DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE – UFES

Terceira Prova de Álgebra Linear – 2011/2 Aluno:____________________________________________________________________ Data: 29/11/2011 Questão 1 (2,0 pontos) Sejam 1P o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 1 e { }x,xB 210361 ++= e

{ }x,B 2322 += bases de 1P . Encontre as matrizes de transição de 2B para 1B e de 1B para 2B .

Questão 2 (3,0 pontos)

Sejam ( ) ( ){ }12101 ,,,B = e ( ) ( ) ( ){ }1101000112 −= ,,,,,,,,B bases de 2ℜ e 3ℜ , respectivamente, e 32 ℜ→ℜ:T a transformação linear cuja matriz em relação às bases 1B e 2B é

[ ]

−=

02

20

01

12,BBT .

a) Determine a matriz canônica de T.

b) Determine [ ]1,BBT , sendo B a base canônica de 3ℜ .

c) Determine uma base 3B de 3ℜ tal que

[ ]

=00

10

01

13,BBT .

Questão 3 (3,0 pontos)

Para cada um dos operadores lineares de 3ℜ abaixo, verifique se existe uma base B de 3ℜ tal que a matriz [ ]BT seja diagonal. Caso exista tal base B, encontre-a, determine [ ]BT e determine uma matriz invertível P

tal que [ ]PTP 1− seja diagonal, sendo [ ]T a matriz canônica de T.

a) ( ) ( )zx,zyx,zxz,y,xT 42324 ++++= .

b) ( ) ( )zy,zy,yxz,y,xT 422 +−+= .

Questão 4 (2,0 pontos)

Sejam T o operador linear de 3ℜ que leva cada vetor em seu simétrico em relação ao plano 02 =+− zyx e

[ ]T a matriz canônica de T. Resolva os itens abaixo sem determinar ( )z,y,xT .

a) Existe uma base B de 3ℜ tal que [ ]BT seja diagonal? Caso afirmativo, determine tal base B e [ ]BT .

b) Existe uma matriz ortogonal P tal que [ ] PTPT seja diagonal? Caso afirmativo, determine as matrizes P e

[ ] PTPT .