P U C R S...4) Calcular as reações vinculares da viga bi-apoiada da figura seguinte. A a C b P B...

P U C R S

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL

FACULDADE DE ENGENHARIA

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

(MECÂNICA DOS SÓLIDOS)

EXERCÍCIOS

Prof. Almir Schäffer

PORTO ALEGRE

JULHO DE 2007

1

PUCRS - FENG Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer

Aula 1 – Mar/2006 1) Calcular as reações vinculares da viga bi-apoiada da figura seguinte.

5,0 m

P1=4 kN

A C

2,0

BD

3,0

P2=6

P3=8

2) Calcular as reações vinculares da viga engastada da figura seguinte.

3,0 m

CA

2,0

P1=10 kN

60

P2=5

B

2

3) Calcular as reações vinculares do pórtico da figura seguinte.

A

3

2

1

C3 m 3

B

P1=10 kN

P3=8

P2=8

4) Calcular as reações vinculares da viga bi-apoiada da figura seguinte.

Aa

Cb

P

B

5) Calcular as reações vinculares da viga do exercício 1, usando o PSE (Princípio da Superposição dos Efeitos) e os resultados do exercício 4.

3


Aula 2 – Mai/2006 1) Calcular as coordenadas dos centros de gravidade das áreas das figuras seguintes e localizar os mesmos nas figuras. Cotas em cm.

4 2 4

10

2

8

2

2 2 2

2

2 2

Y Y

X X

a) b)

5

1

1 3

3

3

3

Y Y

X X

c) d)

4

3 1

4

2

1,5 3

4

2

1,5

2

Y Y

X X

e) f)

1) Calcular as coordenadas dos centros de gravidade das linhas das figuras seguintes e localizar os mesmos nas figuras. Cotas em cm.

5 5

1110

2332XX

Y Ya) b)

60

40

60

40

Y Y

X X

c) d)

5


Aula 3 – Mar/2006 1) Calcular os esforços solicitantes nas seções S1, S2 e S3 da viga bi-apoiada da figura seguinte.

A

P1=4 kN

B

P2=6

P3=8

C D

S1 S2 S3

1 1 1 4 1 2

2 5 m 3

2) Calcular os esforços solicitantes nas seções S1, S2 e S3 da viga engastada da figura seguinte.

A BC

P1=10 kN P2=5

60 S1 S2 S3

1 1 1 1 1

2 3

6

3) Calcular os esforços solicitantes nas seções S1, S2 e S3 do pórtico da figura seguinte.

P1=10 kN

P2=8

P3=8

A B

C

2

1

3

3 m 3

S1 S2

S3

1 1

0,50,5

7


Aula 4 – Mar/2006 1) Traçar os diagramas de forças cortantes e momentos fletores para a viga engastada da figura seguinte.

A

P

B

2) Traçar os diagramas de forças cortantes e momentos fletores para a viga bi-apoiada da figura seguinte.

A

P

BC

a b

3) Traçar o diagrama de forças normais para a barra da figura seguinte

A C

4 m 4 m

B

8 m

P1=5 kN P2=10 kN

8


A B

q = 2 kN/m

12 m


A

3

C B

P=8 kN

D

P=8 kN

4 3

10 m

6) Traçar o diagrama de forças normais para o cabo de guerra da figura sabendo que o mesmo encontra-se em equilíbrio.

A

0,3 kN 0,6 0,4 X 0,2

B C D E

9


Aula 5 – Mar/2006

1) Uma barra prismática de 50 m de comprimento tem seção transversal retangular

de 3 cm por 1 cm e está submetida a um esforço de tração de 4 000 kgf. A barra é

de aço com tensão máxima admissível de 1 400 kgf/cm2 e módulo de elasticidade

longitudinal de 2 100 000 kgf/cm2.

P P

50 m 31 cm

Quesitos.

a) Verificar se a barra se encontra (ou não) em boas condições de segurança.

b) Calcular o alongamento da barra.

c) Calcular o alongamento específico da barra.

d) Se a barra apresentar uma certa reserva de segurança, calcular o valor máximo

admissível de P para a mesma.

2) Calcular o esforço de tração

máximo admissível num cabo de aço

de 12 mm de diâmetro, formado por

sete fios de 4 mm de diâmetro cada

um e o alongamento do cabo para

este esforço. A tensão de segurança

do aço do cabo é de 5 000 kgf/cm2 e

o módulo de elasticidade é de

2 000 000 kgf/cm2. O comprimento

do cabo é de 100 m.

12 mm

4 mm

10

3) Calcular o diâmetro dos montantes

de uma prensa (de aço) para um

esforço máximo de 200 tf e o

alongamento por eles sofrido com

este esforço.

A tensão de segurança do aço da

prensa é de 1 000 kgf/cm2 e o

módulo de elasticidade do aço é de

2 100 000 kgf/cm2.

4) Uma viga AB é suspensa, por suas

extremidades, por tirantes de aço.

A viga, cujo peso G é de 2 000 kgf,

deve suportar uma carga P de 10 000

kgf, como se mostra na figura.

Calcular a área mínima necessária a

seção do tirante mais solicitado sendo

a tensão de segurança do aço dos

tirantes de 1 400 kgf/cm2.

Montante

C. Prova

Êmbolo

Macaco

100cm

Tirante Tirante

A B

A' B'

C D

G P

2,50 2,50

3,50 1,50

5,00 m

11


Aula 6 – Mar/2006

1) Uma barra, formada por três trechos prismáticos de seção retangular, está

submetida a um esforço de tração de 10 000 kgf.

A barra é de alumínio com tensão máxima admissível de 750 kgf/cm2 e módulo de

elasticidade longitudinal de 800 000 kgf/cm2.

Verificar se a barra se encontra em boas condições de segurança e, em caso

afirmativo, calcular o alongamento da mesma.

Cotas em cm.

P P

2,5300 400 300

A B C D262

m

n

Corte m-n

2) Uma barra prismática tem seção transversal quadrada de 8 cm de lado e é

carregada com cargas P como se mostra na figura.

A barra é de pinho com tensão de ruptura (à tração) de 240 kgf/cm2 e módulo de

elasticidade longitudinal de 100 000 kgf/cm2.

Calcular o valor máximo admissível de P para a barra, usando um coeficiente de

segurança 4, e o alongamento da mesma para este valor de P.

Cotas em cm.

P P

8250 500 250

A B C D

8

Seção

P P

12

3) Duas barras de aço (AC e BC),

articuladas nas extremidades,

suportam uma carga de 45 tf

conforme a figura. Calcular a área

mínima necessária para a seção da

barra mais solicitada, sendo a tensão

de escoamento do aço igual a 2 400

kgf/cm2 e devendo-se usar um

coeficiente de segurança 2.

4) A comporta AB da figura, que pode

se considerada articulada em A, tem

largura de 3 m e está submetida à

pressão hidrostática. Em C ela é

presa por um tirante de aço, fixado

numa parede, em D.

Calcular a área mínima necessária

para a seção do tirante, com um

coeficiente de segurança 2, sendo a

tensão de escoamento do aço igual a

5 000 kgf/cm2.

5) Um elevador, de 1 000 kgf de peso

e 500 kgf de capacidade de carga, é

suspenso por 4 cabos de aço de 0,6

cm2 de área útil cada um. Qual o

coeficiente de segurança dos cabos

se a tensão de escoamento do aço

dos cabos é de 18 000 kgf/cm2 e a

aceleração máxima do elevador de 2

m/s2.

P

A B

C

3 434

α β

A

C

B

D1,50

3,00

NA máx.

Tirante

P

Polia

Cabos

Elevador

13


Aula 7 – Abr/2006

1) Um tubo de ferro fundido, para água, de 20 cm de diâmetro interno, deve ser

submetido à uma pressão interna de 14 kgf/cm2. Qual deve ser a espessura mínima

da parede do tubo, para que não seja ultrapassada a tensão admissível à tração, do

ferro fundido, de 245 kgf/cm2?

t di t

de

p

2) Qual a máxima pressão com a qual se pode armazenar um gás num reservatório

esférico de aço de 20 m de diâmetro interno e 1 cm de espessura de parede? A

tensão de segurança do aço é de 800 kgf/cm2.

p

14

3) O tanque de um compressor de ar é formado por um cilindro fechado nas

extremidades por calotas semi esféricas. O diâmetro interno do cilindro é de 60 cm e

a pressão interna, do ar, é de 35 kgf/cm2. O material, de que é feito o cilindro, é aço

com limite de escoamento de 2 400 kgf/cm2 e o coeficiente de segurança à utilizar é

4. Pede-se determinar a espessura da parede do cilindro.

p

4) Um cilindro de ar comprimido, para laboratório, está, normalmente, com a pressão

de 160 kgf/cm2 por ocasião da entrega. A espessura da parede do cilindro deve ser

de 16 mm. O aço de que é feito o cilindro tem limite de escoamento de 2 500

kgf/cm2. Adotando um coeficiente de segurança 2,5, qual o máximo diâmetro

externo para o cilindro?

5) Calcular o diâmetro mínimo necessário para o êmbolo de um macaco hidráulico

para uma força P de 5 000 kgf. O macaco é alimentado por um tubo de cobre de 9,5

mm de diâmetro externo e de 1,5 mm de espessura de parede. A tensão de

segurança do cobre é de 600 kgf/cm2.

p

P

Êmbolo

Macaco

ÓleoTubo

D

15


Aula 8 – Abr/2006

1) Um fio é suspenso de dois pontos num mesmo nível, afastados de 100 m, com

uma flecha de 5 m. O fio pesa 0,613 kgf/m. Calcular a força de tração (H) no fio.

l/2 /2l

f

C

A B

gV

H

V

H

2) Qual a mínima flecha com a qual se pode lançar um cabo pesando 4 kgf/m, entre

dois apoios em nível, afastados de 200 m, se a força horizontal nos apoios não deve

ultrapassar 2 000 kgf.

3) Um fio deve ser estendido entre dois pontos com uma flecha de 8% do

afastamento entre os mesmos. O fio pesa 0,900 kgf/m e a força de tração no fio não

deve ultrapassar 395 kgf. Estando os dois pontos num mesmo nível, qual o máximo

afastamento que pode ser usado entre os mesmos.

16

4) Um fio de cobre, de 5 mm de diâmetro, pesando 0,167 kgf/m, é suspenso de dois

pontos num mesmo nível, afastados de 400 m, com uma flecha de 25 m.

Quesitos:

a) calcular as forças, vertical e horizontal, exercidas pelo fio sobre os apoios;

b) calcular os valores, exato e aproximado, da força de tração máxima no fio; e

c) verificar se o fio se encontra (ou não) em boas condições de segurança,

considerando uma tensão máxima admissível para o cobre de 600 kgf/cm2.

5) Um cabo de uma rede de transmissão de energia elétrica é lançado entre duas

torres, A e B, afastadas de 400 m, com uma flecha de 40 m.

Qual deve ser a flecha do cabo entre as torres B e C, afastadas de 300 m, se for

desejado que não surja nenhuma força horizontal produzida pelo peso próprio do

cabo no topo da torre B?

ll

A

g

f

B

f '

'

C

6) Com uma flecha de 100 cm e uma tensão de segurança de 600 kgf/cm2, qual o

maior vão que se pode admitir entre dois postes de uma linha de transmissão de

cobre. O peso específico do cobre é de 8 500 kgf/m3.

17


Aula 9 – Abr/2006

1) Emprega-se um rebite para ligar duas barras de aço como se indica na figura. Se

o rebite tem diâmetro de 3/4" e a carga P é de 3 tf, qual a tensão de cisalhamento no

rebite?

PP

A

B

rebite

2) O dispositivo da figura é empregado para determinar a resistência ao

cisalhamento de uma junta colada. Se a carga P, no instante da ruptura é de 1 100

kgf, qual a tensão de ruptura, por cisalhamento, da junta?

P

1,5

4,0 cm

A

B C

18

3) Considere-se o pino de 1,27 cm de diâmetro da junta da figura. A força P é de

3 400 kgf. Calcular a tensão de cisalhamento nas seções do pino.

P P

pino

A B

4) Em estruturas de aço é comum

empregar o dispositivo da figura com a

finalidade de transmitir as cargas das

vigas para os pilares. Se a reação da

viga é de 10 000 kgf, se são usados

quatro rebites na ligação e se a tensão

de segurança do aço dos rebites ao

cisalhamento é de 1 100 kgf/cm2, qual o

diâmetro mínimo necessário para a

seção dos rebites.

5) O aço de baixo teor de carbono

usado em estruturas tem um limite de

resistência ao cisalhamento da ordem

de 3 160 kgf/cm2. Calcular a força P

necessária para fazer um furo circular

de 2,5 cm de diâmetro numa chapa

desse aço de 1 cm de espessura.

Calcular também a tensão de

compressão no punção.

Ppilar

canto-neira

rebite

d=2,5

t=1 cm

P

punção

chapa

19

6) As polias são, em geral, ligadas aos

eixos através de chavetas como se

mostra na figura. Seja M = 11 500

kgf.cm o momento de torção aplicado à

polia, sejam 1 x 1 x 8 cm as dimensões

da chaveta que liga a polia ao eixo e

seja 5 cm o diâmetro do eixo. Calcular a

tensão de cisalhamento na chaveta.

7) Calcular o número de rebites necessários para fixar a viga nos pilares. A força P

aplicada na viga é de 11,5 tf e o peso próprio da viga, neste caso, pode ser

desprezado. Os rebites devem ter 1,27 cm de diâmetro e a tensão de segurança ao

cisalhamento do aço dos rebites é de 800 kgf/cm2.

P

A B3 2

5 m

pilarviga

cant.reb. C C

Corte C-C

reb.cant.

1

1

chaveta

polia

eixo

O

M

M

B

A

20


Aula 10 – Mai/2006

1) Calcular a máxima tensão de flexão no poste da figura e verificar se o mesmo se

encontra (ou não) em boas condições de segurança. A tensão máxima admissível no

aço do poste é de 1 400 kgf/cm2, tanto na tração como na compressão.

H1 = 300 kgfH2 = 200 kgf

Fio

8,00 m

C

B

A

C

Corte CC

de = 20 cm

di = 18 cm

2) Calcular o lado “a” mínimo necessário para a prancha de madeira de pinho da

figura. A tensão de segurança do pinho, na flexão, é de 80 kgf/cm2.

P = 160 kgf

P

A C B

2,50 2,50

5,00 m

C

C

Corte CC

30 cma

21

3) Calcular o valor máximo admissível de P para o feixe de molas da figura. As

lâminas do feixe, num total de 5, têm seção retangular de 10 cm x 1 cm. A tensão de

escoamento do aço é de 6 000 kgf/cm2 e o coeficiente de segurança a utilizar é 3.

Cotas em cm.

A

B

A'

rodaeixo

Seção dofeixe em B

P P

2.P20 20 20 20 20

200

100

10

5

4) Calcular o diâmetro mínimo necessário para o eixo do vagão de trem da figura. A

tensão de segurança do aço é de 800 kgf/cm2.

P = 10 000 kgf.

Cotas em cm.

P P

R R20 80 20

Seçãodo eixo

Eixo

Mancal

Roda

Trilho

d

22


Aula 11 – Mai/2006

1) Um eixo de aço, de 5 cm de diâmetro, está submetido à um momento de torção

de 19 000 kgf.cm. A tensão de segurança do aço do eixo, ao cisalhamento, é de 800

kgf/cm2. Calcular a tensão de cisalhamento máxima no eixo e verificar se o mesmo

se encontra (ou não) em boas condições de segurança.

Mt

d

2) Um eixo de aço, de seção circular oca de 8 cm de diâmetro externo e 6 cm de

diâmetro interno, está submetido a um momento de torção de 54 000 kgf.cm. O aço

do eixo tem tensão de segurança ao cisalhamento de 800 kgf/cm2 e módulo de

elasticidade transversal de 800 000 kgf/cm2. Verificar se o eixo se encontra em boas

condições de segurança e calcular o ângulo de torção unitário do mesmo.

di de

23

3) Num eixo de aço, de seção circular cheia, atua um momento torsor de 250 m.kgf.

A tensão limite de proporcionalidade ao cisalhamento do aço do eixo é de 1 600

kgf/cm2, em relação à qual deve-se usar um coeficiente de segurança 2. Calcular o

diâmetro mínimo necessário para a seção do eixo.

d

4) Um eixo de aço, com 2 m de comprimento e 4,5 cm de diâmetro, está submetido à

um momento de torção de 10 000 kgf.cm. O aço do eixo tem tensão de segurança

ao cisalhamento de 800 kgf/cm2 e módulo de elasticidade transversal de 800 000

kgf/cm2. Calcular a tensão de cisalhamento máxima no eixo e o ângulo de torção do

mesmo. Verificar se o eixo se encontra (ou não) em boas condições de segurança.

(Nash, p. 86, ex. 5).

d

24

5) Um eixo de aço tem 3 m de comprimento e transmite um momento de torção de

250 tf.cm. O módulo de elasticidade transversal do aço é de 840 000 kgf/cm2 e a

tensão máxima admissível ao cisalhamento é de 840 kgf/cm2. Qual o diâmetro

mínimo que se pode dar ao eixo se o ângulo de torção unitário do mesmo deve ser

limitado a 0,5o/m. (Nash, p. 88, ex. 8).

d

6) Dois eixos, A e B, de mesmo comprimento, são feitos com um mesmo aço

(mesmo G e mesmo τ ). O eixo A tem seção circular cheia com diâmetro de 6 cm e o

eixo B tem seção circular oca com diâmetros externo e interno de 10 e 8 cm,

respectivamente.

Comparar:

a) os volumes de aço gastos na fabricação dos dois eixos;

b) as resistências dos dois eixos; e

c) os ângulos de torção unitários para um mesmo Mt.

d di de

A B

25


Aula 12 – Jun/2007

1) Um veículo, com potência de 60 HP, alcança, no plano, uma velocidade máxima

de 120 km/h. Calcular a resistência oferecida pelo ar ao deslocamento do veículo

nessa velocidade.

v R = a.v + b.v 2

F

F'

2) Qual a potência máxima, em HP, que um eixo de aço de 6 cm de diâmetro, pode

transmitir com a velocidade angular de 250 rpm. A tensão de segurança do aço, ao

cisalhamento, é de 800 kgf/cm2. (Nash, p. 98, ex. 22).

d

26

3) Um eixo de seção variável, como se indica na figura, é de aço com G = 0,84E06

kgf/cm2. Determinar a tensão máxima de cisalhamento em cada um dos trechos de

seção constante e os giros das seções B e A. (~ Nash, p. 93, ex. 13).

A B C0,6 tf 0,9 tf

80 120 cm

100 cm

d = 7,5 d = 10

0,6 tf 0,9 tf

4) O eixo da figura compõem-se de um trecho de latão e outro de alumínio, com 60

cm de comprimento cada. O diâmetro do eixo é constante e igual à 6 cm. O limite de

proporcionalidade ao cisalhamento do latão é de 1 000 kgf/cm2 e o do alumínio

1 550 kgf/cm2. Adota-se um coeficiente de segurança 2 em relação à essas tensões.

Se o deslocamento angular (giro) da extremidade direita do eixo è limitado à 1o, qual

o máximo momento que pode ser aplicado ao eixo? Os valores de G, para o latão e

para o alumínio, são 350 000 e 280 000 kgf/cm2, respectivamente. (~ Nash, p. 94,

ex. 14).

Latão Alumínio

F

F

b

CBA

6060 cm

d = 6 cm

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