Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

FICHA DE IDENTIFICAÇÃO

PRODUÇÃO DIDÁTICA – PEDAGÓGICA

TURMA – PDE / 2013

Título: Interdisciplinaridade na matemática: a utilização da função polinomial do primeiro grau em

outras áreas do conhecimento.Autora Rosa Maria Marques

Disciplina/Área (ingresso no PDE) MatemáticaEscola de Implementação do Projeto

e sua localização

Colégio estadual Vercindes Gerotto dos Reis – Ensino

Médio, localizado à Rua Ângelo Bertazzo, nº 487 – Jardim

Santa Efigênia.Município da escola PaiçanduNúcleo Regional de Educação MaringáProfessor Orientador Ricardo Cardoso de OliveiraInstituição de Ensino superior Universidade Estadual de MaringáRelação Interdisciplinar Física e Língua PortuguesaResumo A presente produção é um material didático-pedagógico

que se destina a uma intervenção pedagógica,

direcionado aos alunos do 1º ano do Ensino Médio do

Colégio Vercindes Gerotto dos Reis, localizado no

município de Paiçandu, na disciplina de matemática. Um

ensino de função polinomial do primeiro grau

relacionando com o movimento retilíneo uniforme na

disciplina de física e em outras áreas do conhecimento,

tendo como estratégia metodológica interdisciplinaridade.

Assim, essa produção visa contribuir na formação do

aluno, partindo do pressuposto que o conteúdo de função

é estudado em outras áreas do conhecimento. Apresenta-

se atividades, com o objetivo de possibilitar ao aluno

perceber a aplicabilidade do conteúdo mencionado, onde

o papel do professor é ser mediador e facilitador, e ainda,

fazer com que os alunos adquiram maior afinidade com a

matemática.

Palavra-chave Função polinomial do primeiro grau. Movimento retilíneo

uniforme. Interdisciplinaridade.Formato do Material Didático Unidade DidáticaPúblico alvo Alunos

GOVERNO DO PARANÁ

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO

EDUCACIONAL

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

UNIDADE DIDÁTICA

INTERDISCIPLINARIDADE NA MATEMÁTICA:

A UTILIZAÇÃO DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO

PRIMEIRO GRAU EM OUTRAS ÁREAS DO

CONHECIMENTO

ROSA MARIA MARQUES

Maringá ─ Paraná

2013

ROSA MARIA MARQUES

INTERDISCIPLINARIDADE NA MATEMÁTICA:

A UTILIZAÇÃO DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO

PRIMEIRO GRAU EM OUTRAS ÁREAS DO

CONHECIMENTO

Material apresentado à Secretaria de Estado da Educação – SEED, Departamento de Políticas e Programas Educacionais – para cumprir as exigências do Programa de Desenvolvimento educacional – PDE, em convênio com a Universidade Estadual de Maringá, como requisito para o desenvolvimento das atividades propostas para o período de 2013/2014, sob a orientação do Prof. Dr. Ricardo Cardoso de Oliveira.

MARINGÁ

1 APRESENTAÇÃO

Esta produção didática é fruto de muito estudo. Procura atender o conjunto

de atividades pressuposta no Programa de desenvolvimento Educacional – PDE/

2013. Este material é desenvolvido com a intenção de auxiliar os professores da

primeira série do ensino médio da rede pública do estado do Paraná e em particular

aos do Colégio Estadual Vercindes Gerotto dos Reis, localizado no município de

Paiçandu, como sugestão e propósito de colaborar para o ensino do conteúdo de

função polinomial do primeiro grau.

Desta forma, procura-se mostrar estratégias de ensino baseada na

interdisciplinaridade, principalmente entre a Matemática e a Física. A escolha dessa

proposta surgiu pelo fato, que muitas vezes, o ensino da Matemática ainda utiliza

recurso didático pouco diversificado, em atividades que levam os alunos a cálculos

repetitivos, sendo que o modelo tradicional, não motiva os alunos e ainda a

resultado de aprendizagem não satisfatória.

Outro motivo desta proposta surgiu para que os alunos possam ver a

aplicabilidade da função polinomial do primeiro grau em outras áreas do

conhecimento, principalmente na Física, utilizando o conteúdo movimento retilíneo

uniforme.

As atividades a serem trabalhadas foram escolhidas e algumas adaptadas de

acordo com a proposta curricular da Diretriz Curricular Estadual do Ensino Médio da

disciplina de Matemática.

Diante disso, o objetivo desta Unidade Didática é de apresentar um material

que pudesse explorar o conteúdo da Matemática: função polinomial do primeiro grau

por meio da interdisciplinaridade com a Física. Um material com sugestões de

atividades para o dia a dia em sala de aula, com forma de compartilhar com os

professores, a pesquisa e o estudo desenvolvido.

Assim, o professor passa a refletir e entender essa metodologia que interage

com as disciplinas, contribuindo para um ensino e aprendizagem mais significativo.

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 Uma breve história da interdisciplinaridade

Segundo Japiassu (1976) a ideia de interdisciplinaridade já era discutida

desde o século XVII. Meio perdidos, eles aguardavam, por reagrupamento unitário

do saber. As sociedades de sábios do século XVII associaram ao movimento

enciclopedista do século XVIII, com a intenção de juntar num único corpo os

elementos separados da Ciência. Entretanto, a esperança de unidade teve fim no

século XIX, com o surgimento das especializações.

Segundo Guirado (2012), na década de 60 surgiu o movimento da

interdisciplinaridade na Europa (França e Itália). Manifestando-se principalmente na área das

ciências humanas e da educação, com o intuito de superar a fragmentação do

conhecimento.

Um projeto interdisciplinar só terá sentido se for tratado, pelos agentes formadores como atitude ontológica assumida por eles perante o eu, o outro Um projeto interdisciplinar só terá sentido se for tratado, de fato, pelos agentes formadores mundo, que deverão ser encarados como unidade dialética. Em outras palavras, certamente não serão por meio de discursos vazios e de propostas simplistas – do tipo aproximação de conteúdos, provas fragmentação do saber. Afinal, a crise instalada no cenário educacional é resultante tanto do que se produz e reproduz no interior da organização escolar como cisão que habita na mente fragmentada do ser humano; portanto, o combate deve ocorrer, simultaneamente, dentro e fora da escola. (SANTOS, 2007, p. 74 e 75).

Carlos em seu artigo descreve que, a interdisciplinaridade chegou ao Brasil

no final da década de 60 e influenciou na elaboração da Lei de Diretrizes e Base nº

5692/71. E segundo ele, a presença da interdisciplinaridade na educação brasileira

tem se tornado mais intenso e, com a nova LDB nº 9394/96 e os Parâmetros

curriculares Nacionais (PCN), foi possível ocorrer grandes mudanças na educação,

possibilitando ao docente interagir com outras disciplinas.

A interdisciplinaridade deve ir além da mera justaposição de disciplinas e, ao mesmo tempo, evitar a diluição delas em generalidades. De fato, será principalmente na possibilidade de relacionar as disciplinas em atividades ou projetos de estudo, pesquisa e ação, que a interdisciplinaridade poderá ser uma prática pedagógica e didática adequada aos objetivos do Ensino Médio. (PCN-EM, 1999, p. 88).

Fortes, descreve em seu artigo que o primeiro pesquisador brasileiro a

escrever sobre o assunto, em 1976, Hilton Japiassu, o qual publicou o livro

Interdisciplinaridade e patologia do saber. Em 1979, Ivani Fazenda, publicou o livro

Integração e interdisciplinaridade no ensino brasileiro: efetividade e ideologia.

Segundo Trindade (2008), a década de 80 marcou mais pela busca dos

princípios teóricos das práticas vividas por alguns professores. Com a intenção de

superar a fragmentação do conhecimento. Já na década de 90, aparece um grande

número de projetos, denominados interdisciplinares, baseados no modismo.

O conhecimento interdisciplinar, até bem pouco tempo condenado ao ostracismo pelos preconceitos positivistas, fundados numa epistemologia da dissociação do saber, começa a ganhar direitos de cidadania, a ponto de correr o risco de converter-se em moda (JAPIASSU, 1976, p. 30).

2.2 Os diferentes conceitos da interdisciplinaridade

Antes de dar sentido ao termo interdisciplinaridade, é necessário fazer

distinções entre: disciplina, disciplinaridade, multidisciplinaridade,

pluridisciplinaridade, transdisciplinaridade e interdisciplinaridade. De acordo com o

autor Japiassu (1976, p. 72 a 74), temos que:

a) Disciplina: tem o mesmo sentido de ciência.

b) Disciplinaridade: significa a exploração científica especializada de determinado

domínio homogêneo de estudo, isto é, o conjunto sistemático e organizado de

conhecimentos que apresentam características próprias no plano do ensino, da

formação, dos métodos e das matérias: esta exploração consiste em fazer surgir

novos conhecimentos que se substituem aos antigos.

c) Multidisciplinaridade: gama de disciplinas que propomos simultaneamente, mas

sem fazer aparecer às relações que podem existir entre elas. Sistema de um só

nível e de objetivos múltiplos, nenhuma cooperação.

d) Pluridisciplinaridade: justaposição de diversas disciplinas situadas geralmente

no mesmo nível hierárquico e agrupadas de modo a fazer aparecer às relações

existentes entre elas. Sistema de um só nivele de objetivos múltiplos; cooperação,

mas sem coordenação.

e) Transdisciplinaridade: coordenação de todas as disciplinas e interdisciplinar do

sistema de ensino inovado, sobre a base de uma axiomática geral. Sistemas de

níveis e objetivos múltiplos, coordenação com vistas a uma finalidade comum dos

sistemas.

f) Interdisciplinaridade: axiomática comum a um grupo de disciplinas, comum a um

grupo de disciplinas conexas são definidas no nível hierárquico imediatamente

superior, o que induz a noção de finalidade. Sistema de dois níveis e de objetivos

múltiplos; coordenação procedendo do nível superior.

Segundo Fazenda (2011), a interdisciplinaridade é considerada uma nova

atitude diante da questão do conhecimento, de abertura à compreensão de aspectos

ocultos do ato de aprender e dos aparentemente expressos, colocando-os em

questão.

Para Lück (1994), a interdisciplinaridade é o processo que envolve a

integração e engajamento de educadores, num trabalho conjunto, de interação das

disciplinas do currículo escolar entre si e com a realidade. Segundo Lück (1994) para

superação da fragmentação do ensino, é necessária a formação integral dos alunos,

a fim de que possam exercer criticamente a cidadania, mediante uma visão global de

mundo e serem capazes de enfrentar os problemas complexos, amplos e globais da

realidade atual.

Trindade (2008), a interdisciplinaridade: é palavra nova que expressa antigas

reivindicações e delas nascida. Para alguns, surgiu da necessidade de reunificar o

conhecimento; para outros, como um fenômeno capaz de corrigir os problemas

procedentes dessa fragmentação; outros ainda a consideram uma prática

pedagógica.

Matto e Drumond (2006), a interdisciplinaridade: é entendida como uma

articulação de elementos através de uma axiomática comum a um grupo de

disciplinas conexas permite definir um nível hierárquico imediatamente superior;

assim, esse sistema interdisciplinar é composto por dois níveis, das disciplinas, que

sustentam de forma coordenada um novo nível superior, que pode se caracterizar

como uma nova disciplina ou um novo ramo de pesquisa.

Pires (2000), a interdisciplinaridade: é definida por especialistas como a

interação existente entre duas ou mais disciplinas. Essa interação pode ir da simples

comunicação de ideias à integração mútua de conceitos diretores da epistemologia,

da terminologia, da metodologia, dos procedimentos, dos dados e da organização

referentes ao ensino e á pesquisa.

Conforme Japiassu (1976) a metodologia interdisciplinar irá exigir de nós uma

reflexão mais profunda e mais inovadora sobre o próprio conceito de ciência e de

filosofia, obrigando-nos a desinstalar-nos de nossas posições acadêmica

tradicionais, das situações adquiridas, abrir-nos para caminhos novos.

A interdisciplinaridade, no campo da ciência, corresponde á necessidade de superar a visão fragmentadora de produção do conhecimento, como também de articular e produzir coerência entre os múltiplos fragmentos que estão postos no

acervo de conhecimento da humanidade. Trata-se de um esforço no sentido de promover a elaboração de síntese que desenvolvam a contínua recomposição da unidade entre as múltiplas representações da realidade. (LÜCK, 1994, p.59).

Pode considerar o fenômeno interdisciplinar como sendo uma das

manifestações mais significativas das mudanças que afetam e alteram, em nossos

dias, o pensamento e as formas do discurso intelectual.

Conforme as Diretrizes Curriculares de Ensino Básico de Matemática do

Estado do Paraná, as relações interdisciplinares estabelecem-se quando:

• Os conceitos, teorias ou práticas de uma disciplina são chamadas à

discussão e auxiliam a compreensão de um recorte de conteúdo qualquer de

outra disciplina;

• Ao tratar do objeto de estudo de uma disciplina, buscam-se nos quadros

conceitos de outras disciplinas referenciais teóricos que possibilitem uma

abordagem mais abrangente desse objeto.

Segundo Japiassu (1976) a interdisciplinaridade também é um método que se

elabora para responder a uma série de demandas, tais como:

a) há uma demanda ligada ao desenvolvimento da ciência: a interdisciplinaridade

vem responder à necessidade de criar um fundamento ao surgimento de novas

disciplinas;

b) há uma demanda ligada ás reivindicações estudantis contra um saber

fragmentado, artificialmente cortado, pois a realidade é necessariamente global e

multidimensional: a interdisciplinaridade aparece como símbolo da “anticiência”,

retorno ao vivido e as dimensões sócio - histórico da ciência;

c) há uma demanda crescente por parte daqueles que sentem mais de perto a

necessidade de uma formação profissional: a interdisciplinaridade responde à

necessidade de formar profissionais que não sejam especialistas de uma só

especialidade;

d) há uma demanda social crescente fazendo com que as universidades proponham

novos temas de estudo que, por definição, não podem ser encerrados nos estreitos

compartimentos das disciplinas existentes.

(...) o papel específico da atividade interdisciplinar consiste, primordialmente, em lançar uma ponte para religar as fronteiras que haviam sido estabelecidas anteriormente entre as disciplinas com o objetivo preciso de assegurar a cada uma seu caráter propriamente positivo, segundo

modos particulares e com resultados específicos (JAPIASSU, 1976, p.75).

Segundo Lück (1994), o enfoque interdisciplinar, manifesta na educação,

dando uma contribuição para a reflexão e o encaminhamento de solução às

dificuldades relacionadas à pesquisa e ao ensino, a maneira que o conhecimento é

tratado em ambas às funções da educação.

2.3 Modalidade de interdisciplinaridade

Como pode constatar na seção anterior, as diferentes maneiras de interação

entre as disciplinas, entre as quais, destaca-se a interdisciplinaridade.

É oportuno lembrar que, o próprio conceito de interdisciplinaridade para

Fazenda (2011) apresenta a seguinte classificação:

a) Interdisciplinaridade heterogênea – Este tipo é dedicado á combinação de

programas diferentemente dosados, sendo necessário adquirir uma visão geral não

aprofundada, mas superficial (poderia dizer-se de caráter enciclopédico), dedicado a

pessoas que irão tomar decisões bastante heterogêneas e precisarão de muito bom-

senso. Ex.: Professores primários ou assistentes sociais.

b) Pseudointerdisciplinaridade – Para realizar a interdisciplinaridade, partem do

princípio de que uma interdisciplinaridade intrínseca poderia estabelecer-se entre as

disciplinas que recorrem aos mesmos instrumentos de análise. Ex.: Uso comum da

matemática.

c) Interdisciplinaridade Auxiliar – Utilização de método de outras disciplinas.

Admite um nível de integração ao menos teórico. Ex.: Pedagogia ao recorrer aos

testes psicológicos, não somente para fundar suas decisões em matéria de ensino

como também para colocar à prova as teorias de Educação, ou avaliar o interesse

de um programa de estudos.

d) Interdisciplinaridade Complementar – Certas disciplinas aparecem sob os

mesmos domínios materiais, juntam-se parcialmente, criando assim relações

complementares entre seus domínios de estudo. Ex.: Psicobiologia, Psicofisiologia.

e) Interdisciplinaridade Unificadora – Esse tipo de interdisciplinaridade advém de

uma coerência muito estreita dos domínios de estudo de duas disciplinas. Resulta

na integração tanto teórica quanto metodológica. Ex.: biologia + física = biofísica.

O que se pretende propor a interdisciplinaridade como atitude capaz de revolucionar os hábitos já estabelecidos, como forma de passar de um saber setorizado a um conhecimento integrado, e uma intersubjetividade, é, sobretudo frisar que a partir desse novo enfoque pedagógico, já não é mais possível admitir-se a dicotomia ensino – pesquisa, visto que nela, a pesquisa constitui a única forma possível de aprendizagem. (FAZENDA, 2011, p.80).

Fica mais fácil, entender o que significa interdisciplinaridade, quando leva em conta que, todo conhecimento, mantém um diálogo com outros conhecimentos. Nesse sentido, vale ressaltar, que algumas disciplinas, tem um diálogo mais próximo com outras, identificam-se e aproximam, enquanto outras se distanciam e diferenciam.

2.4 Modalidades de obstáculos

É importante ressaltar que, tratando–se de interdisciplinaridade, Japiassu

(1976) cita quatro modalidades de obstáculos.

a) Obstáculo Epistemológico – Cada disciplina, uma vez emancipada da filosofia,

subdivide-se em setores autônomos. Se cada ciência é uma língua bem feita, cada

língua assim criada encerra o conhecimento no espaço fechado de uma axiomática

sem comunicação com outras linguagens. Preso na armadilha da especialidade, o

especialista é aquele que, por não poder tomar um recuo em relação á sua

especialidade, permanece incapaz de defini-la.

b) Obstáculo Institucional – As instituições de ensino e de pesquisa constituem-se

no sulco da história do saber. Cada disciplina nova consagra, por via administrativa,

sua separação do saber em seu conjunto. A inspiração se fixa em estabelecimento.

Centrada em si, ela tende a cortar as comunicações com o resto do espaço mental

e faz um esforço para consolidar sua situação adquirida. A instituição leva a um

entesouramento, a uma espécie de capitalismo epistemológico, favorecendo a

esclerose do pensamento.

c) Obstáculos Psicossociológicos – A divisão do espaço intelectual em

compartimentos estanques cada vez mais restritos, a multiplicidade das instituições

que asseguram a gestão de cada parcela do saber, culminam na formação deste

sistema feudal que rege quase todos os empreendimentos de ensino e de pesquisa,

mormente nos “guetos” universitários. O especialista, na medida em que sua

especialidade se transforma cada vez mais em fortaleza, dá curso “a sua vontade de

poder e dominação”.

d) Obstáculo Cultural – A dissociação rígida das disciplinas também é agravada

pela separação entre as diversas áreas culturais e suas mentalidades particulares,

bem como entre as línguas e as tradições. Todos sabem que “a ciência” é um

fenômeno tipicamente ocidental. Sua invenção, no sentido próprio e atual do termo,

não remota além do século XVII. Ela se impôs no mundo graças à sua eficácia e às

suas inúmeras técnicas.

Nas ciências naturais, são mais evidentes as tendências para as sínteses

interdisciplinares, cada vez mais consideráveis.

A interdisciplinaridade, sem cessar invocada, levada a efeito nos domínios mais diversos, quer se trate de pesquisa, de ensino ou realizações de ordem técnica, não é uma questão evidente, que possa dispensar explicações e análises aprofundadas, mas um tema que merece ser levado em consideração e constituir um dos objetos essenciais da reflexão de todos quantos vêem na fragmentação das disciplinas científicas um esfacelamento dos horizontes do saber (JAPIASSU, 1976, p. 42).

Para poder avançar na teoria interdisciplinar, é necessário que desenvolva

leis objetivas, para exercer o fenômeno humano, é essencial que se tenha um

domínio razoável da teoria geral do conhecimento. Esse avanço exige domínio

seguro das outras especialidades e metodologias comuns a todo conhecimento.

2.5 A diferença entre as modalidades de ensino: o tradicional e o

interdisciplinar.

O ensino tradicional tem uma forma padronizada, onde valoriza o acúmulo de

conhecimento que devem ser escrito seguindo um método rigoroso de exposição e

avaliação.

Quanto ao ensino interdisciplinar, propõe uma atitude de abertura onde todo

o conhecimento é igualmente importante no envolvimento das disciplinas, ou seja,

substitui uma concepção fragmentada para uma concepção unitária do saber.

A tabela 1 é baseada no livro de Japiassu (1976) que tem por finalidade

mostrar as diferenças entre as modalidades de ensino tradicional e o interdisciplinar,

quanto ao ensino, sua transmissão, sua prática pedagógica, universidade, imposição

e favorecimento.

Tabela 1 - Diferenças entre modalidades de ensino.

Universidade

Tradicional

Interdisciplinar

Ensino Escolar abstrato Vivo e concreto

Visando a transmissão

De um saber e de um saber antigo

De um “saber – fazer” e de um saber renovado

Pela prática de uma pedagogia que privilegia

A repetição dos conteúdos

A descoberta e as estruturas

O ensino repousa sobre uma

Aceitação passiva de um corte acadêmico e definitivo do saber

Reflexão permanente de ordem epistemológica crítica

A universidade Instala-se num “esplêndido isolamento” e institui um saber que é a morte da vida

Supera o corte

Universidade e sociedade, saber e realidade

Ela impõe Um sistema puramente hierárquico e um “cursus honorum” esclerosante

Uma reestruturação segundo critérios funcionais do conjunto da instituição

Favorecendo O isolamento e a concorrência

A atividade e a pesquisa coletiva

Fonte: Japiaçu (1976, p. 162)

Percebe-se que o ensino interdisciplinar é vivo, concreto, proporciona um

“saber – fazer” renovado favorece uma atividade e pesquisa coletiva. Superando o

ensino tradicional que é abstrato, fragmentado e isolado. Dessa forma, é de se

esperar, que às pesquisas interdisciplinares destacam e chamam a atenção cada

vez mais, pois, elas visam responder as necessidades do homem e da sociedade.

2.6 As diferenças entre a interdisciplinaridade científica e a

escolar

Segundo Lenoir (2012), a interdisciplinaridade científica, frequentemente, tem-

se tentado fazer uma transferência direta dos trabalhos realizados no domínio

científico, uma transferência, entre outros, dos sistemas de classificação do tipo de

interdisciplinaridade e de seus atributos para o domínio da educação escolar. Logo,

a interdisciplinaridade escolar tem uma especificidade que impede tais

transferências, tanto simplista como mecânica.

A tabela 2 e baseada no capítulo de Lenoir (2012, p. 52) destaca as distinções

entre interdisciplinaridade científica e a escolar, quanto a finalidades e os objetivos,

modalidades de aplicação, sistema referencial e consequência.

Tabela 2 - Distinções entre interdisciplinaridade científica e escolar.

INTERDICIPLINARIDADE FINALIDADES

CIENTÍFICA

Tem por finalidade a produção de novos conhecimentos e a resposta às necessidades sociais:

-pelo estabelecimento de ligações entre as ramificações da ciência;

-pela hierarquização (organização das disciplinas científicas);

-pela estrutura epistemológica;

-pela compreensão de diferentes perspectivas disciplinares, restabelecendo as conexões sobre o plano comunicacional entre os discursos disciplinares. (Schülert e Frank 1994)

ESCOLAR

Tem por finalidade a difusão do conhecimento (favorecer a integração de aprendizagens e conhecimento) e a formação de atores sociais:

-colocando-se em prática as condições mais apropriadas para suscitar e sustentar o desenvolvimento dos processos integradores e a apropriação dos conhecimentos como produtos cognitivos com os alunos; isso requer uma organização dos conhecimentos escolares sobre os planos curriculares, didáticos e pedagógicos;

-pelo estabelecimento de ligações entre teoria e prática;

-pelo estabelecimento de ligações entre os trabalhos de um real de estudo.

OBJETIVOS

-Tem por objetivos as disciplinas científicas.

-Tem por objetivos as disciplinas escolares.

MODALIDADES DE APLICAÇÃO-Implica a noção de pesquisa:Tem o conhecimento como sistema de referência.

-Implica a noção de ensino, de formação: tem como sistema de referência o sujeito aprendiz e sua relação com o conhecimento.

SISTEMA REFERÊNCIAL-Retorno à disciplina na qualidade de ciência (saber sábio).

-Retorno à disciplina como matéria escolar (saber escolar), para um sistema referencial que não se restringe às ciências.

CONSEQUÊNCIA

- Conduz: À produção de novas disciplinas segundo diversos processos;Às realizações técnico-científicas.

- Conduz ao estabelecimento de ligações de complementaridade entre as matérias escolares

Fonte: Lenoir (2012, p.52)

Com base na tabela, pode-se considerar a existência das diferenças entre as

disciplinas científicas e as disciplinas escolares. Tratando-se da interdisciplinaridade

científica e escolar, diferenciam quanto as suas finalidades, seus objetivos, nas

modalidades de suas aplicações e também nas referencias.

2.7 Interdisciplinaridades: Matemática com outras áreas conhecimento

A Matemática é de suma importância no desenvolvimento de outras áreas do

conhecimento. Com a globalização, cada vez mais, necessita de pessoas dinâmica,

com facilidades de apreender e conhecer outras áreas. De acordo com os PCN

(1999) o ensino de Matemática pode contribuir para que os alunos desenvolvam

habilidades e competências relacionadas à representação, compreensão,

comunicação, investigação e, também à contextualização sociocultural mediante a

interdisciplinaridade.

(...) a finalidade da educação escolar na sociedade tecnológica, multimídia e globalizada é possibilitar que os alunos trabalhem os conhecimentos científicos e tecnológicos, desenvolvendo habilidades para operá-los, revê-los com sabedoria. O que implica analisá-los, confrontá-los e contextualizá-los (PIMENTA, 2012, p.168).

Vale ressaltar que, hoje as empresas, necessitam de profissionais dinâmicos,

independente de suas áreas de formação. Esses profissionais precisam ter o

domínio de ferramentas e teorias da matemática, a qual se faz presente na área

financeira, na física, na química, na linguagem computacional, etc..

Nota-se que praticamente todas as áreas do conhecimento necessitam-se, de

conhecimentos matemáticos seja nas aplicações simples relacionada com o

cotidiano, ou até um conhecimento matemático mais avançado. É importante

ressaltar, mesmo sendo de grande utilidade em outras áreas, ela tem apresentado

como empecilho na vida dos alunos, eles tem dificuldades de entender. Muitos

alunos estão demonstrando aversão pela Matemática, trazendo consequência para

a sua vida. É frequente encontrar pessoas com dificuldades em conhecimentos

básicos da matemática.

Os alunos terão um conhecimento mais amplo, na medida, que perceberem

que o conhecimento matemático, faz-se presente em todas as áreas do

conhecimento. A construção do conhecimento dar-se-á à medida que eles

conseguirem fazer ligações de forma concreta, da matemática com outras áreas.

Desta forma, o trabalho interdisciplinar, poderá ser muito útil, para contribuir

para um conhecimento significativo da Matemática com as outras áreas do

conhecimento. A interdisciplinaridade que não restringe a uma reunião de disciplinas

ou simples conexões entre as subáreas da matemática ou ainda, entre as áreas com

correlações.

Nossa concepção se aproxima da ideia de interdisciplinaridade como uma possibilidade partir da investigação de um objeto, conteúdo, tema de estudo ou projeto, promover atividades escolares que mobilizem aprendizagens vistas como relacionadas, entre as práticas sociais das quais, alunos e professores estão participando, incluindo as práticas disciplinares. Interdisciplinaridade se configura, portanto, pela participação dos alunos e professores nas práticas escolares no momento em que elas são desenvolvidas, e não pelo que foi proposto a priori. Dentro dessa concepção, pressupõe-se uma busca por novas informações e combinações que ampliam e transformam os conhecimentos anteriores de cada disciplina. (TOMAZ; DAVID, 2012, pág. 26 e 27).

Para que aconteça a interdisciplinaridade, precisa existir uma harmonia e uma

aceitação mútua, uma mudança de postura diante de um fato a ser conhecido.

Desse modo, o nível de interdisciplinaridade determina uma modificação.

2.8 Dimensão histórica da função

2.8.1 A evolução histórica do conceito de função

O estudo sobre função foi muito importante no desenvolvimento da

Matemática, em outras áreas do conhecimento principalmente nas ciências naturais

para resolver problemas da antiguidade e também os atuais.

O conceito de função teve a contribuição de muitos estudiosos, desde a

antiguidade até o século XX. Deixando notória a sua evolução ao longo do tempo.

O conteúdo de função simbolizou os primeiros sinais de modernização do

ensino de Matemática. No primeiro encontro de professores ocorrido em

1864, na atual Alemanha, já se discutia o caráter estático da Matemática

originando das engenharias e considerava-se que o Conteúdo de Funções

poderia inserir mais dinamicidade no ensino de Matemática. (DCEBM, 2008,

p.58).

A tabela 3 mostra os estudos de alguns autores que contribuíram no desenvolvimento da

Matemática, desde 2000 a.C até o século XX. Estudos que vieram aperfeiçoando ao longo do tempo,

que auxiliaram nos estudos de função para chegar nas definições que são utilizadas na atualidade.

Tabela 3 - Autores e suas contribuições para o estudo da Matemática.

Autor ContribuiçãoBabilônios (2000 a.C) Tabelas do tipo n3 + n2, n = 1, 2, ....30, além

de raízes quadradas, onde a definição de uma função assume a composição de uma tabela ou correspondência (n na coluna da esquerda e n3 + n2 na da direita). Usada na Astronomia.

Hiparco de Nicéia (190? – 126? a.C), astrônomo, ganhou o direito de ser chamado ”o pai da trigonometria”.

De Hiparco a Ptolomeu houve progressos na astronomia, geografia, óptica e mecânica, mas nenhum desenvolvimento significativo na matemática, além da trigonometria. Embora a existência de relações ou correspondência entre termos ou variáveis existissem em diversos estudos aplicados a astronomia, mas não tinha um entendimento formal ou preciso sobre o significado para a funcionalidade.

Heron de Alexandria viveu por volta do ano 100. Não se sabe ao certo onde e quando nasceu.Cláudio Ptolomeu, sobre sua origem pouco se sabe. Sabe-se que ele fez observações em Alexandria por volta de (127 – 151 d. C) e por isso supõe-se que nasceu no fim do primeiro século.Nicolau (Nicole) Oresme (1323? – 1382), matemático e físico; sábio parisiense que se tornou Bispo de Lisieux.

Utilizou segmentos de retas para representar tudo o que varia, tais como representação de velocidades ao longo do tempo, a partir de um diagrama por um segmento horizontal e um segmento perpendicular e são equivalente ao que chamamos de abscissa e ordenada.

Johannes Kepler (1571 – 1630), astrônomo, físico e matemático alemão. Tornou-se matemático do Imperador Rudolph.

Adotou a teoria heliocêntrica de Nicolau Copérnico; enunciou leis matemáticas que descrevia o movimento dos planetas. A 3ª Lei de Kepler descreve de forma quantitativa um fenômeno físico e expressa matematicamente a relação entre duas grandezas envolvida, trazendo em seu enunciado implicitamente o conceito de função.

René Descarte (1596 – 1650), nasceu na França e morreu em Stockholm na Suécia. Filósofo e matemático.

Seu trabalho, La géométrie, inclui aplicações de álgebra a geometria, da qual tem-se geometria analítica. O termo “coordenadas cartesianas” vem do seu nome.

Isaac Newton (25/12/1642 – 1727), físico, matemático e cientista inglês.

Desenvolveu as ideias relacionadas aos seus fluentes ou fluxos, aproximam-se de certa forma, ao conceito atual de funções,

relacionando variáveis e quantidade obtidas a partir de transformações e operações elementares da aritmética.Suas principais descobertas: o teorema binominal, o cálculo, a lei de gravitação e a natureza das cores.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 1716), nasceu e morreu na Alemanha. Estudou teologia, direito, filosofia e matemática. É considerado o último sábio a conseguir conhecimento universal.

Desenvolveu a notação atual de cálculo diferencial e integral. Ele inventou a máquina de calcular.

Jacob (Jacques) Bernoulli (1654 – 1705), nasceu e morreu na Suíça.

Foi o primeiro a utilizar o termo integral. Estudou a catenária, a curva de um fio suspenso e foi um dos primeiros a utilizarem coordenadas polares.

Johann (Jean) Bernoulli (1667 – 1748), nasceu e morreu na Suíça.

Estudou reflexão e refração da luz, trajetórias ortogonais de família de curvas e quadratura de áreas por séries.

Daniel Bernoulli (1700 – 1782), nasceu em Groningen e morreu na Suíça.A família Bernoulli destacou na matemática e na física.

Seu mais importante trabalho considerou as propriedades básicas da mecânica dos fluídos apresentando a relação fundamental conhecida atualmente como princípio de Bernoulli.

Leonhard Euler (1707 – 1783),nasceu na Suíça e morreu na Rússia. Estudou matemática, teologia, medicina, astronomia, física e línguas orientais.

Abriu os horizontes em geometria analítica moderna e trigonometria. Contribuiu efetivamente para o desenvolvimento da geometria, cálculo e teoria de números. Introduziu a notação y = f(x).

Jean Le Rond D’Alembert (1717 – 1783), estudou direito, medicina, ciência e matemática. Foi abandonado no degrau de uma igreja de Paris e criado pela mulher de um vidreiro; mais tarde quando se tornou célebre matemático desprezou a tentativa de aproximação de sua mãe verdadeira, preferiu ser conhecido como filho de seus humildes pais adotivos.

Desenvolveu e usou o cálculo de várias variáveis para lidar com o método para resolver equações diferenciais e movimento de corpos considerando a resistência do ar. De várias maneiras usou os trabalhos de Newton e L’Hospital para entender os conceitos de cálculo para várias varáveis.

Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1818), nasceu na Itália e morreu na França. Sobressaiu em todos os campos da análise, teoria de números e mecânica celestial e analítica.

Definiu função: chamamos função de uma ou várias quantidades toda expressão para cálculo na qual, estas quantidades entram de uma maneira qualquer, envolvidas ou não com outras quantidades que consideramos como sendo dadas e valores invariáveis, enquanto a quantidade da função podem assumir todos os valores possíveis...

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830), nasceu e morreu na França. Ficou órfão na infância estudou sob orientação da igreja.

Estudou a teoria matemática da condução de calor. Estabeleceu a equação diferencial e parcial que modela a difusão calor e a resolveu utilizando séries infinitas de funções trigonométricas.

Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), nasceu e morreu na Alemanha. Filho de pais humildes; foi uma criança prodígio.

As conquistas de Gauss em ciências e matemáticas foram assombrosas. Seu desenvolvimento de uma teoria de órbitas planetárias. Desenvolveu e provou o Teorema da Divergência enquanto trabalhava na teoria de gravitação.

Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857),nasceu em Paris, filho de pais instruídos, trabalhou como engenheiro.

Elaborou diversos trabalhos sobre funções e é considerado um dos pioneiros na elaboração do conceito e desenvolvimento das funções de variáveis complexas.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 – 1859), nasceu e morreu na Alemanha.

Ele propôs a definição moderna de função: Se uma variável y está relacionada a uma variável x, onde um valor numérico é associado é associado a x e existe uma regra para o qual um único valor de y é determinado, então y é dito ser uma função da variável independente x.

Karl Weierstrass (1815 – 1897), nascido na Alemanha. Apesar de seu início tardio, durante o último terço do século muitos o consideraram o maior analista do mundo.

Definiu função como uma série de potência juntamente com todas as que podem ser obtidas dela por prolongamento analítico.

Georg Friedrich Bernhard Reimann (1826 – 1866), nasceu na Alemanha e morreu na Itália. filho de um pastor de aldeia; foi educado em condições muito modestas.

As ideias de Reimann sobre a geometria do espaço teve um efeito importante no desenvolvimento da física moderna. Definindo a integral de Riemann. Tese do doutorado: teoria das funções de variáveis complexas.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 – 1918), nasceu na Rússia e morreu na alemanha. Concentrou seus estudos em: filosofia, física e matemática.

Desenvolveu a teoria dos conjuntos. Seus estudos influenciaram e muito nas bases da análise. Com a criação da teoria de conjuntos, função passou a ser definida em termos de pares ordenados de elementos, não necessariamente números.

Giuseppe Peano (1858 – 1932), matemático italiano.

Definiu três conceitos primitivo: que o zero, o conceito de número (inteiro não negativo) e a relação de ser sucessor de, os quais, junto com seus cinco postulados, forneceram uma construção rigorosa do conjunto dos números naturais.

Nicolas Bourbaki (século XX). Acredita-se que seria um grupo de matemáticos que resolveram ter em Nicolas Bourbaki um pseudônimo.

Em théorie dês Ensembles conceituou função de duas maneiras:“Sejam E e F dois conjuntos, distintos ou não. Uma relação entre uma variável x de E é uma variável y de F é dita uma relação funcional em y, ou relação funcional em E em F, se qualquer que seja x a E, existe um e somente um elemento y a F que esteja associados a x na relação considerada.Dá-se o nome de função à operação que desta forma associa a todo o elemento x a E o elemento y a F que se encontra ligado a x na relação dada; diz-se que y é o valor da função para o elemento x, e que a função está determinada pela relação funcional considerada. Duas relações funcionais equivalentes determinam a mesma função.” E: “Um certo subconjunto do produto cartesiano AxB”.

Fonte: Botelho, Boyer, Gerônimo e Franco, Guirado (notas de aula), Maffra, Sá e Silva.

O conceito de função teve sua evolução de forma lenta ao longo do tempo,

desde a antiguidade, até a idade comteporânea, para atender as necessidades da

Ciência e da Matemática. Nota-se que o conceito de função na sua evolução

história, passou por várias etapas: função como relação entre quantidades variáveis,

como expressão analítica, como relação entre conjuntos e como transformação.

A noção de função e seu conceito atual apresentou amplitudes e clarificações

conceituais que alteram, na linha do tempo, a sua concepção e seu

significado, naturalmente, como consequência dos estudos e da evolução

das ideias de matemáticos e estudiosos situados em distintos países. Os

estudos desenvolvidos foram importantes, ao longo da linha do tempo, e

ajudaram a desvendar vários aspectos obscuros e relacionados à análise

infinitesimal, tais como: a própria noção de infinitésimo, continuidade e

descontinuidade, a noção de limite, etc. (MAFRA, 2009, p. 21).

Gerônimo e Franco (2001) define função como sendo:

• Função é uma regra de correspondência, que associa a cada elemento x de

um certo conjunto, (chamado de domínio da função) um único elemento y em

outro conjunto (chamado de contra-domínio da função).

• Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Uma função de A em B, é uma tripla (f,

A, B), onde f é uma relação de A em B satisfazendo as seguintes condições:

a) Dom f = A.

b) Se xfy e xfz, então y = z.

2.8.2 Função polinomial do primeiro grau ou afim

2.8.2.1 Definições:

Definição de acordo com o Microdicionário de Matemática (MD): “Função do

primeiro grau é toda função representada por uma fórmula do tipo y = ax + b, em x e

y são, variáveis indicando números reais e a e b, são coeficientes reais, com a≠0. O

gráfico cartesiano desta função é uma reta”.

Definição de acordo com o Manual Compacto de Matemática: ”Chama-se

função do 1º grau a função f : R →R definida por y = ax + b, com a e b números

reais e a≠0”.

• a é o coeficiente da reta e determina sua inclinação.

• b é o coeficiente angular da reta e determina sua intersecção da reta com o

eixo OY.

Observações:

• O valor de a na função afim definida por y = ax + b é chamado de coeficiente

angular, representa a tangente trigonométrica do ângulo que a reta faz com o

eixo OX no sentido positivo. Note que se esse ângulo for agudo, no caso da

função crescente e obtuso, no caso da função decrescente.

• O valor de b na função afim definida por y = ax + b é chamado de coeficiente

linear e o par ordenado (0, b) é o ponto onde a função intercepta o eixo OY.

2.8.2.2 Domínio, contradomínio e conjunto imagem de uma função

Numa função de f : R →R.

a) Domínio: se uma função associa valores de x com valores de y, seu domínio é o

conjunto dos possíveis valores de x.

Denotação: D(f) = R.

b) Contradomínio: se uma função associa valores de x com valores de y, seu

contradomínio são os valores de y ∊ R.

Denotação: CD(f) = R.

c) Conjunto imagem: se os valores de y são função de x, o conjunto dos valores de

y=f(x) é chamado de imagem da função.

Denotação: Im ⊂ CD

Para facilitar a compreensão dos alunos usa-se f : A →B, assim temos:

D(f) = A.

CD(f) = B

Im(f) B⊂

2.8.2.3 Casos particulares de função afim

Para Gerônimo e Franco (2001), gráfico: “Seja f : R →R uma função. O

gráfico de f, denotado por Gr(f) é o subconjunto de AXB”.

Gr(f) = { (x,y) ∣ y = f(x) } ou Gr(f) = { (x,f(x)) ∣ x ∊ A }.

a) Função constante: a = 0, então y =b, b R. Desta forma, para qualquer valor de∊

x, o valor de y ou f(x) será sempre b.

O gráfico é uma reta paralela ao eixo da abscissa.

b) Função identidade:

• Se a = 1 e b = 0, então y = x. Nesta função x e y tem sempre os mesmos

valores.

Graficamente temos:

A reta y = x ou f(x) é denominada bissetriz dos quadrantes ímpares.

• Se a = - 1 e b = 0, temos então y = - x. Nesta função x e y te valores

opostos.

Graficamente temos:

A reta y = - x ou f(x) é denominada bissetriz dos quadrantes pares.

2.8.2.4 Função crescente ou decrescente

a) f(x) é crescente: se x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) ou

Se a é um número positivo (a>0).

b) f(x) é decrescente: s x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) ou

Se a é um número negativo (a<0).

2.8.2.5 Raiz ou zero da função polinomial do primeiro grau ou afim:

A raiz ou zero da função afim é o valor de x para o qual y = f(x) = 0. Graficamente é

o ponto em que a reta intercepta o eixo OX.

Para determinar a raiz ou zero da função, basta igualar a zero, isto é:

f(x) = 0

ax + b = 0

ax = - b

x = −ba

Este valor da variável independente é o zero da função afim. Isso quer dizer

que o par ordenado (−ba

, 0) pertence ao gráfico da função afim f(x) = ax + b. No

plano cartesiano, esse par ordenado representa o ponto no qual a reta intercepta o

eixo da abscissa.

2.9 Dimensão histórica do movimento

2.9.1 História do Movimento

O movimento é um fenômeno existente no dia a dia, presente no andar,

dançar, voar, subir, cair, etc. Desde a antiguidade, o homem teve interesse em

estudar esse fenômeno.

Demócrito (500? – 404? a.C) a visão de movimento era mecânica. Instituiu

noções de átomo e vazio. Para ele, os átomos se moviam ao acaso e nesse

movimento, colidiam-se, atraíam-se e também se repeliam.

Ramalho (1993) em seu livro relata Heráclito (510 – 450 a. C) “afirmou que o

movimento é um princípio básico do qual tudo o que vemos e sentimos é

decorrência”.

Aristóteles ( 384 – 322 a.C),já desenvolvia uma visão cosmológica. Para ele,

a matéria era composta de quatro elementos:Terra, Água, Fogo e Ar. Aristóteles

não usava a Matemática para descrever, os fenômenos naturais, entre eles, o

movimento.

Penteado (2005) em seu livro menciona a visão de mundo de Aristóteles:

”Cada coisa tinha seu lugar, onde deveria permanecer. Quando, por alguma

razão, algo se deslocava de sua posição natural, imediatamente tendia a

reassumí-la, animando-se de um movimento natural: uma pedra, por

exemplo, se elevada do chão, nele recairia, pois esse era o lugar”.

(PENTEADO; TORRES, 2005, p.35)

Aristarco (310 – 230 a.C) apresentou uma teoria sobre o movimento dos

corpos celestes. Com essa teoria, teve a ideia de que a Terra e os planetas giravam

em torno do Sol, a qual contradiz as ideias de Aristóteles, que os planetas, o Sol e a

Lua giravam em torno da Terra em órbitas circulares e a Terra não se movimentava.

Depois da morte de Aristarco, já depois de Cristo, as ideias de Aristóteles do

movimento celeste foram aperfeiçoadas pelo Ptolomeu (100 – 170). Para Ptolomeu,

os planetas, as estrelas continuavam movendo em volta da Terra.

Ramalho (1993) em seu livro menciona que Jean Buridan (1300 – 1360),

grande estudioso, colocou-se contra as teorias de Aristóteles. Suas ideias

espalharam-se pela Europa, permitindo que nos séculos seguintes Copérnico e

Galileu iniciassem a ciência moderna.

Nicolau Copérnico (1473 – 1543) desenvolveu sua teoria sobre movimento

celeste. Sistema heliocêntrico, onde os planetas giram em torno do Sol. Ele localizou

corretamente as posições relativas dos planetas conhecidos e determinou o período

de rotação em torno do Sol.

Galileu Galilei (1564 – 1642) mostrou como descrever o movimento de

objetos, seu modo de pensar, o uso que fez da matemática e a confiança

depositada nos resultados obtidos experimentalmente. Enquanto, Galileu descreveu

como os objetos se moviam. Newton, por outro lado, estudou por que os objetos se

moviam de uma determinada maneira.

Johannes Kepler (1571 – 1630), astrônomo alemão adotou a teoria

heliocêntrica de Nicolau Copérnico e anunciou leis matemáticas que descreviam o

movimento dos planetas.

Isaac Newton (1642 – 1727) aproveitando os estudos, feito por Galileu,

desenvolveu os principais estudos sobre movimento observado na Terra e pode

formular as leis fundamentais do movimento, onde a Primeira Lei de Newton ou Lei

da Inércia:

“Todo corpo continua no estado de repouso ou de movimento retilíneo

uniforme, a menos que seja obrigado a mudá-lo por forças a ele aplicada”.

Para Mafra (2009), “Galileu tentou aplicar a matemática às suas pesquisas

em astronomia, cinemática e resistência dos materiais. Pelo seu trabalho nestas

áreas, é frequentemente chamado o fundador da mecânica e física moderna”.

2.9.2 Mecânica: cinemática

Essa produção didática é destinada aos professores do Ensino Médio,

levando em consideração, que nem todos os professores da disciplina de

Matemática lecionam a Disciplina de Física, portanto, fazem-se algumas definições

necessárias antes de mencionar função horária do movimento.

Mecânica é a parte da Física que estuda os movimentos.

De acordo com o míni dicionário Aurélio (M.D.A.): “cinemática é a parte da

mecânica que estuda os movimentos, independentemente de suas causas e

natureza dos corpos”.

As definições a seguir são retiradas do livro: Manual Compacto de Física

Teoria e Prática:

Ponto material: um corpo é considerado ponto material quando suas

dimensões podem ser desprezadas para o estudo de seu movimento em uma

determinada situação.

Posição: a posição de um ponto material em um dado sistema é definida por

meio de coordenadas em relação a um referencial.

Referencial: chama-se de referencial qualquer corpo escolhido como

referência, em relação ao qual serão descritas as posições de outros corpos.

Movimento: um corpo está em movimento quando sua posição em relação

um referencial muda ao longo do tempo.

Repouso: quando a posição não muda, dizemos que o corpo está em

repouso.

Trajetória: conjunto de posições ocupadas por esse ponto ao longo do

tempo.

Espaço (S): é a medida algébrica que define a posição de um móvel.

Para medir o espaço, adota-se um sentido positivo para a trajetória e um

referencial, chamado origem do espaço (S = 0)

Variação do espaço (∆S)

A letra grega delta (∆) é usada para representar diferença, desta forma:

Intervalo de tempo: ∆t = t2 – t1

Variação de espaço: ∆S = S2 – S1

2.9.2.1 Velocidade média e velocidade instantânea

Matematicamente: velocidade média de um móvel é o quociente entre a

variação do espaço e o intervalo de tempo gasto.

Vm = ∆S/ ∆t

De acordo com (A.S.A.),o conceito de velocidade média “é a maior ou menor

rapidez com que um móvel percorre uma distância”.

A velocidade instantânea de um móvel(V) é a velocidade média medida em

um intervalo de tempo muito pequeno, tendendo a zero.

2.9.2.2 Movimento uniforme (M.U.)

Para Pelegrini (1997),”o movimento uniforme pode ser definido como aquele

em que o móvel tem velocidade instantânea constante e igual à velocidade média

para qualquer intervalo de tempo”. No UM, o móvel percorre distâncias iguais em

intervalos de tempos iguais. Se a trajetória for retilínea, o movimento é chamado

movimento retilíneo uniforme (MRU).

2.9.2.3 Função horária do movimento

Um móvel em movimento uniforme sobre sua própria trajetória, tem sua

distância alterada ao longo do tempo em relação a um referencial em repouso. A

equação matemática que relaciona a variação do espaço com o tempo é chamada

de função horária.

No instante t0 = 0 s, o espaço é S0 (espaço inicial); no instante t, o espaço é

s. Então, temos:

V= Vm = ∆S/ ∆t = S – S0 / t – t0

Se t0 = 0;

V= Vm = ∆S/ ∆t = S – S0 / t – t0 V = S – S⇒ 0 / t ⇒

S = = S0 + v.t

Tipo de movimento:

Movimento progressivo: quando v > 0.

Movimento retrógrado: quando v < 0.

2.9.2.4 O gráfico do espaço em função do tempo.

O gráfico do M.U. representa-se a variação do espaço em função do tempo é

uma reta inclinada devido ao fato da função horária S = = S0 + v.t ser do primeiro

grau em t.

Observação: Os gráficos serão mencionados, e trabalhados simultaneamente

com os gráficos referentes a função polinomial do primeiro grau.

Quando a reta é crescente V > 0.⇒

.

Quando a reta é decrescente V < 0.⇒

3 Atividades

Objetivos

• Para que os alunos possam perceber que numa situação real, o conteúdo de

função polinomial está envolvido. Além disso, explorar o conteúdo estudado

na Física: conversão de unidades;

• Que os alunos possam ver a importância de estudarem a e função polinomial

do 1º grau e sua aplicabilidade em outras áreas do conhecimento e

principalmente na física por meio do conteúdo MRU.

• Incentivar os alunos a fazerem atividade física, que faz bem à saúde.

Atividade 1

A professora Rosa Maria, há vinte anos, caminhava 5 km em 50 minutos. Hoje ela

caminha 6 km em 1h 10mim. Com bases nessa informação, responda:

a)Qual o conteúdo da disciplina da Física, dá para relacionar com o texto acima?

b) Calcule as velocidades médias nas duas situações ( fazendo aproximação). Qual

a velocidade é maior?

c) Calcule a média das velocidades e use esse resultado para resolver os itens: ( c )

e os seguintes. Considerando o portão do Parque do Ingá, da cidade de Maringá, S 0

= 0 m e supondo essa velocidade constante, qual a função horária do espaço?

d) Calcule o espaço para os instantes; 0 min, 20 min, 40 min, 60 min e 80 min.

Observação. Transforme minuto em segundo.

e) Usar os resultados do item ( d ) e represente esses valores no gráfico s = f( t ).

f) a professora pretende andar 9 km, qual o tempo gasto em horas, minutos e

segundos?

Atividade 2

A professora Rosa Maria e sua amiga foram caminhar no parque do Ingá. Rosa saiu

do portão do parque S0 = 0m com velocidade média de 1,53 m/s e sua amiga saiu do

marco 600 m com velocidade média de 0,73 m/s. Com essas informações:

a) Escreva as funções horárias;

b) Após quanto tempo, as duas amigas encontrar-se-ão?

c) O encontro ocorrerá em que marco?

d) Calcular o espaço para cada função nos instantes: 0 min, 10 min e 20 min;

e) Representar os valores encontrados no item (d) no mesmo gráfico.

Atividade 3

• Procedimento:

Formar uma equipe de três alunos: um aluno caminha, outro marca o tempo e o 3º

aluno anota os valores;

• Cada equipe deverá percorrer uma distância e anotar o tempo gasto;

• Fazer essa caminhada pelo menos duas vezes (a mesma pessoa); com

esses valores encontrados, calcular a velocidade média;

• Uma vez calculada a velocidade média e supondo que essa seja uniforme;

escrever a função horária do espaço do MRU: S = S0 + v.t (S.I.);

• Em seguida, cada equipe deverá fazer o estudo do MRU, supondo que o

aluno parte do espaço inicia ( S0 = o m ), fazendo o cálculo para tempo: 0 min,

20 min, 40 min, 60 min e 80 min e representar esses valores em tabela e no

gráfico.

Avaliação dessa atividade: acompanhar o desenvolvimento de cada equipe

para calcular e apresentar o resultado.

Atividade 4

As atividades 4 e 5 a seguir, foram retiradas e adaptadas do livro: Padrões

numéricos e funções de Maria C. Costa e Silva Carvalho.

Um carro de prova fez um teste em uma pista sem curvas, na qual foi colocado um

marco a cada 1200 metros. Um cronômetro registrou o instante da passagem do

carro em cada um dos marcos.

Com base nos dados obtidos, montamos a seguinte tabela:

a) Complete a tabela;

Tempo em

segundo (t)

0 40 80 120 160 200 240

Espaço em metro

(S)

0 1200 2400

b) Calcular a velocidade média;

c) A lei que define a função dada por essa tabela;

d) Representar os valores da tabela no gráfico do espaço.

Atividade 5

O objetivo desta atividade é mostrar o uso da função polinomial em outras

áreas do conhecimento, a definição de fisiologia e a importância de se fazer

atividade física para a saúde.

Fisiologistas fazem uso da função M(i) = 200 – i para descrever a relação entre a

frequência cardíaca máxima (M(i)), em batimentos por minuto, e a idade (i), em

batimento por minuto, e a idade (i) de uma pessoa, em anos, que está se

exercitando vigorosamente.

a) Qual a frequência cardíaca máxima que uma pessoa de 10, 20, 30, e 40 anos

pode atingir durante um exercício de ginástica aeróbica?

b) Representar os valores encontrados no gráfico;

c) Se a frequência cardíaca máxima de um homem na bicicleta ergométrica é de

150 batimentos por minuto, qual é a sua idade?

Atividade 6

O objetivo desta atividade é mostrar o uso da função em outras áreas do

conhecimento.

Essa atividade foi baseada, alterada do livro Matemática: contexto e

aplicações de Dante.

(UFRN) Modificada. A academia Fique em Forma cobra uma taxa de inscrição de

R$80,00 e uma mensalidade de R$50,00.

A academia Corpo e Saúde, cobra uma taxa de inscrição de R$60,00 e uma

mensalidade de R$55,00

a) Determine as expressões algébricas das funções que representam os gastos

acumulados em relação aos meses de aulas, em cada academia.

b) Construir o gráfico para cada academia, durante um ano.

c) Em que mês, as duas academias igualam o valor?

d)Qual academia oferece menor custo para uma pessoa que pretende malhar por 3

meses ou por um ano?

Atividade 7

O objetivo desta atividade é mostrar o uso da função polinomial em situação

do nosso dia a dia.

Uma empresa de táxi de uma cidade do estado do Paraná cobra R$4,00 pela

bandeira e R$2,40 por quilômetro rodado durante o dia.

a) Escreva a lei da função que expressa o preço a pagar y em função do

quilômetro rodado x.

b) Construir o gráfico da função, quando uma pessoa percorrer: 0 km, 5 km e 10

km.

c) Quantos quilômetros, o táxi percorreu se foram pago R$40,00 pelo serviço?

Atividade 8

O objetivo desta atividade é usar a ideia de função em outros conteúdos da

Matemática. Aplicar o conteúdo já estudado de perímetro e área.

O João e a Maria, pretendem fazer uma horta. Eles gostam muito de matemática,

então pensaram nas possibilidades de fazer essa horta. Ele quer fazê-lo de forma

retangular; ela quer uma horta quadrada, mas não chegaram num acordo, então

decidiram: ver quais das possibilidades, daria uma horta de área maior e perímetro

menor.

a) João: começando por: lado 1m e comprimento 2 m, em seguida calculou o

perímetro e a área; depois foi aumentando uma unidade de lado e uma unidade no

comprimento e seguiu assim com os demais.

Complete a tabela:

L(m) 1 2 3 4 5 6 7 .... 10 C(m) 2 3 4 5 6 7 8 .... 11 P(m) 6 10 A(m2) 2 6

Legenda: L(lado), C(comprimento), P(perímetro) e A(área)

b) Maria: começando por lado 1m e aumentando uma unidade, calcular perímetro e

área. Complete a tabela:

L(m) 1 2 3 4 5 6 7 ... 10 P(m) 4 8 A(m2) 1 4

c) Analisando as duas tabelas. A horta deverá ser feita de forma retangular ou

quadrada? Justifique a sua resposta.

d) Em relação à questão (a), analise a tabela e estabeleça a lei que representa a

função:

- comprimento em função do lado e fazer o gráfico;

- perímetro em função do comprimento e fazer o gráfico.

e) Em relação a questão(b), analise a tabela e estabeleça a lei que representa a

função:

- perímetro em função do lado e fazer o gráfico.

Atividade 9

O objetivo desta atividade é mostrar o uso da função polinomial em situação

do cotidiano, leitura e interpretação gráfica.

A figura abaixo ilustra o gráfico da função que associa o volume de gás consumido

pelos domicílios de um município ao valor pago por esse consumo. Com base

nessas informações, resolva os itens a seguir:

• Determine a função que associa o valor pago em relação o volume de gás

consumido.

• Determine o valor pago, em reais, por cada metro cúbico produzido.

Valor pago (R$)

49

14

0 2 7 Volume consumidor (m3) Fonte: Dr. Ricardo C. de Oliveira - UEM

Atividade 10

O objetivo desta atividade é mostrar o uso da função polinomial em situação

do cotidiano, leitura e interpretação gráfica.

Considere o gráfico abaixo:

a) O gráfico abaixo apresenta a quantidade média de CO2, em gramas, lançada na

atmosfera por automóveis modelos “luxo” e “mini”, em função da distância

percorrida, em km. Determine a lei que expressa a quantidade média Q de CO2, em

gramas, lançada na atmosfera por um carro modelo “mini” e “luxo”, em função da

distância d, em km

b) Considere a quantidade média de CO2 lançada na atmosfera por um carro “luxo”

ao percorrer 600km. Que distância, em km, deveria ser percorrida por um carro

“mini”, de modo que a mesma quantidade média de CO2 fosse lançada na

atmosfera?

Fonte: Dr. Ricardo C. de Oliveira - UEM

Expectativa

Espera-se com essas atividades, os alunos possam perceber a importância

da matemática em sua vida. Além disso, constatem que não é isolada e que está

presente em outras áreas do conhecimento.

4 Procedimento metodológico

Esse material didático-pedagógico destina-se a uma intervenção pedagógica,

de forma a permitir ao docente da disciplina de Matemática pensar livremente sobre

a metodologia proposta neste trabalho, bem como perceber e entender a

importância deste encaminhamento. Desta forma, considera-se um grande desafio,

desenvolver uma prática pedagógica aplicando o estudo da função polinomial do

primeiro grau no estudo do movimento retilíneo uniforme.

A metodologia utilizada para o desenvolvimento deste estudo proporcionará o

ensino significativo, interdisciplinar e contextualizado. Desta forma, procura-se

despertar o interesse do educando para a aprendizagem dos conceitos de

movimento retilíneo e retilíneo uniforme por meio das funções polinomiais, tendo

como objetivo um conhecimento autônomo e efetivo.

Antes de aplicar as atividades, será trabalhado o conteúdo de função

polinomial do primeiro grau, relacionando o movimento retilíneo uniforme e também

com outras áreas do conhecimento de forma interdisciplinar.

O papel do professor responsável pela implementação é de mediador e

facilitador na formação de um aluno que lê e interpreta ao mesmo tempo desenvolve

o conteúdo matemático presente nas atividades, as quais serão, e tem por objetivo

fazer com que os alunos adquiram maior afinidade com a matemática e possam ver

sua aplicabilidade no cotidiano, assim como estabelecer relações interdisciplinares

em outras áreas do conhecimento favorecendo a compreensão e a valorização do

conteúdo em estudo.

Para a realização dessas atividades, seguem os procedimentos, compondo o

roteiro:

• O professor apresenta o texto envolvendo a evolução histórica da função,

dando a importância no desenvolvimento da matemática, dando suporte para

outras áreas do conhecimento.

• Introduzir o conteúdo de função polinomial do primeiro grau com uma

atividade relacionada com o cotidiano do aluno;

• Trabalhar o conteúdo de função, sempre fazendo um paralelo com o

movimento retilíneo uniforme da física, para que os alunos percebam a

relação entre essas disciplinas;

• Resolver atividades rotineiras de funções com os alunos para que eles

adquiram habilidades em trabalhar com gráficos;

• Apresentação e discussão de conteúdo da física envolvido nas atividades;

• Mediar a resolução de atividades esquematizada;

• Atividade experimental em equipe, envolvendo função polinomial do primeiro

grau e movimento retilíneo uniforme;

• Atividades envolvendo função polinomial do primeiro grau e movimento

retilíneo uniforme e função com outras áreas do conhecimento.

Em cada atividade proposta, o professor acompanhará o desenvolvimento de

cada aluno e no final aplicará um teste para ser instrumento de avaliação, com o

qual o professor PDE possa verificar se ocorreu ou não a aprendizagem do

conteúdo matemático trabalhado.

5 REFERÊCIAS

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