OPTIMIZAÇÃO E DECISÃOModelos de Optimização de Redes

Responsável: Prof. Alexandra Moutinho

João Raposo Nº 43633Carlos Costa Nº 55518

27 / 10 / 2008

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Representação em Rede

• Amplamente usadas em diversos tipos de problemas tais como:– Produção– Distribuição– Planeamento de projectos– Rotas– Planeamento de recursos / plan. Financeiro

• Muitos modelos de optimização de redes, são casos especiais de Programação Linear.

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Terminologia de Redes

• Exemplos de componentes típicos de redes:

Spanning Tree → Rede em que todos os nós estão ligados e que não contém ciclos indirectos.

Nós Arcos Fluxo

CruzamentosAeroportosComutadoresEstações de ElevaçãoPostos de Trabalho

EstradasRotasFios / CanaisCondutasRotas de transporte de materiais

CarrosAviõesMensagensFluidosTarefas

CaminhoIndirecto – A ligação entre dois nós não tem direcção definida

Directo – Liga dois nós consecutivos

RedeNão Orientada – Arcos sem sentido definido

Orientada – Arcos Dirigidos

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Tipos de Problemas de Redes

• Caminho Mais CurtoAlgoritmo:

•Objective of nth iteration: find the nth nearest node to the origin (n = 1, 2, …) until the nth nearest node is reached.

•Input for the nth iteration: n – 1 nearest nodes to the origin, including their shortest path and distance to the origin (these are the solved nodes).

•Candidates for the nth nearest node: each solved that is directly connected to unsolved nodes provides one candidate – the unsolved node with the shortest connecting link.

•Calculation of the nth nearest node: for each solved node and its candidate, add the distance between them to the distance of the shortest path from the origin to this solved node. The candidate with the smallest total distance is the nth nearest node, and its shortest path is the one generating this distance.

Nó inicial: MECNó final: CV

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Caminho Mais Curto

n Nós resolvidos directamente ligados a nós não resolvidos

Nó não resolvido mais próximo

Distância total envolvida

Nó mais próximo

Distância mínima

Ligação

1 Mec TN 100 TN 100 Mec-TN

2 MecTN

CCV

120100+80=180

C 120 Mec-C

3 MecC

TSCV

200120+30=150 CV 150 C-CV

Caminho Óptimo: Mec-C-CV

Tipo de aplicações: •Minimização de distância percorrida•Minimização do custo de uma sequencia de actividades…

Tipos de Problemas de Redes

• Minimum Spanning Tree

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Algoritmo:

•Escolher um nó arbitrariamente.

•Ligar esse nó seguinte mais próximo

•Identificar qual a ligação mais próxima dos nós já ligados e ligar.

•Repetir até todos os nós estarem ligados

Em caso de haver mais do que uma ligação numa das etapas, o desempate é feito arbitrariamente. Apenas indica que existe mais do que uma solução óptima.

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Tipos de Problemas de Redes

• Problema de Fluxo Máximo– Maximizar o fluxo entre uma fonte e um poço

através de uma rede orientada e ligada.– O fluxo nos arcos é apenas permitido na direcção

indicada no mesmo• Resolução:– Augmented Path Algorithm• Determinar um caminho entre a fonte O e o poço T e

reduzir a capacidade residual máxima possível na direcção directa desse caminho.

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Problema de Fluxo Máximo• Iteração 1

• Determinar o caminho– Partindo da fonte seguir pelos caminhos com capacidade

maior que zero.– Partindo dos nós atingidos repetir o processo até chegar ao

poço.• Determinar Optimalidade– Para uma rede com uma fonte e um poço, o fluxo máximo

praticável corresponde ao valor mínimo de todos os cortes da rede.

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Tipos de Problemas de Redes• Fluxo de Custo Mínimo– Generalização, inclui arcos com capacidade limitada,

custos e pode incluir múltiplas fostes e poços com custos associados.

– Pode ser definido como um problema de programação linear: Simplex de redes.

• Definição do problema:– Rede orientada e conectada.– Contem pelo menos uma fonte e um poço.– Os arcos te capacidade para que todo fluxo “criado”

nas fontes chegue aos poços.– Objectivo: Minimizar o custo da transferência do fluxo

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Fluxo de Custo Mínimo• Exemplo:

• Condição de existência de solução:∑ bi = 0