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Ondas

Maro 2015

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Sumrio

1 Introduo ...............................................................................................................................4

1.1 Quanto direo de propagao de energia.........................................................................4

1.2 Quanto natureza..................................................................................................................4

1.3 Quanto direo de propagao...........................................................................................4

2 Tipos de Onda.......................................................................................................................5

2.1 Ondas mecnicas...................................................................................................................5

2.2 Ondas de matria...................................................................................................................6

2.3 Ondas eletromagnticas........................................................................................................6

3 Elementos de uma Onda.......................................................................................................6

3.1 Amplitude..............................................................................................................................6

3.2 Comprimento........................................................................................................................6

3.3 Frequncia.............................................................................................................................7

3.4 Perodo..................................................................................................................................7

4 Velocidade de propagao de uma onda..............................................................................8

5 Fenmenos ondulatios.........................................................................................................8

5.1 Reflexo da onda...................................................................................................................8

5.2 Refrao da onda...................................................................................................................9

5.3 Difrao e disperso de ondas.............................................................................................10

5.4 Interferncias das ondas......................................................................................................11

5.5 Polarizao e ressonncia....................................................................................................12

6 Efeito Doppler.....................................................................................................................13

7 Equao da onda.................................................................................................................13

8 Referncias..........................................................................................................................14

Figuras

1. Ondas transversais...............................................................................................................4

2. Ondas longitudinais.............................................................................................................5

3. Amplitude de uma onda.......................................................................................................6

4. Comprimento de uma onda..................................................................................................6

5. Frequncia de uma onda......................................................................................................7

6. Frente e raio de uma onda....................................................................................................8

7. Reflexo de uma onda..........................................................................................................9

8. Refrao de uma onda..........................................................................................................9

3

9. Exemplo prtico do fenmeno de difrao........................................................................10

10. Interferncia construtiva....................................................................................................11

11. Interferncia destrutiva......................................................................................................11

12. Polarizador.........................................................................................................................12

13. Lentes polarizadas..............................................................................................................12

Equaes

1 Representao da soluo geral da equao da onda.............................................................13

2 Equao da onda....................................................................................................................14

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Ondas

1 Introduo

Onda uma perturbao que se propaga no espao ou em qualquer outro meio,

como, por exemplo, na gua. Uma onda transfere energia de um ponto para outro, mas nunca

transfere matria entre dois pontos. As ondas podem se classificar de acordo com a direo de

propagao de energia, quanto natureza das ondas e quanto direo de propagao.

1.1 Quanto direo de propagao de energia, as ondas se classificam em:

Unidimensionais: propagam-se em uma nica dimenso;

Bidimensionais: propagam-se num plano;

Tridimensionais: propagam-se em todas as direes.

1.2 Quanto natureza, as ondas se classificam em:

Ondas mecnicas: so aquelas que necessitam de um meio material para se propagar

como, por exemplo, onda em uma corda ou mesmo as ondas sonoras;

Ondas eletromagnticas: so aquelas que no necessitam de meio material para se

propagarem, elas podem se propagar tanto no vcuo (ausncia de matria) como

tambm em certos tipos de materiais. So exemplos de ondas eletromagnticas: a luz

solar, as ondas de rdio, as micro-ondas, raios X, entre muitas outras.

1.3 Quanto direo de propagao, as ondas se classificam em:

Ondas transversais: so aquelas que tm a direo de propagao perpendicular

direo de vibrao como, por exemplo, a onda de uma corda, onde um pulso isolado

produzido em uma corda esticada, como mostra a figura 1 a seguir:

Figura1: Ondas transversais

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Ondas longitudinais: nessas ondas a direo de propagao se coincide com a

direo de vibrao. Nos lquidos e gases a onda se propaga dessa forma. Por

exemplo, a onda de uma mola representada na figura 2 a seguir:

Figura 2: Ondas longitudinais

Ondas mistas: So ondas mecnicas constitudas, simultaneamente, de vibraes

transversais e longitudinais.

Quando uma partcula de um meio material atingida por uma perturbao mista, ela

oscila simultaneamente na direo de propagao e na direo perpendicular de propagao.

Como exemplo, podemos citar as ondas em superfcies de lquidos, que nos mares e lagos

geralmente so produzidas pela ao dos ventos sobre a superfcie livre da gua. Os sons,

quando se propagam em meios slidos, tambm so exemplos de perturbaes mistas; Se h

um corpo flutuando na superfcie da gua em alto mar, com a passagem da onda ele ir

executar um movimento misto.

2. Tipos de ondas:

2.1 Ondas mecnicas

So ondas que necessitam de um meio material para se propagar, ou seja, sua

propagao envolve o transporte de energia cintica e potencial e depende da elasticidade do

meio. Por isto no capaz de propagar-se no vcuo. Alguns exemplos so as ondas do mar,

ondas ssmicas e as ondas sonoras. So governadas pelas leis de Newton e existem apenas em

meio material, como gua, o ar ou as rochas.

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2.2 Ondas de matria

So frequentemente definidas como transmisso de energia sem transmisso de

matria. So usadas nos laboratrios e esto associadas a eltrons, prtons e outras partculas

elementares, e mesmo tomos e molculas. As ondas de matria tem esse nome, porque

pensamos nessas partculas como elementos bsicos da matria.

2.3 Ondas eletromagnticas

So ondas formadas pela combinao dos campos magntico e eltrico que se

propagam no espao perpendicularmente um em relao ao outro e na direo de propagao

da energia. Estas ondas no precisam de um meio material para existir. Alguns exemplos

importantes so a luz visvel, a luz ultravioleta, as ondas de rdio e televiso, as de micro-

ondas, os raios-X e as ondas de radar. As ondas luminosas provenientes das estrelas, por

exemplo, atravessa o vcuo do espao para chegar at nos, sendo que todas as ondas

eletromagnticas se propagam no vcuo com a mesma velocidade c= 299 792 458 m/s.

3. Elementos de uma onda

3.1 Amplitude: a distncia do ponto de equilbrio da onda (a linha central desenhada na

figura) crista ou ao vale. Na figura ela est representada pela letra A.

Figura 3: Amplitude de uma onda

3.2 Comprimento de onda: a distncia entre pontos equivalentes de uma onda,

como por exemplo, a distncia entre dois picos ou a distncia entre dois vales, como

mostra figura 4.

Figura 4: Comprimento de onda

O comprimento de onda costuma ser representado pela letra grega (l-se "lmbda").

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3.3 Frequncia: normalmente representada pela letra f, equivale ao nmero de oscilaes

completas ou ao nmero de pulsos completos (com um comprimento de onda) produzidos

por unidade de tempo. Se a unidade de medida usada for o Hertz (Hz), ento o valor

indica o nmero de oscilaes por segundo. A frequncia dada por: = 1/T

Na figura 5 abaixo podem ser observados dois exemplos. Na onda em cima, so

realizados trs ciclos (a onda repete-se trs vezes) durante um segundo. Assim sendo,

a frequncia de 3 Hz (Hertz). No caso a seguir, a frequncia apresenta um valor de

10 Hz, pois durante um segundo, existem dez ciclos iguais.

Figura 5: Frequncia de uma onda

3.4 Perodo de uma onda

O perodo (T) representa o intervalo de tempo correspondente a uma oscilao

completa da fonte que produz a onda. Na figura apresentada ao lado, corresponde a um ciclo

completo. Na onda em cima, o tempo que leva a completar um ciclo de 1/3 s, pois

completam-se trs ciclos em cada segundo. O perodo pode assim calcular-se a partir da

frequncia, usando a expresso: T= 1/

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4.Velocidade de propagao da onda

A velocidade de propagao de uma onda a rapidez com que a onda se propaga

em determinado meio. Depende da distncia percorrida pela onda e tambm do intervalo de

tempo gasto para percorrer essa distncia. Para calcular a velocidade de propagao de uma

onda, pode utilizar-se a expresso seguinte:

= .

Sendo:

= velocidade de propagao (m/s)

= comprimento de onda (m);

= frequncia (Hz).

5. Fenmenos ondulatrios

Quando uma onda se propaga e encontra certo meio, como um obstculo ou uma

superfcie que separa duas regies, esta interage com ele, o que gera alguns comportamentos

especficos, estes so chamados fenmenos ondulatrios.

Chamamos de frente de onda o conjunto de pontos que separa a regio j atingida

pela onda da regio ainda no atingida. Raio de onda uma linha que representa a direo de

propagao da onda em certo ponto, como mostra a Figura a 6:

Figura 6:Frente de onda e raio de onda

5.1 Reflexo da onda:

A reflexo acontece quando uma onda atinge uma regio que separa dois meios e

retorna se propagando no mesmo meio anterior. Desta forma, no h alterao na velocidade

de propagao (que s depende do meio), nem na frequncia (que s depende da fonte).

Assim, o comprimento de onda da onda incidente igual ao comprimento de onda da onda

refletida como mostra a Figura 7 a seguir:

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Figura 7: Reflexo da onda

O Eco um exemplo de reflexes da onda sonora. O eco acontece quando os sons

direto e refletido so recebidos num intervalo de tempo maior que 0,1 segundo possibilitando

ento percepo distinta dos sons. Para ouvir o eco da prpria voz necessrio estar distante

no mnimo 17 metros do objeto que ir refletir esse eco.

5.2 Refrao da onda:

A refrao acontece quando uma onda atinge uma regio que separa dois meios e a

atravessa, passando a se propagar no outro meio. Desta forma, h alterao na velocidade de

propagao (j que esta s depende do meio), o que gera uma alterao no comprimento de

onda, mas sem que haja alterao na frequncia. Isso vem acompanhado, na maioria dos

casos, de uma alterao na direo de propagao da onda. A figura 8 a seguir, ilustra o

fenmeno de refrao:

Figura 8: Refrao

essa alterao que explica o porqu as ondas do mar chegam sempre de frente

costa, mesmo sendo esta toda recortada. Se observarmos o oceano de cima, de um ponto

mais elevado numa costa, veremos o padro horizontal de cristas de onda que se aproximam

dela. Mas, independente da direo das quais as ondas venham, elas acabam chegando costa

numa direo quase perpendicular a ela. Isso acontece porque a profundidade do mar diminui

medida que a onda se aproxima da costa, alterando a velocidade de propagao das ondas.

Atravs da refrao possvel explicar inmeros efeitos, como o arco-ris, a cor do

cu no pr-do-sol e a construo de aparelhos astronmicos.

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A refrao de ondas obedece duas leis:

1 Lei da Refrao: O raio incidente, a reta perpendicular fronteira no ponto de incidncia e

o raio refratado esto contidos no mesmo plano.

Lei de Snell: Esta lei relaciona os ngulos, as velocidades e os comprimentos de onda de

incidncia de refrao. A equao dada por: n1. sen i = n2.senr, Onde n1 e n2

correspondem, respectivamente, aos coeficientes de refrao dos meios 1 e 2; sen i e sen r aos

senos dos ngulos da onda incidente e refratada. O coeficirnte de refrao no vcuo e sempre

igual a 1.

5.3 Difrao e disperso de ondas

Quando uma onda encontra um obstculo ou orifcio cujas dimenses sejam da

mesma ordem de grandeza de seu comprimento (), ocorre o fenmeno conhecido como

difrao. por meio da difrao que as ondas podem contornar obstculos ou passar por

orifcios, chegando a locais onde no poderiam atingir em linha reta. A Figura 5 ilustra esse

fenmeno:

Figura 9: Exemplo prtico do fenmeno de difrao

Conforme pode ser visto na Figura 9, sem a difrao, as ondas de rdio no teriam

como chegar at a casa em baixo da colina.

Outro fenmeno ondulatrio, observado principalmente em ondas luminosas, a

chamada disperso. Ela ocorre quando uma onda composta por ondas de vrias frequncias

incide em um meio onde a velocidade resultante influenciada pelo valor da frequncia. Isso

provocar uma separao entre as diversas frequncias.

Por exemplo, a luz branca formada pela juno de ondas de diversas frequncias.

Quando ela incide em um meio apropriado, as diversas ondas componentes da luz branca

sofrem disperso, evidenciando uma gama de cores, tal como ocorre no arco-ris.

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5.4 Interferncias das ondas

O fenmeno de interferncia ocorre quando duas ou mais onda se superpem,

formando uma onda resultante cuja magnitude depende do valor de cada onda no local e

momento da superposio.

Interferncia Construtiva: Quando ocorre interferncia entre mximo e mximo, teremos

uma amplitude duas vezes maior que a amplitude original. um caso especial onde

diferena de fase entre as ondas zero, ou seja, os mximos ocupam a mesma posio, como

mostra a figura 10 a seguir:

Figura 10: Interferncia construtiva

Interferncia Destrutiva: Se a diferena de fase for de 180 que equivale a os pontos de

mximo de uma onda ocupam os pontos de mnimo da outra, e vice-versa. Neste caso ocorre

interferncia destrutiva, pois somam-se as amplitudes A e -A. Isto resulta em amplitude zero

Como mostra a figura 11 a seguir:

Figura 11: Interferncia destrutiva

Podemos observar a interferncia em ondas de rdio, em que uma estao interfere

na recepo de outra; em ondas sonoras, onde a msica refletida em uma sala fechada produz

pontos onde o som mais alto (interferncia construtiva) e locais onde o som mais baixo

(interferncia destrutiva); em ondas luminosas, como pode ser visto na luz que incide em uma

bola se sabo, produzindo tonalidades diferentes devido interferncia entre as vrias ondas

que compem a luz branca.

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5.5 Polarizao e Ressonncia

Polarizar uma onda significa orient-la em uma nica direo ou plano atravs da

passagem em um dado meio, chamado de polarizador. Somente ondas transversais podem ser

polarizadas.

Figura 12: Polarizador

A luz solar no tem uma direo especfica de polarizao. Cada onda

eletromagntica que sai do sol pode vibrar em uma direo diferente. Neste caso, dizemos que

a luz no polarizada. Quando a luz solar refletida, pode ser polarizada em uma direo

especfica. As lentes polarizadas de culos escuros podem barrar a passagem dessa luz,

diminuindo a sensao de ofuscamento causada pelas superfcies que refletem a luz (Figura

13).

Figura 13: Lentes polarizadas

Ressonncia

Sistemas fsicos, como slidos, por exemplo, devido sua estrutura atmica ou

molecular, possuem uma vibrao prpria graas a efeitos trmicos ou externos. Quando uma

vibrao externa, com frequncia prxima ou igual frequncia natural de vibrao de um

sistema, emitida na direo deste, o sistema absorve fortemente a energia dessa onda,

aumentando a amplitude de suas vibraes. Neste caso, dizemos que o sistema est em

ressonncia.

graas a isso que possvel estourar uma taa de cristal apenas com a voz. Ao

emitirmos um som com frequncia prxima ao valor natural do cristal, ele entra em

ressonncia e no suporta o aumento da vibrao, quebrando. tambm por isso que

escutamos o som de um violo: a madeira da caixa do violo entra em ressonncia graas

vibrao das cordas, fazendo o ar retido dentro da caixa tambm vibrar, aumentando a

intensidade do som.

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6. Efeito Doppler

Quando nos aproximamos de uma fonte de ondas, alcanamos as frentes de onda em

um tempo mais curto do que aconteceria se estivssemos em repouso em relao ao emissor.

Isso gera a impresso de que o perodo da onda diminuiu, ou seja, que a frequncia da onda

aumentou.

Ao contrrio, quando nos afastamos de uma fonte de ondas, alcanamos as frentes de

onda em um tempo maior do que aconteceria se estivssemos em repouso em relao ao

emissor. Isso gera a impresso de que o perodo da onda aumentou, ou seja, que a frequncia

da onda diminui. Essa alterao aparente na frequncia percebida de uma onda quando existe

movimento entre a fonte de ondas e o receptor chamado de Efeito Doppler. por isso que

temos a impresso que a sirene de uma buzina se modifica ao longo do movimento da

ambulncia.

7. Equao de onda

A soluo geral da equao de onda unidimensional depende de duas funes arbitrrias.

A expresso geral para uma onda unidimensional que se propaga para a direita f (x vt),

onde f uma funo arbitrria e a expresso geral para uma onda unidimensional que se

propaga para a esquerda g(x + vt ), onde g uma funo arbitrria.

Logo, podemos representar a soluo geral da equao de onda por:

y(x, t) = f (x vt)+ g(x + vt) (1)

A soluo geral da equao de onda unidimensional pode ser escrita como a

superposio de duas ondas propagantes, uma propagando-se para a direita e outra se

propagando para esquerda.

Se considerarmos a expresso geral de uma onda progressiva que se propaga para

direita:

y(x, t) = f (u) = f (x vt ) (A1)

Esta expresso significa que a funo que descreve a onda para qualquer ponto x em

qualquer instante t s depende dessas variveis combinadas na forma u = x vt.

A partir de (A1), podemos calcular a velocidade e a acelerao do deslocamento

vertical do ponto x como:

= (,)

(A2)

y = 2

2 (x,t) (A3)

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Substituindo (A1) em (A2) e usando a regra da cadeia,

y = ()

=

=

(A4)

, pois

= .

Substituindo (A1) em (A3),

y =

(

) =

=

(

)

Substituindo (A4) nesta expresso,

y =

(

) = 2

2

2 (A5)

Como y = 2

2, esta expresso implica que

2

2= 2

2

2 (A6)

Calculando as derivadas primeira e segunda de y em relao coordenada espacial

X. A derivada primeira

=

=

como u = x-vt,

= 1

A derivada segunda

2

2=

(

) =

(

)

=

2

2 (A7)

Substituindo esta expresso para 2

2 em (A6) obtemos

=

ou

=

(A8)

Esta a equao da onda unidimensional

=

(2)

8. Referncias:

Halliday D.; Resnick R. e Walker J. Fundamentos de fsica. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

H. M. Nussenzveig. Curso de fsica bsica. So Paulo: Edgar Blcher, 1996.

Tipler P. A. Fsica. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1984.

Acessado em 16/03/2015