja, de litros para gramas, considerando a relação: 1 litro é
equivalente a 1 quilo ou a 1000 gramas.
Outro a ponto a destacar durante a realização desta atividade é referente ao
cooperativismo. Ao propor esta atividade, esperava-se que houvesse desorganização por parte
dos alunos, no entanto a dinâmica observada da sala de aula foi outra, cada grupo esperou sua
vez de pesar os ingredientes e as tarefas foram distribuídas entre eles. Enquanto uns pesavam,
outros mexiam a massa e outros limpavam os recipientes utilizados. Os únicos momentos em
que houve intervenção do PP foi para sanar dúvidas referentes ao problema e aos conteúdos,
no auxílio com a manipulação dos ingredientes e na utilização da balança. Portanto, destaca-
se a importância do respeito por cada grupo, ao pesar, medir, etc, enfim , uma organização,
que não serve apenas para o momento , mas para se tomar consciência da importância do
trabalho coletivo e colaborativo.
Por fim, após os bolos serem assados, os estudantes fizeram seu intervalo tendo como
lanche os bolos que confeccionaram, observando a importância da proporcionalidade naquela
situação e na produção de alimentos.
5.3.3 Considerações sobre a experiência 3
Ao apresentar as atividades da experiência 3, percebeu-se um clima de entusiasmo
nos estudantes, pois ao serem informados sobre a confecção de um bolo, ficaram curiosos
sobre como ocorreria esta atividade.
Ao relacionar o problema trabalhado neste encontro com a atividade da confecção do
bolo, percebeu-se um maior interesse e envolvimento dos estudantes em resolver o problema,
bem como apresentavam familiaridade com a situação proposta. Durante a confecção do bolo,
a maioria dos estudantes apresentava conhecimentos da ordem dos ingredientes e das etapas
que deveriam ser seguidas. Gerou um clima de cooperativismo e de troca de conhecimentos,
pois aqueles estudantes que tinham este domínio orientavam seus colegas na confecção da
massa.
Os problemas abordados na experiência 3, promoveram um rico contexto para a
exploração de vários conceitos, bem como para a elaboração do raciocínio de
proporcionalidade. Também, foi possível estabelecer relações entre o conceito de
proporcionalidade com o conceito de fração e transformação de unidades. Segundo Zanella e
Barros (2014) as atividades que relacionam vários conceitos são as mais proveitosas, pois a
formação de conceitos conforme a TCC está relacionada com a abordagem de problemas
teóricos e práticos. Ainda, de acordo com Pais (2008) estes tipos de situações auxiliam o
estudante na percepção das conexões existentes entre os vários conceitos.
No mesmo sentido das experiências 1 e 2, durante esta abordagem, identificou-se
falhas de aprendizagem relacionadas a transformação de unidades de medidas e operações
com frações, que puderam ser trabalhadas ao decorrer deste encontro.
Destaca-se também a importância de realizar atividades de natureza prática na
aquisição do conceito de proporcionalidade e no desenvolvimento do raciocínio proporcional.
5.4 Experiência 4
Na experiência 4, trabalhou-se o problema dos sucos – P4. Ao apresentar aos
estudantes 2 pacotes de sucos de mesmo sabor, com massas e rendimentos diferentes, propôs-
se a situação descrita no Quadro 27.
Quadro 27 − Problema dos sucos
P4) Produzir a quantidade de suco equivalente à quantidade de água que o grupo recebeu, observando as
informações apresentadas no pacote de suco.
Fonte: AUTOR (2017)
5.4.1 Aplicação do problema gerador P4 e etapas da RP
De forma aleatória, estabeleceu-se a quantidade de suco a ser produzida por cada
grupo e a embalagem de suco que deveriam utilizar para esta dosagem. Estas quantidades
estão descritas no Quadro 28.
Quadro 28 − Quantidade de suco produzida por cada grupo
Grupo Massa pacote de suco (kg) Rendimento (litros) Quantidade a ser produzida
(ml)
1 0,350 5 1250
2 1 10 1350
3 0,350 5 1800
4 1 10 1500
5 0,350 5 1200
6 1 10 1650
Fonte: AUTOR (2017)
Estabelecida estas quantidades, os estudantes nos grupos iniciaram o processo de
resolução. No momento de observar e incentivar, percebeu-se muitas dúvidas nos estudantes
referente a resolução do problema, pois para eles bastava adicionar o concentrado de suco na
água e mexer, como faziam em suas casas, não haveria necessidades de fazer contas.
Esperava-se neste momento que eles relacionassem as informações descritas no pacote, porém
não evidenciou este fato, sendo necessária a intervenção do PP com explicações, mostrando
algumas informações na embalagem de suco que passaram despercebidas por eles.
Após esta intervenção nos grupos, os estudantes ainda continuavam confusos, no
entanto, aos poucos iniciaram-se algumas discussões e as primeiras estratégias de solução.
Muitas dificuldades surgiram durante esta etapa, entre elas, a divisão de naturais e decimais, a
conversão de unidades, a escrita e linguagem matemática.
Considera-se como uma das principais dificuldades evidenciadas na resolução deste
problema pelos estudantes: o hábito de realizar os cálculos sem se preocupar com as
grandezas que cada número representava. Por exemplo, identificou várias situações em que os
estudantes estabeleciam uma relação correta por meio de uma razão, a destacar, a razão
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑜
𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜·. No entanto, acabavam procedendo da seguinte forma:
1
10 = 0,1, mas
não compreendiam o que significava o 0,1 devido a falta de compreensão do que esta razão
representava e da simbologia adequada. Outros casos como 350
5= 70, também causaram
muitos dificuldades na compreensão do problema.
Diante destas constatações, o PP fez algumas considerações na lousa, destacando
alguns pontos a serem considerados na resolução do problema e nas notações feitas por eles.
Por exemplo, da necessidade da grandeza acompanhar o número e da transformação de
unidades quando necessária. Também foi comentado que as quantidades de suco a serem
produzidos por eles estavam em mililitros (𝑚𝑙), e o rendimento do suco estava em litros
(𝑙), sendo necessária uma transformação de unidades de litros para mililitros, ou ao contrário.
Após esta intervenção, percebeu-se que os grupos começaram a ter atenção nestas
relações e utilizá-las em suas resoluções, conforme ilustrado na Figura 15.
.
Figura 16 − Resolução apresentada pelo grupo 6
Fonte: AUTOR (2017)
Neste esquema, observa-se que os estudantes buscaram estabelecer as relações
discutidas pelo PP, embora em seu protocolo não há registros sobre o que cada valor
representa. Por exemplo, ao fazer o quociente 1000 por 10, encontra-se 100. Em grandezas o
1000 representa 1 litro em mililitros (1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 = 1000 𝑚𝑙) e o 10 corresponde ao rendimento
do pacote, na forma de razão, tem-se: 1000 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠
10 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠=
100 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠
𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜, ou seja, 100 gramas de
concentrado para cada litro de refresco. Nota-se neste esquema que é considerado o produto
1,65 × 100 = 165, que é a reposta para o problema em foco (165 gramas de concentrado de
suco para 1650 𝑚𝑙 de água). Também é identificado o quociente 1650
100= 16,5 que pode ser
interpretado como 1650 𝑚𝑙
100𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 /𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜= 16,5 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜.𝑚𝑙/𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠, no entanto, esta interpretação
não apresenta um sentido para a resolução do problema, o que sugere que houve o
esquecimento de um zero no 100 da “chave” e, de acordo com os registros, o quociente 1650
100 é
equivalente a 1650 𝑚𝑙
1000 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑜 =
1,65𝑚𝑙
1 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑜.
A razão 100𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠
𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 corresponde a uma função relacional que permite passar de litros de
suco para a quantidade de pó utilizada, conforme ilustrado no esquema do Quadro 29.
Quadro 29 − Representação da resolução do problema P4
Fonte: AUTOR (2018)
Este esquema (Quadro 29) corresponde a equação: gramas de suco = quantidade
produzida × rendimento, podendo ser representada como 𝑔 = 𝑝 × 𝑟. Esta relação, segundo
Vergnaud (2009b), pode ser interpretada como o produto de medidas, ou, um isomorfismo
duplo, ou, dupla proporcionalidade. Ainda, de acordo com Vergnaud (2009b), os estudantes
apresentam mais dificuldades em trabalhar com produto de medidas do que com problemas de
Suco produzido (litros)
Pó de suco utilizado (g)
10
1,65
1000
165
×1,65
10 ×
1,65
10
×100𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠
𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜
isomorfismo. Neste sentido, há necessidades de abordar situações desta natureza em sala de
aula para que o estudante supere estas dificuldades e desenvolva o raciocínio proporcional.
Durante a plenária e socialização das estratégias, os estudantes comentaram sobre a
complexidade do problema e suas dificuldades em resolvê-lo. Foi um momento direcionado a
sanar dúvidas e retomar conteúdos. Embora todos os grupos tenham apresentado resposta
correta ao problema, percebeu-se um clima de descontentamento em relação ao domínio de
conteúdos matemáticos que eram essenciais na resolução de P4. Para Van de Walle (2001),
uma das contribuições da RP para o processo de ensino e aprendizagem é a oportunidade dada
ao professor de identificar constantemente as condições e conhecimentos que os estudantes
possuem, bem como ajudando-os a se perceberem e se ajudarem na construção do
conhecimento.
5.4.2 Atividade envolvendo a dosagem de sucos
Após a plenária, iniciou-se a dosagem dos sucos. Com as quantidades estabelecidas
para cada grupo e com o concentrado calculado, os estudantes deveriam realizar a mistura
correspondente. Com o auxílio de uma balança de precisão, realizou-se a pesagens dos
concentrados e procedeu-se com a dosagem dos refrescos, conforme ilustrado na Figura 17.
Figura 17 − Produção dos sucos
Fonte: AUTOR (2017)
Com as misturas prontas e de mesmo suco, fez-se comparações entre as colorações e
gostos, observando que mesmo com as quantidades de pó e água diferentes, obteve-se
resultados próximos. Neste momento, solicitou aos grupos para encontrarem o quociente
𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑜 𝑓𝑒𝑖𝑡𝑎
𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑝ó 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 e comparar seus resultados, percebendo que mesmo com valores
diferentes de água e concentrado de suco, os resultados alternavam em 70 ou a 100 conforme
o pacote de suco escolhido. Estes valores, referem-se às funções relacionais 70 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠
𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 e
100 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠
𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 que correspondem ao concentrado de suco para a embalagem de 350 gramas e de
rendimento 5 litros, e para a embalagem de 1 kg e de rendimento 10 litros, respectivamente.
Durante esta atividade, também foi proposto que os estudantes encontrassem a
quantidade de água necessária para uma quantidade de pó estabelecida. Para valores múltiplos
de 70 e 100, os estudantes respondiam corretamente, no entanto para outros valores
apresentavam dificuldades em estabelecer esta relação. Por exemplo, ao questioná-los sobre
quantos litros seriam feitos com 140 gramas utilizando a relação 70 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠
𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 (70 gramas de pó
de suco para um litro) a grande maioria respondia corretamente, ou seja, 2 litros. Porém, ao
serem questionados sobre quantos litros de suco seriam feitos com 80 gramas utilizando a
mesma relação, poucos estudantes arriscavam uma resposta para a questão.
A resolução deste problema está relacionada com a equivalência de frações, que é um
dos principais conceitos inerentes no ensino e aprendizagem de proporcionalidade. Percebe-se
nesta situação que os estudantes apresentavam a compreensão do conceito de equivalência, no
entanto, quando a equivalência está relacionada por números racionais não inteiros, os
estudantes demonstravam dificuldades de encontrar frações equivalentes. O Quadro 25 ilustra
esta situação.
Quadro 30 − Representação de um esquema para dosagem de sucos
Fonte: AUTOR (2018)
Para o esquema do Quadro 30, percebe-se que a relação de equivalência é o operador
vertical × 2 (adimensional). Para esquemas desta natureza, os estudantes conseguiram
Suco produzido (litros)
Pó de suco utilizado (gramas)
1
x
70
140
× 2 × 2
×
70𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠
𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜
identificar o operador vertical, porém quando estes operadores são racionais não inteiros, é
evidenciado dificuldades na resolução dos problemas. Por exemplo, na situação proposta em
que desejava-se encontrar a quantidade de refresco que poderia ser feita utilizando 80 gramas
de pó de suco, considerando a relação 70 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠
𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜, identifica-se o operador vertical ×
80
70 ou
×8
7 , conforme ilustrado no Quadro 31.
Quadro 31 − Representação de um esquema para dosagem de sucos
Fonte: AUTOR (2018)
A dificuldade em estabelecer operadores verticais racionais não inteiros, identificada
nesta experiência, pode estar relacionada com a falta de abordagens em sala de aula, com a
compreensão do conceito de equivalência de frações ou com a complexidade com que os
problemas se apresentam aos estudantes. A superação destas dificuldades implica diretamente
no desenvolvimento do raciocínio de proporcionalidade, cabendo ao professor elaborar e
propor situações que possibilitem identificar estes aspectos e traçar caminhos com vistas a
compreensão e resolução dos problemas que envolvem este conceito.
Conforme as dificuldades apresentadas pelos estudantes em estabelecer operadores
racionais não inteiros e com os conceitos envolvidos nesta experiência, pode-se apresentar a
comparação entre grandezas como uma estratégia de resolução, que envolvia o produto
cruzado, conhecida como algoritmo Regra de Três (RT). Neste sentido, discutiu-se a
resolução de alguns problemas utilizando esta estratégia, tendo como exemplo, problemas
trabalhados nos encontros anteriores. Durante esta abordagem, alguns estudantes
questionaram se em atividades posteriores haveria a necessidade de usar o método
apresentado pelo PP, ou se poderiam fazer do “jeito deles”. Neste momento, percebeu-se que
Suco produzido (litros)
Pó de suco utilizado (g)
1
x
70
80
×80
70 ×
80
70
×70𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠
𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜
os discentes queriam estar libertos a desenvolver suas próprias estratégias, diferente do que
foi evidenciado na experiência 1, em que os discentes questionavam o PP sobre qual era a
estratégia que deveria ser utilizada na resolução de P1.
5.4.3 Considerações sobre a experiência 4
A abordagem envolvendo a dosagem de sucos possibilitou identificar diversas lacunas
de aprendizagem, bem como favorecer o desenvolvimento do raciocínio de
proporcionalidade. Embora os estudantes tenham apresentado dificuldades na resolução dos
problemas, eles sempre buscavam maneiras de relacionar as informações apresentadas na
situação.
Durante a experiência 4, vários conceitos foram trabalhados, possibilitado aos
estudantes visualizarem as relações de proporcionalidade existente entre os conteúdos
matemáticos com as situações do seu dia a dia, a destacar, a dosagem de refresco.
Outro ponto a destacar é as dificuldades encontradas pelos estudantes em trabalhar
com problemas que envolvem a transformação de medidas. Considera-se que situações que
envolvem este conteúdo proporcionam um rico contexto para promover o desenvolvimento do
raciocínio de proporcionalidade.
No que se refere a dinâmica da sala de aula, percebeu-se que os estudantes já estavam
habituados com a metodologia utilizada, pois houve um crescimento em relação a
colaboração, envolvimento e participação nas atividades. Em alguns momentos desta
experiência, teve-se a necessidade de explicar os conteúdos de forma tradicional, ou seja, com
lousa e giz. No entanto, foi um momento de atenção, pois os estudantes perceberam que
estavam com dificuldades em conteúdos já estudados e isto despertou o interesse em
compreender o que estava sendo retomado pelo PP.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A problemática em estudo referiu-se à falta de práticas docentes que contemplem
diferentes estratégias na resolução de problemas que envolvem proporcionalidade e as
dificuldades apresentadas pelos estudantes na compreensão deste conceito.
Neste sentido, buscou-se apontar as potencialidades da Resolução de Problemas, RP,
em atividades de proporcionalidade com estudantes do 7° ano do Ensino Fundamental de um
colégio da rede estadual pública de ensino na cidade de Pinhão, PR, tendo como base teórica a
Teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. Para tanto, considerou-se a RP na
terceira concepção, seguindo as etapas propostas por Onuchic e Allevato (2014). Como
instrumentos de coleta de dados foram utilizados registros dos estudantes em atividades
impressas, imagens, áudios e diário de bordo.
As atividades passaram por três momentos: antes (Preparação do Problema), durante
(Resolução do Problema) e depois (Plenária e Formalização), conforme sistemática adotada
por Onuchic e Allevato (2014).
No início das atividades, os estudantes apresentaram certa rejeição a esta metodologia
(RP), pois estavam acostumados como o ensino tradicional em que o professor passa e explica
os conteúdos na lousa. Na concepção adotada para o trabalho com a RP, há uma inversão da
dinâmica da sala de aula, o ponto de partida das atividades matemáticas passa ser o problema
e não as definições. Na experiência vivenciada, percebeu-se que os estudantes apresentavam
dificuldades em iniciar a resolução dos problemas sem um exemplo ou um procedimento pré-
estabelecido pelo professor. No entanto, ao decorrer das atividades, evidenciou-se o
desenvolvimento desta autonomia, em que os estudantes buscaram relacionar, refletir e criar
estratégias de solução. Desta forma, destaca-se com uma das potencialidades da RP,
evidenciadas neste estudo, a ruptura do modelo tradicional de ensino, em que é possível tirar o
estudante de sua postura passiva em sala de aula, para levá-lo a uma postura ativa e
interessada, conforme destacam Onuchic e Allevato (2005).
Durante abordagem envolvendo a RP, foi possível identificar diversas lacunas de
aprendizagem que prejudicaram a resolução de alguns problemas que utilizavam os conteúdos
de operações com decimais e transformação de medidas. Ao serem identificadas, pode-se
trabalhá-las de forma individual e coletiva, com vistas à superação e conseguinte à
compreensão.
Na concepção adotada nesta investigação, o ponto de partida de atividades
matemáticas são os problemas. Então, neste momento, quando o estudante investe seus
conhecimentos, é possível identificar as falhas de aprendizagem, o que talvez não fosse
identificado em outra abordagem, como exemplo, a aplicação de um algoritmo ou de uma
fórmula.
Destaca-se também o trabalho colaborativo como potencialidade da RP, pois no grupo
em que estavam, havia troca de informações e discussões, pois sempre que um estudante
pedia esclarecimento sobre algo, eles próprios se dispunham a responder, cooperando uns
com os outros. Ainda, durante a socialização das respostas, alguns estudantes tiveram
oportunidade de ensinar seus colegas e mostrar como chegaram à resposta correta. Resultados
semelhantes são apontados no estudo de Makuch (2016).
Durante esta investigação, também se buscou investigar as estratégias movidas pelos
estudantes durante a resolução de problemas envolvendo proporcionalidade, das quais
destacam-se: Estratégia Inadequada (EI); Fator de Proporcionalidade (FP); Adições Repetidas
e Contagem de Múltiplos (ARCM); Estratégia Mista (EMT), Valor Unitário (VU) e Outros
(O).
Conforme Costa e Allevato (2015), para o ensino de proporcionalidade a „regra de
três‟ é utilizada como a principal estratégia de solução, não sendo consideradas outras durante
o processo de ensino e aprendizagem deste conteúdo. Neste sentido, durante a formalização
dos conteúdos e ao apresentar aos estudantes a „regra de três‟ como possível estratégia de
solução, notou-se certa rejeição a este procedimento. Durante a resolução de problemas de
proporcionalidade, os estudantes questionavam se poderiam utilizar as estratégias adotadas
inicialmente, evidenciando maior segurança e certa autonomia na resolução dos problemas,
sem uma dependência às fórmulas e/ou algoritmos. Desta forma, destaca-se também como
potencialidade da RP, a construção, diversificação e aplicação de diferentes estratégias de
solução.
Pode-se relacionar as estratégias utilizadas pelos estudantes com a compreensão e
utilização do conceito de proporcionalidade. Os esquemas que faziam o uso exclusivo de
estruturas aditivas, por exemplo, o uso da EI (Estratégia Inadequada), demonstraram ausência
das ideias de proporcionalidade, o que evidencia a falta de compreensão do isormosfismo
presente na estrutura do problema.
Para as estratégias que utilizavam da estrutura aditiva, no caso a ARCM (Adições
Repetidas e Contagem de Múltiplos), mas que foram operacionalizadas respeitando a
estrutura multiplicativa de proporcionalidade existente entre as grandezas do problema,
evidencia-se um nível intermediário de compreensão e utilização do conceito de
proporcionalidade. Nos esquemas em que a estrutura multiplicativa foi respeitada, por
exemplo, nas estratégias VU (Valor Unitário), FP (Fator de Proporcionalidade) e EMT
(Estratégia Mista) fazendo o uso de operadores verticais e funções relacionais, percebe-se um
maior de nível de compreensão dos problemas propostos e utilização das ideias de
proporcionalidade.
Esta diversificação de estratégias que é proporcionado pela RP, possibilitou identificar
e avaliar a compreensão que os estudantes apresentaram do conceito de proporcionalidade, o
que talvez não fosse favorecido em uma abordagem tradicional, com ênfase a apenas uma
estratégia ou algoritmo para a resolução dos problemas. Neste sentido, é importante
considerar na resolução dos problemas de proporcionalidade as diferentes maneiras de
resolução apresentadas pelos estudantes. Destacando-se como umas das principais
potencialidades da RP.
Ao considerar a TCC e a RP neste estudo para o ensino de proporcionalidade, pode-se
identificar confluências, o que favoreceu ao PP uma melhor compreensão das ações dos
estudantes em sala de aula, fornecendo subsídios para a organização e encaminhamento das
atividades propostas. Estas confluências estão apresentadas no Quadro 32.
Quadro 32 − Confluências da RP com a TCC
Aspectos inerentes a RP Aspectos inerentes a TCC Confluências
Os conceitos aparecem na
resolução dos problemas. A
formalização dos conceitos é feita
ao final deste processo.
Para Vergnaud (1993) o conceito
não é sinônimo de definição, mas
engloba também o sentido que esta
definição adquire quando utilizada
na resolução de problemas.
A compreensão dos conceitos, não
está na definição, mas quando o
estudante vivencia e explora nas
atividades matemáticas.
Os estudantes investem seus
conhecimentos para a resolução
dos problemas. Percebem a
necessidade de novos
conhecimentos para resolvê-lo.
Possibilita ao professor o estudo
das ações dos estudantes e as
condições de produção, registro e
comunicações durante as
atividades.
É possível identificar as falhas de
aprendizagem e as dificuldades
apresentadas pelos estudantes,
permitindo ao professor traçar
caminhos com vistas a superação e
aquisição de novos conhecimentos.
O ponto de partida de atividades
matemáticas são os problemas,
cuja resolução implica na
As situações que relacionam vários
conceitos são as mais proveitosas,
pois a TCC considera a existência
É importante considerar a
diversificação de atividades para
que o estudante identifique e
mobilização e aplicação de vários
conceitos pelos estudantes.
Devem ser oferecidos novos
problemas para que o estudante
invista os novos conhecimentos.
de conceitos interligados, que
forma uma rede complexa. O
conceito não assume um significado
em apenas uma situação.
relacione os diferentes conceitos
nas atividades matemáticas, bem
como em situações do seu dia a dia.
A formalização dos conteúdos
permite uma apresentação
“formal” - estruturada e
organizada em linguagem
matemática, o que possibilita o
aperfeiçoamento da leitura e
escrita matemática.
Para Vergnaud (1993) é importante
considerar o papel da linguagem e
do simbolismo na conceitualização
e na ação dos estudantes.
O uso adequado da linguagem
matemática permite as estudantes
aprofundar e ampliar as
compreensões acerca daquele
conteúdo matemático.
Permite aos estudantes criar suas
próprias estratégias de resolução,
ampliar as possibilidades de
caminhos que levem a uma
solução correta.
Para Vergnaud (1993), a
confiabilidade nos esquemas pelos
sujeitos, baseia-se no conhecimento
que ele detém e das relações entre
as características do problema a
resolver.
A resolução dos problemas está
associada com a diversidade de
esquemas disponíveis pelo
estudante e com o sucesso obtido
em situações semelhantes
utilizando o mesmo caminho.
Fonte: AUTOR (2018)
As confluências apresentadas no Quadro 32 apontam caminhos a serem considerados
durante o processo de ensino e aprendizagem de proporcionalidade. De maneira geral, para o
desenvolvimento do raciocínio de proporcionalidade, o professor deve considerar diferentes
atividades e estratégias de resolução. Na experiência vivenciada, percebeu-se que os
estudantes apresentavam uma melhor compreensão das ideias relacionadas a
proporcionalidade quando relacionadas a alguma atividade de natureza prática, que envolvia a
manipulação e a experimentação. Com a diversificação de atividade e situações foi possível
identificar lacunas de aprendizagem de conteúdos essenciais para a compreensão do conceito
de proporcionalidade, além de criar conexões entre os conceitos inerentes em cada situação.
Outro ponto a destacar para o desenvolvimento do raciocínio de proporcionalidade
está relacionado com o uso de funções relacionais durante a resolução dos problemas. Por
exemplo, em um cálculo para determinar a velocidade média, é importante escrever a razão
entre os números com suas respectivas grandezas. Isso permite ao estudante uma melhor
compreensão das relações envolvidas no problema. Atividades envolvendo a transformação
de unidades favorecem estes aspectos.
Os resultados apontados neste estudo evidenciam algumas das contribuições da RP
para a elaboração do raciocínio de proporcionalidade. Em consonância com a TCC, pode-se
também identificar as principais dificuldades apresentadas pelos estudantes na resolução dos
problemas e apontar os caminhos e procedimentos a serem seguidos pelo professor.
Assim, respondendo a questão: com base na Teoria dos Campos Conceituais, que
potencialidades são percebidas duma metodologia de ensino baseada na Resolução de
Problemas para o desenvolvimento do raciocínio de proporcionalidade? Destaca-se como
potencialidades: a ruptura do modelo tradicional de ensino; trabalho colaborativo;
diversificação e construção de novas estratégias; identificação de lacunas de aprendizagem; a
verbalização das aulas de matemática e a compreensão das produções e dos processos
cognitivos dos estudantes na resolução dos problemas.
Como sugestão para trabalhos futuros, considera-se a elaboração de um sequência
didática que relacione o conceito de proporcionalidade em atividades envolvendo a
transformação de unidades de medidas.
REFERÊNCIAS
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utilizadas na Resolução de Problemas no Ensino Fundamental. Cadernos PDE, V.1,
Ibaiti-Pr, 2014.
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uma análise acerca de esquemas mobilizados por estudantes do sétimo ano do ensino
fundamental. 2017. 121 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Programa de Pós-Graduação
em Ensino de Matemática, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2017.
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ANEXOS
ANEXO 1 − Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
ANEXO 2 − Termo de Assentimento
ANEXO 3 − Parecer aprovação do projeto
ANEXO 4 − Parecer autorização da SEED-PR
