O USO DE JOGOS NO ENSINO DA TEORIA ELEMENTAR DAS PROBABILIDADES

FRANCISCO EVANGELISTA SOBRINHO - UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

RESUMO

O uso de Jogos no ensino da Teoria Elementar das Probabilidades Francisco Evangelista Sobrinho Mestrando em Ensino de Matemática Universidade Cruzeiro do Sul prof.francisco.mat@gmail.com Celi Espasandin Lopes Docente no Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática Universidade Cruzeiro do Sul celilopes@uol.com.br Resumo Este relato tem como finalidade socializar uma experiência prática da aplicação do “Jogo da Soma” como estratégia da situação significativa de aprendizagem, no ensino inicial do estudo da Probabilidade, para a construção do conhecimento dos alunos do 2º ano do Ensino Médio de uma escola estadual da Diretoria Regional Guarulhos Sul da cidade Guarulhos, conforme conteúdo da Proposta Curricular do Estado de São Paulo do Caderno do Professor de Matemática 3º bimestre – 2008. O ensino da teoria elementar das probabilidades deve priorizar o senso crítico dos alunos, para que se tornem capazes de analisar as situações que contemplem o seu dia-a-dia, buscando a reflexão sobre os fatos. Para Jerônimo Cardano (1501 – 1576) tem sido creditado o início do estudo sobre a teoria das probabilidades, devido as suas observações sobre os jogos de azar, a partir delas ele destacou situações que envolviam a aleatoriedade. O jogo, como objeto cultural, pode ser um instrumento mediador para se introduzir conceitos ou explorá-los, contribuindo para a aprendizagem matemática. Palavras-chave

EDUCAçãO ESTATíSTICA E PROBABILIDADE + PRáTICAS + JOGOS

Introdução

Ao ensinarmos a teoria elementar das probabilidades, nós educadores nos

deparamos com um tema muito complexo e abstrato, e que exige um trabalho

árduo e investigativo por parte do educador, na composição das atividades que

serão abordadas em sala de aula. Muitas das vezes a formação do educador não

contempla a área de Estatística e Probabilidade de forma satisfatória, isto acaba

levando alguns educadores a trabalharem somente os princípios básicos desta

área.

Esta e as demais inseguranças em relação ao processo de ensino e

aprendizagem ocorrem porque este tema depende muito mais da abstração do

aluno e do educador, do que propriamente da abordagem técnica.

O ensino da teoria elementar das probabilidades deveria priorizar o

desenvolvimento do senso crítico dos alunos, mas o que notamos, é que a teoria

das probabilidades é ensinada, muitas vezes, de uma forma tradicional e

mecanizada que contradiz as orientações propostas pelos parâmetros curriculares

nacionais.

O ensino de Probabilidade deve ser ensinado através de problemas que

contemplem situações do dia-a-dia, buscando a reflexão sobre os fatos. Sabemos

que ensinar através da resolução de problemas não é uma tarefa fácil, pois além

de desenvolvermos as atividades, nós educadores também precisamos pesquisar

e instigar o senso investigativo reflexivo juntamente com o aluno. E assim, temos a

missão de ultrapassar o obstáculo que há entre o educador e o aluno, no que diz

respeito à dicotomia que há entre a teoria e a prática de ensino, que hoje

dificilmente estão integradas.

Assim, temos em mente, que ao ensinar este tema, nós educadores

primeiramente deveríamos integrar os aspectos históricos ao ensino, para que os

alunos tenham a exata dimensão da importância que este tema possui no

aprendizado e em situações do cotidiano. Muitas das aplicações da teoria das

probabilidades envolvem situações em que a percepção, muitas vezes, é traída

pela razão. Algumas dessas situações descritas podem ser correlacionadas ao

cotidiano, como no caso dos jogos de azar. Por volta do século XVI, alguns

jogadores profissionais buscavam métodos alternativos para prever resultados.

Dessa maneira, contrataram alguns matemáticos para que eles criassem um

modelo matemático que pudesse prever os resultados dos jogos de azar. Através

dessas inquietações e de uma pesquisa incansável, o matemático Jerônimo

Cardano (1501-1576) deu início à teoria elementar das probabilidades, ao mostrar

ao mundo, algumas técnicas para prever situações que envolviam uma situação

de risco em jogos de azar.

Nós como educadores devemos instigar o senso de pesquisa em nossos

alunos através de uma metodologia didática que incentive o uso de jogos. Deste

modo, cremos que o ensino se tornará mais prazeroso ao aluno, e também,

impulsionará interesse nítido na manipulação de situações que desafiam o aluno.

A partir destas concepções, vamos relatar uma experiência de ensino com

o “Jogo da Soma”, que tem como objetivo ajudar o processo de ensino e

aprendizagem dos alunos em relação à teoria elementar das probabilidades.

Análise da Experiência

Esta experiência de ensino foi proposta aos alunos de uma escola estadual

situada na periferia da zona leste da cidade de Guarulhos. Participaram desta

pesquisa, os alunos do segundo ano do Ensino Médio do período noturno. O

conteúdo abordado nesta pesquisa faz parte da Proposta Curricular do Estado de

São Paulo, encontrado no Caderno do Professor 2º ano Ensino Médio 3º Bimestre,

assuntos abordados; Probabilidade e Proporcionalidade, jogos, Analise

Combinatória, Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal.

As aulas de matemática desta turma foram divididas em quatro aulas

semanais, sendo: uma aula na segunda-feira, uma aula na terça-feira e duas aulas

na quarta-feira.

A classe pesquisada possuía aproximadamente 35 a 40 alunos. Ao final da

aula da quarta-feira, os alunos foram avisados da atividade que seria realizada na

próxima segunda feira, foi solicitado que trouxessem um dado, para a realização

da atividade chamada “Jogo da Soma”.

Infelizmente, a aula prevista para início da atividade não ocorreu porque a

maioria dos alunos não trouxe os dados que foram requisitados. Pensamos em

construir os dados com os alunos, porém o tempo que seria gasto para esta

atividade influenciaria no tempo previsto para o desenvolvimento do jogo, que

estava previsto para ocorrer em quatro aulas. E não queríamos fugir do conteúdo

proposto para o terceiro bimestre, que por sinal, já estava atrasado.

Remarcamos a data de entrega dos dados para a próxima aula, mas

preferimos iniciar esta atividade na quarta-feira, pois teríamos duas aulas para

iniciar a atividade. Na primeira aula da atividade, os alunos separaram-se

aleatoriamente em pequenos grupos (pares, trios e quartetos) sem qualquer

interferência do educador.

Cada grupo recebeu uma ficha de acompanhamento do jogo (anexo 1).

Percebeu-se que alguns alunos estavam ansiosos para descobrir qual o intuito do

jogo, e antes mesmo que fossem repassadas as regras, jogavam aleatoriamente

os dados tenteando descobrir como se jogava. A ansiedade trouxe aos alunos um

senso de inquietação, para saber o que eles deveriam escrever na ficha de

acompanhamento. Enquanto preparava um esquema na lousa fui interrompido

varias vezes para explicar como se preenchia a ficha.

Foi preparado um esboço semelhante à ficha de acompanhamento, na qual

foi apresentada a tarefa do seguinte modo:

• Cada grupo tem uma ficha de acompanhamento e apenas uma

pessoa do grupo ficará responsável por todas as anotações

necessárias para o desenvolvimento da atividade;

• Os alunos deveriam marcar na coluna da esquerda, de cima para

baixo, o nome de cada elemento do grupo, referente à 1ª rodada;

• Os dados seriam arremessados simultaneamente, e posteriormente,

calculavam a soma dos valores encontrados. Também foi explicado

que não havia possibilidade de que a adição entre duas faces fosse

menor que dois e maior que doze;

• A ficha de acompanhamento deveria ser passada a cada elemento

do grupo, para que marcassem os dez palpites referentes às

possibilidades da adição dos valores de cada jogada.

• O aluno que ficaria responsável pela ficha, não poderia esquecer em

hipótese alguma, da marcação do resultado da soma de cada jogada

na tabela existente na parte superior da ficha.

• O ganhador seria aquele que nas 11ª jogadas de cada rodada

tivesse acertado o maior número de palpites apostados, mesmo que

antes do termino das 11 jogadas já tivessem um ganhador deveriam

terminar as jogadas daquela rodada.

Sugeri que após a 2ª, 3ª, ..., rodadas, procurassem entender qual a relação

entre os palpites e os resultados encontrados e se perguntassem se marcariam

os mesmos palpites.

Circulava entre os grupos e intervir para suprimir qualquer dúvida que

impossibilitasse o resultado final do trabalho. Quase todos os alunos participavam

da pesquisa, porém, eles ainda não tinham percebido que a soma sete possuía a

maior chance de ocorrer. Mesmo com o término da rodada e o início da outra, eles

estavam preocupados em apenas ganhar o jogo.

Ocorreram algumas intervenções durante a realização da pesquisa, por

causa do barulho excessivo que alguns alunos cometiam quando “ganhavam” uma

rodada. Um aluno brincou dizendo:

- Professor vou sair da escola e me dedicar a jogar dados á dinheiro, sou

bom nisso, ganhei quase todas as rodadas.

Ao final da aula encerraram-se as rodadas, e assim, foram recolhidas as

fichas de acompanhamento. Posteriormente, nós refletimos sobre o modo como

essa atividade tinha ocorrido.

Durante essa reflexão, muitos alunos relataram que gostaram da

experiência, mas eles não tinham percebido até o presente momento, o verdadeiro

propósito da atividade.

No dia seguinte, retomamos os grupos, os alunos marcaram na ficha de

acompanhamento no campo, Total de somas em todas as rodadas, a

quantidade de resultados de cada jogada, ou seja, quantas vezes apareceram nos

resultados das rodadas às adições 2, 3, 4,..., 12. Usando a calculadora os grupos

também calcularam a porcentagem de cada resultado.

Foi construída com os alunos, uma tabela geral com todos os resultados

obtidos na atividade, de cada grupo resultando 561 jogadas, (anexo 2),

distribuídos da seguinte forma:

RESULTADOS QUANT. (%) RESULTADOS QUANT. (%) MÉDIA(%)

Tabela 1

Com a construção da tabela dos resultados obtidos, os alunos perceberam

que a soma sete foi o resultado que mais apareceu na tabela. Já as somas dois e

doze foram os resultados que menos aparecem na tabela. Observei algumas

conversas dos alunos do tipo:

- Eu apostei mais no doze do que no sete;

- Por isso que você ganhou, pois apostou mais na soma sete;

- Vocês perceberam que a porcentagem do resultado da soma quatro

apareceu mais vezes que a soma cinco.

As porcentagens dos resultados (2 e 12),(3 e 11),(4 e 10),( 5 e 9 ) e (6 e 8)

são semelhantes.

Como a aula estava terminando, deixei para segunda-feira, a finalização

desta atividade. Pedi aos alunos que trouxessem uma folha de papel milimetrado

para construção do gráfico, e deixei uma pergunta pra que ao longo da semana

eles refletissem:

- Qual seria o resultado esperado, de chances que o jogo deveria ter

mostrado para cada valor da soma dos dados?

Na segunda-feira iniciamos a 4ª e ultima aula desta atividade, sem que os

alunos sentassem em grupos, pois todos deviam apresentar o trabalho final,

individualmente para avaliação. Todos possuíam a tabela geral dos resultados e

assim construíram o gráfico.

2 22 3,9 12 14 2,4 3,15 3 43 7,6 11 29 5,1 6,35 4 53 9,4 10 44 7,8 8,60 5 45 8,0 9 60 10,6 9,30 6 77 13,7 8 70 12,4 13,05 7 104 18,5 18,50

O eixo x representaria os valores da soma dos dois dados e no eixo y os

valores encontrados no jogo. Alguns alunos não encontraram a folha de papel

milimetrado e, por isso tiveram que construir o gráfico na folha quadriculada.

Relembramos com os alunos a pergunta que tínhamos deixado na aula

anterior para reflexão. - Qual seria o resultado esperado, de chances que o jogo

deveria ter mostrado para cada valor da adição dos dados?

Construímos a tabela abaixo, com as possíveis chances para cada

resultado da soma dos dois dados:

+

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

Tabela 2

De posse dos resultados acima, calculamos as chances de cada resultado

possível de ser encontrado no jogo.

Eventos Probabilidades Resultados 1 0/36 0% (impossível)

2 – 12 1/36 2,8 % 3 – 11 2/36 = 1/18 5,6 % 4 – 10 3/36 = 1/12 8,3 %

Tabela 3

Pedi aos alunos que comparassem as porcentagens dos resultados certos

com as porcentagens obtidas pela atividade, ver tabela abaixo:

Tabela 4

Os alunos, nesse momento assimilaram bem a atividade e, compararam os

resultados obtidos pelos resultados certos. Ao final da atividade ouvimos:

– Está vendo, não existe sorte!

Expliquei que se aumentássemos o número de jogadas teríamos mais

chances de chegar bem perto dos resultados certos. Mostrei também, como ficaria

o gráfico usando os resultados certos (abaixo), para que pudessem comparar com

os gráficos que eles construíram com os resultados encontrados:

5 – 09 4/36 = 1/9 11,1 % 6 – 08 5/36 13,9 %

7 6/36 = 1/6 16,7 %

Eventos Resultados Esperados (%)

Resultados Encontrados (%)

2 – 12 2,8 3,1 3 – 11 5,6 6,3 4 – 10 8,3 8,6 5 – 09 11,1 9,3 6 – 08 13,9 13,0

7 16,7 18,5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

2 4 6 8 10 12

QUANT.

(%)

GRÁFICO DOS RESULTADOS OBTIDOS NA ATIVIDADE

Considerações sobre a avaliação final Os objetivos traçados inicialmente para esta Situação de Aprendizagem

consistem no reconhecimento da probabilidade enquanto resultado de uma

relação entre a quantidade de resultados esperados e a quantidade de resultados

possíveis, isto é, numa relação tipo, parte-todo, representada por um número

racional escrito na forma de uma razão, de um decimal ou de uma porcentagem.

A aprendizagem dos alunos nesta etapa pode ser avaliada a partir de

situações-problema semelhantes que envolvem não apenas a escrita de uma

razão, mas também a leitura e a compreensão de condições expressas por

intermédio de enunciados mais elaborados ou por intermédio de dados registrados

em tabelas de dupla entrada. Busca-se, dessa maneira, avaliar competências

relacionadas à leitura e à escrita, utilizando-se para tanto, contextos relativos à

realização de experimentos aleatórios.

Avaliei não só a participação dos alunos como os trabalhos apresentados,

cálculos, gráfico e conclusão (anexo 3).

Ficha de Acompanhamento

Marcação das Jogadas (Anexo 1) jogadas 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 11ª 1ªrodada 2ªrodada 3ªrodada 4ªrodada 5ªrodada

Total das Somas em todas as Rodadas (Anexo 1)

Nomes 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 QUANT.

(%)

Folha de Palpites (Anexo 2)

Nomes 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Anexo 2

Anexo 3

Anexo 4