Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

WILMA LICCE

MATERIAL DOURADO E SITUAÇÕES-PROBLEMA: MECANISMOS PARA O

ENSINO E A APRENDIZAGEM DOS PROCESSOS DA ADIÇÃO E DA

SUBTRAÇÃO

MARINGÁ

2013

WILMA LICCE

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

MATERIAL DOURADO E SITUAÇÕES-PROBLEMA: MECANISMOS PARA O

ENSINO E A APRENDIZAGEM DOS PROCESSOS DA ADIÇÃO E DA

SUBTRAÇÃO

Produção Didático-Pedagógica apresentada à Coordenação do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE – da Secretaria de Estado da Educação do Paraná, em convênio com a Universidade Estadual de Maringá, como requisito para o desenvolvimento das atividades propostas para o período de 2013/2014 sob a orientação da Professora Drª. Clara Matiko Ueda.

MARINGÁ 2013

1 FICHA DE IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

TÍTULO: MATERIAL DOURADO E SITUAÇÕES-PROBLEMA: MECANISMOS

PARA O ENSINO E A APRENDIZAGEM DOS PROCESSOS DA ADIÇÃO E DA

SUBTRAÇÃO

Autor Wilma Licce

Disciplina/Área Matemática

Escola de implementação Projeto e sua localização

Escola Estadual Cecília Meireles – EF

Rua Londrina, 989 Município da escola Santa Fé

Núcleo Regional de Educação Maringá

Professor Orientador Clara Matiko Ueda

Instituição de Ensino Superior UEM

Relação Interdisciplinar Nenhuma

Resumo

Com a presente Unidade Didática propõe-se atividades para trabalhar o ensino e a aprendizagem da adição e da subtração com os alunos da Sala de Apoio do 6º ano do Ensino Fundamental, que apresentam dificuldades nestas operações. Nos anos iniciais do Ensino Fundamental, a adição e a subtração são frequentemente apresentadas de forma tradicional, descontextualizada e abstrata, situação que compromete significativamente o aprendizado dos discentes. Na busca de superar a dificuldade apresentada por muitos alunos, almeja-se sugerir o Material Dourado, articulado a situações-problema enquanto mecanismos pedagógicos voltados à aprendizagem dos processos aditivo e subtrativo, assim como, o desenvolvimento do pensamento lógico-matemático e capacidades cognitivas superiores.

Palavras-chave

Material Dourado; Adição e Subtração;

Ensino-Aprendizagem.

Formato do Material Didático Unidade Didática

Público Alvo Alunos da Sala de Apoio do 6º ano do ensino fundamental

2 APRESENTAÇÃO

Nesta Unidade Didático Pedagógica procuramos evidenciar a eficiência do

material concreto e, mais especificamente, do Material Dourado, no ensino da

adição e subtração, a partir de situações-problema dirigidas aos alunos da Sala de

Apoio de Matemática do 6º ano. Aliado a isso, se busca socializar estratégias

didáticas bem sucedidas para o ensino da adição e subtração, destinadas aos

professores de matemática da escola, mediante a utilização do Material Dourado.

A escolha do tema foi influenciada pela constatação de que uma parcela

significativa dos alunos que adentram ao 6º ano não obtém êxito na matemática,

situação essa decorrente de diversos fatores entre os quais, a maneira tradicional

que estas operações são apresentadas, quase sempre através de aulas expositivas,

tendo como recursos apenas giz, quadro e parcos exemplos concretos.

Para dar conta de nosso intento, nos pautamos na teoria construtivista que

tem em Piaget (1896-1980) seu maior expoente. Recorremos também aos

ensinamentos de Montessori (1870-1952), que defende a liberdade da criança para

interagir e manipular o material concreto, enquanto parte essencial da aprendizagem

ativa.

O Material Dourado, portanto, representa possibilidade inquestionável para o

ensino de diversos conteúdos matemáticos, entre os quais, a adição e subtração,

que aliado a situações-problema constituem a base para a verdadeira alfabetização

matemática, prosseguimento nos estudos e desenvolvimentos das capacidades

cognitivas superiores.

2.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

É comum no ambiente escolar ouvir estudantes afirmarem que não gostam da

matemática. Também não é segredo que uma porcentagem significativa do

desempenho insuficiente, evasão e repetência escolar associam-se diretamente a

esta disciplina que se tornou o grande “nó” da educação escolarizada. Por outro

lado, os conteúdos matemáticos continuam sendo ensinados, com raras exceções,

de forma mecânica, dissociados de conceitos e significados. A função inerente da

instituição escolar consiste em transmitir os conhecimentos científicos acumulados

no decorrer da história da humanidade. Preceito este que envolve todas as

disciplinas, inclusive a matemática. Ainda no tocante ao compromisso da escola com

o desenvolvimento do sujeito, são sábias as considerações de Libâneo:

Devemos inferir, portanto, que a educação de qualidade é aquela mediante a qual a escola promove para todos o domínio dos conhecimentos e o desenvolvimento de capacidades cognitivas e afetivas indispensáveis ao atendimento de necessidades individuais e sociais dos alunos (LIBÂNEO, 2005, p. 117).

Ao direcionar os apontamentos de Libâneo para a esfera de atuação da

escola pública, percebe-se que esta instituição tem um compromisso com a

veiculação dos conhecimentos para todos seus usuários e desconsiderar tal fato, ou

fazer de qualquer jeito, significa negar ao alunado a oportunidade de apropriar-se do

saber sistematizado, pois isso os impede de desenvolver plenamente suas

capacidades afetivas e cognitivas superiores, que são requisitos para o crescimento

pessoal, cultural e humano. Nesse sentido, são oportunas as colocações de

Rodrigues, ao afirmar que:

A função precípua da escola é criar condições para que o aluno, por meio da assimilação do conhecimento sistematizado, disponha de instrumental necessário para o exercício pleno da cidadania e o alcance da auto-realização humana. Assim, desconsiderar o papel do currículo escolar constitui desrespeito a esse direito (RODRIGUES, 1985, p. 103).

O referido autor chama a atenção para o fato de que a escola tem um

compromisso com o conhecimento acumulado ao longo das gerações e

secundarizar este papel consiste em negar talvez a única oportunidade para seu

alunado desenvolver-se plenamente, no sentido de ter condições para usufruir o

direito ao exercício consciente da cidadania.

Diante do exposto, enfatizamos que para democratizar o acesso ao

conhecimento é necessário em primeira instância que todos os alunos, sem

exceção, tenham a oportunidade de aprender os conteúdos ensinados das diversas

disciplinas, inclusive, da matemática, que são condições inegáveis para o

desenvolvimento humano nos aspectos social, cultural, cognitivo, afetivo e humano.

Para dar conta da problemática enfatizada neste projeto, que consiste em buscar

estratégias pedagógicas para promover um ensino mais eficaz da adição e da

subtração, recorre-se aos pressupostos da teoria construtivista que tem Piaget como

um de seus grandes expoentes. Em linhas bem gerais, o construtivismo propõe que

o desenvolvimento da inteligência provém das ações mútuas do indivíduo com o

meio. E, neste sentido, é oportuno destacar que:

O Construtivismo, fiel ao princípio interacionista, procura demonstrar, ao contrário das demais tendências, o papel central do sujeito na produção do saber. O Construtivismo tem como pressuposto fundamental que o indivíduo é o centro do seu próprio percurso em direção ao conhecimento (ROSA, 1998, p. 47).

De acordo com os fundamentos da teoria construtivista, o desenvolvimento

cognitivo consiste num processo contínuo resultante da interação mútua do sujeito

com o objeto do conhecimento. Piaget recorreu aos pressupostos da teoria

construtivista para explicar a construção do conhecimento e do desenvolvimento

humano. Rejeitou a visão inatista, segundo a qual o conhecimento é inerente, ou

melhor, inato ao sujeito, tampouco, acreditava na vertente empirista, que propõe que

o conhecimento provém de experiências. Para ele, o conhecimento resulta da

interação ativa do sujeito com o meio ou, mais especificamente, com o objeto do

conhecimento.

Piaget, em sua teoria psicogenética, buscou estudar a origem do pensamento

humano e mostra que a criança não nasce inteligente, mas que no decorrer de sua

existência passa por etapas de desenvolvimento e que o conhecimento acontece por

meio da acomodação e da assimilação, que embora sejam distintas, são processos

complementares.

Ainda de acordo com essa teoria, o desenvolvimento do sujeito passa por

diversos estágios, os quais se caracterizam pelas diferentes formas de organização

das estruturas cognitivas. As estruturas são responsáveis diretamente pela forma do

sujeito entender, agir e interagir com o meio ambiente ou, mais especificamente,

com o objeto do conhecimento.

Piaget apresenta quatro estágios do desenvolvimento humano, a seguir

explicitados.

Estágio Sensório-motor: esse estágio se estende desde o nascimento até os

dois anos, período em que a criança opera mediante a percepção e ação, que

implica no movimento do próprio corpo. Nesta etapa, a criança também está

incorporando a linguagem, mas não consegue operar mentalmente o objeto e as

ações.

Estágio Pré-operatório: compreende o período dos dois aos sete anos de

idade e a maior conquista deste período consiste no desenvolvimento da linguagem

simbólica e do pensamento pré-lógico; no entanto, o conhecimento da criança

referente à realidade é um tanto desiquilibrado.

Estágio Operatório Concreto: compreende o período dos sete aos onze anos

de idade, etapa em que a criança é capaz de aceitar o ponto de vista do outro,

considerando mais de uma possibilidade, integrando-as de modo lógico e coerente;

é capaz de lidar com transformações e situações estáticas; têm desenvolvidas as

capacidades de classificação, agrupamento e reversibilidade em situações

concretas; inicia a realização das operações mentais, independentes de ações

físicas, mas isso apenas, em relação a objetos ou situações passíveis de serem

manipuladas ou imaginadas de forma concreta; desenvolve os conceitos de

números, relações e processos, estando aptas a operar mentalmente, mas sempre

em relação a objetos ou situações reais, nunca em nível unicamente abstrato.

Estágio Operatório Formal: se estende a partir dos doze anos, fase em que o

indivíduo tem condições de pensar em conceitos de forma abstrata, ou seja, na

esfera do pensamento. Também consegue operar sobre hipóteses, a partir da lógica

formal, construindo seu próprio pensamento.

Ao discutir a ação da criança sobre o objeto do conhecimento, Piaget

menciona que:

Conhecer o objeto é agir sobre ele e transformá-lo, aprendendo os mecanismos dessa transformação vinculada com as ações transformadoras. Conhecer é, pois, assimilar o real às estruturas de transformação, e são as estruturas elaboradas pela inteligência enquanto prolongamento direto da ação (PIAGET, 1976, p.37).

Ao transpor as afirmações de Piaget para o universo da matemática,

compreende-se que toda e qualquer criança pode aprender os conteúdos desta

ciência, desde que seja motivada a interagir, criar e expor seus pensamentos e

conclusões a partir da manipulação com o objeto do conhecimento. Nesse sentido,

cabe ao professor fazer da sala de aula um ambiente propício à manipulação,

construção de hipóteses, favorável à aprendizagem e elaboração de conceitos.

Em conformidade com a teoria piagetiana, percebe-se que a criança do 6º

ano do Ensino Fundamental (aproximadamente 10/11 anos de idade) encontra-se

em condições de operar com as questões e conceitos matemáticos, mas sempre

partindo de situações palpáveis ou pensadas de maneira concreta. O aprendizado

da adição e da subtração, em consonância com esses postulados e de tantos outros

estudiosos renomados, será mais atraente e eficaz se for introduzido com o uso do

material manipulável.

Para Montessori, o material manipulável não necessita ser sofisticado, mas

deve propiciar à criança a liberdade de manipulá-lo, uma vez que atribui à operação

sensorial o cerne do aprendizado. Nessa vertente, a própria autora acrescenta:

Quando a criança se encontra ante o material, empenha-se num trabalho concentrado, sério, que parece extraído do melhor de sua consciência. Dir-se-ia na verdade que as crianças se colocam em condições de atingir a mais elevada conquista de que seu espírito é capaz (MONTESSORI, 1965, p. 170).

Essa autora enfatiza que o material concreto, quando eficaz, provoca a

concentração da criança e, ainda, possibilita novas conquistas e aprendizagens.

Portanto, o concreto sensibiliza a atividade intensa das capacidades cognitivas

superiores da criança, no sentido de impulsionar seu desenvolvimento.

Para tornar o aprendizado dos processos aditivo e subtrativo mais dinâmico e

eficaz, propõe-se um trabalho baseado em situações-problema com o uso do

Material Dourado.

2.1.1 Material Dourado

O Material Dourado é uma das diversas invenções da médica e educadora

Italiana, Maria Montessori (1870-1952) que se dedicou à área da educação, ao

perceber as fragilidades e insuficiência do ensino meramente abstrato e conceitual.

Essa educadora criou o método Montessoriano de Alfabetização, que na essência é

ativo e pauta-se em atividades motoras e sensoriais. Os jogos e materiais

pedagógicos por ela idealizados são, ainda hoje, vastamente utilizados, dentre os

quais se destaca o Material Dourado.

O nome Material Dourado vem do original “material de contas douradas”.

Hoje, esse material é geralmente confeccionado em madeira, tendo como base o

Sistema de Numeração Decimal (SND). Este material é constituído por cubinhos,

barras, placas e cubo, conforme foto a seguir:

Figura 1- Material Dourado (fonte própria)

Nesse material, cada cubinho representa 1 unidade; cada barra, formada por 10

cubinhos, representa 1 dezena, ou 10 unidades; cada placa, constituída por 10

barras, representa 1 centena, ou 10 dezenas, ou, ainda, 100 unidades; o cubo,

formado por 10 placas, representa um milhar, ou 10 centenas, ou 100 dezenas, ou,

ainda, 1000 unidades.

Figura 2 - Componentes do Material Dourado (fonte própria)

O Material Dourado é um excelente recurso didático, pois facilita a

compreensão do Sistema de Numeração Decimal e dos métodos para efetuar as

operações fundamentais, ou seja, os algoritmos das operações. Dessa forma,

estabelece a relação entre o concreto e o abstrato para a construção de conceitos

matemáticos, favorecendo o ensino e a aprendizagem.

3 MATERIAL DIDÁTICO

A produção didático-pedagógica a ser desenvolvida durante as aulas de

Matemática no Ensino Fundamental da Escola Cecília Meireles, na cidade de Santa

Fé–PR, trata- se de uma Unidade Didática destinada a alunos da Sala de Apoio do

6º ano do Ensino Fundamental e tem por objetivo sugerir práticas pedagógicas com

a utilização do Material Dourado para que esses alunos aprendam a adição e a

subtração, com o intuito de promover a aprendizagem e o desenvolvimento

acadêmico.

Dessa forma, algumas atividades serão enfatizadas:

pesquisa e análise dos pressupostos da teoria construtivista, especialmente

as contribuições de Piaget e Montessori para a aprendizagem e o

desenvolvimento humano;

estudo das etapas do desenvolvimento humano na visão piagetiana,

particularmente o período denominado Operatório Concreto;

investigação sobre o impacto do material manipulável na aprendizagem dos

processos aditivo e subtrativo;

estudo sobre o Material Dourado e a busca de estratégias didáticas para

utilizá-lo no ensino da adição e da subtração;

utilização do Material Dourado para apresentar e explorar os processos

aditivos e subtrativos ;

socialização, com os professores de Matemática da Educação Básica, das

práticas pedagógicas propostas nesta unidade didática.

Para atingir tais objetivos, a Unidade Didática será implementada no 1º

semestre do ano letivo de 2014, totalizando 32 horas-aula. O planejamento das

aulas é flexível, podendo ser alterado e modificado de acordo com as dificuldades,

necessidades e domínio da turma. As atividades serão desenvolvidas em etapas

como segue:

1ª Etapa: APRESENTAÇÃO

Objetivos: apresentar o Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola para a

direção, professores, equipe pedagógica e alunos.

Carga horária: 1 hora-aula.

Recursos utilizados: cartaz, data show.

Procedimentos avaliativos: debate oral verificando a importância, a pertinência, a

aceitação do projeto e as sugestões sobre o mesmo.

Procedimentos metodológicos: explicação oral dos objetivos e dos passos do

desenvolvimento do Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola.

2ª Etapa: ATIVIDADES

Atividade 1: APRESENTANDO E EXPLORANDO AS RELAÇÕES EXISTENTES

NO MATERIAL DOURADO

Objetivos: explorar o Material Dourado de forma lúdica e perceber as relações entre

suas peças.

Carga horária: 2 horas-aula.

Recursos utilizados: Material Dourado.

Procedimentos avaliativos: participação e envolvimento nas atividades,

interpretação dos resultados.

Procedimentos metodológicos: nesta atividade, o professor oferecerá o Material

Dourado aos alunos. O primeiro contato com o material deve ocorrer de forma

lúdica, manipulando as peças do material livremente, conhecendo-as, relacionando-

as e dando nomes para elas (cubinho, barra, placa e cubo). Depois de um tempo, o

professor poderá perguntar se eles descobriram algumas relações entre as peças do

material, tais como:

Barra é formada por 10 cubinhos;

Placa, constituída por 100 cubinhos ou por 10 barras;

Cubo, formado 1000 cubinhos ou por 100 barras ou por 10 placas.

Se algumas dessas relações não forem observadas pelos alunos, o professor

poderá explorar essas relações, a partir de questionamentos sobre sua estrutura,

incentivando-os com perguntas, tais como:

a) Quantos cubinhos são necessários para formar uma barra?

b) Com quantas barras se forma uma placa?

c) Quantas placas são necessárias para se formar um cubo?

d) Com sete cubinhos é possível formar uma barra? Por quê?

e) Com treze cubinhos é possível formar uma barra? Por quê? Haverá sobras de

cubinhos ou não? Quantos cubinhos sobrarão? Quantos cubinhos faltarão

para que você possa formar mais uma barra? Por quê?

f) Se juntarmos quatro cubinhos e seis cubinhos é possível formar 1 barra? Por

quê? Haverá sobras de cubinhos ou não? Quantos cubinhos sobrarão?

Quantos cubinhos faltarão para que você possa formar mais uma barra? Por

quê?

g) Se juntarmos seis cubinhos e nove cubinhos é possível formar 1 barra? Por

quê? Haverá sobras de cubinhos ou não? Quantos cubinhos sobrarão?

Quantos cubinhos faltarão para que você possa formar mais uma barra? Por

quê?

h) Quantos grupos de 10 há em 85 cubinhos? Por quê? É possível formar

barras? Quantas barras? É possível formar placas? Por quê?

i) Quantos grupos de 100 há em 348 cubinhos? Por quê? É possível formar

placas? Quantas placas? É possível formar barras? Quantas barras?

Após essas perguntas, os alunos responderão individualmente as questões a

seguir.

1 - Observando o Material Dourado e considerando que o cubinho representa uma

unidade, responda:

a) quantos cubinhos constituem uma barra?

b) quantos cubinhos constituem uma placa?

c) quantos cubinhos constituem um cubo?

d) quantas barras constituem uma placa?

e) quantas barras constituem um cubo?

f) quantas placas constituem um cubo?

Atividade 2: REPRESENTANDO E REGISTRANDO AS QUANTIDADES

Objetivos: representar e registrar os números.

Carga horária: 2 horas-aula.

Recursos utilizados: Material Dourado.

Procedimentos avaliativos: participação e envolvimento nas atividades,

interpretação dos resultados.

Procedimentos metodológicos: o professor pede para os alunos representarem e

registrarem as quantidades utilizando a menor quantidade possível de peças do

Material Dourado, como por exemplo: dezessete, vinte e cinco, trezentos e sete,

quatrocentos e trinta e seis, um mil e cinquenta e dois e um mil e duzentos e

setenta.

Observação: Após as representações, o professor pergunta aos alunos se as

mesmas quantidades poderão ser registradas de outra forma, devendo explicitá-las,

caso a resposta seja afirmativa.

Para a representação escrita, utilizando o Material Dourado, substituem-se as

ordens pelos desenhos das peças. Por exemplo, para representar graficamente 17 e

25, o procedimento é o que segue:

1 7 10 + 7

2 5 20 + 5

Solicitar aos alunos que resolvam os seguintes exercícios:

1) Enumere a 2ª coluna de acordo com a 1ª.

( A ) 1 unidade ( )

( B ) 10 unidades ( )

( C ) 100 unidades ( )

( D ) 1000 unidades ( )

2) Escreva o número correspondente à quantidade mostrada pelas peças do

Material Dourado.

a) = -----------

b) = ------------

c) = ------------

d) = ------------

e) = ------------

f) = ------------

Observação: Note que a disposição das peças não obedece à hierarquia, uma vez

que no Material Dourado as peças apresentam o seu valor independentemente da

posição em que ocupam.

3) Represente os números abaixo, utilizando o Material Dourado.

a) 35 = --------------------

b) 105 = ------------------

c) 74 = -------------------

d) 1 009 = -----------------

Observação: O professor poderá estabelecer os nomes das ordens, no momento

em que achar conveniente. Poderá associar cada cubinho do Material Dourado a

uma unidade; cada barra a uma dezena; cada placa a uma centena e o cubo maior à

unidade de milhar.

4) Observando o Material Dourado, complete com valores numéricos.

a) Uma barra é composta de ___________ unidade(s).

b) Uma barra é composta de ___________ dezena(s).

c) Uma placa é composta de ___________ unidade(s).

d) Uma placa é composta de ___________ dezena(s).

e) Uma placa é composta de ___________ centena(s).

f) Um cubo é composto de _____________unidade(s).

g) Um cubo é composto de ____________ dezena(s).

h) Um cubo é composto de ____________ centena(s).

i) Um cubo é composto de _____________ unidade(s) de milhar.

Atividade 3: AGRUPAMENTOS E TROCAS NA BASE 10

Objetivos: compreender o Sistema de Numeração Decimal (SND) e utilizar o valor

posicional dos algarismos para representar a ação de agrupar e trocar.

Carga horária: 4 horas-aula.

Recursos utilizados: Material Dourado, caderno para anotações e quadro valor de

lugar (QVL).

Procedimentos avaliativos: participação e desenvolvimento nas atividades em

grupos.

Procedimentos metodológicos: essa atividade será realizada em grupos,

compostos de 4 alunos, onde cada grupo receberá as peças do Material Dourado e

deverá fazer com elas todas as trocas de peças que forem possíveis, para ficar com

a menor quantidade de peças. Os alunos devem registrar no seu caderno, usando o

QVL e fazer a leitura do número obtido, com, por exemplo:

a) 11 cubinhos.

b) 33 cubinhos.

c) 31 cubinhos e 2 barras.

d) 1 placa, 9 barras e 40 cubinhos.

A seguir, propor exercícios como segue:

a) Represente 2 barras e 9 cubinhos no QVL. Se acrescentarmos mais 1

cubinho, qual o número representado no QVL?

UM C D U

0

0

0

0

2

3

9

0

b) Represente 2 barras e 1 cubinho no QVL. Se retirarmos 1 cubinho, qual o número

representado no QVL?

UM C D U

0

0

0

0

2

2

1

0

Em seguida, o professor pede para os alunos que retirem mais 1 cubinho. É

provável que os alunos apresentem certa dificuldade na realização dessa tarefa,

uma vez que, visualmente, não há cubinhos na posição das unidades. Nesse caso, o

professor deve instigá-los até que percebam que é possível trocar 1 barra por 10

cubinhos, o que resolve o problema.

UM C D U

0

0

0

0

2

1

0

9

Outras situações semelhantes poderão ser solicitadas aos alunos, de acordo

com as necessidades observadas pelo professor, tais como:

O que acontecerá se precisarmos retirar 1 cubinho quando tivermos, por

exemplo:

a) 3 placas e 5 barras

b) 1 placa

c) um cubo

+ 1

- 1

- 1

É importante fazer o registro de cada operação, pois todas essas ideias serão

usadas no algoritmo das operações (adição e subtração). Também é necessário

oferecer um tempo maior na familiarização com o SND antes de iniciar o estudo dos

algoritmos das operações fundamentais com os números naturais.

3ª Etapa: JOGOS

O jogo é um recurso divertido e atraente de ensinar e aprender Matemática.

É uma ótima estratégia para introduzir os conceitos matemáticos, possibilitando de

forma lúdica uma ação concreta, visando envolver o aluno nas atividades em grupo,

dando ênfase àquilo que pode ser visto e manipulado na busca de uma melhor

qualidade na aprendizagem. Além de prazeroso, divertido e desafiante, se bem

aplicado, pode contribuir para uma melhor compreensão e autonomia do aluno

frente à resolução de problemas matemáticos.

JOGO DO NUNCA DEZ COM MATERIAL DOURADO

Objetivos: possibilitar a compreensão do SND, organizar agrupamentos de 10 em

10 e construir o pensamento lógico-matemático.

Carga horária: 2 horas-aula.

Participantes: 4 alunos por equipe.

Recursos utilizados: Material Dourado, 3 dados convencionais, caderno para

anotações, lápis e borracha.

Procedimentos avaliativos: participação e desenvolvimento nas atividades em

grupos.

Procedimentos metodológicos: antes de iniciar o jogo, o professor define o

número de rodadas.

O grupo decide quem inicia o jogo e a ordem de jogada de cada jogador.

Cada aluno, na sua vez, lança os dados e retira a quantidade de cubinhos

conforme a registrada na face superior do dado.

Quando o jogador conseguir dez cubinhos, deve trocá-los por uma barra;

quando conseguir dez barras, deve trocá-las por uma placa.

Quando um jogador estiver fazendo trocas, os outros devem esperar para

jogar.

Será vencedor o primeiro jogador que conseguir dez placas ou o número de

placas previamente estabelecido.

Variações: pode-se combinar que o vencedor é aquele que obtiver o maior

número de barras e cubinhos ou aquele que chegar a construir a centena.

É importante fazer o registro de cada operação, pois todas essas ideias serão

usadas no algoritmo das operações.

4ª Etapa: JOGOS VIRTUAIS NO PROCESSO ENSINO-APRENDIZAGEM

As tecnologias disponíveis poderão ser usadas durante o ensino e a

aprendizagem da Matemática. O uso do Laboratório de Informática da escola

oferece aos alunos uma boa opção de aulas menos expositivas, mais interativas e

investigativas, onde o educando torna-se um agente ativo, podendo verificar e

aprofundar a construção do conhecimento. A seguir, indicamos alguns acessos

virtuais onde essa aprendizagem dinâmica e interativa poderá ocorrer:

1- JOGO VIRTUAL : NUNCA 10

Fonte:

http://www.educacaodinamica.com.br/ed/views/game_educativo.php?id=1&jogo=Nu

nca10, acesso em 11 de setembro de 2013.

Objetivos: auxiliar a compreensão do SND e a ideia do valor posicional.

Carga horária: 2 horas-aula.

Recursos utilizados: Laboratório de Informática da escola.

Procedimentos avaliativos: participação e desempenho nas atividades em grupo.

Procedimentos metodológicos: os educandos serão encaminhados ao Laboratório

de Informática da escola, sentarão em duplas ou individualmente e receberão, por

escrito, as seguintes instruções: 1) acessar o endereço:

http://www.educacaodinamica.com.br/ed/views/game_educativo.php?id=1&jogo=Nu

nca10, 2) iniciar pelo nível Fácil e prosseguir gradativamente pelos demais níveis; 3)

clicar em iniciar.

Escolhe-se um número de um a seis e faz-se a adição desse número com o

número zero. O próximo passo é arrastar as peças do Material Dourado

correspondentes ao resultado obtido. Escolhe-se novamente outro número de um a

seis e faz-se a adição desse número com o resultado da última adição e arrasta-se o

total de cubinhos obtidos. Quando atingir mais de dez cubinhos faz-se as trocas. O

aluno nunca pode usar dez peças iguais, por isso deve trocar dez cubinhos por uma

barra (dez unidades por uma dezena), dez barras por uma placa (dez dezenas por

uma centena), e, assim por diante.

Será vencedor o primeiro jogador que concluir o jogo. A atenção e a

concentração nas jogadas serão primordiais para se ganhar o jogo.

2- MATERIAL DOURADO VIRTUAL

Fonte:

http://www.educacaodinamica.com.br/ed/views/game_educativo.php?id=13&jogo=M

aterial%20Dourado%20Virtual , acesso em 22 de setembro de 2013.

Objetivos: compor e decompor números com Material Dourado.

Carga horária: 2 horas-aula.

Recursos utilizados: Laboratório de Informática da escola.

Procedimentos avaliativos: participação e desempenho nas atividades em grupos.

Procedimentos metodológicos: os educandos serão encaminhados ao Laboratório

de Informática da escola, sentarão em duplas ou individualmente e receberão, por

escrito, o endereço:

http://www.educacaodinamica.com.br/ed/views/game_educativo.php?id=13&jogo=M

aterial%20Dourado%20Virtual.

Ao iniciar o jogo, o professor pede para que o aluno veja o número que o

computador solicita no canto superior direito da tela, e, então, arraste as centenas,

dezenas e unidades para o retângulo da direita para formar o número pedido e

passar para próxima fase. Ao todo há vinte e uma fases. Será vencedor o jogador

que concluir o jogo primeiro. A atenção e a concentração nas jogadas serão

primordiais para se ganhar o jogo.

3 - JOGO - BLOCOS ESPACIAIS

Fonte: http://www.escolagames.com.br/jogos/blocosEspaciais/, acesso em 22 de

setembro de 2013.

Objetivos: rever as dezenas e unidades.

Carga horária: 2 horas-aula.

Recursos utilizados: Laboratório de Informática da escola.

Procedimentos avaliativos: participação e desempenho nas atividades em grupo.

Procedimentos metodológicos: os educandos serão encaminhados ao Laboratório

de Informática da escola, sentarão em duplas ou individualmente e receberão, por

escrito, o endereço: http://www.escolagames.com.br/jogos/blocosEspaciais/.

Ao iniciar o jogo, os jogadores terão que acertar os testes, para obter as

vidas, que serão três chances para pilotar a nave e pegar os blocos espalhados

no espaço usando o laser da nave para eliminar os obstáculos que estão no

caminho. O jogador tem que passar em todas as barreiras para completar sua

missão. Ganha o jogo quem capturar mais blocos de dezenas e unidades.

5ª Etapa: OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS

Objetivos: associar a adição de números naturais às ideias de “juntar” e

“acrescentar”; associar a subtração às ideias de “tirar”, “comparar” e “completar” e

resolver corretamente problemas envolvendo a adição e a subtração.

Carga horária: 5 horas-aula.

Recursos utilizados: Material Dourado, caderno, lápis, quadro negro.

Procedimentos avaliativos: participação e envolvimento nas atividades e os

respectivos registros por eles efetuados.

Procedimentos metodológicos: o professor irá introduzir a adição e a subtração,

por meio de situações-problema.

ADIÇÃO

A adição é a operação que está presente nas experiências das crianças

desde muito cedo, através das brincadeiras, que envolvem situações de “juntar” e

“acrescentar”, que são afetivamente prazerosas (quem não gosta de juntar, ganhar

ou colecionar coisas?).

Segundo Andrade (2005, p 79), “Para se efetuar uma adição, é possível

proceder de várias maneiras, mas se a criança não aprendeu o SND,

particularmente uma boa compreensão do valor posicional dos algarismos, nenhuma

metodologia será significativa para ela”.

O professor poderá iniciar o algoritmo da adição, quando tiver certeza que os

alunos já dominam o processo de agrupamentos e trocas e a representação

simbólica dos números no SND, pois a falta de compreensão dessas noções torna

difícil entender como funcionam os algoritmos das operações que utilizamos

comumente.

Os termos da adição são chamados de parcelas e soma (ou total).

2 3 parcela

+ 1 7 parcela

4 0 soma ou total

Vejamos como proceder para encontrar a solução das seguintes situações-

problema com uso do Material Dourado.

a) Aldo e Carlos são amigos. Aldo tem 24 bolinhas de gude e Carlos tem 35.

Quantas bolinhas os dois têm juntos? (ideia de juntar)

Utilizando o Material Dourado, a quantidade de bolinhas de gude que Aldo

possui pode ser representada por

Da mesma forma, a quantidade de bolinhas que Carlos possui pode ser

representada por

Portanto, a representação da quantidade de bolinhas de gude que os dois têm

juntos é dada por

É muito importante que, paralelamente à representação com o Material

Dourado, deverá ser feita a seguinte representação.

D U

2 4

3 5

5 9

b) Hugo tinha 16 figurinhas e ganhou mais 19 do seu irmão. Com quantas ficou?

(ideia de acrescentar)

Hugo tinha

Hugo ganhou

Juntando as peças do material teremos:

Isto é, 2 dezenas mais 15 unidades, e fazendo as trocas e obteremos:

ou seja, 3 dezenas mais 5 unidades. O resultado da adição é 35 = 30 + 5.

Vejamos como fica o registro escrito do processo utilizando o Material

Dourado:

+

16 10 + 6

19 10 + 9

3 5 20 + 15

(20 + 10) + 5

30 + 5 = 35

A representação simbólica ficará assim:

D U

1

6

1 9

3 5

O professor poderá trabalhar simultaneamente as adições “com reserva” (o

conhecido “vai um”) e as adições “sem reserva”, desde que, os alunos tenham

realizado trabalho prévio com agrupamentos e trocas.

Segundo Andrade (2005, p 83), a técnica do “vai um” se apoia na ideia de

agrupamento (10 unidades valem 1 dezena, 10 dezenas valem uma centena etc.),

de valor posicional e utiliza os princípios aditivo e multiplicativo, daí a importância da

compreensão do SND. Compreendendo o processo, fica claro porque é necessário

escrever unidade debaixo de unidade, dezena embaixo de dezena etc.

Observação: Quando os alunos tiverem o domínio da adição com duas

parcelas, terão facilidade para resolver situações-problema que envolva a adição

com mais de duas parcelas.

SUBTRAÇÃO

A subtração, embora presente desde muito cedo no cotidiano das crianças,

tem um aspecto afetivo relacionado com situações de perda. As pesquisas de Piaget

comprovam que os aspectos negativos, como inverso e recíproco, são construídos

mais tarde do que os aspectos positivos.

+

1

+

Essa operação pode estar associada a três ideias diferentes: tirar, comparar

ou completar. O trabalho com as diferentes ideias associadas à subtração com

números pequenos facilita a manipulação do material concreto.

A seguir, apresentamos situações-problema para cada uma das ideias

associadas à subtração.

Ideia de tirar

Paula tem 45 reais e vai comprar uma blusa que custa 24 reais. Com quantos

ela ainda vai ficar?

Para resolver esse problema Paula precisa tirar 24 de 45, ou seja, precisa

efetuar a subtração 45 – 24. Essa operação pode ser realizada com o

Material Dourado, como segue:

Logo, Paula vai ficar com 21 reais.

Ideia de comparar

Qual é a diferença de idade entre Maria, de 53 anos, e sua irmã Lúcia, de 41

anos?

Os alunos representam os dois números e fazem a correspondência um a um

para chegar ao resultado.

Observe que restou uma dezena e duas unidades, ou seja, a diferença entre

as idades de Maria e Lúcia é 12 anos.

Ideia de completar

Na sala de aula tem 35 carteiras e 23 delas estão ocupadas com alunos.

Quantos alunos faltam para que todas as carteiras fiquem ocupadas?

São poucos os alunos que trabalham com a ideia de ir completando o 23 até

chegar ao 35 (“quanto falta para 3 chegar a 5 e quanto falta para 20 para chegar a

30?)

Portanto, faltam 12 alunos para que todas as carteiras sejam ocupadas.

Após a compreensão dessas ideias, por meio de situações-problema, ao

aluno é apresentado o algoritmo da subtração. Muitas vezes é preciso que se dê

nome aos termos da subtração, que são o minuendo, o subtraendo e o resto (ou a

diferença).

4 5 minuendo

2 4 subtraendo

2 1 resto

Inicialmente, os problemas apresentados devem ser aqueles em que não há

necessidade de efetuar trocas, ou seja, subtração sem reservas, conforme visto nas

situações-problema apresentadas acima.

Apresentamos, a seguir, a resolução de cada situação-problema por meio do

algoritmo da subtração.

Situação-problema 1:

D U

4 5

2 4

2 1

-

-

Situação-problema 2:

D U

5 3

4 1

1 2

Situações-problema 3:

D U

3 5

2 3

1 2

Há duas técnicas comumente apresentadas nos livros didáticos: “empresta

uma” (subtração com reserva); “escorrega” (subtração com compensação). Na

técnica do “empresta uma”, tem-se

D U

6

1

1 9

4 2

Na técnica do “escorrega”, tem-se

D U

6

2

3 9

2 3

-

-

-

5 11

- 4

12

Note que a técnica do “escorrega” trata-se de uma compensação, pois como

não se pode tirar 9 unidades de 1 unidade, acrescenta-se dez unidades às 2

unidades do minuendo, mas por compensação é preciso acrescentar, também, uma

dezena às 3 dezenas do subtraendo.

Para consolidação dessas técnicas, é conveniente apresentar situações-

problema para que o aluno seja motivado a aprendê-las, como por exemplo: “Em um

canil havia 56 cachorrinhos. No final de semana foram vendidos 28 cachorrinhos.

Quantos cachorrinhos restaram no canil?”.

6ª Etapa: SITUAÇÕES–PROBLEMA ENVOLVENDO A ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

COM NÚMEROS NATURAIS

Nas atividades do cotidiano, as crianças realizam operações com quantidades

de objetos, tais como: comparam suas coleções de carrinhos, elas juntam seus

carrinhos aos de seus colegas etc. Como as crianças no 6º ano do Ensino

Fundamental encontram-se no estágio Operatório-concreto elas realizam operações

de adição e subtração com mais facilidade quando utilizam objetos em situações nas

quais estejam envolvidas.

É importante o professor, incentivar o aluno a, por exemplo: resolver situações

simples do cotidiano; verbalizar e discutir suas ações com os colegas; fazer cálculos

mentais; verificar as diferentes estratégias utilizadas pelos outros alunos diante da

mesma situação. O professor deverá acompanhar as discussões, fazendo perguntas

que direcionem os alunos no sentido de perceber possíveis erros no

encaminhamento do raciocínio.

Objetivos: utilizar estratégias para que o aluno identifique as diferentes formas de

operações e aplicar corretamente as operações com números naturais na resolução

de problemas.

Carga horária: 10 horas-aula.

Recursos utilizados: Material Dourado, caderno, lápis, quadro negro.

Procedimentos avaliativos: participação e envolvimento nas atividades e os

respectivos registros por eles efetuados.

Procedimentos metodológicos: essa atividade poderá ser em grupo ou individual.

O professor distribuirá o Material Dourado e também deverá criar um ambiente

tranquilo, para que os alunos não sintam medo de errar, oportunidade em que irão

estabelecer e testar hipóteses, mostrando possíveis estratégias de resoluções para

os problemas. Segundo Dante (2009, p. 68) diante de um problema é importante

seguir um roteiro para que facilite a resolução e nos auxilie a encontrar a resposta

procurada. Para isso é preciso: compreender o problema; planejar a solução;

executar o que planejou; verificar se resolveu corretamente o problema e

responder à pergunta do problema. Essas etapas serão desenvolvidas através de

indagações, de um diálogo entre professor e aluno tais como: Que informação posso

usar? A quais perguntas preciso responder? Qual estratégia vou usar? Como posso

verificar se minha resposta está correta? Após, é preciso que se dê um tempo para

que o grupo discuta e resolva a situação-problema e, finalmente, discutam com os

colegas a solução encontrada.

A seguir, apresentamos algumas situações-problema que podem ser

resolvidas por meio da adição, da subtração e também envolvendo as duas

operações.

Inicialmente, os alunos utilizarão o Material Dourado, e, aos poucos devem se

libertar desse material, para resolverem os problemas, utilizando as técnicas

operatórias.

Situações-problema:

1) Em uma escola estadual foi realizado um campeonato de basquete. Veja no

quadro abaixo o número de alunos inscritos em cada categoria.

Categoria Número de alunos inscritos

Masculina 44

Feminina 35

Quantos alunos se inscreveram nesse campeonato?

Para responder à pergunta, podemos com o auxílio do Material Dourado

representar o número 44, como segue:

Da mesma forma, o número 35 pode ser representado por

Para efetuar a soma, juntamos as peças e obtemos:

Logo, o resultado da adição é 79 = 70 + 9, ou seja, 7 dezenas e 9 unidades.

O aluno deverá fazer a representação simbólica:

D U

4 4

3 5

7 9

4 0 4

+ 3 0 5

7 0 9

+

2) No campeonato de basquete da escola, o time feminino fez 17 pontos. Se quiser

obter uma vaga na próxima fase do campeonato, precisa atingir 35 pontos.

Quantos pontos ainda faltam para esse time obter a vaga?

Para descobrir quantos pontos faltam para o time conseguir a vaga, basta

fazer a subtração 35 – 17. Utilizando o Material Dourado, a quantidade 35 pode ser

representada por

Como não é possível retirar 7 unidades de 5 unidades, então, trocamos uma

barra por dez unidades, ficando como segue:

Agora, podemos retirar as 7 unidades das 15 unidades existentes e retirar

uma dezena das duas existentes, ficando com a seguinte representação:

Portanto, o resultado da subtração 35 – 17 é 18.

É importante o aluno fazer o registro de cada operação realizada, pois todas

essas ideias serão usadas no algoritmo escrito.

Nesse exemplo, podemos registrar da seguinte forma:

3) Uma hora antes de começar o campeonato de basquete da escola, havia 225

torcedores na escola. Se até o início da competição entraram outros 97

torcedores, quantos torcedores assistiram ao início do campeonato de basquete?

4) Em um torneio, Ana Luíza perdeu 8 pontos e terminou a competição com 18

pontos. Quantos pontos Ana Luíza tinha antes de perder os 8 pontos?

5) No campeonato de futebol da escola, o time masculino fez 58 gols e sofreu 20

gols. Qual foi o saldo de gols?

6) Heitor comprou um pote de sorvete a 12 reais, 2 pacotes de bolacha a 3 reais

cada um e 3 bandejas de iogurte a 4 reais cada uma. Se ele pagou com uma nota

de 50 reais, quanto recebeu de troco?

7) José Fernando recebe 1800 reais de salário. Gasta todo mês 500 reais com o

supermercado e 680 reais com o aluguel de sua casa. Ele quer comprar uma

motocicleta cuja prestação mensal é de 450 reais. Com esses gastos, José

Fernando conseguirá pagar a prestação da motocicleta, utilizando apenas o seu

salário?

8) Uma sorveteria recebeu de seu fornecedor 340 picolés sabor uva, 285 picolés

sabor abacaxi e 165 picolés sabor limão, ficando com 1495 picolés em seu

estoque. Quantos picolés havia no estoque antes do recebimento dos novos

picolés?

9) Carlos tinha uma quantia no banco. Na segunda-feira retirou 225 reais e na terça-

feira fez um depósito de 100 reais, ficando com saldo de 500 reais. Quantos reais

Carlos tinha antes da segunda-feira?

10) Laura tem 64 anos e sua neta 18 anos. Quantos anos Laura tem a mais que sua

neta?

D U

3

5

1 7

1 8

2

2

1

-

10

30 5

- 10 7

10 8

20

11) Luísa tinha 246 reais e ganhou de seu pai uma nota de 100 reais. Com quantos

reais ela ficou?

12) Uma mulher nasceu em 1920 e se casou aos 25 anos. Quatro anos depois

nasceu seu primeiro filho. Quando essa mulher morreu, esse filho tinha 36 anos.

Em que ano morreu essa mulher?

13) José leu um livro da seguinte maneira: primeiro dia, 25 páginas; segundo dia, 6

páginas a mais que no primeiro dia; terceiro dia, 6 páginas a mais que no

segundo dia e assim por diante. Quantas páginas José leu em uma semana?

14) Uma joaninha está passeando pelas arestas de um bloco retangular. Ela passeia

do ponto A até o ponto B pelo caminho mais longo possível, sem passar duas

vezes pelo mesmo lugar. Por enquanto, ela já andou 86 cm e está no ponto C.

Quantos centímetros ainda faltam para completar o trajeto?

15) José Antônio tinha 6400 reais. Com esse dinheiro pagou uma dívida de 3735

reais. A seguir, recebeu 1938 reais de gratificação. Que quantia ele tem agora?

16) Fabrício tem 15 anos. Quando ele nasceu, sua mãe tinha 25 anos. Qual é a

idade da mãe de Fabrício hoje?

17) Uma lesma caiu no fundo de um buraco de 30 metros de profundidade. Cada dia

ela sobe 6m e escorrega 4m. Quantos dias ela levará para sair do buraco?

18) De cinco irmãs, a mais nova tem 20 anos. Por ordem de idade, cada irmã é três

anos mais velha que a anterior. Qual a soma das idades dessas cinco irmãs?

19) Ana Laura tem 20 anos a mais que Rafaela. Rafaela tem 5 anos a menos que

Valentina. Quantos anos Ana Laura é mais velha que Valentina?

8 cm

12 cm

25 cm

C

A

B

20) Maria encontra-se no degrau do meio de uma escada. Ela sobe 6 degraus e

desce 8. Em seguida, volta a subir 5 e descer 10 para chegar ao último degrau.

Quantos degraus tem a escada?

4 ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

O projeto de intervenção pedagógica “Material Dourado e situações-

problema: mecanismos para o ensino e a aprendizagem dos processos da

adição e da subtração” procura refletir sobre a eficiência do material manipulável e,

mais especificamente, do Material Dourado no ensino da adição e da subtração aos

alunos da Sala de Apoio do 6º ano do Ensino Fundamental, ao mesmo tempo em

que estará socializando, com os professores de matemática da Educação Básica,

práticas pedagógicas diferenciadas referentes ao ensino e à aprendizagem da

adição e da subtração.

A implementação será realizada em etapas, perfazendo um total 32 horas-

aula.

PRIMEIRA ETAPA:

Apresentação do Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola para a

direção, equipe pedagógica e professores da Escola Estadual Cecília

Meireles durante a Semana Pedagógica e no início do ano letivo

(fevereiro/2014), para os alunos da Sala de Apoio do 6º ano, onde será feita a

apresentação dos objetivos e as etapas do mesmo.

SEGUNDA ETAPA:

Serão desenvolvidas atividades, com os alunos da Sala de Apoio do 6º ano,

mediante utilização do Material Dourado, sendo algumas individuais e outras

em grupo. No primeiro momento, os alunos irão manipular as peças

livremente, conhecendo-as e relacionando-as. O segundo momento é o jogo

com regras, em que se propõem aos alunos atividades planejadas

envolvendo equivalência, agrupamentos e trocas na base 10, representação,

sucessão de um número com ênfase na passagem de unidade para dezena,

dezenas para centenas, e assim sucessivamente.

TERCEIRA ETAPA:

Será desenvolvido o JOGO DO NUNCA DEZ COM MATERIAL DOURADO,

seguido de comentários e complementações feitas pela professora PDE.

QUARTA ETAPA:

Serão sugeridos alguns jogos virtuais, acessando os seguintes sites:

http://www.educacaodinamica.com.br/ed/views/game_educativo.php?id=1&jog

o=Nunca10;

http://www.educacaodinamica.com.br/ed/views/game_educativo.php?id=13&jo

go=Material%20Dourado%20Virtual;

http://www.escolagames.com.br/jogos/blocosEspaciais/.

QUINTA ETAPA:

As operações da adição e da subtração de números naturais serão

desenvolvidas por meio de situações-problema com o auxílio do Material

Dourado, associando a adição de números naturais às ideias de “juntar” e

“acrescentar” e a subtração às ideias de “tirar”, “comparar” e “completar”.

SEXTA ETAPA:

Nesta etapa serão desenvolvidas situações-problema envolvendo a adição e

a subtração contemplando as várias ideias associadas a cada tipo de

operação, onde o professor deve, sempre que possível, estimular o treino do

cálculo mental.

REFERÊNCIAS

ANDRADE, D.; NOGUEIRA, C. M. I. Educação matemática e as operações fundamentais. Maringá: EDUEM, 2005. BIGODE, Antonio José Lopes. Projeto Velear: matemática. 1. ed. São Paulo: Scipione, 2012.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. 3. ed. São Paulo: Ática, 2009.

GIOVANNI, J.R.; PARENTE, E. Aprendendo matemática: novo. 1. ed. São Paulo: FTD, 2002. GIOVANNI JÚNIOR, J.R; CASTRUCCI, B. A conquista da Matemática. 1. ed. São Paulo: FTD, 2009. LEONARDO, Fabio Martins de (E.). Projeto Araribá: matemática. 3. ed. São Paulo: Moderna, 2010. LIBÂNEO, José Carlos. Educação Escolar: políticas, estrutura e organização. 2. ed. São Paulo: Cortez, 2005 (Coleção Docência em Formação) MONTESSORI, Maria. A criança. Tradução de Luiz Horácio da Mata, Nórdica: Rio de Janeiro. (256 p.) Ano 1987. MONTESSORI, Maria. Pedagogia Científica. Tradução de Aury Azélio Brunetti. São Paulo: Flamboyant, 1965. (310 p.). PIAGET, Jean. Biologia e Conhecimento: ensaio sobre as relações entre as regulações orgânicas e os processos cognoscitivos. Petrópolis: Vozes, 1996. ____________ Psicologia e Pedagogia. Tradução Editora Forense Universitária. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1976. ____________ Seis Estudos de Psicologia. Rio de Janeiro: Forense, 1964. RODRIGUES, Neidson. Colegiado: Instrumento de Democratização. In Revista Brasileira de Administração Escolar. Porto Alegre, V. 3, nº, jan./ jul. 1985. ROSA, S. S. Construtivismo e Mudança. 6. ed. São Paulo: Cortez, 1998. TOLEDO, M. B. A; TOLEDO, M; A. Teoria e prática de matemática: como dois e dois. 1. ed. São Paulo: FTD, 2009

REFERÊNCIAS DOS JOGOS VIRTUAIS

Educação Dinâmica - Nunca10 - Jogo Educacional. Disponível: <http://www.educacaodinamica.com.br/ed/views/game_educativo.php?id=1&jogo=Nunca10> Acesso em 11 de setembro de 2013. Educação Dinâmica - Material Dourado Virtual - Jogos Educacionais. Disponível:<http://www.educacaodinamica.com.br/ed/views/game_educativo.php?id=13&jogo=Material%20Dourado%20Virtual > Acesso em 22 de setembro de 2013.

BLOCOS ESPACIAIS - Escola Games - Jogos Educativos. Disponível: <http://www.escolagames.com.br/jogos/blocosEspaciais/ > Acesso em 22 de setembro de 2013.