Onuchic Allevato 2011 Pesquisa em Resolução de Problemas caminhos avanços e novas perspectivas

Boletim de Educao MatemticaISSN: [email protected] Estadual Paulista Jlio deMesquita FilhoBrasil

de la Rosa Onuchic, Lourdes; Gomes Allevato, Norma SuelyPesquisa em Resoluo de Problemas: caminhos, avanos e novas perspectivasBoletim de Educao Matemtica, vol. 25, nm. 41, diciembre, 2011, pp. 73-98

Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita FilhoRio Claro, Brasil

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Bolema, Rio Claro (SP), v. 25, n. 41, p. 73-98, dez. 2011

Pesquisa em Resoluo de Problemas: caminhos,avanos e novas perspectivas

Research on Problem Solving: directions, advances andnew perspectives

Lourdes de la Rosa Onuchic*

Norma Suely Gomes Allevato**

Resumo

Este trabalho retrata o conhecimento construdo sobre Resoluo de Problemas naEducao Matemtica a partir das pesquisas desenvolvidas nos ltimos anos pelo GTERP Grupo de Trabalho e Estudos em Resoluo de Problemas***, UNESP-Rio Claro/SP. Onorte das investigaes dado pela seguinte indagao geral: como se realiza aconstruo do conhecimento matemtico pelo aluno e o trabalho do professor quandoda implementao da Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliao de Matemticaatravs da Resoluo de Problemas? Aspectos histricos so essenciais na configuraodas atuais tendncias que se mostram para a Resoluo de Problemas. Uma delas aMetodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliao de Matemtica atravs da Resoluo

* Doutora em Matemtica pela Universidade de So Paulo (USP), So Carlos, SP. Coordenadora doGrupo de Trabalho e Estudos em Resoluo de Problemas (GTERP). Professora e pesquisadoravoluntria do Programa de Ps-Graduao em Educao Matemtica da Universidade EstadualPaulista (UNESP), Rio Claro, SP, Brasil. Endereo para correspondncia: Rua Machado de Assis, n.302, CEP: 13451-000, Santa Brbara dOeste, SP, Brasil. E-mail: [email protected].** Doutora em Educao Matemtica pela Universidade Estadual Paulista (UNESP), Rio Claro, SP.Coordenadora do Grupo de Estudos Avanados em Educao Matemtica (GPEAEM), professora epesquisadora da Universidade Cruzeiro do Sul (UNICSUL), So Paulo, SP, Brasil. Membro do Grupode Trabalho e Estudos em Resoluo de Problemas (GTERP) da UNESP, Rio Claro, SP, Brasil.Endereo para correspondncia: Rua Cnego Manoel Vaz, n.584, ap.81, CEP: 02019-050, SoPaulo, SP, Brasil. E-mail: [email protected].*** Nos ltimos 5 anos, fizeram parte do grupo: Lourdes de la Rosa Onuchic (coordenadora), AnaluciaCastro Pimenta de Souza, Clia Barros Nunes, Eliane Saliba Botta, Fernanda dos Santos Menino,Graci Bragotto Bertanha, Marcos Vincius Ribeiro, Maria Lcia Galvo Leite Travassos, MarliRegina dos Santos, Miriam Silva Freitas Dias, Norma Suely Gomes Allevato, Paulo Henrique Hermnio,Raquel Normandia Brumatti, Raquel Araium, Roger Ruben Huaman Huanca, Tatiane da Cunha Puti,Valdir Rodrigues (in memorian), Vanda Domingos Vieira.

ISSN 0103-636X


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de Problemas, apoiada em fundamentos claros e abordagem renovadora. O conhecimentoconstrudo e a produo cientfica do GTERP atestam sua relevante contribuio nosentido de intensificar os dilogos entre a pesquisa e a prtica educativa, de alunos eprofessores, e aumentar as possibilidades dessa prtica, particularmente no trabalhocom Matemtica.

Palavras-chave: Resoluo de Problemas. Ensino-Aprendizagem-Avaliao deMatemtica. Pesquisa em Educao Matemtica. Pesquisa em Resoluo de Problemas.

Abstract

We discuss the knowledge that has been constructed regarding Problem Solving inMath Education as a result of research developed by GTERP Work and Study Groupin Problem Solving, UNESP-Rio Claro/SP. The research is guided by the following generalquestions: How do students construct mathematical knowledge and how do teachersimplement the methodology of Math Teaching-Learning-Evaluation through ProblemSolving? Historical aspects of Problem Solving are very important in the configurationof the current trends for Problem Solving. One of them is the Methodology of MathTeaching-Learning-Evaluation through Problem Solving, based on clear foundationsand an approach of renewal. In addition to that methodology, two aspects have beendeveloped by the group: The conception of Math as a science of pattern and order andDiscrete Mathematics. The knowledge constructed and the scientific production ofGTERP prove its relevant contribution to intensifying dialogues between research andeducational practice, students and teachers, and to increasing the possibilities of thatpractice particularly in Math work.

Keywords: Problem Solving. Math Teaching-Learning-Evaluation. Research in MathEducation. Research on Problem Solving.

1 Introduo

Nossos estudos sobre Resoluo de Problemas iniciaram-se por voltade 1989. Desde ento, vrios trabalhos (artigos, dissertaes e teses) foramproduzidos nessa linha. O primeiro registro a respeito desses estudos sobreResoluo de Problemas, no mbito do Programa de Ps-Graduao emEducao Matemtica da UNESP Rio Claro/SP, consta do livro Pesquisa emEducao Matemtica: concepes e perspectivas (BICUDO, 1999), emum artigo intitulado Ensino-Aprendizagem de Matemtica atravs daResoluo de Problemas (ONUCHIC, 1999). Nesse artigo, fizemos refernciaao tratamento de problemas matemticos, ao longo da Histria da Matemtica.

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Vale reafirmar que, embora sejam encontrados registros de problemas na histriaantiga egpcia, chinesa e grega, tratamentos semelhantes aos por elesconsiderados continuaram a ser encontrados ao longo dos sculos, fazendo-sepresentes em publicaes dos sculos XIX e XX. Nessas publicaes, um pontoimportante a ser analisado a viso extremamente limitada no tocante aprendizagem de resoluo de problemas. Ensinar a resolver problemassignificava apresentar situaes-problema e, talvez, incluir um exemplo comuma resoluo realizada a partir da aplicao de alguma tcnica especfica.(STANIC; KILPATRICK, 1990)

Dando continuidade s pesquisas, e a partir da consolidao do Grupode Trabalho e Estudos em Resoluo de Problemas (GTERP), novosconhecimentos foram construdos sobre a Resoluo de Problemas na EducaoMatemtica. O GTERP, coordenado pela Profa. Dra. Lourdes de la RosaOnuchic, tem sido o ncleo gerador de atividades de aperfeioamento, deinvestigaes e de produo cientfica na linha de Resoluo de Problemas. constitudo por alunos e ex-alunos do Programa de Ps-graduao em EducaoMatemtica (PPGEM UNESP Rio Claro/SP) que desenvolvem pesquisanessa linha, contando, tambm, com a participao de outros alunos regularesdo programa que tm interesse em aprofundar seus conhecimentos, alunosespeciais em busca de amadurecimento de seus futuros projetos de pesquisa eprofessores, em geral, que visam aprimorar sua prtica docente.

Atento s novas tendncias e demandas mundiais que se apresentavampara o ensino e a aprendizagem de Matemtica, o grupo debruou-se em estudossobre ensino-aprendizagem de Matemtica atravs da resoluo de problemase, consequentemente, atendendo tambm formao de professores. Assim,num segundo livro, Educao Matemtica pesquisa em movimento(BICUDO; BORBA, 2004)1, no artigo intitulado Novas Reflexes sobre Ensino-Aprendizagem de Matemtica atravs da Resoluo de Problemas(ONUCHIC; ALLEVATO, 2004), foi apresentada e discutida uma nova e maisatual possibilidade de abordagem para a resoluo de problemas2 em sala deaula de Matemtica, que vinha sendo sistematicamente pesquisada pelosmembros do GTERP.

No presente artigo, objetiva-se avanar em relao ao que j foi registradonos dois trabalhos anteriores, no que diz respeito ao conhecimento produzido a

Pesquisa em Resoluo de Problemas: caminhos, avanos e novas perspectivas

1 Uma segunda edio desta obra j foi produzida no ano de 2005.2 Usamos Resoluo de Problemas para nos referirmos disciplina ou teoria, e resoluo deproblemas para nos referirmos ao ato de resolver problemas.



partir do amadurecimento das ideias e das contnuas e intensas pesquisas quecontinuam a ser produzidas pelo Grupo, e que tm adotado como norte a seguinteindagao geral: como se realiza a construo do conhecimento matemticopelo aluno e o trabalho do professor quando da implementao da Metodologiade Ensino-Aprendizagem-Avaliao de Matemtica atravs da Resoluo deProblemas?

No contedo do presente artigo, uma seo inicial retoma alguns aspectoshistricos da Resoluo de Problemas, considerando que eles so essenciaispara uma compreenso mais efetiva das atuais tendncias que se configurampara a Resoluo de Problemas. A partir da, aprofundamos os fundamentos daabordagem que representa uma tendncia atual no ensino de Matemtica, qualseja, a Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliao atravs da Resoluode Problemas. Na terceira seo so analisados dois aspectos que tm norteadofortemente os trabalhos desenvolvidos pelo GTERP: a concepo de Matemticacomo cincia de padro e ordem e a Matemtica Discreta. Uma quarta partedeste texto ser dedicada a apresentar, brevemente, as pesquisas concludasdentro do GTERP nos ltimos cinco anos. Conclumos nossas reflexesapresentando algumas consideraes finais.

2 Situando Historicamente a Resoluo de Problemas

Tomando como referncia as escolas americanas, Lambdin e Walcott(2007, p. 3) destacam que, durante o sculo XX e at atualmente, o ensino dematemtica experienciou seis fases identificveis com diferentes nfases: (1)Exerccio e prtica; (2) Aritmtica significativa; (3) Matemtica Moderna; (4)Volta s bases; (5) Resoluo de problemas; e, atualmente, (6) Padres eresponsabilidade. Reproduzimos, a seguir, um quadro elaborado pelas autorasa respeito dessas fases:

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Quadro 1 Relaes entre as Fases da Educao Matemtica e as TeoriasPsicolgicas de Aprendizagem.

Traduzido de Lambdin e Walcott (2007, p. 5)

Segundo Lambdin e Walcott (2007), tais fases merecem ateno porquecada uma delas corresponde a um perodo em que a educao, em geral, estavacaminhando atravs de mudanas radicais e fundamentais e cada uma introduziaprticas novas e inovadoras para a Educao Matemtica. A essas razes,acrescenta-se o fato de que algumas das fases apontadas tambm foramvivenciadas em outros lugares do mundo, e exerceram forte influncia nos rumosque o trabalho com a matemtica escolar tomou a partir de ento.

A pesquisa sobre Resoluo de Problemas e as iniciativas de consider-la como uma forma de ensinar Matemtica receberam ateno a partir de Polya(1944)5, considerado o pai da Resoluo de Problemas. Em seu trabalho, Polya3 NCLB No Child Left Behind Act Nenhuma Criana Ficar para Trs4 NSF National Science Foundation Fundao Nacional de Cincia5 A traduo em Portugus dessa obra intitulada A Arte de Resolver Problemas, publicada pelaEditora Intercincia, no ano de 1986 (1a reimpresso).




preocupou-se em descobrir como resolver problemas e como ensinar estratgiasque levassem a enxergar caminhos para resolver problemas. Ressalte-se queeste trabalho se insere no perodo em que, de acordo com Lambdin e Walcott(2007), a nfase do ensino de Matemtica estava sendo colocada na aritmticasignificativa.

Com o movimento de reforma chamado Matemtica Moderna, vigentenos anos sessenta e setenta do sculo XX, o mundo foi influenciado porrecomendaes de ensinar Matemtica apoiada em estruturas lgica, algbrica,topolgica e de ordem, enfatizando a teoria dos conjuntos. O tratamentoexcessivamente abstrato, o despreparo dos professores para este trabalho, assimcomo a falta de participao dos pais de alunos, nesse movimento, fadou-o aofracasso.

Nos EUA, houve uma tentativa de retornar s prticas anteriores Matemtica Moderna, na fase que foi intitulada Volta s bases. Porm, noteve grandes efeitos e tampouco conseguiu adeptos em outros pases. Assim,durante a dcada de 1980, educadores matemticos que no desistiram de ideaispreconizados anteriormente, que acreditavam no potencial da resoluo deproblemas e visavam a um ensino e aprendizagem com compreenso esignificado, continuaram trabalhando nessa busca. Exatamente em 1980, oNational Council of Teachers of Mathematics (NCTM) publica um documentointitulado An Agenda for Action: Recommendations for School Mathematicsin the 1980s, com a indicao de que a resoluo de problemas deve ser ofoco da matemtica escolar (ONUCHIC, 1999, p. 204).

Inicia-se, ento, a fase da Resoluo de Problemas, cujas ideiasapoiavam-se, especialmente, nos fundamentos do construtivismo e na teoriasociocultural, que tem Vygotsky como principal terico. O foco, nessa fase, foicolocado sobre os processos de pensamento matemtico e de aprendizagempor descoberta, no contexto da resoluo de problemas. Nessa fase, muitosrecursos foram desenvolvidos na forma de colees de problemas, listas deestratgias, sugestes de atividade e orientaes para avaliar o desempenhodos alunos nessa rea, sempre visando ao trabalho em sala de aula. Muito dessematerial contribuiu para que os professores fizessem da resoluo de problemaso ponto central de seu trabalho.

Entretanto, no havia coerncia e clareza na direo necessria para seatingir bons resultados com o ensino de Matemtica apoiado na resoluo deproblemas; ou seja, no havia concordncia quanto forma pela qual esse objetivoseria alcanado. Onuchic (1999, p. 206) esclarece que essa falta de concordncia

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ocorreu, possivelmente, devido s diferenas de concepes que pessoas e grupostinham sobre o significado de resoluo de problemas ser o foco da matemticaescolar, como recomendava o An Agenda for Action (NCTM, 1980).

Com relao a esse aspecto, Schroeder e Lester (1989) apresentaramtrs modos de abordar Resoluo de Problemas, que podem ajudar a entender ea refletir sobre essas diferenas de entendimento ou de abordagem que se faziampresentes, com maior ou menor intensidade, no contexto do ensino: (1) ensinarsobre resoluo de problemas; (2) ensinar matemtica para resolver problemas;e (3) ensinar matemtica atravs da resoluo de problemas. Ocorre que, apartir das recomendaes do NCTM, seguidores de Polya, com algumasvariaes, acreditavam em teorizar sobre esse tema, ou seja, que era necessrioensinar estratgias e mtodos para resolver problemas. Outros a interpretavamno sentido de que o professor deveria apresentar a matemtica formal para,depois, oferecer aos alunos o problema como aplicao dessa matemticaconstruda, acreditando que deveriam ensinar matemtica para resolverproblemas.

Destaque-se o trabalho realizado pelo NCTM, a partir do final dos anosoitenta e durante os anos noventa, com a finalidade de auxiliar os professores edestacar aspectos considerados essenciais para o ensino de Matemtica. Umasequncia de publicaes atesta esse esforo: Curriculum and EvaluationStandards for the School Mathematics (NCTM, 1989), ProfessionalStandards for School Mathematics (NCTM, 1991) e Assessment Standardsfor School Mathematics (NCTM, 1995). Esse esforo culminou com apublicao dos Standards 2000, oficialmente chamados Principles andStandards for School Mathematics (NCTM, 2000), no qual so enunciadosseis Princpios (Equidade, Currculo, Ensino, Aprendizagem, Avaliao, eTecnologia); cinco Padres de Contedo (Nmeros e Operaes, lgebra,Geometria, Medida, e Anlise de Dados e Probabilidade); e cinco Padres deProcedimento, entre os quais o primeiro Resoluo de Problemas, seguido porRaciocnio e Prova; Comunicao; Conexes; e Representao.

Relacionando o contedo dos Standards 2000 ao percurso histrico(Quadro 1), traado por Lambdin e Walcott (2007), chegamos passagem dapenltima fase, onde destacada a aprendizagem atravs da resoluo deproblemas, para a ltima fase, em que se apresenta a tendncia aodesenvolvimento de currculos baseados em padres.

Foi, de fato, a partir dos Standards 2000 que os educadores matemticospassaram a pensar numa metodologia de ensino-aprendizagem de matemtica




atravs da resoluo de problemas. Nessa concepo, o problema visto comoponto de partida para a construo de novos conceitos e novos contedos; osalunos sendo co-construtores de seu prprio conhecimento e, os professores, osresponsveis por conduzir esse processo.

Esse o ponto central de interesse dos trabalhos que temos desenvolvidoatualmente, isto , o trabalho com matemtica atravs da resoluo deproblemas. Esse trabalho se apoia na crena de que a razo mais importantepara esse tipo de ensino-aprendizagem a de ajudar os alunos a compreenderemos conceitos, os processos e as tcnicas operatrias necessrias dentro dasatividades feitas em cada unidade temtica (ONUCHIC, 1999) e de que o ensinopode ser feito por meio da resoluo de problemas.

3 A Resoluo de Problemas e os estudos no GTERP

3.1 A Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliao de Matemticaatravs da Resoluo de Problemas

sabido que se pode pensar em ensino, aprendizagem e avaliao deMatemtica como trs coisas distintas, que no necessariamente ocorrem aomesmo tempo ou como decorrncia uma da outra. O sculo XX, sculo demuitas reformas no ensino de Matemtica, passou a entender, porm, que ensinoe aprendizagem deveriam ocorrer simultaneamente. Adotando este objetivo, nossogrupo de trabalho e estudo GTERP passou a utilizar a palavra compostaensino-aprendizagem. As comunidades de pesquisa em Educao Matemticase interessaram em criar novos produtos com a inteno de melhorar o ensino ea aprendizagem. Esses produtos, que podem ser novos materiais educativos,envolvem um processo de engenharia, de inventar partes e coloc-las juntaspara formar algo novo. Assim, qualquer produto novo criado requer avaliao.

Ocorre que, mais recentemente, tambm o conceito de avaliaocomeou a ser repensado nos ambientes de ensino. A partir da compreenso danecessidade de adotar os princpios da avaliao contnua e formativa, estapassou a ser incorporada mais ao desenvolvimento dos processos e menos aojulgamento dos resultados obtidos com esses processos. No ensino-aprendizagema avaliao um componente extremamente importante.

A avaliao um dos elementos de destaque entre os desafios queKilpatrick e Silver (2000) apontam para os educadores matemticos para asdcadas seguintes: assegurar matemtica para todos, promover a compreenso

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dos estudantes, manter o equilbrio no currculo, fazer da avaliao umaoportunidade para aprender e desenvolver a prtica profissional.

Envolvidos com o tema Resoluo de Problemas, e assumindo aconcepo de trabalhar Matemtica atravs da resoluo de problemas, oGTERP passou a empregar a palavra composta ensino-aprendizagem-avaliao,dentro de uma dinmica de trabalho para a sala de aula, que passamos a entendercomo uma metodologia. Ao considerar o ensino-aprendizagem-avaliao, isto ,ao ter em mente um trabalho em que estes trs elementos ocorremsimultaneamente, pretende-se que, enquanto o professor ensina, o aluno, comoum participante ativo, aprenda, e que a avaliao se realize por ambos. O alunoanalisa seus prprios mtodos e solues obtidas para os problemas, visandosempre construo de conhecimento. Essa forma de trabalho do aluno consequncia de seu pensar matemtico, levando-o a elaborar justificativas e adar sentido ao que faz. De outro lado, o professor avalia o que est ocorrendo eos resultados do processo, com vistas a reorientar as prticas de sala de aula,quando necessrio. Chamamos a esse processo de trabalho de uma forma Ps-Polya de ver resoluo de problemas.

Na Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliao de Matemticaatravs da Resoluo de Problemas o problema ponto de partida e, na sala deaula, atravs da resoluo de problemas, os alunos devem fazer conexes entrediferentes ramos da Matemtica, gerando novos conceitos e novos contedos.

notrio, porm, conforme destaca Van de Walle (2001), um dosestudiosos que tambm defendem o trabalho atravs da resoluo de problemasno ensino de Matemtica, que, muitas vezes, se fala em trabalhar com problemaspara ensinar Matemtica sem que haja clareza do que um problema. H muitasconcepes diferentes de problema. Para Van de Walle (2001), um problema definido como qualquer tarefa ou atividade para a qual no se tem mtodos ouregras prescritas ou memorizadas, nem a percepo de que haja um mtodoespecfico para chegar soluo correta. Para ns tudo aquilo que no sesabe fazer, mas que se est interessado em fazer.

verdade que, entre os diversos autores e trabalhos j publicados, podemser encontrados muitos conceitos de problema adjetivados, refletindo qualidadesespecficas que deles se espera: problemas de fixao, exerccios, problemasabertos, problemas fechados, problemas padro, problemas rotineiros e norotineiros, quebra-cabeas, desafios, entre outros. Na realidade, so todosproblemas, e os adjetivos expressam diferentes tipos de problema que admitem,para sua resoluo, diferentes estratgias.




Fundamentar a Resoluo de Problemas nessas concepes, eimplementar a Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliao de Matemticaatravs da Resoluo de Problemas, exige do professor e dos alunos novasposturas e atitudes com relao ao trabalho em sala de aula. O professor precisapreparar, ou escolher, problemas apropriados ao contedo ou ao conceito quepretende construir. Precisa deixar de ser o centro das atividades, passando paraos alunos a maior responsabilidade pela aprendizagem que pretendem atingir.Os alunos, por sua vez, devem entender e assumir essa responsabilidade. Esseato exige de ambos, portanto, mudanas de atitude e postura, o que, nem sempre, fcil conseguir.

H, entretanto, boas razes para se fazer esse esforo. Reunindo asideias j registradas em Onuchic e Allevato (2004), Van de Walle (2001) e outrosautores que abordam o tema, possvel destacar:

Resoluo de problemas coloca o foco da ateno dos alunos sobre asideias matemticas e sobre o dar sentido.

Resoluo de problemas desenvolve poder matemtico nos alunos, ouseja, capacidade de pensar matematicamente, utilizar diferentes econvenientes estratgias em diferentes problemas, permitindo aumentara compreenso dos contedos e conceitos matemticos.

Resoluo de problemas desenvolve a crena de que os alunos socapazes de fazer matemtica e de que a Matemtica faz sentido; aconfiana e a auto-estima dos estudantes aumentam.

Resoluo de problemas fornece dados de avaliao contnua, quepodem ser usados para a tomada de decises instrucionais e para ajudaros alunos a obter sucesso com a matemtica.

Professores que ensinam dessa maneira se empolgam e no queremvoltar a ensinar na forma dita tradicional. Sentem-se gratificados coma constatao de que os alunos desenvolvem a compreenso por seusprprios raciocnios.

A formalizao dos conceitos e teorias matemticas, feita pelo professor,passa a fazer mais sentido para os alunos.

No h formas rgidas de se trabalhar atravs da resoluo de problemasem sala de aula de Matemtica. Porm, visando a uma forma de ajudar osprofessores a empregar essa metodologia em suas aulas, em 1998, com aparticipao de 45 professores participantes de um Programa de EducaoContinuada, foi criado um Roteiro de Atividades que permitia fazer uso dessametodologia, promover mais entusiasmo em suas salas de aula e fazer com que

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os alunos vissem a Matemtica com um olhar mais confiante. Esta verso inicialdo roteiro para implementao de um trabalho atravs da resoluo de problemasse compunha das seguintes etapas6: formar grupos e entregar uma atividade; opapel do professor; registrar os resultados na lousa; realizar uma plenria; analisaros resultados; buscar um consenso; fazer a formalizao (ONUCHIC, 1999).

Entretanto, constatamos, nas pesquisas desenvolvidas e nas experinciascom formao de professores, que esses ltimos tm enfrentado muitasdificuldades para trabalhar matemtica com seus alunos, no raras vezes porfalta de conhecimentos prvios; em outras, porque se rebelam, demonstrandoaverso aos contedos trabalhados ou forma de ensinar. Consequentemente,esses alunos sabem cada vez menos Matemtica. Tentando atender demandade prover os alunos de conhecimentos prvios necessrios ao desenvolvimentomais produtivo da metodologia, mudamos um pouco o Primeiro Roteiro, incluindonovos elementos e criando o Segundo Roteiro:

- Preparao do problema - Selecionar um problema, visando construo deum novo conceito, princpio ou procedimento. Esse problema ser chamadoproblema gerador. bom ressaltar que o contedo matemtico necessrio paraa resoluo do problema no tenha, ainda, sido trabalhado em sala de aula.

- Leitura individual - Entregar uma cpia do problema para cada aluno e solicitarque seja feita sua leitura.

- Leitura em conjunto - Formar grupos e solicitar nova leitura do problema,agora nos grupos.

Se houver dificuldade na leitura do texto, o prprio professor podeauxiliar os alunos, lendo o problema.

Se houver, no texto do problema, palavras desconhecidas para os alunos,surge um problema secundrio. Busca-se uma forma de poderesclarecer as dvidas e, se necessrio, pode-se, com os alunos, consultarum dicionrio.

- Resoluo do problema - A partir do entendimento do problema, sem dvidasquanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, em um trabalho cooperativo ecolaborativo, buscam resolv-lo. Considerando os alunos como co-construtores

6 O detalhamento de cada uma dessas fases ser feito quando da apresentao de uma versoaprimorada deste roteiro.




da matemtica nova que se quer abordar, o problema gerador aquele que, aolongo de sua resoluo, conduzir os alunos para a construo do contedoplanejado pelo professor para aquela aula.

- Observar e incentivar Nessa etapa, o professor no tem mais o papel detransmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver oproblema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimulao trabalho colaborativo. Ainda, o professor como mediador leva os alunos apensar, dando-lhes tempo e incentivando a troca de ideias entre eles.

O professor incentiva os alunos a utilizarem seus conhecimentos prviose tcnicas operatrias, j conhecidas, necessrias resoluo doproblema proposto. Estimula-os a escolher diferentes caminhos(mtodos) a partir dos prprios recursos de que dispem. Entretanto, necessrio que o professor atenda os alunos em suas dificuldades,colocando-se como interventor e questionador. Acompanha suasexploraes e ajuda-os, quando necessrio, a resolver problemassecundrios que podem surgir no decurso da resoluo: notao;passagem da linguagem verncula para a linguagem matemtica;conceitos relacionados e tcnicas operatrias; a fim de possibilitar acontinuao do trabalho.

- Registro das resolues na lousa Representantes dos grupos so convidadosa registrar, na lousa, suas resolues. Resolues certas, erradas ou feitas pordiferentes processos devem ser apresentadas para que todos os alunos as analiseme discutam.

- Plenria Para esta etapa so convidados todos os alunos, a fim de discutiremas diferentes resolues registradas na lousa pelos colegas, para defenderemseus pontos de vista e esclarecerem suas dvidas. O professor se coloca comoguia e mediador das discusses, incentivando a participao ativa e efetiva detodos os alunos. Este um momento bastante rico para a aprendizagem.

- Busca do consenso Depois de sanadas as dvidas, e analisadas as resoluese solues obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegara um consenso sobre o resultado correto.

- Formalizao do contedo Neste momento, denominado formalizao, o

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professor registra na lousa uma apresentao formal organizada e estruturadaem linguagem matemtica padronizando os conceitos, os princpios e osprocedimentos construdos atravs da resoluo do problema, destacando asdiferentes tcnicas operatrias e as demonstraes das propriedades qualificadassobre o assunto.

Reitere-se que, nesta metodologia, os problemas so propostos aos alunosantes de lhes ter sido apresentado, formalmente, o contedo matemticonecessrio ou mais apropriado sua resoluo que, de acordo com o programada disciplina para a srie atendida, pretendido pelo professor. Dessa forma, oensino-aprendizagem de um tpico matemtico comea com um problema queexpressa aspectos-chave desse tpico, e tcnicas matemticas devem serdesenvolvidas na busca de respostas razoveis ao problema dado. A avaliaodo crescimento dos alunos feita continuamente, durante a resoluo do problema.(ALLEVATO; ONUCHIC, 2009)

3.2 Uma Filosofia de Educao Matemtica?

Recentemente, ao analisar, nos estudos e investigaes que tm sidodesenvolvidos pelo GTERP, o que temos chamado Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliao de Matemtica atravs da Resoluo deProblemas, destacou-se nossa ateno o fato de que esta forma de trabalhopor ns desenvolvida e pesquisada, em sala de aula de Matemtica, poderia serconsiderada, mais do que uma metodologia, uma forma de Filosofia deEducao Matemtica, dado seu alcance ao trabalho de alunos, professores,ensino, aprendizagem, avaliao, trabalho cooperativo e colaborativo, trabalhodo professor em sala de aula; reflexo na ao e sobre a ao... A Resoluo deProblemas, como praticada por esse grupo, tem matiz filosfico aliado s filosofiascontemporneas da Educao Matemtica.

Conforme afirma Bicudo (2010, p.23)A tarefa de Filosofia da Educao Matemtica mantervivo o movimento de ao/reflexo/ao nas atividadesrealizadas e atualizadas em Educao Matemtica, sejamelas de ensino e de aprendizagem, que ocorrem no mbitoescolar, sejam as que ocorrem no mundo-vida,cotidianamente, ou mesmo as concernentes s polticaspblicas da Educao, alm de outras atividades aqui nomencionadas, mas que cabem no que chamamos deEducao Matemtica ou a ela se referem.




A Resoluo de Problemas tem cuidados em relao a questesepistemolgicas, ontolgicas e axiolgicas; questes, essas, que dirigem osesforos do GTERP em suas intervenes e pesquisas. A Resoluo de Problemas seus conceitos, estratgias e propostas tem servido de parmetro a vriastendncias em Educao Matemtica.

Pela metade dos anos 1990s a pesquisa sob a bandeira deresoluo de problemas foi vista cada vez menos e aateno do campo foi se voltando para novas reas.Entretanto, as pesquisas naquelas reas de fatoincorporaram ideias da pesquisa em resoluo de problemas,e esse trabalho continua a evoluir em caminhos importantes.(SCHOENFELD, 2007, p. 537)

Buscando apoio em literatura relacionada, encontramos, ainda:Entendemos que Filosofia da Educao Matemtica secaracteriza como um refletir filosfico sobre EducaoMatemtica em seus aspectos tericos e prticos, que senos apresentam de forma inseparvel, pois ao mesmo tempoem que uma teoria pode indicar ou explicitar uma prtica, auma prtica subjaz uma teoria que a indica ou a explicita.(KLUTH; ANASTACIO, 2009)

Consideramos que esta forma de conceber Filosofia de EducaoMatemtica tem forte confluncia com o que o GTERP tem desenvolvido, notocante Resoluo de Problemas em Educao Matemtica. Apoiados naevoluo do conhecimento e das prticas acerca desse tema, e em teoriasconstitudas nas investigaes conduzidas especificamente nessa linha depesquisa e naquelas relacionadas s formas de construo do conhecimentomatemtico, o grupo tem refletido, metdica e sistematicamente, a partir dasinvestigaes cientficas levadas a cabo. Tendo como objetivo desenvolver estudosque, efetivamente, atinjam a sala de aula, tanto a atividade do aluno como a doprofessor tm sido consideradas, buscando aprofundar conhecimentos e melhorcompreender a dinmica e as implicaes do Ensino-Aprendizagem-Avaliaoatravs da Resoluo de Problemas no trabalho com Matemtica.

Dentro dessa perspectiva, consideramos que a forma como as reflexesdesenvolvidas pelos membros do GTERP, a partir das pesquisas realizadas, vemao encontro do que Salles (2006, p.138) entende que seja o pensar filosfico:

[...] uma atividade ou ao de refletir sobre o que feito, porque feito, como feito, sobre a vivncia com os outros no

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mundo, sobre as experincias vivenciadas, explicitando osentido que isso faz para o indivduo, [...] que ao construira realidade, construmos o conhecimento.

Desse modo, os estudos e pesquisas que temos desenvolvido sobre oEnsino-Aprendizagem-Avaliao de Matemtica atravs da Resoluo deProblemas, na perspectiva explicitada no presente trabalho, se inserem no queBicudo e Garnica (2003 apud Salles, 2006, p.139) chamam de trabalho nuclearda filosofia da Educao Matemtica; ou seja, buscam articular a pesquisa e ocurrculo ou a proposta pedaggica, na tentativa de elucidar afirmaesdecorrentes entre os procedimentos utilizados e as consideraes ticas,epistemolgicas e cientficas sobre possveis desdobramentos em aespedaggicas e entre as aes visualizadas (BICUDO; GARNICA, 2003 apudSALLES, 2006, p. 139)

4 O foco das pesquisas no GTERP

4.1 Matemtica como cincia de padro e ordem

Reflexes e pesquisas sistemticas, nos mais diversos nveis de ensino,perspectivas e linhas de pesquisa tm contribudo, sensivelmente, para oaprimoramento e melhor compreenso dos variados aspectos envolvidos nasatividades de ensino, aprendizagem e avaliao em salas de aula de Matemtica.Porm, faz-se necessrio que elas continuem sendo desenvolvidas, uma vezque, conforme reitera Romberg (2007), a Educao Matemtica constitui-senum vasto campo de estudo.

O autor apoia-se na indiscutvel complexidade do cenrio em que seconfigura a Educao Matemtica, levando professores e pesquisadores abuscarem fundamentao e perspectivas para investigar as diversificadasquestes que surgem neste cenrio. Esta complexidade decorre da presena eda inter-relao de inmeros fatores trazidos ao contexto escolar por, pelo menos,cinco elementos: o professor, os alunos, a disciplina (no caso, a Matemtica), aescola e a sociedade.

Considerado o guia ou gerente do ensino, o professor norteia sua prticaa partir do conhecimento do perfil e das necessidades de seus alunos. Ambos,alunos e professores, tm suas atividades condicionadas estrutura escolar(organizao, recursos, ideologias,...) e s peculiaridades da disciplina Matemtica




como pertencente a um conjunto de outras tantas disciplinas que integram asgrades curriculares. Ademais, a instituio escolar foi criada por grupos sociaiscom o intuito de preparar seus jovens para serem membros da sociedade. Arespeito destas relaes, Ldke e Andr (1986, p. 5) complementam:

Cada vez mais se entende o fenmeno educacional comosituado dentro de um contexto social, por sua vez inseridoem uma realidade histrica que sofre toda uma srie dedeterminaes. Um dos desafios atualmente lanados pesquisa educacional exatamente o de tentar captar essarealidade dinmica e complexa do seu objeto de estudo, emsua realizao histrica.

Desta mirade de elementos surgem muitas questes e a necessidadede buscar em outras reas, por exemplo, a Sociologia, a Filosofia e a Pedagogia,subsdios para a conduo de investigaes que tragam possveis respostas squestes. Quando as perspectivas de cada uma dessas reas so trazidas paraa Educao Matemtica, esta produz seus prprios conjuntos de conceitos,mtodos e procedimentos. A Educao Matemtica constitui-se, ento, em umrico campo de estudos, a partir do qual inmeras questes podem ser levantadas,conjeturas podem ser elaboradas e investigaes podem ser, ento, conduzidas.Assim, a compreenso das possveis perspectivas e de seus princpios fundamental na conduo de investigaes.

Conforme j registrado em trabalhos anteriores (ONUCHIC;ALLEVATO, 2004), sabido que sempre houve muita dificuldade para se ensinare aprender Matemtica. Apesar disso, todos reconhecem a importncia e anecessidade de Matemtica para se entender o mundo e nele viver. Mudarradicalmente nosso sistema educacional em Matemtica, tendo como primeiroobjetivo atingir a vasta maioria dos estudantes, conforme destacado pela siglaNCLB, na ltima fase indicada no Quadro 1, exige criar uma conscincia doqu, do como e do porqu da Matemtica. Tal conscincia nos faz chegar, entreoutras, a duas importantes razes para mudar: (1) para que os cidados deamanh apreciem o papel importante e penetrante da Matemtica na culturaem que vivem; (2) para que os indivduos que tm interesse em Matemtica, etalento para ela, sejam expostos sua verdadeira natureza e extenso.

Uma tendncia que vem sendo fortemente considerada na EducaoMatemtica, tambm apontada por Lambdin e Walcott (2007) (Quadro 1), eespecialmente explorada nos estudos realizados pelo GTERP, a de fundamentaras aes de ensino no princpio de que a Matemtica uma cincia de padro e

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ordem. Assim, instituda como cincia por constituir-se num ramo particular doconhecimento, por possuir natureza emprica, lgica e sistemtica, e por basear-se em provas, princpios, argumentaes ou demonstraes que garantem oulegitimam sua validade, um dos aspectos nucleares de seu contedo a presenade padres. Em geral, entende-se por padro um modelo que vale sempre;qualquer objeto que serve de referncia para a elaborao ou compreenso deoutro. Outro aspecto constitutivo da natureza da Matemtica refere-se ordem,entendida como uma organizao metdica espacial, cronolgica, numrica,lgica... (HOUAISS; VILLAR, 2009)

Reproduzimos, a seguir, um texto composto por ns (ONUCHIC;ALLEVATO, 2009) a partir de publicaes como Everybody Counts (NRC,1989), Standards 2000 (NCTM, 2000) e Van de Walle (2001):

A Matemtica revela padres ocultos que nos ajudam acompreender o mundo ao nosso redor. Muito mais do queAritmtica e Geometria, hoje ela uma disciplina diferente,que trabalha com dados, medidas e observaes da cincia,com inferncia, deduo e prova; e com modelosmatemticos de fenmenos naturais, de comportamentohumano e de sistemas sociais.O ciclo dados para a deduo e, dela, para a aplicaoocorre em toda parte que a Matemtica usada, desdetarefas caseiras, como planejar uma viagem, at gerenciarproblemas maiores, como esquematizar o trfego areo ouo investimento em aes. O processo de fazer matemticaest bastante longe de apenas fazer contas ou dedues;ele envolve observao de padres, testagem deconjecturas e estimativa de resultados.Como uma matria prtica, a Matemtica uma cincia depadro e ordem. Seu domnio no so molculas ou clulas,mas nmeros, probabilidade, forma, algoritmos e mudana.Como uma cincia de objetos abstratos, a Matemtica contamais com a lgica do que com a observao como seu padrode verdade, embora ainda empregue observao, simulaoe mesmo experimentao, como meios para descobrir averdade.O papel especial da Matemtica na Educao umaconseqncia de sua aplicabilidade universal. Os resultadosda Matemtica Teoremas e Teorias so tantosignificativos quanto teis. Atravs de seus teoremas, aMatemtica oferece tanto uma fundamentao da verdadequanto um padro de certeza.




Pode-se aprender a fazer o grfico da equao de umaparbola simplesmente seguindo regras e plotando pontos,Agora temos as calculadoras disponveis para fazer issoto bem, com uma velocidade e preciso que nuncapoderamos pensar em atingir. Mas, entender porque certasformas de equaes sempre produzem grficos parablicosenvolve uma busca por padres no modo como os nmerosse comportam. Descobrir que tipos de relaes do mundoreal so representados por grficos parablicos mesmomais interessante e cientfico, at infinitamente mais valiosodo que a habilidade em plotar a curva quando algum lhed a equao.Padres no se encontram apenas em nmeros e equaes,mas, tambm, em tudo que nos rodeia. O mundo est cheiode padres e ordem, na natureza, na arte, na construo deprdios e na msica. Padro e ordem so encontrados nocomrcio, na cincia, na medicina, na produo de coisas ena sociologia. A Matemtica descobre esta ordem, dsentido a ela, e a usa numa grande quantidade de modosfascinantes, melhorando nossas vidas e expandindo nossoconhecimento. A escola precisa comear a ajudar as crianasneste processo de descoberta. (ONUCHIC; ALLEVATO,2009, p. 169)

A resoluo de problemas representa, da forma como trabalhamos, umcontexto bastante propcio construo de conhecimento matemtico a partirda observao e percepo de padres, especialmente se considerada comometodologia de ensino, ou seja, se o problema for proposto como gerador denovos conceitos e contedos matemticos. Encontramos, a este respeito,consenso com Van de Walle (2001, p.16), que trata deste tema afirmando: AMatemtica uma cincia de coisas que tm um padro de regularidade e umaordem lgica. Descobrir e explorar essa regularidade ou essa ordem e, ento,dar sentido a ela o que significa fazer matemtica.

4.2 A Matemtica Discreta

O GTERP, nestes ltimos anos, tambm est inserindo, em seus projetos,a Matemtica Discreta. A existncia da Matemtica Discreta como uma reaseparada de estudo comeou nos anos sessenta. Apesar disso, este ramo daMatemtica tem crescido rapidamente em proeminncia nas ltimas dcadas

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devido, em grande parte, s muitas aplicaes de seus princpios na rea denegcios, e, tambm, por suas fortes relaes com a cincia computacional.

A Matemtica Discreta surgiu como resposta das cincias matemticaspara a necessidade de uma melhor compreenso das bases combinatrias daMatemtica, especialmente aquelas utilizadas no desenvolvimento de eficientesalgoritmos computacionais, na criao de novas abordagens para operaesenvolvidas em determinados problemas de pesquisa e no estudo de heursticassubjacentes s abordagens de tais problemas.

Ao tentar caracteriz-la, habitual e apropriado estabelecer um paralelocom a chamada matemtica contnua. A matemtica contnua bem apropriadapara situaes cujo objetivo principal a medida de uma quantidade, enquantoque, em cenrios de matemtica discreta, o foco est em determinar umacontagem.

No sculo XXI, em que nos encontramos, a informao e suacomunicao tm se tornado to importante quanto a produo de bens materiais.Enquanto o mundo fsico ou material mais frequentemente modelado pelamatemtica contnua, isto , por reas como o clculo, a lgebra, a geometria ea trigonometria, o mundo no material do processamento da informao requero uso da matemtica discreta (descontnua). As tecnologias computacionaistambm exercem uma influncia sempre crescente sobre a forma como amatemtica criada e usada. Os computadores so essencialmente finitos,mquinas discretas usando mtodos computacionais (DOSSEY, 1991).

luz desses fatos, torna-se crucial que os estudantes tenham experinciascom os conceitos e mtodos da matemtica discreta. No texto do Curriculumand Evaluation Standards for School Mathematics (NCTM, 1989) hrecomendaes explcitas de que o currculo de Matemtica, nos graus 9-12(correspondentes ao que no Brasil chamado Ensino Mdio), deveria incluirtpicos de Matemtica Discreta, de modo que os estudantes pudessem:representar situaes-problema usando estruturas discretas como grficos finitos,matrizes, sequncias e relaes de recorrncia; representar e analisar grficosfinitos usando matrizes; desenvolver e analisar algoritmos e resolver problemasde enumerao e de probabilidade finita. E acrescenta que os estudantes, quepretendem ir universidade, por meio da matemtica discreta podem representare resolver problemas visando programao linear e equaes diferena, assimcomo investigar situaes problema que surgem em conexo com validaocomputacional e aplicao de algoritmos.

Fica, ento, clara a importncia deste ramo da Matemtica em relao




a outros campos do saber, assim como a forte ligao que ele apresenta comsituaes envolvendo a resoluo de problemas que se colocam na atualidade.

5 As pesquisas mais recentes realizadas pelo GTERP

Conforme j assinalado, um dos aspectos marcantes da filosofia detrabalho do grupo buscar, incessantemente, desenvolver estudos que,efetivamente, atinjam a sala de aula; ou seja, que estejam relacionados comquestes de ensino-aprendizagem-avaliao, tanto sob a perspectiva do alunoquanto do professor.

Desse modo, grande parte das dissertaes, teses e outros trabalhosproduzidos pelo grupo narram e analisam situaes de interveno pedaggicarealizadas por seus membros em sala de aula ou no mbito da formao deprofessores. Desenvolvida por alunos do programa de Ps-graduao emEducao Matemtica de Rio Claro ou por alunos de outras instituies, membrosdo GTERP, e sob a orientao da coordenadora do grupo, sua produo cientficaabrange contedos em todos os nveis de ensino. Seus membros participam de eapresentam trabalhos em muitos eventos locais, regionais, nacionais einternacionais. Tambm h captulos de livros produzidos e artigos publicadosem revistas de divulgao que circulam nos meios cientfico e de ensino. Esseconjunto de pesquisas constitui-se num amplo espectro de possibilidades depesquisa na Educao Matemtica. Uma descrio das dissertaes e teses,bem como do trabalho j realizado pelo grupo, pode ser encontrada em Onuchic(1999), Onuchic e Allevato (2004) e Allevato e Onuchic (2007).

Particularmente, as dissertaes e teses defendidas at 1998 forambrevemente descritas em Onuchic (1999), e as defendidas de 1999 at 2005, emOnuchic e Allevato (2004). Apresentamos, a seguir, as que foram concludasaps esta data:

5.1 Roger Ruben Huaman Huanca - A Resoluo de Problemas no ProcessoEnsino-aprendizagem-avaliao de Matemtica na e alm da Sala de Aula- Dissertao de Mestrado (2006)

A pesquisa teve como objetivo verificar se a Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliao de Matemtica atravs da Resoluo de Problemasconstitui-se num bom caminho alternativo para a construo de conceitos econtedos trigonomtricos por alunos do Ensino Mdio. Percebeu-se que houveum aumento na motivao, tanto da professora, em ensinar, quanto dos alunos,

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em aprender. Tambm, foi possvel observar os alunos relacionarem suasatividades com tpicos j trabalhados anteriormente, reforando fortemente arelevncia desse trabalho.

5.2 Paulo Henrique Hermnio - Matemtica Financeira Um Enfoqueda Resoluo de Problemas como Metodologia de Ensino e Aprendizagem Dissertao de Mestrado (2008)

Esta pesquisa teve as seguintes questes norteadoras: os alunos gostariamde adquirir conhecimentos sobre Matemtica Financeira? Como os professoresabordam esse tema de estudo? Qual a relevncia desse trabalho, para osalunos, de acordo com a viso docente? O pesquisador analisou livros didticos,entrevistou pais e professores, e implementou aulas fundamentadas naMetodologia de Ensino-Aprendizagem de Matemtica atravs da Resoluo deProblemas, para alunos de Ensino Mdio. Os resultados construdos atestamque foi positiva e efetiva a participao dos alunos no processo de construode seu prprio conhecimento. A metodologia permitiu aos alunos desenvolveriniciativas para a construo e a reflexo sobre os conceitos que estavamaprendendo. Os alunos puderam refletir criticamente sobre o meio social emque estavam inseridos, e o trabalho despertou neles alguns aspectos de cidadania,fazendo com que o ambiente criado fosse um incio de mudana de postura emrelao a esses aspectos.

5.3 Analucia Castro Pimenta de Souza - Anlise Combinatria no EnsinoMdio Apoiada na Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliao deMatemtica atravs da Resoluo de problemas Dissertao de Mestrado(2010)

A pesquisa teve como objetivo trabalhar a Anlise Combinatria, fazendouso da Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliao de Matemtica atravsda Resoluo de Problemas. Na fundamentao terica, a Anlise Combinatriafoi abordada como fazendo parte da Matemtica Discreta. A pesquisa incluiuanlise de livros didticos e aplicao da metodologia de ensino em trs cenriosdiferentes: em sua sala de aula, em oficinas de trabalho para professores e emdiscusses realizadas em encontros cientficos de Educao Matemtica.Verificou-se que houve envolvimento ativo dos participantes na construo denovos conceitos e contedos, atravs da resoluo dos problemas propostos,com resultados importantes para a prtica docente.




5.4 Marcos Vincius Ribeiro O Ensino do Conceito de Integral, em Salade Aula, com Recursos da Histria da Matemtica e da Resoluo deProblemas Dissertao de Mestrado (2010)

A pesquisa teve como objetivo analisar como se pode construir um projetode ensino-aprendizagem destinado a trabalhar integrais, com alunos de um Cursode Engenharia, num ambiente de resoluo de problemas, fazendo uso de umanova metodologia tendo como recurso a Histria da Matemtica e com os alunos,em grupos, num trabalho cooperativo e colaborativo, sendo co-construtores doconhecimento. O trabalho considerou a Histria da Integral como parte da Histriada Matemtica, e adotou a Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliao deMatemtica atravs da Resoluo de Problemas. Foram analisadas atividadesdesenvolvidas em sala de aula onde o trabalho com Clculo Diferencial e Integralera o objetivo.

5.5 Clia Barros Nunes - O Processo Ensino-Aprendizagem-Avaliaode Geometria atravs da Resoluo de Problemas: perspectivas didtico-matemticas na formao inicial de professores de matemtica Tese deDoutorado (2010)

Esta pesquisa foi realizada com alunos, futuros professores do curso deLicenciatura em Matemtica da Universidade do Estado da Bahia. O objetivofoi investigar, compreender e evidenciar as potencialidades didtico-matemticasda Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliao de Matemtica atravs daResoluo de Problemas nos processos de ensinar e aprender Geometria. Doisprojetos de ensino foram criados e aplicados nas disciplinas Didtica daMatemtica e Laboratrio de Ensino de Matemtica II, consideradas necessriaspara a formao de professores. A experincia propiciou momentos de reflexoe anlise sobre as potencialidades que a metodologia de ensino oferece no sentidode incrementar a aprendizagem e melhorar os processos de ensino de Matemtica,sobretudo o de Geometria.

6 Consideraes finais

No h dvidas de que educadores matemticos de todo o mundo tmse preocupado em melhor entender e promover o ensino e a aprendizagem deMatemtica, em todos os nveis de ensino. Pode-se testemunhar sua dedicao

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e a relevante produo cientfica em Educao Matemtica no sculo XX eneste sculo. certo que os alunos, atualmente, so beneficiados por uma grandevariedade de novos materiais instrucionais e metodologias de ensino. Muitosprofessores esto mais bem preparados, pedaggica e matematicamente, doque no passado, e muitos currculos escolares de Matemtica se apresentammais ricos. Apesar disso tudo, subsistem queixas, ainda hoje, de que os estudantesno gostam e no aprendem Matemtica suficientemente bem; que osprofessores no sabem Matemtica e no sabem ensin-la; que os currculosescolares so superficiais, repetitivos e fragmentados... Essas queixas e os dadosobtidos de pesquisas, avaliaes etc., atestam que os alunos saem mal preparadosda escola, no sabendo fazer uso da Matemtica trabalhada ao longo de tantosanos de escolaridade, e mostram-se incapazes de tomar decises na vida, notendo aprendido a pensar matematicamente.

A metodologia de ensino aqui apresentada constitui uma forma de trabalho,em sala de aula, a partir de problemas geradores. Valendo-se da Metodologia deEnsino-Aprendizagem-Avaliao de Matemtica atravs da Resoluo deProblemas, a construo de conhecimentos, relacionados a conceitos e contedosmatemticos, se realiza de forma mais significativa e efetiva pelos alunos. Asexperincias, em pesquisas com alunos e atividades de formao de professoresem que esta forma de trabalho tem sido utilizada, tm favorecido significativosavanos na compreenso de conceitos e contedos matemticos e noaprimoramento da prtica docente pelo professor.

Ao apresentar as pesquisas do GTERP destacamos alguns aspectosrelevantes, tericos e prticos, alm de centrais, relativos filosofia de trabalhodo grupo, cujos trabalhos so desenvolvidos na linha de Resoluo de Problemas.Sua produo cientfica tem sido divulgada por meio de captulos de livros, artigose trabalhos apresentados em eventos, especialmente como comunicaescientficas e minicursos. As dissertaes e teses elaboradas por seus membrosabrangem um amplo espectro de pesquisas voltadas a todos os nveis de ensino,todas elas adotando como fio condutor uma estreita e efetiva relao com a salade aula de Matemtica.

A partir desse retrato da produo do GTERP, apresentada parcialmenteno presente trabalho, esperamos poder fornecer aos educadores e pesquisadoresa possibilidade de conhecer o que se tem produzido na linha de Resoluo deProblemas. Desse modo, talvez se possibilite que o grupo contribua paraintensificar os dilogos entre a pesquisa e a prtica educativa, e para aumentaras possibilidades dessa prtica, particularmente nas salas de aula de Matemtica.




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