ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

PONTE DE ESPAGUETE

Resistência dos Materiais A (ENG01140)

Professor: Luis Alberto Segovia González

Componentes: Denis Biassi (161971)

Guilherme Lopes Corrêa (173755)

Henrique Silveira da Rosa (143192)

Lúcio Santos da Rosa (142919)

Porto Alegre, 3 de junho de 2012

1. Introdução

O trabalho prático proposto consiste na análise, projeto e construção de uma

ponte treliçada de macarrão do tipo espaguete, que será submetida a um ensaio

destrutivo na Competição de Pontes de Espaguete realizada pelo Departamento de

Engenharia Civil desta Universidade.

Dentro do contexto da disciplina de Resistência dos Materiais A, os objetivos do

trabalho são:

− Estudar diversos tipos de pontes treliçadas, devendo escolher aquele que,

segundo a concepção dos alunos, poderá apresentar maior resistência;

− Aprender a projetar estruturas treliçadas e analisar seu comportamento

quando submetidas a carga, bem como compreender de que maneira

modificações na estrutura implicam modificações nos diagramas de esforços;

− Projetar e construir a ponte, sendo capaz de prever sua carga de ruptura;

− Comparar a carga de ruptura obtida no ensaio destrutivo com a carga de

ruptura prevista nas etapas de projeto, sendo capaz de explicar as

divergências entre teoria e prática.

2. Escolha do Tipo de Ponte

Pontes treliçadas são um dos tipos mais antigos de pontes modernas. Essas

estruturas, idealmente compostas por barras birrotuladas retas conectadas aos nós,

possuem em seu interior apenas esforços normais de tração ou compressão, de maneira

que elas podiam ser facilmente analisadas pelos engenheiros do século XIX e início do

século XX.

Apesar de a estrutura de espaguete não ser formada por barras birrotuladas (e

sim engastadas nos nós com cola epóxi), essa é uma boa aproximação, desde que seja

garantido que todas as barras estão concorrendo aos nós e que as cargas externas são

aplicadas somente nos nós. Nesse caso, é possível assumir que as barras estão

submetidas somente a esforços normais de tração ou compressão.

Os ensaios de laboratório realizados pelo professor Luis Alberto Segovia

González e seus alunos indicaram que um fio de espaguete apresenta uma resistência à

tração de aproximadamente 4,267 kgf. A resistência à compressão, entretanto, não é tão

fácil de ser estudada, e envolve a compreensão do fenômeno de flambagem, que não faz

parte do conteúdo programático da disciplina de Resistência dos Materiais A .

A escolha do tipo de ponte a ser construída deve, portanto, visar à minimização

dos efeitos de flambagem, o que pode ser alcançado garantindo que as barras

submetidas à compressão tenham o menor comprimento possível.

Abaixo, são apresentados alguns dos tipos de pontes treliçadas.

Figura 1 Exemplos de tipos de pontes treliçadas

Retirado de: http://www.ppgec.ufrgs.br/segovia/espaguete/papo_ptrelicadas.html

Numa análise preliminar, foram observados diferentes tipos de pontes no

software Ftool, e optou-se por um tipo de ponte muito utilizado nas competições

anteriores, obtido a partir da modificação da ponte de viga Pratt com banzo superior

curvo (conforme Figura 2), uma vez que ele satisfaz o requisito de ter as barras em

compressão (as barras “circunferenciais”) com um comprimento substancialmente

menor do que o das barras em tração (as barras “radiais”).

Figura 2 Exemplo do tipo de ponte escolhido.

3. Análise e Projeto da Ponte

Após a escolha do tipo de ponte, procedeu-se ao projeto da treliça plana que dará

origem à ponte no software FTool, obedecendo aos limites dimensionais estabelecidos

no site da Competição de Pontes de Espaguete. As dimensões máximas da ponte serão

37,3 cm de altura, 108 cm de comprimento e 15 cm de largura.

Figura 3 Treliça da ponte construída no software FTool

Para o projeto da ponte, foi aplicado no nó O da estrutura uma força vertical para

baixo de 1500 N (152,96 kgf). Os comprimentos e os esforços normais nas barras da

treliça plana são apresentados na Tabela 1 e na Tabela 3. Nas Tabelas 2 e 4, são

apresentadas as correções dos comprimentos e esforços normais para a estrutura

espacial.

Tabela 1 Comprimentos e esforços normais das barras em compressão na treliça plana

Barra Comprimento da Barra natreliça plana (cm)

Esforço Normal deCompressão (kgf)

AB 23,5 83,59

BC 21,5 98,66

CD 18,2 107,87

DE 17,2 110,68

EF 18,2 107,87

FG 21,5 98,66

GH 23,5 83,59

Os valores apresentados na Tabela 1 correspondem aos da treliça plana. A

estrutura espacial, no entanto, apresenta barras que não estão contidas no plano da

treliça. A partir de agora, serão indicados apenas por letras os pontos contidos no plano

da treliça. Já os pontos marcados com uma linha e duas linhas indicarão os pontos

localizados 7,5 cm para frente e 7,5 cm para trás do plano da treliça, respectivamente. A

barra AB, por exemplo, corresponde à projeção reduzida de duas barras que concorrem

ao ponto B, chamadas A'B e A''B, ambas com comprimento de 24,7 cm.

Como as barras A'B e A''B estão não são paralelas ao plano da treliça, o esforço

normal nessas barras não é simplesmente a metade do esforço normal em AB. A metade

do esforço normal em AB corresponde, na verdade, à componente vertical do esforço

normal nas novas barras A'B e A''B, pois existe também uma componente perpendicular

ao plano da treliça. Os dados da Tabela 1, com as devidas correções para a estrutura

espacial, são apresentados na Tabela 2.

Tabela 2 Comprimentos e esforços normais das barras em compressão na treliça

espacial

Barra Comprimento da Barra naestrutura espacial (cm)

Esforço Normal deCompressão (kgf)

A'B = A''B 24,7 43,93

BC 21,5 98,66

CD 18,2 107,87

DE 17,2 110,68

EF 18,2 107,87

FG 21,5 98,66

GH' = GH'' 24,7 43,93

A Tabela 3 apresenta os comprimentos e esforços normais para as barras em

tração da treliça plana. No entanto, somente quatro das dezesseis barras em tração são

paralelas ao plano da treliça (A'O', A''O'', H'O' e H''O''), e para essas barras o esforço

normal é simplesmente a metade do esforço encontrado na Tabela 2. Para as demais

barras, é necessário fazer uma correção tanto no comprimento quando no esforço

normal. Os valores corrigidos são apresentados na Tabela 4.

Tabela 3 Comprimentos e esforços normais das barras em tração na treliça plana

Barra Comprimento da Barra na treliçaplana (cm)

Esforço Normal deTração (kgf)

AO 54 33,78

BO 49,4 55,35

CO 42,1 33,74

DO 38,3 26,71

EO 38,3 26,71

FO 42,1 33,74

GO 49,4 55,35

HO 54 33,78

Tabela 4 Comprimentos e esforços normais das barras em tração da treliça espacial

Barra Comprimento da Barra naestrutura espacial (cm)

Esforço Normal deTração (kgf)

A'O' = A''O'' 54 16,89

BO' = BO'' 50 28,02f

CO' = CO'' 42,8 17,15

DO' = DO'' 39 13,59

EO' = EO'' 39 13,59

FO' = FO'' 42,8 17,15

GO' = GO'' 50 28,02

H'O' = H''O'' 54 16,89

Para o cálculo do número de fios de espaguete necessários para as barras em

compressão, é usada a Equação 1:

(Equação 1)

A Equação 1, em que N é o esforço normal de compressão expresso em

quilogramas-força, l é o comprimento da barra em centímetros e r é o raio de um fio de

espaguete (0,09 cm), é apresentada no site da Competição das Pontes de Espaguete.

Sua dedução, entretanto, apresenta conceitos de flambagem que não fazem parte do

conteúdo programático da disciplina de Resistência dos Materiais A .

A Tabela 5 apresenta a obtenção do número de fios para as barras em

compressão, através da Equação 1. Note que as barras AB e GH são duplas. Os valores

de número de fios foram arredondados para cima.

Tabela 5 Obtenção do número de fios das barras em compressão

Barra Comprimento daBarra (cm)

Esforço Normal deCompressão em cada

barra (kgf)

Número de Fios

A'B = A''B 24,7 43,93 39

BC 21,5 98,66 50

CD 18,2 107,87 45

DE 17,2 110,68 43

EF 18,2 107,87 45

FG 21,5 98,66 50

GH' = GH'' 24,7 43,93 39

Para o cálculo do número de fios das barras em tração, basta dividir o esforço

normal de tração pela resistência à tração de um fio de espaguete, conforme Equação 2.

(Equação 2)

O valor da resistência à tração de um fio de espaguete foi obtido

experimentalmente pelo professor Luis Alberto Segovia González e seus alunos em

ensaios de tração simples.

A Tabela 6 apresenta a obtenção do número de fios das barras em tração. Neste

caso, todas as barras são duplas. Os valores para número de fios foram arredondados

para cima.

Tabela 6 Obtenção do número de fios das barras em tração

Barra Comprimento dabarra (cm)

Esforço normal detração em cada

barra (kgf)

Número de fios

A'O' = A''O'' 54 16,89 4

BO' = BO'' 50 28,02 7

CO' = CO'' 42,8 17,15 5

DO' = DO'' 39 13,59 4

E O' = E O'' 39 13,59 4

FO' = FO'' 42,8 17,15 5

GO' = GO'' 50 28,02 7

H'O' = H''O'' 54 16,89 4

Sabendo que a densidade linear de um fio de espaguete é de 0,03937 g/cm, foi

possível determinar a massa de espaguete da ponte, obtendo-se o valor de 477,2 gramas,

que julgamos satisfatório, pois teríamos pouco mais de 270 gramas para usar em cola,

para não ultrapassar os 750 gramas previstos.

Como uma forma de reduzir o peso e aumentar a resistência à flambagem,

optamos por substituir as barras em compressão – até então barras maciças – por barras

tubulares. A equação para o número de fios de espaguete para as barras tubulares em

compressão, entretanto, não estava disponível no site da disciplina, e foi necessário

deduzi-la.

A dedução a ser realizada supõe que a seção transversal é descrita pela Figura 3,

em que n é o número de fios de espaguete na barra, R é o raio maior, r é o raio menor,

Dfio é o diâmetro de um fio de espaguete (aproximadamente 0,18 cm) e Aseção é a área da

seção e Iseção é o momento de inércia de área da seção.

Figura 3 Representação da seção transversal de uma barra tubular de espaguete, com as

equações que a descrevem geometricamente

As equações a serem usadas estão disponíveis no site da disciplina, e são

apresentadas na Figura 4.

Figura 4 Equações para barras em compressão

Adaptado de http://www.ppgec.ufrgs.br/segovia/espaguete/papo_roteiro.html

A combinação das equações da Figura 4 com as da Figura 3 conduz à Equação 3,

em que N é o esforço normal de compressão na barra e L é o comprimento da barra.

(Equação 3)

Sabendo que o número de fios necessários para a uma barra é a área da seção

necessária (obtida isolando-se os termos π(R² – r²) na Equação 3) dividida pela área de

um fio de espaguete (Dfio² π / 4), obtém-se a Equação 4.

(Equação 4)

Substituindo os valores de R e r pelas expressões mostradas na Figura 3, e os os

valores de E e Dfio pelos valores do espaguete (36000 kgf/cm² e 0,18 cm,

respectivamente), chega-se a uma equação que depende do esforço normal de

compressão na barra e do comprimento da barra.

Optou-se por fazer essa análise com a barra BC (ou FG), pois foi a barra que, de

acordo com o cálculo inicial, necessitaria do maior número de fios. Substituindo na

Equação 4 os valores do esforço normal na barra (98,66 kgf) e de comprimento (21,5

cm), foi obtida uma equação do terceiro grau que, resolvida numericamente, forneceu o

resultado de aproximadamente 25 fios para a barra tubular BC (ou FG), contra 50 fios

que seriam necessários para barra maciça.

Optamos por construir as barras tubulares ao redor de um tubo de PVC de 20

mm de diâmetro, sendo necessários 36 fios para cada barra. Seguindo esta hipótese,

garantiríamos que as barras em compressão poderiam ser capazes de suportar uma carga

superior a 150 kgf. O elo fraco da ponte seria, portanto, as barras em tração, construídas

para suportar uma carga de 150 kgf.

Com o uso de barras de compressão tubulares ao invés de maciças, seriam

usados 424,21 gramas de espaguete na ponte, o que nos deixaria com uma segurança

maior em relação ao limite de peso que, somados a cola, os tubos de PVC usados como

suporte e a barra de aço em que seria aplicada a carga, não poderia passar dos 900

gramas, de acordo com o regulamento da Competição.

4. Construção da Ponte

DESENHO E CORTE DOS FIOS

Antes do início da construção, foi feito um desenho em tamanho real da ponte,

com o objetivo principal de visualizar a forma como as barras tubulares se encontram

nos nós. Ao se passar de uma treliça projetada no FTool (em que as barras são apenas

segmentos de reta, sem diâmetro) para uma treliça que seria construída com barras reais,

algumas medidas tiveram que sofrer pequenas adaptações. Durante todo o processo de

construção da ponte, as medidas usadas foram as tiradas do desenho, e não mais as

usadas no projeto. Os fios de espaguete foram colados em uma tábua de madeira com

fita adesiva, medidos e cortados nos comprimentos pré-determinados com uma faca.

Figura 5 Corte dos fios no comprimento especificado.

BARRAS EM TRAÇÃO

Por apresentarem comprimento maior que o de um fio de espaguete, as barras

em tração foram feitas a partir da união de três (no caso das barras A'O', A''O'', H'O' e

H''O'') ou dois (no caso das demais barras) segmentos de igual comprimento. Os fios de

cada segmento de barra foram amarrados nas duas extremidades com linha de costura.

Com uma luva, passou-se cola Poxipol em todos os segmentos de barras, que ficaram

secando para que, a seguir, fosse cortada a linha. Para a união dos segmentos das barras

em tração, foi usada cola Durepoxi cortada em lâminas de aproximadamente 2x2 cm,

que foram enroladas nas junções dos segmentos. Antes de enrolar a lâmina de Durepoxi,

foi adicionado um pouco de Poxipol no ponto de encontro dos dois segmentos. As

extremidades das barras em tração foram colocadas sobre bases de papelão, para

permitir que as barras secassem retas mesmo tendo uma junta grossa no centro.

Figura 6 Segmentos das barras em tração secando

Figura 7 União dos segmentos das baras em tração.

BARRAS EM COMPRESSÃO

As barras tubulares foram construídas com 36 fios de espaguete presos

externamente a um tubo de PVC de 20 mm de diâmetro. Foram usadas borrachas de

dinheiro para manter os fios unidos nas extremidades superior e inferior da barra, e

então foi passada com uma luva a cola Poxipol em toda a superfície externa. Após o

endurecimento da cola, as barras foram retiradas do tubo de PVC e passou-se cola nos

pontos em que estavam antes as borrachas. Próximo às extremidades das barras

tubulares, passou-se cola também na superfície interna, de maneira a garantir maior

resistência nessa região, já que as barras posteriormente cortadas e lixadas.

Figura 8 Construção das barras tubulares em compressão.

MONTAGEM DO ARCO SUPERIOR

As barras CD, DE e EF são paralelas ao plano da treliça, de maneira que essa

parte da ponte pôde ser montada sobre o desenho em escala. Os ângulos nos quais as

barras tubulares deveriam ser cortadas foram determinados graficamente, e as medidas

foram transferidas às barras, que foram cortadas com uma serra. Posicionadas sobre o

desenho, as barras foram unidas com Durepoxi.

MONTAGEM DAS BASES

As barras das bases do arco (A'B, A''B, GH', GH''), por estarem localizadas fora

do plano da treliça, estavam representadas de maneira reduzida no desenho. Para a

montagem das bases, foi feito um desenho do triângulo A'BA'' com os comprimentos

das barras e do tubo de PVC em verdadeira grandeza. Determinou-se, assim, o quanto

cada uma das barras teria de ser lixada para que elas encaixassem uma na outra e no

tubo de PVC da base. Foram feitas sucessivas etapas de esmerilhamento com uma

furadeira até que houvesse um encaixe satisfatório entre a barra A'B, a barra A''B e o

tubo de PVC. O mesmo desenho foi usado para repetir este procedimento com as barras

GH' e GH''. As barras foram coladas entre si e no tubo de PVC usando fita adesiva.

Figura 9 Uso da furadeira para corrigir as extremidades das barras da base da

ponte

MONTAGEM DO ARCO COMPLETO

O arco superior (CDEF) foi suspenso na altura certa e preso a um suporte

improvisado com uma caixa de papelão. A base A'BA'' foi posicionada usando uma

régua e presa ao desenho usando fita adesiva. A barra BC foi esmerilhada diversas vezes

até que fosse obtido um formato que permitisse sua ligação ao nó B. A seguir, o nó C foi

coberto com Durepoxi, seguido pelo nó B e pelas extremidades A' e A'', que estão

ligadas ao tubo de PVC. A seguir, a metodologia foi repetida para a montagem do outro

lado da ponte.

Figura 10 Término da montagem da base A'A'' da ponte.

MONTAGEM DAS BARRAS EM TRAÇÃO

Foi feito um buraco na caixa de papelão para que a barra de aço pudesse ser

posicionada no eixo O'O''. No ponto O', foi feito um anel de Durepoxi ao redor da barra

de aço. As barras A'O' e H'O' foram posicionadas sobre pequenas caixas e ligadas com

Durepoxi às bases A' e H', bem como ao anel em O'. A seguir, as demais barras de tração

foram ligadas aos nós do arco e ao anel O'. Uma vez posicionadas as barras em tração

que concorrem ao nó O', esperou-se um dia para que a cola endurecesse, e então foi

retirada a caixa de papelão. No dia seguinte, foi feito um anel de Durepoxi no nó O'', e

as demais barras em tração foram conectadas de forma análoga.

Figura 11 Conexão das barras em tração.

REDUÇÃO DE PESO

Após o término da construção, verificou-se, com uma balança de cozinha, que a

ponte tinha ficado com o peso de quase 1020 gramas, muito superior ao limite máximo

de 900 gramas estabelecido pelo regulamento da Competição de Pontes de Espaguete.

Os nós do arco superior e os nós O' e O'' foram lixados com uma furadeira, o que

permitiu a redução de peso da ponte até cerca de 970 gramas, ainda assim superior ao

limite da competição.

Figura 12 Ponte montada, antes de ser lixada.

5. Conclusão

Foi construída pelo grupo uma ponte de modelo muito semelhante ao usado pela

grande maioria dos grupos nos semestres anteriores. Esse modelo de ponte vem, há

muitos semestres, provando ser o mais eficiente, ou seja, suportando as maiores cargas

antes de se romper. Isso se deve a dois fatores que, associados, diminuem muito o

fenômeno da flambagem: o fato de as barras em compressão terem um comprimento

substancialmente menor do que o das barras em tração, e o uso de barras tubulares. A

descoberta dessa “ponte perfeita”, se por um lado possibilitou a construção de pontes

capazes de suportar cargas absurdas de até 234 kgf, por outro lado desestimulou a

inovação por parte dos alunos. Os alunos sabem que dificilmente concorrerão de fato

aos prêmios da competição se construírem uma ponte muito diferente desse modelo.

Portanto, há muitos semestres que o fator determinante na competição deixou de ser o

projeto de engenharia, e passou a ser a minúcia no processo de construção.

De uma maneira geral, a construção da ponte, apesar de ter sido mais difícil do

que havia sido previsto, transcorreu sem grandes problemas.

A resina epóxi da marca Poxipol usada no revestimento das barras tubulares

forneceu boa resistência, porém tinha a grande desvantagem de ter um preço muito

elevado. O grupo poderia ter procurado alternativas, como as colas usadas em

aeromodelismo, que apresentam resistência semelhante, a um preço inferior.

A dificuldade na união das barras tubulares (em especial nos nós B e G, onde há

o encontro de três barras) gerou a necessidade de várias etapas de lixação das

extremidades das barras, até que elas se encaixassem de acordo com os modelos

desenhados. A impossibilidade de fazer uma conexão perfeita, associada com a nossa

falta de experiência, levou ao uso excessivo de massa Durepoxi. As juntas que tinham

Durepoxi foram lixadas para a remoção do excesso, porém uma grande quantidade de

massa não pôde ser removida para que não houvesse comprometimento da estrutura. A

cola Durepoxi foi o principal fator que levou ao excesso de peso da ponte, o que causou

a sua desclassificação da competição. Teria sido melhor utilizar cola Durepoxi apenas

nos nós B e G, onde seria muito difícil conectar perfeitamente as três barras, e usar cola

do tipo resina para unir as demais barras em compressão.

O excesso de peso gerado pela cola Durepoxi impossibilitou o emprego de mais

cola em partes críticas da ponte, ou seja, pontos em que havíamos detectado falhas na

construção. Em alguns pontos, principalmente nas barras em tração, a falta de cola

deixou o espaguete exposto, o que, devido à umidade dos dias anteriores à competição,

pode ter diminuído a resistência do material. Além disso, não foi possível fazer com que

o eixo de todas as barras em tração chegasse exatamente nos nós, o que pode ter gerado

esforços cortantes, o que se torna fatal para uma estrutura que não é feita para suportar

tais esforços. A soma desses fatores explica o fato de a ponte ter se rompido com uma

carga de 32 kgf, tão distante dos 150 kgf para os quais os cálculos foram efetuados.

A construção de uma ponte de espaguete permitiu que vivenciássemos na prática

o que acontece quando a execução de um projeto não segue as premissas sobre as quais

foi pensado e calculado. As imperfeições na construção da nossa ponte fizeram com que

o coeficiente de segurança se tornasse tão alto quanto imprevisível, o que foi

confirmado no seu ensaio na Competição de Pontes de Espaguete.

O trabalho nos proporcionou grande aprendizado pois, para alguns de nós, foi a

primeira oportunidade de visualizar na prática um processo de Engenharia executado do

início ao fim, partindo dos primeiros rabiscos numa folha em branco, passando pelo

projeto e construção de uma estrutura, e culminando na sua destruição. O colapso da

ponte aos 32 kgf nos mostrou de forma bem enfática a maneira como, se um projeto não

for bem executado, tantos cálculos perdem muito de seu significado.