Otimização Multiobjetivo - Relações de...

Otimização MultiobjetivoRelações de Dominância

Professores:

Eduardo G. CarranoFrederico G. Guimarães

Lucas S. Batista

{egcarrano,fredericoguimaraes,lusoba}@ufmg.brwww.ppgee.ufmg.br/∼lusoba

Universidade Federal de Minas GeraisPrograma de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Brasil

Relações de dominância Literatura Especializada

Apresentação

Sumário

1 Relações de dominânciaApresentaçãoDominância ParetoRelações adicionais de dominância

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Apresentação

Problema de otimização multiobjetivo

Formulação geral de problemas de otimização multiobjetivo:

minx

f(x) ∈ Rm, x ∈ F

f : X ⊂ Rn 7→ Y ⊂ Rm

F =

gi(x) ≤ 0; i = 1, . . . , phj(x) = 0; j = 1, . . . , q

x ∈ X

Como caracterizar os problemas de otimização?

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Apresentação

Problema de otimização multiobjetivo

m funções-objetivo devem ser minimizadas simultaneamente, masem geral são conflitantes (ou contraditórias): a minimização deum objetivo implica na maximização de outro.

Questões:

1 Como caracterizar as soluções de um problema de otimização mul-tiobjetivo?

2 Quais critérios utilizar para comparar e ordenar tais soluções?

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Dominância Pareto

Sumário


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Dominância Pareto

Definições

Dominância Pareto

Seja x1, x2 ∈ F , dizemos que x1 Pareto domina (ou, simplesmente,domina) x2 se f(x1) ≤ f(x2) e f(x1) 6= f(x2), ou seja, em pelo menosum dos objetivos a desigualdade é atendida de forma estrita. Estarelação de dominância é escrita como f(x1) ≺ f(x2).

Soluções incomparáveis

Seja x1, x2 ∈ F , dizemos que os mesmos são não dominados entresi, ou incomparáveis entre si, se f(x1) ⊀ f(x2) e f(x2) ⊀ f(x1).

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Dominância Pareto

Definições

Otimalidade local (Dominância Pareto)

O ponto x∗ ∈ F ⊆ X é localmente Pareto-ótimo em relação a f(·) :X 7→ Y se não existe x ∈ Vǫ(x∗) ∩ F que domina x∗.

Otimalidade global (Dominância Pareto)

O ponto x∗ ∈ F ⊆ X é globalmente Pareto-ótimo em relação a f(·) :X 7→ Y se não existe x ∈ F que domina x∗.

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Dominância Pareto

Definições

Conjunto Pareto-ótimo

Dado um problema de otimização multiobjetivo, o seu conjunto Pareto-ótimo global é definido como:

P = {x∗ ∈ F | ∄x ∈ F tal que f(x) ≺ f(x∗)}

O conjunto Pareto-ótimo contém as soluções não dominadas em re-lação ao conjunto F .

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Dominância Pareto

Definições

Fronteira Pareto-ótima

A fronteira Pareto-ótima global S do problema de otimização multi-objetivo corresponde à imagem do conjunto Pareto-ótimo global noespaço de objetivos, isto é, S = f(P):

S = {y = f(x) : x ∈ P}

A cardinalidade de P pode ser muito elevada ou mesmo igual ainfinito;

Do ponto de vista prático, é mais interessante estimar um con-junto de soluções eficientes de tamanho limitado, porém repre-sentativo de P .

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Dominância Pareto

Otimalidade Pareto

O conjunto Pareto-ótimo pode ser definido de forma gráfica:

Cone negativo

Um cone negativo é definido em Rm conforme:

C− = {y = f(x) ∈ Rm : f(x) ≤ 0}

C−(ζζζ) = {y = f(x) ∈ Rm : f(x) ≤ ζζζ}

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Dominância Pareto

Otimalidade Pareto

Teorema do Contato

Dado um problema de otimização multiobjetivo, a sua fronteira Pareto-ótima global é definida geometricamente como:

S = {y∗ = f(x∗) : C−(y∗) ∩ f(F) = {y∗}}

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Dominância Pareto

Ordenação por dominância Pareto

Exemplo

Considere a tabela a seguir:

Solução f1 f2A 8 5B 9 2C 12 1D 11 2E 16 2

Tabela: Conjunto de soluções de um problema com dois objetivos.

Compare as soluções usando o conceito de dominância Pareto.

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Dominância Pareto

Ordenação por dominância Pareto

Algoritmo 1: Ordenação Pareto

1 N ′ = N;2 currentRank← 1;3 while N 6= 0 do

/ * Há pontos a serem classificados * /4 for i = 1 to N ′ do5 if y i é não dominado then rank(y i)← currentRank ;6 end7 for i = 1 to N ′ do8 if rank(y i) = currentRank then9 Armazena y i em um conjunto temporário;

10 N ← N − 1;11 end12 end13 currentRank← currentRank + 1;14 N ′ ← N;15 end

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Dominância Pareto

Condições de otimalidade Pareto

As condições de otimalidade descritas por Karush, Kuhn e Tuckerpodem ser estendidas para problemas multiobjetivo, fornecendoas condições necessárias de KKT para eficiência:

Condições necessárias de Karush-Kuhn-Tucker para eficiênc ia

x∗ ∈ F satisfaz as condições necessárias de Karush-Kuhn-Tuckerpara eficiência se existem multiplicadores µ∗

i ≥ 0, λ∗j , ννν∗ ≥ 0, com

pelo menos uma desigualdade estrita, tais que:

∑mk=1 ν

∗k∇fk (x∗) +

∑pi=1 µ

∗i ∇gi(x∗) +

∑qj=1 λ

∗j ∇hj (x∗) = 0

µ∗i gi(x∗) = 0, i = 1, . . . , p

hj(x∗) = 0, j = 1, . . . , q

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Dominância Pareto


Condições necessárias de Karush-Kuhn-Tucker

Interpretação geométrica do caso mono-objetivo:

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Dominância Pareto


Condições necessárias de Karush-Kuhn-Tucker para eficiênc ia

Interpretação geométrica do caso multiobjetivo:

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Dominância Pareto

Características da fronteira Pareto

Ponto ideal ou solução utópica

A solução utópica u corresponde ao ponto no espaço de objetivoscujas coordenadas são dadas por uj = fj(x∗

j ), j = 1, . . . ,m, com

x∗j = argmin fj(x) : x ∈ F

ou aindauj = min{yj : y ∈ S}

Ponto nadir ou solução antiutópica

A solução antiutópica u corresponde aos piores valores para cadafunção-objetivo considerando apenas a fronteira Pareto-ótima, isto é:

uj = max{yj : y ∈ S}

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Dominância Pareto


Conjuntos convexos

Seja o conjunto Q ⊂ Rn. Esse conjunto é dito convexo se, para todox1, x2 ∈ Q e 0 ≤ λ ≤ 1, verifica-se que para z = λx1 + (1 − λ)x2

tem-se z ∈ Q.

Fronteiras Pareto-ótimas quando f(F) é convexo:

minimize f1, minimize f2;

minimize f1, maximize f2;

maximize f1, minimize f2;

maximize f1, maximize f2.

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Dominância Pareto


Qual a forma da fronteira Pareto...

quando a interseção entre f(F) e o hipercubo definido pelos pon-tos ideal e nadir é um conjunto convexo?

quando a interseção entre f(F) e o hipercubo definido pelos pon-tos ideal e nadir não é um conjunto convexo?

quando f(F) é desconexa?

quando f(F) é multimodal?

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Dominância Pareto


Relação de compromisso das soluções de uma fronteira:

Representatividade da fronteira Pareto;

Impacta diretamente o tomador de decisão;

A relação de compromisso desejada deve ser um critério usadopara a escolha do método de otimização multiobjetivo.

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Relações adicionais de dominância

Sumário


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Introdução

A relação de dominância Pareto não oferece muita flexibilidade:

inclusão de preferências do decisor;tradeoff e resolução desejados pelo usuário.

Por essa razão, várias relações adicionais foram propostas:1 dominância lexicográfica;2 dominância extrema ou extremo-dominância;3 max-dominância;4 cone dominância;5 α-dominância;6 ǫ-dominância;7 Lorenz dominância;8 Volume-dominância;9 g-dominância;

10 r -dominância; . . .

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Dominância lexicográfica

Definição

Sejam y1, y2 ∈ f(F), F ⊆ X , f : X ⊂ Rn 7→ Y ⊂ Rm, dizemos quey1 domina y2 lexicograficamente se existe um índice l ≤ m tal quey1,i = y2,i para i = 1, . . . , l −1 e y1,l < y2,l . As relações entre y1,i e y2,i

para i > l são ignoradas. O índice l representa o primeiro índice parao qual y1,i < y2,i . Essa relação é escrita como y1 ≺lex y2.

Otimalidade lexicográfica

A solução x∗ ∈ F ⊆ X é ótima no sentido lexicográfico em relação af(·) : X 7→ Y se não existe x ∈ F \ {x∗} tal que f(x) ≺lex f(x∗).

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A definição implica que há uma ordenação dos objetivos em or-dem decrescente de preferência do decisor;

A comparação de soluções considera essa ordenação lexicográ-fica das funções-objetivo.

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Exemplo

Sejam:y1 = (1, 2, 3, 4, 5, 6)

y2 = (1, 2, 3, 9, 4, 9)

Estas duas soluções são não dominadas entre si, contudo, podemosdizer que y1 ≺lex y2.

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Implicabilidade

y1 ≺ y2 ⇒ y1 ≺lex y2

y1 ≺lex y2 ; y1 ≺ y2

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Essa relação de dominância possibilita mapear uma região espe-cífica da fronteira, de maior interesse do projetista;

A dominância lexicográfica pode ser relaxada, incorporando con-ceitos de lógica nebulosa (fuzzy) na sua definição;

Pode também ser empregada como um critério de ordenação adi-cional à relação de dominância Pareto.

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Dominância extrema

Definição

Sejam y1, y2 ∈ f(F), F ⊆ X , f : X ⊂ Rn 7→ Y ⊂ Rm, e um vetor depesos λλλ ∈ Rm, com

∑

i λi = 1 e λi ≥ 0, dizemos que y1 extremo-domina y2 se e somente se

m∑

i=1

λi y1,i <

m∑

i=1

λiy2,i ⇒ λλλ′y1 < λλλ′y2

Essa relação é escrita como y1 ≺λ y2.

Essa definição permite a inclusão de preferências do decisor, mo-deladas no vetor de pesos.

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Dominância extrema

Otimalidade extrema

A solução x∗ ∈ F ⊆ X é extremo-ótima em relação a f(·) : X 7→ Y se,dado um vetor λλλ ∈ Rm, com

∑

i λi = 1 e λi ≥ 0, não existe x ∈ F\{x∗}tal que f(x) ≺λ f(x∗).

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Dominância extrema

Exemplo

Sejam:y1 = (1, 2, 3, 4, 5, 6)

y2 = (1, 2, 3, 9, 4, 9)

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Dominância extrema

Exemplo

Suponha que os objetivos 1, 3 e 5 são 20% mais importantes do queobjetivos 2, 4 e 6. Assim:

w2 = w4 = w6

w1 = w3 = w5 = 1.2w6

6∑

i=1

wi = 1

que fornecem:

w1 = w3 = w5 = 0.18

w2 = w4 = w6 = 0.15

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Dominância extrema

Exemplo

Como6

∑

i=1

wiy1,i = 3.45 <

6∑

i=1

wiy2,i = 5.39

Podemos dizer que y1 ≺λ y2.

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Dominância extrema

Implicabilidade

y1 ≺ y2 ⇒ y1 ≺λ y2

y1 ≺λ y2 ; y1 ≺ y2

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Dominância extrema

A dominância extrema é muito intuitiva e fácil de implementar;

Requer que as funções objetivo pertençam a uma mesma escala;

A atribuição dos pesos não é trivial, e nem sempre a solução finalencontrada reflete as preferências do projetista.

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Max-dominância

Definição

Sejam y1, y2 ∈ f(F), F ⊆ X , f : X ⊂ Rn 7→ Y ⊂ Rm, dizemos que y1

max-domina y2 se e somente se

maxq

{y1,q} ≤ maxq

{y2,q}

Essa relação é escrita como y1 ≺max y2.

No exemplo anterior:

max{yyy1} = 6 ≤ max{yyy2} = 9

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Max-dominância

Max-otimalidade

A solução x∗ ∈ F ⊆ X é max-ótima em relação a f(·) : X 7→ Y se nãoexiste x ∈ F \ {x∗} tal que f(x) ≺max f(x∗).

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Max-dominância

Implicabilidade

y1 ≺ y2 ⇒ y1 ≺max y2

y1 ≺max y2 ; y1 ≺ y2

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Max-dominância

Essa definição indica preferência por uma satisfação intermediá-ria entre os objetivos.

Requer que as funções objetivo pertençam a mesma escala.

Representa uma relação de dominância muito forte, sendo indi-cada para o tratamento de problemas com muitos objetivos (m >3).

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Cone-dominância

Cone

Um cone de abertura λ é definido como:

Cλ = {x ∈ Rn : ΛΛΛw = x, fornece w ≥ 0}

sendo que

ΛΛΛij =

{

1, se i = j

λ se i 6= j

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Cone-dominância

Cone

Por exemplo, em R2 temos:

ΛΛΛ =

[

1 λλ 1

]

ΛΛΛw = x ⇒ x = w1

[

1λ

]

+ w2

[

λ1

]

, ∀ w1,w2 ≥ 0

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Cone-dominância

Definição


cone-domina y2 se e somente se

y2 − y1 ∈ Cλ com y1 6= y2

Essa relação é escrita como y1 ≺cone y2.

A cone-dominância permite alterar o cone de dominância de umasolução;

Quando λ = 0, a cone-dominância se reduz à relação de domi-nância usual.

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Cone-dominância

Implicabilidade{

se λ > 0, y1 ≺ y2 ; y1 ≺cone y2

se λ < 0, y1 ≺ y2 ⇒ y1 ≺cone y2

{

se λ > 0, y1 ≺cone y2 ⇒ y1 ≺ y2

se λ < 0, y1 ≺cone y2 ; y1 ≺ y2

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Cone-dominância

Permite regular o “tamanho” da região dominada por uma solu-ção.

Possui aplicações na otimização multiobjetivo, principalmente quandom > 3.

Valores distintos de λ podem ser usados para ajustar, de formaindependente, a abertura do cone de dominância.

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α-dominância

Características

Objetiva tratar soluções ditas “resistentes à dominância” . . .

. . . soluções qualitativa e quantitativamente pouco interessantescomo solução final do problema de otimização;

. . . normalmente encontram-se em regiões dificilmente domina-das da fronteira Pareto.

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α-dominância

Conceito

y1, y2 ∈ S, porém y1 α-domina y2

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α-dominância

Definição

Sejam x1, x2 ∈ F , y1, y2 ∈ f(F), F ⊆ X , f : X ⊂ Rn 7→ Y ⊂ Rm,dizemos que y1 α-domina y2 se e somente se wi(x1, x2) ≤ 0 ∀ i ewi(x1, x2) < 0 para algum i ∈ {1, . . . ,m}. Essa relação é escritacomo y1 ≺α y2.

wi(x1, x2) = fi(x1)− fi(x2) +m∑

j=1j 6=i

αij [fj(x1)− fj(x2)]

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α-dominância

Por exemplo, considere o caso m = 2:

w1 = f1(xA)− f1(xB) + α12 [f2(xA)− f2(xB)]

w2 = f2(xA)− f2(xB) + α21 [f1(xA)− f1(xB)]

São rejeitadas soluções caracterizadas por um pequeno “ganho”em alguns objetivos (pequeno em relação ao detrimento em umobjetivo), soluções estas que seriam não dominadas de acordocom a dominância Pareto.

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α-dominância

Sensibilidade ao Parâmetro α

Valor de αij elevado vs. pequeno:

(a) αij elevado. (b) αij pequeno.48 / 68



α-dominância

Implicabilidade

y1 ≺ y2 ⇒ y1 ≺α y2

y1 ≺α y2 ; y1 ≺ y2

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ǫ-dominância

Características

Permite regular simultaneamente convergência e diversidade dassoluções estimadas em um único algoritmo;

Possibilita ao decisor controlar a resolução (qualidade) do con-junto Pareto estimado;

Minimiza falhas causadas por deterioração;

A estratégia ǫ-dominância representa um mecanismo eficiente deatualização da população de arquivo.

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ǫ-dominância

Definição

Sejam y1, y2 ∈ f(F), F ⊆ X , f : X ⊂ Rn 7→ Y ⊂ Rm, dizemos quey1 ǫ-domina y2 se e somente se ∀ i ∈ {1, . . . ,m} e ǫi > 0 temosy1,i − ǫi ≤ y2,i . Essa relação é escrita como y1 ≺ǫ y2.

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ǫ-dominância

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ǫ-dominância

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ǫ-dominância

box-dominance used in ǫ-approaches

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ǫ-dominância

1 A estratégia ǫ-dominânciapode perder um alto númerode soluções viáveis;

2 A definição do parâmetro ǫnão é trivial.

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ǫ-dominância

Implicabilidade

y1 ≺ y2 ⇒ y1 ≺ǫ y2

y1 ≺ǫ y2 ; y1 ≺ y2

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Lorenz dominância

Definição


Lorenz domina y2 se e somente se L(y1) ≺ L(y2), em que:

L(y) =

y(1)y(1) + y(2)

...y(1) + . . .+ y(m)

com y(i) > y(j) se i < j (ordem decrescente). Essa relação é escritacomo y1 ≺L y2.

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Lorenz dominância

Implicabilidade

y1 ≺ y2 ⇒ y1 ≺L y2

y1 ≺L y2 ; y1 ≺ y2

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Volume-dominância

Definição

Sejam y1, y2 ∈ f(F), F ⊆ X , f : X ⊂ Rn 7→ Y ⊂ Rm, diz-se que y1

volume-domina y2 sss1 Vy2 = SVy1,y2 e Vy1 > SVy1,y2 , ou2 Vy1 > Vy2 > SVy1,y2 e uy1,y2 = (Vy1 − Vy2 )/SVy1,y2 > rSV .

Vy1 =

m∏

i=1

(ri − y1,i)

SVy1 ,y2 =

m∏

i=1

(ri −max(y1,i , y2,i))

em que SVy1,y2 é o volume comum dominado por y1 e y2, e r é umponto de referência. Essa relação é escrita como y1 ≺V y2.

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Volume-dominância

Implicabilidade

y1 ≺ y2 ⇒ y1 ≺V y2

y1 ≺V y2 ; y1 ≺ y2

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Volume-dominância

Fornece uma ordenação parcial estrita para soluções não Pareto-dominadas;

Estabelece pressão seletiva mais “forte” do que a relação de do-minância usual.

Em geral, favorece tanto a convergência (rSV baixos) quanto adiversidade (rSV elevados) das soluções encontradas.

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g-dominância

Definição

Antes de definir a relação g-dominância, define-se

flagg(z) =

1, se z ≺ g1, se g ≺ z0, caso contrário

com g, z ∈ Rm.

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g-dominância

Definição

Essa função divide o espaço em 4 regiões:

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g-dominância

Definição

Sejam y1, y2 ∈ f(F), F ⊆ X , f : X ⊂ Rn 7→ Y ⊂ Rm, e um ponto dereferência g ∈ Rm, dizemos que y1 g-domina y2 se e somente se

1 flagg(y1) > flagg(y2) ou

2 caso flagg(y1) = flagg(y2), se y1 ≺ y2.

Essa relação é escrita como y1 ≺g y2.

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g-dominância

Essa relação de dominância prioriza soluções numa região pró-xima à solução de referência;

Integra as preferências do decisor ao definir o vetor alvo g, quepode ser fixo ou sofrer adaptações;

Pode ser utilizado em metaheurísticas de população e em méto-dos interativos (progressivos).

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r -dominância

Definição ( reference solution-based dominance)

Seja uma população P = {y i} ∈ f(F), F ⊆ X , f : X ⊂ Rn 7→ Y ⊂ Rm,e um ponto de referência g ∈ Rm, diz-se que y1 r -domina y2 sss

1 y1 ≺ y2 ou2 y1 e y2 são não dominados mas D(y1, y2, g) < −δ, δ ∈ [0, 1].

D(y1, y2, g) =d(y1, g)− d(y2, g)

dmax − dmin

dmax = maxd(z, g), z ∈ P

dmin = min d(z, g), z ∈ P

d(z, g) =

√

√

√

√

m∑

i=1

wi

(

fi(z)− fi(g)fi,max − fi,min

)2

Essa relação é escrita como y1 ≺r y2.66 / 68



r -dominância

Essa relação de dominância prioriza soluções próximas à solu-ção de referência, que representa as preferências do decisor;

Pode ser utilizado em metaheurísticas de população e em méto-dos interativos (progressivos);

Estabelece uma ordenação parcial estrita para soluções não do-minadas;

Estabelece pressão seletiva mais “forte” do que a relação de do-minância usual.

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Literatura Especializada

Y. Collette and P. Siarry, Multiobjective Optimization: Principles and Case Studies,ser. Decision Engineering, Springer, 2003.

K. Deb, Multi-Objective Optimization Using Evolutionary Algorithms, Wiley, 2001.

M. M. Kostreva, W. Ogryczak, A. Wierzbicki, Equitable aggregation and multiplecriteria analysis, European Journal of Op. Res., 158, p. 362-377, 2004.

K. M. Miettinen, Nonlinear Multiobjective Optimization, International Series in Ope-rations Research & Management Science, Springer, 1998.

K. Le and D. Landa-Silva, Obtaining better non-dominated sets using volume do-minance, IEEE CEC, p. 3119–3126, 2007.

J. Molina, L. V. Santana, A. G. Hernández-Díaz, C. A. C. Coello, R. Caballero,g-dominance: reference point based dominance for multiobjective metaheuristics,European Journal of Operational Research, 197, p. 685-692, 2009.

L. B. Said, S. Bechikh, and K. Ghédira, The r-dominance: a new dominance re-lation for interactive evolutionary multicriteria decision making, IEEE Transactionson Evolutionary Computation, 14:5, p. 801-818, October 2010.

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