Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões Problemas de Forma Não-Padrão Prof. Dr. Alexandre...
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Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões
Problemas deForma Não-Padrão
Prof. Dr. Alexandre Pereira Salgado Junior
Conteúdos do Capítulo
Problemas de Forma Não Padrão Minimização Método da Função Artificial Restrições de Maior ou Igual Restrições de Igualdade Restrições com Constantes Negativas
Problemas de FormaNão-Padrão
Problemas de programação linear podem apresentar outras formas, tais como, igualdades e formas maior ou igual e/ou constantes não positivas nas restrições, ou ainda problemas de minimização.
Estas formas de modelo apresentam problemas de se encontrar a solução básica inicial. Por não existir esta solução básica inicial Por não ser óbvia a solução inicial como no caso do formato
padrão
Minimização versus Maximização
Minimização Maximização
0,2423
10252
28
21
21
2
21
21
xxxx
xxx
stxxZMin
0,2423
10252
28
21
21
2
21
21*
xxxx
xxx
stxxZMax
Problemas de Inicialização No caso de alguma restrição, for representada por uma
igualdade, ou por uma inequação do tipo maior ou igual, ao invés de uma restrição de menor ou igual, três soluções possíveis podem ocorrer: 1 - Substituição da restrição de igualdade por duas desigualdades. 2 - Processo do “M Grande” 3 - Método da Função-Objetivo Artificial ou Método das Duas
fases
Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual
Max Z x x 3 51 2
1
2x 122
3x x 2 18 1 2
s r x 4. .
x x 0 01 2,
)18;12;4;0;0(
531823
2124
21
215
24
13
Associada SoluçãoxxZxxx
xxxx
Dicionário Inicial
Não pode
babca
- bca ba
Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual
)18;12;4;0;0(
531823
2124
21
215
24
13
Associada SoluçãoxxZxxx
xxxx
)18;0;12;4;0;0(
0,,,,,053
1823122
4
154321
21
1521
42
31
Associada SoluçãoAxxxxx
xxZAxxx
xxxx
Dicionário Inicial Dicionário Artificial
X5 deve ser zero, caso contrário ele irá valer -18 o que fere a condição de ser positivo
Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual
)18;0;12;4;0;0(
0,,,,,053
1823122
4
154321
21
1521
42
31
Associada SoluçãoAxxxxx
xxZAxxx
xxxx
Dicionário Artificial Dicionário Artificial Inicial
0,,,,,
01823
1224
154321
1
1521
42
31
Axxxxx
AWAxxx
xxxx
)18;0;12;4;0;0(Associada Solução
Todas artificiais do problema devem aparecer em Z
Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual
Como A1 é uma variável artificial (não faz parte do nosso problema) desejamos encontrar uma solução para o dicionário artificial, na qual o valor de A1 seja igual a zero.
Esta solução fará parte do conjunto de soluções viáveis de ambos os problemas (original e artificial).
Para tal modificaremos a função-objetivo de maneira a encontrar esta solução.
11 AWMaxAWMin SIMPLEX só sabe Maximizar
Problema Artificial - Quadro Inicial
Este quadro apresenta inconsistência(s) que devem ser corrigidas antes da aplicação do método simplex
Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual
X1, X2 e X5 não entram na base (foram associados a valores negativos)
Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual
Fase 1 - Acerto Linha Zero - Inconsistência
Exercício Inicial 2.4 – Simplex Tabular Forma Padrão
Como ele difere do exercício acima?
Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual
Fase 1 - Acerto Linha Zero
-W X3 X4 A1 Constante
1 0 0 0 c10 1 0 0 c20 0 1 0 c30 0 0 1 c4
Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual
Fase 1 - Acerto Linha Zero
Nova Linha 0 = Antiga Linha 0 - Coef. da coluna A1 da Linha 0 x Linha A1
(-1)
Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual
Fase 1 - Ciclo 1
Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual
Fase 1 – Ciclo 2
Solução Ótima do Problema Artificial
Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual
Fase 2 - Introdução da Função-Objetivo Original
Início da Fase 2
1 0 3-1,5 -0,5
Problemas de InicializaçãoRestrições do Tipo Maior ou Igual
Acerto da Linha Zero para início da segunda fase
Fromação de MATRIZ IDENTIDADE Z, X1, X4, X2 Solução Ótima Atingida (4;3;0;6;0) => Z = -3
Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade
Problema Original
Max Z x x 3 51 2
1
2x 122
3x x 2 18 1 2
s r x 4. .
x x 0 01 2, 0,,053
1823122
4
321
21
21
2
13
xxxxxZ
xxx
xxDicionário Modificado Inicial
Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade
0,,053
1823122
4
321
21
21
2
13
xxxxxZ
xxx
xxDicionário Modificado Inicial Dicionário Artificial
0,,,,0531823
1224
21321
21
221
12
31
AAxxxxxZAxx
Axxx
Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade
Dicionário Artificial Dicionário Artificial Inicial
0,,,,01823
1224
21321
21
221
12
31
AAxxxAAWAxx
Axxx
0,,,,0531823
1224
21321
21
221
12
31
AAxxxxxZAxx
Axxx
Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade
Quadro Inicial do Dicionário Artificial Inicial
Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade
Corrigindo as inconsistências
Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade
Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade
Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade
Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade
Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade
Solução Ótima Atingida (2;6;2) =>Z = -24
Problemas de InicializaçãoRestrições de Igualdade
Problema Original
Max Z x x 3 51 2
1
2x 122
3x x 2 18 1 2
s r x 4. .
x x 0 01 2, 0,,053
1823122
4
321
21
21
2
13
xxxxxZ
xxx
xxDicionário Modificado Inicial
Serve como exemplo, pois já tínhamos a solução final (2;6;2) e Z = -24
Problemas de InicializaçãoCoeficientes Negativos na Restrição
Max Z x x 3 51 2
1
2x 122
3x x 2 -18 1 2
s r x 4. .
x x 0 01 2,
Problema não Padrão
Max Z x x 3 51 2
1
2x 122
-3x x 2 18 1 2
s r x 4. .
x x 0 01 2,Após multiplicarmos por (-1), obtemos coeficientes positivos e poderemos tratar o problema como o caso anterior, através da introdução de uma variável de excesso (Xn) e de outra artificial (A1)
Problema não Padrão
Problemas de InicializaçãoGeração de Soluções Iniciais - Resumo
O Conjunto de Restrições abaixo
Deve ser transformado no seguinte sistema de equações
634663
687654
32
634663
68765432
3621
521
221
1421
321
21
21
21
21
21
Axxxxxx
AxxAxxx
xxx
xxxxxxxxxx
Problemas de InicializaçãoGeração de Soluções Iniciais - Resumo
A introdução de variáveis de folga e de excesso não altera a natureza das restrições e tampouco da função- objetivo. Assim, tais variáveis são incorporadas à função-objetivo com coeficientes de valor nulo.
As variáveis artificiais, contudo, mudam a natureza das restrições. Portanto, devemos utilizar o método da função-objetivo artificial ou outro método adequado para resolver este problema.
Exercício 1Exercício 1
Problema na forma não padrãoMax Z* = -x1 -3x2 - 2x3
Min Z = x1 + 3x2 + 2x3 Max Z*+ x1 + 3x2 + 2x3 = 0s.r. s.r.x2 + x3 ≥ 3 x2 + x3 -x4 + A1 = 32x1 +3x2 = 10 2x1 +3x2 + A2 = 10x1 +x3 ≤ 20 x1 +x3 +x5 = 20x1; x2; x3; x4; x5 ≥ 0 x1; x2; x3; x4; x5 ≥ 0
-W + A1 + A2 = 0
solução inicial (0; 0; 0; 0; 20; 3; 10)Z = 0
-W x1 x2 x3 x4 x5 A1 A2 -W 1 0 0 0 0 0 1 1 0x5 0 1 0 1 0 1 0 0 20A1 0 0 1 1 -1 0 1 0 3A2 0 2 3 0 0 0 0 1 10
BÁSICA Coeficientes de Constante Divisão
Corrigir inconsistências para formar a matriz identidade
-W x1 x2 x3 x4 x5 A1 A2 -W 1 -2 -4 -1 1 0 0 0 -13x5 0 1 0 1 0 1 0 0 20 -A1 0 0 1 1 -1 0 1 0 3 3A2 0 2 3 0 0 0 0 1 10 3,33
-W x1 x2 x3 x4 x5 A1 A2 -W 1 -2 0 3 -3 0 4 0 -1x5 0 1 0 1 0 1 0 0 20 -x2 0 0 1 1 -1 0 1 0 3 -3A2 0 2 0 -3 3 0 -3 1 1 1/2
BÁSICA Coeficientes de Constante Divisão
BÁSICA Coeficientes de Constante Divisão
-W x1 x2 x3 x4 x5 A1 A2 -W 1 0 0 0 0 0 1 1 0x5 0 1 0 1 0 1 0 0 20x2 0 2/3 1 0 0 0 0 1/3 10/3x4 0 2/3 0 -1 1 0 -1 1/3 1/3
Z* x1 x2 x3 x4 x5Z* 1 1 3 2 0 0 0x5 0 1 0 1 0 1 20x2 0 2/3 1 0 0 0 10/3x4 0 2/3 0 -1 1 0 1/3
BÁSICA Coeficientes de Constante Divisão
BÁSICA Coeficientes de Constante Divisão
Corrigir inconsistências para formar a matriz identidade no Z*
Quando tirar inconsistência vai aparecer (-1), ou seja, deve-se rodar novamente.
Z* x1 x2 x3 x4 x5Z* 1 -1 0 2 0 0 -10 -x5 0 1 0 1 0 1 20 20x2 0 2/3 1 0 0 0 10/3 5x4 0 2/3 0 -1 1 0 1/3 1/2
Z* x1 x2 x3 x4 x5Z* 1 0 0 1/2 3/2 0 -19/2x5 0 0 0 5/2 -3/2 1 39/2x2 0 0 1 1 -1 0 3x1 0 1 0 -3/2 3/2 0 1/2
SOLUÇÃO ÓTIMA (1/2; 3; 0; 0; 39/2)Z* = -19,2 Z = 19/2
BÁSICA Coeficientes de Constante Divisão
BÁSICA Coeficientes de Constante Divisão
Exercício 2Exercício 2
0,,280523
321
321
xxxxxx
MIN Z = 2X1 + X2 + 3X3
2X1 + X2 + 3X3 = 420
Max Z* = -2x1 - x2 - 3x3Min Z = 2x1 + x2 + 3x3 Max Z* + 2x1 + x2 + 3x3 = 0s.r. s.r.2x1 + x2 + 3x3 = 420 2x1 + x2 + 3x3 + A1 = 4203x1 + 2x2 + 5x3 ≥ 280 3x1 + 2x2 + 5x3 - x4 + A2 = 280x1, x2, x3 ≥ 0 -W + A1 +A2 = 0
solução inicial (0; 0; 0; 0; 420; 280)
-W X1 X2 X3 X4 A1 A2 -W 1 0 0 0 0 1 1 0A1 0 2 1 3 0 1 0 420A2 0 3 2 5 -1 0 1 280
-W X1 X2 X3 X4 A1 A2 -W 1 -5 -3 -8 1 0 0 -700A1 0 2 1 3 0 1 0 420 140A2 0 3 2 5 -1 0 1 280 56
BÁSICA Constante Divisão
BÁSICA
Coeficientes de
Coeficientes de Constante Divisão
-W X1 X2 X3 X4 A1 A2 -W 1 -1/5 1/5 0 -3/5 0 8/5 -252A1 0 1/5 -1/5 0 3/5 1 -3/5 252 420X3 0 3/5 2/5 1 -1/5 0 1/5 56 -280
-W X1 X2 X3 X4 A1 A2 -W 1 0 0 0 0 1 1 0X4 0 1/3 -1/3 0 1 5/3 -1 420X3 0 2/3 1/3 1 0 1/3 0 140
Z* X1 X2 X3 X4Z* 1 2 1 3 0 0X4 0 1/3 -1/3 0 1 420X3 0 2/3 1/3 1 0 140
BÁSICA Coeficientes de
BÁSICA
BÁSICA
Constante Divisão
Constante Divisão
Constante Divisão
Coeficientes de
Coeficientes de
Z* X1 X2 X3 X4Z* 1 0 0 0 0 -420X4 0 1/3 -1/3 0 1 420X3 0 2/3 1/3 1 0 140
SOLUÇÃO ÓTIMA (0; 0; 140; 420; 0; 0)
Z* = -420 Z = 420
BÁSICA Constante DivisãoCoeficientes de