PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR SEDE IBARRA

1. Datos Informativos:1.1. Escuela: Arquitectura1.2. Nombre: Pablo Haro 1.3. Nivel: 1ro “C”1.4. Materia: Lógica Matemática1.5. Tema: Parejas de ángulos1.6. Fecha: 21/09/2010

2. Objetivos: - Aprender todas y cada una de las clasificación de las parejas de ángulos. - Lograr conocer y saber identificar las parejas de ángulos que encontramos.

3.-CONTENIDO

PAREJA DE ÁNGULOS

Ángulos  adyacentes.- Son ángulos que tienen un lado común y los otros dos pertenecen a la misma recta.   

Ángulos  consecutivos.- Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice.   

<BAC es adyacente con <DAC

Ángulos opuestos por el vértice

Dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el vértice.  - Son ángulos no adyacentes.   <1, <2, <3 y <4 - Son ángulos   congruentes:

<1 = <2 y <3 = <4

Ángulos complementarios

Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 90°.  

  El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa.

Ángulos suplementarios

Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180°.  

  El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa.

Tipos de ángulos formados 

Ángulos correspondientes entre paralelas. 

1 = 5

2 = 6

3 = 7

4 = 8

Ángulos alternos entre paralelas.-

1 = 7

2 = 8

3 = 5

4 = 6

Son suplementarios.-

Ángulos contrarios o conjugados.

1  6

2  5

3  8

4  7 

Ángulos colaterales.-

1  8

2  7

3  6

4  5

Teoremas de pares de ángulos

Teorema 1.

Las rectas AB y CD se cortan en un punto O, los ángulos adyacentes son suplementarios.

El teorema anterior puede expresarse de la siguiente forma:

Si  son adyacentes, entonces

Lo que está dentro del primer paréntesis son las premisas del teorema, que pueden ser más de una, estas son las condiciones que se dan. Lo que está dentro del segundo paréntesis es la tesis, que es a lo que debemos llegar, tomando como base las premisas.

Teorema 2

Las rectas AB y CD se cortan en un punto O, los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma amplitud.

El teorema anterior se puede escribir de la siguiente manera:

Si son opuestos por el vértice, entonces

Demostración 1:

por adyacentes. por adyacentes.

Luego, suma 1800 con entonces:

Demostración 2:

Apliquemos una simetría centralde centro O, al

La semirrecta OA se transforma en la semirrectas OB, porque A, O y B están alineados. La semirrecta OC se transforma enla semirrectas OD, porque C, O y D están alineados.

Luego,   se transforma en BOC

Por tanto, AOD = BOC

Definción 14:ángulos correspondientes, son las parejas de ángulos que cumplen:· Vértice en distintos puntos de la secante.· Los ángulos están situados al mismo lado de la secante.· Uno está situado en la región interna y el otro en la externa.

Definición 16:

Ángulos conjugados, son las parejas de ángulos que cumplen:· vértice en distintos puntos de la secante.· Los ángulos están situados al mismo lado de la secante .· Los ángulos están situados en la misma región.

Ejemplos de ángulos conjugados

Teorema 4: Las rectas paralelas AB y CD son cortadas por una secante EF en los puntosH e I, respectivamente; entonces las parejas de ángulos alternos tienen la misma amplitud.

Ahora tenemos que demostrar que . A estos ángulos no se les ha impuesto ninguna condición especial, lo cual significa que demostrar la igualdad entre ellos es equivalente a demostrar la igualdad entre las demás parejas de ángulos alternos.

por opuesto por el vértice

por propiedad transitiva de la igualdad entre ángulos.

En la demostración de este teorema no fue necesario aplicar ningún movimiento, ya que la propiedad de los ángulos correspondientes entre paralelas nos permitió establecer relaciones entre ángulos con vértice en con los ángulos que tienen vértice en H; a partir de aquí el problema se redujo a establecer relaciones entre ángulos con el vértice común.

Teorema 5:Las rectas paralelas AB y CD son cortadas por la secante EF en los puntos H e I, respectivamente; entonces losángulos conjugados son suplementarios.

Tenemos que demostrar :

Como a los no se les ha impuesto ninguna condición particular, entonces comprobar que la relación se cumple para una pareja de ángulos correspondientes nos permite asegurar que las otras tres parejas también la cumplen.

Por tanto, todas las parejas de ángulos correspondientes entre paralelas son suplementarios.

A continuación enunciamos algunos teoremas, los cuales son de gran utilidad para la solución de problemas geométricos y especialmente para probar el paralelismo entre rectas.

Teorema 6:

Las rectas AB y CD son cortadas por la secante EF en los puntos H e I, respectivamente, y un par deángulos correspondientes de los que determinan estas rectas tienen la misma amplitud, AB es paralela a CD.

Este teorema se obtuvo a partir del teorema 3, intercambiando una de las premisas por la tesis, por esta razón se denominan teoremas recíprocos, es decir, el teorema 6 es el teorema recíproco del teorema de los ángulos correspondientes entre paralelas.

Tenemos que demostrar que: AB || CD

Demostración:

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que y que la recta AB no es paralela a larecta CD.

Apliquemos una traslación de vector al

El punto I se transforma en H.

La recta CD tiene como imagen una recta r, que pasa por H y es paralela a CD.

La imagen de EF es EF, y la imagen de la semirrecta  IE es HE.

Luego, .

Pero los ángulos tienen un lado y el vértice común

Por tanto los lados HB y HB’ coinciden, porque por un punto exterior a una recta solo se puede trazar una paralela a ella. .Luego AB || CD.

Este teorema es un recurso importante para demostrar paralelismo entre rectas, es decir, si dos ángulos tienen la misma amplitud y están en posición de correspondientes, entonces están formados por rectas paralelas.

Los teoremas siguientes se demuestran de forma análoga al teorema 6.

Te recomendamos que realices estas demostraciones como parte de tu estudio independiente, de esta forma te vas familiarizando con el método de demostración.

Teorema 7- .

Si dos ángulos tienen la misma amplitud y están en posición de alternos, entonces están formados por rectas paralelas.

Teorema 8.

Si dos ángulos son suplementarios y están en posición de conjugados, entonces están formados por rectas paralelas.