POLIGONOS INSCRITOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves

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(01) Um triângulo equilátero tem 15 cm de lado. Calcule: (a) o raio da circunferência que o circunscreve; (b) seu apótema.

Solução

(a) O lado de um triângulo equilátero em função do raio da circunferência é dado por:

√ √

√ √

√

√

√

(b) O apótema é dado por:

√

(02) O lado de um quadrado inscrito numa circunferência mede 8 cm. Calcule: (a) o raio da circunferência que o circunscreve; (b) o seu apótema.

Solução

(a) O lado do quadrado inscrito é dado por:

√ √

√ √

√

√

√

(b) O apótema do quadrado inscrito é dado por:

√

√ √

(03) Sabendo que o lado do quadrado inscrito num círculo de raio r mede 12 √ , determine:

(a) O lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo;

(b) O lado do hexágono regular inscrito nesse círculo.

Solução

(a) O lado do quadrado inscrito em função do raio é dado por:

√ √ √ Como o lado do triângulo equilátero inscrito em função do raio é dado por:

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√ √

(b) Como o lado do hexágono inscrito é igual ao raio da circunferência que o

circunscreve, temos:

L = r

(04) Um hexágono regular tem 12 cm de lado. Calcule: (a) O raio da circunferência que o circunscreve; (b) O seu apótema.

Solução

(a) Como o lado do hexágono inscrito é igual ao raio da circunferência que o

circunscreve, temos:

r = L r = 12 cm.

(b) O apótema em função do raio de um hexágono inscrito é dado por:

√

√

√

(05) Um triângulo equilátero está inscrito numa circunferência de raio 14 cm. Determine a soma da medida do lado com a medida do apótema do triângulo.

Considere: √ .

Solução

Como o raio vale: r = 14 cm, temos:

√ √ .

O apótema é dado por:

Portanto, L + a = 24,22 + 7 L + a = 31,22 cm.

(06) Um quadrado está inscrito numa circunferência que tem 20√ cm de raio. Nessas condições, calcule o perímetro e a área desse quadrado.

Solução

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O raio da circunferência que circunscreve o quadrado vale 20√ cm, logo:

L = r√ √ √

(i) Cálculo do perímetro do quadrado de lado 40 cm:

(ii) Cálculo da área do quadrado de lado 40 cm:

S = L² S = (40)² S = 1600 cm²

(07) Um quadrado de lado “x” está inscrito numa circunferência cujo comprimento é 62,8 cm. Sendo = 3,14, calcule a área do quadrado.

Solução

(i) O comprimento da circunferência vale C = 62,8 cm, logo:

C =

(ii) Cálculo do lado do quadrado:

√ √

(iii) Cálculo da área do quadrado:

S = L² S = (( √ )

(08) O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 5√ cm. Determine o comprimento dessa circunferência. Considere: Solução

(i) Como o apótema vale 5√ , temos:

√

√

√

(ii) Cálculo do comprimento da circunferência:

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(09) Num semicírculo está inscrito um trapézio isósceles. A base maior é o diâmetro da circunferência e a menor é o lado do triângulo regular inscrito cujo apótema mede 6 m.

Calcule a área desse trapézio. Considere √ = 1,73.

Solução

(iii) Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo vermelho da figura acima,

temos:

(

)

( √

)

( )

(iv) Cálculo da área do trapézio:

( )

( √ )

( √ )

( √ )

𝑎 𝑟

𝑟

𝒓 𝟏𝟐 𝒎 ∴ 𝒅 𝟐𝒓 𝒅 𝟐𝟒 𝒎

(i) O apótema do triângulo inscrito vale 6 m, logo:

Portanto, a base maior do trapézio vale 24 m.

(ii) O lado do triângulo inscrito é dado por:

𝐿 𝑟√ 𝑳 𝟏𝟐√𝟑 𝒎 ∴ 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝑳 𝟏𝟐√𝟑 𝒎